Definice základních druhů vlastností

Definice základních druhů vlastností Jiří Raclavský Pavel Tichý, logik, který vyvinul specifickou intenzionální logiku, Transparentní intenzionální logiku, ji uplatnil nejen při logicko-sémantických analýzách přirozeného jazyka, ale aplikoval ji i na problémy v některých filosofických oblastech. Oblast, která nás v této stati zajímá, může být zvána logika vlastností. Intenzionální logika může být vnímána jakožto konceptuální nástroj, který nám pomáhá budovat intenzionální metafyziku. V souladu s jejím hlavním předpokladem je, že individuum může instanciovat rozmanité vlastnosti. Vlastnosti jsou modelovány jakožto funkce z možných světů a coby své hodnoty (extenze) mají třídy individuí. Poněvadž instanciace vlastnosti individuem je tím, co konstituuje fakt, precizní pojmové pojednávání vlastností má pro jádro metafyziky velkou důležitost. Sám Tichý používal jistou klasifikaci vlastností, avšak nenapsal o ní systematickou stať (Tichého klasifikace je vyvozována z jeho komentářů k doktríně holých individuí). Pavel Cmorej se v následnictví Tichého vlastnostem pečlivě věnoval a definoval jejich další druhy. Vlastnosti mohou být samozřejmě klasifikovány s ohledem na mnohá kritéria, z nichž jen některá jsou následovníky Tichého diskutována. Téma je proto stále otevřené pro možnost dalšího rozvinutí. Cílem této statě je sumarizovat a rozšířit dosavadní znalosti a také nabídnout exaktní definice druhů vlastností (při zohlednění parciálnosti), což je nezbytný krok pro další zkoumání. Pojmová výstavba se zakládá na několika jednoduchých logických pojmech, jakými jsou identita, logické spojky a kvantifikátory. Vznikla graduálně budovaná stavba, která nám pomáhá garantovat adekvátnost navrhovaných definic. Celek kulminuje v definicích třech k sobě vztažených kategorií vlastností (jež jsou dále děleny): triviální / netriviální vlastnosti (tj. vlastnosti s konstantním, nebo s nekonstantním průběhem extenzí), esenciální / neesenciální vlastnosti (tj. vlastnosti, které jsou, nebo nejsou, jistým individuem instanciovány nutně), čistě empirické / částečně esenciální / čistě esenciální / triviální pusté vlastnosti (tj. vlastnosti se zcela nahodilými extenzemi, vlastnosti instanciované některými individui nutně, ale některými náhodně, vlastnosti instanciované individuem nutně, vlastnosti neinstanciované žádným individuem). Zvláštní pozornost je věnována částečně esenciálním vlastnostem, které byly zkoumány již Cmorejem. 1 Nově 1 Rád bych zde vyjádřil své nejsrdečnější gratulace Pavlovi Cmorejovi při příležitosti jeho 70. narozenin. Dovolte mi věnovat mu tuto studii. 1

odhalené dva druhy prázdných vlastností a vlastnosti akcidentální / neakcidentální představují nové rozšíření Cmorejovy klasifikace. Je tomu tak nikoli proto, že je tím zkompletována původní trojice druhů na zmíněnou čtveřici, ale proto, že je uvažovatelná i jiná čtveřice. Tato čtveřice dělí vlastnosti na čistě akcidentální / částečně esenciální (tj. částečně akcidentální) / čistě esenciální / pusté vlastnosti (netriviální pusté vlastnosti nejsou zahrnuty do prvé kategorie tak jako ve čtveřici předchozí, ale až do kategorie čtvrté). Transparentní intenzionální logika Přirozený jazyk, kterým formulujeme naše teorie, nebyl navržen pro takovouto artificiální službu. Byl spontánně vyvinut běžnými lidmi za účelem snadné komunikace, aniž by přitom bylo potřeba zacházet do jemných detailů, které potřebujeme formulovat. Nebezpečí jazykové vágnosti pro filosofické teorie byla zdůrazněna již F. Baconem. G. W. Leibniz později propagoval ideu pojmového písma, nástroje vyvinutého tak, aby teoretikům pomohl řešit jejich abstraktní otázky. K této ideji se připojil G. Frege, který navrhl první moderní těsnopis. Nicméně Fregeho původní návrh je třeba modifikovat, neboť predikátová logika není s to dostatečně pojednat empirický rámec, který je zkoumán intenzionální metafyzikou. Níže užíváme notaci Transparentní intenzionální logiky (dále jen: TILky) vyvinuté Tichým na samém počátku 70. let 20. století (viz Tichý 2004, Tichý 1988). TILka může být charakterizována jako intenzionální logika vyššího řádu s temporálním parametrem. Logikou vyššího řádu je proto, že nekvantifikuje pouze přes individua, ale také přes vlastnosti individuí či vlastnosti takovýchto vlastností, atp. Predikátová logika může být viděna jako kalkul, jehož (modelově-teoretická) interpretace se opírá o objekty náležící do kategorie individuí (značena ι) nebo pravdivostních hodnot (značena ο). Kromě těchto TILka disponuje coby atomickými kategoriemi i kategorií možných světů (ω) a kategorií reálných čísel (sloužících též k reprezentaci časových okamžiků; kolekce τ). 2 Přídomek intenzionální neznamená, že TILka postrádá dobré rysy predikátové logiky, princip skladebnosti apod. Ve filosofickém podkladu TILky je idea fixní domény individuí (idea měnících se domén se jeví být založena na smíšení individuí s tzv. individuovými úřady). Možné světy jsou preteoreticky pojímány jako distribuce atributů skrze individua světy se liší v těchto distribucích, nikoli tím, která individua obsahují. 3 2 V této stati budeme temporální faktor ignorovat, abychom zjednodušili úvahy a zkrátili zápisy konstrukcí. 3 Opravdu neakceptujeme ideu světů obsahujících individua: možné světy nejsou kolekce věcí, ale kolekce stavů-věcí; tj. individua a možné světy jsou kategoricky odlišné entity. 2

TILka může být snadno akceptována nejen proto, že v sobě inkorporuje predikátovou logiku (bez nevýhod, jaké mají některé jiné intenzionální logiky), ale také pro její založení na λ-kalkulu s typy. λ-kalkul zahrnuje kromě konstant a proměnných dva druhy formačních termů. Prvním je aplikace funkce na argument, schématicky [F A 1...A n ] (kde F je jistá funkce a sekvence A 1...A n je n-ticí sloužící coby argument). Druhým je λ-abstrakce spočívající v uzavření otevřené aplikace jako [F x] (protože je otevřená, výsledek aplikace závisí na náhodných hodnotách x dodávaných valuací) pomocí abstrakce přes jednotlivé valuace pro x a tak vytvářející term generující funkce samu, λx [F x] (mj. tento term je η- redukovatelný na F). Charakteristickým rysem TILky je formální uchopení propozic pomocí explicitního užití možnosvětové proměnné w. Propoziční matrice má pak formu λw [...w...]. Čili pokud nejsou η-redukovány, všechny termy reprezentující funkce z možných světů jsou λ- abstrakcemi abstrahujícími přes možné světy. Následně budeme rozdíl mezi náležením individua I 1 do třídy C což je zcela nekontingentní záležitost a typicky kontingentním faktem, že I 1 je F (kde F je vlastnost individuí) explicitně manifestovat rozdílem mezi formulí [C I 1 ] na jedné straně a formulí λw [ [F w] I 1 ] na druhé straně. Term jako λw [ [F w] I 1 ] zastupuje následující předpis : jakékoli hodnotě proměnné w přiřaď výsledek [ [F w] I 1 ]; jednotlivé výsledky [ [F w] I 1 ] jsou získány vykonáním [F w] tak, že máme přezkoumat extenzi vlastnosti F v jednotlivém světě w tím, že zjistíme, zdali je I 1 v příslušné extenzi F (tj. jisté třídě). Jinými slovy nemůžeme F přímo aplikovat na I 1 ; musíme nejdříve vykonat sestup k hodnotě F v jednotlivém světě. Právě naznačená notace je s to vhodně odlišit případy, kdy hovoříme o vlastnosti jako takové (tehdy se F nevyskytuje v aplikaci na proměnnou možných světů) a kdy hovoříme o extenzi této vlastnosti (tehdy se F vyskytuje v aplikaci na proměnnou možných světů). Totéž platí pro tzv. individuové úřady, které jsou funkcemi z možných světů do individuí. 4 Když například říkáme, že individuový úřad president USA je pozoruhodný politický post, hovoříme o tom úřadu jako takovém (značme ho A a onu vlastnost PPP ). V našem pojmovém písmu budeme psát λw [ [PPP w] A] (A zde stojí v supozici de dicto v Tichého smyslu). Na druhou stranu, když potřebujeme deskripci president USA k tomu, abychom poukázali na kohokoli, kdo je držitelem toho úřadu (toto je nejběžnější užití deskripcí), 4 Tichý někdy nazýval intenze mající ξ-objekty (kde ξ je kterýkoli typ) coby své hodnoty, ξ-úřady. Vlastnosti jsou tak úřady obsazovatelné třídami individuí, propozice jsou úřady obsazovatelné pravdivostními hodnotami, atp. 3

řekněme George W. Bushe, a abychom jemu přisoudili, že je např. muž, tak A se vyskytuje v aplikaci na w, tj. λw [ [M w] [A w]] (A zde stojí v supozici de re v Tichého smyslu). TILka není jen intenzionální logikou, má také svou hyperintenzionální vrstvu. Tato hyperintenzionální vrstva nám umožňuje vhodně logicky explikovat takové koncepty, jakými jsou třeba pojem či myšlenka. Pojem či ještě markantněji myšlenka je běžně chápan jakožto strukturovaný. Složený pojem, že Alan je muž, spočívá v určité struktuře kombinující základnější položky, Alana a mužovitost (resp. jejich pojmy). Standardní intenzionální explikaci propozice zde uplatnit nelze, neboť propozice jsou množiny možných světů, takže žádná propozice nemůže skutečně obsahovat Alan nebo mužovitost. 5 Myšlenky jsou jemnozrnnější než propozice a pojmy jemnozrnnější než nepropoziční intenze (či non-intenze). A TILka nabízí rigorózní nástroj pro jejich explikaci. λ-termy jako [+ 2 3] nebo [ 25] jsou obvykle chápány jakožto entity zastupující rovnou výsledek, číslo 5. Návrh TILky však spočívá v tom, že budeme tyto termy uvažovat jakožto zastupující nikoli rovnou výsledek, ale strukturované jedinečné výpočty, konstrukce (abstraktní procedury), čísla 5. Pro jiný průkazný příklad uvažme onu jedinou propozici pravdivou ve všech možných světech. Z hlediska intenzionální logiky se všechny matematické teorémy a logické tautologie hroutí do této jedné propozice. V souladu s hyperintenzionální úrovní TILky jsou však ony tautologie a teorémy rozdílnými strukturovanými procedurami, které se liší způsobem, jakým konstruují onu propozici. λ-termy tedy budeme pojímat jako zápisy těchto konstrukcí. V jistém smyslu v této studii nevyužijeme plnou sílu hyperintenzionální úrovně TILky, vystačíme si jen s odlišováním konstrukcí (či pojmů) vlastností apod., od vlastností pojímaných coby pouhé intenze (což jsou plochá zobrazení). Nyní uveďme náš sémantický trojúhelník: výraz vyjadřuje konstrukci (pojem, popř. myšlenku), která konstruuje denotát tohoto výrazu (intenzi či non-intenzi); povšimněme si však, že reference jisté deskripce je vně tohoto schématu, neboť referentem deskripce je hodnota denotované intenze v jistém světě (toto tedy musí být zjištěno empirickým zkoumáním). Aniž bychom podali exaktní definici jednoduché teorie typů v TILce, stručně řekněme, že nad naší bází {ι,ο,ω} existuje paleta n-árních totálních a také parciálních funkcí. 6 Intenze jsou obecně typu (ξω) (kde ξ je jakýkoli typ) a tento obecný typ budeme obvykle psát stručně ξ ω. Mezi známými intenzemi jsou propozice, tj. zobrazení z možných světů do pravdivostních hodnot, ο ω -objekty, individuové úřady, tj. zobrazení z možných světů do individuí, ι ω -objekty, 5 Když explikujeme propozice, možné světy musí být primitivní, neanalyzované entity, nikoli soubory propozic; jinak bychom měli explanační kruh. 6 Někteří teoretici pojímají totální funkce jako speciální druh parciálních funkcí, my však budeme respektovat Tichého terminologii. 4

vlastnosti individuí, tj. zobrazení z možných světů do tříd individuuí, (οι) ω -objekty, vlastnosti takovýchto vlastností ((ο(οι) ω ) ω -objekty), atd. Intenze jsou často parciální zobrazení uvažme pro příklad aktuálně neobsazený úřad denotovaný deskripcí král Francie či propozici denotovanou větou Král Francie je holohlavý, jež je aktuálně bez pravdivostní hodnoty. Mezi nonintenzemi jsou ο-objekty T a F (pravdivostní hodnoty Pravda a Nepravda ). Standardní unární a binární pravdivostní funkce jako, (či,,, atd.) jsou (v tomto pořadí) typů (οo), (οοo). Třídy jsou (οξ)-objekty. Koncept třídy není v našem zcela funkcionálně založeném rámci konceptem primárním; pro snazší chápání však budeme termín třída používat namísto termínu charakteristická funkce. Kvantifikátory, tj. (ο(οξ))- objekty, reprezentují podtřídy jisté třídy. Konečně nechť sing zastupuje singularizaci, což je parciální zobrazení vracející jediný prvek singletonům, jinak je ale nedefinovaná; je to (ξ(οξ))-objekt. Konkrétní typ (či ), nebo = (což je známý (οξξ)-objekt), nebo singularizace, může být snadno získán z okolního kontextu v konstrukci. Podobně jako algoritmy nejsou Tichého konstrukce množinově-teoretickými entitami. 7 Existují čtyři základní druhy konstrukcí: a) proměnné (procedury, které jsou objektuálními pendanty proměnných-znaků); b) trivializace (jednokrokové procedury, které jsou objektuálními pendanty konstant); c) kompozice (objektuální pendanty λ-termů zvaných aplikace ); d) uzávěry (objektuální pendanty λ-termů zvaných λ-abstrakce ). Jediný z jmenovaných druhů konstrukcí, co zahrnuje nevlastní konstrukce nevlastní v tom smyslu, že nekonstruují určitý objekt jsou kompozice a to příznačně proto, že příslušná funkce F není pro argument A i definována. Trivializace slouží pro přímé uchopení entit (individuí, funkcí či jiných entit) a jsou zapisovány 0 X (přičemž X je jakýkoli objekt nebo konstrukce), nicméně níže budeme znak 0 vynechávat. Kompozice tvaru [X w] (X je typicky konstrukce nějaké intenze) budeme psát X w. Občas budeme vynechávat některé páry závorek. Namísto [ [λx [...] ]] budeme psát jednoduše [.λx [...]], uplatňujeme tedy tečkovou konvenci ( dot convention ; příslušná pravá závorka se nachází napravo v takovém místě, kdy je to v souladu s ostatními dvojicemi závorek). Kompozice tvaru [# X 1 X 2 ], kde # je (konstrukce) jakékoli binární operace (či identity), budou psány [X 1 # X 2 ]. V závislosti na valuaci v proměnná x (či x, nebo y) v-konstruuje ι-objekty (individua), proměnná w (či w, w, w, w ) v-konstruuje ω-objekty (možné světy), proměnná s (či s ) v- 7 Mj. konstrukce náleží do typů vyšších řádů značených obecně * j, kde j je jakékoli přirozené číslo od 1 do n (v TILce je uplatněna rozvětvená hierarchie typů). 5

konstruuje (οι)-objekty (třídy individuuí), proměnná f (či f, nebo g) v-konstruuje (οι) ω - objekty (vlastnosti individuuí), proměnná h (či h ) v-konstruuje (ο(οι) ω ) ω -objekty (vlastnosti vlastností individuuí), proměnná p v-konstruuje ο ω -objekty (propozice). Typ (οι) ω budeme psát jako ϕ, typ ο ω jako π. Formální definice našich pojmů mohou být zvány objektuální definice, neboť nejsou pouhými jazykovými zkratkami pojmy definujeme pomocí jiných, více základních, pojmů. Obvykle nabízíme několik ekvivalentních alternativ (nenavrhujeme totiž jakýkoli jednotlivý pojmový systém jakožto daný svými primitivními pojmy; když jsou podávány ekvivalentní definice, čtenář si může představovat rozmanité pojmové systémy). 8 Smysl každé takové definice je specifikovat, který objekt je konstruován konstrukcí na levé straně. Obě konstrukce vztažené pomocí ξ konstruují, v odvislosti od jakékoli valuace, vždy týž objekt (pokud se neděje, že při určité valuaci obě nekonstruují objekt žádný); jsou tedy ekvivalentní. Konstrukce na obou stranách jsou konstrukce otevřené proměnné volně se vyskytující v obou konstrukcích nejsou vázány příslušnými λ-operátory. Abychom usnadnili porozumění, stranou definice budeme v závorkách uvádět chybějící vázací sekvenci jako např. λw.λxf., která může uzavřít každou z oněch otevřených konstrukcí. 9 V definicích následujících určité dříve uvedené definice, mohou být uplatněny η-redukované (ba dokonce η-normalizované) formy konstrukcí z předchozích definic. Například když definiendum je otevřenou konstrukcí [X w x f] a tato má být uzavřena pomocí λw.λxf., tak ona uzavřená konstrukce λw.λxf [X w xf]] se v určitých následujících definicích vyskytuje ve své η-redukované formě, jmenovitě jako X (protože λw [λxf [X w xf]]] je η-redukovatelná na λw [X w ]] a tato pak na X). Typ ξ indikovaný v ξ je typem objektu konstruovaného konstrukcí (na kterékoli straně) po jejím uzavření příslušnou vázací sekvencí (mj. konstrukce psaná tučně je η- normalizovanou konstrukcí onoho ξ-objektu). Povšimněme si, že rovnost ξ nevztahuje přímo ξ-objekty, ale jisté ζ-objekty, která jsou konstruovány otevřenými konstrukcemi na obou stranách; takže typ ξ je vlastně (οζζ). Nicméně přípis v ξ indikuje, přesně kterým typem je typ ζ. Když ξ je totiž např. (ο(οι)φ) ω a u definice je λw.λsf., tak ζ je (ο(οι)φ) ω mínus ω (díky λw.) a mínus (οι)φ (díky λsf.), čili ζ je zde prostě ο, tj. (ο(οι)φ)ω zastupuje rovnost typu (οοο). Ve většině případů je ξ vlastně ekvivalencí. 8 Je zajímavé, že v Tichého systému dedukce (viz příslušné texty v Tichý 2004) jsou umožněny inference mezi vlastnostmi. Protože nezkoumáme dedukční pravidla, inference mezi vlastnostmi konstruovanými ekvivalentními konstrukcemi zde nejsou diskutovány (toto je ponecháno na logickému vhledu čtenáře). 9 Pokud jsou konstrukce v bezprostředně následující definici uzavíratelné toutéž vázací sekvencí, onu indikaci neopakujeme. Ve vázacích sekvencích vždy používáme tečkovou ( dot ) konvenci. 6

V mnoha definicích budeme (na levé straně) užívat kolmé závorky ohraničující proměnnou w ( w ). Tímto indikujeme, že daná vlastnost vlastností je konstantní intenzí, tj. že má jednu a tutéž (mj. vždy tzv. neprázdnou ) extenzi ve všech možných světech. Můžeme proto mluvit prostě o třídě takových a takových vlastností namísto o takových a takových vlastnostech majících onu vlastnost vlastností. Temporální verze našich definic lze získat lehko. 10 Navržené definice jsou rovněž snadno adaptovatelné na definice druhů těch vlastností (ba i vztahů), jež jsou instanciovatelné jinými typy objektů, než jsou individua (či vlastnosti individuí). TRIVIÁLNÍ / NETRIVIÁLNÍ VLASTNOSTI Totální / parciální vlastnosti Naše první definice odliší netotalizující predikát pravdivá, který nevrací ani T, ani F, pokud je aplikován propozici, která je nedefinovaná v daném světě w ( P v horním indexu indikuje parciálnost; pravá strana může být simplifikována na pouhé p w ): [Pravdivá P w p] (οπ)ω [p w = T] (λw.λp.) a totalizující predikát pravdivý definovaný pomocí (proměnná o probíhá typ pravdivostních hodnot, ο): 11 propozice p je pravdivá = df existuje pravdivostní hodnota o, která je identická s hodnotou propozice p ve w a o je identická s T [Pravdivá w p] (οπ)ω [.λo [ [o = p w ] [o = T] ]] Totalizování tohoto predikátu způsobuje existenční kvantifikátor, který vrací F, pokud p je nepravdivá nebo nedefinovaná v daném světě w. Pravdivá je vlastnost propozic, takže je to (οπ) ω -objekt. Často budeme potřebovat mluvit o extenzi jisté vlastnost, proto definujme: extenze f ve w = df ta jediná třída s taková, že je identická s hodnotou f ve w [Extenze w f] ((οι)ϕ)ω [sing.λs [s = f w ]] (λw.λf.) Zjevně platí: [sing.λs [s = f w ]] ((οι)ϕ)ω f w 10 Stačí psát λw.λt namísto λw a... wt... namísto... w... (užívá se tedy konvence, že [[X w] t] je zkracováno na X wt ). Samozřejmě pokud je původně užita proměnná w, pak je třeba užít také proměnnou t. 11 Slovní formulace definic jsou uváděny pro čtenáře méně technicky zběhlé. Tyto výrazy nejsou analyzovány je podkládajícími konstrukcemi. Naneštěstí na rozdíl od angličtiny jsou ona slovní vyjádření méně stylisticky vytříbená; upravit je do stylisticky plausibilnější podoby by však poškodilo jejich instruktivní věcnou přesnost. 7

Mějme na paměti skutečnost, že pokud neexistuje extenze f ve w, tak [Extenze w f] nebo [sing.λs [s = f w ]] nebo f w vůbec nic nekonstruují, tyto (vzájemně ekvivalentní) konstrukce jsou v-nevlastní pro příslušnou valuaci v. Extenze není vlastností vlastností, ale (parciálním) zobrazením, které vlastnostem přiřazuje (v závislosti na světech) třídyextenze. Takovéto zobrazení nesmí být zaměňováno se vztahem mezi třídami a vlastnostmi: třída s je extenze f ve w = df třída s identická s hodnota f ve w [ExtenzeNěčeho w s f] (ο(οι)ϕ)ω [s = f w ] (λw.λsf.) ( λsf indikuje abstrakci přes dvojice třída-vlastnost). Pojem Extenze nám umožňuje precizním způsobem formulovat princip extenzionality (pro vlastnosti individuí). Toto tvrzení (nikoli definice) označuje propozici, která je pravdivá ve všech možných světech: 12 Pro každou vlastnost f, g, každý možný svět w, jestliže to, že neexistuje žádná třída s identická s extenzí f (ve w ), je ekvivalentní s tím, že neexistuje žádná třída s identická s extenzí g (ve w ), a zároveň jestliže existuje extenze f (ve w ), je pravdivé (ve w ), že extenze f (ve w ) je identická s extenzí g (ve w ), tak f je identická s g. λw [.λf [.λg [ [.λw [ [ [.λs [s=[extenze w f]]] [.λs [s =[Extenze w g]]] ] [ [.λs [s=[extenze w f]]] [Pravdivá w [λw [ [Extenze w f] = [Extenze w g] ]]] ] ]] [f = g] ]]] Rovněž snadno můžeme definovat pojem vlastnosti totální či parciální: 15 vlastnost f je totální = df v každém světě w existuje třída s, která je identická s extenzí f ve w [Totální w f] (οφ)ω [.λw [.λs [ s = [Extenze w f] ]]] (λw.λf.) 13 14 12 Samozřejmě, že v případě oné ekvivalence (uvnitř definiens) mohou být eliminovány negace po jejích stranách. 13 Užití Pravdivá je zde nezbytné: pouhé [ [Extenze w f] = [Extenze w g] ] by nekonstruovalo pravdivostní hodnotu v případě, že f (či g) není definována pro určitý svět. Načež by nedostala pravdivostní hodnotu (tudíž by vrátil F). My však chceme obdržet T i pro funkce f (či g), navzdory tomu, že jsou pro nějaký argument nedefinovány. 14 Povšimněme si, že užití proměnných w (či w ) je zde vlastně nadbytečné. Mohou být tedy přejmenovány evokujeme zde α-redukci ve všech svých výskytech na w. w tu používáme jen pro snazší porozumění skutečnosti, že tato je vázána λw a nikoli λw. V jiných případech (některé z nich jsou níže) by ale přejmenování w přijatelné nebylo, neboť by vznikla neekvivalentní konstrukce (α-redukce musí být bezkolizní). Uvědomme si též, že mezi možnými světy, které může proměnná w konstruovat, může být i svět, který valuace přiřazuje proměnné w (v žádné naší formuli nepoužíváme podmínku w w ); analogicky totéž pro s, s, atp. 15 Mezi totálními vlastnostmi jsou také vlastnosti, jejichž stabilní extenzí je charakteristická funkce nedefinovaná pro všechny argumenty (viz též níže diskuzi týkající se parciálních charakteristických funkcí). 8

vlastnost f je parciální = df existuje svět w takový, že neexistuje třída s, která je identická s extenzí f ve w [Parciální w f] (οφ)ω [.λw [.λs [s = [Extenze w f] ]]] Obě tyto vlastnosti jsou vzájemně komplementární (srov. naše definice pojmu Komplementární níže). Protože totální není parciální funkce, platí: [Parciální w f] (οφ)ω [Totální w f] (Může) instanciovat / (může) postrádat V mnoha studiích reflektujících vlastnosti nebo individua se často vyskytují dva pojmy, a to pojem instanciování a pojem postrádání (jisté) vlastnosti. Je tedy vhodné tyto dva pojmy explicitně vztáhnout k druhům vlastností, což učiníme níže. Protože však jejich modalizované verze nejsou ve zcela jednoduchém vztahu, následující definiční intermezzo se stalo mnohem delším, než autor původně očekával. Tvrzení, že individuum I 1 je F (formálně λw [F w I 1 ]) může být bez pravdivostní hodnoty, pokud vlastnost F je v daném světě nedefinovaná. 16 Abychom mohli přisuzovat F onomu I 1 tak, aby naše tvrzení bylo s určitostí pravdivé či nepravdivé, ale ne bez pravdivostní hodnoty, bude vhodné při tom uplatnit predikát, který nám umožní překonat onu parciálnost. K tomuto využijeme totalizující predikát pravdivá a formulujeme následující definici totálního vztahu mezi individui a vlastnostmi, instanciovat (může být uvažováno, že mít F, tj. mít vlastnost F, je analogické): individuum x instanciuje vlastnost f = df je pravdivé, že individuum x je f ve w [Instanciovat w x f] (οιϕ)ω [Pravdivá w [λw [f w x]]] (λw.λxf.) 17 A pak jednoduše: individuum x postrádá vlastnost f = df individuum x neinstanciuje f ve w [Postrádat w x f] (οιϕ)ω [Instanciovat w x f] Samozřejmě, že kvalifikovat někoho coby nositele jisté vlastnosti může být také rozumně explikováno totálním způsobem. Načež jednoduše definujeme: 16 Pro jiný případ uvažme charakteristickou funkcí, která je nedefinována pro I 1 (srov. i s předchozí poznámkou pod čarou a s diskuzí týkající se parciálních charakteristických funkcí). 17 Ačkoli vlastnost instanciovat je totální, konstrukce [Instanciovat w D w f] může být přesto nevlastní (ne-vkonstruovala by žádnou pravdivostní hodnotu), když by D byla konstrukce vyjádřená deskripcí, která nereferuje v určitém možném světě w na žádné individuum (pro příklad uvažme král Francie ). To, že bychom nedostali žádnou pravdivostní hodnotu, by však nebylo způsobeno tím, že instanciovat je parciální, ale proto, že tato funkce by neobdržela argument, neboť by konstrukcí D w nebylo konstruováno individuum (takže by neexistovala dvojice <individuum, vlastnost>, jež by byla argumentem pro instanciovat ). Totéž platí pro další obdobné případy. 9

individuum x je nositel vlastnosti f = df individuum x instanciuje f [Nositel w x f] (οιϕ)ω [Instanciovat w x f] Bude též užitečné, když do některých našich definic zakomponujeme pojem může postrádat. Zdá se, že pro smysluplnost aplikace tohoto predikátu se předpokládá, že pro individuum je možné příslušnou vlastnost mít. Pro příklad uvažme triviální nedefinovanou vlastnost, jež je denotována např. výrazem být individuum takové, že 3 0=0 (formalizováno jako λw [λx [3 0=0]]). Je zřejmé, že žádné individuum tuto vlastnost nemůže mít, takže říci, že individuum ji může postrádat (tj., že existuje možný svět, v němž ji to individuum nemá) obnáší nepochybně nepravdivé tvrzení. Předpokládejme tudíž pojem MůžePostrádat, jenž může být vyjádřen obratem pro x je možné postrádat f, přičemž být možné je vyloženo ve smyslu, že existuje alespoň jeden možný svět takový, že : individuum x může postrádat vlastnost f = df existuje možný svět w takový, že x je f ve w a existuje možný svět w takový, že x postrádá f ve w [MůžePostrádat w x f] (οιφ)ω [ [.λw [f w x]] [.λw [Postrádat w x f]] ] To je ekvivalentní: (οιφ)ω [ [.λw [f w x]] [.λw [Pravdivá w [λw [f w x]]]] ] Níže budeme používat i pojem NemůžePostrádat, který můžeme jednoduše definovat jako ( může postrádat je totální): [NemůžePostrádat w x f] (οιφ)ω [MůžePostrádat w x f] Pokud budeme hledat ekvivalence s ohledem na výše uváděné definice s tím, že bychom přitom uplatňovali běžné logické zákony, musíme si dávat pozor na De Morganovy zákony pro záměnu kvantifikátorů, neboť parciálnost může způsobit neekvivalentní výsledek. Proto když konvertujeme formuli s jedním kvantifikátorem na formuli s druhým kvantifikátorem, ona podmínka za kvantifikátorem musí být totalizována pomocí predikátu pravdivá ; tj. [.λw [Pravdivá w [λw [... w...]]]] [.λw [Pravdivá w [λw [... w...]]]]. První ekvivalence pro NemůžePostrádat: 20 (οιφ)ω [ [.λw [f w x]] [.λw [Postrádat w x f]] ] je korektní, nicméně následující nesmí být [ [.λw [ [f w x]]] [.λw [ [Postrádat w x f]]] ], ale : 18 19 18 Pojem Postrádat užíváme pro případy, kdy individuum není v extenzi f kvůli tomu, že není v té třídě, nebo kvůli tomu, že f nemá v daném světě žádnou extenzi. 19 Uvědomme si, že [Pravdivá w [λw [... w...]]] vyhodnocujeme coby [.λo [ [o = [λw [... w...]] w ]..., což je ekvivalentní (díky I. pravidlu λ-konverze, substituce w za w ) [.λo [ [o = [...f w...] ].... 20 Namísto může být použito xor, vylučovací nebo (analogicky pro další definice obsahující ). 10

(οιφ)ω [ [.λw [Pravdivá w [λw [ [f w x]]]]] [.λw [Pravdivá w [λw [ [Postrádat w x f]]]]] ] V druhé části disjunkce není užití pojmu Pravdivá zcela nezbytné, neboť druhá část disjunkce stejně nemůže být bez pravdivostní hodnoty 21. V tomto případě se díky užití Pravdivá v tomto místě nic špatného nestane také z důvodu, že definiční ekvivalent Postrádat již pojem Pravdivá užívá, takže parciálnost způsobená na nic nepoukazující deskripcí nebo vlastností je stejně překonána: (οιφ)ω [ [.λw [Pravdivá w [λw [f w x]]]] [.λw [Pravdivá w [λw [f w x]]]] ] Poslední ekvivalence může být zjednodušena, protože druhá část disjunkce vrací T triviální vlastnosti, kterou má individuum ve všech světech: (οιφ)ω [ [.λw [Pravdivá w [λw [f w x]]]] [.λw [f w x]] ] První část disjunkce vrací s pomocí pojmu Pravdivá T nikoli pouze pro vlastnosti, jejichž neměnnou extenzí je prázdná třída (co je prázdná, je vyloženo níže), ale hlavně pro tu vlastnost, která je nedefinovaná ve všech světech (takže jakékoli individuum ji nemůže postrádat); bez užití pojmu Pravdivá bychom pro tyto vlastnosti dostali F. Můžeme také přidat: individuum x může instanciovat vlastnost f = df existuje možný svět w takový, že individuum x je f ve w [MůžeInstanciovat w x f] (οιφ)ω [.λw [f w x]] V případě MůžeInstanciovat navrátí podmínka [f w x] pravdivostní hodnotu T, načež tak obdržíme hledanou třídu vlastností, které může individuum instanciovat. Proto můžeme nahradit tuto podmínku pomocí [Pravdivá w [λw [f w x]]]; díky její ekvivalenci s Instanciovat dostáváme: = df existuje možný svět w takový, že individuum x instanciuje f ve w (οιφ)ω [.λw [Instanciovat w x f]] (Tato ekvivalence může být čtena jako definice pojmu MožnáInstanciovat.) Analogicky máme: individuum x nemůže instanciovat vlastnost f = df neexistuje možný svět w takový, že individuum x je f ve w [NemůžeInstanciovat w x f] (οιφ)ω [.λw [f w x]] Příslušné ekvivalence jsou tyto: 21 Konstrukce vyjádřená deskripcí jako král Francie, resp. nejoblíbenější vlastnost krále Francie, nevede ve w k ničemu, pokud stojí namísto x, resp. f. 11

(οιφ)ω [.λw [f w x]] (οιφ)ω [.λw [Pravdivá w [λw [f w x]]]] = df v každém možném světě w individuum x neinstanciuje f (οιφ)ω [.λw [Instanciovat w x f]] Na druhou stranu je třeba poznamenat, že MůžePostrádat a NemůžePostrádat nemají obdobné vztahy k Instanciovat, protože oba pojmy mohou být (z definice) charakterizovány více komplikovanou podmínkou než pojem Instanciovat. Proto platí jen: [ [MůžePostrádat w x f] [.λw [Instanciovat w x f]] ] [ [.λw [Instanciovat w x f]] [NemůžePostrádat w x f] ] Opačný směr první implikace by byl nepravdivý pro vlastnost ve všech světech nedefinovanou, což nechceme. Opačný směr druhé implikace by byl nepravdivý pro vlastnost ve všech světech nedefinovanou stejně tak jako pro vlastnost, jejíž neměnící se extenzí je prázdná třída, což nechceme rovněž. Triviální / netriviální vlastnosti Klasifikace vlastností je obecně dosti komplikovanou záležitostí. Hlavní příčina této komplexity tkví v parciálnosti. Tichý často užíval termín triviální vlastnost k pojmenování vlastností (či obecně jakýchkoli intenzí) s jednou stabilní extenzí (je-li jaká) přiřazovanou konstantně všem možným světům. Definice, která tvrdí, že triviální vlastnosti jsou takové vlastnosti f, že v každém možném světě w je extenze f ve w identická s její extenzí ve w (formálně [Triviální w f] (οϕ)ω [.λw [ [Extenzion w f] = [Extenzion w f] ]]), však nepokrývá vlastnost nedefinovanou ve všech světech. Abychom připustili také tuto vlastnost coby vlastnost triviální, bude nezbytné rozšířit naši předběžně uvažovanou definici následujícím způsobem: být triviální vlastnost f = df být vlastnost taková, že buďto v každém možném světě w je pravdivé ve w, že extenze f ve w je identická s extenzí f ve w), anebo v žádném světě w neexistuje třída s identická s extenzí f ve w [Triviální w f] (οϕ)ω [ [.λw [Pravdivá w [λw [ [Extenze w f] = [Extenze w f] ]]]] [.λw [.λs [s = [Extenze w f]]]] ] (λw.λf.) Patrně jednodušší definicí pojmu Triviální je: = df být vlastnost taková, že jestliže existuje možný svět w, v němž existuje třída s, jež je extenzí f, pak existuje třída s, která je v každém možném světě w extenzí f (οϕ)ω [ [.λw [.λs [s = [Extenze w f]]]] [.λs [.λw [s = [Extenze w f]]]] ] 12

Povšimněme si však, že nesmíme ztotožnit triviální vlastnosti s těmi vlastnostmi, které individuum nemůže postrádat, neboť nekonstantní vlastnosti přiřazující alternativně prázdnou třídu a nic (tj. netriviální prázdné vlastnosti, viz níže) jsou také těmi vlastnostmi, které individua nemohou doopravdy postrádat. Namísto I 1 není F máme tendenci říci prostě I 1 je ne-f (srov. s Iannis není kuřák / Iannis je nekuřák ). Jenže ztotožnit (pojem) Ne-F s λw [λx [ [F w x]]] se zdá být adekvátní jedině tehdy, když je vlastnost F funkcí totální (nezdá se být adekvátní tvrdit, že Yannis není bratr krále Francie, když žádný král Francie neexistuje; otázka, zdali Yannis není jeho bratrem, tedy nenastává, jak by řekl Strawson). Abychom mohli přisuzovat být ne-f více vhodněji, definujeme popření ( denial ) více sofistikovaným způsobem, než kdybychom uplatnili prostou negaci. 22 Nejdříve definujeme některé pomocné pojmy. Je známo, že k jakékoli třídě S existuje třída S -1, která je komplementární k S (s ohledem na danou doménu objektů). V souladu s tímto budeme jisté funkce pojímat jako komplementární k jiným funkcím, pod podmínkou, že pokud objekt je v extenzi té prvé funkce, pak není v extenzi té druhé funkce, a naopak; pokud objekt není v extenzi té prvé funkce protože ta nemá extenzi tak objekt není v extenzi ani druhé funkce, protože ta také nemá extenzi (toto je implikace oběma směry, což zapracujeme do definice pomocí xor). Pro začátek bychom se mohli pokusit definovat příslušný pojem následovně: 23 vlastnost f je komplementární W vlastnosti g = df v každém možném světě w, pro každé individuum x, buďto je pravdivé ve w, že x je v extenzi f (ve w ), nebo je pravdivé ve w, že x je v extenzi g (ve w ), a to, že neexistuje žádná extenze f (ve w ), je ekvivalentní s tím, že neexistuje žádná extenze g (ve w ) [Komplementární W f g] (οϕϕ) [.λw [.λx [ [ [Pravdivá w [λw [[Extenze w f] x]]] xor [Pravdivá w [λw [[Extenze w g] x]]] ] [ [.λs [s=[extenze w f]]] [.λs [s =[Extenze w g]]] ] ]]] (λfg.) Je třeba poznamenat, že tato definice není ideální, protože v některých případech dovoluje více intenzí coby komplementárních k určité dané intenzi. Nicméně skupina takovýchto 22 Netvrdíme, že náš návrh je jedinou možnou explikací být ne-f. být ne-f lze explikovat v tom smyslu, že ne-f je totální, takže definovaná i tehdy, když F je nedefinována. Takto ale nepostupujeme z toho důvodu, že ačkoli ne-f je totální, stejně existuje vlastnost F, která je totální (a komplementární k ne-f ) a jistá vlastnost ne-f, která je parciální (a komplementární k F ). Možná, že naše tendence chápat ne-f v totálním smyslu pramení z naší tendence pojímat (z pragmatických důvodů) ve smyslu není pravdivé, že (individuum) je F, což se zdá být vzdálené mnohem příhodnějšímu (takže sémanticky více relevantnímu) komplementu být F. 23 Zde užíváme vylučovací nebo, xor, neboť pouhá disjunkce není dostatečná. Pomiňme imaginární (ale nikoli reálnou) závislost komplementární na světech. 13

komplementárních intenzí se sestává z intenzí dosti podobných. Můžeme proto tuto Komplementární W definici pojímat jako jen mírně nepřesnou ( W za angl. weak ). Abychom definovali (pojem) komplementární ve striktním smyslu, potřebujeme některé další teoretické koncepty a zjištění. Z tohoto důvodu se pokusíme sestavit precizní definici až později, abychom nepřerušili dosavadní výklad (v nejbližších definicích používáme pojem Komplementární, který je definován níže, nechť je techničtější čtenář trpělivý). Nyní pro jakoukoli vlastnost, vlastnost vlastností konstruovanou proměnnou h, je Ne (angl. non- ) zobrazení přiřazující vlastnosti h vlastnost h (téhož typu), která je ta jediná vlastnost komplementární tomu h: [Ne h] (((οϕ)ω)((οϕ)ω)) [sing.λh [Komplementární h h]] (λh.) Přijměme konvenci, že [Ne h] je ekvivalentní s jednoduchým pojmem Neh. Proto nám jako exaktní definice vlastnost netriviální postačí (adoptujeme Ne vhodného typu): netriviální vlastnost vlastností = df jediná vlastnost vlastností komplementární vlastnosti vlastností Triviální Netriviální w (οϕ)ω [sing.λh [Komplementární h Triviální]] w (λw.) S η-expandovanými formami konstrukcí na obou stranách: [NeTriviální w f] (οϕ)ω [ [sing.λh [Komplementární h Triviální]] w f] (λw.λf.) Poněvadž triviální je totální vlastnost, platí: (οϕ)ω [Triviální w f] Extenze triviální vlastnosti se nemění s ohledem na různé možné světy. Tyto světy jsou pojímány jako faktory ovlivňující empirickou zkušenost. Proto můžeme triviální vlastnosti nazývat neempirické vlastnosti, neboť zjistit, zda například I 1 je se sebou identické, je apriorní záležitost, tj. sebe-identita I 1 není empirická nahodilost. Extenze netriviálních vlastností jsou na druhou stranu odvislé od toho či kterého světa. Například být člověk se jednomu individuu děje v jednom světě, v jiném však nikoli. Abychom zjistili aktuální extenzi vlastnosti být člověk, je nezbytné vyjít ven a určit lidské bytosti, čili zjistit kontingentní stav toho světa (toto v principu není vyvoditelné pouhou čistou dedukcí). Proto mohou být netriviální vlastnosti chápány jako empirické vlastnosti. To jinými slovy znamená: být empirická vlastnost f = df být netriviální vlastnost f (λw.λf.) [Empirické w f] (οϕ)ω [Netriviální w f] být neempirická vlastnost f = df být triviální vlastnost f [Neempirické w f] (οϕ)ω [Triviální w f] 14

Uvědomme si dále, že nejvhodnějším pojímáním triviálních a netriviálních vlastností (obecně všech takových intenzí), což by ovšem znamenalo nahradit Tichého terminologii (ovlivněnou A. Plantingou), je zvát netriviální vlastnosti kontingentní vlastnosti a triviální vlastnosti nekontingentní (či: konstantní) vlastnosti: být kontingentní vlastnost f = df být netriviální vlastnost f [Kontingentní w f] (οϕ)ω [Netriviální w f] být nekontingentní vlastnost f = df být triviální vlastnost f [Nekontingentní w f] (οϕ)ω [Triviální w f] Nicméně tento terminologický návrh necháváme až na budoucí uvážení. Níže budeme stále uplaňovat terminologii Tichého. 24 Prázdná / univerzální/ nedefinovaná, singulární vlastnosti Bude příhodné, když determinujeme také pojmy některých výjimečných triviálních vlastností, neboť na ty budeme často poukazovat. Je zajímavé, že naše definice (pojmu) triviálních vlastností zahrnuje také tyto výjimečné vlastnosti. Nejprve můžeme determinovat triviální prázdnou vlastnost coby jedinou vlastnost, která splní následující definiens (klasická prázdná třída,, je unární totální charakteristická funkce přiřazující F každému ι-argumentu; je konstruovatelná konstrukcí [sing.λs [λx [ [s x] = F ]]]): být triviální prázdná vlastnost f = df být vlastnost taková, že v každém možném světě w je extenzí f prázdná třída [Prázdná Tr w f] (οφ)ω [.λw [ [Extenze w f] = ]] (λw.λf.) Z našich definice je zjevné, že příslušná vlastnost je triviální, což indikujeme pomocí Tr v horním indexu. Následně přidáme definici pro triviální nedefinovanou vlastnost, tj. jedinou vlastnost, která splní následující definiens: být triviální nedefinovaná vlastnost f = df být vlastnost taková, že v každém možném světě w neexistuje třída s, která je identická s extenzí f ve w [Nedefinovaná Tr w f] (οφ)ω [.λw [.λs [s = [Extenze w f] ]]] 24 Slovní definice pojmu Empirická a Triviální, včetně intuitivně přijatelného ztotožnění empirických vlastností s netriviálními vlastnostmi, se vyskytly již v Cmorejových pracech (v Cmorej 2006 je užit termín kontingentní namísto empirická ). Všechny jeho definice však zacházely jen s totálními vlastnostmi. Jistěže může být argumentováno, že být extenze (něčeho) je pojímáno coby totalizující predikát. Ale pak by obrat neexistuje extenze (něčeho) byl nesmyslný, což jistě není. Proto jediné přirozené pojímání být extenze (něčeho) je ono v parciálním smyslu. 15

Níže budeme užívat i pojem oné jediné triviální vlastnosti, která má coby svou stálou extenzi třídu všech individuí. Neboli můžeme definovat (pojem) triviální univerzální vlastnost, tj. jediná vlastnost, která splní definiens: 25 být triviální univerzální vlastnost f = df být vlastnost taková, že v každém možném světě w je extenze f ve w identická s jedinou třídou s, která je komplementární prázdné třídě [Univerzální Tr w f] (οϕ)ω [.λw [ [Extenze w f] = [sing.λs [Komplementární s ]] ]] Vlastnost jako být identické s I 1 má ve své neměnící se extenzi I 1 a tak může být charakterizována jako triviální singulární vlastnost. Takovéto vlastnosti vytváří třídu, která je jedinou neměnící se extenzí vlastnosti vlastností, jejíž pojem je definován definicí: být triviální singulární vlastnost f = df být vlastnost taková, že v každém možném světě w existuje individuum x, které je v extenzi f ve w, a pro každé individuum y, jestliže y je v extenzi f ve w, tak y je identické s x; a f je triviální [Singulární Tr w f] (οφ)ω [ [.λw [.λx [ [[Extenze w f] x] [.λy [ [[Extenze w f] y] [y=x] ]] ]]] [Triviální w f]] (Bez doplňku, že f je triviální, by byly determinovány ty vlastnosti, které jsou sice ve všech světech zastávány jedním a tímtéž individuem, ale ne všechny by byly triviální. Tuto skutečnost způsobuje možná variabilita extenzí těchto vlastností, což mohou být třídy, které přiřazují T jedinému individuu, ale lišící se však jen v tom, co přiřazují, přiřazují-li vůbec něco, individuum ostatním. Srov. níže sekci o parciálních charakteristických funkcích.) (Čtenář obeznámený s problematikou numerických kvantifikátorů si může tyto definice snadno přestavět na definice triviálních vlastností s konstantní extenzí obsahující dvě individua, či tři individua, atp.) 26 Parciální charakteristické funkce Parciálnost ve skutečnosti věci komplikuje od samého základu naši úvah. Již jsme uváděli, že zobrazení do pravdivostních hodnot jsou charakteristické funkce. Uvažme pro jednoduchost kolekci jen dvou objektů, A a B. Pro tuto kolekci existuje přesně devět charakteristických totálních a parciálních funkcí: 25 Samozřejmě, že kromě [sing.λs [Komplementární s ]] můžeme třídu všech individuí konstruovat pomocí λx T. 26 Pokud jsou tyto definice adaptovány pro intenze-úřady, které nejsou obsazovatelné třídami objektů, ale objekty zvlášť (např. jsou to individua případ individuových úřadů) či n-ticemi objektů, tak jejich jedinou z vymezovaných vlastností je nedefinovaná ; ostatní vlastnosti (z této sekce) nikoli. 16

f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 A T T T F F F B T F T F T F Funkcionální systém pracující výlučně jen s totálními funkcemi rozpoznává jako charakteristické funkce právě f 1, f 2, f 4, f 5 ; ty v něm slouží k reprezentaci následujících tříd (v příslušném pořadí): {A,B}, {A}, {B},. V našem systému funkce f 1, f 2, f 4, f 5 slouží také k vlastní reprezentaci těchto tříd. Ale navíc disponujeme i oněmi parciální micharakteristickými funkcemi. Tyto parciální charakteristické funkce ovšem nemohou být v ryzím smyslu také explikacemi tříd také, neboť jedno-mnohoznačné zobrazení coby explikace není přípustné. V našich slovních vyjádřeních ovšem přesto budeme, kvůli zažitosti množinově-teoretického žargonu, o všech charakteristických funkcích mluvit jako o třídách. Po uvedení konceptu charakteristické funkce můžeme charakteristické funkce roztřídit do několika druhů, dva z nich budou důležité pro naše další zkoumání. Protože užívat termíny /atribut/ charakteristická funkce a přitom si představovat množinové objekty je krkolomné, budeme radši užívat obraty /atribut/ třída. Pokud nyní vhodně definujeme naši výše uváděnou definici totální, můžeme všechny totální charakteristické funkce, tj. f 1, f 2, f 4, f 5 z našeho miniaturního příkladu, konstruovat pomocí konstrukce λs [.λx [.λo [ o = [s x] ]]] nebo jednoduše λs [.λx [ [[s x]=t] [[s x]=f] ]]. Takovéto charakteristické funkce můžeme nazývat dichotomie : [Dichotomická s] (ο(οι)) [.λx [.λo [ [s x]=o ]]] (λs.) Charakteristické funkce dělící příslušnou kolekci dokončeným procesem bisekce, srov. s f 2, f 4, mohou být definovány takto: [Dělící s] (ο(οι)) [ [.λx [.λo [[s x]=o]]] [.λx [[s x ]=T]] [.λx [[s x ]=F]] ] Uvažujme nyní ne vždy dokončené bisekce, které přiřazují T jistým prvkům kolekce (aspoň jednomu z nich), avšak žádnému prvku nepřiřazují F, coby (totální a parciální) afirmativní třídy. V naše příkladu jsou to f 2, f 3, f 7 (ale nikoli f 9 ): [Afirmativní s] (ο(οι)) [ [ [.λx [[s x]=t]] [.λo [o=[s x]]] ] [.λx [.λo [o =[s x ]]]] ] Protějšky afirmativních tříd jsou negativní třídy, tj. totální a parciální funkce takové, že přiřazují pravdivostní hodnotu F (ale nikdy T) aspoň jednomu prvku. Všechny jsou prázdné, srov. f 5, f 6, f 8 : [Negativní s] (ο(οι)) [ [ [.λx [[s x]=f]] [.λo [o=[s x]]] ] [.λx [.λo [o =[s x ]]]] ] 17

Pro nás důležitější jsou prázdné třídy (jsou totální a parciální), tj. v našem ilustrativním příkladu f 5, f 6, f 8, f 9 : [Prázdná s] (ο(οι)) [ [.λx [[s x]=f]] [.λo [o=[s x]]] ] či prostě: (ο(οι)) [.λx [ [s x]=t] ] Druhou dosti důležitou skupinu tvoří totální a parciální charakteristické funkce, které přiřazují T alespoň jednomu prvku dané kolekce, v naše příkladu f 1, f 2, f 3, f 4, f 7 (proměnná m konstruuje (ο(οι))-objekty): [Neprázdná s] (ο(οι)) [ [sing.λm [Komplementární m Prázdná ]] s] Někdo snad ocení následující definici: (ο(οι)) [.λx [ [s x]=t] ] Neprázdné třídy nahlížejme jako třídy něco obsahující. 27 Když se vrátíme k našim čtyřem druhům vzácných triviálních vlastností nahlédneme, že naše definice triviálních singulárních vlastností byla navržena tak, že připouští nejen dichotomie coby extenze vlastností, ale také ty neprázdné třídy, které přiřazují T pro pouze jeden prvek, ovšem ostatním prvkům daném kolekce přiřazují F či nic. Na druhou stranu, naše následující definice triviální prázdné vlastnosti byla sestavena tak, aby připustila pouze vlastnosti mající coby svou neměnnou extenzi pouze dichotomie přiřazující všem prvkům F, tj. vlastně. Nyní můžeme definovat druh vlastností, které mají coby neměnící se extenzi jakoukoli prázdnou třídu, přitom jsou ale triviální: být triviální prázdná vlastnost f = df být vlastnost taková, že existuje třída s taková, že v každém světě w, je-li s totožná s extenzí f ve w, tak s je prázdná [Prázdná Tr w f] (οφ)ω [.λs [ [.λw [s = [Extenze w f]]] [Prázdná s] ] (λw.λf.) Poznamenejme, že takto triviální nedefinovaná vlastnost nepatří mezi triviálně prázdné. Samozřejmě: [Neprázdná Tr w f] (οφ)ω [ [sing.λh [Komplementární h Prázdná Tr ]] w f] Poslední poznámka přímo vázaná k totálním a parciálním charakteristickým funkcím. Známá třídová relace je totální zobrazení, které není ovlivněno dvojicemi parciální tříd coby vstupními argumenty. To, co je relevantní pro přiřazení T, je zjištění, zdali prvek (je-li 27 Pro jednoduchost budeme ignorovat myslitelnou závislost na světech. Definice proto musí být pečlivě modifikovány, budou-li adaptovány pro jiné typy objektů (na druhou stranu úprava Prázdná Tr z bezprostředně následující definice spočívá v konverzi na Prázdná ). 18

jaký), jemuž je v první z charakteristických funkcí přiřazeno T, má přiřazeno T i ve druhé z charakteristických funkcí (přičemž ve druhé mohou mít i jiné prvky přiřazeno T). Komplementární vlastnosti V této sekci si nyní ukážeme, proč je (pojem) komplementární W, který jsme definovali výše, poněkud nedokonalý. Vlastnost individuuí P může mít coby svou extenzi f 2 v tomto případě je A v f 2, tj. A má P, ale B nikoli. Naše definice Komplementární W ovšem připouští jakékoli vlastnosti mající jako extenzi f 4 nebo f 7 (řekněme, že jde o vlastnosti P -1 a P -1 ) coby vlastnosti komplementární k P. (Analogicky totéž platí pro P -1 mající coby extenzi f 3.). Chtěli bychom však Komplementární S ( S jako striktní ), která asociuje páry takových vlastností jako např. <P,P -1 >, <P,P -1 >. Než navrhneme definici je důležité si uvědomit, že pokud hodnoty-extenze jistých intenzí nejsou třídami, ale jednoduchými objekty jako jsou např. individua (případ individuových úřadů) nebo dvojice individuí (případ úřadů obsazovatelných dvojicemi individuí) problém definiční nedokonalosti nevzniká. To znamená, že definice Komplementární W může být snadno adoptována pod podmínkou, že extenze funkcí, které mají být komplementární k nějakým jiným funkcím, nejsou typu (οξ). Definice Komplementární S by proto měla být taková, že původně uvažovaná definice Komplementární W bude vylepšena přidáním podmínky určující, že pokud mají dvě intenze jisté extenze typu (οξ), tak tyto extenze musí být vzájemně komplementární v striktním smyslu: být vlastnost f komplementární S k vlastnosti g = df být vlastnost taková, že v každém světě w, pro každém individuum x, buďto je pravdivé ve w, že x je v extenzi f(ve w ), anebo je pravdivé ve w, že x je v extenzi g(ve w ), a extenze f je komplementární W extenzi g, a zároveň to, že neexistuje žádná extenze f (ve w ), je ekvivalentní s tím, že neexistuje žádná extenze g (ve w ) [Komplementární S f g] (οϕϕ) [.λw [.λx [ [ [Pravdivá w [λw [[Extenze w f] x]]] xor [Pravdivá w [λw [[Extenze w g] x]]] [Komplementární W [Extenze w f] [Extenze w g]] ] [ [.λs [s=[extenze w f]]] [.λs [s =[Extenze w g]]] ] ]]] (λfg.) Pokud jsou extenze vlastností individuí třídy individuí, tj. objekty, jejichž extenze nejsou typu (οξ), ale prostě typu ο, je postačující užít výše uváděné definice (typově adekvátní) Komplementární W, abychom extenze vlastností individuí podmínili žádoucím způsobem; toto souvisí s tím, že jednoduché objekty jako např. individuum I 1 nemohou být v logickém 19

smyslu komplementární jakémukoli jinému objektu typu ι. Pokud by tomu ale tak nebylo, pak musíme mít pojem komplementární ve striktním smyslu, jmenovitě Komplementární S definovanou s pomocí typově teoreticky nižší Komplementární S. V této souvislosti je zajímavé, že když jsou adaptovány definice Komplementární S pro vlastnosti funkcí přiřazují např. (οι)-objekty ι-objektům (tyto funkce jsou typu ((οι)ι))), pak extenze takovéto vlastnosti jsou typu (οξ), jmenovitě (οι), tedy extenzemi takovýchto funkcí jsou (οι)-objekty a tudíž musíme užít v příslušné definici (typově adekvátní) Komplementární S namísto (typově adekvátní) Komplementární W. Nechť si čtenář v těch našich definicích, v nichž je užito Komplementární, představí Komplementární S nebo Komplementární W odvisle od příslušného typu extenze. ESENCIÁLNÍ / NEESENCIÁLNÍ VLASTNOSTI Ve statích (Cmorej 1996, Cmorej 2001) uvedl Pavel Cmorej při diskusích individuového esencialismu detailnější klasifikaci vlastností, než jakou měl Tichý. Cmorejovy návrhy budeme následovat a podáme příslušné exaktní definice. 28 Zvláště pak přidání definice pustých vlastností (zejména triviálně pustých vlastností) vede k zúplnění čtveřice druhů vlastností. Dále přidáme definice vlastností akcidentálních, jež mají důležitou roli pro filosofy. Esenciální pro / esenciální vlastnosti Začněme s: 29 být vlastnost f esenciální pro individuum I 1 = df být vlastnost taková, že v každém možném světě w je individuum I 1 v extenzi f ve w [EsenciálníPro w f I 1 ] (οφ)ω [.λw [[Extenze w f] I 1 ]] (λw.λf.) Ekvivalentně: = df být vlastnost taková, že v každém možném světě w I 1 je f ve w (οφ)ω [.λw [f w I 1 ]] = df být vlastnost taková, že v každém světě w individuum I 1 instanciuje f ve w (οφ)ω [.λw [Instanciovat w I 1 f]] 28 Z citací bude zřejmé, které vlastnosti byly (verbálně) navrženy již Cmorejem. 29 Je zjevné, že pojem vlastností esenciálních pro I j (kde j je jakékoli přirozené číslo) může být definován na základě nahrazení I 1 pomocí zvoleného I j. 20