Obsah 1 Vznik a druhy vlnění 1 2 Interference 3 3 Odraz vlnění. Stojaté vlnění 5 4 Vlnění v izotropním prostředí 7 5 Akustika 9 6 Dopplerův jev 12 1 Vznik a druhy vlnění Mechanické vlnění vzniká v látkách všech skupenství (pevné, kapalné, plynné) v důsledku vazeb mezi částicemi se kmitání jedné částice přenáší na další částice (mluvíme o pružném prostředí) při vlnění nikdy nedochází k přenosu látky, ale může docházet k přenosu energie Postupné mechanické vlnění Při postupném mechanickém vlnění se vzruch šíří látkovým prostředím. (Rovinná/kulová vlna.) podélné příčné Postupné vlnění v řadě bodů podélné Uvažme řadu kuliček spojených vazbou (malými pružinami). To symbolizuje látkové prostředí. jestliže první kuličku vychýlíme z rovnovážné polohy, začne kmitat a postupně se rozkmitají všechny v řadě. (Vzniká postupná vlna.)
kmitání se děje ve směru šíření vlny. Využití: šíření zvuku. Postupné vlnění v řadě bodů příčné Uvažme řadu kyvadel spojených vazbou (vláknem). jestliže první kuličku vychýlíme z rovnovážné polohy, začne kmitat a postupně se rozkmitají všechny v řadě. (Vzniká postupná vlna.) kmitání se děje ve směru kolmém na šíření vlny. Využití: hudební nástroje. Rychlost šíření postupného mechanického vlnění je definováno jako podíl vzdálenosti, do které se vlnění rozšířilo, a příslušného času. je odvislá od látkového prostředí (ve vzduchu cca 330 m/s), teploty,... Vlnová délka zn. λ jedn. m Vzdálenost, do které se vlnění rozšíří během doby odpovídající jednomu kmitu zdroje vlnění. λ = vt = v f kde v je rychlost šíření vln, T perioda kmitání zdroje a f frekvence kmitání zdroje. Rovnice postupného vlnění v řadě bodů Kmitání zdroje se řídí rovnicí y = y m sin ωt = y m sin 2π t T Vlnění se šíří rychlostí v. Do bodu ve vzdálenosti x od zdroje doputuje v čase t = x/v. Tudíž y = y m sin ω(t t ) = y m sin 2π T (t t ) ( t y = y m sin 2π T x ) ( t = y m sin 2π vt T x ) λ 2
Fáze vlnění Výraz za sinem v rovnici postupné vlny. Je to veličina, která rozhoduje o poloze kmitajícího bodu (ve vzdálenosti x a čase t). ( t 2π T x ) λ Fáze se vyskytuje ve všech veličinách popisujících vlnění. Fáze je funkcí času t i polohy x a v obou veličinách je periodická. Ještě k vlnové délce Fázový rozdíl mezi kmitáním zdroje a kmitáním bodu ve vzdálenosti x je ϕ = 2π t ( t T 2π T x ) = 2π λ λ x Odtud vyplývá, že pokud x = kλ, kde k je celé číslo, pak ϕ = 2πk. Kmitům s tímto fázovým rozdílem se říká kmitání se stejnou fází. Někdy se proto též říká, že vlnová délka λ je vzdálenost dvou nejbližších bodů, které kmitají se stejnou fází. 2 Interference Skládání = interference vlnění V jednom místě se mohou potkat vlny pocházející z více zdrojů Jednotlivé vlny v tomto místě vyvolávají kmitavý pohyb částic, jehož skládání se řídí principem superpozice y = y 1 + y 2 + y 3 +... + y n Výchylku výsledného kmitání získáme jako součet výchylek od jednotlivých vln. Skládání = interference vlnění Skládání vln s obecnými parametry je obtížné. Budeme se zabývat jenom speciálním případem, kdy 3
dva zdroje kmitají se stejnou počáteční fází a stejnou amplitudou ale mají různou polohu Rovnice vyvolaných postupných vln jsou: ( t y 1 = y m sin 2π T x 1 λ ), y 2 = y m sin 2π ( t T x ) 2 λ Čísla x 1 a x 2 značí vzdálenosti uvažovaného místa od příslušného zdroje. Skládání = interference vlnění Skládáme tudíž dva izochronní kmity se stejnou amplitudou. ( t y 1 = y m sin 2π T x ) ( 1 t, y 2 = y m sin 2π λ T x ) 2 λ Jak už víme, výsledek je odvislý od fázového rozdílu vlnění ϕ = 2π λ (x 1 x 2 ) = 2π λ d Číslu d = x 1 x 2 říkáme dráhový rozdíl vlnění. Dráhový a fázový rozdíl jsou si přímo úměrné. Interferenční maximum Maximální zesílení nastane v těch místech, kde je fázový rozdíl sudým násobkem π, tedy ϕ = 2kπ, k je celé číslo Pro dráhový rozdíl dostaneme, že 2π λ d = 2kπ, a tedy d = kλ = 2k λ 2 Dráhový rozdíl tedy musí být roven sudému počtu půlvln. V místech, kde výsledné vlnění nejvíce zesílí, říkáme, že nastalo interferenční maximum. Výsledná amplituda je rovna součtu amplitud obou vln. Interferenční minimum 4
Maximální zeslabení nastane v těch místech, kde je fázový rozdíl lichým násobkem π, tedy ϕ = (2k + 1)π, k je celé číslo Pro dráhový rozdíl dostaneme, že 2π λ d = (2k + 1)π, a tedy d = (2k + 1)λ 2 Dráhový rozdíl tedy musí být roven lichému počtu půlvln. V místech, kde výsledné vlnění nejvíce zeslabí, říkáme, že nastalo interferenční minimum. Výsledná amplituda je rovna rozdílu amplitud obou vln. Při stejné amplitudě se obě vlnění navzájem vyruší. Shrnutí Interferencí dvou vlnění o stejné vlnové délce vzniká výsledné vlnění, jehož amplituda je největší v místech, v nichž se vlnění setkávají se stejnou fází, a nejmenší (popřípadě nulová) je v místech, kde se vlnění setkávají s opačnou fází. 3 Odraz vlnění. Stojaté vlnění O jevu odraz vlnění svědčí například ozvěna. Při odrazu na pevném konci se prohodí pořadí kopečků. Nahoře je první kopeček nahoře, dole je první kopeček dole. Při odrazu na volném konci se pořadí kopečků zachová. Nahoře je první kopeček nahoře, dole taktéž. Odraz vlnění na laně na volném konci se stejnou fází na pevném konci s opačnou fází Pokud jedním (volným) koncem lana neustále kmitáme, nakonec se setká postupující a odražená vlna. Jak vypadá výsledek jejich interference? Vznikne zvláštní druh vlnění, které označujeme jako stojaté vlnění. Interference modré a zelené vlny. To, co vzniká, je červeně. Jiný pohled na to, co vznikne. 5
červené body uzly nekmitají vůbec body mezi nimi kmitají se stejnou fází ale různou amplitudou modré body kmitny kmitají s maximální amplitudou (Viz také applet: ph14cz/stwaverefl cz.htm) Postupné vlnění všechny body kmitají se stejnou amplitudou, ale různou fází postupnou vlnou se přenáší energie Stojaté vlnění body kmitají s různou amplitudou, ale stejnou fází některé body (uzly) nekmitají vůbec stojatá vlna vzniká složením dvou vln, postupujících opačnými směry = stojatou vlnou se energie nepřenáší Typické je stojaté vlnění u hudebních nástrojů. Mluvíme také o tzv. chvění. dechové nástroje podélné stojaté vlnění vzdušného sloupce strunné nástroje příčné stojaté vlnění struny Jakou vlnovou délku může mít stojaté vlnění struny (tyče, sloupce vzduchu) o délce l? Závisí na tom, kde je struna upevněna nebo zda chvějící se sloupec vzduchu vzniká v trubici s otevřenými, resp. uzavřenými konci. struna v piáně = oba konce pevné hraní na láhev od piva foukáním přes hrdlo = jeden konec volný, druhý pevný dřívko upevněné uprostřed 6
pevné (uzavřené) konce jsou vždycky uzly volné (otevřené) konce jsou vždycky kmitny vlevo: struna s pevnými konci uprostřed: ozvučné dřívko upevněné uprostřed vpravo: vzduchový sloupec v láhvi s jedním pevným a druhým volným koncem Na struně s pevnými konci musí být celistvý počet půlvln. l = k λ 2 (vždy přibude jeden uzel) Na dřívku upevněném uprostřed musí být lichý počet půlvln. l = (2k + 1) λ 2 (uzel musí přibýt na obou stranách) Ve vzduchovém sloupci s pevným a volným koncem musí být lichý počet čtvrtvln. l = (2k + 1) λ 4 (vždy přibude jeden uzel, ale na konci musí zůstat kmitna) (model stojatých vln navíc není v tomto případě vhodný) Stojaté vlnění na struně délky l (pro jednoduchost s pevnými konci) je tedy možné jen pro určité vlnové délky. Nejdelší vlnové délce λ z = 2l odpovídá nejnižší, tzv. základní frekvence vydávaného tónu: f z = v λ z = v 2l odpovídájí vyšší harmonické frek- Kratším vlnovým délkám λ k = 2l k vence vydávaného tónu: f k = v λ k = k v 2l = kf z Tyto frekvence jsou celistvými násobky základní frekvence (alikvotní tóny). Počet a intenzita alikvotních tónů určuje barvu zvuku charakteristickou pro jednotlivé strunné nástroje. Chvět se mohou nejen struny, ale i desky apod. Při chvění desek vznikají tzv. Chladniho obrazce viz obrázek níže (čáry jsou uzlové body). 7
4 Vlnění v izotropním prostředí V izotropním prostředí se vlnění šíří všemi směry stejnou rychlostí. Například při dopadu kamene na vodní hladinu se na hladině vytvoří kruhové vlny (které postupně slábnou, jak se vlnění utlumuje) Vlnoplocha je plocha, jejíž body kmitají se stejnou fází. Paprsek je přímka určující směr šíření vlny. Paprsek je vždy kolmý na vlnoplochu. Vlnoplochy mohou mít různý tvar: při šíření zvuku z bodového zdroje vznikají ve vzduchu kulové vlny při šíření zvuku z plošného zdroje vznikají přibližně rovinné vlny Šíření vln v izotropním prostředí popisuje Huygensův princip. Každý bod vlnoplochy V 1, do něhož dospělo vlnění v určitém časovém okamžiku, lze považovat za zdroj elementárního vlnění, které se z něho šíří v elementárních vlnoplochách EV. Vlnoplocha V 2 v dalším časovém okamžiku je vnější obalová plocha všech elementárních vlnoploch. Použití Huygensova principu: praktické můžeme popsat šíření vlnění, i když neznáme přesně polohu zdroje teoretické pomocí něho podáme výklad některých jevů pro vlnění charakteristických (odraz, lom, ohyb) Vlnění postupuje prostorem, až narazí na pevnou překážku, která mu brání šířit se dále. Body na rozhraní se postupně stávají zdrojem elementárních vln a z nich se vlnění začíná šířit nazpátek Rovinná vlna, která narazí na vodorovnou překážku pod úhlem α, se pod stejným úhlem také odrazí. Krátce: úhel odrazu se rovná úhlu dopadu Navíc: odražený paprsek zůstává v rovině dopadu (určené dopadajícím paprskem a kolmicí dopadu) 8
Vlnění postupuje prostorem, až narazí na rozhraní dvou prostředí (které mají přibližně stejnou hustotu a v obou z nich se může šířit) V jednom prostředí se šíří rychlostí v 1, v druhém rychlostí v 2 Jiná rychlost šíření má za následek změnu směru šíření vln Lomený paprsek zůstává v rovině dopadu. Jeho odchýlení od kolmice dopadu se změní podle vztahu sin α sin β = v 1 v 2 = n Zde α je úhel dopadu, β úhel lomu a n index lomu vlnění. Ohyb nebo také difrakce vlnění vyjadřuje skutečnost, že zvuk (a do jisté míry i světlo) se mohou šířit i za překážku. U zvuku je tento jev mnohem výraznější než u světla. Uvažme velkou pevnou překážku, ve které je vyříznut malý otvor. Uvažme dále, že na překážku dopadají rovinné vlny. Místa v otvoru se stávají zdrojem elementárního (kruhového) vlnění, které se šíří do všech směrů za překážku. Jak to vypadá konkrétně? Ohyb rovinné vlny na velké štěrbině: vlny pronikají za překážku jen z malé části. Ohyb rovinné vlny za velkou překážkou: vlny pronikají za překážku jen z malé části. Je dobře patrný Fresnelův doplňkový princip. Ohyb rovinné vlny za velmi malou štěrbinou: štěrbinu lze považovat za bodový zdroj (kulových) vln. Ohyb rovinné vlny za štěrbinou velikosti přibližně vlnové délky vlnění: dochází ke vzniku interferenčních obrazců, objevují se místa, kde vlnění zcela zanikne a kde se naopak zesílí. poznámka o účinné plošce ( lλ) omezená platnost principu přímočarého šíření vln 9
5 Akustika Akustika nauka o vzniku, šíření a vnímání zvuku. zvuk mechanické vlnění, které vnímáme sluchem. Rozsah cca 16 Hz 16 khz (skutečná hranice slyšitelnosti je individuální a mění se s věkem) infrazvuk mechanické vlnění o menší frekvenci než 16 Hz ultrazvuk mechanické vlnění o větší frekvenci než 16 khz Periodické zvuky slyšíme jako tóny. jednoduchý tón má harmonický průběh (zhruba odpovídá zpívanému i ) složený tón nemá harmonický průběh (např. jiné samohlásky řeči) Neperiodický zvuk slyšíme jako hluk (šum). Neperiodický průběh má také vyslovení souhlásek, zvláště sykavek. Zvuk se šíří jako podélné postupné mechanické vlnění. Šíření zvuku je tedy možné pouze v látkovém prostředí (narozdíl např. od světla, které si šíří i vakuem). Rychlost zvuku závisí na prostředí (a také teplotě, hustotě/tlaku,...) vzduch 331,82 m/s při 0 C a hustotě suchého vzduchu 1,293 kg/m 3 vzduch v závislosti na teplotě: v = (331,82 + 0,61{t}) m/s beton 1700 m/s, ocel 5000 m/s,... Na šíření zvuku lze pozorovat odraz i ohyb. Odraz demonstruje ozvěna. Je důsledkem vlastnosti sluchu, který dokáže vnímat dva různé zvuky oddělené alespoň dobou cca 0,1 s. Ohyb demonstruje fakt, že druhé lidi slyšíme i za rohem. Hlasitost zvuku je subjektivní veličina. Sluch je nejcitlivější na zvuky mezi 700 Hz až 6 khz. 10
Akustický výkon: fyzikální veličina P definovaná podílem energie E přenesené zvukem (vlněním) daným místem během doby t a této doby. P = E t Sluch vnímá od akustického výkonu P 0 = 10 12 W = 1 pw (pikowatt) práh slyšení. Zvuky o akustickém výkonu větším než 1 W způsobují bolest práh bolesti. Intenzita zvuku zn. I jedn. W. m 2 je fyzikální veličina, definovaná podílem akustického výkonu P, který přísluší energii přenášené kolmo skrze plošku velikosti S, a této plochy. I = P S Hladina akustického výkonu zn. L w jedn. B (bel) je fyzikální veličina definovaná vztahem L w = 10 log P P 0 P 0 = 10 12 W je práh slyšení a P je akustický výkon. Ze vztahu vyplývá, že bel je berozměrná jednotka. V praxi se používá jednotka db (decibel). Samozřejmě 1 B = 10 db. Na obrázku jsou křivky vnímání - zvuky na stejné křivce vnímáme jako stejně hlasité. Vnímání se mění s hladinou (v db) a s frekvencí. Ultrazvuk vyšší frekvence než 16 khz méně ovlivněný ohybem výrazný odraz od překážek méně pohlcován v kapalinách a plynech v lékařství: ultrazvuk se odráží od vnitřních orgánů, někdy může nahradit škodlivé RTG jiné použití: defektoskopie, čištění brýlí a drahých kovů (vyvolává jemné vibrace), psu lze dávat signály ultrazvukovou píšt alkou, netopýr ultrazvukem vidí... 11
Infrazvuk nižší frekvence než 16 Hz dobře se šíří ve vodě (ryby, medůzy jej nezřídka vnímají a jsou schopny poznat příchod vlnobití apod.) pro člověka je škodlivý (při frekvencích kolem 1 Hz tlukotu srdce) 6 Dopplerův jev Jestliže se zdroj zvuku oproti přijímači pohybuje, vnímá přijímač jinou frekvenci zvuku, než jakou zdroj skutečně vysílá. výrazný u rychle jedoucích aut 1. případ: pohybující se zdroj. Zdroj rychlost v. Zvuk rychlost v z. Čas, který uplyne mezi příchody dvou po sobě jdoucích vrcholů vln k pozorovateli je T p = T s = T vt = v z v T v z v z v z Při přepočtu na frekvence f p = v z v z v f, = f p > f 2. případ: pohybující se pozorovatel. Pozorovatel rychlost v. Zvuk rychlost v z. Čas, který uplyne mezi příchody dvou po sobě jdoucích vrcholů vln k pozorovateli je Při přepočtu na frekvence T p = T s v z = T vt p v z = T p = v z v z + v T f p = v z + v f, = f p > f v z 3. případ: pohybující se zdroj i pozorovatel. Pozorovatel rychlost v p, zdroj rychlost v, zvuk rychlost v z. Čas, který uplyne mezi příchody dvou po sobě jdoucích vrcholů vln k pozorovateli je T p = T vt v z 12 + v pt p v z
Při přepočtu na frekvence f p = v z v p v z v f 13