Teorie her a ekonomické rozhodování 4. Hry v rozvinutém tvaru
4.1 Hry v rozvinutém tvaru Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada po sobě následujících tahů, přičemž hráči se v tazích střídají 2
4.1 Hry v rozvinutém tvaru Hra v rozvinutém tvaru = hra v explicitním tvaru = tahová hra např. šachy, poker, dáma, go, kostky, lze ji zobrazit pomocí stromu hry 3
4.1 Hry v rozvinutém tvaru Strom hry souvislý graf (množina uzlů a hran) s jedním počátečním uzlem (kořen) a několika koncovými uzly (listy), které reprezentují konec hry rozhodovací uzly okamžiky, v nichž dělají hráči svá rozhodnutí 4
4.1 Hry v rozvinutém tvaru Příklad 1 Hra Stonožka Je dán počet tahů (stonožka = 100) Na začátku hry 1. hráč vyhrává více než dvojnásobek výhry druhého hráče Hráč na tahu může buď výhru přijmout hra končí nebo výhru nepřijmout hra pokračuje tak, že se výhry zdvojnásobí a vymění mezi hráči 5
P 4.1 Hry v rozvinutém tvaru Hráči se dohodnou na 5 tazích 1) n1 = 4; n2 = 1 N v1 = 4; v2 = 1 2) n1 = 2; n2 = 8 v1 = 2; v2 = 8 1) n1 = 16; n2 = 4 v1 = 16; v2 = 4 2) n1 = 8; n2 = 32 kořen: 1 koncové uzly: 6 rozhodovací uzly: v1 = 8; v2 = 32 1) n1 = 64; n2 = 16 v1 = 64; v2 = 16 v1 = 32; v2 = 128 5 6
4.1 Hry v rozvinutém tvaru Jak hru řešit? Zpětnou indukcí Hru rozložíme na podhry (= část hry, která je sama o sobě hrou) Začneme posledním rozhodnutím Označíme optimální volbu a pokračujeme o úroveň výš 7
4.1 Hry v rozvinutém tvaru P 1) n1 = 4; n2 = 1 N červeně označená hrana = dokonalá rovnováha podhry racionální je ukončit hru v1 = 4; v2 = 1 2) n1 = 2; n2 = 8 okamžitě (paradox) v1 = 2; v2 = 8 1) n1 = 16; n2 = 4 v1 = 16; v2 = 4 2) n1 = 8; n2 = 32 v1 = 8; v2 = 32 1) n1 = 64; n2 = 16 v1 = 64; v2 = 16 v1 = 32; v2 = 128 8
4.1 Hry v rozvinutém tvaru Příklad 2 Ruská ruleta Dva hráči Šestiranný revolver Jediný ostrý náboj (právě jeden) Hráč na tahu může odstoupit (prohrát) hra končí nebo vystřelit (smrt či pokračování hry) 9
4.1 Hry v rozvinutém tvaru Odstoupení v1 = 0; v2 = 1 1. hráč Výstřel Je třeba zadat užitky v = 0 prohra (žije) v = 1 výhra (žije) v = 10 smrt (prohra) p1 = 1/6 (smrt) v1 = 10; v2 = 1 p2 = 5/6 (žije) 2. hráč Odstoupení v1 = 1; v2 = 0 Výstřel p1 = 1/5 (smrt) v1 = 1; v2 = 10 p2 = 4/5 (žije) 1. hráč 10
4.1 Hry v rozvinutém tvaru Pravděpodobnosti (smrt, žije) jsou: 1. výstřel: p = (1/6, 5/6) 2. výstřel: p = (1/5, 4/5) 3. výstřel: p = (1/4, 3/4) 4. výstřel: p = (1/3, 2/3) 5. výstřel: p = (1/2, 1/2) 6. výstřel: p = (1, 0) 11
4.1 Hry v rozvinutém tvaru konec grafu (2 kulky) Odstoupení v1 = 0; v2 = 1 1. hráč Výstřel EU(1) = p 1 u 1 + p 2 u 2 = 1 2 10 + 1 2 1 = 4, 5 p1 = 1/2 (smrt) v1 = 10; v2 = 1 p2 = 1/2 (žije) 2. hráč Odstoupení v1 = 1; v2 = 0 Výstřel p1 = 1 (smrt) v1 = 1; v2 = 10 p2 = 0 (žije) 12
střed grafu (4 kulky) 4.1 Hry v rozvinutém tvaru 1. hráč EU(2) EU(1) = p 1 u 1 + p 2 u 2 = 1 3 2 3 8 4 10 + 3 4 1 = 7 34 Odstoupení v1 = 0; v2 = 1 Výstřel Víme, že zde 1. hráč zvolí odstoupení, tzn. v1 = 0; v2 = 1 p1 = 1/4 (smrt) v1 = 10; v2 = 1 p2 = 3/4 (žije) 2. hráč Odstoupení v1 = 1; v2 = 0 Výstřel p1 = 1/3 (smrt) v1 = 1; v2 = 10 p2 = 2/3 (žije) v1 = 1; v2 = 10 13
4.1 Hry v rozvinutém tvaru začátek grafu (6 kulek) 1. hráč EU(2) EU(1) = p 1 u 1 + p 2 u 2 = 1 5 4 5 6 6 10 + 5 6 1 = 5 56 Odstoupení v1 = 0; v2 = 1 Výstřel Víme, že zde 1. hráč zvolí odstoupení, tzn. v1 = 0; v2 = 1 p1 = 1/6 (smrt) v1 = 10; v2 = 1 p2 = 5/6 (žije) 2. hráč Odstoupení v1 = 1; v2 = 0 Výstřel p1 = 1/5 (smrt) v1 = 1; v2 = 10 p2 = 4/5 (žije) v1 = 1; v2 = 10 14
4.1 Hry v rozvinutém tvaru Výsledek záleží na zvoleném užitku Při zadaných užitcích je zřejmé, že racionální je ruskou ruletu nehrát a odstoupit při nejbližší možné příležitosti Užitky mohou však vypadat jinak Navíc každý z hráčů může mít užitky jiné 15
4.2 Salónní hry Patří sem zejména kostky, poker a šachy Nejjednodušší hra NIM (z německého nehmen = brát) První publikace o hře NIM obecný je z roku 1902 libovolný počet hráčů daný počet hromádek v každé hromádce daný počet kamenů 16
4.2 Salónní hry Příklad 3 NIM obecný (NIM 2x2) předpokládejme pro jednoduchost 2 hráče, 2 hromádky, každou s 2 kameny hráč na tahu si vybere hromádku, která není prázdná a odebere z ní libovolný počet kamenů minimálně jeden maximálně všechny, které jsou v dané hromádce odebírá vždy jen z jedné hromádky hráč, který odebere poslední kámen, prohrál 17
4.2 Salónní hry na pořadí hromádek nezáleží 2) 2 a 1 1) 2 a 2 2) 2 a 0 1) 2 a 0 1) 1 a 1 1) 0 a 1 1) 1 a 0 0 a 0 (2) 2) 1 a 0 0 a 0 (1) 2) 1 a 0 0 a 0 (1) 0 a 0 (1) 0 a 0 (2) 0 a 0 (2) číslo v závorce = hráč, který odebral poslední kámen a tak tedy prohrál 18
4.2 Salónní hry zpětná indukce 2) 2 a 1 1) 2 a 2 2) 2 a 0 1) 2 a 0 1) 1 a 1 1) 0 a 1 1) 1 a 0 0 a 0 (2) 2) 1 a 0 0 a 0 (1) 2) 1 a 0 0 a 0 (1) 0 a 0 (1) Ať 1. hráč zvolí jakoukoliv 0 a 0 (2) 0 a 0 (2) počáteční strategii, prohraje Může si jen zvolit, jakým Toto není typický rozhodovací uzel = průchozí uzel Mgr. Jana Sekničková, způsobem Ph.D. chce prohrát 19
4.2 Salónní hry Jedinou dobrou strategií 1. hráče je hru nehrát Přidání hromádek nebo přidání kamenů jen zvětší rozhodovací strom Při úplné informaci o hře však známe vítěze (poraženého) předem 20
4.2 Salónní hry Šachy Mnohem složitější, než NIM Po prvním tahu obou hráčů 400 různých pozic Rozhodovací strom je tedy ohromný (a není ho tedy možné sestavit ani pomocí počítačů) Nicméně z herního pohledu jsou stejně nudnou hrou jako NIM Už před začátkem by hráči měli vědět výsledek 21
4.2 Salónní hry Šachy Kde je tedy problém? Zatím se nikomu nepodařilo výsledek spočítat Platí věta: Každá konečná hra v rozvinutém tvaru s dokonalou informací má řešení v ryzích strategiích 22
4.2 Salónní hry Šachy Typická tahová hra v rozvinutém tvaru s dokonalou informací Každý hráč zná svou pozici i předchozí tahy Ví tedy, kde v rozhodovacím stromě se nachází Hra je konečná (opakování tahu v šachu je ošetřeno = 3x opakovaná pozice znamená remízu) 23
4.2 Salónní hry Šachy Nastane jedna ze 3 možností: Bílý má vítěznou strategii (1. hráč vyhrává) Černý má vítěznou strategii (2. hráč vyhrává) Hra skončí remízou Zatím nevíme, která možnost je správná Ze zkušeností není pravděpodobné, že vítěznou strategii má černý hráč 24
4.2 Salónní hry Šachy jak je hraje počítač? Ani počítač nezná strom hry Konstruuje pouze části stromu Nezná konec stromu, nemůže tedy hledat řešení pomocí zpětné indukce Každý uzel se tedy vyhodnocuje pomocí vyhodnocovací funkce 25
4.2 Salónní hry Šachy jak je hraje počítač? Každá pozice je oceněna číslem podle počtu figurek a jejich postavení Počítač zvolí tah, který vede k pozici s nejvyšším oceněním 26
4.3 Duopol Příklad 4 Duopol Na trhu operují dvě dominantní firmy První firma vzhledem k hospodářské ztrátě zvažuje tři možnosti Investovat do reklamy v televizi Problém neřešit a vyčkat Uhradit dluhy a ukončit činnost 27
4.3 Duopol Druhá firma na základě dostupných informací zvažuje také své jednání Investovat do reklamy v tisku Na zprávy nereagovat a vyčkat Zisky obou firem jsou zadány formou dvoumatice Optimální strategie závisí na časovém faktoru 28
4.3 Duopol Tisk N TV N U 3, 3 +9, 2 2, +12 +7, +9 +0, +1 +8, +7 29
4.3 Duopol Případ 1: Obě firmy realizují svá rozhodnutí současně a nesmí spolupracovat Tisk N TV N U 3, 3 +9, 2 2, +12 +7, +9 +0, +1 +8, +7 30
4.3 Duopol Případ 2: Obě firmy realizují svá rozhodnutí současně a smí spolupracovat Tisk N TV N U 3, 3 +9, 2 2, +12 +7, +9 +0, +1 +8, +7 31
4.3 Duopol Případ 3: Nejprve se rozhodne první firma a pak zareaguje druhá firma Tisk N TV N U 3, 3 +9, 2 2, +12 +7, +9 +0, +1 +8, +7 32
Optimální strategie: 1) TV 2) Nic Zisky +9, 2 4.3 Duopol 1. firma TV 2. firma Nic 2. firma Ukončit 2. firma Tisk Nic Tisk Nic Tisk Nic -3, -3 +9, -2-2, +12 +7, +9 +0, +1 +8, +7 33
4.3 Duopol Případ 4: Nejprve se rozhodne druhá firma a pak zareaguje první firma Tisk N TV N U 3, 3 +9, 2 2, +12 +7, +9 +0, +1 +8, +7 34
Optimální strategie: 1) Ukončit 2) Tisk Zisky +0, +1 Tisk 1. firma 4.3 Duopol 2. firma Nereagovat 1. firma TV -3, -3 Nic Ukončit TV Nic Ukončit -2, +12 +0, +1 +9, -2 +7, +9 +8, +7 35
2. firma 4.3 Duopol Případ 1: rozhodnutí současně 1. firma: Investovat do TV 2. firma: Nereagovat Zisky: +9, 2 Případ 4: rozhodnutí po sobě 1. firma: Ukončit činnost 2. firma: Investovat do tisku Zisky: +0, +1 Případ 2: spolupráce 1. firma: Nedělat nic 2. firma: Nereagovat Zisky: +7, +9 36
KONEC 37