Použitý rezistor (jmenovitá hodnota): R1 = 270 kω je přesný metalizovaný rezistor s přesností ± 0,1%.

Transkript

1 Laboratorní úloha Snímač teploty R je zapojený podle schema na Obr. 1. Snímač je termistor typ B57164K [] se jmenovitým odporem pro teplotu 5 C R 5 00 Ω ± 10 %. Závislost odporu termistoru na teplotě je nelineární a je dána charakteristikou No v příloze. Zapojení je napájeno z 9 V stabilizovaného spínaného zdroje typ RQT666K [3]. Měřené výstupní napětí U1 je závislé na teplotě a je měřené multimetrem typ MT-13 [4] na rozsahu 400 mv DC. Použitý rezistor (jmenovitá hodnota): R1 70 kω je přesný metalizovaný rezistor s přesností ± 0,1%. Obr. 1 - schema zapojení teplotního snímače Úkoly a) Určete nejistotu typu A měření výstupního napětí U1. b) Určete nejistotu typu B měření teploty u T za uvažování následujících zdrojů nejistot (pro tento výpočet uvažujte teplotu v laboratoři jako přesně 5 C): - nejistotu způsobenou změnou napětí napájecího zdroje U0 u u0 - nejistotu způsobenou tolerancí rezistoru R1 u R1 - nejistotu způsobenou vlastnostmi měřícího přístroje c) V závěru zhodnoťte jaké další zdroje nejistot by mohly být uvažovány pro zpřesnění výsledku

2 Řešení a) nejistota typu A Nejistota typu A je získána opakováním eperimentu za stejných podmínek a následným statistickým vyhodnocením. Důležitá poznámka: Je opravdu nutné opakovat celý eperiment. Vypněte a zapněte napájecí zdroj nebo použijte vypínač na přípravku. Pouhé odečtení několika po sobě následujících hodnot na multimetru bez zopakování celého eperimentu je nedostatečné Tab. 3 měřené a vypočtené údaje i Σ U (mv) Aritmetický průměr n i1 n i mv (1) Odhad směrodatné odchylky aritmetického průměru nejistota typu A n ( ) i s i 1 ua s n n( n 1) mv () Protože eperiment opakujeme pouze 8, je třeba vypočtený interval rozšířit > vypočítat korigovanou nejistotu typu A. Jinak řečeno, při opakování eperimentu pouze 3 je získaný interval správný s menší pravděpodobností, než když budeme měření opakovat 10. Hodnoty korekčního koeficientu jsou dané tabulkou Studentova t-rozdělení pravděpodobnosti pro zvolenou úroveň spolehlivosti. Protože budeme výsledek zapisovat ve tvaru: nejlepší odhad(průměr) ± nejistota, budeme z tabulky rozdělení brát jenom polovinu intervalu. Tyto hodnoty jsou přímo uvedené v Tab. 4. Pokud bychom zapisovali výsledek ve tvaru: odhad, nejistoty, použili by jsme celou hodnotu z tabulky t-rozdělení. Tab. 4 korekční koeficient pro normální rozdělení a p 95,45 % (zaokrouhleno) i (počet měření) k (korekční koeficient) 1,0 1,1 1, 1, 1, 1,3 1,3 1,4 1,7,3 7,0 Korigovaná nejistota typu A je u k u mv (3) A K A

3 b) nejistota typu B - nejistota u U0 způsobená změnou napětí napájecího zdroje Z údajů výrobce na Obr. 3 je možné vyčíst, že výstupní napětí napájecího zdroje U0 je v rozsahu 9,15 V ± 0,15 V pro nezatížený napájecí zdroj. Tento předpoklad můžeme považovat za splněný, protože odběr ze zdroje je kolem 10 µa (zjištěno měřením). Za předpokladu známé velikosti intervalu můžeme vypočítat standardní nejistotu podle vztahu u U 0 (4) k Kde je polovina daného intervalu mezi horní a dolní mezí a k je dělitel závislý na rozložení pravděpodobnosti veličiny (rovnoměrné, normální, trojúhelníkové, ). Jeho hodnota je v Tab. 5 Tab. 5 dělitelé pro vybrané rozložení pravděpodobnosti Rozložení pravděpodobnosti Rovnoměrné (pro pravděpodobnost %) Normální (Gaussovo) pro σ (95,45 %) U- rozložení dělitel k 3 6 trojúhelníkové Za předpokladu normálního (Gaussova) rozložení pravděpodobnosti výstupního napětí napájecího zdroje je nejistota jím způsobená: u B 1 mv (5) - nejistota u R způsobená nejistotou u U0 napájecího napětí U0, nejistotou měření napětí U1 a tolerancí rezistoru R1 Pro výpočet této nejistoty je nejprve nutná jednoduchá analýza zapojení obvodu. Výstupní napětí zapojení U1 je závislé na hodnotách R1, R a U0. U 1 f ( U 0, R1, R) (6) Jedná se o odporový dělič, z analýzy obvodů je známo, že R U1 U1 U0 R R1 R+ R1 U0 U1 (7) Musíme proto určit jednotlivé složky nejistoty způsobené změnou U0, U1 a R1. - nejistota u U0 způsobená změnou napětí napájecího zdroje U0 Byla vypočtena v předchozím bodu uu 0 mv - nejistota způsobená tolerancí rezistoru R1 u R1 R1 70 kω ± 0,1 % > R1 R1 0,1% /100 ± 0, 7 kω. Za předpokladu normálního (Gaussova) rozdělení pravděpodobnosti veličiny pro σ platí

4 R1 ur 1 Ω (8) k - Nejistota u U1 měření napětí U1 způsobená vlastnostmi přístroje Ve specifikaci výrobce voltmetru na Obr. 5 a Obr. 6 zjistíme, že pro použitý rozsah 400 mv platí pro přesnost ±(0,5 % změřené hodnoty + 4 digity), rozlišení 100 µv. Za předpokladu největšího napětí 400 mv dostaneme ±(0,5 % změřené hodnoty + 4 digity) ± (0,5 % of reading + 4 digits) ± ( 0,5 % 400 mv µv) ±,4 mv Za předpokladu normálního rozdělení je nejistota accuracy u U1 (9) 3 - nejistota u B určení hodnoty odporu R Nejistota určení hodnoty odporu R je dána nejistotami všech proměnných v rovnici (7), tj. nejistotami U0, U1 a R1. V obecném případě lze vypočítat nejistotu proměnné dané funkčním vztahem f v závislosti na vstupních proměnných 1,,..., n pomocí zákona šíření pravděpodobnosti jako odmocninu součtu druhých mocnin parciálních derivací funkce f podle všech proměnných 1,,..., n vynásobených jmenovitou hodnotou příslušné nejistoty u u,..., u, 1N N nn 1 B u + u + + N u N 1 nn n f f f u Poznámka 1.:Nejistoty měření se vždy sčítají. Pokud jedna nejistota je podstatně větší než ostatní, bude dominantní a žádné zlepšení ostatních nejistot nemůže celkovou nejistotu snížit. Bude nejslabším článkem celého řetězu. Jinak řečeno, celková nejistota je vždy větší než největší složka. Protože předpokládáme nekorelované veličiny, U 1 f ( U 0, R1, R), nejistota je R R R ur uu0 + uu1 + ur 1 U0 U1 R1 U1 R R1 U0 U1 ( R1 U1) ( ) R u U0 u U0 U 0 U0 U1 R R1 U1 R1 uu1 + uu1 U1 ( U0 U1) U0 U1

5 R U1 ur 1 ur 1 R1 U0 U1 u R Nejistota u R ukazuje nejistotu měření hodnoty odporu R způsobenou známými vlastnostmi obvodu. Pro přepočet na nejistotu měření teploty potřebujeme znát závislost odporu R na teplotě. Z údajů výrobce bylo odvozeno, že pro 10 C až 50 C je možné závislost aproimovat eponenciální funkcí [ Ω] R ln 0,0414 T[ C] R[ Ω ] 695 e T[ C] 695 0, Nejistota U RTOL způsobená tolerance hodnoty R Rovnice udává aproimovanou závislost jmenovité hodnoty R na teplotě. Výrobce udává její toleranci ± 10 %, kterou také musíme uvažovat při finálním výpočtu nejistoty měření teploty. R 0 Ω ± 10 % > R R 10% /100 ± 0 Ω. Za předpokladu normálního rozdělení je nejistota R u R TOL k - Nejistota u T měření teploty Nejistota měření teploty T je dána nejistotou způsobenou vlastnostmi zapojení a tolerancí součástek T T ut ur + urtol R R T 5000 R 07 R T 5000 u R u R R 07 R T 5000 u RTOL u RTOL R 07 R u T

6 Přílohy Obr. - Termistor, závislost odporu na teplotě

7 Obr. 3 - Specifikace napájecího zdroje

8 Obr. 4 - Specifikace přesnosti multimetru Obr. 5 - Specifikace přesnosti multimetru Literatura [1] Bell S.: A Beginner's Guide to Uncertainty of Measurement, online ( ) on [] NTC thermistors for temperature measurement, online ( ) on B57164 K164.pdf [3] NTC thermistors for temperature measurement, online ( ) on [4]MT-13 online ( ) on [5] Taylor B. N., Kuyatt Ch. E.: Guidelines for Evaluating and Epressing the Uncertainty of NIST Measurement Results, online ( ) on [6] Appendi V. Uncertainties and Error Propagation, online ( ) on