4. Aplikace matematiky v ekonomii
|
|
- Klára Matoušková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d = 30 2p. Množství nabízené je ovlivněnou cenou na základě vztahu q s = 2+2p, kde q d, resp. q s je nabízené, resp. poptávané množství v kusech, p je cena v Kč za kus. Určeme rovnovážnou cenu zboží z. 2) Určete rovnovážné ceny na trhu více statků, je-li (p i jsou v Kč/ks, q id, q is v kusech, i = 1, 2, 3) a) pro první statek poptávka dána funkcí q 1d = 100 5p 1 + 3p 2, nabídka dána funkcí q 1s = 2p 1 10, pro druhý statek poptávka dána funkcí q 2d = 120 8p 2 + 2p 1, nabídka dána funkcí q 2s = 5p 2 20, b) pro první statek poptávka dána funkcí q 1d = 20 p 1 p 3, nabídka dána funkcí q 1s = p 1 10, pro druhý statek poptávka dána funkcí q 2d = 40 2p 2 p 3, nabídka dána funkcí q 2s = 2p 2, pro třetí statek poptávka dána funkcí q 3d = 10 + p 2 p 3 p 1, nabídka dána funkcí q 3s = 3p 3 5.
2 2 3) Ekonomika malého státu produkuje dva statky a, b. Na výrobu jedné tuny a je třeba 0, 5 t a a 0, 5 t b, na výrobu jedné tuny b je třeba 0, 1 t a. Kolik je třeba produkovat ročně statku a a b, pokud roční spotřeba činí 9 t statku a a 18 t statku b? a) Jakou metodu užijete, mění-li se každý rok pouze spotřeba? b) Jakou metodu užijete pro výpočet jedné neznámé? 4) Určete rovnovážnou úrokovou sazbu a úroveň důchodu, je-li křivka IS dána předpisem i = 7 2Y a křivka LM předpisem i = 5 + 4Y, Algebra matic 1) Spotřební koš je vektor množství jednotlivých komponent q. Mějme vektor cen p. Celková cena spotřebního koše je pak rovna skalárnímu součinu obou vektorů: p q. 2) Uvažujme skupinu výrobců A 1,..., A n. Položíme a ij = 1, jestliže výrobce A i může dodávat zboží výrobci A j, a pokud ne, položíme a ij = 0 (navíc pokládáme a ii = 0 pro všechna i = 1,..., n).
3 Uspořádáme-li tyto prvky do čtvercové matice A, obdržíme tzv. incidenční matici: A = Prvek (a 2 ) ij matice A 2 udává počet způsobů, jak může výrobce A i dodat zboží výrobci A j ve dvou krocích: A 2 = A A = Podobně prvek (a 3 ) ij matice A 3 udává počet způsobů, jak může výrobce A i dodat zboží výrobci A j ve třech krocích: A 3 = A A =, odtud např. (a 3 ) 32 = 2. Jsou tedy dvě možnosti, jak může výrobce A 3 dodat zboží výrobci A 2 ve třech krocích: A 3 A 4 A 4 A 1 A 1 A 2 a A 3 A 1 A 1 A 4 A 4 A 2. 3
4 4 Obecně je počet způsobů, jak doručit zboží od výrobce A i k výrobci A j v nejvýše k krocích dán prvkem v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A + A 2 + A A k. Tedy z matice A + A 2 + A 3 = plyne, že jsou čtyři možnosti, jak může výrobce A 3 dodat zboží výrobci A 2 v nanejvýš třech krocích. 3) V teorii markovských řetězcůse pracuje s tzv. maticemi pravděpodobností přechodu. Matice přechodu typu P k k popisuje systém (např. ekonomický), který se může nacházet v k stavech. Prvek a ij matice pak udává pravděpodobnost, že systém přejde ze stavu j do stavu i, tj. podmíněnou pravděpodobnost, že systém je v daném okamžiku n ve stavu i, za předpokladu, že v předchozím okamžiku n 1 byl ve stavu j. Pokud vynásobíme matici přechodu sloupcovým vektorem neboli maticí typu k 1 vstupních dat x n v okamžiku n (pokud je chápeme jako pravděpodobnosti, hovoříme o vektoru absolutních pravděpodobností), je výsledkem sloupcový vektor (pravděpodobných) výstupních dat v okamžiku n + 1; dalším násobením zjistíme (pravděpodobný) stav systému v okamžiku n + 2 atd.:
5 5 Uvažujme obyvatele jistého státu. Výzkum prováděný v pravidelných ročních intervalech ukázal, že 10 % obyvatel se přestěhuje z měst na venkov a 8 % obyvatel z venkova do měst. Výchozí stav obyvatel ve městech je 30 miliónů, na venkově 15 miliónů. Stanovme, jak budou vypadat odhady počtu obyvatel ve městech a na venkově po a) 1 roce, b) 2 letech, c) n letech. Funkce více proměnných 1) Mezní produkt práce MP L nebo kapitálu MP K je parciální derivací produkční funkce Q = Q(K, L) podle množství práce L, resp. kapitálu K: MP K = K Q, MP L = L Q, mezní výnos (příjem z mezního produktu) z výrobního faktoru MRP je parciální derivace funkce celkových příjmů z produkce T R = T R(K, L) podle jednoho z faktorů, kapitálu nebo práce: MRP K = K T R, MRP L = L T R,
6 6 mezní náklady na výrobní faktor je parciální derivace funkce celkových nákladů T C = T C(K, L) podle jednoho z faktorů, kapitálu nebo práce: MF C K = K T C, MF C L = L T C. Stanovte mezní produkt kapitálu a práce pro zadané hodnoty kapitálu K a práce L, je-li produkční funkce dána předpisem Q = 3KL 2, K = 6, L = 5. Stanovte mezní výnos kapitálu a práce pro zadané hodnoty kapitálu K a práce L, je-li celkový příjem dán předpisem T R = 2, 4KL 2, K = 10, L = 6. Stanovte mezní náklady kapitálu a práce, je-li nákladová funkce dána předpisem T C = 150K + 100L. 9) Určete množství práce a kapitálu, při kterých firma maximalizuje zisk, je-li produkční funkce dána předpisem Q = K 1 2 L 1 4, cena jednoho výrobku je p = 200 Kč, mzdová sazba (cena jednotky práce) je w = 100 Kč za hodinu, nájem z použitého kapitálu je r = 25 Kč za hodinu. 10) Určete maximální hodnotu užitkové funkce U a množství výrobků X, Y, pro které toto maximum nastává, je-li užitková funkce dána předpisem U = 6X X 2 + 2Y Y
7 11) Poptávková funkce vyjadřuje závislost množství statku poptávaného spotřebitelem na ceně statku, ceně ostatních statků a důchodu (příjmu) spotřebitele. Pro jednoduchost předpokládejme trh právě dvou statků. Mějme předpisy poptávkových funkcí po prvním statku D 1 (P 1, P 2, I) a druhém statku D 2 (P 1, P 2, I), kde P 1 je cena prvního, P 2 druhého statku, I je důchod spotřebitele. Důchodová elasticita poptávky D 1 je definována E I D = ID 1 D 1 = I ID 1. I D 1 Pokud vyjdeme z definice derivace jako limity relativních přírůstků, můžeme psát E I D = I D 1 I D 1 = I D 1 lim I 0 D 1 I = lim I 0 D 1 D 1 I I Důchodová elasticita poptávky udává, o kolik procent se změní poptávané množství prvního statku, změní-li se důchod spotřebitele o jedno procento. Pro normální statky je E I D > 0, pro méněcenné statky je E I D < 0. Pro nezbytné statky je 0 < E I D < 1, pro luxusní statky je E I D > 1. Cenová elasticita poptávky D 1 je definována E P D = P 1 D 1 P1D 1 D 1 = P 1. D P
8 8 Cenová elasticita poptávky udává, o kolik procent se změní poptávané množství prvního statku, změní-li se jeho cena o jedno procento. Cenová elasticita poptávky je obvykle záporná. Pokud E P D < 1, říkáme, že poptávka je elastická, pokud E P D > 1, říkáme, že poptávka je neelastická, pokud E P D = 1, říkáme, že poptávka je jednotkově elastická. Křížová elasticita poptávky D 1 je definována E C D = P 2 D 1 P2D 1 D 1 = P 2. D P 1 2 Křížová elasticita poptávky udává, o kolik procent se změní poptávané množství prvního statku, změní-li se cena druhého statku o jedno procento. Pokud P2 D 1 > 0, jde o tzv. substituty a E C D > 0, pokud P2 D 1 < 0, jde o tzv. komlementy a E C D < 0. Pro součet důchodové, cenové a křížové elasticity poptávky platí E I D + E P D + E C D = 0. Určeme důchodovou, cenovou a křížovou elasticitu poptávky, je-li poptávka po prvním statku dána předpisem D 1 = , 5I 0, 2P 1 + 1, 4P 2, pokud P 1 = 70, P 2 = 5, I = 14. Je první statek normální, méněcenný, luxusní, nezbytný? Je poptávka elastická? Jsou uvažované dva statky substituty nebo komplementy?
9 12) Lineární regrese. Při zkoumání dvou veličin X a Y můžeme někdy konstatovat, že naměřená data vykazují znaky přibližné funkční závislosti veličiny Y na veličině X. Např. můžeme sledovat, že produkce Y určité firmy je přibližně lineárně závislá na velikosti vloženého kapitálu X: pokud označíme x 1, x 2,..., x n hodnotu vloženého kapitálu vždy na počátku určitého období (týdne, měsíce či roku) a hodnoty produkce firmy y 1, y 2,..., y n vždy na konci tohoto období, pak body [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ],... [x n, y n ] budou kolísat kolem určité přímky. Hovoříme pak o lineární regresi. Teoretickou lineární regresní funkci označujeme η = β 0 + β 1 x; podle naměřených hodnot [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ],... [x n, y n ] pak stanovíme odhady b 1, b 2 parametrů β 0, β 1 tak, aby přímka y = b 0 + b 1 x co nejlépe vystihovala tuto lineární závislost. Hovoříme o vyrovnání bodů přímkou. To se dá docílit např. tím, že součet druhých mocnin (čtverců) vzdáleností bodů [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ],... [x n, y n ] od odpovídajících bodů [x 1, Y 1 ], [x 2, Y 2 ],... [x n, Y n ] na této přímce (tj. Y i = b 0 + b 1 x i, i = 1,..., n) bude co n nejmenší; přitom platí (b 0 + b 1 x i y i ) = 0. 9
10 10 Odtud název metody metoda nejmenších čtverců. Minimalizujeme f(b 0, b 1 ) = n (b 0 + b 1 x i y i ) 2. Určíme podezřelé body: f b 0 (b 0, b 1 ) = 2 f b 1 (b 0, b 1 ) = 2 n (b 0 + b 1 x i y i ) 1 = 0, n (b 0 + b 1 x i y i ) x i = 0; po úpravě dostaneme soustavu (S) o neznámých b 0, b 1 : n n b 0 n +b 1 x i = y i, n b 0 x i +b 1 n x 2 i = n x i y i. Např. Cramerovým pravidlem vyjde: b 0 = 1 n n y i n x i y i x i yi n x 2 i ( x i ) 2 1 n b 1 = n x i y i x i yi n x 2 i ( x i ) 2. n x i,
11 11 Vyrovnejme přímkou body P 1 = [1, 1], P 2 = [2, 1], P 3 = [5, 2]. Integrály 1) Jestliže závislost proměnné y na proměnné x a, b je dána funkčním předpisem y = f(x), pak střední hodnotu veličiny y na intervalu a, b vypočteme jako určitý integrál y = 1 b f(x) dx. b a Náklady na výrobu jedné tuny suroviny jsou dány předpisem AC(Q) = Q+0, 1Q 2. Určeme střední hodnotu nákladů na výrobu jedné tuny, pokud se množství vyrobené suroviny pohybuje mezi 30 a 60 tunami. 2) V teorii pravděpodobnosti se vyskytují nevlastní integrály např. jako distribuční funkce: F (x) = a x f(t) dt, kde f je tzv. hustota spojité náhodné veličiny. Exponenciální rozdělení o parametrech δ, A je dáno hustotou f(x) = 1 x A e δ δ pro x > A, = 0 pro x A.
12 12 Exponenciální rozdělení se vyskytuje v teorii spolehlivosti a teorii hromadné obsluhy. A představuje dobu, během níž jev nenastává. Tedy platí F (x) = x A 1 δ e t A δ dt = 1 e x A δ pro x > A, = 0 pro x A. Mějme exponenciální rozdělení o parametrech δ = A = 5. Určeme předpis distribuční funkce pro x > 5. Normální rozdělení o parametrech µ, σ je dáno hustotou f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 pro x (, ). Distribuční funkce je F (x) = 1 x σ 2π e (t µ) 2σ 2 2 pro x (, ). Hodnoty této distribuční funkce se hledají v tabulkách (transformací na normované normální rozdělení).
1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel
Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23
Téma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
Funkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf
Regresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
KGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
AVDAT Nelineární regresní model
AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných
Parciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model Mějme lineární regresní model (LRM) Y = Xβ + e, kde y 1 e 1 β y 2 Y =., e
4. Křivka nabídky monopolní firmy je totožná s částí křivky mezních nákladů.
Firma v nedokonalé konkurenci 1. Zdroji nedokonalé konkurence jsou: - jednak nákladové podmínky podnikání, - jednak. 2. Zapište vzorec Lernerova indexu. K čemu slouží? 3. Zakreslete celkový příjem monopolní
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regresní analýza - motivace Základní úlohou regresní analýzy je nalezení vhodného modelu studované závislosti. Je nutné věnovat velkou pozornost tomu aby byla modelována REÁLNÁ
Parciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
DK cena odvozená z trhu
Dokonalá konkurence DK cena odvozená z trhu π (Kč) TR STC ZISK ZTRÁTA Q 1 Q 2 Q (ks) MR, MC (Kč/ks) MC MR Q 1 Q 2 Q (ks) ZiskfirmyvDK Nulový zisk v DK normální zisk Ztráta firmy v DK Křivka nabídky firmy
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla
Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek mikroekonomie. Správná odpověď je označena tučně
řijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek mikroekonomie Správná odpověď je označena tučně 1. řebytek spotřebitele je rozdíl mezi a... a) cenou, mezními náklady b) cenou, celkovými
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
Mikroekonomie Nabídka, poptávka
Téma cvičení č. 2: Mikroekonomie Nabídka, poptávka Ing. Jaroslav ŠETEK, Ph.D. Katedra ekonomiky, JČU Podstatné z minulého cvičení Matematický pojmový aparát v Mikroekonomii Důležité minulé cvičení kontrolní
POPTÁVKA.
POPTÁVKA INDIVIDUÁLNÍ POPTÁVKA Individuální poptávka-poptávka jednoho spotřebitele, závisí na: -ceně statku -cenách ostatních statků -důchodu spotřebitele Preference a očekávání předpokládáme za neměnné
Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
Chyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti
Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou
Měření závislosti statistických dat
5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě
1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,
KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu
Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu 1 Odhady parametrů 11 Bodové odhady Mějme lineární regresní model (LRM) kde Y = y 1 y 2 y n, e = e 1 e 2 e n Y = Xβ + e, x 11 x 1k, X =, β = x n1
Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7
Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku
5. Trh analýza. Poptávka, nabídka, elasticity, užitková a produkční funkce.
5. Trh analýza. Poptávka, nabídka, elasticity, užitková a produkční funkce. Teorie spotřebitele x teorie firmy 5.1.1 Teorie spotřebitele Ekonomie zkoumá preference mezi statky. Nezkoumá je ale přímo, nýbrž
13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách
13 Regrese 13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách znaku X. Přitom je třeba vyřešit jednak volbu funkcí k vystižení dané závislosti a dále stanovení konkrétních
29. mezní a průměrná produktivita práce MC a AC při 15 hodinách práce? AC = w = 4,5 Kč při 15 hodinách práce MC = w + L pro L = 15
29. mezní a průměrná produktivita práce MC a AC při 15 hodinách práce? AC = w = 4,5 Kč při 15 hodinách práce MC = w + L pro L = 15 1 30. Optimum při nájmu výrobního faktoru Nabídka vstupu Z je dána rovnicí
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Základy ekonomie II. Zdroj Robert Holman
Základy ekonomie II Zdroj Robert Holman Omezování konkurence Omezování konkurence je způsobeno překážkami vstupu na trh. Intenzita konkurence nezávisí na počtu existujících konkurentů, ale také na počtu
Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
1 Odvození poptávkové křivky
Odvození poptávkové křivky Optimalizační chování domácností (maximalizace užitku) vzhledem k rozpočtovému omezení. Nejprve odvodíme deterministický model, který potom rozšíříme o stochastické prvky. Odvozené
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
PR5 Poptávka na trhu výrobků a služeb
PR5 Poptávka na trhu výrobků a služeb 5.1. Rovnováha spotřebitele 5.2. Indiferenční analýza od kardinalismu k ordinalismu 5.3. Poptávka, poptávané množství a jejich změny 5.4. Pružnost tržní poptávky Poptávka
Apriorní rozdělení. Jan Kracík.
Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Program SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Normální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký
Ohraničená Hessova matice ( bordered hessian ) je. Sestrojíme posloupnost determinantů (minorů):
Ohraničená Hessova matice ( bordered hessian ) je matice 2. parc. derivací L vzhledem k λ λ r x x n v tomto pořadí: g 0 0 g x n g 0 0 2 g 2 x n g 0 0 r g x HB = r x n g g r 2 L 2 L. x 2 x x n g g x 2 r
10. N á h o d n ý v e k t o r
10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět
Regresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
Statistická analýza jednorozměrných dat
Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem
Úvod do problematiky měření
1/18 Lord Kelvin: "Když to, o čem mluvíte, můžete změřit, a vyjádřit to pomocí čísel, něco o tom víte. Ale když to nemůžete vyjádřit číselně, je vaše znalost hubená a nedostatečná. Může to být začátek
Předmluva. Publikace obsahuje množství řešených i neřešených příkladů s výsledky k samostatnému studiu.
MATICE, DETERMINANTY A JEJICH VYUŽITÍ V PRAXI Mgr Eva Valentová autorka prof RNDr Jan Pelikán, CSc recenzenti Mgr Eva Pelikánová 04 Obsah Vektory 5 Aritmetické vektory 5 Maticová algebra I 8 Matice a
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost
a, c, d Mikroekonomie Tržní rovnováha Ing. Jaroslav ŠETEK, Ph.D. Katedra ekonomiky, JČU 1. opakování Příklad 1 Řešení Řešení Příklad
Mikroekonomie Ing. Jaroslav ŠETEK, Ph.D. Katedra ekonomiky, JČU 1. opakování Tržní rovnováha Příklad 1 Poptávka je dána funkcí Q = 25 P a nabídka tabulkou: Varianta a b c d Cena 5 10 15 20 Množství 5 15
Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
Příjmy firmy můžeme rozdělit na celkové, průměrné a mezní.
7 Příjmy firmy Příjmy firmy představují sumu peněžních prostředků, které firmě plynou z realizace její produkce, proto někteří autoři používají analogický pojem tržby. Jestliže vycházíme z cíle formy v
Odhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti
Odhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti 4. listopadu 203 Kdybych chtěl znát maximum informací o náhodné veličině, musel bych znát všechny hodnoty, které mohou padnout, a jejich pravděpodobnosti. Tedy
Bod uzavření firmy. Bod zvratu. Mikroekonomie. Důležité FC, VC, TC (graf) Náklady firmy - důležité. Průběh funkcí nákladů - grafy
Důležité FC, VC, TC (graf) Mikroekonomie Ing. Jaroslav ŠETEK, Ph.D. Katedra ekonomiky, JČU Náklady firmy - důležité Průběh funkcí nákladů - grafy TC = FC + VC AC = AFC + AVC AFC = FC/Q AVC = VC/Q MC =
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 207 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Odhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
Národní hospodářství poptávka a nabídka
Národní hospodářství poptávka a nabídka Chování spotřebitele a poptávka Užitek a spotřebitelův přebytek Jedním ze základních problémů, které spotřebitel řeší, je, kolik určitého statku má kupovat a jak
Regresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
Dualita& poptávka Jan Čadil FNH VŠE
Dualita& poptávka Jan Čadil FNH VŠE Footer Text 3/24/2014 1 Podstata problému duality Předchozí přístup k optimalizaci předpokládal maximalizaci spotřebitel zná své omezení (rozpočet) a snaží se dosáhnout
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy
1. Firmy působí: a) na trhu výrobních faktorů b) na trhu statků a služeb c) na žádném z těchto trhů d) na obou těchto trzích Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy 2. Firma na trhu statků a služeb
Mikroekonomie. Nabídka, poptávka. = c + d.q. P s. Nabídka, poptávka. Téma cvičení č. 2: Téma. Nabídka (supply) S. Obecná rovnice nabídky
Téma cvičení č. 2: Mikroekonomie Nabídka, poptávka Ing. Jaroslav ŠETEK, Ph.D. Katedra ekonomiky, JČU Téma Nabídka, poptávka Nabídka (supply) S Nabídka představuje objem zboží, které jsou výrobci ochotni
3 Bodové odhady a jejich vlastnosti
3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe
POLYNOMICKÁ REGRESE. Jedná se o regresní model, který je lineární v parametrech, ale popisuje nelineární závislost mezi proměnnými.
POLYNOMICKÁ REGRESE Jedná se o regresní model, který je lineární v parametrech, ale popisuje nelineární závislost mezi proměnnými. y = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + + b n x n kde b i jsou neznámé parametry,
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
Odhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
Formování cen na trzích výrobních faktorů
Formování cen na trzích výrobních faktorů Na trzích výrobních faktorů jsou určujícími elementy poptávka a nabídka výrobního faktoru. Na trzích výrobků a služeb jsou domácnosti poptávající a firmy nabízející
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 11. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 13 Vybrané ekonomické aplikace diferenciálního
Obsah. Poptávka spotřebitele - 1 - Petr Voborník
Obsah Obsah... Poptávka spotřebitele.... ndividuální poptávka (po statku ).... Vliv změny důchodu spotřebitele na poptávku..... Důchodová spotřební křivka..... Druhy statků... 3 CC, kde je určitým druhem
Inverzní Laplaceova transformace
Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března
Příklady - Bodový odhad
Příklady - odový odhad 5. října 03 Pražské metro Přijdu v pražském metru na nástupiště a tam zjistím, že metro v mém směru jelo před :30 a metro v opačném směru před 4:0. Udělejte bodový odhad, jak dlouho
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Odhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
Aplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
8 Střední hodnota a rozptyl
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení
n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)
5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
Ukázka závěrečného testu
Okruhy otázek pro závěrečný test ) Vlastnosti funkce ) Graf funkce ) Definiční obor funkce ) imita funkce ) Derivace funkce 6) Užití derivace 7) Matice 8) Řešení soustavy lineárních rovnic 9) Určitý integrál
11 Analýza hlavních komponet
11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu