Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Lesnická a dřevařská fakulta Ústav nauky o dřevě Logaritmický dekrement tlumení dřeva BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2008 GABRIELA TROJÁKOVÁ
Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma Logaritmický dekrement tlumení zpracovala sama a uvedla jsem všechny použité prameny. Souhlasím, aby moje diplomová práce byla zveřejněna v souladu s 47b Zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách a uložena v knihovně Mendelovy zemědělské a lesnické univerzity v Brně, zpřístupněna ke studijním účelům ve shodě s Vyhláškou rektora MZLU o archivaci elektronické podoby závěrečných prací. Autor kvalifikační práce se dále zavazuje, že před sepsáním licenční smlouvy o využití autorských práv díla s jinou osobou (subjektem) si vyžádá písemné stanovisko univerzity o tom, že předmětná licenční smlouva není v rozporu s oprávněnými zájmy univerzity a zavazuje se uhradit případný příspěvek na úhradu nákladů spojených se vznikem díla dle řádné kalkulace. V Brně, dne:... Gabriela Trojáková - 2 -
Chtěla bych poděkovat všem, kteří přispěli ke vzniku této práce svou vstřícností a radou. Předně bych chtěla vyjádřit svůj dík Ing.Vladimíru Dánielovi za vlídný přístup, zvláště pak za trpělivé vedení práce. V neposlední řadě bych chtěla poděkovat celému kolektivu Ústavu nauky o dřevě. Práce vznikla za podpory grantu Interní grantové agentury MZLU v Brně IGA - 55/2008 "Materiálový útlum dřeva". Děkuji. - 3 -
GABRIELA TROJÁKOVÁ Logaritmický dekrement tlumení The Logarithmic Decrement of damping Abstrakt Cílem této práce je experimentálení stanovení logaritmického dekrementu tlumení dřeva. Poznatky o této charakteristice se využívají při výrobě hudebních nástrojů. K vlastnímu experimentu jsou použity cedrové rezonanční desky. Zvuk je buzen z několika zdrojů dřevěná a xylofinová palička, jakož i kladívko. K následnému stanovení logaritmického dekrementu tlumení dřeva jsou aplikovány dvě odlišné metody rezonanční metoda a metoda výpočtu ze zvukového záznamu. Klíčová slova Rezonanční deska, logaritmický dekrement tlumení, rezonanční metoda, frekvenční spektrum, rezonanční frekvence, tlumené kmitáním, metoda výpočtu ze zvukového záznamu. Abstract The Aim of this work is experimentally assessment logarithmic decrement of sound absorption dumping of wood. Pieces of knowledge about this parameter are using for production musical instruments. For self-experiment are used cedar resonant plates. Sound is excited of several sources wooden and xylophone stick, as well as little striker. In consequence we can appoint the logarithmic decrement of sound absorption dumping of wood. Here are applied by two different method Resonant method and Sound record counting method. Keywords Resonant plate, sound record, Logarithmic decrement of sound absorption dumping of wood, Resonance method, Frequency spektrum, Resonance Frequency, Damped oscillation, Sound record counting method. - 4 -
OBSAH 1. ÚVOD... 6 2. CÍL PRÁCE... 8 3. LITERÁRNÍ PŘEHLED... 9 3.1 MECHANICKÉ KMITÁNÍ... 9 3.1.1 Harmonický kmitavý pohyb... 10 3.1.2 Složené kmitání... 11 3.1.3 Tlumené kmitání... 15 3.1.4 Logaritmický dekrement tlumení... 16 3.2. MECHANICKÉ VLNĚNÍ...20 3.2.1 Vlnová rovnice... 22 3.2.2 Interference vlnění... 23 3.2.3 Stojaté vlnění... 24 3.2.4 Chvění... 26 3.2.5 Hygensův princip... 27 3.3 ZVUKOVÉ VLNĚNÍ... 29 3.3.1 Rezonance... 30 4. METODIKA... 32 4.1 VÝPOČET LOGARITMICKÉHO DEKREMENTU TLUMENÍ POMOCÍ REZONANČNÍ METODY... 32 4.2 VÝPOČET LOGARITMICKÉHO DEKREMENTU TLUMENÍ ZE ZVUKOVÉHO ZÁZNAMU... 37 4.3 PŘÍSTROJE POUŽITÉ PŘI EXPERIMENTU... 41 5. VÝSLEDKY... 44 5.1 REZONANČNÍ METODA... 44 5.2 METODA VÝPOČTU LOGARITMICKÉHO DEKREMENTU TLUMENÍ ZE ZVUKOVÉHO ZÁZNAMU... 47 5.3 SROVNÁNÍ REZONANČNÍ METODY S METODOU VÝPOČTU ZE ZVUKOVÉHO ZÁZNAMU... 52 6. DISKUZE... 54 7. ZÁVĚR... 56 8. SUMMARY... 58 9. POUŽITÁ LITERATURA... 59 10. PŘÍLOHY... 61-5 -
1. Úvod Ve výrobě hudebních nástrojů mají nezastupitelné místo rezonanční desky. Spolupůsobí jako rezonátory při tvorbě tónu. Je tedy možné říci, že svými vlastnostmi ovlivňují jeho kvalitu. Determinace kvality vyzařovaného tónu je v případě rezonančních desek natolik významná, že je nezbytné věnovat zkoumání jejich akustických vlastností zvýšenou pozornost. Akustické vlastnosti jsou vyjadřovány schopností materiálu utlumit, vést nebo zesílit zvuk. Materiálem desek je dřevo. Právě dřevo se svými specifickými vlastnostmi umožňuje vyzařování zvuku, který se stává charakteristickým pro jednotlivé nástroje. Druh dřeva, jeho mechanické vlastnosti, chemické atributy, a také fyzikální charakteristiky podmiňují vlastnosti výsledných nástrojů. Dřevo jako organický materiál nám také poskytuje různé metody zkoumání jeho vlastností. Tyto metody pak lze aplikovat při zkoumání akustických vlastností prvků hudebních nástrojů, kterými jsou i rezonanční desky. Jednou z fyzikálních charakteristik, která primárně popisuje vlastnosti dřeva, a je zároveň aplikovatelná při popisu vlastností rezonančních desek je logaritmický dekrement tlumení dřeva. Jde o fyzikální veličinu, která je ukazatelem ztráty přenosu zvuku přes dřevo. Buzený zvuku se šíří prostorem. Jako jeho tlumič působí celá škála sil, jako je například odporová síla prostředí v němž se zvuk šíří. Všechny síly mají vliv na tlumení mechanického kmitání, kterým zvuk je. Charakter prostředí je jedním z nejdůležitějších faktorů. Logaritmický dekrement tlumení dřeva popisuje působení okolních i vnitřních sil na tlumení mechanické kmitání při jeho přenosu přes dřevo. Pro výpočet logaritmického dekrementu tlumení dřeva existuje několik metod. Nejběžněji užívanou metodou je rezonanční metoda. Její metodiku a průběh specifikuje norma ČSN 49 0124. Zakládá se na porovnávání dvou po sobě jdoucích amplitud zvukového signálu. Vzorec pro logaritmický dekrement tlumení dřeva vycházející z této metody do značné míry zjednodušuje podmínky, ve kterých se zkoumané tělísko během měření nalézá. Lze také říct, že vlivy některých vlivů zcela zanedbává. Samotná metoda - 6 -
vyžaduje velmi kvalitní snímače kmitání, které mají široké rozpětí snímatelnosti signálu. Pro tyto i jiné problémy, které jsou s aplikací rezonanční metody spojeny, byly vyvinuty snahy o vytvoření dalších metod výpočtu logaritmického dekrementu tlumení. Hlavní důraz byl kladen na zohlednění vnějších i vnitřních faktorů působících na rezonanční desku u níž měření probíhá. Právě zohledňováním těchto charakteristik se zabývá metoda výpočtu logaritického dekrementu tlumení ze zvukového záznamu. - 7 -
2. Cíl práce Cílem práce je experimentální stanovení logaritmického dekrementu tlumení dřeva. Pro vlastní experiment jsou použity nedokončené rezonanční cedrové desky, z nichž jsou vymanipulovány experimentální tělíska o předem daných rozměrech. Logaritmický dekrement tlumení je vypočten na základě dvou metod rezonanční metody a metody výpočtu logaritmického dekrementu tlumení ze zvukového záznamu. Obě metody se liší charakterem buzeného zvuku. Pro první metodu je zdrojem zvuku reproduktor, který buzedí zvuk s logaritmicky se vyvíjející frekvencí ze záznamu. Pro druhou jsou užity paličky dřevěná, xylofonová a ocelové kladívko. Ke snímání zvukového záznamu slouží bezdotykové měření mikrofonem, nebo v případě druhé metody piezoelektrický snímač umístěný kontaktně do středu experimentálního tělíska. Naměřená data jsou dále zpracovávána pomocí počítačových programů umožňujících aplikaci vzorců pro výpočet logaritmického dekrementu tlumení. Tyto vzorce jsou definovány pro každou metodu odlišně. Získané výsledky poslouží mimo jiné ke komparaci hodnot a kvalifikaci jednotlivých metod. - 8 -
3. Literární přehled 3.1 Mechanické kmitání Kmitání a vlnění patří k nejrozšířenějším jevům v přírodě. Jako kmitání (oscilace, kmity) je označován takový pohyb, při kterém se hmotný bod nebo celá soustava hmotných bodů střídavě pohybuje kolem své rovnovážné klidové polohy (Syrový, 2003). Vzhledem k tomu, že kmitavý pohyb lze definovat i jako pohyb dokonale tuhého tělesa nebo hmotného budu, jehož průběh je možno popsat s použitím periodických funkcí času, lze konstatovat, že kmitavý pohyb vykazuje určité znaky periodičnosti v čase. Ta se projevuje zpravidla tím, že pohyb se po uplynutí určitého časového intervalu přesně, nebo alespoň přibližně opakuje (Ungermann, 1973). Pro mechanické kmitání je charakteristické, že těleso se při pohybu neustále vrací do tzv. rovnovážné polohy. Jestliže těleso tento pohyb koná pravidelně, označujeme ho jako pohyb periodický (z řeckého peri = okolo a hodos = cesta) Při kmitání dokonale tuhého tělesa se nemění vzájemná vzdálenost jednotlivých bodů tělesa, tj. těleso se pohybuje jako tuhý celek. Naproti tomu, kmitají-li jednotlivé body tělesa tak, že se přitom těleso nikoli zanedbatelně deformuje, hovoříme o chvění nebo vlnění. (Ungermann, 1973). Závislost okamžité polohy kmitajícího tělesa na čase zobrazuje časový diagram, kde na ose x je čas a veličina na ose y je úměrná okamžité poloze tělesa. (Matematicko fyzikální web) Obr. 1 Časový diagram (Encyklopedie fyziky) - 9 -
3.1.1 Harmonický kmitavý pohyb Za periodický považujeme pohyb, při kterém se těleso (hmotný bod) vrací pravidelně do své rovnovážné polohy. Těleso nebo bod se pohybuje v uzavřené trajektorii. Lze tento pohyb také označit jako pravidelné opakování pohybového stavu tělesa. Obr. 2 Harmonický pohyb (Matematicko fyzikální web) Periodický pohyb, jehož grafem závislosti okamžité výchylky na čase je sinusoida, popřípadě kosinusoida se nazývá harmonický pohyb (Svoboda, 1996). Sinusoida pak označuje základní graf funkce y = sin x, včetně jeho libovolného posunu po libovolné ose. Obr. 3 Amplituda (Matematicko fyzikální web) Nejkratší doba, za kterou dojde k opakování téhož pohybového stavu, je perioda (T). Periodou proto rozumíme dobu, za kterou hmotný bod pohybující se po kružnici vykoná právě jednu otáčku. Počet opakování téhož pohybového stavu za časovou jednotku je frekvence f. Frekvence je nepřímo úměrná době periody T harmonického pohybu (1). -1 [ s ] [ Hz] 1 f = = T (1) - 10 -
Jednotkou periody je sekunda. Jednotkou frekvence je hertz (Hz). Jeden hertz je frekvence periodického pohybu, jehož perioda trvá jednu sekundu. (Matematicko fyzikální web). Jestliže mechanicky dokonale tuhé těleso bod (hmotný bod) kmitá, je jeho okamžitá poloha určena souřadnicí y, která se nazývá okamžitá výchylka. Okamžitá výchylka se s časem mění v závislosti na funkci sinus - nabývá tedy kladných i záporných hodnot. Absolutní hodnota největší výchylky se nazývá amplituda výchylky (maximální výchylka) y m (Encyklopedie fyziky). Veličina bodu z rovnovážné polohy(2). y m je největší výchylkou hmotného y = ym sin wt (2) Úhel ωt nazýváme fáze harmonického pohybu a veličinu ω úhlová frekvence, pro kterou platí (3) -1 [ rad ] 2p w = 2pf = s T Kmitání však nesouvisí pouze s pohybem hmotných bodů, ale obecně představuje každý fyzikální děj, u něhož se v závislosti na čase střídavě mění velikost některé charakteristické veličiny. Kmitavý pohyb po křivce (kruhu) je při rozvinutí v časové ose definován jako nerovnoměrný přímočarý pohyb, respektive jako netlumené harmonické kmitání bodu X. (3) 3.1.2 Složené kmitání Pokud na soustavu působí dvě nebo více sil současně, z nichž každá je schopna vyvolat samostatný harmonický pohyb soustavy, oba pohyby se skládají a vzniká tak výsledný pohyb, který označujeme jako složené kmitání. Při skládání několika kmitavých pohybů do jednoho vycházíme z principu superpozice. Mají-li jednotlivé harmonické kmitavé pohyby okamžité výchylky y 1, y 2,...y n, je okamžitá výchylka výsledného kmitání rovna y = y 1 +y 2 +...y n. Časový průběh výsledného kmitání závisí na amplitudě okamžité výchylky, frekvenci a počáteční fázi jednotlivých jeho složek. Okamžité výchylky mohou mít kladnou i zápornou hodnotu. (Lepil, 1994) - 11 -
Obr. 4 Harmonický pohyb (Encyklopedie fyziky) Na principu superpozice je založeno i grafické znázorňování složeného kmitání. Jde o sčítání, popř. odečítání délek úseček, odpovídajících okamžitým výchylkám v jednotlivých okamžicích s přihlédnutím ke znaménku výchylky. Křivka proložená takto získanými koncovými body určuje grafické znázornění, potažmo časový průběh složeného kmitání. Ke skládání kmitů dochází, má-li soustava konat několik nucených kmitů současně (Syrový, 2003). Složené kmitání může mít různý průběh. Nejjednodušším případem, který dosáhneme superpozicí dvou harmonických kmitání je kmitání o téže amplitudě výchylky, která kmitá v jedné přímce a se stejnou úhlovou frekvencí(4). y = m = ym y (4) 1 2 m Výsledný harmonický nebo neharmonický charakter složeného kmitání je dán parametry soustav (oscilátorů). Důležitou roli zde hraje frekvence. V případě její shodnosti je výsledné kmitání harmonické (lze usuzovat, že výchozí parametry soustav byly stejné). Pokud ovšem frekvence je různá (hlavně díky odlišným parametrům soustav), pak výsledné kmitání bude periodické, nikoli však harmonické. Platí zde jednoduché pravidlo : Jestliže poměr frekvencí nebo period je roven 1 je výsledný kmitavý pohyb harmonický. Obr. 5 Skládání kmitů (Matematicko fyzikální web) - 12 -
Výsledné kmity soustavy jsou závislé nejen na amplitudě a frekvenci časového průběhu vnějších sil a na jejich vzájemném fázovém vztahu, ale také na směru ve kterém tyto síly na soustavu působí. V případě složeného kmitání může nastat několik základních situaci, které vychází z předem definovaných parametrů soustav. Mezi proměnné, jež v případě specifických kombinací jasně podmiňují výsledný charakter složeného kmitání, patří hlavně: - Rozlišení počtu působících sil - Určení směru působících sil - Shodnost nebo rozdílnost frekvence, kterou kmitají působící síly - Shoda nebo rozdílnost amplitudy a fáze kmitání všech působících sil Nejjednodušší situace nastává, pokud dvě působící síly mají stejný směr i frekvenci, ale rozdílnou amplitudu a fázi. V tomto případě se bezevšeho uplatňuje princip superpozice, okamžitá amplituda výsledného kmitání je dána prostým součtem okamžitých amplitud dílčích kmitů. Poněkud složitější situace nastane pří skládání dvou i více kmitání stejného směru a různé frekvence. Sčítají se opět okamžité amplitudy jednotlivých kmitů, avšak výsledný průběh nemá již sinusový průběh a nemusí být vždy periodický. (Syrový, 2003) Obr. 6 Příklady skládání kmitů (Matematicko fyzikální web) Pokud by se fázový rozdíl rovnal nule, tzn. Že počáteční fáze všech působících sil by byla shodná, okamžitá amplituda výsledného kmitání by byla největší. Jestli že by se fázový rozdíl rovnal π, fáze v tomto případě dvou složek by byla opačný, pak je - 13 -
okamžitá amplituda výsledného kmitání nejmenší. Složené kmitání má stejnou počáteční fázi jako složka s větší amplitudou. (Matematicko-fyzikální web) Zvláštní případ nastává, když se úhlové frekvence složek velmi málo liší. Z dalšího obrázku je patrné, že amplituda výsledného kmitání se periodicky zvětšuje a zmenšuje. Vzniká složené kmitání, které nazýváme rázy neboli zázněje. Amplituda rázů se mění s frekvencí f = f 1 f 2. To znamená, že při postupném přibližování frekvencí obou kmitání se frekvence rázů zmenšuje. Pro f 1 = f 2 rázy zaniknou. Rázy jsou velmi citlivým indikátorem pro sladění dvou současně znějících tónů. Vymizí-li rázy, jsou oba tóny dokonale sladěny. (Encyklopedie fyziky) Obr. 7 Vznik rázů, záznějí (Matematicko fyzikální web), (Brepta, 1994) Skládání kmitů nemusí probíhat jen v jednom směru, ale také se vyskytují případy skládání v různých směrech. Kmity se v těchto případech skládají vektorově. Výsledné kmitání pak v tomto případě koná pohyb křivočarý v rovině. Vzhledem k vlastnostem kmitů probíhajících v různých směrech lze také uvažovat výsledný pohyb křivočarý v prostoru. Jestliže se kmity dějí v přímkách navzájem kolmých (tj. kmitů, jejich fázový rozdíl je p ) a frekvence f jsou v poměru celých čísel, vznikají Lissajousovy křivky. Tvar 2 těchto obrazců závisí na poměru frekvencí obou kmitů a na vzájemném fázovém rozdílu obou kmitů. Fázové posunutí je vztaženo ke kmitu s vyšší frekvencí. - 14 -
Obr. 8 Lissajousovy křivky (Matematicko fyzikální web) 3.1.3 Tlumené kmitání Kmitání vznikající na základě mechanických kmitů soustav je dále determinováno vnějšími vlivy. Vzhledem k tomu, že většinou díky těmto vlivům dochází k útlumu, nazýváme takové kmitání tlumeným. Tlumené kmitání vzniká proto, že proti pohybu každé mechanické soustavy působí třecí síly. Tyto síly jsou také původcem práce, která vede k přeměně mechanické energie kmitání v jiný druh, například v energii tepelnou (zohledňujeme skutečné vnější podmínky). Tím se zmenšuje amplituda a kmitající soustava přejde postupně do klidu. Zmenšování amplitudy tohoto volného tlumeného kmitání lze označit jako postupné. Kromě amplitudy se zmenšuje i perioda kmitání. Obr. 9 Tlumené kmitání (Encyklopedie fyziky) Tlumené kmitání ovšem nevyvolávají jen síly působící na kmitající soustavu z vnějšku, ale tyto síly mohou vycházet i z vnitřních vlivů, charakteristik, které determinuje sama soustava. Jde například o vnitřní tření uvnitř soustavy, a nebo materiálové tlumení, které se na celkovém tlumení může podílet velkou měrou. Výsledná tlumící síla, skrze kterou - 15 -
definujeme celkové tlumení, je potom výslednicí všech odporových a třecích sil, které působí proti pohybu soustavy. (Tomášek, 1977) Kdybychom kmitající kuličku ponořili do různých prostředí, tak může dojít k následujícím jevům aperiodický přetlumený pohyb, kdy těleso nepřejde přes rovnovážnou polohu. kritický tlumený aperiodický pohyb, kdy těleso dojde do rovnovážné polohy. tlumený periodický kmitavý pohyb. Obr. 10 Kulička ponořená do různých prostředí (Matematicko fyzikální web) Kmity, jejichž amplituda výchylky se s časem nemění buď proto, že tlumící síla neexistuje (popřípadě je zanedbatelná), anebo proto, že ztráty mechanické energie soustavy jsou kompenzovány prací vnějších sil na soustavu působící, se nazývají netlumené. (Tomášek, 1977) Tlumené kmitání je možno popsat rovnicí:, kde b je koeficient útlumu. Body, které mají maximální výchylku téhož znaménka, leží na grafu exponenciální funkce. 3.1.4 Logaritmický dekrement tlumení Logaritmický dekrement tlumení je ukazatelem ztráty přenosu zvuku přes materiál, v našem případě přes dřevo. Odpovídá přirozenému logaritmu faktrou útlumu b. Z fyzikálního hlediska ho lze definovat pomocí rozboru tlumeného mechanického kmitání. - 16 -
1. Poměr po sobě následujících amplitud λ je konstantní a jeho přirozený logaritmus se nazývá dekrement tlumení; označujeme ho J (5), (6). A l = A n n+ 1 = g ln l = T 2 Ae Ae g = 2 f g - t 2 g - ( t + T ) 2 = J = e g T 2 (5) (6) Kde λ je poměr po sobě následujících amplitud a γ konstanta útlumu.(rajčan, 1998) 2. Přirozený logaritmus po sobě jsoucích amplitud volného kmitání tlumené soustavy v čase t n a soustavy u 0,n+1 v čase t n +2π/ Ω t se nazývá logaritmický dekrement θ Jelikož amplituda v čase t n je -b p W t u n a v čase t n +2π/ Ω t 0, n = Ce platí (7) u 0, n+ 1 = Ce -b p W t n ( + 2p / W ) t u q = ln u 0, n 0, n+ 1 = 2p b 2 p 1-b 2 p (7) kde b p odpovídá poměrnému útlumu soustavy. Podle Brepty lze logaritmický dekrement tlumení rovněž určit z úbytku maximální potenciální energie. Označíme-li maximální potenciální energii v n-té periodě E p,n, v (n+k)-té periodě E p, n+k a jějí měrný úbytek pak pro logaritmický dekrement platí vztah (8) D E p = E p, n - E p, n+ k q = 1 DE 2k E, p p n (8) (Brepta, 1994) - 17 -
3. Pro model pružně plastického tělesa v čase můžeme definovat akumulační energii, která při dynamickém pohybu způsobuje útlum kmitání. Tento útlum je charakterizován veličinou Loss factor, případně dalšími odvozenými veličinami (Mechel, 2002) (9). h ( w) = D 2pU ( w) L 1 = = ( w) p Q( w) = 2x = tand ( w) (9) kde: h - Loss factor (ztrátový činitel) L Q tan d x - Logaritmický dekrement tlumení - Quality factor - Loss tangent - Damping ratio K měření logaritmického dekrementu tlumení lze použít hned několik metod. Nejrozšířenější je rezonanční metoda, u které stačí znát pouze hodnotu rezonanční frekvence f 0 a šířku rezonanční křivky f 2 f 1, (podmínkou je, aby tyto frekvence měli poloviční amplitudu oproti frekvenci rezonanční). Obr. 11 Graf odvození logaritmického dekrementu tlumení (Jung, 2006) Pokud je tlumení malé, můžeme velikost Loss faktoru vypočítat ze vztahu (10) Df f r Dw = = h w r (10) - 18 -
Z výše uvedených definice logaritmického dekrementu je pak již zřejmý převodový vzorec pro určení velikosti logaritmického dekrementu (11) h ( w) L = (11) p (JUNG, 2006) Pro logaritmický dekrement tlumení tedy platí (12) f 2 - d = p 3 f 0 f 1 (12) Jelikož se v literatuře objevují různá použitá písmena řecké abecedy pro stejné veličiny, jsou v tabulce uvedeny veličiny se značením podle soustavy SI (Veličiny a SI jednotky). Tab. Název veličin podle SI (Veličiny a SI jednotky) : Logaritmický dekrement Součinitel tlumení tlumení Útlum Λ... velké lambda... bezrozměrná veličina δ... malé delta s... 1 reciproká sekunda λ... malé lambda...bezrozměrná veličina - 19 -
3.2. Mechanické vlnění Mechanické vlnění je zvláštním případem kmitavého pohybu pružného prostředí. (Syrový, 2003) Příčinou vlnění je existence vazebných sil mezi částicemi prostředí. Vazebné síly zprostředkovávají přenos signálu z jedné částice na druhou. Díky tomuto přenosu je vyvolána reakce částic, která se projevuje jako rozkmitání. Vlnění potom označuje rozruch, který vyvolá rozkmitání částic. Šíření tohoto rozruchu, tedy vlnění, označuje přenos kmitání z jedné částice na sousední. Rychlost šíření rozruchu závisí na fyzikálních vlastnostech prostředí. Přenosem kmitání mezi částicemi v látkovém prostředí vznikají vlny. Pokud částice (hmotný bod), který je součástí vlnění kmitá harmonicky, vlna má sinusový průběh. Vlna se šíří konstantní rychlostí, která závidí pouze na vlastnostech bodové řady (prostředí) a nezávisí na vlastnostech šířené zvukové informace, např. frekvenci (Syrový, 2003). Šíření vln není spojeno s přenosem látky nýbrž šířením se přenáší energie. Nejjednodušším případem vlnění je šíření rozruchu (vln) pouze v bodové řadě. Pokud prvotní rozruch rozkmitá první bod řady v kolmém směru na tuto řadu, pak také i ostatní body se rozkmitají kolmo příčně na směr šíření vlnění.(syrový, 2003) Vlnění je vždy postupné, pokud se po prvotním vzruchu šíří jedním směrem. Kmitají li tyto částice kolmo na směr šíření vlnění, označujeme toto vlnění za příčné. Je-li směr kmitání shodný se směrem šíření vlnění, nazýváme vlnění podélné. Příčné postupné vlnění je charakterizováno vrchem a dolem, podélné vlnění pak zhuštěním a zředěním. V tuhých látkách se může šířit vlnění příčné i podélné, jelikož pružné síly v tuhých látkách vznikají jak při změně tvaru, tak i při změně objemu (uvnitř kapalin a plynů se může šířit jen podélné vlnění). Všechny částice prostředí, ve kterém se šíří vlnění kmitají kolem stálé rovnovážné polohy. Nepohybují se tedy ve směru šíření vlnění (Ungermann, 1973). Pokud jsme si objasnili podstatu periody a frekvence při mechanickém kmitání, nutno tyto veličiny vymezit také pro mechanické vlnění. Perioda (T) je doba kmitu částic prostředí a frekvence (f) bude potom převrácená hodnota periody. - 20 -
Za charakteristickou pro vlnění považujeme vzdálenost, kterou šířící se vlna urazí za dobu jedné periody (T). Tato vzdálenost se nazývá vlnová délka λ. Lze ji definovat jako vzdálenost dvou nejbližších bodů, které kmitají se stejnou fází (Lepil, 1994) Body vzdálené od sebe o půl vlnové délky kmitají s opačnou fází (13). l = v T = v f [ m] (13) Jako c rozumíme rychlost šíření [ms -1 ] Obr. 12 Vznik postupného vlnění (Matematicko fyzikální web) Vlnění se šíří pružným prostředím konečnou rychlostí v (14). s v = t (14) Vzorec platící pro rychlost vlnění v pružném prostředí vychází ze vzdálenosti s, do níž se vlnění rozšíří za čas t. Šíří li se vlnění v daném prostředí všemi směry stejnou rychlostí, mluvíme o prostředí izotropním. Prostředí, ve kterém není rychlost ve všech směrech stejná, se nazývá anizotropní. (Ungermann, 1973). U mechanického kmitání jsme zobrazovali graf závislosti okamžité výchylky na čase (viz obr. 22). U vlnění není ale čas jediným parametrem, jedinou neznámou, protože závisí i na tom, do jaké vzdálenosti se vlnění rozšíří. Má tedy smysl zakreslovat i graf závislosti okamžité výchylky na vzdálenosti kmitajících bodů od zdroje vlnění (viz obr. 23). Tvrzení Okamžitá výchylka vlnění v čase t je y. nemá z fyzikálního hlediska - 21 -
smysl. Závisí totiž na tom, ve kterém bodě tuto výchylku vyšetřujeme (Matematickofyzikální web) Obr. 13 Vlnová délka (Matematicko fyzikální web) 3.2.1 Vlnová rovnice Stejně jako mechanického kmitání, tak při popisu vlnění hraje důležitou roli pohybová rovnice vlny. Zatímco při mechanickém kmitání byla okamžitá výchylka kmitajícího bodu jen funkcí času podle rovnice y = y m sin ωt, u mechanického vlnění jsou veličiny ho popisující jak funkcí času, tak funkcemi polohy bodu, kterým vlnění prochází. Pokud uvažujeme postupné vlnění (nejjednodušší možné mechanického vlnění), konstatujeme, že vlnění se šíří řadou hmotných bodů ze zdroje dál do prostředí. (Lepil, 1994) Vztah definovaný vlnovou rovnicí popisuje postupné mechanické vlnění, a zároveň umožňuje určit okamžitou výchylku v každém bodě řady, kterou se vlna šíří. Amplituda, nebo-li výchylka závidí nejenom na čase, ale také na vzdálenosti x od zdroje vlnění (15). æ t x ö y = ym sin 2p ç - (15) è T l ø Rovnice platí pro příčné i podélné harmonické vlnění v homogenním prostředí (Svoboda, 1996). - 22 -
Obr. 14 Rovnice postupné vlny (Matematicko fyzikální web) 3.2.2 Interference vlnění Pokud se bodovou řadou (kterou uvažujeme jako nejjednodušší případ vlnění) šíří dvě různá vlnění, pak se určitou dobu šíří samostatně, ovšem jen do chvíle, kdy se setkají. Pak se skládají, čili interferují v jedno výsledné vlnění. Interference nastává většinou pokud v jedné soustavě je více zdrojů kmitání. V nejjednodušším případě interference vlnění každý bod koná současně dva kmity. Probíhají li ve stejné přímce, je výchylka výsledného kmitu rovna součtu výchylek obou kmitavých pohybů. Uplatňuje se zde princip superpozice. K tomu, abychom mohli skládající se vlnění označit za interferující, musí být aplněny tyto podmínky: 1. existence minimálně dvou vlnění 2. všechna uvažovaná vlnění mají stejnou vlnovou délku ( tato podmínka není nezbytně nutnou podmínkou pro vznik interference, ovšem při jejím splnění dochází k nejvýraznějším reakcím) 3. mezi vlněními vznikl dráhový nebo fázový rozdíl Stejně jako u mechanického kmitání i u vlnění je jedním z rozhodujících proměnných rozdíl frekvencí jednotlivých vlnění. Vlnění se zesilují, jestliže původní vlnění jsou ve stejné fázi. Pokud jsou vlnění s opačnou fází, pak dochází k zeslabování (výsledná amplituda je dána rozdílem amplitud). Pozorujeme-li vlnění sudého počtu, pro zjednodušení uvažujme dvě vlnění, pokud tyto vlnění kmitají s opačnou fází, pak se interferencí vyruší. - 23 -
Důležitý je kvantitativní počet celistvých půlvln, kterému se rovná fázový rozdíl. Při sudém počtu půlvln interferující vlnění se setkávají v každém bodě se stejnou fází a vzniká vlnění, jehož výsledná amplituda je rovna součtu amplitud výchylek složek. Vzniká interferenční maximum. Obr. 15 Interference vlnění (Matematicko fyzikální web) Pokud interferující vlnění se setkávají s opačnou fází, je počet půlvln lichý a amplituda výchylky výsledného vlnění je rovna absolutní hodnotě rozdílu amplitud složek. Vzniká interferenční minimum.(svoboda, 1996) Obr. 16 Interference vlnění (Matematicko fyzikální web) 3.2.3 Stojaté vlnění Pokud dvě postupná vlnění o stejné amplitudě a frekvenci interferují proti sobě stejnou rychlostí a body vlnění kmitají shodným směrem, dochází ke stojatému vlnění. Při stojatém vlnění, na rozdíl od postupného, kmitají všechny body se stejnou fází, ovšem velikost výchylky je v každém bodě jiná.(syrový, 2003) - 24 -
Na konci řady bodů, po které vlnění postupuje mohou nastat tyto situace: 1. Konec řady je pevný a k odrazu vlnění dochází s opačnou fází. 2. Konec je volný, vlnění je odraženo se stejnou fází.. Obr. 17 Odraz vlnění od pevného /volného konce (Matematicko fyzikální web) Kmitá-li jeden konec pružného vlákna trvale harmonicky, postupuje vlnění k jeho pevnému konci, tam se odráží a vrací se zpět ke zdroji a dochází ke skládání (interferenci) přímého a odraženého vlnění. Tento typ vlnění se nazývá stojaté vlnění. (Encyklopedie fyziky) Body s maximální amplitudou kmitání jsou označovány jako kmitny. Jde o body, které kmitají s maximální amplitudou. Kmitny jsou od sebe navzájem vzdáleny o celé násobky poloviny vlnové délky. Naopak body s nulovou amplitudou jako uzly stojatého vlnění (Syrový, 2003). Jedná se o body, které zůstávají neustále v klidu.rovněž tyto body jsou od sebe vzdáleny o polovinu vlnové délky. Stojaté vlnění lze vypočítat superpozicí dvou vln se stejnými amplitudami, které se pohybují v opačném směru. Tyto rovnice tak platí za předpokladu, že při odrazu nedochází k žádnému tlumení. Lze psát (Brepta, 1994) Stojaté vlnění může být příčné nebo podélné. Při příčném stojatém vlnění bodu soustavy kmitají kolmo na směr šíření vlnění. Na rozdíl od toho při podélném stojatém vlnění body soustavy kmitají ve směru šíření vlnění, čímž dochází na určitých místech k jejich zhuštění nebo zředění. Mezi postupným a stojatým vlnění jsou zásadní rozdíly: 1. Při postupném vlnění kmitají všechny body se stejnou okamžitou amplitudou výchylky, ale s různou, na čase závislou fází. Každý následující bod dosahuje stejné výchylky později než bod předcházející. Postupným vlněním se přenáší energie. - 25 -
2. Při stojatém vlnění kmitají všechny body mezi dvěma uzly se stejnou fází, ale s různou okamžitou amplitudou výchylky, která závisí na poloze bodu. Stojatým vlněním se energie nepřenáší, pouze se mění potenciální a kinetické energie bodů. (Lepil, 1994) 3.2.4 Chvění Kmitání jednotlivých bodů řady nevede ke kmitání řady jako celku. Jenom dokonale tuhá soustava se při kmitání pohybuje jako celek nahraditelný jedním hmotným bodem. V případě celé řady hmotných bodů však některé body kmitají, jiné (v uzlech) jsou zase v klidu. Tento stav soustavy hmotných bodů se správně nazývá chvění. (Syrový, 2003) Chvění je charakterizováno jako specifický typ stojatého vlnění. lk Obecně je možné vytvořit stojaté vlny, pro něž platí: l = k ; k Î N (l zde popisuje 2 délku předmětu, řady bodů, po němž chvění probíhá). Tato stojatá vlna vzniká při frekvencích f = k f. k z f z je základní frekvence pro kterou platí vztah (16): v v (16) f z = = l 2l Frekvence f k pro k > 1 se nazývají vyšší harmonické frekvence. V pružných tělesech (tyčích, strunách, vláknech, ) vzniká chvění jen s určitými frekvencemi, které jsou násobky základní frekvence. Tato základní frekvence je dána geometrickými rozměry pružného tělesa, v němž vzniká chvění. Jeden ze základních rozdílů mezi kmitáním a vlněním je, že zatímco při kmitání má soustava jen jednu rezonanci, tak při chvění lze rozpoznat řadu rezonancí. Chvění je charakteristické zejména pro zdroje zvuku, např. hudební nástroje, ale i lidské hlasivky. Zdroje zvuku tedy plní funkci oscilátoru z něhož se kmitání přenáší do okolního prostředí, nejčastěji do vzduchu. Ve vzduchu vznikají periodické změny tlaku vzduchu a prostředím se šíří postupné podélné zvukové vlnění. Studium chvění desek, blan a jiných podobných objektů má značný praktický význam zejména pro konstrukci - 26 -
různých elektroakustických zařízení, u nichž požadujeme vysokou kvalitu přenosu zvukových signálů.(svoboda, 1996) U desek nebo membrán dochází ke chvění při každé budící frekvenci, avšak zvláště silné chvění nastává při rezonančních frekvencích. 3.2.5 Hygensův princip Pokud se vlnění šíří v prostoru, jedná se o vlnění prostorové. I když je možné u tohoto typu vlnění rozeznat obdobné jevy jako u vlnění v bodové řadě, nejvýraznějším rozdílem mezi vlněním v řadě a prostoru je, že se prostorové vlnění může šířit různými směry. Bodová řada směr vlnění jednoznačně podmiňuje. Šíření vlnění do různých směrů v prostoru dávají vzniknout složitějším interferencím, a hlavně se objevuje nový jev ohyb vlnění. Abychom si tento jev mohli dobře popsat, musíme si nejdříve zavést pojem vlnoplocha. Jde o spojitou plochu na niž leží místa, odkud se rozruch šíří v různých směrech za tutéž dobu. Vlnoplocha je geometrické místo bodů, do kterých dospělo vlnění ze zdroje za stejnou dobu. Všechny body vlnoplochy kmitají se stejnou fází. (Syrový, 2003) Vlnoplochy mohou mít nejrůznější tvar, mezi významnější patří rovinná a kulová vlnoplocha. Rovinná vlna se dá popsat jako vlnoplocha ve velké vzdálenosti od zdroje, proto je také již považována za součást roviny. Naopak v blízkosti zdroje se vyskytují kulové vlny. Ty jsou v přírodě nejčastější. Obr. 18 Interference vlnění (Encyklopedie fyziky) U rovinných vln zůstává amplituda výchylek se vzdáleností stejná, kdežto u kulových vln se vzdáleností od zdroje úměrně klesá (Syrový, 2003). Obecně pro šíření vlnění v libovolném pružném prostředí platí tzv. Huygensův princip: - 27 -
Huygensův princip Každý bod vlnoplochy, do něhož dospěje vlnění v určitém okamžiku, se stává zdrojem nového, tzv. elementárního vlnění, které se šíří z tohoto zdroje v elementárních vlnoplochách. Vnější obalová plocha všech elementárních vlnoploch tvoří pak výslednou vlnoplochu v dalším časovém okamžiku (Syrový, 2003). Obr. 19 Huygensův princip (Encyklopedie fyziky) Tento princip umožňuje na základě znalosti tvaru jedné vlnoplochy odvozování dalších vlnoploch. Pomocí něho také můžeme popsat výše zmíněný ohyb vlnění. Ohyb vlnění se projevu změnou směru vlnění po průchodu rozhraním dvou rozdílných prostředí. Ve volném prostoru se vlnění šíří přímočaře. Odlišným prostředím se stává překážka, na kterou šířící se vlna narazí. Za překážkou (v prostoru jich může být bezpočet) vzniká stín. Pro mechanická vlnění jakým je zvuk platí, že přechod z míst, kde se zvuk (vlnění) šíří do vlastního stínu je velmi pozvolný. Ohyb nastává hlavně u v případech, kdy překážky jsou malých rozměrů. Když vlnění dospěje k překážce, stávají se její okraje zdroji elementárního vlnění, které se za překážkou spojují ve výslednou vlnoplochu. Vznik ohybu souvisí s poměrem vlnové délky vlnění k rozměru překážky. - 28 -
3.3 Zvukové vlnění Zvukem nazýváme každé mechanické vlnění v látkovém prostředí, které je schopno vyvolat v lidském uchu sluchový vjem (Lepil, 1994). Jeho zdrojem je chvění pružných těles. Toto chvění budí vlny, které velmi často nazýváme akustické. (Škvor, 1996) Fyzikálními ději, které jsou spojeny se vznikem mechanického vlnění a jeho šířením se zabývá akustika. Akustiku lze dělit podle způsobu pohledu na zvuk. 1. fyzikální akustika - studuje způsob vzniku a šíření zvuku. Dále se zabývá jeho odrazem a pohlcováním v různých materiálech. 2. hudební akustika - zkoumá zvuky a jejich kombinace se zřetelem na potřeby hudby. 3. fyziologická akustika - se zabývá vznikem zvuku v hlasovém orgánu člověka a jeho vnímáním v uchu. 4. stavební akustika - zkoumá dobré a nerušené podmínky poslouchatelnosti hudby a řeči v obytných místnostech a sálech. 5. elektroakustika - se zabývá záznamem, reprodukcí a šířením zvuku s využitím elektrického proudu. Zvukové vlnění je charakterizováno frekvencí. Ta určuje výšku zvuku. Podle jejich intervalů rozlišujeme tyto typy: 1. infrazvuk f < 16 Hz 2. zvuk slyšitelný lidským uchem f = 16 16000 Hz 3. ultrazvuk f > 16000 Hz Za normálních okolností jsou kmitající předměty obklopeny vzduchem. V takovém případě kmitání povrchu předmětů podněcuje vznik podélného vlnění ve vzduchu. Říkáme, že prostředím se šíří zvuk (Syrový, 2003). Šíření zvuku lze popsat ve zjednodušené soustavě zdroj zvuku prostředí v němž se zvuk šíří přijímač zvuku. Nejdůležitější charakteristikou, která této soustavě hraje rozhodující roli je rychlost zvuku. Rychlost zvuku ve vzduchu závisí sice na jeho - 29 -
složení, ale oproti rychlosti zvuku v pevných nebo kapalných látkách ho lze přibližně vypočítat pomocí vztahu (17): -1 { t} ) [ ] v = (331,82 + 0,61 ms (17) t označuje teplotu vzduchu, která velmi velkou měrou ovlivňuje výslednou rychlost vzduchu. V kapalinách a pevných látkách je rychlost zvuku větší než ve vzduchu. Periodické zvuky nazýváme hudební zvuky nebo tóny. Jestliže má zvuk harmonický průběh, je to jednoduchý tón. Periodické zvuky složitějšího průběhu označujeme jako složitější tóny (Lepil, 1994) 3.3.1 Rezonance Mechanická rezonance nastává při shodě frekvence vlastních kmitů soustavy (např. mechanické konstrukce) s budicím zdrojem této frekvence. Při této shodě budící frekvence s vlastní frekvencí soustavy roste amplituda kmitání s časem nade všechny meze. (Brepta, 1994) Obr. 20 Amplitudová rezonance pro různá tlumení (Brepta, 1994) Rezonance znamená dosažení maxima výchylky. Čím je tlumení soustavy menší, tím je maximum vyšší. Maximální výchylka odpovídá rezonanční frekvenci. - 30 -
Amplituda nucených kmitů nabývá maximální hodnotu pro frekvenci budící síly. Rezonanční frekvence pro výchylku kmitání soustavy je závislá na frekvenci vlastních kmitů a na konstantě tlumení dle vztahu (Syrový, 2003) (18). (18) kde ω 0 je frekvence vlastních kmitů oscilátoru a b je tlumení kmitající soustavy. Při frekvenci Ω r budící síly se hovoří o rezonanci vlastních a nucených kmitů soustavy. Frekvence Ω r se nazývá rezonanční frekvence (Syrový, 2003). Rezonance jako jev vznikající u nuceně buzených soustav na základě shody vlastní a budící frekvence, se zohledňuje jak v konstrukční sféře (například při navrhování mostů), tak také hraje důležitou roli při výrobě hudebních nástrojů. Dalo by se říct, že narozdíl od konstrukčních stavebních postupů se při výrobě hudebních nástrojů preferují zcela opačné požadavky. Zatímco hlavním cílem konstruktéra je navrhnout konstrukci tak, aby byla zaručena odlišnost vlastní frekvence konstrukce od budících frekvencí, které mohou v prostředí objektu nastat, výrobce hudebních nástrojů se snaží, aby jeho výrobky byly co nejvíce rezonančními. - 31 -
4. Metodika Pro všechna měření použijeme cedrovou rezonanční desku o tloušťce 3,5 mm z níž byla vymanipulována experimentální tělíska. Pro výpočet logaritmického dekrementu tlumení jsme zvolili dvě metody. První je běžně užívaná rezonanční metoda. Druhou, která poslouží mimo jiné i ke komparaci získaných výsledků, je metoda výpočtu ze zvukového záznamu. Vzhledem k tomu, že obě metody jistým způsobem analyzují zvukové spektrum, nejdříve musíme získat zvukový záznam. 4.1 Výpočet logaritmického dekrementu tlumení pomocí rezonanční metody Rezonanční metodu zahrnuje norma ČSN 49 0124. Tato norma zobecňuje postup měření při aplikaci rezonanční metody. Definuje základní vztah pro výpočet logaritmického dekrementu tlumení (viz 3.1.4 (12)). Vlastní měření, které nám umožní výpočet, provedeme na jejím základě. Abychom mohli přistoupit k samotnému výpočtu, musíme měřením získat hodnoty rezonanční frekvence a rezonanční křivky, které představují vstupní hodnoty pro rezonanční metodu. Výše zmíněné veličiny získáme pomocí softwaru Audacity, který je volně dostupný 1. Prostřednictvím tohoto zvukového editoru je snímaný zvuk nahráván při vlastním experimentu a následně ukládán ve formátu *.wav. Další zpracovávání probíhá na PC v tomtéž programu. Umožňuje jak editaci zvukového záznamu, tak je v jeho funkcích obsažena schopnost provedení frekvenční analýzy. Pro další rozbor slouží právě výše zmiňovaná frekvenční analýza. Program nám poskytne spektrální analýzu zvukového záznamu, z které lze rezonanční frekvenci i rezonanční křivku odvodit. 1 Bližší informace o programu jsou volně dostupné na webu http://audacity.sourceforge.net/. - 32 -
Měření zvukového záznamu probíhá následovně Reproduktor Rezonanční deska Pěnová podložka Obr. 21 Obrázek sestavení aparatury Piezoelektrický snímač Obr. 22 Piezoelektrický měřič - 33 -
Experimentální tělísko o rozměrech 122 x 543 mm položíme na reproduktor. Její stálou polohu zabezpečují pěnové podložky, jejichž vliv na měření je minimální vzhledem k jejich velikosti a hmotnosti. Nad rezonační desku upevníme měřící mikrofon ECM8000 Behringer, který nám poslouží ke snímání zvuku. K dosažení optimálního zvukového záznamu mikrofon umístíme do pomyslného středu prostoru nad rezonanční deskou. Jako senzor zvuku budeme také používat piezoelektrický snímač, připevněný přímo do středu experimentálního tělíska (tedy ve vzdálenosti 271,5 mm od příčné hrany). Oba snímače zvuku jsou připojeny k PC. PC Externí zvuková karta Zesilovač Rezonanční deska Peizoelektrický snímač Reproduktor Obr. 23 Zjednodušené schéma měření Zvuk budíme ze záznamu pomocí logaritmicky se zvětšující frekvence. Vlastní experiment provádíme ve dvou fázích. 1. Buzením zvuku z reproduktoru snímaného piezoelektrickým snímačem. 2. Poklep xylofonovou paličkou měřený mikrofonem (tento zvukový signál nám poslouží k porovnání výsledků obou aplikovaných metod). Výše uvedený postup opakujeme při zmenšování experimentálního tělíska vždy o 20 mm. - 34 -
Obr. 24 Nákres dělení experimentálního tělíska Výsledná měření (v podobě zvukových záznamů) podrobíme spektrální analýze ve zvukovém editoru Audacity. Obr. 25 Ukázka spektrální analýzy v programu Audacity - 35 -
Zaměříme se na rozbor příčných kmitů, z nichž vypočítáme logaritmický dekrement tlumení v příčném směru v rezonanční desce. Příčné kmity se vyznačují menšími amplitudami okamžité výchylky než podélné kmity. Lze je lokalizovat spíše v druhé polovině zvukového signálu zobrazeného v časovém průběhu. Získanou rezonanční frekvenci a rezonanční křivku dosadíme do vzorce pro výpočet logaritmického dekrementu tlumení (viz. 3.1.4)(19). f - f = p f 2 1 d (19) 0-36 -
4.2 Výpočet logaritmického dekrementu tlumení ze zvukového záznamu Jako vstupní data jsou použity zvukové záznamy obdobného charakteru jako u předešlé metody. Odlišnost záznamů spočívá ve způsobu měření zvuku. Samotný postup jeho získávání vyžaduje volbu konkrétních podmínek, které jsou posléze ve výpočtu zohledněny. K měření zvuku vymanipulujeme z rezonanční desky experimentální tělísko o rozměrech 250 x 200 mm. Tělísko vetkneme (pomocí ztužidel) ke stolu, který zajistí stabilitu desky. Deska je upnuta tak, aby její účinná plocha byla 200 x 200 mm. Dřevní vlákna probíhají v příčném směru s rovinou stolu. Signál je zaznamenáván měřícím mikrofonem ECM8000 Behringer, který umístíme nad rezonanční desku do jejího pomyslného středu. Ztužidlo Mikrofon Rezonanční deska Obr. 26 Obrázek sestavení aparatury - 37 -
Zvuk je snímán přes měřící mikrofon, který je napojený pomocí externí zvukové karty k počítači. V počítači je zvukový signál zpracováván pomocí softwaru Audacity a ukládán ve formátu *.wav stejně jako u předchozí metody. PC Externí zvuková karta Mikrofon Př. Xylofonová palička Rezonanční deska Obr. 27 Zjednodušené schéma měření Buzení zvuku probíhá ve třech fázích: 1. Buzení zvuku xylofonovou paličkou (palička s kulatým gumovým koncem) 2. Buzení zvuku dřevěnou paličkou 3. Buzení zvuku ocelovým kladívkem Na rezonační desce jsou vyznačeny čtyři místa (viz Obr. 28), pro něž budeme výsledný logaritmický dekrement počítat. Pro vlastní experiment to znamená označení míst, do nichž bude paličkami postupně klepáno za cílem vybudit zvuk. V každém místě bude provedeno 30 úderů. Na následujícím obrázku si ukážeme ideální modulaci rozložení mechanického vlnění v rezonanční desce, na níž vlastní experiment provádíme. Průběh křivek vlnění sice u všech odpovídá průběhu se sinusovou funkcí, ovšem jak je z tohoto schématického znázornění patrné, jednotlivé vlnění se od sebe odlišují fázovým posunem. Tento posun je determinován místem, v němž je zvuk buzen. - 38 -
Obr. 28 Průběh mechanického kmitání podle měřících míst - 39 -
Dále následuje analýza zvukového záznamu. Nejdříve je třeba naměřený zvukový signál rozčlenit na jednotlivé údery (zapsány byly v jednom zvukovém celku). K tomu nám poslouží výše zmiňovaný software Audacity, který zobrazuje zvukový záznam v jeho časovém průběhu a umožňuje separaci zvolených míst. Místa jsou volena zcela logicky jako části záznamu pro jedno klepnutí zvolenou paličkou. Tímto postupem získáme pro každou paličku v každém ze čtyř označených míst experimentálního tělíska třicet zvukových záznamů. Dohromady tedy pro jednu paličku sto dvacet zvukových záznamů. Takto připravené signály (stále ve formátu *.wav) můžeme posléze zpracovávat pomocí programu Matlab. Nejdříve se provede import dat z *.wav souboru, který obsahuje tlumený signál, u kterého chceme počítat logaritmický dekrement tlumení. Pomocí výpočtu časového vývoje spektra se zvukový signál zobrazí v časovém průběhu. Původní signál podrobíme spektrální analýze díky níž můžeme účinně určit významné vlastní frekvence, které chceme analyzovat. Toto určení lze označit jako volbu citlivosti spektra. Dále je celý signál rozdělen na n-částí, kdy nejmenší část odpovídá alespoň jedné periodě nejnižší analyzované frekvence. Pro každou část je vypočteno frekvenční spektrum. Získáme komplexní trojrozměrný graf zobrazující frekvenční spektrum v závislosti na čase. Jde o sloučení jednotlivých frekvenčních spekter dílčích částí podle časové posloupnosti. V konečné fázi provádíme nelineární regresi (Strager, Juton, Muzk Levenberg Marquard method nonlinear regression) pro definovanou rovnici (20): y -bt = x 0 e (20) Kde b je součinitelem útlumu 2. 2 http://vydavatelstvi.vscht.cz/echo/analytika/jednotky/index.html - 40 -
Z rovnice nelineární regrese vypočteme v programu logaritmický dekrement tlumení pomocí vzorce (21) b d = (21) f rez Všechny výše uvedené poznatky slouží jako východiska pro definici skriptu v programu Matlab. Obr. 29 Ukázka výpočtu v programu Matlab - 41 -
4.3 Přístroje použité při experimentu Pro výše popsaná měření bylo použito následující vybavení: - - - - - - - - - - -Reproduktor, typ ARA 390-00/8 hloubko tónový reproduktor Technická specifikace : Jmenovitý šumový příkon: 150 W Krátkodobý šumový příkon: 300 W Jmenovitá impedance: 8 Ohm Charakteristická citlivost: 98 db Rezonanční kmitočet: 25 Hz Jmenovitý kmitočtový rozsah: 40-5000Hz Ekvivalentní objem: 313 dm3 - - - - - - - - - - -Zvuková karta : typ EDIROL FA 101 FireWire Audio Interface Technická specifikace : 10vstupu / 10výstupu full duplex Vstupní převodník 24bit/96kHz pro paralelní záznam až 10stop Výstupní převodník 24bit/192kHz Dva symetrické XLR/JACK combo vstupy na celním panelu Dva mikrofonní předzesilovače s možností phantom napájení Linkové symetrické vstupy a výstupy 6,3mm JAC Digitální vstup/výstup SPDIF - - - - - - - - - - -Mikrofon: typ ECM8000 Omnidirectional Measurement Condenser Microphone Technická specifikace : Jmenovitá impedance: 600 Ohm Jmenovitý kmitočtový rozsah: 15 Hz - 20 khz Charakteristická citlivost: -60 db - - - - - - - - - - -Piezoelektrický snímač Technická specifikace: Průměr: 50 mm - 42 -
- - - - - - - - - - -Osobní PC : softwarové vybavení : Audacity - open source, freeware pro platformu Windows XP (zvukový editor) http://audacity.sourceforge.net Matlab licence pro MZLU v Brně (programové prostředí pro vědeckotechnické výpočty). Xylofonová palička (1) 2) Dřevěná palička (2) Ocelové kladívko (3) 3) 1) Obr. 30 Budiče zvuku - 43 -
5. Výsledky 5.1 Rezonanční metoda Zvuk je buzen reproduktorem a snímán bezdotykovým mikrofonem umístěným nad pomyslný střed experimentálního tělíska. Zároveň Výsledky byly získány měřením zvukového signálu pomocí piezoelektrického snímače. Naměřené hodnoty odpovídají postupnému zmenšování rozměrů experimentálního tělíska vždy o 20 mm. Počáteční rozměr tělíska byl 122 x 543 mm. Při vyhodnocování výsledných hodnot je důraz kladen na frekvence příčných kmitů v závislosti na zmenšujícím se rozměru rezonanční desky. 1) Logaritmický dekrement tlumení při rozměru desky 122 x 543 mm Obr. 31 Záznam zvuku při rozměrech desky 122 x 543 mm Tab. 1 Rezonanční frekvence, frekvence tvořící rezonanční křivku. LDD pro rozměr 122 x 543 mm F 0 f 1 f 2 Λ 508 494 516 0,079 598 579 614 0,106 669 641 679 0,103-44 -
2) Logaritmický dekrement tlumení při rozměru desky 102 x 543 mm Obr. 32 Záznam zvuku při rozměrech desky 102 x 543 mm Tab. 2 Rezonanční frekvence, frekvence tvořící rezonanční křivku. LDD pro rozměr 102 x 543 mm F 0 f 1 f 2 Λ 603 587 614 0,106 793 774 797 0,053 856 812 878 0,140 3) Logaritmický dekrement tlumení při rozměru desky 82 x 543 mm Obr. 33 Záznam zvuku při rozměrech desky 82 x 543 mm Tab. 3 Rezonanční frekvence, frekvence tvořící rezonanční křivku. LDD pro rozměr 82 x 543 mm F 0 f 1 f 2 Λ 678 659 694 0,094 812 781 833 0,116 934 901 949 0,093-45 -
4) Logaritmický dekrement tlumení při rozměru desky 62 x 543 mm Obr. 34 Záznam zvuku při rozměrech desky 62 x 543 mm Tab. 4 Rezonanční frekvence, frekvence tvořící rezonanční křivku. LDD pro rozměr 62 x 543 mm F 0 f 1 f 2 Λ 1025 987 1040 0,094 1227 1201 1233 0,047 1400 1368 1423 0,071 5) Logaritmický dekrement tlumení při rozměru desky 42 x 543 mm Obr. 35 Záznam zvuku při rozměrech desky 42 x 543 mm Tab. 5 Rezonanční frekvence, frekvence tvořící rezonanční křivku. LDD pro rozměr 42 x 543 mm F 0 f 1 f 2 Λ 1194 1155 1217 0,094 1282 1249 1299 0,071 1493 1460 1499 0,047-46 -
5.2 Metoda výpočtu logaritmického dekrementu tlumení ze zvukového záznamu Zvuk je buzen paličkami z různých materiálů (viz. 4.2) a snímán bezdotykovým mikrofonem. Výsledky byly získány měřením na cedrové rezonanční desce o rozměrech 250 x 200 mm, která byla upnuta ke stolu tak, aby její účinná plocha odpovídala rozměrům 200 x 200 mm. Výsledné hodnoty logaritmického dekrementu tlumení jsou vyhodnocovány podle míst v nichž byl zvuk na experimentálním tělísku buzen (viz 4.2). - 47 -
1) Logaritmický dekrement tlumení dřeva v místě 1 Obr. 36. Krabicový graf rozložení LDD podle užitých paliček v místě 1 Tab. 6 Rezonanční frekvence, LDD pro rozměr 1. místo DŘEVO XYLOFON KLADIVO f * LDD ** KD *** f * LDD ** KD *** f * LDD ** KD *** průměr 411,136 0,101 0,485 65,397 0,174 0,917 122,697 0,498 0,904 medián 406,368 0,051 0,509 64,974 0,174 0,926 122,710 0,525 0,889 SM **** 58,352 0,099 0,271 2,958 0,018 0,054 2,893 0,111 0,062 průměr 576,110 0,063 0,555 192,217 0,044 0,831 351,386 0,175 0,928 medián 572,043 0,045 0,600 192,079 0,041 0,859 358,658 0,186 0,965 SM **** 129,937 0,068 0,222 3,492 0,013 0,105 31,960 0,043 0,154 průměr 1185,860 0,033 0,805 399,901 0,090 0,725 407,512 0,056 0,604 medián 1203,189 0,035 0,857 399,570 0,089 0,836 412,560 0,041 0,650 SM **** 117,356 0,008 0,133 15,878 0,035 0,216 12,793 0,055 0,234 průměr 1310,954 0,039 0,774 569,874 0,033 0,854 476,361 0,033 0,630 medián 1313,365 0,038 0,786 569,428 0,034 0,888 457,856 0,028 0,644 SM **** 21,090 0,011 0,127 3,350 0,007 0,159 58,887 0,018 0,132 * f - frekvence ** LDD logaritmický dekrement tlumení dřeva *** KD koeficient determinace **** SM směrodatná odchylka - 48 -