1 Odvození poptávkové křivky

Transkript

1 Odvození poptávkové křivky Optimalizační chování domácností (maximalizace užitku) vzhledem k rozpočtovému omezení. Nejprve odvodíme deterministický model, který potom rozšíříme o stochastické prvky. Odvozené podmínky prvního řádu budeme poté log-linearizovat okolo steady statu (rovnovážného stavu).. Užitková funkce Uvažujeme malou uzavřenou ekonomiku, která se skládá z mnoha domácností. Domácnosti jsou homogenní, můžeme proto analyzovat chování jedné reprezentativní domácnosti. Domácnost maximalizuje časově diskrétní užitkovou funkci tvaru max C t,l t β τ U(C t+τ, L t+τ ), τ=0 kde β (0, ) je diskontní faktor (vyjadřuje míru netrpělivosti domácnosti ze spotřeby), C t označuje spotřebu domácností v čase t, a L t představuje volný čas. Počet odpracovaných hodin (práce přinásí domácnosti disutilitu ) je značen H t a platí pro ně L t + H t = 24, což můžeme normalizovat jako L t = H t. Užitková funkce má obvyklé vlastnoti (je kladná, rostoucí, konkávní): První derivace značí mezní užitek, který je kladný. Tzn. např. pro C t platí U C = MU C > 0, přírůstky funkce se snižují. Druhá derivace funkce (první derivace mezního užitku) je záporná, tzn. např. pro C t platí 2 U C 2 = MU C C < 0 Konkrétní tvar užitkové funkce vypadá následovně U(C t, L t ) = log C t + Ψ log L t, Logaritmická funkce je speciálním případem CES funkce (Constatnt Elasticity of Substitution), např. U(C t ) = C σ t σ, Volný čas zde zahrnuje i čas potřebný na spánek.

2 kde σ je koeficient mezičasové elasticity substituce. Pro σ konverguje CES funkce k logaritmické funkci..2 Rozpočtové omezení Rozpočtové omezení domácnosti má následující tvar () B t ( + i t ) + W t H t = C t P t + B t kde B t jsou obligace nakoupené v čase t a splatné v čase t, i t je nominální úroková míra v čase t, W t je nominální mzda a P t označuje cenovou hladinu. Levá strana rovnice () označuje celkové zdroje domácností (v nominálním vyjádření). Tvoří je v minulosti nakoupené obligace a mzdový příjem za vykonanou práci. Pravá strana rovnice () vyjadřuje celkové výdaje na spotřebu a nákup obligací. Podobnému rozpočtovému omezení čelí domácnosti v každém dalším období t +, t + 2,... Rozpočtové omezení můžeme rozepsat pro čas t +, t až do nekonečna a zpětným dosazením za B t+k nám vyjde: 2 (2) B t ( + i t ) = [C t P t W t H t ] + + ( + i t ) [C t+ P t+ W t+ H t+ ] + + ( + i t+ ) ( + i t ) [C t+2 P t+2 W t+2 H t+2 + ] Rovnice (2) vyjadřuje celkové rozpočtové omezení domácností, při uvažování v nekonečném časovém horizontu. Tuto úpravu využijeme v následujícím kroku při optimalizaci..3 Maximalizace užitkové funkce Pro maximalizaci užitkové funkce použijeme Langrangián 3 β τ [log C t+τ + Ψ log( H t+τ )] + (3) τ=0 ( + λ B t ( + i t ) + W t H t C t P t ( + i t ) [C t+ P t+ W t+ H t+ ] ( + i t+ ) ( + i t ) [C t+2 P t Předpokládáme, že na konci světa jsou všechny dluhy splaceny, lim k B t+k = 0 (no-ponzi game condition) 3 Za volný čas dosadíme výraz L t = H t ), 2

3 který derivujeme dle C t, C t+ a H t (domácnost si vybírá, kolik bude spotřebovávat a pracovat, vzhledem k rozpočtovému omezení) a derivace položíme rovny nule. Vyjdou nám následující podmínky prvního řádu: (4) C t λp t = 0 (5) β C t+ λ P t+ + i t = 0 (6) Ψ H t + λw t = 0 Dále zavedeme identity pro inflaci π t a reálnou úrokovou míru r t (7) + π t = P t P t (8) + r t = + i t + π t+ Z rovnice (4) vyjádříme λ = C tp t a dosadíme do rovnic (6) a (5). Postupnými úpravami a použitím rovnice (8) dostaneme (9) Ψ C t H t = W t P t (0) C t = C t+ + r t β Rovnice (9) představuje nabídku práce domácností. Levá strana rovnice je mezní míra substituce mezi prací a volným časem, pravá strana rovnice vyjadřuje reálnou mzdu. 4 Rovnice (9) se nazývá Eulerova rovnice a představuje optimum při intertemporálním (mezičasovém) rozhodování domácností o spotřebě. V dalším textu se na tuto rovnici budeme odkazovat jako IS křivku nebo křivku agregátní poptávky. 4 Pro naše odvození New Keynesian modelu se sticky prices nebudeme tento vztah potřebovat, proto se jím nebudeme dále zabývat. Při předpokladu rigidních mezd je však tato rovnice klíčová. 3

4 .4 Log-linearizovaná forma Nelineární model je dost složitý na řešení, proto ho budeme chtít log-linearizovat. Zajímá nás především, jak se jednotlivé veličiny odchylují od svých rovnvážný stavů (např. v důsledku působení šoků). Použijeme následujícího značení: C je rovnovážná úroveň (steady state), ĉt je procentní odchylka od steady statu. Parametr C t rozepíšeme jako součin své rovnovážné úrovně c t a procentní odchylky od rovnovážného stavu ĉ t 5 C t = C t ( + ĉ t ). Reálnou úrokovou míru rovněž můžeme rozepsat pomocí rovnovážné ú- rovně a procentní odchylky r t = r t + ˆr t. 6 Pro steady state platí, že spotřeba se v čase nemění (můžeme odstranit časové indexy z rovnice (0)). C = C + r Z toho tedy vyplývá, že rovnovážná úroková míra r je tedy určena jako + r = β. Když tento vztah zlogartimujeme log( + r) = log β a použijeme logaritmickou aproximaci, 7 dostaneme () r = log β. Rovnici (0) můžeme rozepsat pomocí rovnovážných hodnot a jejich odchylek. C( + ĉ t ) = C( + ĉ t+ ). β + r + ˆr t Po vykrácení C a zlogaritmování získáme log( + ĉ t ) = log( + ĉ t+ ) + log β log( + r + ˆr t). Při použití aproximace a vztahu () dostaneme β ĉ t = ĉ t+ + r r ˆr t. 5 Například, hodnotu spotřeby C t = 0 jednotek vyjádříme jako desetiprocenntí odchylku ĉ t = 0, 0 od rovnovážné úrovně c t = 00, tedy C t = 00( + 0.0) = 0. 6 Například, úrokovou míru 5%, která vyjadřuje odychlku 2% od rovnovážné úrovně 3%, rozepíšeme jako r t = 0, , 02 = 0, 05 = 5% 7 log(.) značí přirozený logaritmus, a pro malá x (do 0,0) platí log( + x) = x. 4

5 Nakonec tedy získáme rovnici agregátní poptávky (IS křivku). (2) ĉ t = ĉ t+ ˆr t. Tato rovnice při zahrnutí očekávání, která jsme z hlediska transparentnosti vynechali, vypadá následovně (3) ĉ t = E t ĉ t+ ˆr t Současná spotřeba je závislá pozitivně na očekávané spotřebě v následujícím období a negativně na reálné úrokové míře. Vzhledem k tomu, že v našem modelu neuvažujeme kapitál (investice), je celkový výstup roven spotřebě, můžeme tedy psát ĉ t = ŷ t. Reálnou úrokovou míru můžeme rozepsat jako rozdíl nominální úrokové míry a očekávané míry inflace ˆr t = i t E t π t+. Do rovnice (3) můžeme zahrnout i náhodnou složku ɛ t, která zachycuje poptávkové šoky (např. změnu preferencí) a má vlastnosti bílého šumu (stacionární proces s nulovou střední hodnotou, konstatním rozptylem a nekorelovanými hodnotami v různém čase ɛ t W N(0, σ 2 ɛ ). (4) ŷ t = E t ŷ t+ (i t E t π t+ ) + ɛ t Při odvozování IS křivky z CES funkce se u úrokové míry vyskytuje parametr (inverzní hodnota koeficientu elasticity), který je pro log funkci roven σ. Obecnější podoba IS křivky je tedy (5) ŷ t = E t ŷ t+ σ (i t E t π t+ ) + ɛ t Pro zvýšení schopnosti zachytit chování v datech (persistence výstupu při reakci na šoky) se do rovnice (5) se zahrnuje zpožděná hodnota výstupu (spotřeby), což lze behaviorálně vysvětlit (a odvodit) jako zvyklost ve spotřebě (habit in consumption). 8 (6) ŷ t = ( γ)ŷ t + γe t ŷ t+ σ (i t E t π t+ ) + ɛ t Výsledná rovnice tak má vpřed i vzad hledící charakter a stochastickou povahu. 8 Vliv spotřeby je rozdělen homogenně s vahami ( γ) a γ, kde parametr γ (0, ) 5