Teorie her a ekonomické rozhodování 6. Kooperativní hry více hráčů

Transkript

1 Teorie her a ekonomické rozhodování 6. Kooperativní hry více hráčů (chyby ve skriptech)

2 6.1 Koaliční hra Kooperativní hra hráči mají možnost před samotnou hrou uzavírat závazné dohody dva hráči (hra má dvě možná řešení) buď kooperují (pokud to je výhodné spolupráce přinese více než rovnovážné zaručené výhry) nebo si konkurují (každý hraje sám) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 2

3 6.1 Koaliční hra Ve hře s více hráči (N > 2) s kým spolupracovat proti komu spolupracovat Koalice = skupina hráčů, kteří spolupracují při volbě strategií Koaliční hra = kooperativní hra s N hráči Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 3

4 6.1 Koaliční hra Označme množinu všech hráčů N = {1, 2,, N} Koalice je pak jakákoliv neprázdná podmnožina množiny hráčů S N Pokud S N velká koalice (nikoliv v politickém smyslu) S může být i jednoprvková (koalice 1 hráče) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 4

5 6.1 Koaliční hra Kolik existuje možných řešení ve hře s třemi hráči? N = {A, B, C} 1. Všichni hráči spolupracují (velká koalice) 2. Koalice A+B proti C 3. Koalice A+C proti B 4. Koalice B+C proti A 5. Žádná koalice nevznikne, každý hraje sám Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 5

6 6.1 Koaliční hra Kolik existuje koalic při hře N hráčů? N = 1 N = {A}: 1 koalice {A} N = 2 N = {A, B}: 3 koalice {A, B, AB} N = 3 N = {A, B, C}: 7 koalic JAKÉ? {A, B, C, AB, AC, BC, ABC} N N = 1, 2,, N : 2 N 1 koalic PROČ? Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 6

7 6.1 Koaliční hra V kolika koalicích může být hráč členem? N = 1 N = {A}: 1 koalice {A} N = 2 N = {A, B}: 2 koalice {A, AB} N = 3 N = {A, B, C}: 4 koalice {A, AB, AC, ABC} N N = 1, 2,, N : 2 N 1 koalic nebo 2 N 1 1 vícečlenných koalic JAKÉ? PROČ? Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 7

8 6.1 Koaliční hra Koaliční struktura = množina všech koalic tvořených v rámci hry Optimální (rovnovážná) koaliční struktura = řešení koaliční hry Příklad: hra s 6 hráči N = 1, 2, 3, 4, 5, 6 koaliční struktura je např. {1, 3, 6}, {2, 5}, {4} Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 8

9 6.1 Koaliční hra Volná disjunktní koaliční struktura přípustné jsou jakékoliv koalice (= volná) hráč může být členem pouze jedné koalice (= disjunktní) Počet všech možných koaličních struktur N R N = k k=1 j=0 ( k) j k j k j N Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 9

10 6.1 Koaliční hra N R N = k k=1 j=0 ( k) j k j k j N R 1 = 1 R 2 = 2 R 3 = 5 R 4 = 52 Při dosazení do vzorce R 2 = 4 chyba Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 10

11 6.1 Koaliční hra Místo hry v normálním tvaru budeme používat hru ve tvaru charakteristické funkce Charakteristická funkce hry s N hráči v je definovaná pro každou koalici S v(s) je výhra (zisk) koalice S Dvojice (N,v) se nazývá kooperativní hrou N hráčů ve tvaru charakteristické funkce Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 11

12 6.1 Koaliční hra Hodnota charakteristické funkce pro koalici S, ve které nejsou všichni hráči, závisí na chování hráčů mimo koalici a) volí rovnovážné strategie (rovnovážná reprezentace charakteristické funkce) b) volí nejhorší možné strategie z pohledu koalice (maximinová reprezentace charakteristické funkce) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 12

13 6.1 Koaliční hra Předpokládáme racionální chování, tedy že hráči mimo koalici chtějí také maximalizovat svůj zisk (nikoliv trestat koalici, ve které nejsou) Dále tedy budeme pracovat s rovnovážnou reprezentací charakteristické funkce Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 13

14 6.1 Koaliční hra Vlastnost charakteristické funkce: v S 1 S 2 v S 1 + v S 2, S 1, S 2, S 1 S 2 = superaditivita Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 14

15 6.1 Koaliční hra Hra s konstantním součtem pro každou možnou koaliční strukturu je součet výher všech utvořených koalic roven konstantě v opačném případě jde o hru s nekonstantním součtem Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 15

16 6.1 Koaliční hra Rozdělení výher Vektor a 1, a 2,, a N nazýváme konečné rozdělení výher mezi hráče Hra s přenosnou výhrou (místo užitků si raději představíme peněžní částky) Výhra hráče záleží na výhře koalice a přerozdělení uvnitř koalice Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 16

17 6.1 Koaliční hra Princip kolektivní racionality = pro maximalizaci výhry koalice Princip skupinové stability = pro přerozdělení zisku uvnitř koalice Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 17

18 6.1 Koaliční hra Princip kolektivní racionality maximalizace výhry koalice 1. Sestavení koalice s nejvyšší celkovou výhrou 2. Jsou-li v koalici všichni hráči, konec 3. Nejsou-li, sestavení koalice s nejvyšší celkovou výhrou z hráčů, kteří netvoří koalici z bodu 1, Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 18

19 6.1 Koaliční hra Princip skupinové stability maximalizace výhry hráče (či podskupiny) celá výhra koalice je rozdělena mezi její hráče v S = i S každá podkoalice získá alespoň tolik, kolik si umí zajistit při vystoupení z koalice v L i L a i a i, L S Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 19

20 6.1 Koaliční hra Pokud některá z koalic není skupinově stabilní: návrat k principu kolektivní racionality, sestavení nové koaliční struktury, výběr koalice s druhou nejvyšší výhrou a celý postup znovu opakovat Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 20

21 Jádro hry 6.1 Koaliční hra množina všech přípustných rozdělení a 1, a 2,, a N, která splňují podmínky skupinové stability pokud charakteristická funkce nabývá shodných hodnot pro více koalic (a jádra pro tyto koalice splňují podmínky skupinové stability) více jader nejsou-li podmínky splněny pro žádné rozdělení prázdné jádro Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 21

22 6.1 Koaliční hra Pro řešení her ve tvaru charakteristické funkce Kromě principu skupinové stability také další principy (koncepce) žádná však nezaručuje jednoznačné řešení pro daný typ konfliktu Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 22

23 6.1 Koaliční hra Místo hledání řešení rozvoj metod pro analýzu vyjednávání o rozdělení výher pro ocenění pozice (síly) jednotlivých hráčů Ocenění síly hráčů Shapleyův vektor (Shapleyova hodnota) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 23

24 6.1 Koaliční hra Lloyd Stowell Shapley (USA, 1953) Metoda odhadu síly hráče z hlediska mezního přínosu do všech koalic, v nichž může být členem Shapleyův vektor h 1, h 2,, h N složky = Shapleyovy hodnoty = střední hodnota mezního přínosu i-tého hráče Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 24

25 6.1 Koaliční hra Přínos i-tého hráče do koalice S: v S v(s i ) Shapleyova hodnota pro i-tého hráče h i : S i S 1! N S! N! v S v(s i ) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 25

26 6.1 Koaliční hra Příklad: v 1,2,3 = 6 {1}: hráč 1: {1} {1,2} {1,3} {1,2,3} h i = S i 1 1! 3 1! 3! v 1 = 1 v 1,2 = 2 v 2 = 2 v 1,3 = 3 v 3 = 3 v 2,3 = 6 S 1! N S! N! 1 0 = 2 6 {1,2, {1,2}: {1,3}: v S v(s i ) ! ! 3! h 1 = = 0 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 26

27 6.1 Koaliční hra Příklad: v 1,2,3 = 6 hráč 2: {2} {1,2} {2,3} {1,2,3} h i = S i v 1 = 1 v 1,2 = 2 v 2 = 2 v 1,3 = 3 v 3 = 3 v 2,3 = 6 S 1! N S! v S v(s i ) N! {2}: 4 6 {1,2}: ! 3 1! 3 2!! {2}: {1,2}: {2,3}: {1,2,3}: h 3 1! 3 3! = 3 = 4 = = ! ! 3! = {2,3}: 3 6 {1,2,3}: 6 6 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 27

28 6.1 Koaliční hra Příklad: v 1,2,3 = 6 hráč 3: {3} {1,3} {2,3} {1,2,3} h i = S i v 1 = 1 v 1,2 = 2 v 2 = 2 v 1,3 = 3 v 3 = 3 v 2,3 = 6 S 1! N S! v S v(s i ) N! {3}: 6 6 {1,3}: ! 3 1! 3 2!! {3}: {1,3}: {2,3}: {1,2,3}: h 3 1! 3 3! = 2 = 6 = = ! ! 3! = {2,3}: 4 6 {1,2,3}: 8 6 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 28

29 6.1 Koaliční hra Příklad: v 1,2,3 = 6 h i = S i v 1 = 1 v 1,2 = 2 v 2 = 2 v 1,3 = 3 v 3 = 3 v 2,3 = 6 S 1! N S! N! v S v(s i ) h = h 1, h 2, h 3 = 2 6, 14 6, 20 6 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 29

30 6.1 Koaliční hra Příklad: v 1 = 1 v 1,2 = 2 v 2 = 2 v 1,3 = 3 v 3 = 3 v 1,2,3 = 6 v 2,3 = 6 h = h 1, h 2, h 3 = 2 6, 14 6, 20 6 Slabá vyjednávací pozice 1. hráče nic do vícečlenných koalic nepřináší Silná pozice 3. hráče Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 30

31 6.2 Hlasovací hra Motivační příklad: o problému hlasují tři strany N = {A, B, C} strana A má při hlasování 4 hlasy strana B má při hlasování 3 hlasy strana C má při hlasování 2 hlasy vítězná koalice si má rozdělit výhru 100 jedn. vytvoření koalice je vázáno dohodou o rozdělení výhry Co se stane? Jak to dopadne? Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 31

32 6.2 Hlasovací hra N = {1, 2,, N} množina politických stran v parlamentu ai počet poslanců i-té politické strany a0 celkový počet poslanců v parlamentu a 0 = N i=1 a i Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 32

33 6.2 Hlasovací hra Hlasovací pravidlo vyjádříme pomocí hodnoty označuje nejvyšší procento hlasů, které ještě nestačí k vítězství tzn. α a 0 je nejvyšší počet hlasů, které koalici nestačí k vítězství vítězství tedy zaručí minimálně α a hlasů Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 33

34 6.2 Hlasovací hra Pro motivační příklad: N = {A, B, C} aa = 4, ab = 3, ac = 2 a0 = = 9 pokud = 0,5 0,5 9 = 4,5 hlasů nestačí α a = 0, = 4,5 + 1 = = = 5 hlasů již stačit bude Jak to vypadá, pokud α = 2/3? Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 34

35 6.2 Hlasovací hra Hlasovací pravidlo α vítězství zaručí minimálně α a hlasů k vítězství tedy m-členná koalice potřebuje m i=1 neboli a i α a 0 + 1, 1 m N m i=1 a i > α a 0 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 35

36 Nerovnost 6.2 Hlasovací hra m i=1 lze přepsat jako m i=1 a i > α a 0 a i α a 0 > 0 Platí-li tato nerovnost, koalice je vítězná Neplatí-li, je koalice poražená Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 36

37 Měření síly koalic 6.2 Hlasovací hra koncepce kooperativní hry N hráčů ve tvaru charakteristické funkce Charakteristická funkce: v S = 0, pro poraženou koalici 1, pro vítěznou koalici Dvojice (N,v) se pak nazývá prostá hra Trojice (N,v, α) se pak nazývá hlasovací hra Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 37

38 6.2 Hlasovací hra Předpoklady: Všichni zástupci jedné strany hlasují vždy jednotně (žádný Melčák a Pohanka) Všichni členové vytvořené koalice hlasují jednotně Je možné vytvořit libovolnou koalici a všechny koalice jsou stejně pravděpodobné (TOP 09 + ODS, stejně jako KSČM + ODS) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 38

39 6.2 Hlasovací hra Prostá hra: v S = 0 nebo v S = 1 přínos i-tého hráče do koalice S: v S v(s i ) v S v(s i ) v S v(s i ) nemůže nastat superaditivita Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 39

40 6.2 Hlasovací hra Shapleyova hodnota pro i-tého hráče h i : S i S 1! N S! v S v(s i ) N! v S v(s i ) v S v(s i ) (hráč je postradatelný) (hráč je nepostradatelný) 0 1 nemůže nastat superaditivita (hráč je postradatelný) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 40

41 6.2 Hlasovací hra Shapleyova hodnota pro i-tého hráče v prosté hře: S 1! N S! h i = N! S i Sčítáme přes koalice, v nichž je i-tý hráč nepostradatelný h i Shapleyův-Shubikův index síly Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 41

42 6.2 Hlasovací hra Shapleyův-Shubikův index síly σ i = h i = S i S 1! N S! N! Platí i=1 N σ i = 1, σ i 0 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 42

43 6.2 Hlasovací hra Vektor σ = σ 1, σ 2,, σ N lze interpretovat jako vektor pravděpodobností Hodnota σ i pravděpodobnost, že i-tá strana bude nezbytná při sestavování všech teoreticky možných koalic Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 43

44 6.2 Hlasovací hra Pro motivační příklad: = 0,5 min. 5 hlasů A: AB, AC B: AB, BC C: AC, BC σ i = S i S 1! N S! N! koalice S hlasy v(s) {A} 4 0 {B} 3 0 σ = 1 3, 1 3, 1 3 {C} 2 0 {A, B} = 7 1 {A, C} = 6! 3 2! 1 = 2 = 1 {B, C} = 53! 1 3 {A, B, C} = 9 1 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 44

45 6.2 Hlasovací hra V praxi se ukazuje, že hráč, který má podle Shapleyovy hodnoty nejsilnější pozici, se ostatním hráčům znelíbí, takže se nakonec ocitne v izolaci skončí až za ostatními hráči, kteří jednají kolektivně Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 45

46 6.2 Hlasovací hra Pro motivační příklad: z počátku Jak probíhalo různé koalice vyjednávání u vás? v průběhu času se vytvoří tříčlenná koalice s rozdělením (1/3, 1/3, 1/3) ta je však nestabilní (ve dvoučlenné koalici můžeme získat víc) strana A se často znelíbí (na počátku požadovala větší výhru) často stabilní koalice B a C s rozdělením (½, ½) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 46

47 6.2 Hlasovací hra John Francis Banzhaf III. (USA, 1965) Metoda odhadu síly hráče z hlediska počtu koalic, v nichž je hráč nepostradatelný Banzhafův index síly β = β 1, β 2,, β N Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 47

48 6.2 Hlasovací hra Banzhafův index síly β i = e i k=1 N Symbol e i označuje počet koalic, v nichž je i-tá strana nepostradatelná Platí i=1 N β i = 1, β i 0 e k Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 48

49 6.2 Hlasovací hra Vektor β = β 1, β 2,, β N lze interpretovat jako vektor pravděpodobností Hodnota β i pravděpodobnost situace, že i-tá strana svým odstoupením z koalice anuluje vítězné postavení příslušné koalice Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 49

50 6.2 Hlasovací hra Pro motivační příklad: = 0,5 min. 5 hlasů A: AB, AC B: AB, BC C: AC, BC β i = e i N e k = 2 6 = 1 3 k=1 koalice S hlasy v(s) {A} 4 0 {B} 3 0 β = 1 3, 1 3, 1 3 {C} 2 0 {A, B} = 7 1 {A, C} = 6 1 {B, C} = 5 1 {A, B, C} = 9 1 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 50

51 6.2 Hlasovací hra Vícekomorová legislativa Hlasovací hra v parlamentu s více sněmovnami p označuje počet sněmoven Návrh musí projít každou z p sněmoven, aby byl schválen Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 51

52 6.2 Hlasovací hra Vícekomorová legislativa aik počet poslanců i-té strany v k-té sněmovně a0k celkový počet poslanců v k-té sněmovně a 0k = N i=1 a ik Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 52

53 6.2 Hlasovací hra Hlasovací pravidlo α vítězství v k-té sněmovně zaručí minimálně α a 0k + 1 hlasů k vítězství v každé sněmovně tedy m-členná koalice potřebuje m i=1 a ik α a 0k + 1, 1 m N m neboli i=1 a ik > α a 0k Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 53

54 Nerovnost 6.2 Hlasovací hra m i=1 a ik > α a 0k lze přepsat jako m a ik α a 0k > 0, k = 1,, p i=1 a uvedená nerovnost tedy musí platit i pro sněmovnu, kde je rozdíl nejtěsnější (tedy minimální): min m i=1 a ik α a 0k > 0 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 54

55 6.2 Hlasovací hra Teorie formování koalic Tyto teorie nabízejí menší množství koalic než 2 N 1 Dva základní druhy teorií nepolitické teorie politické teorie Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 55

56 6.2 Hlasovací hra Nepolitické teorie tvar antagonistického konfliktu (hra s konstantním součtem) všechno, co získá jeden účastník, jiný účastník ztratí není pravděpodobné, že by koalice obsahovala nepotřebné (postradatelné) účastníky Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 56

57 6.2 Hlasovací hra Nepolitické teorie Minimální většinová koalice Von Neumann a Morgenstern taková koalice, která se stane menšinovou, pokud ji opustí libovolný člen nevýhoda: může jich existovat velké množství Nejmenší většinová koalice Riker z množiny minimálních většinových koalic jsou vybrány ty, které mají nejmenší celkovou váhu Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 57

58 6.2 Hlasovací hra Nepolitické teorie Koncepce vyjednávacího návrhu Leiserson z množiny minimálních většinových koalic jsou vybrány ty, které mají nejmenší počet členů čím méně členů, tím snazší bude dohoda Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 58

59 6.2 Hlasovací hra Politické teorie přihlížejí k politickým pozicím účastníků účastníků vyjmování koalice (cit. skripta str. 69) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 59

60 6.2 Hlasovací hra Politické teorie Minimální souvislá většinová koalice Axelrod uspořádání stran od levicových po pravicové ideologicky souvislá koalice (strany sousedí na ideologické ose) minimální = opustí-li ji libovolný člen, stane se nesouvislou nebo nebude většinová Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 60

61 6.2 Hlasovací hra Politické teorie Uzavřená koalice s minimálním rozpětím De Swan minimální souvislá koalice s nejmenším ideologickým rozpětím Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 61

62 KONEC Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 62