Obsah Abstrakt 2 Úvod 3 Kapitola 1: Möbiova (kruhová) geometrie 4 Kapitola 2: Transformace orientovaných kruhových křivek Kapitola 3: Cyklografie

Transkript

1

2

3 Oh Atrkt Úvo 3 Kitol : Möiov (kruhová) geoetrie 4. Kruhová křivk 4. Orietová kruhová křivk 5.3 Vzájeý otk orietových kruhových křivek 6.4 hrutí 4 Kitol : Trforce orietových kruhových křivek 6. Kruhová iverze 6. Zchováí orietce ři zorzeí v kruhové iverzi 8.3 Pooot.3. Příá ooot.3. Neříá ooot 3.4 Zchováí orietce ři ooé zorzeí 5.5 tejolehlot 7.6 hrutí 9 Kitol 3: Cklogrfie 3 3. Cklické roítáí 3 3. Diltce Zchováí ouhlého otku ři iltci hrutí 34 Kitol 4: Troch teorie hitorie Projektiví ohle kruhové křivk Klifikce trforcí (zorzeí) Něco z hitorie 38 Kitol 5: Úloh 4 5. Aolloiov úloh 4 5. Úloh k Úloh kkk Úloh hrutí 66 Závěr 67 Litertur 68

4 Atrkt Název ráce: Möiov geoetrie Autor: D Kovříková Kter (útv): Kter iktik tetik Veoucí iloové ráce: Doc. RNDr. Leo Boček Cc. E-il veoucího: ocek@krli.ff.cui.cz Atrkt: Úkole iloové ráce lo eáí učeího tetu ro eiář tuetů gázi v ěž jou řítuou forou vlože zákl kruhové geoetrie. Tet ohuje výkl oju orietové kruhové křivk všetřuje ouhlý otk těchto křivek tké ovozeí trforcí v kruhové iverzi oooti iltci. V ráci jou ltickýi etoi řeše ěkteré t Aolloiových úloh ke zé rvk jou orietové. Tet i úloh jou olě orázk. Klíčová lov: kružice řík o orietce otk Title: Geoetr of Möiu Author: D Kovříková Dertet: Dertet of Mthetic Euctio uervior: Doc. RNDr. Leo Boček Cc. uervior e-il re: ocek@krli.ff.cui.cz Atrct: The i tk of thi ilo work w to write techig tet for eir of grr chool tuet which woul eli ricil of circulr geoetr i ilifie er. The tet coti iterrettio of the cocet of irecte circulr curve. It eie the curve correoig touch oit lo the iferece of trfortio i circulr iverio iilrit ilttio. There re oe role of Aolloio with re-ige irecte eleet tht re lticll olve. The tet role re colete with icture. Kewor: circle lie oit irectio touch

5 Úvo Práce je á jko učeí tet ro eiář tuetů gázi. Zývá e výkle záklů kruhové geoetrie řítuou forou. Pro ochoeí jou uté zloti ltické geoetrie v roviě v rozhu třeoškolkých oov. Nové oj jou efiová trforce ovoze oužití ěžých lgerických úrv. Prktické vužití je ukázáo ltické řešeí ěkolik Aolloiových úloh. Práce ohuje orázk které ázorě olňují tet i úloh. Tet je rozěle o ěti kitol. Prví kitol e zývá zveeí ojů týkjících e kruhové geoetrie orietové kruhové křivk vzájeého otku kruhových křivek. Druhá kitol je o zorzováí kruhových křivek v kruhové iverzi oooti tejolehloti. Třetí á ízí ohle orietové kruhové křivk jejich trforce z hleik cklogrfie. Ve čtvrté kitole je zčeo rojektiví zoecěí kruhové geoetrie klifikce ovozeých trforcí. Poleí kitol likuje vvětleou teorii ěkterých Aolloiových úlohách kokrétí záí. 3

6 Kitol Möiov (kruhová) geoetrie. Kruhová křivk Přiáe-li k eukleiovké roviě E jee rvek tzv. evltí o který ozčíe zíkáe tk Möiovu roviu ve které uee rcovt. Záklí útvre Möiov (kruhové) geoetrie je kruhová křivk. Kruhová křivk je oži oů [ ] řeie ( ) v roviě které vhovují rovici é ke jou koeficiet z oži reálých číel. Těito koeficiet je á křivk urče jeozčě ž eulový áoek. A l křivk reálá uí ltit řeokl že. Poíveje e jké oo ůže kruhová křivk ít:. Pro je ožé rovici urvit třeový tvr: Je-li > oto kruhová křivk je kružice e třee oloěre r. Poku oto kruhová křivk je vltí o o ouřicích. 4

7 . Pro je rovice křivk. Pk oku > je křivk řík oku ltí oto efiujee kruhovou křivku jko evltí o ( ).. Orietová kruhová křivk Orietová kruhová křivk je kruhová křivk u které je á orietce. Orietovou kruhovou křivku zýváe též ckl. Orietci kruhové křivk i zveee áleující zůoe: Nechť je á kruhová křivk koeficiet R k její rovice á tvr:. Pro oík: ( ). tto křivk l reálá kružice je utá áleující > > olože. Nechť ( ) ( ) očě orietových. Orietci efiujee áleově: klě orietová kruhová křivk: > jou koeficiet vou hoých kružic (or..) < záorě orietová kruhová křivk: (or..) or.. or.. 5

8 Poku kruhová křivk je v toto říě vltí o který eorietujee.. Pro > je kruhová křivk řík á rovicí: Polože orálový vektor řík ( ) te jeotkový orálový vektor r. r N. Orietce řík je efiová jeotkový ěrový vektore r. Poku eorietujee. k je kruhová křivk evltí o ( ) te.3 Vzájeý otk orietových kruhových křivek V áleující čáti e zěříe vojici kruhových křivek které e vzájeě otýkjí (tj. jí olečý rávě jee o z Möiov rovi). A rotože je křivkách již efiovli jejich orietci uee ožovt e křivk otýkl ouhlě (viz or..3) or..3 6

9 7 Tvrzeí: Nechť k k jou vě orietové kruhové křivk é koeficiet ( ) ( ). Poto k k e ouhlě otýkjí rávě teh kž ltí. Ověřeí tvrzeí:. Přeokláeje že oě tto křivk jou kružice tj. ltí uté oík: > >. Dotk kružic rozělíe otk vější vitří. ) vější otk (or..4) or..4 Pro vzáleot třeů uí ltit: r r ( ) r r r r Doíe o vzthu: ( ) r r urvíe: ( ) ( ) ( ) ( )

10 8 ( ) g oku < tj. kružice jí vzáje očou orietci oto ltí: kružice e otýkjí ouhlě (viz or..5.6): > < < > or..5 or..6 ) vitří otk (or..7) or..7 Pro vzáleot třeů kružic ltí: r r ( ) r r

11 9 r r Doíe o vzthu ( ) r r urvíe: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g oku > tj. kružice jí oě klou (záorou) orietci oto ltí: kružice e otýkjí ouhlě (viz or..8.9): > > < < or..8 or..9

12 . Přeokláeje že je z kruhových křivek ř. k je kružice tj. >. tře kružice oloěr r ruhá křivk k je řík te >. Pltí jeotkový orálový vektor řík k je vektor N r ěrový vektor k který říku orietuje je vektor ouhlě e otýkjící tečou kružice k. r. Přík k je ) Nechť kružice k je orietová klě (or..) tj. >. or.. ouřice ou otku [ ] P r r N P : ověříe že P k ouřice ou P oíe o rovice řík k :

13 ři ouhlé orietci řeoklááe že ltí oík: oíe: ( ) o k P ) Nechť kružice k je orietová záorě (or..) tj. <. or.. Pooě jko v říě ) ověříe že o otku k P. Kružice k řík k jou ouhlě orietová rávě teh kž ltí oík:. 3. Poku jou oě křivk k k řík oto: k :( ). k je řík á rovicí její orietce je urče jeotkový ěrový vektore r.

14 k : ( ) k je řík á rovicí její orietce je urče jeotkový ěrový vektore r. Poík ro ouhlý otk vou orietových kruhových křivek je lě rávě teh kž tto řík r r jou rovoěžé ro jejich orietci ltí. Ověříe oět že vzth ltí: k k jou řík te ále oužijee vzth z rovoti ěrových vektorů vše oíe: r r ( ). 4. Křivk k je kružice k o oto: k :( ) k je kružice á rovicí ( ) k :( ). k je o o ouřicích (kružice ulový oloěre á rovicí ( ) ). Po ozeí ulových koeficietů o oík ro ouhlý otk vou orietových kruhových křivek otee áleující rovot kružici. t je lě rávě teh kž o leží

15 Poíku ověříe ozeí ouřic ou o rovice kružice: celou rovici váoíe výrze urvíe: ( ) oíe rovot viíe že ltí: což je chtěli ukázt. 5. Křivk k je řík k o oto: k :( ). k :( ) k je řík á rovicí k je o o ouřicích Po ozeí ulových koeficietů je oík ro ouhlý otk těchto vou orietových kruhových křivek á vzthe. Pltot je lě rávě teh kž o leží říce to ověříe ozeí ouřic ou o rovice řík: celou rovici váoíe výrze číž zíkáe řeokl:.. 6. Křivk k i k jou o oto: k :( ) k je o o ouřicích. 3

16 k :( ) k je o o ouřicích (kružice ulový oloěre o rovici ( ) ). Poík ouhlého otku těchto vou křivek ltí rávě kž tto v o lývjí (jejich koeficiet e liší ouze eulový áoke) což ověříe ozeí ouřic jeoho ou o rovice ruhého ou: oíe vzth celou rovici váoíe výrze :. 7. Poku je je z křivek ř. k evltí o ( ) oto: k : ( ). Poík ouhlého otku vou křivek je o ozeí ulových koeficietů zjeouše vzth. Tto rovot ue lě ro kžou orietovou kruhovou křivku k : ( ) tkovou že ltí. To zeá že evltí o e ouhlě otýká kžou říkou (evltí o leží kžé říce Möiov rovi) tké á e eou..4 hrutí Kruhová geoetrie je te geoetrií která e zývá kruhovýi křivki jejich vzájeýi vzth. Jk je i ukázli je ožé kruhovou křivku orietovt uee i tovt že oto je urče (ž áoek) ěticí reálých koeficietů ( ) ro ěž uí ltit utá oík 4

17 . Poto ro je tto křivk kružicí říě oe (oku ) ro říkou (oku > ) eo evltí oe (oku ). V lší čáti je ovoili ověřili že vě orietové kruhové křivk k k é koeficiet ( ) ( ) e ouhlě otýkjí rávě kž ltí:. Jeotlivé ožé ří ouhlého otku vojic křivek jou řehleě zá v tulce: k k \ kružice řík vltí o evltí o kružice ouhlý otk kružic (vitří eo vější) řík je ouhlou tečou iciece (o leží kružici) ete ik řík řík je ouhlou tečou řík jou rovoěžé hoě orietové iciece (o leží říce) vž (evltí o leží kžé říce) vltí o iciece (o leží kružici) iciece (o leží říce) o jou totožé ete ik evltí o ete ik vž (evltí o leží kžé ete ik vž (jou totožé) říce) 5

18 Kitol Trforce orietových kruhových křivek. Kruhová iverze Kruhová iverze e třee E koeficiete je zorzeí { } E \{ } E \ tkové že ro kžý o X jeho orz X lňuje: ) olořík X X jou ttéž ři > očé ři < ) X X Kruhová iverze e třee koeficiete zorzuje vější olt kružice ( r ) l vitří ok. Bo této kružice jou ři > oružé ři < e zorzí igoálě rotilehlé. V Möiově roviě oefiujee že orz třeu je evltí o ok. Kotrukce orzu X je zázorě or... or.. 6

19 7 Kruhová iverze je zorzeí které kruhovou křivku zorzí oět kruhovou křivku. Pro jeoušší ovozeí uee uvžovt kruhovou iverzi e třee [ ] koeficiete. Bo X o ouřicích [ ] e zorzí o X o ouřicích [ ] ke. Protože kruhová iverze je ivolutorí zorzeí (tj. tkové zorzeí které ložeé o e eou je ietické) ltí vzth:. Rovici orzu kruhové křivk k :( ) ovoíe tk že výše uveeé vzth ro ouřice oíe o rovice křivk k urvíe: ( ) celou rovici váoíe výrze ( ) : ( ) ( ). k e zorzí kruhovou křivku k určeou koeficiet ( ) ke koeficiet oočítáe ze vzthu : ε { } ε O hootě ε u koeficietu roztí eůžee ále vvoit ic řeějšího. Poíváe e te zorzeí ouhlě e otýkjících vojice orietových kruhových křivek uee ožovt e ouhlý otk v kruhové iverzi zchovl.

20 Nechť k ( ) k jou orietové kruhové křivk é koeficiet ( ) které e ouhlě otýkjí tj. ltí: k k e v kruhové iverzi zorzí orietové kruhové křivk áleujícíi koeficiet: k : ( ) k : ( ) k : ( ε ) k : ( ε ) ε { } ε { } Doíe koeficiet o oík ro ouhlý otk křivek k k : εε εε. Poík ue ltá rávě teh kž ouči ε ε. Te ε ε uí ývt tejé hoot: ε ε eo ε ε. Chcee ouhlý otk l zchová ro kžou vojici křivek tuíž všech ε ε ro é vojice uí ývt tále tejé hoot eo -. Zeá to že ři zorzeí orietové kruhové křivk v kruhové iverzi áe ožot vol u koeficietu který ovlivňuje orietci. A ice eo. Můžee tk rozlišit vě růzá zorzeí která e liší je v orietci.. Zchováí orietce ři zorzeí v kruhové iverzi Zorzová kruhová křivk k ůže ýt kružicí říkou vltí oe eo evltí oe ole toho jkých hoot ývjí koeficiet. Poíveje e í to v jkých říech e zchová eo ezchová orietce jk e ůže křivk trforovt. Buee uvžovt kruhovou iverzi ro hootu ε te k :( ) k :( ). Pro iverzi ke ε je vž orietce očá tuíž je rávě očá i ituce ři zchováí orietce. Můžee rozlišit áleující ří: 8

21 . Zorzová kruhová křivk k ( ) iverze [ ] : je kružice tře kruhové leží uvitř této kružice oto ltí <. je urče zéke oílu Orietce k :( ). Poku ůvoí orietce zorzové kruhové křivk l klá tj. > oto jí hoá zék eoť jí vzáje očá zék k jou i zék očá. Záleží te hootě koeficietu oku je > k oíl < orietce e ezchová oku < k oíl > orietce e zchová. Totéž ltí i v říě k k je záorě orietová te orietce zůtává ro < ěí e ro >.. Zorzová kruhová křivk k ( ) iverze [ ] : je kružice tře kruhové leží vě této kružice oto ltí >. Poku orietce > tj. k je orietová klě oto jí hoá zék eoť i jí vzáje hoá zék k jou hoá i zék. Zéko oílu oku je > k i > oíl < záleží te hootě koeficietu orietce e zchová oku < k orietce e ezchová. Ooě i v říě k k je orietová záorě orietce zůtává ro > ěí e ro <. 3. Zorzová kruhová křivk k ( ) třee kruhové iverze [ ] : je kružice která rochází oto ltí. V kruhové iverzi e k zorzí říku k :( ) orietce této řík je á ěrový vektore v toto říě oouit. r. Zěu orietce elze 9

22 4. Zorzová kruhová křivk k ( ) třee kruhové iverze [ ] orietová ěrový vektore ( ) : je řík která rochází oto ltí. Vzor k je r. Orz k je urče koeficiet te je zřejé že tto řík je oružá její orietce r je urče vektore orietce zůte zchová. r ro liovolé je 5. Zorzová kruhová křivk k ( ) třee kruhové iverze [ ] zorzí kružici k :( ) : je řík která erochází oto ltí. Tto řík e tj. kružici rocházející třee. Zěu orietce elze v toto říě oouit. 6. Vltí o který eí třee kruhové iverze e zorzí vltí o. tře kruhové iverze e zorzí evltí o evltí o tře. Orietci u oů erozlišujee tuíž eá l uvžovt o zchováí orietce..3 Pooot Pooot koeficiete k > je zorzeí z E E tkové že ro kžou vojici oů X Y jejich orz X Y ltí X Y k XY. Pooot ůžee ále rozělit říou eříou. Příá hoot zchovává orietci reéru (tj. orietci o outv ouřic) eříá ikoli. Poroěji e oíváe kžý ří zvlášť.

23 .3. Příá ooot Při říé oooti e o [ ] X zorzí o [ ] X ltí: c ke R c ( ) ( ) koeficiet oooti k. Jk e v této oooti zorzí orietová kruhová křivk ( ) k :? Nejrve z rovic vjáříe v záviloti : ( ) ( ) c ( ) ( ) c í tto vzth oíe o rovice křivk k urvíe: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c ( ) ( ) ( ) ( ) c c ( ) ( )( ) ( ) ( ) c c ( ) ( )( ) ( ) ( ) c c ( ) ( ) ( ) ( ) c c ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) c c ( ) ( ) c

24 celou rovici váoíe výrze ( ): ( c c ) ( c ) ( c ) ( ) ( ) ( c ) ( ) ( c ) c c ( ). Orz k je urče koeficiet( ) ke c ( c ) ( c c ) ( ) koeficiet oočítáe ze vzthu ( c ) ( ) : [ ( c ) ( c c ) ( )] ( ) ( ) ( ) k ε k ε { } Hootu ε u koeficietu oět určíe z oík ro ouhlý otk vojice křivek. Nechť k ( ) k jou orietové kruhové křivk é koeficiet ( ) které e ouhlě otýkjí tj. ltí: k k e v oooti koeficiete k > rovicei c ke orietové kruhové křivk áleujícíi koeficiet: která je á trforčíi zorzí k k :( ) c k :( ) ke

25 ( c ) ( c ) ( c ) [ ] k ε ε { }. k k : ( ) c k : ( ) ke ( c ) ( c ) ( c ) [ ] k ε ε { }. k Doíe koeficiet o oík ro ouhlý otk křivek k k : ( c )( c ) ( )( ) [ ( c ) [ ( c ) ( c ) ] k ] [ ( c ) [ ( c ) ( c ) ] k ] εε k ( ) ( ) k k ε ε k k εε. Křivk k k e uou ouhlě otýkt rávě teh kž ouči ε ε. Což zeá že ε ε uí ývt tejé hoot: ε ε eo ε ε. Můžee te rozlišit vě růzá zorzeí která e liší je v orietci. A ice áe ožot vol u koeficietu : k. k eo.3. Neříá ooot Při eříé oooti e o X [ ] zorzí o X [ ] c ke c R ( ) ( ) ltí: 3

26 4 koeficiet oooti k. Jk e v této oooti zorzí orietová kruhová křivk ( ) k :? Nejrve z rovic vjáříe v záviloti : ( ) ( ) c ( ) ( ) c í tto vzth oíe o rovice křivk k urvíe: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c ( ) ( ) ( ) ( ) c c ( ) ( )( ) ( ) ( ) c c ( ) ( )( ) ( ) ( ) c c ( ) ( ) ( ) ( ) c c ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) c c ( ) ( ) c celou rovici váoíe výrze ( ) : ( ) ( ) c c c ( ) ( ) c ( ) ( ) ( ) c

27 ( c ) c c ( ). Orz k je urče koeficiet( ) ke c ( c ) ( c c ) ( ) koeficiet oočítáe ze vzthu ( c ) ( ) ( ) ( ) k : [ ( c ) ( c c ) ( )] ε k ε { } Při ověřeí ožvku ro zchováí ouhlého otku vojic křivek cho ooě jko ro říou ooot zjitili že hoot ε ůže ývt oou hoot ůžee oět rozlišit vě růzá zorzeí lišící e ouze v orietci. Dlší ložitější trforce kruhových křivek v Möiově roviě cho zíkli ložeí oooti kruhové iverze tkto vziklé trforce zýváe kruhové trforce..4 Zchováí orietce ři ooé zorzeí Nechť je á říá ooot koeficiete k > která je urče trforčíi rovicei c ke. Křivk k ( ) k k :( ) : e v této oooti zorzí křivku ltí. Zjíá á z orietce k k ue zchová či ikoli. Všech ožé ituce i rozělíe ole tvru kruhových křivek: 5

28 . Křivk k je kružice tj. > její orietce je á zéke oílu. Poto křivk k je tké kružice její orietce je á oíle ke k (ři volě ε ) eo volě ε ). Protože koeficiet oooti k > v říě že uvžujee ooot ke ro ooot ke k. k (ři ue orietce zchová k ok eue zchová. Křivk k je vltí o tj. o eorietujee ltí že. Poto křivk k je tké vltí o. Dozeí ovozeých koeficietů ůžee o ukázt že ( ) k k tké ltí. 3. Křivk k je evltí o tj. k :( ) evltí o : ( k ). Poto k je evltí o je ři ooé zorzeí oružý. U evltího ou tké erozlišujee orietci. 4. Křivk k je řík tj. > oto i křivk k je řík rotože o ozeí ovozeých koeficietů ověříe že ( ) > k. Přík k je orietová ěrový vektore r řík k je orietová ěrový vektore εk εk r ε { } r ejou lieárě závilé ro kžou vojici. Protože vektor r R tj. řík ejou oecě rovoěžé elze rozhoout o zchováí orietce. Výjiku tvoří řík které jou rovoěžé e oružýi ěr é oooti. Kžá ooot á v oružé ěr které jou ee kolé. Přík rovoěžé těito ěr e v oooti zorzí řík rovoěžé o jejich orietci ůžee říci že oku e jeá o ooot říou k e zchová orietce těchto říek oku volíe ε tj. k ok orietce e ezchová ro ε ( k ). U eříé oooti ro oě ožé vol hoot ε lezee vž jee 6

29 7 oružý ěr tkový že řík rovoěžé títo ěre zchovjí voji orietci všech řík kolé k touto ěru jí o trforci orietci očou..5 tejolehlot tejolehlot e třee koeficiete je zorzeí R R tkové že ro kžý o X jeho orz X lňuje: c) olořík X X jou ttéž ři > očé ři < ) X X V Möiově roviě oefiujee že evltí o je oružý tejě jko tře tejolehloti. tejolehlot je eciálí říe oooti. Buee uvžovt tejolehlot e třee [ ] koeficiete. Bo X o ouřicích [ ] e zorzí o X o ouřicích [ ] ke ( ) ( ) jeouchýi úrvi vjáříe:. Pro ovozeí koeficietů zorzeé kruhové křivk oíe tto vzth o rovice zorzové kruhové křivk k é koeficiet ( ) : ( ) celou rovici váoíe výrze urvíe: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

30 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zorzeá kruhová křivk k je á koeficiet ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ke koeficiet oočítáe ze vzthu : ( ) ε ε { } Pooě jko u řechozích zorzeí cho ři ověřeí ožvku ro zchováí ouhlého otku vojic křivek zjitili že hoot ε ůže ývt hoot i - ůžee oět rozlišit vě růzé tejolehloti lišící e ouze v orietci. Z e orietce zorzové křivk zchová či ezchová oět závií zéku koeficietu tejolehloti tké volě hoot ε u koeficietu. Nechť křivk k ( ) k :( ) : e v této tejolehloti zorzí křivku řičež ezi koeficiet ltí výše ovozeé vzth. Poíveje e jeotlivé ří:. Křivk k je kružice tj. oílu. Pro orz k ltí že její orietce je á zéke ε ε oíl. Křivk te zchová voji orietci oku ouči ε > (tj. oku ε > eo oku ε < ) ok ezchová voji orietci v říě že ε < (tj. oku ε < eo oku ε > ). 8

31 . Křivk k je o tj. eorietujee. oto i křivk k je o o 3. Křivk k je řík tj. vektore její orietce je á ěrový r. Orz této řík ve tejolehloti k je tké řík její orietci určuje vektor r ε ε ε ε te řík k k jou rovoěžé. Orietce e zchová v říě k volíe tejolehlot orietcí (tj. kž ε ). (tj. kž ε ) ezchová oku 4. Poku křivk k je evltí o oto k : ( ) tejolehloti koeficiete evltí o který eorietujee. e ve zorzí křivku k : ( ) tj..6 hrutí V této kitole je i ovoili jk e zěí koeficiet orietové kruhové křivk ři zorzeí v kruhové iverzi e třee [ ] koeficiete tké ři říé eo eříé oooti. Dále je zuvžovli z jkých oíek e zchová eo ezchová orietce kruhových křivek jk e zorzeé křivk zěí ři těchto trforcích. Poík ro zchováí ouhlého otku vojice křivek je ři tkto efiových zorzeích ivrití. 9

32 Kitol 3 Cklogrfie 3. Cklické roítáí Cklické roítáí je tkové roítáí které kžéu ou v rotoru řiří v é roviě kružici určitou orietcí to áleující zůoe: Nechť π je voorová rovi čili růět o K o v rotoru který eleží v roviě π. Bou K řiříe v roviě π kružici k e třee v oě K oloěre r KK ke o K je kolý růět ou K o rovi π. V růětě π zvole o ou z volíe kolo k roviě π (or. 3.). or. 3. Poku o K á klou zetovou ouřici tj. leží růětou π k kružici orietujee klě to zeá roti ěru hoiových ručiček áli o K záorou zetovou ouřici tj. leží o růětou π k kružici orietujee záorě te ve ěru hoiových ručiček. Tkto zíkou orietovou kružici zýváe ckl. V říě že zorzový o leží v růětě π zorzí e ckl ulový oloěre je oružý zetová ouřice je ulová eá te orietci. Cklické roítáí je vzájeě 3

33 jeozčé zorzeí oů v rotoru ožiu cklů. Nuk o cklické roítáí e zývá cklogrfie. Orietce e zváí též ro řík. Orietovou říku v roviě π zýváe rke v kžé říce te leží v rk. 3. Diltce Diltce je zorzeí ři které růětu π ouee v klé eo r v záoré ěru o z o vzáleot eoli ouee o vektor ( ) { } R\ (ro iltce l ietitou). Ckl e zorzí oět ckl. Zetové ouřice čili oloěr kružic cklů oů v rotoru e uď zeší eo zvětší o hootu to zeá že o rotoru které leží v áu ezi růětou ůvoí ouutou utě zěí voji orietci. Bo rovi π řejou ckl oloěre ro > uou tto ckl záorě ro < klě orietové. Ckl řiřzeé oů o ouřicích [ ] uou o iltci ležet v růětě uou to te ckl ulový oloěre. V áleující čáti ztotožíe oě růět iltci uee uvžovt jko zorzeí v roviě. N ckl hléee oět jko orietovou kruhovou křivku ou koeficiet ( ) ovoíe zěu koeficietů ři toto zorzeí. Nechť je á orietová kruhová křivk k určeá koeficiet ( ). Nejříve uee uvžovt ouze zorzeí kružic oů roto řeoklááe že jou lě oík Rovice kružice (ou) k : ( ) tře kružice oloěr kružice r. V rotoru uee uvžovt iltci (ouutí) o vektor v ( ) r. Jk e toto ouutí rojeví ro orietové kruhové křivk v roviě? ouřice 3

34 třeu kružice e ezěí oloěr orietové křivk e zeší eo zvětší o hootu záleží orietci křivk tj. zéku výrzu tké zéku hoot. Vše e á jeouše zt ltí r. Rovice křivk te ůžee t ve třeové tvru urvit tvr oecý: ( ) Vužijee vzthu oíe: ( ) ( ) Křivk k á koeficiet ( ) e ři iltci v roviě zorzí orietovou kruhovou křivku k určeou koeficiet ( ) ltí áleující vzth ezi koeficiet: ( ) řičež ( ) Poku křivk k je rek tj. orietová řík á koeficiet r řičež > v ( ) zorzí e ři iltci o vektor ( ) oět říku určeou koeficiet k :( ). To zeá říku rovoěžou která je ouutá o vektor u r ke 3

35 33 N u r r. Nevltí o ý koeficiet ( ) je ři iltci oružý. 3.3 Zchováí ouhlého otku ři iltci V áleují čáti ověříe to z vojice orietových kruhových křivek ouhlě e otýkjících e ři iltci v roviě zorzí oět tkovouto vojici. Nechť k k jou orietové kruhové křivk é koeficiet ( ) ( ) které e ouhlě otýkjí tj. ltí: Diltce v roviě koeficiete ouutí zorzí k k orietové kruhové křivk áleujícíi koeficiet: k : ( ) k : ( ) k : ( ) k : ( ) Ověříe z ltí oík ro ouhlý otk křivek z řeoklu že zorzové křivk k k jou ouhlě otkové. ( ) ( ) ( ) ( ). Títo je ukázli že oku vojice k k jou vě orietové kruhové křivk e ouhlý otke k i jejich orz ři iltci v roviě k k jou vojicí ouhlě e otýkjících orietových kruhových křivek.

36 3.4 hrutí V této kitole je e ozvěěli záklí oj z cklogrfie řeevší týkjící e cklického roítáí které kžéu ou rotoru řiří v roviě (růětě) ckl. N ckl e ůžee ívt jko orietové kruhové křivk v kruhové geoetrii. Diltce je zorzeí které vzike ouutí růět ve ěru k í kolé. Poku k oě růět ztotožíe zíkáe zorzeí orietových kruhových křivek v roviě které zchovává ouhlý otk těchto křivek. 34

37 Kitol 4 Troch teorie hitorie 4. Projektiví ohle kruhové křivk Náleující čát tručě ojňuje koleější ohle ou roletiku je v í oužito oho ových ojů ráec třeoškolké látk roto je urče íše učitelů. Jk již víe kžá orietová kruhová křivk je jeozčě á ž eulový áoek ěticí koeficietů ( ). N tto ětice je ožé hlížet jko hoogeí ouřice rvků rojektivího rotoru P 4. Neíe ovše zoeout že e kžá ětice určuje orietovou kruhovou křivku le je t ětice ( ) které lňují utou oíku. Tuto oík je á kvrtickou forou f ( ) je též ožé ji zt ticově: ( ) Všech ětice ( ) lňující tuto oíku tvoří v P 4 kvriku Q. ouhlý otk á říká že rvk ( ) ( ) jou olárě ružeé vzhlee ke kvrice Q. Polárí ružeot ůžee vjářit áleující ticový oučie: 35

38 ( ) Teto ouči vjřuje á záou oíku ro ouhlý otk vou orietových kruhových křivek:. 4. Klifikce trforcí (zorzeí) V áleující tulce jou oá všech rorá zorzeí z hleik ožých trforcí kruhových křivek ee: zorzeí\ křivk kružice k řík vltí o B evltí o kružice kružice vltí o kruhová iverze ( ) eo řík (oku rocházející eo řík (oku eo evltí o (oku tře iverze k ) ) B ) ooot ( k ) kružice řík vltí o evltí o tejolehlot ( ) kružice řík rovoěžá říkou vltí o evltí o iltce ( ) kružice eo vltí o řík rovoěžá říkou kružice o oloěru r evltí o 36

39 rotoru 4 Ozče K ožiu všech koliecí rotoru P 4 tj. všech zorzeí P ee. Ná ue zjít její ooži K ( Q) která ohuje všech koliece rotoru P 4 tkové že zchovávjí kvriku Q tj. Q je ro tto koliece ivrití. Neoli tto koliece zorzí ětici ( ) ětici ( ) lňující ro kterou ltí tj. orietovou kruhovou křivku zorzí oět orietovou kruhovou křivku. Moži K(Q) tvoří vzhlee ke klááí gruu. Tto trforce zýváe Lieov trforce ezi ě tří i áleující: Möiov trforce jou koliece rojektivího rotoru P 4 z oži K(Q) které zchovávjí zorzeí oů tj. oku (o e zorzí o erozlišujee z vltí či evltí). e te tří z ái ziňových zorzeí ooot (t zhruje tejolehlot) kruhová iverze tké trforce vziklé jejich ložeí což jou kruhové trforce. Tto trforce tvoří olu oercí klááí gruu kterou zýváe Möiov gru. Lguerrov trforce jou koliece rojektivího rotoru P 4 z oži K(Q) které ožiu všech říek olu evltí oe zorzí oět tuto ožiu tj. oku. Je tré že ezi tto trforce á ooot iltce. ložeí těchto trforcí otee oět Lguerrovu trforci. Všech tto trforce tvoří vzhlee ke klááí Lguerrovu gruu. 37

40 4.3 Něco z hitorie Ní áe ožot ozvěět e ár záklích iforcí ze život oootí ole ichž l zvá výše uveeé ái zkoué trforce. Möiu Augut Feri (* ) l ěecký troo tetik rofeor uiverzitě v Liku. tetick všetřovl orovávl všech teh záá geoetrická zorzeí. Je o ě zvá rovi (Möiov též rozšířeá koleí rovi) eukleiovká rovi olěá jeí oe řiý oučě všech její řík o rojektiví geoetrie zvel hoogeí ouřice. Položil zákl toologie (vě která e zývá tetickýi vltoti rotoru). Nejčtěji e o ě luví v ouviloti tzv. Möiovou ákou což je vojrozěrý útvr který á ouze jeu tru z čehož vlývjí i lší zjívé toologické vltoti ř. eorietovtelot. Tké l ktiví v teorii číel. Lguerre Nicol Eo (* ) l frcouzký tetik vštěvovl École Poltechiue v Příži le el vikjící tuete. Po ukočeí tui l v letech 854 ž 864 ůtojíke ělotřelectv oté e vrátil École Poltechiue ke ůoil ž o koce život. voji ejvýzější ráci vkol v oltech lýz geoetrie. Jeho ráce v olti geoetrie ěl výz v jeho oě le l řekoá teorií Lieových gru Cleovou rcí Kleiovou rcí. Lguerre tuovl roičí eto e je zá ík zvláští fukcí Lguerrový oloů které jou řešeí Lguerrov ifereciálí rovice. 38

41 Lie Mriu ohu (* ) l orký tetik rofeor uiverzitě v Olo v Liku čle frcouzké keie vě královké olečoti v Loýě. Zývl e teorií gru jejíu výzu ro geoetrii geoetrické trforce. olurcovl Kleie lowe. Dále e věovl vltote rciálích ifereciálích rovic z hleik etrií. Zvel Lieov gru Lieovu lgeru. Aollóio z Perg (*i 6 ř.. l. 9 ř.. l.) l řecký tetik fzik troo. Již ve trověku l ozčová z "velkého geoetr". Bl žáke rvích žáků Eukli lší oučíke Archié. Velkou čát život trávil v lerijké Mueiou terve ozěji řeílil o Perg. Nvázl eletkou školu učeí Eukli ovel helékou tetiku k vrcholu. Jeho eochálí íle lo o kih o kuželoečkách. Zěil ůvoí ohle kuželoečk rotčí těle tí že ol jejich ové efiice. Kužel efiovl jko těleo které vzike ohe ou řík o kružici kž je tto řík v jié oě uevě. Kuželoečk k efiovl oocí řezů kuželu roviou. Zvel ázv eli rol herol oje ohik tuovl olárá vltoti růěr teč orál evolut rotíáí kuželoeček ovše ez ouřic lgerického rátu. Kuželoečk všk tké chál jko geoetrické íto oů určitých vltotí. Eli je ř. geoetrické íto oů které jí o vou evých oů (ohiek) tálý oučet vzáleotí. Aolloio z Perg zčě řeěhl voji ou kž oěl k totá herol. Ke kžé herole lze etrojit vojici říek tkových že e k větví herol eoezeě líží le ik je erotou. Teto ojev otřál eukliovkou geoetrií he ze vou ůvoů. Prví l rolé ekoeč ruhý l ochot o Eukliově ióu o rovoěžkách. Poleí z uveeých tetiků ou el v této ráci zíě ovše áleující kitol toto ihe rví. 39

42 Kitol 5 Úloh 5. Aolloiov úloh Aolloiov úloh jou úloh o lezeí všech kružic které e otýkjí tří ých geoetrických útvrů (oů kružic říek) eukleiovkýi rotřek tj. užití kružítk rvítk. V še říě uee tto úloh řešit ltick vužití ěkterých oztků z řechozích kitol. Ze záí lze vtvořitit koiováí těchto tří útvrů eet růzých úloh: k kk k kkk kk k (o kkružice řík). Všech tto tři útvr o řík kružice jkož i hleé kružice jou kruhovýi křivki které ůžee ot jko oži oů é rovicí ( ) řičež ltí. Pro hleou kruhovou křivku vužijee ovozeou oíku ro ouhlý otk. Tto oík je efiová ro vojici orietových kruhových křivek roto úlohu urvíe tk že útvr z kokrétího záí orietujee hleáe kruhovou křivku orietcí. Hleá křivk je urče ž áoek ěticí koeficietů ( ) řičež ltí. Z oíek ro ouhlý otk křivek zíkáe lší tři lieárí rovice ro 5 ezáých koeficietů. Rovice kruhové křivk je á ž áoek jeozčě tuíž očet rovic (4) je ottečý ro vřešeí úloh. Pro kokrétí hoot koeficietů je uté zvolit jee z ich. Z ůvou řehleoti je vhoé volit koeficiet. Poku ývá eulové hoot oložíe oto výleá kružice á tře o ouřicích [ ] oloěr. Hoot výleků jou zokrouhle 5 eetiých ít. Všech řešeí é Aolloiov úloh zíkáe tk že řešíe outv ro všech ožé koice orietcí zých útvrů. 4

43 Řešeí touto etoou i ukážee třech kokrétích říklech (k kkk ). Záí je voleo tk úloh ěl iálí ožý očet řešeí. outvu ouřic ůžee ez új oecoti volit vhoě tk co ejvíce koeficietů u zých rvků lo ulových (o oku ožo rocházejí tře zých kružic říě lývjí e zýi říki). Títo e zjeouší urchlí řešeí outv rovic. 5. Úloh k Záí: Nlezěte všech kružice které oučě rocházejí oe B otýkjí e kružice k řík řičež: B [ 57] k : ( 6) 5 : Řešeí: Bo B [ 57] ( 5) ( 7) 4 74 je kruhová křivk koeficiet ( 5774) u ou orietci erozlišujee ( ) Kružice k : ( 6) 5. je orietová kruhová křivk koeficiet ( 65) eo ( 6 5) je orietová uď klě eo záorě. Přík : ole oleího koeficietu je á ěticí koeficietů ( ) eo ( ) orietce je á ěrový vektore. Hleáe orietovou křivku h ( ) : uí ltit: (i). Nechť je orietce kružice klá orietce řík je á ěrový vektore r ( ) te k : ( 65) : ( ) (or.5.). 4

44 Or. 5. Z oík ro ouhlý otk (viz Kitol.3) otee áleující rovice: otk h B : (ii) otk h k : (iii) otk h : (iv). Títo je zíkli 4 rovice ro 5 ezáých koeficietů hleé orietové kruhové křivk h. Z rovic (ii) (iii) (iv) vjáříe roěé v záviloti roěých : Dozeí těchto vzthů rovici: o rovice (i) otee áleující kvrtickou 4

45 Volíe-li oto úloh eá řešeí. Volíe-li oto á úloh vě áleující řešeí: Vočíté kružice h h jou zázorě or. 5. or.5. 43

46 . Nechť je orietce kružice klá orietce řík je á ěrový vektore r ( ) te k : ( 65) : ( ) (or. 5.3) or. 5.3 Z oík ro ouhlý otk otee áleující rovice: otk h B : (ii) otk h k : (iii) otk h : (iv). Títo je oět zíkli 4 rovice ro 5 ezáých koeficietů hleé orietové kruhové křivk h. Z rovic (ii) (iii) (iv) vjáříe roěé v záviloti roěých : Dozeí těchto vzthů o rovice (i) otee áleující kvrtickou rovici:

47 Volíe-li oto úloh eá řešeí. Volíe-li oto á úloh vě áleující řešeí: Vočíté kružice h 3 h 4 jou zázorě or. 5.4 or. 5.4 Při lších zěách orietce cho otli tejá řešeí je očýi orietcei. Úloh á te ři toto záí 4 růzá řešeí (viz or. 5.5). 45

48 or

49 5.3 Úloh kkk Záí: Nlezěte všech kružice které e oučě otýkjí kružic k k k 3 řičež: k : ( 7) 5 k : ( ) 9 k : ( ) 6 3. Řešeí: Kružice je orietová kruhová křivk ožotí klé eo záoré orietce to zeá: k : ( 7) k :( 745) eo ( 74 5) k : ( ) k :( 93) eo ( 9 3) k : ( ) k :( 84) eo ( 8 4). Hleáe orietovou křivku h ( ) : uí ltit: (i). Nechť orietce kružic jou všech klé te: k :( 745) k :( 93) 3 k :( 84) (or. 5.6) Z oík ro ouhlý otk otee áleující rovice: otk h k : (ii) otk h k :

50 9 3 (iii) otk h k 3 : (iv). or. 5.6 Títo je zíkli 4 rovice ro 5 ezáých koeficietů hleé orietové kruhové křivk h. Z rovic (ii) (iii) (iv) vjáříe roěé v záviloti roěých 47 : Dozeí těchto vzthů o rovice (i) otee áleující kvrtickou rovici: Volíe-li oto úloh eá řešeí. 48

51 Volíe-li oto á úloh vě áleující řešeí: Výlek řešeí kružic h h jou zkrele or or Nechť orietce k je záorá k k 3 klé te: k :( 74 5) k :( 93) 3 k :( 84) (or. 5.8.) Z oík ro ouhlý otk otee áleující rovice: otk h k : (ii) otk h k :

52 9 3 (iii) otk h k 3 : (iv). or. 5.8 Z rovic (ii) (iii) (iv) oět vjáříe roěé v záviloti roěých : Tto vzth oíe o rovice (i) otee áleující kvrtickou rovici: Volíe-li oto úloh eá řešeí. Volíe-li oto á úloh vě áleující řešeí:

53 Výlek řešeí kružic h 3 h 4 jou zkrele or or Nechť orietce k k3 je klá k záorá te: k :( 745) k :( 9 3) 3 k :( 84) (or.5.) Z oík ro ouhlý otk otee áleující rovice: otk h k : (ii) otk h k : (iii) 5

54 otk h k 3 : (iv). or. 5. Z rovic (ii) (iii) (iv) oět vjáříe roěé v záviloti roěých : Tto vzth oíe o rovice (i) otee áleující kvrtickou rovici: Volíe-li oto úloh eá řešeí. Volíe-li oto á úloh vě áleující řešeí:

55 Výlek řešeí kružic h 5 h 6 jou zkrele or. 5.. or Nechť orietce k k je klá k 3 záorá te: k :( 745) k :( 93) 3 k :( 8 4) (or. 5.) Z oík ro ouhlý otk otee áleující rovice: otk h k : (ii) otk h k : (iii) otk h k 3 :

56 64 4 (iv). or. 5. Z rovic (ii) (iii) (iv) oět vjáříe roěé v záviloti roěých : Tto vzth oíe o rovice (i) otee áleující kvrtickou rovici: Volíe-li oto úloh eá řešeí. Volíe-li oto á úloh vě áleující řešeí:

57 Výlek řešeí kružic h 7 h 8 jou zkrele or or. 5.3 Při lších zěách orietce cho otli tejá řešeí je očýi orietcei. Úloh á te ři toto záí 8 růzých řešeí (or. 5.4). 55

58 or

59 5.4 Úloh Záí: Nlezěte všech kružice které e oučě otýkjí říek 3 řík jou á rovicei: : : : Řešeí: Kžá z říek je kruhovou křivkou u které jou ožé v ěr orietce ole ěrového vektoru: : ( ) ( ) r eo ( ) ( ) r : ( ) r r eo ( ) : ( 3 3) r eo ( 3 3) r. 3 3 Hleáe orietovou křivku h ( ) : uí ltit: (i). echť je orietce říek: :( ) ( ) r : ( ) r 5 5 :( ) r (or. 5.5). 57

60 or. 5.5 Z oík ro ouhlý otk otee áleující rovice: otk h otk h : ( ) (ii) : 3 ( 4) ( 4) (iii) otk h 3 : (iv). Z rovic (ii) (iii) (iv) ovoíe áleující vzth: 4 3 ( 3) 8 Volíe-li oto ozeí těchto hoot o rovice (i) viíe že koeficiet ůže ývt liovolé eulové hoot těto rovicí vhovuje orietová kruhová křivk koeficiet ( ) te evltí o Möiov rovi. 58

61 Volíe-li oto á úloh áleující řešeí: Výlek hleé kružice h jou zkrele or or Nechť je orietce říek: :( ) ( ) r : ( ) r 5 5 :( ) r (or. 5.7). Z oík ro ouhlý otk otee áleující rovice: otk h otk h : ( ) (ii) : 3 ( 4) ( 4) 5 59

62 3 4 5 (iii) otk h 3 : (iv). or. 5.7 Z rovic (ii) (iii) (iv) ovoíe áleující vzth: 4 3 ( 3) 8 Volíe-li oto ozeí těchto hoot o rovice (i) k oět koeficiet ůže ývt liovolé eulové hoot těto rovicí vhovuje orietová kruhová křivk koeficiet ( ) te evltí o Möiov rovi. Volíe-li oto á úloh áleující řešeí:

63 Výlek hleé kružice h jou zkrele or or Nechť je orietce říek: :( ) ( ) r : ( ) r 5 5 :( ) r (or. 5.9). or

64 Z oík ro ouhlý otk otee áleující rovice: otk h otk h : ( ) (ii) : 3 ( 4) ( 4) (iii) otk h 3 : (iv). Z rovic (ii) (iii) (iv) ovoíe áleující vzth: 3 4 ( 3) 8 Volíe-li oto ozeí těchto hoot o rovice (i) k oět koeficiet ůže ývt liovolé eulové hoot těto rovicí vhovuje orietová kruhová křivk koeficiet ( ) te evltí o Möiov rovi. Volíe-li oto á úloh áleující řešeí: Výlek hleé kružice h 3 jou zkrele or. 5.. or. 5. 6

65 4. Nechť je orietce říek: :( ) ( ) r : ( ) r 5 5 :( ) r (or. 5.). Z oík ro ouhlý otk otee áleující rovice: otk h otk h : ( ) (ii) : 3 ( 4) ( 4) (iii) otk h 3 : (iv). or. 5. Z rovic (ii) (iii) (iv) ovoíe áleující vzth: 3 4 ( 3) 8 Volíe-li oto ozeí těchto hoot o rovice (i) k oět koeficiet ůže ývt liovolé eulové hoot těto rovicí vhovuje orietová kruhová křivk koeficiet ( ) te evltí o Möiov rovi. 63

66 Volíe-li oto á úloh áleující řešeí: Výlek hleé kružice h 4 jou zkrele or. 5.. or. 5. Při očě orietových říkách cho otli tejá řešeí je očou orietcí. Úloh á te ři toto záí 4 růzá řešeí (or. 5.3). 64

67 or

68 5.5 hrutí V této kitole je i třech říklech ukázli jk je ožé vužít teorii o kruhových křivkách ři řešeí Aolloiových úloh ltickýi rotřek. Pro řešeí je zotřeí ouze zlotí třeoškolké tetik ice řešeí outv čtř rovic (tří lieárích jeé kvrtické) ltické geoetrie. Ooě cho řešili jkékoliv jié záí. rávot řešeí ejlée ověříe řeý zkreleí ojektů o ouřé outv. Pro ši kotrolu ázorot je oužili krelící rogr AutoCAD. 66

69 Závěr Cíle ráce lo et rozšiřující učeí tet ro tuet gázií. Vzhlee k řeokláé cílové kuiě čteářů je výkl vee co ejrozuitelěji ro ochoeí otčí zloti v rozhu třeoškolkých oov výjikou je ouze čtvrtá kitol která ohuje oecější ohle ové oj. Tto kitol je zřze úlě oufá že ěkteré čteáře otivuje k hlušíu záju o rojektiví geoetrii. Práci je vhoé oužít ro výěrový eiář olňující výuku tetik k rozšířeí zlotí v olti ltické geoetrie. 67

70 Litertur [] eki M. kol.: Geoetrie I PN Prh 986 [] eifert L.: Cklogrfie JČMF 949 [3] Holuář J.: O ethoách roviých kotrukcí JČMF 949 [4] htt://tur.f.cz/tur/ [5] Všeoecá eckloeie v oi vzcích Prh : Dierot