č Čs čas fyz 6 () 67 Tepelné záření v teoreticých i experimentálních úlohách MEZINÁRODNÍ FYZIKÁLNÍ OLYMPIÁDY Jan Kříž, Ivo Volf, Bohumil Vybíral Ústřední omise Fyziální olympiády, Univerzita Hradec Králové, Roitansého 6, 5 Hradec Králové I v tomto čísle Česoslovensého časopisu pro fyziu přinášíme uázy úloh pro fyziální olympioniy Představíme tentorát jednu teoreticou a jednu experimentální úlohu z Mezinárodní fyziální olympiády, jejichž společným jmenovatelem je použití tefanova-boltzmannova záona Ačoliv problematia záření černého tělesa není v dnešní době běžnou součástí výuy na česých gymnáziích, v sylabu Mezinárodní fyziální olympiády ji nalezneme, viz [] Poměrně hojně se taé např tefanův-boltzmannův záon v úlohách Mezinárodní fyziální olympiády vysytuje, viz např úloha Fyzia černých děr [] Nicméně autoři úloh stejně tvar tefanova-boltzmannova záona řešitelům v textu zadání uvádějí V tomto příspěvu předládáme jednu úlohu teoreticou, zadanou na mezinárodní fyziální olympiádě v roce 99 ve Finsu, a taé část experimentální úlohy předložené na 9 mezinárodní fyziální olympiádě v roce 8 ve Vietnamu Předládané texty jsou upravené přelady autorů příspěvu, originální texty úloh po schválení mezinárodní jury jsou dispozici na webu Mezinárodní fyziální olympiády [] TEORETIKÁ ÚLOHA Z MFO DRUŽIE VE LUNEČNÍM VITU V této úloze vypočítáme teplotu vesmírné družice Družici modelujeme oulí o průměru m a předpoládáme, že všechny části družice mají stejnou teplotu Povrch družice je rovnoměrně poryt nátěrem Družice se nachází v blízosti Země, ale nioliv v jejím stínu Povrchová teplota lunce (teplota odpovídající modelu lunce jao černého tělesa) T 6 K, poloměr lunce je 6,96 8 m Vzdálenost Země od lunce je,5 m luneční světlo zahřívá družici na rovnovážnou teplotu, při teré je v rovnováze energie vyzářená družicí (modelovanou černým tělesem) a družicí absorbovaná energie slunečního záření Výon záření vyzářený jednotovým povrchem černého tělesa je dán tefanovým-boltzmannovým záonem, P σt, de σ je univerzální onstanta rovná 5,67 8 W m K V prvním přiblížení můžeme předpoládat, že lunce i družice pohlcují vešeré eletromagneticé záření na ně dopadající ) Vyjádřete obecně teplotu T družice a určete její číselnou hodnotu ) petrum záření u(t,f) černého tělesa o teplotě T je dáno Plancovým vyzařovacím záonem,6,,8, 8 d (, )d π T u T f f, c h e de hf/t a u(t,f)df je spetrální hustota intenzity vyzařování v intervalu frevencí [f, f + df] Dále, h 6,6 J s je Plancova onstanta,, J K je Boltzmannova onstanta a c, 8 m s je rychlost světla ve vauu Integrujeme-li uvedený vztah přes všechny frevence f a všechny směry emise, dostaneme celový výon vyzářený jednotovým povrchem, ja jej udává tefanův-boltzmannův záon uvedený výše Navíc zísáme závislost tefanovy-boltzmannovy onstanty na jiných univerzálních onstantách, 5 π σ 5c h Graf na obrázu znázorňuje normalizované 5 c h u( T, f ) spetrum jao funci parametru 8π T c h 5 u( T, f ) 8π T 6 8 Obr Závislost normalizovaného spetra na parametru http://ccffzucz
68 Mládež a fyzia» Uvažujme nyní reálnou družici s přídavnými solárními panely generujícími eletřinu «Z mnoha důvodů je třeba udržovat družici co možná nejchladnější Proto inženýři používají odrazivý nátěr, terý odráží dopadající světlo s frevencí vyšší, než je mezní frevence, ale nezabraňuje vyzařování tepla na nižších frevencích Předpoládejme, že tato (ostrá) mezní frevence odpovídá hodnotě hf / K Jaá bude nová rovnovážná teplota družice? Přesná odpověď není vyžadována Neprovádějte tedy žádné složité integrace, aproximujte, de je potřeba Matematicá nápověda: π, 5 funce /(e ) nabývá svého ima pro,8 Pro malé můžete použít aproximaci e + ) Uvažujme nyní reálnou družici s přídavnými solárními panely generujícími eletřinu Ztrátové teplo vzniající v eletronicých součástách uvnitř družice je dalším zdrojem tepla Předpoládejme, že výon vnitřního zdroje tepla je W Jaá je rovnovážná teplota družice z předchozí části v tomto případě? ) Výrobce tvrdí o své speciální barvě: Nátěr touto barvou bude odrážet více než 9 % celového dopadajícího záření (viditelného i infračerveného), ale natřené těleso bude stále vyzařovat na všech frevencích jao černé těleso Tedy tento nátěr bude udržovat družici velmi chladnou Může taováto barva existovat? Proč ano nebo proč ne? 5) Jaé vlastnosti by musel mít nátěr, aby zvyšoval teplotu družice modelované ulovým tělesem (bez vnitřního zdroje tepla) nad hodnotu vypočtenou v bodě? http://ccffzucz Řešení ) Energie vyzařovaná celým povrchem lunce za jednotu času je πr σt elá tato energie prochází sférou o poloměru R rovném vzdálenosti Země od lunce Jednotovou plochou v této vzdálenosti projde tedy πr σt /πr a ulová družice tedy absorbuje záření o výonu πr σt πrd πr Družice zároveň vyzařuje výon πr d σt d V rovnováze absorpce a vyzařování tedy máme T R T R d 89 K, tedy 6 ) Musíme vypočítat, jaá část absorbovaného výonu odpovídá části spetra pod (hf / ) mez K Tedy mez K/6 K, << Podíl výonu odpovídajícího frevencím pod mezní hodnotou u výonu celovému činí δ mez mez 5 π π 5 mez, Družice je určitě mnohem chladnější než K; můžeme tedy zanedbat sutečnost, že družice nebude v tomto případě vyzařovat jao černé těleso (bude vyzařovat o něco méně energie) Energeticá bilance v rovnováze je v tomto případě dána vztahem πr σt π rd σtd δπ rd πr Nová teplota družice bude tedy teplota z předchozí části násobená fatorem δ /, T d (, - ) / 89 K K ) elový absorbovaný výon je πr σt δπ rd,5 W, πr což je zanedbatelné proti vnitřnímu výonu P int W Tedy energeticá bilance v tomto případě je P int πr d σt d, což dává T d 7 K,,8 Pozn: Tento výslede není přesný, jeliož černé těleso o teplotě 7 K vyzařuje přibližně % výonu pod mezní hranicí K! To znamená, že družice musí být teplejší, aby vyzářila celý W na frevencích pod mezní hodnotou Toto vede na integrální rovnici,,8 π /5 terou lze řešit numericy právné řešení dává hodnotu,8 odpovídající teplotě 6 K ) Taováto barva nemůže existovat, protože by porušovala druhý termodynamicý záon Vysvětlením je detailní princip rovnováhy, podle terého si musí v rovnováze spetra dopadajícího a emitovaného záření přesně odpovídat Kdyby totiž barva s vlastnostmi udávanými výrobcem existovala, bylo by možné vytvořit teplotní rozdíl mezi dvěma tělesy v rovnováze v izolované soustavě, a tedy perpetuum mobile 5) Nátěr by musel být průsvitný pro vysoé frevence (v oblasti ima sluneční radiace), ale odrazivý (a tedy izolační) na malých frevencích Pozn: Část ) úlohy lze apliovat na odhad teploty různých těles ve sluneční soustavě Tento jednoduchý postup dává napřílad velmi dobré odhady středních teplot většiny planet, popř u velých planet jejich měsíců planet, s výjimou Venuše ČÁT EXPERIMENTÁLNÍ ÚLOHY Z 9 MFO DIFERENČNÍ TERMOMETRIKÁ METODA V této úloze užijeme diferenční termometricou metodu určení účinnosti solárního článu Diferenční termometricá metoda Použijeme řemíovou diodu napájenou v propustném směru jao teplotní senzor měření teploty Je-li eletricý proud diodou onstantní, poles napětí na diodě závisí na teplotě podle vztahu U(T) U(T ) α (T T ), () de U(T), resp U(T ) jsou úbyty napětí na diodě při teplotě T, resp při laboratorní teplotě T (měřené ve ) a oeficient α, ±, mv/ () Hodnota U(T ) se může mírně lišit pro různé diody
č Čs čas fyz 6 () 69 U e U D D U R R schopen solární článe dodávat do vnějšího obvodu, celovému výonu záření dopadajícího na článe Účinnost závisí na spetru dopadajícího záření V tomto experimentu dopadá na článe záření žhnoucí halogenové lampy K určení účinnosti solárního článu musíme změřit ozáření E pod lampou, v bodě vzdáleném o d od lampy ve svislém směru a imální výon P solárního článu umístěného do tohoto bodu V našem experimentu je d cm (obr ) Ozáření E je definováno vztahem E Φ/, de Φ je zářivý to (zářivý výon) a je obsah plochy osvětleného povrchu Obr Obvod s diodovými senzory Umístíme-li dvě taové diody do prostředí o různých teplotách, rozdíl těchto teplot lze měřit pomocí rozdílů polesu napětí na obou diodách Rozdíl v polesech napětí, zvaný rozdílové napětí, lze měřit s vysoou přesností, lze tedy i velmi přesně měřit rozdíl teplot Tato metoda se nazývá diferenční termometricá metoda Zapojení eletricého obvodu s diodami používané v tomto experimentu je na obr Diody D a D jsou napájeny v propustném směru baterií s napětím 9 V přes rezistory R a R se stejnými odpory Ω Toto zapojení udržuje na diodách onstantní napětí Je-li teplota T diody D a teplota T diody D, pa podle vztahu () máme: U (T ) U (T ) α (T T ) a U (T ) U (T ) α (T T ) Rozdílové napětí je U (T ) U (T ) U (T ) U (T ) α (T T ) (T ) α ΔT, () de ΔT T T Měřením rozdílového napětí tedy určíme rozdíl teplot K napájení diod použijeme rabiču se zapojením, jehož schéma je na obr Krabiča obsahuje dva rezistory s odpory Ω, vodiče 9V baterii, zdířy připojení diod D a D a zdířy připojení digitálních multimetrů, terými budete měřit poles napětí U na diodě D a rozdílové napětí na diodách D a D Úol: Určování účinnosti solárního článu osvětlovaného žhnoucí lampou íl experimentu ílem tohoto experimentu je určit účinnost solárního článu osvětleného žhnoucí lampou Účinnost je definována jao poměr eletricého výonu, terý je d cm Obr Použití halogenové lampy jao světelného zdroje Pomůcy (přístroje a materiál) Zdrojem světla je halogenová lampa o příonu W Detetorem záření je dutý užel vyrobený z mědi, jehož vnitřní povrch je začerněn sazemi (obr 5) Kužel je nedoonale tepelně izolován od svého oolí V tomto experimentu budeme považovat detetor za doonale černé těleso Teplotu budeme měřit pomocí řemíových diod Měřicí dioda je připevně- Detetor záření Tepelná rovnávací izolace dioda D polečný Měřící dioda D Modrá Černá D - Modrá Ω D - Ω Modrá polečná - Černá Černá 9V Obr chéma zapojení rabičy (pohled shora) U Obr 5 chéma detetoru záření na detetoru záření (D na obr a obr 5) ta, že její teplota je stejná jao teplota užele rovnávací dioda je umístěna na vnitřní straně stěny rabičy s detetorem; její teplota se rovná teplotě oolí elová tepelná apacita detetoru (užel a měřicí dioda) je (,69 ±,) J/K Detetor je poryt velmi tenou polyetylenovou fólií; absorpce a odraz záření touto fólií jsou zanedbatelné Krabiča se zapojením podle obr olární článe upevněný do plastové rabičy (obr 6) Plocha článu obsahuje ovové spojovací proužy Tyto proužy považujte za součást článu při výpočtu účinnosti http://ccffzucz
7 Mládež a fyzia» Zároveň vša detetor ztrácí energii něolia způsoby vedením tepla, prouděním, vyzařováním apod «Černá Obr 6 olární článe 5 Dva digitální multimetry Použijeme-li je jao voltmetry, mají velmi velý vnitřní odpor, lze ho považovat za neonečný Použijeme-li je jao ampérmetry, jejich vnitřní odpor můžeme zanedbat hyba měření voltmetru je ± příslušné jednoty v poslední číslici Multimetry umějí taé měřit laboratorní teplotu 6 Baterie 9 V 7 Rezistor s proměnným odporem (reostat) 8 topy 9 Pravíto s milimetrovým měřítem Vodiče Graficé papíry Experiment Dopadá-li na detetor záření (přijímá energii), zahřívá se Zároveň vša detetor ztrácí energii něolia způsoby vedením tepla, prouděním, vyzařováním apod Tedy energie záření dopadajícího na detetor v časovém intervalu dt je rovna součtu energie potřebné na zvýšení teploty detetoru a energie ztracené do oolí, Φdt dt + dq, de je tepelná apacita detetoru s diodou, dt je nárůst teploty a dq tepelné ztráty Je-li teplotní rozdíl ΔT T T detetoru a oolí malý, můžeme považovat teplo dq přenesené z detetoru do jeho oolí za časový interval dt za přibližně přímo úměrné ΔT a dt, tj dq ΔTdt, de oeficient má rozměr W/K Za předpoladu, že je onstantní a ΔT malé, můžeme tedy psát Φdt dt + ΔTdt d(δt) + ΔTdt neboli d( ΔT ) + ΔT () dt Řešení této diferenciální rovnice udává změny teplotního rozdílu ΔT s časem t od oamžiu, dy na detetor začne dopadat světlo s onstantní intenzitou (ozařováním) Za předpoladu, že v čase t je ΔT, má řešení tvar t Δ ( ) T t e (5) Když vypneme zdroj záření, výše zmíněná diferenciální rovnice přejde do tvaru d( ΔT ) + ΔT (6) dt a teplotní rozdíl ΔT se mění s časem podle následujícího vztahu t Δ T ( t) ΔT () e, (7) de ΔT() je teplotní rozdíl v čase t (tj oamži, dy měření začalo) http://ccffzucz Určete laboratorní teplotu T estavte eletricý obvod sládající se z diodových senzorů, rabičy se zapojením a multimetrů, určený měření teploty detetoru Abyste se vyhnuli chybným měřením při zahřívání pomůce a přístrojů, důrazně doporučujeme zapnout celý měřicí obvod alespoň 5 minut před započetím vlastního měření Umístěte detetor pod zdroj světla do vzdálenosti d cm od lampy Lampa je vypnutá ledujte změny asi minuty v časových intervalech s a určete hodnotu (T ) v rovnici () Zapněte lampu a osviťte detetor ledujte změny Každých s až 5 s zapište hodnotu do tabuly Po dvou minutách vypněte lampu Dejte detetor stranou od lampy ledujte změny po další minuty Každých s až 5 s zapište hodnotu do tabuly Nápověda: Jeliož detetor má jistou tepelnou setrvačnost, nedoporučujeme používat hodnot zísaných ihned po začátu ozařování detetoru nebo ihned po jeho umístění mimo dosah světelného zdroje Zareslete do grafu lineární závislost veličiny y na veličině x, s veličinami x a y vhodně zvolenými tomu, aby bylo možné z grafu snadno uázat, že po vypnutí lampy platí rovnice (7) Zapište definiční výrazy pro proměnné x a y Zareslete do grafu závislost y na x Určete z grafu hodnotu Zareslete do grafu lineární závislost veličiny y na veličině x, s veličinami x a y vhodně zvolenými tomu, aby bylo možné z grafu snadno uázat, že při ozařování detetoru platí rovnice (5) Zapište definiční výrazy pro proměnné x a y Zareslete do grafu závislost y na x Určete ozáření E v ústí detetoru 5 Umístěte solární článe do stejného místa, de byl detetor Zapojte solární článe do vhodného eletricého obvodu sestávajícího z multimetrů a reostatu (rezistoru s proměnným odporem), terým budete měnit zatížení článu Změřte proud v obvodu a napětí na článu pro různé hodnoty odporu 5 Nareslete schéma obvodu, terý použijete v tomto experimentu 5 Otáčením noflíu proměnného rezistoru po malých rocích měníte zatížení článu Zaznamenejte hodnoty proudu I a napětí U v aždé pozici noflíu ln( (T )-(t) ),,8,, y,9x +,95; dev:,5; r,998,6 6 9 t / s Obr 7 Graficá závislost pro určení parametru
č Čs čas fyz 6 () 7 y 9,7x; r,99 (T ) (t) 8,5,,5,6,75 exp(- t/ ) Obr 8 Graficá závislost pro určení ozáření E 5 Zareslete do grafu výon článu, terý dodává zatížení, jao funci proudu článem 5 Odvoďte z tohoto grafu imální výon článu P a odhadněte jeho chybu 55 Zapište výraz pro účinnost článu, terá odpovídá zísanému imálnímu výonu Vypočtěte chybu této hodnoty Řešení T (6 ± ) (T ) (9, ±,) mv Vhodná volba proměnných x a y je napřílad x t; y ln((t ) (t)) Z grafu (obr 7) plyne /, 9 s - a,69 J/K Tedy 7,5 - W/K Vhodná volba proměnných je např x e -t/ ; y (T ) (t) Ze směrnice grafu na obr 8 a plochy jícnu detetoru dostaneme E W/m Plocha jícnu detetoru je det πr det π (, - ) 5, - m s relativní chybou δr det /R det,5 5 chéma příslušného obvodu je na obr 9 Z grafu P (,7 ±,) mw vypočteme účinnost čl 9 mm mm 5-6 m Tedy P / (E čl ),58 olární článe mv Obr 9 chéma zapojení pro měření P/mW ma,5 5, 7,5,,5 I / ma Obr Graf závislosti výonu článu na procházejícím proudu Obr Obsah experimentální sříňy (sříňa obsahuje i pomůcy na druhý experiment, terý zde neuvádíme) Výpočet chyby: δ δ P P + δ E E δ + Relativní chybu δp /P odhadneme z grafu na obr δp /P,6 Relativní chyba δ čl / čl je dána především chybou měříta Odhadněme δ čl / čl,5 Zbývá určit relativní chybu E Ozáření E je vlastně vypočteno průměrováním poměru (viz obr 8) ( T ) ( t) E R B t e Tedy E B/πR det α, δe E δ δb + + B π detα det δrdet δα + R α Z regrese máme δb/b,6 Parametr je vypočten z regrese ln ΔT ln ΔT() / t Položme m /, tedy m Z regrese zísáme δm/m, Konečný výraz pro chybu účinnosti tedy je δ δp δ δb + + + P B δrdet δm δ + + + Rdet m Tedy (5,8 ±,8) % Literatura δα + α http://ccffzucz,8 % [] http://iphophyntnuedutw/syllabushtml [] J Kříž, B Vybíral, I Volf: Čs čas fyz 6, () [] http://iphophyntnuedutw/problems-and-solutionshtml Logo 9 ročníu Mezinárodní fyziální olympiády vrcholové světové soutěže středošolsých studentů ve fyzice outěž se onala na Hanojsé univerzitě