1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26"

Transkript

1 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých oorů 7 Zákldí početí operce 7 Itervl 7 Algerické výrz 9 Polom mohočle) 9 Úprv rcioálích lomeých výrzů vzorce prvidl pro umocňováí) 0 Úprv ircioálích lgerických výrzů prvidl pro odmocňováí) Asolutí hodot reálého čísl Rozkld kvdrtického trojčleu Kotrolí otázk Úloh k smosttému řešeí Výsledk úloh k smosttému řešeí Klíč k řešeí úloh Kotrolí test 7 Výsledk testu 8-9 -

2 Zákld mtemtik ČÍSELNÉ OBORY Číselé oor Průvodce studiem Tto kpitol Zákldů mtemtik je rozděle do tří meších celků t jsou ještě dále rozčleě meší oddíl v ichž je podá stručý přehled těch prtií ze středoškolské mtemtik které potřeujete k pochopeí dlšího učiv Jejím prostudováím si zopkujete doplíte přípdé mezer ve svých mtemtických zlostech Do třetí podkpitol jsou zřze řešeé příkld po ich Úloh k smosttému řešeí s výsledk Jk dlece jste zvládli učivo kpitol si ověříte kotrolím testu Předpokládé zlosti Zát zákldí vlstosti početích opercí komuttivost socitivostdistriutivost) umět mohočle sčítt odečítt ásoit zát výpočet kořeů kvdrtické rovice Některé pojm z mtemtické logik Cíle Cílem této kpitol je stručě se sezámit se zákldími pojm z mtemtické logik teorie moži Výkld Výroková logik VÝROK je vsloveé eo psé tvrzeí o ěmž má smsl rozhodout zd je prvdivé eo eprvdivé přičemž musí stt právě jed z těchto dvou možostí Tvrzeí o ichž v dém okmžiku ejsme schopi říct zd jsou prvdivé či eprvdivé zýváme HYPOTÉZY doměk) Je-li výrok prvdivý pk můžeme tké říct že výrok pltí Je-li výrok eprvdivý pk můžeme tké říct že výrok epltí Výrok ozčujeme velkými písme ltiské eced A B C ) Proměá je smol který ozčuje kterýkoli ojekt z dé moži ojektů - 0 -

3 Zákld mtemtik Logická spojk má smolické ozčeí Číselé oor Pomoci logických spojek vtvoříme z dých výroků výrok ové Zákldí složeé výrok vidíme v ásledující tulce Zákldí se jim říká proto že vzikou použitím pouze jedié logické spojk Smol logické spojk Název složeého výroku egce výroku A A Smolické ozčeí Vjádřeí v jzce výroku eí prvd že A kojukce výroků A B A B A B A zároveň BA i B) disjukce výroků A B A B A eo B eo eí vlučovcí!) implikce výroku A výrokem B A B jestliže A pk B A je postčující podmíkou pro B B je utou podmíkou pro A ekvivlece výroků A B A B A právě tehd kdž B A tehd je tehd kdž B A je utou postčující podmíkou pro B Výrokům se přiřzují tzv prvdivostí hodot Prvdivému výroku se přiřzuje prvdivostí hodot eprvdivému výroku se přiřzuje prvdivostí hodot 0 Tulk prvdivostích hodot zákldích složeých výroků A B A A B A B A B A B Zákldí kvtifikátor Název kvtifikátoru Ozčeí Čteí jzkový výzm Oecý kvtifikátor pro kždé pro všech Eistečí kvtifikátor eistuje lespoň jedo) Kvtifikátor jedozčé eistece! eistuje právě jedo Výrz vtvořeé z koečého počtu výrokových proměých logických spojek přípdých závorek se zývjí výrokové formule Výrokové formule které jsou vžd prvdivé se zývjí tutologie Výrokové formule které jsou vžd eprvdivé se zývjí kotrdikce Výrok vziklé kvtifikcí všech proměých ve výrokové formuli se zývjí výrok s kvtifikátor Uvedeme si je příkldech výroků s jedou proměou - -

4 Zákld mtemtik Číselé oor ) Oecý výrok R 0 prvdivý výrok ) Eistečí výrok R prvdivý výrok c) Výrok o eisteci uicitě! R eprvdivý Moži vzth mezi imi MNOŽINA je souor liovolých vzájem rozlišitelých ojektů které mjí stejou vlstost vzhledem ke které jsou chápá jko jede celek Možiu pokládáme z určeou je-li možo o kždém ojektu jedozčě rozhodout zd do í ptří či ikoliv Kždý z ojektů který ptří do moži se zývá prvek moži K ozčováí moži se většiou používjí velká písme ltiské eced A B M k ozčováí jejich prvků mlá písme Výjimkou je př zčeí v geometrii Zčeí A ojekt je prvkem elemetem) moži A A ojekt eí prvkem elemetem) moži A Moži oshující lespoň jede prvek se zývá eprázdá Moži která eoshuje žádý prvek se zývá prázdá zčí se Z hledisk počtu prvků můžeme moži rozdělit koečé mjí koečý počet prvků prázdá moži eo moži jejíž počet prvků je přirozeé číslo) Počet prvků koečé moži A ozčujeme A ekoečé t které ejsou koečé Způso zdáí moži ) výčtem prvků tj vjmeováím všech prvků moži př M Pozor! moži přirozeých čísel { } Tímto způsoem lze zdt pouze možiu koečou N eí dá výčtem prvků Moži všech jedociferých přirozeých čísel { 789 } M { } ) chrkteristickou vlstostí tj vlstostí kterou mjí právě je prvk zdávé moži - -

5 Zákld mtemtik Číselé oor Prvk moži mohou ýt opět moži Možiu jejímiž prvk jsou jisté moži zýváme sstém moži Vlučuje se přípd moži která oshovl jko prvek smu see přípd moži všech moži Vzth mezi možimi A B vzth smol čteí smolu defiice Ikluze moži A B Rovost moži A B Ostrá ikluze moži A B A B moži A je podmožiou částí) moži B A B moži A se rová možiě B A B moži A je vlstí podmožiou B A je podmožiou B právě kdž kždý prvek moži A je zároveň prvkem moži B A B jsou si rov právě kdž A B zároveň B A A je vlstí podmožiou B právě kdž A B zároveň A B A B A B A B Možiové operce Zákldí operce s možimi A B operce smol defiice Sjedoceí moži A B A B Sjedoceí moži A B je moži všech prvků které ptří lespoň do jedé z moži A B Průik moži A B A B Průik moži A B je moži všech prvků které ptří do moži A zároveň do moži B Rozdíl moži A B A B Rozdíl moži A B je moži všech prvků které ptří do moži A zároveň eptří do moži B Doplěk moži A A Doplěk moži A je moži všech prvků U z moži U které eptří do moži A Pro A B zveme rozdíl B A doplňkem moži A v možiě B Zčíme A Říkáme že moži A je disjuktí s možiou B právě kdž mjí moži A B prázdý průik A B ) tj emjí žádý společý prvek B Řešeá úloh Příkld Jsou dá itervl A<; > B-; ) Určete sjedoceí průik rozdíl těchto itervlů Řešeí A B ; > A B < ; ); A B < ; > ; B A ; ) - -

6 Zákld mtemtik Číselé oor Výkld Krtézské ásoeí moži to je vtvářeí krtézských součiů předstvuje dlší operci s možimi všk podsttě odlišou od zákldích možiových opercí Krtézským součiem moži A moži B který zčíme A B zveme možiu všech uspořádých dvojic jejichž prví čle je liovolý prvek z moži A druhý čle je liovolý prvek z moži B {[ ] A B} A B i j Pro počet prvků krtézského součiu dvou koečých moži A s počtem prvků B i j s počtem prvků m pltí A B A B m Řešeá úloh Příkld Jsou dá moži A{ } B{ } Vtvořte krtézský souči A B B A Řešeí A B {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] } {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] } B A Grfické zázorěí moži ) číselých Číselé moži ejčstěji zázorňujeme číselé ose to uď přímo í eo pomocí vodorových čr rovoěžých s číselou osou Pokud číselá moži oshuje ekoečě moho reálých čísel viz dále) potom jed z možostí jk zpst možiu eo její část je itervl který může le emusí oshovt krjí hodot Pokud krjí hodot itervlu do moži ptří vzčíme tuto hodotu plým kolečkem Pokud do moži eptří vzčíme ji kolečkem prázdým To zd krjí hodot do itervlu ptří či e pozáme podle uzávorkováí itervlu Špičtá závork ozčuje hodotu která ještě do itervlu ptří kultá závork hodotu která již do itervlu eptří - -

7 Zákld mtemtik Číselé oor Řešeá úloh Příkld Je dá moži A { R ; } zázorěte ji číselé ose Výkld ) ečíselých Nečíselé moži moži číselé které z ějkého důvodu elze eo eí vhodé zázorit číselé ose zázorňujeme pomocí tzv možiových digrmů Jedá se o grfické zázorěí moži v roviě Možiové digrm zázorňující vzth mezi možimi operce s možimi se zývjí Veov digrm Číselé oor Cíle Po prostudováí této kpitol měl studet umět ezpečě zřdit dé číslo do příslušého číselého ooru ovládt všech způso jeho zápisu oovit si zlosti zákldích vlstostí početích opercí umět jich vužívt umět zorzit reálá čísl číselé ose Výkld Čísl ázv jejich chrkteristik Jede z ejdůležitějších pojmů mtemtik je pojem čísl Pojem čísl se postupě rozšiřovl prohluovl v souldu s potřemi vývoje lidské společosti Vzth mezi jedotlivými druh čísel vjdřuje ásledující schém - -

8 Zákld mtemtik Číselé oor přirozeá čísl ul záporá čísl celá čísl ecelá rcioálí čísl rcioálí čísl ircioálí čísl reálá čísl imgiárí čísl kompleí čísl Moži všech čísel určitého druhu ve které jsou defiová ez omezeí operce sčítáí ásoeí se zývá oor čísel Ovklé ozčeí ejdůležitějších číselých oorů N oor přirozeých čísel { } N0 oor ezáporých celých čísel {0 } Z oor celých čísel { } Q oor rcioálích čísel { 0 } R oor reálých čísel { 0 π} C oor kompleích čísel viz kp) Pltí tto ikluze N N 0 Z Q R C Přirozeá čísl vjdřují počet prvků koečých eprázdých moži pořdí prvků v uspořádých -ticích Celá čísl umožňují vjádřit eje počt prvků koečých moži le i změ těchto počtů přírůstk útk) Rcioálí čísl v porováí s celými čísl jež jsou jejich speciálím přípdem dovolují víc vjádřit údje o počtech dílů určitého celku Rcioálí číslo je kždé reálé číslo které lze psát ve tvru zlomku p/q kde p je celé číslo q je přirozeé číslo Ircioálí čísl rozvojem jsou chrkterizová ekoečým eperiodickým desetiým Reálá čísl jsou sjedoceím všech rcioálích ircioálích čísel Kompleími čísl se podroě zývá kpitol Zákldů mtemtik - -

9 Zákld mtemtik Číselé oor Chrkteristik číselých oorů ) Oor přirozeých čísel N je uzvře vzhledem k opercím sčítáí ásoeí tz výsledkem těchto opercí je opět přirozeé číslo ) Uzvřeosti vzhledem k operci odčítáí lze docílit rozšířeím ooru N oor Z celých čísel který oshuje přirozeá čísl ulu celá záporá čísl c) Achom docílili uzvřeosti ooru čísel vzhledem k operci děleí číslem růzým od ul) rozšiřuje se oor Z oor rcioálích čísel Q Oor Q je uzvřeý vzhledem k operci sčítáí odčítáí ásoeí děleí d) Sjedoceím rcioálích ircioálích čísel vtvoříme oor reálých čísel R který je uzvřeý vzhledem k opercím sčítáí odčítáí ásoeí děleí Zákldí početí operce Použití čísel si vžádlo zvedeí početích opercí jimiž ke dvěm či více číslům přiřzujeme předepsým způsoem jisté číslo Sčítáí sčítec sčítec součet Odčítáí mešeec mešitel rozdíl Násoeí čiitel čiitel souči Děleí Umocňováí děleec dělitel podíl čittel jmeovtel podíl -tá moci čísl epoet zákld Odmocňováí -tá odmoci čísl Itervl Itervl je kždá moži reálých čísel jejichž orz číselé ose vplňují její souvislou podmožiu Růzé druh itervlů jsou popsá v ásledující tulce - 7 -

10 Zákld mtemtik Číselé oor Moži všech reálých čísel pro která pltí Ozčeí Grfické zázorěí číselé ose < < ) < ) < ) > ) < ) ) R Číslům říkáme krjí od itervlu eo tké meze itervlu dolí horí mez) Liovolý od itervlu který eí jeho krjím odem se zývá vitří od itervlu Vitřích odů itervlu je ekoečě moho Ptří-li k itervlu oě jeho meze zývá se uzvřeý itervl Ptří-li k itervlu jediá z jeho mezí zývá se polouzvřeý eo polootevřeý itervl Neptří-li k itervlu žádá z jeho mezí zývá se otevřeý itervl Řešeá úloh Příkld Jik zpište ) ) < ) ) < ) 0) c) ) 0 ) Řešeí ) < ) ) < 0) c) ) R - 8 -

11 Zákld mtemtik Algerické výrz Číselé oor Cíle Umět používt při úprvách lgerických výrzů vzorce uváděé v jedotlivých podkpitolách Výkld Algerický výrz je výrz zápis) skládjící se z čísel z písme ozčujících proměé jež jsou spoje zk opercí sčítáí odčítáí ásoeí děleí umocňováí odmocňováí Je-li tře oshuje tké závork které určují pořdí prováděí opercí K výrzům oshujícím proměé se připojuje oor proměých Neí-li uvede rozumí se jím ovkle číselý oor R Defiičím oorem D lgerického výrzu jsou podmoži oorů proměých pro jejichž hodot má dý výrz smsl Prvidl pro stovováí defiičího ooru lgerického výrzu jsou ) jmeovtel musí ýt růzý od ul ) pod sudou odmociou esmí ýt záporé číslo Polom mohočle) Jedočle je výrz který vzike součiem kostt moci proměé Polom je součtem ěkolik jedočleů Čle s ejvšší mociou udává stupeň polomu Polom -tého stupě proměé může mít zápis 0 kde 0 Jedočle 0 0 je polom ultého stupěje-li rove ulezývá se ulovým polomem Kořeem polomu zveme kždé reálé číslo které po doszeí z proměou dý polom převede polom ulový Mějme kvdrtický trojčle c s podmíkou že c 0 ozčme jeho koře Pk jeho rozkld v ooru R ude mít teto zápis c ) ) - 9 -

12 Zákld mtemtik Číselé oor Je-li solutí čle c 0 pk pro rozkld kvdrtického dvojčleu pltí ) Je-li 0 >0 c>0 pk kvdrtický dvojčle se dá rozložit tkto c c c ) ) Při úprvách lgerických výrzů používáme tto vzorce ± ) ± ) ) ) ) ) ) ) ) V ooru reálých čísel R jsou kvdrtický dvojčle kvdrtické trojčle ± erozložitelé souči lieárích dvojčleů Úprv rcioálích lomeých výrzů vzorce prvidl pro umocňováí) Při úprvách rcioálích lomeých výrzů se používjí výše uvedeé vzorce o rozkldu mohočleů dále vzorce pro počítáí se zlomk V úlohách o úprvách lomeých výrzů je uté klást podmík že jmeovtel kždého zlomku v původích výrzech i v uprveých tvrech musí ýt růzý od ul Při úprvách výrzů udeme používt tto prvidl pro početí operce se zlomk rozšířeí zlomku číslem k 0 kráceí zlomku číslem k 0 k 0 k 0 k k 0 d 0 k sčítáí zlomků c d c d d c c 0 d 0 odčítáí zlomků c d c d d c c 0 d 0-0 -

13 Zákld mtemtik ásoeí zlomků děleí zlomků úprv složeého zlomku c c 0 d 0 d d c d d 0 d 0 c 0 d c c c d c d 0 d 0 c 0 d c Číselé oor umocňováí pro přirozeá čísl r s pro reálá čísl pltí r s r s r s r s 0 r s rs ) r r r ) r r r 0 r r 0 Řešeé úloh Příkld Zjedodušte lgerický výrz Řešeí ) ) ) ) ) ) ) Podmík řešitelosti výrzu vcházejí z toho že všech výrz ve jmeovtelích musí ýt eulové tkže postupě dostáváme

14 Zákld mtemtik Číselé oor Příkld Zjedodušte lgerický výrz ) Řešeí ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Podmík řešitelosti výrzu eoli společý defiičí oor všech výrz ve jmeovtelích musí ýt eulové tkže postupě dostáváme 0 Výkld Úprv ircioálích lgerických výrzů prvidl pro odmocňováí) Při úprvách ircioálích lgerických výrzů vužíváme poztků o odmociách mociách s rcioálími mociteli prvidel pro početí operce se zlomk Podmík z ichž prováděé úprv mjí smsl především vjdřují že zákld všech sudých odmoci musí ýt ezáporé jmeovtelé zlomků se esmějí rovt ule Prvidl pro počítáí s odmocimi 0) 0 pro 0 m m ) m m m m Z N p p p N Pozámk Odmoci ze součtu se erová součtu odmoci!! - -

15 Zákld mtemtik Číselé oor Řešeá úloh Příkld Uprvte výrz V) s rcioálími epoet převodem odmoci moci Řešeí V) z předpokldu že >0 Výkld Asolutí hodot reálého čísl Kždému reálému číslu je přiřzeo právě jedo reálé číslo tkto pro 0 pro < 0 Toto číslo se zývá solutí hodot reálého čísl Některé vlstosti solutí hodot reálého čísl ) Pro R 0 ) Pro R pro 0 ) Pro R ) Pro k R k > 0 < k k < < k eoli k k) ) Pro R pro 0 pro < 0 Geometrický výzm solutí hodot reálých čísel číselé ose předstvuje vzdáleost orzu čísl od počátku vzdáleost orzů čísel - -

16 Zákld mtemtik Číselé oor Rozkld kvdrtického trojčleu Kvdrtickým trojčleem s eulovými koeficiet c zveme výrz c Je-li diskrimit příslušé kvdrtické rovice D 0 její koře ozčíme pk můžeme provést rozkld kvdrtického trojčleu souči kořeových čiitelů v ooru R c ) ) Je-li koeficiet pk kvdrtický trojčle se zývá ormový s koeficiet p q p q ) ) přičemž pltí p q Řešeá úloh Příkld Uprvte ) ) Řešeí ) 8 8 ) ) 7) 7) 9 7) ) ) z podmík že ± 7 7 ) ) ) ) ) ) ) ) z podmík že ± Pozámk Rozkldem kvdrtického trojčleu se tké zývá kpitol příkld procvičeí jsou uvede pod číslem téže kpitol Kotrolí otázk Umíte přečíst smolická ozčeí? Čeho se týkjí smol? Kolik jste si zpmtovli vzorců z kp? - -

17 Zákld mtemtik Číselé oor Úloh k smosttému řešeí Uprvte stovte podmík ) ) c) d) e) 8 f) Zjedodušte v R dý výrz s mocimi ) 9 ) ) ) 7 z z c) ) ) d) e) f) Výsledk úloh k smosttému řešeí ) 0 ) ) 0 c) 0 ± d) ± e) ± f) ± ) 0 0 ) c) z z 0 0 > > d) 0 0 > > e) 0 0 > > f) 0 > - -

18 Zákld mtemtik Číselé oor Klíč k řešeí úloh Ve všech příkldech je uvede je postup úprv lgerických výrzů ez podmíek ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) c) ) ) d) ) ) ) e) ) ) ) ) 8 ) f) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 9 ) z z z z z z c) ) ) d) 8 9 e) 0 ) ) ) f)

19 Zákld mtemtik Číselé oor Kotrolí test Rozhoděte o prvdivosti výroku { R } ) výrok je prvdivý ) výrok je eprvdivý c) eí to výrok Výčtem prvků zpište možiu C { Z <} ) C { 0 } ) C { 0 } c) C { } Doplěk moži{ R < } v R zpište jko sjedoceí dvou itervlů ) ; > < ; ) ) ; ) < ; ) c) ; ) ; ) d) ; > ; ) Proveďte rozkld kvdrtického polomu ) -)-) ) -)-) c) )-) d) -)) Proveďte úplý rozkld polomu ) -)-) ) )-) c) -)) d) )) Sestvte ormový kvdrtický trojčle jestliže záme koře 8 ) ) c) d) 7 Použitím prvidel pro počítáí s mocimi odmocimi vpočtěte ) 9 ) c) d) 9 8 Zjedodušte uveďte podmík z jkých má dý výrz smsl Výsledek zpište ve tvru odmoci - 7 -

20 Zákld mtemtik Číselé oor ) 7 0 > 0 ) >0 c) 0 > 0 9 Zjedodušte lgerický výrz uveďte podmík řešitelosti ) ) ) 9 ) 9 9 c) ± 0 Zjedodušte lgerický výrz uveďte podmík řešitelosti ) ) ± 0 ) - ± c) ± 0 Výsledk testu ); ); d); ); c); ); 7); 8); 9c); 0) Shrutí lekce N testu jste si ověřili zd vše zlosti jsou výoré 00%) dosttečé 80%) eo si potřeujete ještě vše zovu zopkovt odstrit edosttk při zvládutí uváděých příkldů Zovu si projděte řešeé příkld podle ich si propočítejte úloh k smosttému řešeí Zákldí zlosti početí dovedosti které vcházejí z vřešeí co ejvětšího počtu úloh jsou zárukou úspěšého studi VŠ techického směru Dlší příkld k procvičováí jdete v kterékoliv sírce mtemtik pro středí škol Podroější výkld pojmů z mtemtické logik teorie moži jdete v kpitole předmětu Mtemtik I eo v ěkteré z učeic mtemtik pro gmázi - 8 -

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

2 Základní poznatky o číselných oborech

2 Základní poznatky o číselných oborech Zákldí poztky o číselých oorech Mozí lidé jsou evědoí je proto, že vycházejí z pojů, které jsou podle tetických ěřítek epřesé (Sokrtes). Přirozeá čísl Přirozeá čísl ozčují počet prvků koečých oži. Kždé

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic Logické rovice J Bborák, Gyáziu Česká Líp, bbork@sez.cz Ev Svobodová, Krlíské gyáziu, evsvobo@gil.co Doiik Tělupil, Gyáziu Bro, dtelupil@gil.co Abstrkt Záklde šeho iiproektu e počítáí poocí Booleovy lgebry

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

Sbírka úloh z matematiky pro 9.ročník Lomené výrazy ZŠ Třešť

Sbírka úloh z matematiky pro 9.ročník Lomené výrazy ZŠ Třešť Sík úloh z tetik po 9.očík I. Loeé výz ZŠ Třešť . Loeý výz je zloek. Jeovtel zloku e eí ovt ule. U loeých výzů učujee vžd podík, po kteé á loeý výz l. Řešeý příkld Uči podík, po kteé jí výz l, řeš dlší

Více

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku Stveí sttik.ročík klářského studi osá stveí kostruke osé stveí kostruke ýpočet rekí ýpočet vitříh sil přímého osíku osá stveí kostruke slouží k přeosu ztížeí ojektu do horiového msívu ěmž je ojekt zlože.

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x)

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x) 9 REGRESE A KORELACE Slovo regrese oecě zmeá poh zpět ústup ávrt regresví = ustupující Opčým termíem je progrese pokrok postup šířeí růst Pojem regrese l do sttstk zvede kocem 9 století rtským učecem Frcsem

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami / Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení

Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení V úvodí èásti [] volého cylu èláù yl uvede struèý pøehled proletiy ejistot v ìøeí, pøilíže historicý vývoj v této olsti zèey dùvody výhody používáí souèsé odifice v širších souvislostech eziárodí etrologie

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254 Evropský socálí fod Prh & EU: Ivestuee do vší udoucost eto terál vkl díky Operčíu progru Prh dptlt CZ..7/3..00/3354 Mžerské kvtttví etody II - předášk č. - eore her eore her 96 vo Neu, Morgester kldtelé

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

CHEMICKÁ KINETIKA. Tuto rovnici lze po zavedení okamžitých molárních koncentrací C a rozsahu reakce x vyjádřeného pomocí koncentrací přepsat na

CHEMICKÁ KINETIKA. Tuto rovnici lze po zavedení okamžitých molárních koncentrací C a rozsahu reakce x vyjádřeného pomocí koncentrací přepsat na HEMIKÁ KINETIK hemická kietik je část fyzikálí chemie zbývjící se způsobem rychlostí, kterými chemické rekce procházejí mezi počátečím koečým stvem. To jí odlišuje od chemické termodymiky, která studuje

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

v kat. situaci pozemek je projektu vyznačeno uváděn ve

v kat. situaci pozemek je projektu vyznačeno uváděn ve Pomocá tbulk pro kotrolu formálí správosti úplosti projektu OPŽP pro příprvu věcého hodoceí verze pro směr podpory 6.4. Odvozeo dle podmíek 6. výzvy v r. 2008. Jedá se o ezávzou epoviou pomůcku pro práci

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

2. Matice a determinanty

2. Matice a determinanty Mtce deterty Defce : Odélíové sche (řádů) (sloupců) čísel zvee tce typu : [ ] M Je-l luvíe o čtvercové tc Prvy ( ) tvoří hlví dgoálu Zčíe ovyle : [ ] O - všechy prvy ulové - ulová tce I - edotová tce (

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Teorie jazyků a automatů I

Teorie jazyků a automatů I Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů I Sírk úloh pro cvičení Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Slezská univerzit v Opvě Opv, poslední ktulizce 5. květn 205 Anotce: Tto skript jsou určen

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Lomené výrazy (sčítání, odčítání, násobení, dělení, rozšiřování, krácení,.)

Lomené výrazy (sčítání, odčítání, násobení, dělení, rozšiřování, krácení,.) Lomené výrz (čítání, odčítání, náoení, dělení, rozšiřování, kráení, ) Lomené výrz jo výrz ve tvr zlomk, v jehož jmenovteli je proměnná, npříkld r ( ) ( ) 9 Počítání lomenými výrz má podoné vltnoti jko

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

101 1001 0101,1000 0011

101 1001 0101,1000 0011 VYJÁDŘENÍ ČÍSEL V PEVNÉ DESETINNÉ ČÁRCE Jkou hodotu vyjdřuje ásledující áps čísl, To ejsme schop říc, dokud eudeme vědět d: Je to číslo se mékem? NE - V jkém je kódu? - árím - CD -Gryově - jém (Johsoův,

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby.

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby. V kapitole Ituitiví kobiatorika jse řešili příklady více éě stejý způsobe a stejých pricipech. Nyí si je zobecíe a adefiujee obvyklou teriologii. pravidlo součtu: Jestliže ějaký objekt A ůžee vybrat způsoby

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

2.9.16 Přirozená exponenciální funkce, přirozený logaritmus

2.9.16 Přirozená exponenciální funkce, přirozený logaritmus .9.6 Přirozná ponnciální funkc, přirozný ritmus Přdpokldy: 95 Pdgogická poznámk: V klsické gymnziální sdě j přirozná ponnciální funkc 0; j funkc y = +. Asi dvkrát vyrán jko funkc, jjíž tčnou v odě [ ]

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvlity výuky technických oorů Klíčová ktivit IV. Inovce zkvlitnění výuky směřující k rozvoji mtemtické grmotnosti žáků středních škol Tém IV.. Algerické výrzy, výrzy s mocninmi odmocninmi Kpitol

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více