4. Aplikace matematiky v ekonomii

Transkript

1 4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d = 30 2p. Množství nabízené je ovlivněnou cenou na základě vztahu q s = 2+2p, kde q d, resp. q s je nabízené, resp. poptávané množství v kusech, p je cena v Kč za kus. Určeme rovnovážnou cenu zboží z. 2) Určete rovnovážné ceny na trhu více statků, je-li (p i jsou v Kč/ks, q id, q is v kusech, i = 1, 2, 3) a) pro první statek poptávka dána funkcí q 1d = 100 5p 1 + 3p 2, nabídka dána funkcí q 1s = 2p 1 10, pro druhý statek poptávka dána funkcí q 2d = 120 8p 2 + 2p 1, nabídka dána funkcí q 2s = 5p 2 20, b) pro první statek poptávka dána funkcí q 1d = 20 p 1 p 3, nabídka dána funkcí q 1s = p 1 10, pro druhý statek poptávka dána funkcí q 2d = 40 2p 2 p 3, nabídka dána funkcí q 2s = 2p 2, pro třetí statek poptávka dána funkcí q 3d = 10 + p 2 p 3 p 1, nabídka dána funkcí q 3s = 3p 3 5.

2 2 3) Ekonomika malého státu produkuje dva statky a, b. Na výrobu jedné tuny a je třeba 0, 5 t a a 0, 5 t b, na výrobu jedné tuny b je třeba 0, 1 t a. Kolik je třeba produkovat ročně statku a a b, pokud roční spotřeba činí 9 t statku a a 18 t statku b? a) Jakou metodu užijete, mění-li se každý rok pouze spotřeba? b) Jakou metodu užijete pro výpočet jedné neznámé? 4) Určete rovnovážnou úrokovou sazbu a úroveň důchodu, je-li křivka IS dána předpisem i = 7 2Y a křivka LM předpisem i = 5 + 4Y, Algebra matic 1) Spotřební koš je vektor množství jednotlivých komponent q. Mějme vektor cen p. Celková cena spotřebního koše je pak rovna skalárnímu součinu obou vektorů: p q. 2) Uvažujme skupinu výrobců A 1,..., A n. Položíme a ij = 1, jestliže výrobce A i může dodávat zboží výrobci A j, a pokud ne, položíme a ij = 0 (navíc pokládáme a ii = 0 pro všechna i = 1,..., n).

3 Uspořádáme-li tyto prvky do čtvercové matice A, obdržíme tzv. incidenční matici: A = Prvek (a 2 ) ij matice A 2 udává počet způsobů, jak může výrobce A i dodat zboží výrobci A j ve dvou krocích: A 2 = A A = Podobně prvek (a 3 ) ij matice A 3 udává počet způsobů, jak může výrobce A i dodat zboží výrobci A j ve třech krocích: A 3 = A A =, odtud např. (a 3 ) 32 = 2. Jsou tedy dvě možnosti, jak může výrobce A 3 dodat zboží výrobci A 2 ve třech krocích: A 3 A 4 A 4 A 1 A 1 A 2 a A 3 A 1 A 1 A 4 A 4 A 2. 3

4 4 Obecně je počet způsobů, jak doručit zboží od výrobce A i k výrobci A j v nejvýše k krocích dán prvkem v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A + A 2 + A A k. Tedy z matice A + A 2 + A 3 = plyne, že jsou čtyři možnosti, jak může výrobce A 3 dodat zboží výrobci A 2 v nanejvýš třech krocích. 3) V teorii markovských řetězcůse pracuje s tzv. maticemi pravděpodobností přechodu. Matice přechodu typu P k k popisuje systém (např. ekonomický), který se může nacházet v k stavech. Prvek a ij matice pak udává pravděpodobnost, že systém přejde ze stavu j do stavu i, tj. podmíněnou pravděpodobnost, že systém je v daném okamžiku n ve stavu i, za předpokladu, že v předchozím okamžiku n 1 byl ve stavu j. Pokud vynásobíme matici přechodu sloupcovým vektorem neboli maticí typu k 1 vstupních dat x n v okamžiku n (pokud je chápeme jako pravděpodobnosti, hovoříme o vektoru absolutních pravděpodobností), je výsledkem sloupcový vektor (pravděpodobných) výstupních dat v okamžiku n + 1; dalším násobením zjistíme (pravděpodobný) stav systému v okamžiku n + 2 atd.:

5 5 Uvažujme obyvatele jistého státu. Výzkum prováděný v pravidelných ročních intervalech ukázal, že 10 % obyvatel se přestěhuje z měst na venkov a 8 % obyvatel z venkova do měst. Výchozí stav obyvatel ve městech je 30 miliónů, na venkově 15 miliónů. Stanovme, jak budou vypadat odhady počtu obyvatel ve městech a na venkově po a) 1 roce, b) 2 letech, c) n letech. Funkce více proměnných 1) Mezní produkt práce MP L nebo kapitálu MP K je parciální derivací produkční funkce Q = Q(K, L) podle množství práce L, resp. kapitálu K: MP K = K Q, MP L = L Q, mezní výnos (příjem z mezního produktu) z výrobního faktoru MRP je parciální derivace funkce celkových příjmů z produkce T R = T R(K, L) podle jednoho z faktorů, kapitálu nebo práce: MRP K = K T R, MRP L = L T R,

6 6 mezní náklady na výrobní faktor je parciální derivace funkce celkových nákladů T C = T C(K, L) podle jednoho z faktorů, kapitálu nebo práce: MF C K = K T C, MF C L = L T C. Stanovte mezní produkt kapitálu a práce pro zadané hodnoty kapitálu K a práce L, je-li produkční funkce dána předpisem Q = 3KL 2, K = 6, L = 5. Stanovte mezní výnos kapitálu a práce pro zadané hodnoty kapitálu K a práce L, je-li celkový příjem dán předpisem T R = 2, 4KL 2, K = 10, L = 6. Stanovte mezní náklady kapitálu a práce, je-li nákladová funkce dána předpisem T C = 150K + 100L. 9) Určete množství práce a kapitálu, při kterých firma maximalizuje zisk, je-li produkční funkce dána předpisem Q = K 1 2 L 1 4, cena jednoho výrobku je p = 200 Kč, mzdová sazba (cena jednotky práce) je w = 100 Kč za hodinu, nájem z použitého kapitálu je r = 25 Kč za hodinu. 10) Určete maximální hodnotu užitkové funkce U a množství výrobků X, Y, pro které toto maximum nastává, je-li užitková funkce dána předpisem U = 6X X 2 + 2Y Y

7 11) Poptávková funkce vyjadřuje závislost množství statku poptávaného spotřebitelem na ceně statku, ceně ostatních statků a důchodu (příjmu) spotřebitele. Pro jednoduchost předpokládejme trh právě dvou statků. Mějme předpisy poptávkových funkcí po prvním statku D 1 (P 1, P 2, I) a druhém statku D 2 (P 1, P 2, I), kde P 1 je cena prvního, P 2 druhého statku, I je důchod spotřebitele. Důchodová elasticita poptávky D 1 je definována E I D = ID 1 D 1 = I ID 1. I D 1 Pokud vyjdeme z definice derivace jako limity relativních přírůstků, můžeme psát E I D = I D 1 I D 1 = I D 1 lim I 0 D 1 I = lim I 0 D 1 D 1 I I Důchodová elasticita poptávky udává, o kolik procent se změní poptávané množství prvního statku, změní-li se důchod spotřebitele o jedno procento. Pro normální statky je E I D > 0, pro méněcenné statky je E I D < 0. Pro nezbytné statky je 0 < E I D < 1, pro luxusní statky je E I D > 1. Cenová elasticita poptávky D 1 je definována E P D = P 1 D 1 P1D 1 D 1 = P 1. D P

8 8 Cenová elasticita poptávky udává, o kolik procent se změní poptávané množství prvního statku, změní-li se jeho cena o jedno procento. Cenová elasticita poptávky je obvykle záporná. Pokud E P D < 1, říkáme, že poptávka je elastická, pokud E P D > 1, říkáme, že poptávka je neelastická, pokud E P D = 1, říkáme, že poptávka je jednotkově elastická. Křížová elasticita poptávky D 1 je definována E C D = P 2 D 1 P2D 1 D 1 = P 2. D P 1 2 Křížová elasticita poptávky udává, o kolik procent se změní poptávané množství prvního statku, změní-li se cena druhého statku o jedno procento. Pokud P2 D 1 > 0, jde o tzv. substituty a E C D > 0, pokud P2 D 1 < 0, jde o tzv. komlementy a E C D < 0. Pro součet důchodové, cenové a křížové elasticity poptávky platí E I D + E P D + E C D = 0. Určeme důchodovou, cenovou a křížovou elasticitu poptávky, je-li poptávka po prvním statku dána předpisem D 1 = , 5I 0, 2P 1 + 1, 4P 2, pokud P 1 = 70, P 2 = 5, I = 14. Je první statek normální, méněcenný, luxusní, nezbytný? Je poptávka elastická? Jsou uvažované dva statky substituty nebo komplementy?

9 12) Lineární regrese. Při zkoumání dvou veličin X a Y můžeme někdy konstatovat, že naměřená data vykazují znaky přibližné funkční závislosti veličiny Y na veličině X. Např. můžeme sledovat, že produkce Y určité firmy je přibližně lineárně závislá na velikosti vloženého kapitálu X: pokud označíme x 1, x 2,..., x n hodnotu vloženého kapitálu vždy na počátku určitého období (týdne, měsíce či roku) a hodnoty produkce firmy y 1, y 2,..., y n vždy na konci tohoto období, pak body [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ],... [x n, y n ] budou kolísat kolem určité přímky. Hovoříme pak o lineární regresi. Teoretickou lineární regresní funkci označujeme η = β 0 + β 1 x; podle naměřených hodnot [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ],... [x n, y n ] pak stanovíme odhady b 1, b 2 parametrů β 0, β 1 tak, aby přímka y = b 0 + b 1 x co nejlépe vystihovala tuto lineární závislost. Hovoříme o vyrovnání bodů přímkou. To se dá docílit např. tím, že součet druhých mocnin (čtverců) vzdáleností bodů [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ],... [x n, y n ] od odpovídajících bodů [x 1, Y 1 ], [x 2, Y 2 ],... [x n, Y n ] na této přímce (tj. Y i = b 0 + b 1 x i, i = 1,..., n) bude co n nejmenší; přitom platí (b 0 + b 1 x i y i ) = 0. 9

10 10 Odtud název metody metoda nejmenších čtverců. Minimalizujeme f(b 0, b 1 ) = n (b 0 + b 1 x i y i ) 2. Určíme podezřelé body: f b 0 (b 0, b 1 ) = 2 f b 1 (b 0, b 1 ) = 2 n (b 0 + b 1 x i y i ) 1 = 0, n (b 0 + b 1 x i y i ) x i = 0; po úpravě dostaneme soustavu (S) o neznámých b 0, b 1 : n n b 0 n +b 1 x i = y i, n b 0 x i +b 1 n x 2 i = n x i y i. Např. Cramerovým pravidlem vyjde: b 0 = 1 n n y i n x i y i x i yi n x 2 i ( x i ) 2 1 n b 1 = n x i y i x i yi n x 2 i ( x i ) 2. n x i,

11 11 Vyrovnejme přímkou body P 1 = [1, 1], P 2 = [2, 1], P 3 = [5, 2]. Integrály 1) Jestliže závislost proměnné y na proměnné x a, b je dána funkčním předpisem y = f(x), pak střední hodnotu veličiny y na intervalu a, b vypočteme jako určitý integrál y = 1 b f(x) dx. b a Náklady na výrobu jedné tuny suroviny jsou dány předpisem AC(Q) = Q+0, 1Q 2. Určeme střední hodnotu nákladů na výrobu jedné tuny, pokud se množství vyrobené suroviny pohybuje mezi 30 a 60 tunami. 2) V teorii pravděpodobnosti se vyskytují nevlastní integrály např. jako distribuční funkce: F (x) = a x f(t) dt, kde f je tzv. hustota spojité náhodné veličiny. Exponenciální rozdělení o parametrech δ, A je dáno hustotou f(x) = 1 x A e δ δ pro x > A, = 0 pro x A.

12 12 Exponenciální rozdělení se vyskytuje v teorii spolehlivosti a teorii hromadné obsluhy. A představuje dobu, během níž jev nenastává. Tedy platí F (x) = x A 1 δ e t A δ dt = 1 e x A δ pro x > A, = 0 pro x A. Mějme exponenciální rozdělení o parametrech δ = A = 5. Určeme předpis distribuční funkce pro x > 5. Normální rozdělení o parametrech µ, σ je dáno hustotou f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 pro x (, ). Distribuční funkce je F (x) = 1 x σ 2π e (t µ) 2σ 2 2 pro x (, ). Hodnoty této distribuční funkce se hledají v tabulkách (transformací na normované normální rozdělení).