45 Vlnové vlastnosti světla

45 Vlnové vlastnosti světla ÚKOL 1. Zobrazte difrakční obrazec zadaných štěrbin a výpočtem stanovte jejich šířky podle fyziků Fresnela i Fraunhofera. 2. Zobrazte interferenční obrazec při Youngově pokusu, po zastínění jedné štěrbiny pozorujte také difrakční obrazec. Z těchto pozorování stanovte charakteristické rozměry dvojštěrbiny. 3. Určete pro každé výše uvedené měření, v jaké oblasti bylo provedeno měření difrakce na štěrbině. TEORIE Jako viditelné světlo je označováno elektromagnetické vlnění v kmitočtovém pásmu 405 790 THz, které se ve vakuu šíří rychlostí světla 299,8 10 6 ms -1, čemuž odpovídá rozsah vlnových délek 350 750 nm. Od bodového zdroje se v homogenním izotropním prostředí šíří ve sférických (kulových) vlnoplochách. Vlnoplocha je plocha, na kterou dospěje za tutéž dobu světelné vlnění od zdroje, to znamená, že body vlnoplochy kmitají se stejnou fází. Ve velké vzdálenosti od bodového zdroje lze části kulových ploch považovat za rovinné. Homogenním a izotropním prostředím nazýváme takové prostředí, které má ve všech bodech stejné vlastnosti nezávislé na směru šíření světla. Dle Huygensova principu jsou body vlnoplochy sekundárními synchronními zdroji, přičemž Fresnel hypotézu doplnil o princip superpozice, tedy že každý bod vlnoplochy je superpozicí vln jednotlivých zdrojů. Obr. 45.1.: Huygensův princip, přechod od sférické vlnoplochy k rovinné Pokud vlnění při setkání s překážkou postupuje v jiných směrech, než ve směrech předvídatelných zákony geometrické optiky, hovoříme o ohybu neboli difrakci. V převážné většině případů nejsou pozorovatelné. Stávají se zřetelnými, jestliže se rozměry překážek blíží řádově vlnové délce použitého vlnění. Difrakční, stejně jako interferenční jevy tedy prokazují, že světlo má opravdu vlnové vlastnosti. K modelování šíření světla skrze aperturu lze použít Kirchoffovu difrakční formuli. Za určitých podmínek je možné použít také aproximaci Fresnelovu či Fraunhoferovu,

podle toho, zda se nacházíme v oblasti blízkého nebo vzdáleného pole. Platnost aproximace posuzujeme podle: Fresnelova difrakce Fraunhoferova difrakce aa 2 LLLL 1 aa 2 LLLL 1 (45.1) (45.2) kde a je velikost apertury, nebo štěrbiny, L je vzdálenost stínítka a apertury, λ je vlnová délka použitého světla. Rozsah platnosti aproximace je definován volně a pro oblasti blízké definované hranici lze většinou s určitou chybou uspokojivě použít aproximace obě. Základní uspořádání pro pozorování difrakce je ukázáno na obr. 2. V závislosti na hodnotě vzdálenosti L a velikosti apertury a, je možné považovat vzdálenosti s1 a s2 za shodné a dané paprsky za rovnoběžné, či nikoli. V nejjednodušším případě, kdy jsou paprsky rovnoběžné a na štěrbinu dopadá rovinná vlna (Fraunhoferova difrakce), je možné lehce odvodit pozici extrémů intenzit na stínítku s využitím goniometrických funkcí a požadavku na dráhový rozdíl paprsků s a s1 (případně s a s2), který musí být roven takové hodnotě, aby se paprsky na stínítku sečetly, nebo odečetly. V případě Fresnelovy difrakce, kdy již nejsou paprsky rovnoběžné a předpokládáme-li navíc, že dopadající vlna není rovinná, je nutné k řešení použít Fresnelovy integrály. Obr. 45.2.: K difrakci světla na štěrbině Obr. 45.3.: Rozložení intenzity na stínítku Podmínka pro minima xx nnnnnnnn = nnnnnn aa Podmínka pro maxima xx nnnnnnnn = (nn + 0.5) λλλλ aa Fresnelova difrakce Fraunhoferova difrakce aa sin(ββ) = nnnn aa sin(ββ) = (nn + 0.5)λλ (45.3) (45.4) kde n je přirozené číslo, λ je vlnová délka záření dopadajícího na aperturu, xn značí vzdálenost difrakčního minima/maxima od bodu x0. Lze tedy říci, že s rostoucí šířkou štěrbiny poroste prostorová frekvence difrakčních řádů (difrakční obrazec bude užší). Pro účely správného pochopení následujícího textu připomeňme, že světlo je elektromagnetické vlnění, jehož kmity vektoru elektrické intenzity, případně vektoru magnetické indukce, mohou být zapsány s využitím harmonických funkcí. Pro optiku je ovšem důležitá optická intenzita, která souvisí s transportem energie. Lze říci, že optická intenzita je úměrná druhé mocnině velikosti vektoru elektrické intenzity (více viz. Poyntingův vektor).

Světelné jevy jsou vyvolány šířením vln, a proto se u nich musí projevovat i jevy, které nazýváme interferencí. Pokud sečteme dvě harmonické vlny, nebude výsledná amplituda dána pouhým součtem amplitud jednotlivých vln, ale bude nutné uvažovat také člen obsahující rozdíl fází jednotlivých vln. Víme, že intenzita světelného vlnění je úměrná čtverci amplitudy vlny. Pro výslednou optickou intenzitu I světelného vlnění tedy můžeme psát II = KK AA 1 2 + AA 2 2 + 2AA 1 AA 2 cccccc(φφ 2 φφ 1 ), (45.5) kde φ1, φ2 jsou fáze jednotlivých vlnění, A1, A2 jsou amplitudy jednotlivých vlnění, K je obecná konstanta. Pro případ, kdy A1 = A2 bude výsledná hodnota intenzity mezi nulou a čtyřnásobkem původní intenzity v závislosti na fázovém rozdílu interferujících vln. Aby byla výsledná intenzita konstantní, musí být i fázový rozdíl konstantní v čase. Svazky, jejichž vzájemná fáze je v čase konstantní nazýváme koherentními. Koherence je základní podmínkou pro vznik interference, dále je nutné, aby obě vlny byly shodně polarizované. Interference je tedy vzájemné ovlivňování koherentních vln, jinak řečeno skládání světla. Slavný dvouštěrbinový experiment, kterým v roce 1801 dokázal Thomas Young vlnové vlastnosti světla je ukázán na obr. 4. Monochromatické světlo dopadá na clonu s otvorem P. Za clonou se dále šíří pouze koherentní záření bodového zdroje, které osvětlí dvě štěrbiny na druhé cloně. Každá z těchto štěrbin by na stínítku způsobila difrakční obrazec. Světlo z obou štěrbin je vzájemně koherentní a na stínítku tedy dochází také k interferenci. Pokud jednu ze štěrbin zakryjeme, interferenční obrazec vymizí a na stínítku budeme pozorovat pouze obrazec difrakční. Obr. 45.4.: K Youngově pokusu Obr. 45.5.: Rozložení intenzity na stínítku Zkoumáním vzdáleností z1 a z2 můžeme opět dojít k podmínkám pro polohu interferenčních minim a maxim. Dráhový rozdíl obou paprsků můžeme spočítat podle vztahu =d sinδ. (45.6) Maximum zaznamenáme v bodech, ve kterých je dráhový rozdíl paprsků roven sudému násobku půlvln, což je v tomto případě celistvý násobek vlnových délek: λ = 2 k = kλ, k = 0, 1, 2,.... (45.7) 2 Minimum najdeme v bodech, ve kterých je dráhový rozdíl paprsků roven lichému násobku půlvln: λ = (2k 1), k = 1, 2, 3,.... (45.8) 2

Úpravami výrazu pro dráhový rozdíl paprsků můžeme při určitých zjednodušeních odvodit vzdálenosti interferenčních proužků od bodu x0 jako světlé proužky xx kkkkkkkk = ± LL dd 2kk λλ 2, kk = 0, 1, 2, (45.8) tmavé proužky xx kkkkkkkk = ± LL dd (2kk 1) λλ 2, kk = 1, 2, 3, (45.9) kde d je vzdálenost mezi štěrbinami. Vzdálenost dvou nejbližších světlých nebo tmavých proužků Δx je pak dána vztahem xx = LL λλ. (45.10) dd Interference vzniká nejen při skládání dvou vln jako při Youngově pokusu, ale i při skládání mnoha vln, které vznikly při průchodu koherentního vlnění mnoha otvory v mřížce. Vzdálenost mezi těmito otvory se nazývá mřížková konstanta a je jedním z důležitých parametrů charakterizujících mřížku. POPIS PRACOVIŠTĚ Jako zdroj monochromatického záření je použit polovodičový laser o vlnové délce λ = 650 nm. Částečně polarizované koherentní světlo z laseru se šíří přes pevný lineární polarizátor, na jehož výstupu je světlo lineárně polarizované. Dále prochází druhým nastavitelným lineárním polarizátorem, který může být natočen do libovolného úhlu. Tímto způsobem je možné měnit intenzitu svazku. K rozšíření průměru svazku na několik milimetrů je použito následující uspořádání. Světlo prochází stavitelným mikroskopickým objektivem, který jej fokusuje do 25 μm apertury. Dále se ve vzdálenosti ohniskové vzdálenosti od apertury nachází spojná čočka. Po průchodu touto čočkou již paprsek není rozbíhavý a světlo lze považovat za rovinnou vlnu. Na otočném držáku je možné navolit různé štěrbiny, dvojštěrbiny, případně kruhové otvory. Před dvojštěrbinu je také umožněno zařadit clonu, která zastíní jednu ze štěrbin. Po průchodu clonou dopadá světlo na čip monochromatické kamery. Obraz kamery je zpracován s využitím programu v počítači. Obr. 6.: Uspořádání pracoviště Pro vyšetření difrakčních a interferenčních jevů nás bude mimo jiné zajímat vzdálenost mezi clonou a stínítkem. Tuto vzdálenost lze odečíst na pojezdové kolejnici. Odečtením hodnoty

u levé spodní strany pojezdu kolejnice a zvýšením této hodnoty o 10 mm, získáme vzdálenost mezi clonou a čipem kamery, který je pro nás stínítkem. Aby byly minimalizovány parazitní interferenční jevy, není mezi clonou a čipem kamery vložen žádný filtr. To má ovšem za následek možné ovlivnění okolním osvětlením, proto je nutné měření provádět v zatemněné místnosti. Manipulujte prosím jen s prvky, u kterých je to výslovně povoleno! Běžná manipulace zahrnuje otáčení s nastavitelným polarizačním filtrem pro úpravu intenzity svazku, měnit štěrbiny otočením rotačního držáku a vkládat předřadnou clonu, v případě potřeby posouvat kameru. POPIS PROGRAMU Program spustíme z plochy ikonou Vlnové vlastnosti světla. Otevře se okno, s modrým symbolem a nápisem uc480, který je po inicializaci kamery nahrazen živým obrazem. V levém spodním rohu je možnost zvýšit počet průměrovaných snímků (doporučené je 10 snímků). Dále se ve spodní části nachází tlačítko Zachytit snímek, které provede zachycení a zprůměrování daného počtu snímků a otevře nové okno, kde je možné se snímkem pracovat. Zprůměrování více snímků umožní potlačit šum kamery a tím zlepšit kvalitu výsledného snímku. Tlačítkem TISK je možné vytisknout naměřené hodnoty všech zachycených a uložených snímků. Obr. 7.: Výchozí okno aplikace Po zachycení snímku se otevře nové okno zpracování snímku. V horní části okna se nachází toolbar, na kterém lze pro účely ovládání aplikace použít jen lupu. Pod ním se nachází zachycený snímek. Modrá čára značí místo řezu obrázku. Místo řezu lze posouvat s využitím posuvníku umístěného vpravo vedle snímku, případně přímo zadáním hodnoty řádku do editačního okénka Řádek. Ve spodní části okna se nachází vykreslený průběh intenzity na zvoleném řádku. Tento průběh je možné filtrovat s využitím okénkového filtru za účelem potlačení nežádoucího šumu. Filtr se aktivuje zatržítkem Aplikovat filtr, v editačním okénku Velikost okna se volí velikost okna filtru. Velikost okna je nutné volit s ohledem na měřený průběh. Příliš velké okno může způsobit nežádoucí zkreslení průběhu a ztrátu relevantních dat. V okně průběhu intenzity jsou na ose x jednotky mm, osa y je bezjednotková, nicméně hodnota je přímo úměrná optické intenzitě. Studentům je umožněno v závěru laboratorního cvičení vytisknout si naměřené hodnoty ve tvaru náhled průběhu intenzity na zvoleném řádku a souřadnice vyznačených bodů. Proto je důležité, aby již během této fáze byly označeny všechny významné body průběhu nutné pro další zpracování.

K vyznačení bodů se použijí dva kurzory, které se pohybují s využitím tlačítek < a > příslušného kurzoru a to buď bod po bodu, nebo vyhledáním lokálních extrémů (pokud je zatrženo Vyhledávat extrémy ). Alternativně je možné změnit pozici kurzoru stlačením tlačítka Zadat pozici myší a kliknutím na požadované místo v grafu. Pokud je kurzor umístěn na správném místě, je možné přenést souřadnice tohoto bodu do tabulky hodnot (bude vytištěna) stlačením tlačítka Přidat data Kx. Po označení všech významných bodů je nezbytné provést uložení měření v pravé spodní části okna vyplněním názvu měření a stisknutím tlačítka Uložit. Pokud nebudou požadované hodnoty v tabulce a nebude před zavřením okna stlačeno tlačítko Uložit, měření bude ztraceno. Obr. 8.: Okno zpracování zachyceného snímku POSTUP PŘI MĚŘENÍ, ZPRACOVÁNÍ A VYHODNOCENÍ 1. Spusťte počítač, pokud není spuštěn 2. Spusťte program Vlnové vlastnosti světla, jehož ikona se nachází na ploše. 3. Nastavte na otočném zásobníku první štěrbinu (pozice 6) tak, aby jí procházel laserový svazek na detektor. 4. Nastavte vzdálenost zásobníku a detektoru na hodnotu 150 mm, pokud není toto již nastaveno. 5. Zvolte počet snímků pro průměrování (doporučená hodnota je 10 snímků). Po stisknutí tlačítka Zachytit se otevře okno pro vyhodnocení difrakčního obrazce. Pomocí vertikálního posuvníku ( scrollbar ) zvolte průběh intenzity světla na detektoru tak, abyste minimalizovali zkreslení signálu vlivem šumu či saturace.

6. Aplikujte filtr klouzavého průměru, jestliže nelze jednoznačně určit jednotlivé extrémy závislosti intenzity světla na poloze. Zvolte hodnotu filtru v rozmezí hodnot 5 40 (čím delší okna, tím hladší křivka). Příliš dlouhé okno může zásadně ovlivnit výsledek měření! 7. Nalezněte centrální maximum (nultý difrakční mód) a minimálně 4 další extrémy (minima a maxima) k přesnému odhadu charakteristických parametrů difrakčního obrazce. K odhadu extrémů použijte červený či zelený kurzor. Po výběru přibližného místa extrému pomocí myši (tlačítko Zadat pozici myší ), lze dále hledat jemně pomocí šipek pod výš uvedeným tlačítkem. Jednotlivé extrémy si zapisujte do příslušné tabulky a kolonky v záznamovém listu. 8. Stanovte šířku štěrbiny výpočtem z jednotlivých vzdáleností mezi centrálním maximem a extrémy (n-tá minima, n-tá maxima) podle fyziků Fresnela i Fraunhofera. Dále odhadněte střední hodnotu a směrodatnou odchylku. 9. Nastavte na otočném zásobníku druhou štěrbinu (pozice 1) tak, aby jí procházel laserový svazek na detektor, a zopakujte kroky 5 až 8. 10. Nastavte na otočném zásobníku dvojštěrbinu (pozice 4) tak, aby jí procházel laserový svazek na detektor. Zařaďte předřadnou clonu do optické cesty ke vzniku difrakce na štěrbině a zopakujte kroky 5 až 8. 11. Zobrazte interferenční obrazec při Youngově pokusu vyřazením předřadné clony z optické cesty. Zopakujte kroky 5 až 7. 12. Stanovte vzdálenost štěrbin výpočtem z jednotlivých vzdáleností mezi centrálním maximem a extrémy (n-tá minima, n-tá maxima) interferenčního obrazce. Dále odhadněte střední hodnotu a směrodatnou odchylku. 13. Určete pro každé výše uvedené měření, v jaké oblasti bylo provedeno měření difrakce na štěrbině. 14. Výsledky získané v krocích 8, 12 a 13 podložte v protokolu příkladem výpočtu. Do závěru mimo jiné se pokuste zdůvodnit rozdíl mezi Fresnelovou a Fraunhoferovou oblastí. Otázky k zamyšlení V testu připravenosti k úloze se objevují i příklady. Jsou to příklady typu: Jak velký je dráhový rozdíl dvou paprsků, vycházejících ze sousedních štěrbin, jsou-li štěrbiny od sebe vzdáleny 0,001 mm a za mřížkou se světlo ohýbá pod úhlem 30? Postup: Výsledek dostaneme použitím (rov. 45.6). = d sinδ. -dráhový rozdíl paprsků, d-vzdálenost štěrbin, δ -úhel, který svírají paprsky s normálou k mřížce. Δ = d sin δ = 0,001 sin 30 = 0,001 0,5 = 0,0005mm. Jaká je mřížková konstanta d (v mm) difrakční mřížky o velikosti D = 4 mm, která má 1000 štěrbin?

Postup: Vzdálenost mezi středy štěrbin mřížky se nazývá mřížková konstanta. Označíme ji d. 4 mm 4 10 3 mm = 0,004 mm d = D = =. 1000 1000