V této části se budeme věnovat nejjednoduššímu typu her, ve kterých rozhodováníprobíhávjednomkrokuakaždýhráčmáúplnouinformacijako

Transkript

1 Kapitola 1 Aplikace teorie her Teorie her není úplně nejvýstižnější pojmenování. Předmětem teorie her nejsou hry v obvyklém smyslu slova, hrané pro zábavu. Výstižnější název by asi byl teorie interaktivního rozhodování, tedy rozhodování více osob v situacích kdy rozhodnutí jednotlivých účastníků ovlivňují dosažený výsledek, jak svůj tak ostatních. Často se teorie her charakterizuje jako teorie konfliktních situací. 1.1 Statické hry s úplnou informací V této části se budeme věnovat nejjednoduššímu typu her, ve kterých rozhodováníprobíhávjednomkrokuakaždýhráčmáúplnouinformacijako možných strategiích ostatních tak o jejich výplatních funkcích. Statické hry s úplnou informací modelují situace v nichž si účastníci hry současně a nezávisle na sobě zvolí svoji akci, a následně jimi zvolená kombinace akcí určí výsledek hry, tedy výplaty jednotlivých hráčů. Výplatu přitom chápeme v širším smyslu než jenom jako peněžní výplatu, vyjadřuje užitek z výsledku hry pro jednotlivé hráče. V zadání statické hry s úplnou informací se specifikuje seznam účastníků hry množina možných strategií každého hráče výplatní funkce jednotlivých hráčů pro každou kombinaci strategií 1

2 2 KAPITOLA 1. APLIKACE TEORIE HER Definice1.Hravnormálnímtvarupronhráčůjetvořenaprostorem strategiíjednotlivýchhráčů S 1, S 2,..., S n avýplatnímifunkcemi u 1, u 2,..., u n, kdekaždé u i zobrazuje S 1 S 2... S n do R.Takovouhrubudemeoznačovat H= {S 1, S 2,..., S n ; u 1, u 2,..., u n }. Následující klasický příklad, nazývaný vězeňské dilema, velmi dobře ilustruje řadu základních pojmů teorie her. Příklad 1. Hru hrají dva hráči, kteří jsou obviněni že společně spáchali dva trestné činy. Jeden málo závažný, za nějž mohou být odsouzeni bez přiznání, druhý závažný, za nějž mohou být odsouzeni jen pokud se alespoň jedenznichpřizná.žalobcejimslíbí,žepokudsepřiznáprávějedenznich, budeosvobozen,zatímcodruhýhráčdostane6letvězení(5letzazločinya jedenrokzakřivouvýpověď).pokudsepřiznajíoba,půjdoudovězenína5 let.pokudsenepřiznáanijeden,dostanouobatrestnajedenrok,zamálo závažný čin. Každýhráčmátedydvěstrategie,přiznatse(P)anepřiznatse(N). Abychom se vyhnuli záporným hodnotám výplatní funkce, budeme výplatou rozumět počet let strávených na svobodě v následujících šesti letech. Výplaty příslušné všem možným kombinacím strategií zapíšeme do tabulky P N P 1,1 6,0 N 0,6 5,5 Strategie prvního hráče budeme psát do sloupců, druhého do řádků. V každé kolonce je na prvním místě výplata prvního hráče, na druhém místě výplata druhého hráče při příslušné kombinaci strategií Dominované strategie Vězeňské dilema je hra kterou můžeme analyzovat s použitím jednoduché myšlenky, že totiž racionální hráč si nikdy nezvolí strategii která ve všech možných situacích dává horší výsledek než jiná pevně zvolená strategie. Takovou strategii budeme nazývat striktně dominovaná. Formálně to vyjadřuje následující definice. Definice 2.Uvažujmehruvnormálnímtvaru, H= {S 1, S 2,..., S n ; u 1, u 2,..., u n }.Nechť s i a s i jsou dvě možné strategie i-tého hráče. Řekneme, že strategie s ijestriktnědominovanástrategií s i,jestližeprokaždoukombinaci

3 1.1. STATICKÉ HRY S ÚPLNOU INFORMACÍ 3 strategiíostatníchhráčůjevýplatai-téhohráčepřistrategii s i menšínežpři strategii s i,t.j. u i (s 1,..., s i 1, s i, s i+1..., s n ) < u i (s 1,..., s i 1, s i, s i+1..., s n ) prokaždoukombinaci s 1,..., s i 1, s i+1..., s n zmnožiny S 1... S i 1 S i+1... S n. Vraťme se ke strategiím vězeňského dilematu. Hraje-li 1.hráč strategii P, jeprodruhéhohráčelepšíhrátpnežn.zvolí-li1.hráčstrategiin,jepro druhéhoznovulepšípnežn.strategiepjetedyprodruhéhohráčevevšech případech lepší než N, podle Definice 1 je strategie N striktně dominovaná strategií P. Stejný závěr dostaneme pro strategie 1. hráče, opět je strategie N dominovaná strategií P. Je zřejmé že rozumný hráč nebude hrát striktně dominovanou strategii. Tedy jediným racionálním výsledkem vězeňského dilematu je(p, P), oba hráčisepřiznajíavýplataje(1,1).pozoruhodnénatomtovýsledkujeto,že existuje kombinace strategií,(n, N), která dává lepší výsledek pro oba hráče Eliminace striktně dominovaných strategií Za předpokladu racionálního chování hráčů můžeme ve statické hře striktně dominované strategie zcela ignorovat(později uvidíme že v dynamických hrách je situace složitější). Tím se hra redukuje na jednodušší. V ní ale mohou být znovu striktě dominované strategie a redukce může pokračovat dál. Jako příklad uvažujme následující hru, v níž má první hráč dvě strategie, PaD,zatímcodruhýhráčmátřistrategie,P,DaT.Vnormálnímtvaruje hra dána tabulkou P D P 2,1 1,4 D 2,3 1,2 T 1,2 3,1 Z tabulky zjistíme, že strategie T druhého hráče je striktně dominovaná strategií D(porovnáme druhé položky ve třetím řádku se stejnými položkami vedruhémřádku,tyvetřetímjsouvždymenší).racionálnídruhýhráčstrategiithráttedynebude.prvníhráč,pokudevížejehosoupeřjeracionální, jizdalšíchúvahmůževynechat.tímsehraredukujenajednoduššíhru

4 4 KAPITOLA 1. APLIKACE TEORIE HER P D P 2,1 1,4 D 2,3 1,2 V této hře je strategie D prvního hráče striktně dominovaná strategií P(porovnáváme první položky v prvním a druhém sloupci). Pokud tedy druhýhráčví,žeprvníhráčjeracionální,aví,žeprvníhráčvížedruhýje racionální, může hru dále redukovat. Vynecháním této strategie dostaneme tabulku D P 2,1 D 2,3 Nakonec i v této hře existuje striktně dominovaná strategie, Pro druhého hráčejelepšíhrátdnežp.racionálnímvýsledkemhryjetedykombinace strategií(d,d), s výplatou(2,3). Postup který jsme právě viděli se nazývá postupná eliminace striktně dominovaných strategií. Je dobré zdůraznit že předpoklad racionality neznamená jen to že oba hráčijsouracionální,aleitoževědíodruhémžejeracionální,ževědíže ontovíonich,atakdál.takovýpředpokladseobvyklestručněvyjadřuje slovy: racionalita hráčů je všeobecně známa Nashova rovnováha Pokud ve hře existují striktně dominované strategie, je jejich eliminace přirozenýmprvnímkrokemvanalýzehry.problémjevtomževelmičastotakové strategie žádné nejsou, a metoda z předchozího odstavce se nedá použít. Například následující hra D B D 3,2 0,0 B 0,0 2,3 nemá dominované strategie. Tato hra je známá pod názvem partnerský souboj.účastnícihryjsoudva,janamarie,kteříbyrádistrávilivečerspolu, nemají ale možnost spolu komunikovat. Obamajídvěmožnosti,buďjítdodivadla(strategieD),nebodobaru (strategie B). Tabulka výplat vyjadřuje fakt že oba by jednoznačně raději

5 1.1. STATICKÉ HRY S ÚPLNOU INFORMACÍ 5 strávili večer spolu než sami, Petr ale dává přednost baru před divadlem, zatímco Marie divadlu před barem. Pro analýzu her v nichž postupná eliminace dominovaných strategií nevede k výsledku, zavedeme teď jemnější pojem Nashovy rovnováhy. Definice3.Uvažujmehruvnormálnímtvaru, H= {S 1, S 2,..., S n ; u 1, u 2,..., u n }.n-ticestrategií s 1, s 2,..., s n tvořínashovurovnováhu,jestližepro každéhohráčeje s inejlepšíodpověď(případnějednouznejlepšíchodpovědí, je-li nejlepších víc) na strategii specifikovanou pro ostatních n 1 hráčů, s 1,..., s i 1, s i+1..., s n.tedy u i (s 1,..., s i 1, s i, s i+1..., s n) u i (s 1,..., s i 1, s i, s i+1..., s n) prokaždé s i S i.jinakřečeno, s i jeřešenímextrémálníúlohy max u i (s s i S i 1,..., s i 1, s i, s i+1..., s n) Není-li daná kombinace strategií Nashova rovnováha, pak alespoň jeden zhráčůmádůvodseodtétokombinaceodchýlit. Z tabulky výplat v partnerském souboji vidíme hned že tato hra nemá striktně dominované strategie. Nashovu rovnováhu hledáme většinou tak, že nejdříve v každém řádku najdeme nejlepší odpověď(případně odpovědi, je-li jich víc) na strategii druhého hráče určenou tímto řádkem, a příslušnou výplatu prvního hráče podtrhneme. Potom uděláme totéž pro sloupce, v každém u nejlepší odpovědi druhého hráče podtrhneme jeho výplatu. Nashovu rovnováhu tvoří právě ty kombinace strategií, u kterých jsou obě výplaty podtržené. Partnerský souboj má dvě Nashovy rovnováhy, kombinace(b,b) a(d,d). Vztah mezi eliminací dominovaných strategií a Nashovou rovnováhou popisuje následující tvrzení. Pokud eliminace striktně dominovaných strategií vedekjednoznačnémuvýsledkuhry,kombinacistrategií s 1,..., s n,paktato kombinace je jedinou Nashovou rovnováhou dané hry. Příklad1.Uvažujmehrudvouhráčů,kteřísechtějírozdělito100Kc. Každýznichsoučasněoznámíčástkteroubychtělprosebe, c 1,resp. c 2,kde 0 c 1, c Je-li c 1 + c 2 100pakkaždýdostanečástkterouoznámil. Je-li c 1 + c 2 >100nedostanežádnýhráčnic.Vtétohřejeprostorstrategií obou hráčů v principu nekonečný, interval[0, 100], to ale nijak nekomplikuje hledání Nashovy rovnováhy. Snadno se ukáže, že pro libovolné s [0, 100] jekombinacestrategií c 1 = s, c 2 =100 snashovourovnováhou,neboťpři

6 6 KAPITOLA 1. APLIKACE TEORIE HER takové kombinaci by odchýlení se libovolného z hráčů, jak směrem nahoru tak směrem dolu, vedlo k nižší výplatě. Jiné Nashovy rovnováhy ve hře nejsou. Další příklad Nashovy rovnováhy uvidíme v následující podkapitole Bertrandův model duopolu Budeme uvažovat trh ovládaný dvěma výrobci(duopol), kteří vyrábějí dva podobné, ale neidentické výrobky. Firmy současně určují cenu svého výrobku (na rozdíl od Cournotova modelu v němž současně určují velikost produkce). Předpokládejme,žepokudfirma1zvolícenu c 1 afirma2cenu c 2,bude poptávka po výrobku firmy i rovna p i (c i, c j )=a c i + bc j, kde bjekladnýkoeficientreprezentující mírusjakoujevýrobekfirmy i náhražkou za výrobek firmy j. Takto zvolená funkce poptávky vyjadřuje zřejmý fakt že zvýšení ceny jednoho výrobku zvýší poptávku po druhém. Dále budeme předpokládat že marginální náklady na výrobu pro obě firmy jsourovny m < a,afixnínákladyjsounulové.abychommohliproblém zformulovat jakou statickou hru, musíme ještě určit výplatní funkci. Budeme předpokládatžejepřímorovnaziskufirmy,tedypřicenách c 1, c 2 jevýplata i-té firmy z i (c i, c j )=p i (c i, c j )[c i m]=[a c i + bc j ][c i m]. Dvojicecen c 1, c 2budeNashovarovnováhapokudbude c iřešenímmaximalizační úlohy max 0 c i < z i(c i, c j ), tedy po dosazení max [a c i+ bc j ][c i m]. 0 c i < Funkcekterouchcememaximalizovatjekvadratickávproměnné c i,jejíjediné maximum tedy najdeme snadno, c i =1 2 (a+bc j + m). Dvojice c 1, c 2budeNashovarovnováhapokudbudeplatit c 1 =1 2 (a+bc 2 + m)

7 1.2. DYNAMICKÉ HRY S ÚPLNOU INFORMACÍ 7 c 2 =1 2 (a+bc 1 + m) Jediným řešením těchto dvou rovnic je c 1 = c 2 = a+m 2 b. Odtudvidímežemodelmásmysljenprohodnotyparametrubmenšínež dvě.čímjebblížektétolimitníhodnotě,tímvyššíjerovnovážnácena. 1.2 Dynamické hry s úplnou informací V této části uvedeme základní pojmy a příklady dynamických her s úplnou informací. V dynamických hrách probíhá rozhodování v několika krocích a na rozdíl od statické hry bývá výhodné popisovat hru nikoliv v normálním tvaru ale právě pomocí posloupnosti tahů jednotlivých hráčů, v tzv. extenzivním tvaru. Připomeňme, že v normálním tvaru hry se zadává seznamhráčůvehře strategie které mají jednotlivý hráči k dispozici výplata každého z hráčů při všech kombinacích strategií které hráči mohou vybrat. Naproti tomu, v extenzivním(rozšířeném) tvaru hry se zadává seznamhráčůvehře kdyjekterýhráčnatahu;jakémáhráčmožnostivkaždésituacikdy jenatahu;jakémáhráčinformacevkaždésituacikdyjenatahu výplata každého hráče při všech možných kombinacích tahů které mohli hráči zvolit. V normálním tvaru se tedy specifikují souhrné strategie hráčů, zatímco v extenzivním tvaru jednotlivé tahy. Definice 1. Strategie hráče je úplný plán jeho akcí, který určuje kterou zmožnýchakcíhráčzvolívkaždésituacikterámůževehřenastat(avníž jetentohráčnatahu).

8 8 KAPITOLA 1. APLIKACE TEORIE HER Poznámka. Je třeba specifikovat i akce v situacích které by při racionálním průběhu hry nemohli nastat. Příklad převodu z rozšířeného tvaru do normálního tvaru si ukážeme na třídě jednoduchých dynamických her. Jejich časování je následující: 1.Vprvnímkrokuhráč1zvolísvojiakci a 1 zmnožinymožnýchakcí A 1. 2.Vedruhémkrokuhráč2pozoruje a 1 azvolísvojiakci a 2 zmnožiny možnýchakcí A 2 3.Vetřetímkrokuobdržíhráčivýplaty u 1 (a 1, a 2 )au 2 (a 1, a 2 ). Hra je zadaná v rozšířeném tvaru. Abychom ji převedli do normálního tvaru musíme určit souhrné strategie obou hráčů v celé hře. Pro konkrétnost předpokládejmežejak A 1 tak A 2 majídvaprvky, A 1 = {α 1, α 2 }, A 2 = {β 1, β 2 }.1.hráčmázřejmědvěstrategie,vybratbuď α 1 nebo α 2..Naproti tomu 2.hráč má celkem čtyři strategie: 1.Naakci α 1 reagovattahem β 1 anaakci α 2 tahem β 1. 2.Naakci α 1 reagovattahem β 1 anaakci α 2 tahem β 2. 3.Naakci α 1 reagovattahem β 2 anaakci α 2 tahem β 1. 4.Naakci α 1 reagovattahem β 2 anaakci α 2 tahem β 2. Prostor strategií druhého hráče musíme tedy odlišit od prostoru jeho možných tahů ve druhém kroku. Základní metodou pro řešení dynamických her je zpětná indukce Zpětná indukce Hra v extenzivním tvaru se obvykle znázorňuje pomocí herního stromu. Do uzlů zapisujeme který hráč je na tahu, hrany představují možné akce jednotlivých hráčů a ke koncovým uzlům píšeme příslušnou výplatu hráčů. Uvažujme hru na následujícím obrázku

9 1.2. DYNAMICKÉ HRY S ÚPLNOU INFORMACÍ 9 II P tadybysemohpsattextnapriklad vysvetlivka k obrazku I D 1,2 atd... 2,1 P D II D 0,0 Hru budeme analyzovat zpětnou indukcí, začneme od posledního kroku kdyjenatahudruhýhráč.pokudprvníhráčhrajep,buderacionálnídruhý hráčhrátd svýplatami(1,2),protožedávápronějlepšívýsledeknežp. Podobně hraje-li první hráč D, je pro druhého racionální odpověď P s výplatami(2,1). Teď můžeme přejít k prvnímu kroku hry. Racionální první hráč ví všechno co jsme právě řekli. Jeho rozhodování se tedy redukuje na výběr mezi P které po racionální odpovědidruhéhodávýplatu(1,2),amezid,kterédávýplatu(2,1).pro prvního je lepší druhá možnost, hrát D. Racionálním výsledkem hry je tedy sledakcí(d,p ),svýplatou(2,1). Nyní převedeme hru do normálního tvaru a budeme hledat Nashovu rovnováhu. Strategie druhého hráče budeme označovat následujícím způsobem. (P,P )budeoznačovatstrategii:natahpprvníhohráčodpovězp,natahd prvního hráč odpověz P, a analogicky pro ostaní tři strategie druhého hráče, (P,D ),(D,P ),(D,D ).Vnormálnítvaruhrydostanemenásledujícítabulku: P,P P,D D,P D,D P 3,1 3,1 1,2 1,2 D 2,1 0,0 2,1 0,0 Vidíme že hra má překvapivě dvě Nashovy rovnováhy, vedle řešení které

10 10 KAPITOLA 1. APLIKACE TEORIE HER jsmenašlizpětnouindukcíještekombinaci P,(P, P )svýplatou(1,2).abychom pochopili proč tomu tak je, podívejme se znovu na obrázek znázorňující extenzivní tvar hry. Pro druhého hráče je výhodnější, aby první hrál P, protože pak může získat 2 namísto 1. Jeho strategii(d,d ) tedy můžeme chápat tak, že druhý hráčprvnímuvyhrožuje,ženajehotakdzahrajed,aprvnínatombude hůřnežkdybyhrálp.tatohrozbaalenenívěrohodná,protoževsituacikdy by raciodruhý hráč měl příležitost ji uskutečnit, neudělal nevěrohodná hrozba Bertrandův model oligopolu s dominantní firmou Budeme uvažovat model duopolu v situaci kdy na trhu existují dvě firmy, z nichž jedna je dominantní, a určuje tedy cenu svého výrobku jako první. Ostatní předpoklady jsou stejné jako v původním Bertrandově modelu v předchozí kapitole. Hru budeme řešit zpětnou indukcí. Pro zvolenou cenu prvnífirmy c 1 řešídruháfirmaúlohu max c 2 (a c 2 + bc 1 )(c 2 m) Stejě jako v původním modelu najdeme optimální řešení c 2 = 1 2 (a+bc 1+ m). 1.hráčvížetojeoptimálníodpověďdruhého,vprvnímkrokutedyřešíúlohu (do své výplatní funkce dosadí optimální odpověď druhého hráče) max c 1 (a c 1 + b 1 2 (a+bc 1+ m))(c 1 m) Maximalizovaná funkce je opět kvadratická a po jednoduchých úpravách dostaneme (2+b)(a+m) mb2 c 1 =. 2 b 2 Abybylmodelsmysluplnýmusíbýtparametrbmenšínež 2. Definice 2. Informační množina pro daného hráče je soubor rozhodovacích bodů s následujícími vlastnostmi: hráčjenatahuvkaždémbodědanéinformačnímnožiny

11 1.3. HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ(BAYESOVSKÉ HRY) 11 když se hra dostane do některého bodu informační množiny, hráč neví vekterémjejímboděsehranachází. Hráč tedy musí mít v každém bodě dané informační množiny stejné možnosti, jinak by její body od sebe rozpoznal právě podle lišících se možností Podhry Definice3.Podhrahryvextenzivnímtvarujehrakterázačínávrozhodovacím bodě B, který je jednoprvkovou informační množinou, a obsahuje všechny rozhodovací body které herním grafu následují za B, a nerozděluje žádnou informační množinu(t.j...) Každou podhru tedy můžeme analyzovat jako samostatnou hru. Definice 4.(Selten) Nashova rovnováha je dokonalá vzhledem k podhrám, jestliže strategie hráčů dávají Nashovu rovnováhu v každé podhře. Přívlastek vzhledem k podhrám se často vynechává. 1.3 Hry s neúplnou informací(bayesovské hry) V této části nejdříve zavedeme základní pojmy Bayesovských her v kontextu statických her, pak se budeme podrobněji věnovat konkrétním příkladům dynamických Bayesovských her. Hrasneúplnouinformacíjehravekterékaždýhráčznásvojivlastní výplatní funkci, ale není si jist výplatní funkcí ostatních hráčů. Označmemožnévýplatnífunkcei-téhohračejako u i (a 1, a 2,..., a n, t i ),kde t i označujetypi-téhohráče. t i jeprvkemmnožinymožnýchtypůi-téhohráče, T i. i-týhráčsiceneznátypostatníchhráčů,alemáonichsvůjnázor,vyjádřenýpravděpodobnostnímrozdělením p i (t i t i ),kde t i =(t 1,..., t i 1, t i+1,..., t n ) označuje typy ostatních hráčů. Definice 5. Ve statické Bayesovské hře se zadává prostormožnýchakcíjednotlivýchhráčů A 1,..., A n, prostormožnýchtypůhráčů, T 1,..., T n, pravděpodobnosti p 1,..., p n,kteréjednotlivýhráčipřiřazujítypůmostatních

12 12 KAPITOLA 1. APLIKACE TEORIE HER Typi-téhohráče t i T i jeznámjemusamotnému,aurčujejehovýplatní funkci u i (a 1,..., a n ; t i ).Protakovouhrupoužijemeoznačení H=(A 1,..., A n, T 1,..., T n, p 1,..., p n, u 1,..., u n ) Časování hry je následující: 1.jeurčenvektortypůhráčů(t 1,..., t n ). 2.každémuhráčijeoznámenjehotyp,alenetypyostatních 3.hráčisoučasněvyberouakcezprostorů A 1,..., A n. 4.hráčiobdržívýplaty u i (a 1,..., a n ; t i ). Definice 6. Strategie i-tého hráče ve statické Bayesovské hře je funkce s i (t i )kteráprokaždýzmožnýchtypů t i určujeakcizmnožiny A i kterouby typ t i zvolilkdybybylvprvnímkrokuvybrán. Mohlobysezdátzbytečnéabyi-týhráčurčovalsvojeakceiprotypy kterýminení,kdyžonsámsvůjtypzná.přisvémrozhodováníalemusíbrát vúvahuakceostatníchhráčů,atyzávisínatomcosiostatníhráčimyslío jehovlastníakci,kterázávisína t i. Ve hře s neúplnou informací se hráči snaží maximalizovat očekávanou výplatu vzhledem k pravděpodobnostem přiřazeným jednotlivým typům soupeřů. Následující definice zobecňuje pojem Nashovy rovnováhy na hry s neúplnou informací. Definice7.Strategie(s 1,..., s n )vestatickébayesovskéhře H = (A 1,..., A n, T 1,..., T n, p 1,..., p n, u 1,tvoříBayesovskouNashovurovnováhu, pokud platí s i(t i )=max a i A i t i T i u i (s 1(t 1 ),..., s i 1, a i, s i+1(t i+1 ),..., s n(t n ); t)p i (t i t i ). Důležité v této definici je že podmínka musí platit pro všechny možné typy každého hráče. V Bayesovské Nashově rovnováze tedy žádný hráč nemá důvodměnitsvojistrategii,ikdybysetatozměnatýkalajenjednohojeho možného typu, ať realizovaného nebo nerealizovaného. Ilustraci tohoto pojmu uvidíme v dalších příkladech.

13 1.4. SIGNÁLNÍ HRY Signální hry Teď se začneme věnovat dynamickým hrám s neúplnou informací, v nichž hráči znají svoji výplatní funkci ale nejsou si jisti výplatní funkcí svých soupeřů.přianalýzehrymusíkaždýhráčbrátvúvahumožnétypysoupeřůajim příslušné výplatní funkce. Nutným předpokladem pro analýzu hry je schopnost přiřadit jednotlivým typům soupeřů pravděpodobnost jejich výskytu. Základní myšlenky a pojmy nejdříve popíšeme na jednoduchém případě tzv. signálních her. Signální hry představují jeden z nejjednodušších a současně nejdůležitějších příkladů dynamických bayesovských her. Signální hry se zúčasní dva hráči, odesílatel(hráč O) a příjemce(hráč P). Časování hry je následující: 1.Jevybrántypodesílatelezmnožinymožnýchtypů T= {t 1, t 2,..., t n }. Přitompravděpodobnostijednotlivýchtypůjsou p(t i ),kde p(t i ) >0 pro všechna i a n p(t i )=1 i=1 2.Odesílatelpozoruje t i avyberezprávuzmnožinypřípustnýchzpráv (signálů) Z= {z 1, z 2,..., z l }. 3.Příjemcepozorujezprávuodesílatele z i,alenepozorujejehotyp t i.na základě zprávy vybere akci z množiny přípustnýchakcí A={a 1,..., a m ). 4.Hráčiobdržívýplaty u o (t i, z j, a k )au p (t i, z j, a k ). Poznámka: Jako obvykle, T, M, A mohou být i nekonečné množiny, nejčastěji intervaly na reálné ose. Uvažujmeteďjednoduchýpřípadkdy T = {t 1, t 2 }, Z = {z 1, z 2 }, A= {a 1, a 2 }.Připomeňmežestrategiehráčejeúplnýplánjehoakcíprovšechny situacekterémohouvehřenastat.vnašísignálníhřemátedyhráčocelkem čtyři strategie: 1.hrát z 1 je-livybranýtyp t 1 astejnětak z 1 je-livybranýtyp t 2. 2.hrát z 1,resp. z 2 je-livybranýtyp t 1,resp. t 2.

14 14 KAPITOLA 1. APLIKACE TEORIE HER 3.hrát z 2,resp. z 1 je-livybranýtyp t 1,resp. t 2. 4.hrát z 2 je-livybranýtyp t 1 astejnětakpro t 2. Podobně má i příjemce P čtyři strategie 1.hrát a 1 je-liodeslanázpráva t 1 astejnětak a 1 je-liodeslanázpráva z 2. 2.hrát a 1,resp. a 2 je-liodeslanázpráva z 1,resp. z 2. 3.hrát a 2,resp. a 1 je-liodeslanázpráva t 1,resp. t 2. 4.hrát a 2 je-liodeslanázpráva t 1 astejnětak a 2 je-liodeslanázpráva z 2. Strategiím1a4budemeříkatspojující(odpověďjevnichstejnáprooba možné výsledky předchozího tahu), strategiím 2 a 3 budeme říkat rozdělující. Budeme předpokládat že hra má následující přirozené vlastnosti Vlastnost1.HráčP,potomcopozorujezprávuodhráčeO,musímítnějakýnázornatokterýztypůmohlzprávuposlat.Tenjevyjádřenpravděpodobnostnímrozdělením µ(t i z j )kde µ(t i z j ) 0pro t i Ta t i T µ(t i z j )= 1. Hráč P bude zřejmě chtít maximalizovat očekávanou výplatu, při pravděpodobnostech které přiřazuje jednotlivým typům hráče O. To vyjadřuje následující vlastnost. Vlastnost2(verzepropříjemce).Prokaždé z j Zakcepříjemcemaximalizujeočekávanouvýplatuprodanýnázor µ(t i z j ).Tedy a (z j )jeřešením úlohy max µ(t i z j )u p (t i, z j, a k ) a k A t i T Na rozdíl od příjmce má odesílatel úplnou informaci. Jeho optimální strategii popisuje následující vlastnost. Vlastnost2(verzeproodesílatele).Prokaždé t i Todesílatelovazpráva z i (t i)maximalizujejehovýplatupřistrategiipříjemce a (z j ).Tedy z (t i )je řešením úlohy max z j Z u o(t i, z j, a (z j )) Prodanoustrategiiodesílatele z (t i )nechť T j označujemnožinutypů kteréodesílají z j.tedy t i T j jestliže z (t i )=z j.

15 1.4. SIGNÁLNÍ HRY 15 Vlastnost3.Prokaždé z j,pokudexistuje t i T takové,že z (t i )=z j paknázorhráčepvinformačnímnožiněodpovídající z j musívyplývatz Bayesova vzorce a ze strategie odesílatele. Tedy µ(t i z j )= p(t i ) t i T i p(t i ) Definice 3. Dokonalá Bayesovská rovnováha v signální hře je dvojice strategií µ (t i )aa (z j )spolusnázorem µ(t i z j ),splňujícívlastnosti1-3. Příklad Spenceův signální model trhu práce. Budeme uvažovat následující verzi Spenceova modelu se třemi hráči. Prvním hráčem je uchazeč o zaměstnání(hráč U), dalšími dvěma jsou firmy nabízející práci(f 1, F 2 ).Časováníhry: 1.Jsouurčenyschopnosti αhráče U,buďjsouvysoké(α=V),nebo nízké(α=n)pravděpodobnosttohože α=v jerovna q. 2.Uchazečpozorujesvojeschopnostiaurčísiúroveňsvéhovzdělání e 0. 3.Firmy1a2pozorujíuchazečovovzdělání,alenejehoschopnosti,a současně nabídnou uchazeči plat. 4. Uchazeč si vybere vyšší nabídku mzdy(pokud jsou stejné, hodí si korunou). Její hodnotu označíme w. 5.Výplatnífunkceprouchazečeje w c(α, e),kde c(α, e)jecenavzdělání prouchazečetypu α.profirmyjevýplata y(α, e) w,kde y(α, e)jehodnota pracovního výkonu uchazeče se schopnostmi α a vzděláním e. Pokud firma nezaměstná uchazeče, je její výplata nula. Budeme studovat rovnováhu v níž firma interpretuje úroveň vzdělání jako signál o schopnostech uchazeče. Přirozeným předpokladem Spenceova modelu je c e (N, e) > c e (V, e), tedy marginální cena vzdělání je vyšší pro uchazeče typu N. Cenou vzdělání se v tomto případě nemyslí školné ani jiné podobné výdaje, ale pouze úsilí které musí uchazeč do vzdělání vložit. To je samozřejmě menší má-li hráč schopnosti V. Dalším zjednodušujícím předpokladem je, že konkurence stlačuje zisk firem na nulu. Uvažujme nejdřív analogii této hry, ve které jsou schopnosti uchazeče veřejně známé. V tom případě firma nabídne(z předpokladu nulového zisku)

16 16 KAPITOLA 1. APLIKACE TEORIE HER uchazeči mzdu w = y(α, e). Uchazeč při výběru vzdělání prostě maximalizuje svoji výplatní funkci y(α, e) c(α, e) přesvšechnymožnéhodnoty e.označmeřešenítétoúlohy e (α). Protože v původní hře schopnosti uchazeče jsou jeho soukromá informace, uchazeči s nižšími schopnostmi se otvírá možnost tvářit se že má vysoké schopnosti. V závislosti na marginální ceně vzdělání obou typů můžeme dostat dva případy. V prvním případě je pro uchazeče se schopnostmi N příliš drahézískatvzdělání e (V).VtomtopřípaděsedáříctžetypNnemádůvod záviděttypuvjehovyššívýplatu.taktomubudepokud w (N) c(n, e (N)) > w (V) c(n, e (V)). V opačném případě, kdy platí opačná nerovnost, může typ N závidět typu V, a chtít se tvářit jako V. Budeme se věnovat tomuto zajímavějšímu případu. Kdybychom schopnosti uchazeče modelovali jako spojitou veličinu, dostali bychom vždy tento případ. Existují jak spojující tak rozdělující perfektní Bayesovské rovnováhy, my se omezíme na několik příkladů. Ve spojující rovnováze zvolí oba typy stejnou úroveňvzdělání, e s.podlevlastnosti3senázorfirempopřijetízprávy e s nezmění, rovná se tedy apriorní pravděpodobnosti q. Firmy tedy následně nabídnou w p = qy(v, e p )+(1 q)y(n, e p ). K úplnému popisu rovnovážných strategií musíme přidat jednak názor firem provýběrvzděláníodlišnýod e s,kterýurčíjejichnabídkuvtomtopřípadě, a dále ukázat že nejlepší odpovědí uchazečů na strategii firem w(e) je hrát e=e s.toodpovídávlastnostem1a2(o) Firemní investice a kapitálová struktura Hráčivtétohřejsoudva,majitelexistujícífirmy(hráčM),kterýmánový projekt, a investor, který může nebo nemusí chtít projekt financovat(hráč I). Předpokládejme že existující zisk firmy je buď vysoký, Z = V nebo nízký, Z= N.Dáleoznačíme Ihodnotuinvestice, Rziskzprojektu,abudeme předpokládat že projekt je atraktivní, tedy R > I(1+r)

17 1.4. SIGNÁLNÍ HRY 17 kde r je míra zisku v alternativní investiční možnosti investora(například vkladuvbance). Časování hry: 1.Jeurčenziskexistujícífirmy, V nebo N.Pravděpodobnostže Z= N je p. 2. Majitel firmy pozoruje Z a nabídne potenciálnímu investorovi akciový podílnafirmě, a,kde0 a 1. 3.Investorpozoruje a(alene Z)abuďpřijmeneboodmítnenabídku. 4.Výplatyhráčů:investor,pokudodmítnenabídkumá I(1+r)amajitel Z.Pokudpřijme,máinvestor a(z+ R)amajitel(1 a)(z+ R). PokudIvěří,že Z = N spravděpodobností q,pakpřijmenabídku pokud a[qn+(1 q)v+ R] I(1+r). Pro hráče M je financování projektu výhodné pokud (Z+ R)a R Ve spojující rovnováze, víra investora musí být q = p. Protože tato podmínkajesilnějšípro Z= V nežpro Z= N,,existujespojovacírovnováha pokud I(1+r) pn+(1 p)v+ R R V+ R. Pro pblízkonulytoplatívždy.naopakpropblízkojednétoplatíjen když R I(1+r) I(1+r)V V. R Rozdělující rovnováha existuje vždy. Majitel typu N nabídne invesorovi a= I(1+r) V+ R který nabídku přijme. Majitel typu V nabídne investorovi a < I( 1+r V+ R což investor odmítne. Výsledek analýzy hry ukazuje, že míra investic je neefektivně nízká. Projekt firmy typu V je určitě ziskový, ale investor jej přesto odmítne. Podmínky promajiteletypu Njsouvždylepšínežpro V.

18 18 KAPITOLA 1. APLIKACE TEORIE HER Reputace a opakované hry. Teoreticky je v opakovaném VD jediná perfektní Nashova rovnováha, opakování nespolupráce v každém kroku. Výsledky experimentů s vězeňským dilematem ale ukazují že přesto dochází často ke spolupráci, hlavně v hrách které nejsou příliš blízko ke konci. Jedním z vysvětlení je právě model který bere v úvahu reputaci. Předpokládejme, že s pravděpodobností p má hráč 1 typ jehož strategie je následující: Hráč hraje v prvním tahu spolupráci. V každém dalším tahu vybere přesně tu akci kterou jeho soupeř zahrál v předchozím kole. Typ hráče s touto strategií označíme ZZ(zub za zub). Druhým typem je racionální hráč, který může hrát libovolnou strategii dostupnou v této hře(typ R). Důsledkem předpokladů je fakt že jakmile se 2. hráč odchýlí od strategie ZZ,jejistéžejetypuR. Uvažujme následující časování: 1. Příroda vybere typ prvního hráče, s pravděpodobností p je to typ ZZ, spravděpodobností1 pjetotypr.prvníhráčsedozvísvůjtyp. 2. Hráči hrají poprvé VD. Pozorují výsledek prvního kola a hrají VD podruhé. 3. Výplaty hráčů jsou součtem výplat v jednotlivých kolech. V posledním tahu hraje 2.hráč N, protože striktně dominuje S.Tedy racionálníhráčnemádůvodspolupracovatv1.hře,zatímcotypzzzačnehru spoluprácí. Zbývá tedy dopočítat 1. tah prvního hráče, který 2. hráč zopakujeve2.tahu,pokudmátypzz.pokudzahraje S,dostane p1+(1 p)bv 1.tahuapave2.tahu.(1:hráčvedruhémtahuužznátyp2.hráče,protože obatypyzačínajíjinýmtahem).vybere-li N,dostanev1.tahu paa0ve2. tahucelkemtedy1.hráčvybere Sjestliže p(1 a)+(1 p)b 0.