Dualita& poptávka Jan Čadil FNH VŠE

Dualita& poptávka Jan Čadil FNH VŠE Footer Text 3/24/2014 1

Podstata problému duality Předchozí přístup k optimalizaci předpokládal maximalizaci spotřebitel zná své omezení (rozpočet) a snaží se dosáhnout na kombinaci, se kterou maximalizuje užitek Duální problém spotřebitel může znát koš (užitek) kterého chce dosáhnout. Pro optimalizaci potom minimalizuje výdaje na tento koš. Dualita je v zásadě jen jiný pohled na optimalizaci ale logika je stejná (a tedy i algebra je podobná). Footer Text 3/24/2014 2

Schéma duální řešení optima Footer Text 3/24/2014 3

Nepřímá funkce užitku Substitucí poptávek do funkce užitku získáme tzv. nepřímou fci užitku jako U = f(i, p1, p2) Tato funkce ukazuje maximální dosažitelný užitek za daného důchodu a cen Příklad: spočtěte nepřímou fci užitku, pokud znáte U = (x1)(x2) Řešení: V = I 2 (p1)(p2) Footer Text 3/24/2014 4

Odvození kompenzované poptávky Výsledkem optimalizace při daném užitku a minimalizaci výdajů je Hickovská nebo též kompenzovaná poptávka, kdy x 1c = f U, p 1, p 2 Příklad: Odvoďte Hickovskou poptávku za daného užitku U = (x1)(x2) Řešení: x1 c = U (p2) (p1) Footer Text 3/24/2014 5

Výdajová funkce Výdajovou funkci potom získáme tak, že substituujeme do rozpočtového omezení Příklad: získejte výdajovou fci z předchozí kompenzované poptávky Řešení: E = 2U (p1)(p2) Footer Text 3/24/2014 6

Vztahy v dualitě Nepřímá fce užitku a výdajová fce jsou inverzní Sheppardova Lemma derivací výdajové fce podle ceny se dostaneme zpět k Hickovské poptávce δ(e) = x δ(p1) 1 = f U, p 1, p 2 Také můžeme říci, že I=E; U=V a (x1)c=(x1)d Footer Text 3/24/2014 7

Vztahy v dualitě Royova identita z nepřímé fce užitku se dostaneme zpět k Marshallovské poptávce V = f I, p1, p2 = f E U, p1, p2, p1, p2 Diferenciací podle p1 a I, resp. E při dv=0 (tedy užitek je konstantní) dostaneme δv + δv δe δ(e) = 0 Vzhledem k tomu, že = x δ(p1) δe δ(p1) δ(p1) 1c a x 1c = x 1d musí platit x 1d = δv δ(p1) δv δe Footer Text 3/24/2014 8

Slutského rovnice Vrátíme se zpět k důchodovému a substitučnímu efektu dle Slutského (kapitola Substituční a důchodový efekt) Obecně sledujeme reakci poptávky na změnu ceny. Platí tyto identity x 1c = f U, p 1, p 2 = x 1d = f I, p 1, p 2 = f E U, p 1, p 2, p 1, p 2 Sheppard = x1 d(x 1c ) = df(e,p 1,p 2 ) d(p 1 ) d(p 1 ) + df(e,p 1,p 2 ) de df(e,p 1,p 2 ) d(p 1 ) Nekompenzovaná poptávka, reakce na cenu Footer Text 3/24/2014 9

Slutského rovnice Tedy celkovou reakci lze vyjádřit takto d(x 1d ) = d(x 1c) d(x 1c) (x d(p 1 ) d(p 1 ) d I 1 ) Substituční efekt Důchodový efekt CD funkce U = (x1)(x2) I=100, p1=10, p2=20. Spočtěte Slutského substituční a důchodový efekt v případě, že cena p1 klesne na 5. Použijte rozklad výše. Footer Text 3/24/2014 10

Cenová elasticita substituce (substitution price elasticity) Vychází se Slutského rovnice, resp. Hicksovy kompenzované poptávky, kdy ukazuje pružnost kompenzované poptávky na změnu ceny e S pd(1) = d(x1 c) d(p1) (p1) (x1 c ) Footer Text 3/24/2014 11

Vztahy mezi elasticitami Vážený součet důchodových elasticit je roven 1 I = p1 x1 + p2 x2 di I = d x1 I (p1)(x1) I p1 + d(x1) di d x2 I (p2) I + (p2)(x2) d(x2) (x1) I di s 1 e id(1) + s 2 e id(2) = 1 I (x2) = 1 Footer Text 3/24/2014 12

Vztahy mezi elasticitami Cenová elasticita poptávky může být rozdělena mezi cenovou elasticitu substituce a důchodovou elasticitu alá Slutský. Ze Slutského rovnice dostaneme d(x 1d ) = d(x 1c) d(x 1c) (x d(p 1 ) d(p 1 ) d I 1 ) d(x 1d) d(p 1 ) Po úpravě: (p 1 ) = d(x 1c) (x 1d ) d(p 1 ) (p 1 ) d(x 1c) (x 1d ) d I p 1 e pd(1) = e S pd 1 s 1 e id(1) Footer Text 3/24/2014 13

Vztahy mezi elasticitami Využití Eulerova theorému pro homogenní funkce: f tx 1,, tx i = t k f x 1,., x i kde k je stupeň homogenity. Po diferenciaci podle t získáme δf(tx x 1,,tx i ) δf tx 1 dt + x 1,,tx i δ(tx 1 ) i δ(tx i ) Položíme t=1 a získáme dt = kt k 1 f x 1,.., x i dt x 1 f x 1,, x i +. +x n f x 1,, x i = kf x 1,.., x i Za předpokladu homogenity poptávky stupně 0 potom přes Eulerův theorém: δ x1 δ p1 (p1) + δ x1 δ p2 Po úpravě: p2 + δ x1 δ I e id(1) + e pd(1) + e cd(1) = 0 I = 0 Footer Text 3/24/2014 14

Inverzní poptávka Poměrně často nachází využití tzv. inverzní funkce poptávky (zejm. grafy),kdy inverzní funkci poptávky získáme z poptávkové funkce vyjádřením ceny p1 = f(x 1, I, p2 ) Footer Text 3/24/2014 15

Od individuální k tržní poptávce Tržní poptávka je v zásadě součet individuálních poptávek Obvykle předpokládáme značná zjednodušení (identičtí spotřebitelé). Potom X 1D = n i=1 f (I i, p 1 i, p 2 i ) = n n i=1 f (I, p 1 i, p 2 i ) Footer Text 3/24/2014 16

Elasticita tržní poptávky Bylo již částečně vysvětleno v kapitole věnované optimalizaci a v bakalářském kurzu Vše lze aplikovat i na tržní poptávku (předpoklad identické reakce všech spotřebitelů) Dokonale elastická a dokonale neelastická tržní poptávka Vývoj epd podél křivky poptávky (roste směrem dolů) Vývoj tržeb na základě epd a změny ceny Footer Text 3/24/2014 17

Příklady Užitková funkce je dána jako U = (x1) 0,4 (x2) 0,4. Jaká je nepřímá funkce užitku? A) V = B) V = C) V = D) V = I 2 E) V = I 2 I 2 3 (p1)(p2) I 0,4 0,4 [ p1 p2 ] 0,4 I 0,4 0,4 [ p1 p2 ] 0,8 0,8 0,4 1 [ p1 p2 ] 0,4 1 [ p1 p2 ] 0,8 Footer Text 3/24/2014 18

Příklady Je dána funkce užitku jako U = x1 + (x2). Jaká je v tomto případě funkce kompenzované poptávky? A) x c = 2U p1 p2 B) x c = 0,5U 2 p1 p2 C) x c = U (p1) 2(p2) D)x c = U 2(p1) (p2) E) x c = U (p1) (p2) Footer Text 3/24/2014 19

Příklady Je dána funkce užitku jako U = x1 + 2 (x2). Určete výdajovou funkci. A) E = U 2p1 p2 B) E = p 1 U p1 + p2 p2 C) E = p 1 2U p2 + p1 p1 D) E = p 2 U 2 p1 + p2 p2 E) E = p 2 0,5U p1 + p2 p2 Footer Text 3/24/2014 20

Příklady Michal má důchodovou elasticitu poptávky po benzínu 0,4. Jeho cenová elasticita poptávky po benzínu je -0,3. Na benzín vynakládá 10% rozpočtu. Jaká je jeho cenová elasticita substituce benzínu? A) -0,26 B) -0,34 C) 0,20 D) -0,12 E) 0,36 Footer Text 3/24/2014 21

Příklady Barbora spotřebovává pouze žvýkačky a bonbóny. Důchodová elasticita žvýkaček je 0,4 a tvoří polovinu jejích výdajů. Jaká je důchodová elasticita bonbónů? A) 10 B) 0,5 C) 12 D) 1,2 E) 1,6 Footer Text 3/24/2014 22

Příklady Poptávková funkce má předpis x1 = 190 0,2 p1. Inverzní poptávková funkce má potom předpis A) p 1 = 190 2(x1) B) p 1 = 950 5 x1 C) p 1 = 190 5 x1 D) p 1 = 190 5 x1 E) p 1 = 190 0,2(x1) 1 Footer Text 3/24/2014 23

Příklady Pokud je tržní poptávka po statku y definována jako y = 0,5I 3p kde p je cena statku y a I=1000, p=100, co z hlediska prodejce vyvolá snížení ceny? A) tržby poklesnou B) tržby vzrostou C) tržby se nezmění D) je třeba znát funkci nabídky pro rozhodnutí E) žádná z možností Footer Text 3/24/2014 24

Příklady Lenka má následující poptávkovou funkci x1 = 20 2 p1. Jaká je její cenová elasticita poptávky, pokud p(1)=3? A) -6/14 B) -2/20 C) -2 D) -14/6 E) -6/20 Footer Text 3/24/2014 25

Příklady Honza, Ondra a Tomáš nakupují karibský rum. Honzova poptávka je dána jako x h = 520 13p, Ondrova jako x o = 40 p a Tomášova jako x t = 200 5p. Dohromady představují celkovou poptávku po karibském rumu v regionu. Jaká by musela být cena rumu, aby byla cenová elasticita tržní poptávky =-1? A) 19 B) 20 C) 25 D) 15 E) 35 Footer Text 3/24/2014 26

Příklady Tržní poptávka po telefonické asistenční službě je popsána jako q = 1000 150p + 35I kde q je počet poptávaných jednotek služby, p je cena služby =40 a I je průměrný důchod spotřebitele = 700. Důchodová elasticita poptávky potom je rovna A) 3,5 B) 4 C) 1 D) 2,8 E) 1,26 Footer Text 3/24/2014 27

Příklady Cenová elasticita poptávky po cigaretách byla odhadnuta na -0,5. O kolik by se musela zvýšit cena cigaret, pokud bychom chtěli snížit kouření o 50%? Předpokládejme průměrnou cenu balíčku 70 Kč. A) o 140 Kč B) o 35 Kč C) o 105 Kč D) o 70 Kč E) nelze rozhodnout Footer Text 3/24/2014 28