Skládání různoběžných kmitů. Skládání kolmých kmitů. 1) harmonické kmity stejné frekvence :

Transkript

1 Skládání různoběžných kmitů Uvědomme si principiální bod tohoto problému : na jediný hmotný bod působí dvě nezávislé pružné síl ve dvou různých směrech. Jednotlivé mechanické pohb, které se budou skládat, se ted dějí na dvou různých přímkách, v nejjednodušším případě navzájem kolmých (viz dále). Pak je zcela zřejmé, že teoretick jde o rozklad (zde skládání) obecného pohbu do jednoduchých pohbů na souřadných osách, který jsme probírali hned na začátku kinematik hmotného bodu. Nevzniká samozřejmě prostorový pohb, kmit na dvou osách vtvoří výsledný pohb v rovině těchto přímek. Skládání kolmých kmitů Nejjednodušším případem je potom skládání kolmých kmitů, kd můžeme vužít eistence kartézských os, například a. Rozlišíme dva základní případ : ) harmonické kmit stejné frekvence : Předpokládejme na osách a harmonické kmit stejné frekvence, avšak různé amplitud a s různými fázovými konstantami : ( t ) sin( t ) ( t ) sin( t ) Uvědomíme si, že vlastně ihned dostáváme výsledné souřadnice polohového vektoru hmotného bodu a že to současně jsou parametrické rovnice dráh hmotného bodu v rovině. Složením dvou kolmých kmitů vzniká ted rovinná křivka v omezené oblasti kolem rovnovážného bodu (počátku souřadnic), určené maimálními výchlkami hmotného bodu na osách a (tj. amplitudami a ). Obecnou rovnici křivk v kartézských souřadnicích dostaneme vloučením parametru t následujícím způsobem : Upravme formálně například první rovnici : sin( t ) sin( t ) Nní můžeme definovat veličinu, která popisuje fázový posun (rozdíl) kmitů na ose oproti kmitům na ose :

2 fázový rozdíl kmitů Dosadíme zpět do první rovnice a použijeme součtový vzorec pro funkci sinus : sin( t ) sin( t ) cos cos( t Rovnici vdělíme amplitudou a na pravé straně dosadíme z druhé rovnice : cos sin Rovnici připravíme na umocnění : provedeme : sin cos ) sin cos ( cos ) sin Po spojení členů s kvadrát goniometrických funkcí a s vužitím známého vztahu pro jejich součet dostaneme : cos sin výsledná dráha Je to obecná rovnice elips ve středové poloze, kd její střed je totožný se středem souřadnic, osa elips je však odkloněna o ostrý úhel vůči osám souřadnic (viz obr.). Tvar elips závisí zejména na hodnotě fázového rozdílu, lze proto včlenit následující speciální případ :

3 a) Jestliže bude fázový rozdíl : k. (kde k je libovolné celé číslo, tj. kladné i záporné, včetně nul) Potom přejde obecná rovnice elips na tvar : To je rovnice elips v osové poloze, kd os elips splývají se souřadnými osami a (viz obr.): b) Jestliže bude navíc současně platit : Potom dostaneme rovnici kružnice o poloměru () : = 3

4 c) Jestliže bude fázový rozdíl : k. (kde k je opět libovolné celé číslo) Potom se obecná rovnice elips změní na tvar (znaménko + platí pro lichá čísla k ) : 0 To lze upravit : 0 Po odmocnění a přesunu dostaneme (znaménko + nní platí pro sudá čísla k ) : To je rovnice přímk (přesněji řečeno úsečk, protože souřadnice na obou osách jsou omezen amplitudami a ), která prochází kvadrant I. a III. (pro sudé k ), nebo kvadrant II. a IV. (pro liché k, viz obr.). Změnu elips v přímku lze např. na obrazovce osciloskopu velmi dobře optick detekovat, proto je tento stav základem dosti přesné metod určování nulového fázového rozdílu dvou kmitů (nebo rovného libovolnému násobku ). Ostatně, přesným odečtením souřadnic libovolného bodu obecné elips a amplitud lze určit jakýkoliv fázový rozdíl kmitů. 4

5 Např. pro souřadnice průsečíku elips s osou, tj. pro bod ( = 0, = o ) plne z obecné rovnice jednoduchý vztah : o sin fázový rozdíl lze ted určit jako : arc sin o o ) harmonické kmit různé frekvence : Skládání těchto kmitů představuje podobný problém jako u rovnoběžných kmitů - jejich výsledek nelze obecně popsat žádnou známou analtickou funkcí a nejeví obecně ani periodičnost. Uvažme, co vlastně znamená tento pojem v našem případě, kd skládání dvou jednorozměrných pohbů na osách vtváří nějakou dráhu v rovině těchto os. Periodičnost křivk v rovině, která popisuje polohu hmotného bodu, musí stejně jako u skalární funkce znamenat, že po určité době - periodě - dojde k opakování hodnot funkce - zde poloh hmotného bodu. Výsledná dráha pohbu musí ted být uzavřená křivka. Podmínka periodičnosti uzavřenosti křivk dráh vjde potom zřejmě stejná jako u rovnoběžných kmitů : f f T T n n podmínka periodičnosti (uzavřené křivk) Slovně : Úhlové frekvence, frekvence i period výchozích kmitů musí být ted v poměru libovolných celých čísel. 5

6 Vznikají tak, v elektrotechnice, velmi známé Lissajoussov obrazce (viz obr.). Nejjednodušším takovým obrazcem je vlastně elipsa z minulého odstavce, vznikající při skládání kmitů stejných frekvencí, ted při poměru frekvencí :. Poměr frekvencí se jednoznačně projevuje na počtu vrcholů na bocích obrazců, lze tak s vsokou přesností stanovit celočíselný poměr frekvencí kmitů, které přivedeme na svislé a vodorovné vchlovací destičk osciloskopu. Konkrétní tvar Lissajoussova obrazce závisí také na fázovém rozdílu kmitů, je ted teoretick možné také jeho stanovení. Jestliže fázový rozdíl kmitů nebude konstantní, ale bude například rovnoměrně růst, dojde na obrazovce osciloskopu k prostorovému efektu otáčení obrazce (viz různé spořiče obrazovek) (konec kapitol) K. Rusňák, verze 0/005 6