11 I. Teoretická část 1. Piagetova teorie vývoje inteligence 1.1. Úvod Piagetova psychologická koncepce a jeho geneticko epistemologický výklad myšlení nejsou v našich podmínkách v pedagogické praxi dosud plně využívány. Důvodem je zřejmě velká obsahová a terminologická náročnost Piagetova díla a tudíž jeho nedostatečné pochopení, v minulosti hrály svou roli v naší zemi i důvody ideologické - jeho pracím byla vytýkána nedostatečná dialektičnost /dialektický princip jednoty a boje protikladů/ a také skutečnost, že Piaget jednu stránku myšlenkové činnosti, vratnost, učinil ukazatelem vyspělosti myšlení a jeho podstatnou charakteristikou. Přitom ale jeho koncepce, úplná, široká, principiálně dynamická a materialistická si jistě označení dialektická zasluhuje. Ale ani v současnosti se situace v zásadě nezměnila. Pokud totiž přijmeme Piagetovy závěry, musí pak i didaktika zaujmout jiné metodologické pozice než doposud a co se týká didaktik jednotlivých předmětů, bylo by třeba vybudovat pojmový aparát v souladu s Piagetovou teorií. (Heĺd, Pupala, 1992, s. 512-513) Výjimku tvoří konstruktivistické interpretace učení /vyučování/, pro něž je Piagetova geneticko-epistemologická koncepce východiskem. S Piagetovou teorií souvisí těsně i respektování žákova pojetí učiva a pedagogické využití této skutečnosti. O obojím pojednám později. 1.2. Co je inteligence? Piaget vychází z dvojí povahy inteligence - biologické a logické, psychologický výklad se pak opírá o tyto dva aspekty. Inteligenci definuje jako stav rovnováhy, k němuž směřují adaptace senzomotorické a poznávací a také všchny asimilační a akomodační styky mezi organismem a prostředím.
12 Adaptace /přizpůsobení/ je tedy zabezpečována dvěma protichůdnými a komplementárními /doplňujícími se/ mechanismy - asimilací a akomodací. Asimilace se zakládá na tom, že objekty a jejich vzájemné vztahy jsou začleňovány do schémat chování jedince, do jeho dosavadních zkušeností. Výsledkem asimilační činnosti je utváření asimilačních schémat, jakýchsi osnov činností /síť/, které lze aktivně opakovat. Toto je vlastně podstata učení - subjekt je vnímavý k takovým podnětům zvenčí, které lze začlenit do doposud utvořených schémat činnosti za pomoci příslušných operačních prostředků. Asimilační činnost probíhá na všech vývojových úrovních /viz. dále etapy vývoje inteligence/ a je potřebná jak pro vytvoření senzomotorického zvyku, tak i abstraktního pojmu. Akomodace je ve své podstatě opačným procesem a je vynucena tlakem prostředí na organismus. Jde v podstatě o úpravu asimilačního cyklu přizpůsobením se vnějším podnětům. Pro proces poznávání má podstatný význam vytváření rovnováhy mezi asimilací a akomodací, tedy rovnováhy mezi aktivní činností subjektu a pasivním přizpůsobením se prostředí. Tato rovnováha je neustále porušována a čím je dítě mladší, tím je méně dokonalá. Piaget tedy duševní vývoj chápe jako funkci postupně se zvětšující vzdálenosti vzájemných styků subjekt-objekt a tedy rovnováhy mezi asimilací stále vzdálenějších skutečností do vlastní činnosti a mezi akomodací této činnosti těmto skutečnostem. Inteligenci lze na základě výše uvedených skutečností pak chápat také jako označení pro stále dokonalejší formy přizpůsobování a vytvoření dynamické rovnováhy, které je dosaženo na úrovni vytvoření operačního myšlení. (Piaget, 1966, s. 13-15), (Heľd, Pupala, 1992, s.508-509) 1.3. Co jsou operace? Rovnováha operačního myšlení a klasifikace grupování Piaget chápe operace jako interiorizovanou /zvnitřněnou/ činnost probíhající v mysli. Jde vlastně o postupnou interiorizaci a koordinaci těch činností, které byly na předchozích vývojových úrovních vykonávány
13 materiálně /senzomotorická schémata/ nebo v představě /názorná schémata/. (Heĺd, Pupala, 1992, s. 509) Jsou-li operace činnosti, pak i rovnováha operačního myšlení je soustavou balancujících změn. Je třeba určit podmínky této rovnováhy, aby bylo možno geneticky zkoumat jak se utváří. U kvlitativních grupování máme pět takových podmínek: 1. skládání - každé dva libovolné elementy grupování se mohou mezi sebou skládat a tak vytvářet nový element téhož grupování 2. zvratnost - dvě třídy, které jsme sjednotili můžeme také odloučit, z matematického hlediska jde o inverznost, jde o nejspecifičtější rys inteligence, motorika a vnímání jsou nezvratné 3. asociativnost - myšlení může postupovat oklikami a výsledek získaný dvěma cestami zůstává týž, opět specifický rys inteligence, /zvyk je stereotypní a ve vnímání vedou dvě různé cesty k různým výsledkům/ 4. obecná identická operace - operace kombinovaná s operací k sobě inverzní se anuluje, v počátečních formách dětského myšlení se východisko mění, pokud se k němu dítě vrací 5. tautologie - kvalitativní element se opětováním nemění, v oboru čísel je tomu ovšem jinak- přidáme-li k číslu jednotku, vznikne číslo nové. (Piaget, 1966, s. 40-41) Piaget podává následující klasifikaci grupování a základních myšlenkových operací: A. První soustava grupování. Je tvořena operacemi logickými a vychází z neměnných individuálních elementů, které třídí, řadí atd. Zahrnuje: 1. Klasifikační grupování s hlavní operací sjednocování jedinců ve třídy nebo tříd mezi sebou, /pozn. obsahuje všech pět dříve uváděných vlastností grupování!/.
14 2. Operace spočívající ve spojování asymetrických vztahů, které vyjadřují rozdíly mezi jedinci. Spojení těchto rozdílů předpokládá uspořádaný sled, jde o kvalitativní řazení. 3. Operaci substituce, základ ekvivalence, která sjednocuje různé jedince téže třídy nebo jednoduché třídy v třídu složenou. 4. Pokud jsou předchozí operace dány do vztahu, získáme reciprokost. Výše uvedená grupování jsou aditivní, 1.a 3. se týkají tříd, 2. a 4. vztahů. Dále existují 4 grupování multiplikativních operací, které se týkají současně více než jedné soustavy tříd nebo vztahů a odpovídají paralelním čtyřem grupováním předchozím. 5. Jsou-li dány dva sledy spoluzahrnutých tříd, můžeme rozložit jejich elementy zároveň podle obou sledů /A1,B1,C1... a A2,B2,C2... metoda dvojvýchodných tabulek/. Příznačná operace je násobení tříd. 6. Nalézání souvislostí mezi předměty seřazenými zároveň podle dvou druhů vztahů. Násobení vztahů. 7. a 8. Provádíme-li seskupování tak, že jeden jedinec odpovídá většímu počtu individuí /např. otec-synové/, dostává grupování podobu genealogického stromu a vyjadřuje se buď v třídách /7./ nebo ve vztazích /8./, které jsou asymetrické podle jedné z obou dimenzí /např.otec/ a symetrické podle dimenze druhé /syn/. Podle nejjednodušších kombinací tak získáme 8 základních logických grupování, z nichž a/ 1.-4. jsou aditivní a 5.-8. multiplikativní b/ prvé se týkají tříd a druhé vztahů, c/ jedny se rozvíjejí ve spoluzahrnování, řazení, jednoduchých korespondencích /1.,2. a 5.,6./ a druhé v reciprocitách a korespondencích mnohoznačných /3.,4. a 7.,8./. Tato trojice kritérií a/-c/ dává 2x2x2=8 možností. (Piaget, 1966, s. 42-46) B. Druhý soubor grupování. Inteligence neoperuje jen s předměty /sjednocování do tříd, řazení, počítání atp./, ale konstruuje předmět jako takový, z čehož plyne nutnost rozkladu a opětovného skladu předmětu.
15 Operace infralogické kombinují předměty považované za neměnné, jsou paralelní s logickými operacemi a vznikají z nich po celé období dětství pojmy prostoru a času. 1. Začleňování tříd odpovídá začleňování sjednocených částí v hierarchické totality, přičemž posledním článkem je celý objekt. Jde o tzv. partitivní sčítání. 2. Řazení asymetrických vztahů odpovídají operace umísťování v prostoru a čase a kvalitativní přemísťování /změny uspořádání/. 3. a 4. Substituce a symetrické vztahy prostorově časové odpovídají substitucím a symetriím logickým. 5. až 8. Multiplikativní operace kombinují předcházející operace podle několika soustav nebo dimenzí. (Piaget,1966, s. 42-46) C. Třetí soustava grupování. Zahrnuje operace s hodnotami, tedy operace vyjadřující souvislosti mezi prostředky a cíli, které mají značný význam v praktické inteligenci /jde i o ekonomickou hodnotu/. Soubor operačních soustav I.-III. můžeme vyjádřit i v podobě jednoduchých výroků, které jsou základem výrokové logiky zakládající se na implikacích a neslučitelnostech mezi výrokovými funkcemi. (Piaget, 1966, s. 42-46) 1.4. Vnímání, zvyk a senzomotorická inteligence Vnímání chápeme jako poznávání předmětů nebo jejich pohybů na základě přímého styku, k němuž dochází v daném okamžiku. Srovnáme-li s myšlením, pak to je poznávání, ke kterému dochází, když zasahují okliky a zvětšují se prostorově časové vzdálenosti mezi objektem a subjektem. (Piaget, 1966, s. 49)
16 Při zkoumání vnímání a srovnávání s operačními strukturami Piaget využívá známé geometrické klamy a variuje příslušné činitele. Jeho výsledky jsou jednoznačné - žádná z pěti výše uváděných podmínek grupování není realizována na úrovni vjemových struktur. Vjemové vztahy jsou tedy nezvratné, neasociativní, neaditivní, netranzitivní, neidentické. (Piaget, 1966, s. 61-63) Zvyk na rozdíl od inteligence je nezvratný, obrátíme-li zvyk, vznikne zvyk nový. Inverzní operace myšlení je ale psychologicky pochopena současně s operací přímou. Do vjemové činnosti a do zrodu zvyků ale zasahuje už organizující asimilace, která nakonec vyústí v rozumové operace. (Piaget, 1966, s.79-80) Období, které předchází vzniku řeči nazýváme obdobím senzomotorickým. Dítěti v této fázi vývoje /do 1,5-2 let věku/ chybí myšlení a citový život vázaný na představy, které by umožňovaly zpřítomnit předměty nebo osoby v jejich nepřítomnosti. Vypracovává se ale soubor poznávacích struktur, které jsou východiskem pozdějších vjemových a intelektuálních konstrukcí a podobně se vypracovávají elementární citové reakce, které částečně určují budoucí citový vývoj dítěte. Senzomotorická inteligence je v zásadě praktická, řešící některé problémy činností. V podstatě jde už o složitou soustavu asimilačních schémat a organizování skutečnosti s využitím množiny časoprostorových a příčinných struktur. Tyto konstrukce vychází z vjemů a pohybů, chybí řeč a symbolická funkce. (Piaget, Inhelderová, 1970, s.15-17) Ve vývoji senzomotorické inteligence rozlišuje Piaget 6.stadií. 1.stadium - podstatné jsou reflexy, které neodumírají ani nezůstávají neměnné, ale rozvíjí se učením /např.palmární reflex u novorozenců, později uchopování/.
17 2. stadium - vytvářejí se první zvyky buď jako výsledek činnosti subjektu nebo se zdají být vyvolány zvnějšku, z hlediska subjektu ale nejsou rozlišeny prostředky a cíle. 3. stadium - okolo 4,5 měsíce věku dítěte, objevuje se koordinace mezi viděním a uchopováním a první náznaky rozlišení cíle od prostředku. 4. stadium - dítě si již nejprve vybírá cíl nezávisle na prostředcích, které k dosažení použije /např. chce-li získat předmět který je příliš vzdálený, uchopí ruku dospělého a vede ji směrem k žádanému předmětu/. 5. stadium - okolo 11-12 měsíce věku, je typické hledáním nových prostředků na základě diferenciace již známých schémat /např. položíme předmět na pokrývku mimo dosah dítěte, dítě poté, co se marně snaží dosáhnout na něj přímo zatahá náhodou za cíp pokrývky, objeví vztah mezi pohybem pokrývky a předmětu a nakonec předmět přitáhne tak, že přitahuje pokrývku/. 6. stadium - dítě je již schopno nalézt nové prostředky nejen vnějším či materiálním tápáním, ale zvnitřněnými kombinacemi, které vyúsťují v náhlé porozumění čili vhled. Začíná se objevovat už i představa, dítě je schopno napodobovat s časovým odstupem, i když nevnímá předlohu /např. dítě dostane pootevřenou krabičku od zápalek, v níž je skryta kostka, nejprve se snaží krabičku otevřít materiálním tápáním, pak zkoumá situaci, nachází řešení-vstrčí prst do štěrbiny a krabičku otevře/. (Piaget, Inhelderová, 1970, s.17-21) Inteligence organizuje činnost tak, že vytváří během svého vývoje hlavní kategorie činnosti, jako je schéma trvalého předmětu - schéma prostoru, času a příčinnosti. Na reflexní úrovni předměty neexistují, reflex je odezvou na situaci. Ve stadiu 3. se objevuje předpoklad alespoň dočasného zachování předmětu a až ve 4.stadiu již dítě začíná hledat skrytý předmět, který je ale stále spojen s celostní situací a dojde-li k jeho přemístění, bude jej dítě hledat na původním místě. V 5.stadiu již dítě hledá předmět podle toho, jak je přemísťován. V 6.stadiu odvozuje své jednání z předchozích a kombinuje. (Piaget, Inhelderová, 1970, s.21-25) Je tedy zjevné, že od původního úplného a nevědomého egocentrismu směřuje vývoj dítěte k celkové decentraci, kdy samo sebe umísťuje jako objekt mezi jiné objekty do světa složeného z trvalých předmětů. (Piaget, Inhelderová, 1970, s.26)
18 1.5. Úrovně operačního myšlení Na úrovni operačního myšlení dochází k rekonstrukcím na nové úrovni a hlavními podmínkami přechodu na vyšší úroveň jsou: 1. zvýšení rychlosti /znalosti vázané na postupné fáze činnosti splynou v současný celek/ 2. uvědomění si nejen výsledků činností, ale také vlastních postupů 3. násobení vzdáleností /činnosti se skutečnými věcmi přejdou v symbolické, představy/ (Piaget, 1966, s. 104) Zjednodušeně můžeme vyčlenit čtyři základní etapy v utváření operací: 1. Období vývoje symbolického a předpojmového myšlení /nástup symbolické funkce a řeči/, asi od 2 let do 4 let věku 2. Myšlení názorné, asi od 4 let do 8 let věku 3. Organizování konkrétních operací /operační grupování myšlení, které se týká předmětů, s nimiž lze manipulovat nebo si je představit/, asi od 8 let do 12 let věku 4. Myšlení formální /vyspělá reflexivní inteligence/, asi od 12 let a během adolescence. (Piaget, 1966, s.105-106) 1.5.1. Myšlení symbolické a předpojmové Již ke konci senzomotorického období se objevuje u dítěte schopnost představovat si něco /předmět, událost atp./ prostřednictvím něčeho jiného, co "označuje" a co slouží jen této představě. (Piaget, Inhelderová, 1970, s.46) Jde o základní funkci pro vývoj pozdějšího jednání - funkci symbolickou /sémiotickou/. Nástroji této funkce jsou : 1. symboly - motivované, v něčem se podobají tomu, co označují, 2. znaky - jsou konvenční, libovolné. Symboly si tedy jedinec může utvářet sám, znaky jsou však kolektivní. (Piaget, Inhelderová, 1970, s.49)
19 Základní druhy jednání vznikající takřka současně: 1. Oddálená nápodoba /dochází k ní v nepřítomnosti předlohy, je stále ještě víceméně čistou akomodací/ 2. Symbolická hra /zahrnuje adaptaci skutečnosti i asimilaci této skutečnosti k sobě samému/ 3. Kresba /je realistická, nejprve dítě kreslí to co ví o osobě či předmětu a teprve později to, co na nich vidí/ 4. Obrazná představa /vzniká ze zvnitřněné nápodoby, kategorie reprodukční-již známé a dříve pozorované jevy a kategorie anticipační-zobrazují pohyby nebo transformace a jejich výsledky, i když nebyla přímá účast na jejich realizaci/ 5. Řeč /dovoluje slovní vybavování událostí, které právě neprobíhají, znásobuje rychlost a rozsah myšlení, jazyk ovšem není zdrojem logiky, ale je logikou strukturován, kořeny logiky je třeba hledat v obecné koordinaci činností a to již na senzomotorické úrovni/. (Piaget, Inhelderová, 1970, s. 47-48) 1.5.2. Myšlení názorné Jde o polosymbolickou formu myšlení. Dítě kontroluje soudy názornými regulacemi, které v představové rovině připomínají to, čím jsou vjemové regulace v rovině senzomotorické. Dítě má vytvořen obrysový pojem zachování jednoho předmětu, ale nikoli zachování množiny předmětů. Naplníme-li dvě sklenice A1 a A2 stejného tvaru a týchž rozměrů stejným počtem korálků a korály ze sklenice A2 přesypeme do sklenice B odlišného tvaru, dítě soudí, že množství korálků se změnilo, přestože nic nebylo ubráno ani přidáno. (Piaget, 1966, s.111) V tomto vývojovém stadiu ještě neexistuje logická relace ekvivalence /důsledek operací/, pokud pozměníme názorné schéma, dítě ekvivalenci již neuzná. Názorně myslící dítě narazí také na překážky při spoluzahrnování tříd nebo řazení asymetrických relací.
20 Postupná je i decentrace od egocentrické perspektivy. Obrácení vztahů "vpředu-vzadu", "vpravo-vlevo" je zpočátku nedostupné, děti se učí tyto vztahy obracet názornými regulacemi jen pozvolna až do věku asi 8 let. Pojetí časových relací u dítěte je takové, že názorný čas se váže na konkrétní pohyby a předměty, není homogenní a neplyne rovnoměrně. Pojmy "před" a "za" hodnotí podle prostorové, ne podle časové následnosti a nesjednocuje místní časy v jeden čas. Podobné jsou i představy dětí názorně myslících o věku. /Jestliže A se narodil před B, neznamená to, že by byl starší, a pokud je starší, nevylučuje to, že B ho ve věku dostihne či předstihne!/ Názorné myšlení je tedy vlastně činností prováděnou v představě. Činnost vyjádřená v jednoduché obrazné skutečnosti zůstává jednosměrná, dítě nedospívá ke zvratnosti. (Piaget, 1966, s. 113-118) 1.5.3. Konkrétní operace Vrátíme-li se k pokusu z předchozího oddílu, můžeme konstatovat, že 8 leté dítě již nepotřebuje uvažovat o tom, zda přesypáním korálků do jiné nádoby se změnilo jejich množství či nikoli. Přímo říká že ne a odůvodňuje tím, že jsme nic neubrali ani nepřidali. Rovněž správně tvrdí, že nová sklenice získala na výšce, co ztratila na šířce. (Piaget, 1966, s.120) Pohyblivá rovnováha se utváří, pokud současně probíhají tyto transformace: 1.dvě činnosti, které následují za sebou se mohou koordinovat v činnost jedinou /skládání/ 2.schémata činnosti, která se uplatňovala už v názorném myšlení, se stanou zvratná /zvratnost/ 3.k témuž bodu lze dospět a přitom ho neporušit dvěma různými cestami /asociativnost/ 4.je možno se vrátit k výchozímu bodu, který zůstává stále totožný sám se sebou /obecná identická operace/ 5.když se stejná činnost opakuje, buď sama nepřidává nic nového, nebo je to činnost nová a něco nového se přidává /logická tautologie nebo číselná iterace/.
(Piaget, 1966, s.121) 21 Transformace jsou vlastně projevem naprosté decentrace, kdy myšlení se už neupoutává na zvláštní stavy předmětu, ale sleduje transformace samotné a jejich okliky a návraty. Grupování poprvé uskutečňuje rovnováhu mezi asimilací věcí k činnosti subjektu a akomodací subjektivních schémat k měnícím se věcem. (Piaget, 1966, s. 122) Zatímco se vytvářejí třídy, relace a čísla, paralelně se utváří kvalitativní grupování, z nichž vzniká prostor a čas. Kolem 8 roku se relace časového uspořádání "dřívepozději" koordinují se subjektivním trváním "více-méně dlouho", tedy utváří se obrysový pojem času. Rovněž se vytváří operace strukturující prostor - uspořádání prostorové následnosti, začleňování intervalů nebo vzdáleností, zachování délek, povrchů, vypracování soustavy souřadnic, perspektivy atd. Toto grupování však stále ještě nevytváří formální logiku. Děti v této fázi vývoje myšlení nedovedou výše zmíněných operací použít, jakmile přestanou manipulovat s předměty a jsou vyzvány, aby usuzovaly v jednoduchých slovních výrocích. Zvládají tedy jen konkrétní operace, nikoli operace formální. Konkrétní operace jsou tedy vázány na činnost, logicky ji strukturují zároveň se slovy, která doprovázejí činnost, ale nezahrnují v sobě možnost konstruovat logickou úvahu nezávisle na činnosti. (Piaget, 1966, s. 124-125) 1.5.4. Formální operace Reflexívní myšlení začíná asi ve 12 letech, jakmile je dítě schopno hypoteticko-deduktivního usuzování o předpokladech, které nutně nesouvisí se skutečností a spoléhá se nikoli na závěry ze zkušeností, ale na
důslednost samotného usuzování. 22 Jestliže na vývojové úrovni konkrétních operací je úsudek o skutečnosti závislý na grupování operací zvnitřněných činností, pak u formálních operací jde o odrážení těchto operací, čili operování s operacemi a jejich výsledky. Jinak řečeno - grupování operací na druhou. Dítě je schopno vycházet ze slovních hypotéz a závěr hledá bez ohledu na konkrétní operace. Příkladem je řešení úloh typu: Edita je světlejší než Zuzana, Edita je tmavší než Lili: Která je nejtmavší ze všech tří dívek? Formální operace jsou tedy strukturou konečné rovnováhy, k níž směřovaly konkrétní operace. (Piaget, 1966, s.126-128) 1.6. Společenské faktory rozumového vývoje a socializace individuální inteligence Společenský život působí na inteligenci: 1. prostřednictvím jazyka /znaků/ 2. obsahem styků /individuálních hodnot/ 3. prostřednictvím pravidel ukládaných myšlením /kolektivní, logické či prelogické normy/. (Piaget, 1966, s.133) V senzomotorickém období se z hlediska dítěte společenské prostředí podstatně neodlišuje od fyzikálního, a to až do 5.stadia. V období symbolickém a názorném se objevují nové, obohacující sociální vztahy. Názorné myšlení je spojeno se zkreslujícím egocentrismem, vztah je závislý na činnosti dítěte. Myšlení v tomto vývojovém stadiu kopíruje a napodobuje skutečnost, dítě je přístupné tlaku okolí. Ale tlak prostředí nemůže v duchu dítěte vytvořit logiku. Je třeba vztahu reciprocity mezi jedincem a okolím k vytváření schopnosti logického usuzování. Jak je zřejmé, na předoperačních úrovních struktury rodícího se myšlení neumožňují vytváření společenských vztahů
spolupráce, které vedou k vývoji logiky. Teprve na operační úrovni se formuje skutečná logika a nabývá na významu spolupráce. 23 Vnitřní operační činnost a vnější spolupráci tedy chápeme jako dva doplňující se aspekty jednoho a téhož celku. (Piaget, 1966, s. 134-139) 1.7. Vyvození závěrů pro výuku: Piagetova psychologie je východiskem konstruktivistického pojetí výuky a jak v úvodu uvádím, měla by být základem jakékoli výuky vedoucí k rozvíjení myšlení žáka, nikoli pouze k pamětnímu osvojování učiva a memorování takto osvojených informací, které jsou pak stejně brzo zapomenuty... Proto ji rozvádím detailněji, než bývá obvyklé, nevynechávám ani teorii grupování, neboť jak je ostatně u druhé a třetí soustavy grupování výslovně uvedeno, je tato teorie podkladem pro chápání toho, jak se utvářejí pojmy prostoru, času a hodnot.vycházejí z ní další psychologové a pedagogové, např. Jiránek, Vyskočilová, ad. jejichž práce rovněž dále využívám jako podkladu pro svou výuku. Podrobně jsem rozvedla i klasifikaci jednotlivých období vývoje inteligence, nejpodstatnějším oddílem, z něhož by vlastně měly obecně vycházet zásady pro výuku na 1. stupni ZŠ je oddíl 1.5.2. Myšlení názorné a oddíl 1.5.3. Konkrétní operace, neboť žáci, s nimiž učitel 1. st. ZŠ pracuje, se nacházejí právě na této vývojové úrovni. Pro mne byl pak směrodatný zejm. oddíl 3., neboť probírané učivo jsem na základě faktů zde uvedených musela přizpůsobit možnostem myšlení žáků tohoto věku a této úrovně.