Buckinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003)

Transkript

1 Bucinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003) Formalizace rozměrové analýzy ( výsledné jednoty na obou stranách musí souhlasit ). Rozměr fyziální veličiny Mějme nějaou třídu jednote, napřílad [(g, m, s)]. Nechť fyziální veličina f nabývá v těchto jednotách hodnoty x f. Přešálujme jednoty nějaými reálnými čísly, napřílad (/M, /L, /T): (g, m, s) > (/M g, /L m, /T s). Potom x f R(M, L, T)x f = M α L T γ x f. 2 Funce R(M, L, T) se nazývá rozměrová funce, nebo jen rozměr x f. Značí se taé [x f ]. Např. poud je f hybnost, ta se její hodnota při šálování jednote SI bude transformovat jao x f M L T x f, tj. [x f ] = M L T. Kdybychom zvolili jinou třídu jednote, třeba [(g,m,m/s)], ta by f měla jiný rozměr. Napřílad pro hybnost by platilo [x f ] = M V. Π-teorém Nechť y je funce + n proměnných a,, a, b b n : y: = f(a, a, b, b n ), () de parametry a a mají nezávislé fyziální rozměry (např. {M, L, T}) a rozměry závislé veličiny y a parametrů b, b n se dají vyjádřit jao součiny rozměrů a i, i {,, n}: [y] = [a ] α [a 2 ] α 2 [α ] α, [b i ] = [a ] i [a ] i, α i, i j R. Definujme si bezrozměrné veličiny Π = Π i = y a α a α, Potom funce Φ n proměnných, taová, že platí: b i a i a i. (2) Π = Φ(Π, Π n ). (3) Jinými slovy vztah () se dá přepsat jao vztah mezi n + bezrozměrnými veličinami. Tj. třída, do teré patří systém jednote (g,m,s). Dva systémy jednote patří do stejné třídy, poud se liší jen přešálováním. Napřílad [(g, m, s)] = [(g, cm, min)] [(g, cm, cm/min)]. 2 Že se R dá vyjádřit jao mocninná funce platí pouze za jednoduchého, ale hluboého předpoladu, že všechny systémy jednote v dané třídě jsou si evivalentní, tj. neexistuje žádná distingovaná volba jednote.

2 Kombinací (), (2) a (3) dostaneme α y = f(a, a, b, b n ) = a α a α Φ(Π,, Π n ) = a α a Φ( a,, a n a n). (4) a Návod na vytvoření funční závislosti je tedy taový, že ve vztahu mezi rozměry y a a i [y] = [a ] α [a 2 ] α 2 [α ] α odstraníme hranaté závory a přidáme obecnou funci n bezrozměrných veličin Π i. Poud je y bezrozměrné, ta α i = 0 i {,, } a vztah se zjednoduší ještě víc: y = Φ(Π, Π n ), tj. bezrozměrné veličiny mohou záviset zase pouze na n (nezávislých) bezrozměrných ombinacích parametrů, Π Π n. b b n Vztah 4) taé říá, že jediná funční závislost, de mohou vystupovat jednoty s rozměrem, je součin mocninných funcí. Napřílad ve vztahu y = e x musí x nutně být bezrozměrné. Heuristicy to lze chápat rozvojem e x do mocninné řady: e x = + x + x2 +. Poud by x mělo netriviální rozměr, ta by všechny členy na pravé straně měly jiné rozměry. 2 Přílady Rychlost elasticých vln v izotropním prostředí: Předpoládejme závislost rychlosti vln na hustotě ρ a Laméových oeficientech μ a λ: v = f(ρ, μ, λ), za veličiny s nezávislými rozměry můžeme zvolit třeba ρ a μ, V soustavě SI jsou rozměry v a λ závislé na [ρ], [μ]: Podle Π-teorému musí platit [ρ] = M/L 3,[μ] = M L T 2 L 2 [v] = L = T (L3 M L M T 2 L 2) 2 = [ρ] 2[μ] 2, [λ] = [μ] = [ μ] = [ρ] 0 [μ]. v = ρ 2μ 2Φ ( λ ρ 0 μ ) = μ Φ ρ (λ) = μ ρ μφ( λ ) μ Tj. v v μ musí ubývat s odmocninou ρ a jina závisí jen na poměru λ μ. Volba Φ(x) = x + 2 dá rychlost P-vln: v p = λ+2μ ρ.

3 Volba Φ(x) = dá rychlost S-vln: v s = μ ρ Matematicé yvadlo Chceme najít periodu θ, předpoládejme vztah θ = f(l, g, m), Kde l je déla yvadla, g je tíhové zrychlení a m je hmotnost závěsu. Rozměry argumentů jsou [l] = L, [g] = L/T 2, [m] = M, všechny jsou nezávislé (v aždé je nový rozměr navíc). Dimenze [θ] = T je závislá na [l] a [g], platí [θ] = [l] 2/[g] 2 = [l] 2[g] 2. Podle Π-teorému tedy musí platit θ = l 2g 2Φ(), de prázdná závora naznačuje, že Φ je funce nezávislá na jaémoliv parametru (tedy onstanta, Φ() =: C, protože všechny mají nezávislé rozměry, tedy v Π-teorému máme n = 0. Speciálně nemůže θ záviset na m). Máme proto θ = C l g. Konstanta C (= 2π) se z rozměrové analýzy nedá určit, stačí ale provést jediné měření θ pro dané (l, g). Pythagorova věta Pravoúhlý trojúhelní: Obsah celého trojúhelníu, S c, může záviset jen na φ a na c (tím je pravoúhlý ΔABC dle věty usu určen až na shodnost), máme tedy S c = f(c, φ). [c] = L, [φ] =, [S c ] = L 2

4 Tj. [S c ] = [c] 2 Dle Π- teorému musí platit: S c = c 2 Φ(φ) Apliací stejné úvahy na pravoúhlé trojúhelníy ΔBPC a ΔACP dostaneme S a = a 2 Φ(φ), S b = b 2 Φ(φ) Ze vztahu S c = S a + S b plyne (a 2 + b 2 )Φ(φ) = c 2 Φ(φ), tedy pro φ 0 (protože pa Φ(φ) 0): a 2 + b 2 = c 2 Výbuch atomové bomby

5 Úloha: Určit energii výbuchu v závislosti na čase a poloměru r f tlaové vlny. Předpolad: Výbuch začíná z bodu (bodový model). r f závisí na čase t od výbuchu, celové energii E, počáteční hustotě vzduchu ρ 0, Poissonově onstantě plynu γ (předpolad, že se na sledovaných časových šálách nemění, adiabaticý děj). Vliv počátečního tlau je zanedbán. Nejprve budeme hledat závislost r f = f(e, t, ρ 0, γ). Rozměry veličin jsou: [r f ] = L, [t] = T, [E] = ML 2 T 2, [ρ 0 ] = ML 3, [γ] =. Rozměry E, t, ρ 0 jsou nezávislé, γ je bezrozměrná, [r f ] = L = [E] /5 [t] 2/5 [ρ 0 ] /5. Podle Π teorému tedy musí platit: r f = E /5 t 2/5 ρ 0 /5 Φ(γ) = ( Et2 ρ 0 ) /5 Φ(γ) (5) Taylor použil použil 25 fotografií výbuchu bomby z testu Trinity z rou 945, s časy od 0. ms-62 ms, a zjistil, že závislost r f na t sutečně (na pozorované časové šále) odpovídá vztahu (5), viz obráze níže. Na záladě odhadu Φ(γ) a ρ 0 pa určil E lineární regresí. Přesné řešení problému posytli nezávisle na sobě John von Neumann a Leonid Sedov. Viz Apliace na rate-and-state záony tření