1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26"

Transkript

1 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých oorů 7 Zákldí početí operce 7 Itervl 7 Algerické výrz 9 Polom mohočle) 9 Úprv rcioálích lomeých výrzů vzorce prvidl pro umocňováí) 0 Úprv ircioálích lgerických výrzů prvidl pro odmocňováí) Asolutí hodot reálého čísl Rozkld kvdrtického trojčleu Kotrolí otázk Úloh k smosttému řešeí Výsledk úloh k smosttému řešeí Klíč k řešeí úloh Kotrolí test 7 Výsledk testu 8-9 -

2 Zákld mtemtik ČÍSELNÉ OBORY Číselé oor Průvodce studiem Tto kpitol Zákldů mtemtik je rozděle do tří meších celků t jsou ještě dále rozčleě meší oddíl v ichž je podá stručý přehled těch prtií ze středoškolské mtemtik které potřeujete k pochopeí dlšího učiv Jejím prostudováím si zopkujete doplíte přípdé mezer ve svých mtemtických zlostech Do třetí podkpitol jsou zřze řešeé příkld po ich Úloh k smosttému řešeí s výsledk Jk dlece jste zvládli učivo kpitol si ověříte kotrolím testu Předpokládé zlosti Zát zákldí vlstosti početích opercí komuttivost socitivostdistriutivost) umět mohočle sčítt odečítt ásoit zát výpočet kořeů kvdrtické rovice Některé pojm z mtemtické logik Cíle Cílem této kpitol je stručě se sezámit se zákldími pojm z mtemtické logik teorie moži Výkld Výroková logik VÝROK je vsloveé eo psé tvrzeí o ěmž má smsl rozhodout zd je prvdivé eo eprvdivé přičemž musí stt právě jed z těchto dvou možostí Tvrzeí o ichž v dém okmžiku ejsme schopi říct zd jsou prvdivé či eprvdivé zýváme HYPOTÉZY doměk) Je-li výrok prvdivý pk můžeme tké říct že výrok pltí Je-li výrok eprvdivý pk můžeme tké říct že výrok epltí Výrok ozčujeme velkými písme ltiské eced A B C ) Proměá je smol který ozčuje kterýkoli ojekt z dé moži ojektů - 0 -

3 Zákld mtemtik Logická spojk má smolické ozčeí Číselé oor Pomoci logických spojek vtvoříme z dých výroků výrok ové Zákldí složeé výrok vidíme v ásledující tulce Zákldí se jim říká proto že vzikou použitím pouze jedié logické spojk Smol logické spojk Název složeého výroku egce výroku A A Smolické ozčeí Vjádřeí v jzce výroku eí prvd že A kojukce výroků A B A B A B A zároveň BA i B) disjukce výroků A B A B A eo B eo eí vlučovcí!) implikce výroku A výrokem B A B jestliže A pk B A je postčující podmíkou pro B B je utou podmíkou pro A ekvivlece výroků A B A B A právě tehd kdž B A tehd je tehd kdž B A je utou postčující podmíkou pro B Výrokům se přiřzují tzv prvdivostí hodot Prvdivému výroku se přiřzuje prvdivostí hodot eprvdivému výroku se přiřzuje prvdivostí hodot 0 Tulk prvdivostích hodot zákldích složeých výroků A B A A B A B A B A B Zákldí kvtifikátor Název kvtifikátoru Ozčeí Čteí jzkový výzm Oecý kvtifikátor pro kždé pro všech Eistečí kvtifikátor eistuje lespoň jedo) Kvtifikátor jedozčé eistece! eistuje právě jedo Výrz vtvořeé z koečého počtu výrokových proměých logických spojek přípdých závorek se zývjí výrokové formule Výrokové formule které jsou vžd prvdivé se zývjí tutologie Výrokové formule které jsou vžd eprvdivé se zývjí kotrdikce Výrok vziklé kvtifikcí všech proměých ve výrokové formuli se zývjí výrok s kvtifikátor Uvedeme si je příkldech výroků s jedou proměou - -

4 Zákld mtemtik Číselé oor ) Oecý výrok R 0 prvdivý výrok ) Eistečí výrok R prvdivý výrok c) Výrok o eisteci uicitě! R eprvdivý Moži vzth mezi imi MNOŽINA je souor liovolých vzájem rozlišitelých ojektů které mjí stejou vlstost vzhledem ke které jsou chápá jko jede celek Možiu pokládáme z určeou je-li možo o kždém ojektu jedozčě rozhodout zd do í ptří či ikoliv Kždý z ojektů který ptří do moži se zývá prvek moži K ozčováí moži se většiou používjí velká písme ltiské eced A B M k ozčováí jejich prvků mlá písme Výjimkou je př zčeí v geometrii Zčeí A ojekt je prvkem elemetem) moži A A ojekt eí prvkem elemetem) moži A Moži oshující lespoň jede prvek se zývá eprázdá Moži která eoshuje žádý prvek se zývá prázdá zčí se Z hledisk počtu prvků můžeme moži rozdělit koečé mjí koečý počet prvků prázdá moži eo moži jejíž počet prvků je přirozeé číslo) Počet prvků koečé moži A ozčujeme A ekoečé t které ejsou koečé Způso zdáí moži ) výčtem prvků tj vjmeováím všech prvků moži př M Pozor! moži přirozeých čísel { } Tímto způsoem lze zdt pouze možiu koečou N eí dá výčtem prvků Moži všech jedociferých přirozeých čísel { 789 } M { } ) chrkteristickou vlstostí tj vlstostí kterou mjí právě je prvk zdávé moži - -

5 Zákld mtemtik Číselé oor Prvk moži mohou ýt opět moži Možiu jejímiž prvk jsou jisté moži zýváme sstém moži Vlučuje se přípd moži která oshovl jko prvek smu see přípd moži všech moži Vzth mezi možimi A B vzth smol čteí smolu defiice Ikluze moži A B Rovost moži A B Ostrá ikluze moži A B A B moži A je podmožiou částí) moži B A B moži A se rová možiě B A B moži A je vlstí podmožiou B A je podmožiou B právě kdž kždý prvek moži A je zároveň prvkem moži B A B jsou si rov právě kdž A B zároveň B A A je vlstí podmožiou B právě kdž A B zároveň A B A B A B A B Možiové operce Zákldí operce s možimi A B operce smol defiice Sjedoceí moži A B A B Sjedoceí moži A B je moži všech prvků které ptří lespoň do jedé z moži A B Průik moži A B A B Průik moži A B je moži všech prvků které ptří do moži A zároveň do moži B Rozdíl moži A B A B Rozdíl moži A B je moži všech prvků které ptří do moži A zároveň eptří do moži B Doplěk moži A A Doplěk moži A je moži všech prvků U z moži U které eptří do moži A Pro A B zveme rozdíl B A doplňkem moži A v možiě B Zčíme A Říkáme že moži A je disjuktí s možiou B právě kdž mjí moži A B prázdý průik A B ) tj emjí žádý společý prvek B Řešeá úloh Příkld Jsou dá itervl A<; > B-; ) Určete sjedoceí průik rozdíl těchto itervlů Řešeí A B ; > A B < ; ); A B < ; > ; B A ; ) - -

6 Zákld mtemtik Číselé oor Výkld Krtézské ásoeí moži to je vtvářeí krtézských součiů předstvuje dlší operci s možimi všk podsttě odlišou od zákldích možiových opercí Krtézským součiem moži A moži B který zčíme A B zveme možiu všech uspořádých dvojic jejichž prví čle je liovolý prvek z moži A druhý čle je liovolý prvek z moži B {[ ] A B} A B i j Pro počet prvků krtézského součiu dvou koečých moži A s počtem prvků B i j s počtem prvků m pltí A B A B m Řešeá úloh Příkld Jsou dá moži A{ } B{ } Vtvořte krtézský souči A B B A Řešeí A B {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] } {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] } B A Grfické zázorěí moži ) číselých Číselé moži ejčstěji zázorňujeme číselé ose to uď přímo í eo pomocí vodorových čr rovoěžých s číselou osou Pokud číselá moži oshuje ekoečě moho reálých čísel viz dále) potom jed z možostí jk zpst možiu eo její část je itervl který může le emusí oshovt krjí hodot Pokud krjí hodot itervlu do moži ptří vzčíme tuto hodotu plým kolečkem Pokud do moži eptří vzčíme ji kolečkem prázdým To zd krjí hodot do itervlu ptří či e pozáme podle uzávorkováí itervlu Špičtá závork ozčuje hodotu která ještě do itervlu ptří kultá závork hodotu která již do itervlu eptří - -

7 Zákld mtemtik Číselé oor Řešeá úloh Příkld Je dá moži A { R ; } zázorěte ji číselé ose Výkld ) ečíselých Nečíselé moži moži číselé které z ějkého důvodu elze eo eí vhodé zázorit číselé ose zázorňujeme pomocí tzv možiových digrmů Jedá se o grfické zázorěí moži v roviě Možiové digrm zázorňující vzth mezi možimi operce s možimi se zývjí Veov digrm Číselé oor Cíle Po prostudováí této kpitol měl studet umět ezpečě zřdit dé číslo do příslušého číselého ooru ovládt všech způso jeho zápisu oovit si zlosti zákldích vlstostí početích opercí umět jich vužívt umět zorzit reálá čísl číselé ose Výkld Čísl ázv jejich chrkteristik Jede z ejdůležitějších pojmů mtemtik je pojem čísl Pojem čísl se postupě rozšiřovl prohluovl v souldu s potřemi vývoje lidské společosti Vzth mezi jedotlivými druh čísel vjdřuje ásledující schém - -

8 Zákld mtemtik Číselé oor přirozeá čísl ul záporá čísl celá čísl ecelá rcioálí čísl rcioálí čísl ircioálí čísl reálá čísl imgiárí čísl kompleí čísl Moži všech čísel určitého druhu ve které jsou defiová ez omezeí operce sčítáí ásoeí se zývá oor čísel Ovklé ozčeí ejdůležitějších číselých oorů N oor přirozeých čísel { } N0 oor ezáporých celých čísel {0 } Z oor celých čísel { } Q oor rcioálích čísel { 0 } R oor reálých čísel { 0 π} C oor kompleích čísel viz kp) Pltí tto ikluze N N 0 Z Q R C Přirozeá čísl vjdřují počet prvků koečých eprázdých moži pořdí prvků v uspořádých -ticích Celá čísl umožňují vjádřit eje počt prvků koečých moži le i změ těchto počtů přírůstk útk) Rcioálí čísl v porováí s celými čísl jež jsou jejich speciálím přípdem dovolují víc vjádřit údje o počtech dílů určitého celku Rcioálí číslo je kždé reálé číslo které lze psát ve tvru zlomku p/q kde p je celé číslo q je přirozeé číslo Ircioálí čísl rozvojem jsou chrkterizová ekoečým eperiodickým desetiým Reálá čísl jsou sjedoceím všech rcioálích ircioálích čísel Kompleími čísl se podroě zývá kpitol Zákldů mtemtik - -

9 Zákld mtemtik Číselé oor Chrkteristik číselých oorů ) Oor přirozeých čísel N je uzvře vzhledem k opercím sčítáí ásoeí tz výsledkem těchto opercí je opět přirozeé číslo ) Uzvřeosti vzhledem k operci odčítáí lze docílit rozšířeím ooru N oor Z celých čísel který oshuje přirozeá čísl ulu celá záporá čísl c) Achom docílili uzvřeosti ooru čísel vzhledem k operci děleí číslem růzým od ul) rozšiřuje se oor Z oor rcioálích čísel Q Oor Q je uzvřeý vzhledem k operci sčítáí odčítáí ásoeí děleí d) Sjedoceím rcioálích ircioálích čísel vtvoříme oor reálých čísel R který je uzvřeý vzhledem k opercím sčítáí odčítáí ásoeí děleí Zákldí početí operce Použití čísel si vžádlo zvedeí početích opercí jimiž ke dvěm či více číslům přiřzujeme předepsým způsoem jisté číslo Sčítáí sčítec sčítec součet Odčítáí mešeec mešitel rozdíl Násoeí čiitel čiitel souči Děleí Umocňováí děleec dělitel podíl čittel jmeovtel podíl -tá moci čísl epoet zákld Odmocňováí -tá odmoci čísl Itervl Itervl je kždá moži reálých čísel jejichž orz číselé ose vplňují její souvislou podmožiu Růzé druh itervlů jsou popsá v ásledující tulce - 7 -

10 Zákld mtemtik Číselé oor Moži všech reálých čísel pro která pltí Ozčeí Grfické zázorěí číselé ose < < ) < ) < ) > ) < ) ) R Číslům říkáme krjí od itervlu eo tké meze itervlu dolí horí mez) Liovolý od itervlu který eí jeho krjím odem se zývá vitří od itervlu Vitřích odů itervlu je ekoečě moho Ptří-li k itervlu oě jeho meze zývá se uzvřeý itervl Ptří-li k itervlu jediá z jeho mezí zývá se polouzvřeý eo polootevřeý itervl Neptří-li k itervlu žádá z jeho mezí zývá se otevřeý itervl Řešeá úloh Příkld Jik zpište ) ) < ) ) < ) 0) c) ) 0 ) Řešeí ) < ) ) < 0) c) ) R - 8 -

11 Zákld mtemtik Algerické výrz Číselé oor Cíle Umět používt při úprvách lgerických výrzů vzorce uváděé v jedotlivých podkpitolách Výkld Algerický výrz je výrz zápis) skládjící se z čísel z písme ozčujících proměé jež jsou spoje zk opercí sčítáí odčítáí ásoeí děleí umocňováí odmocňováí Je-li tře oshuje tké závork které určují pořdí prováděí opercí K výrzům oshujícím proměé se připojuje oor proměých Neí-li uvede rozumí se jím ovkle číselý oor R Defiičím oorem D lgerického výrzu jsou podmoži oorů proměých pro jejichž hodot má dý výrz smsl Prvidl pro stovováí defiičího ooru lgerického výrzu jsou ) jmeovtel musí ýt růzý od ul ) pod sudou odmociou esmí ýt záporé číslo Polom mohočle) Jedočle je výrz který vzike součiem kostt moci proměé Polom je součtem ěkolik jedočleů Čle s ejvšší mociou udává stupeň polomu Polom -tého stupě proměé může mít zápis 0 kde 0 Jedočle 0 0 je polom ultého stupěje-li rove ulezývá se ulovým polomem Kořeem polomu zveme kždé reálé číslo které po doszeí z proměou dý polom převede polom ulový Mějme kvdrtický trojčle c s podmíkou že c 0 ozčme jeho koře Pk jeho rozkld v ooru R ude mít teto zápis c ) ) - 9 -

12 Zákld mtemtik Číselé oor Je-li solutí čle c 0 pk pro rozkld kvdrtického dvojčleu pltí ) Je-li 0 >0 c>0 pk kvdrtický dvojčle se dá rozložit tkto c c c ) ) Při úprvách lgerických výrzů používáme tto vzorce ± ) ± ) ) ) ) ) ) ) ) V ooru reálých čísel R jsou kvdrtický dvojčle kvdrtické trojčle ± erozložitelé souči lieárích dvojčleů Úprv rcioálích lomeých výrzů vzorce prvidl pro umocňováí) Při úprvách rcioálích lomeých výrzů se používjí výše uvedeé vzorce o rozkldu mohočleů dále vzorce pro počítáí se zlomk V úlohách o úprvách lomeých výrzů je uté klást podmík že jmeovtel kždého zlomku v původích výrzech i v uprveých tvrech musí ýt růzý od ul Při úprvách výrzů udeme používt tto prvidl pro početí operce se zlomk rozšířeí zlomku číslem k 0 kráceí zlomku číslem k 0 k 0 k 0 k k 0 d 0 k sčítáí zlomků c d c d d c c 0 d 0 odčítáí zlomků c d c d d c c 0 d 0-0 -

13 Zákld mtemtik ásoeí zlomků děleí zlomků úprv složeého zlomku c c 0 d 0 d d c d d 0 d 0 c 0 d c c c d c d 0 d 0 c 0 d c Číselé oor umocňováí pro přirozeá čísl r s pro reálá čísl pltí r s r s r s r s 0 r s rs ) r r r ) r r r 0 r r 0 Řešeé úloh Příkld Zjedodušte lgerický výrz Řešeí ) ) ) ) ) ) ) Podmík řešitelosti výrzu vcházejí z toho že všech výrz ve jmeovtelích musí ýt eulové tkže postupě dostáváme

14 Zákld mtemtik Číselé oor Příkld Zjedodušte lgerický výrz ) Řešeí ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Podmík řešitelosti výrzu eoli společý defiičí oor všech výrz ve jmeovtelích musí ýt eulové tkže postupě dostáváme 0 Výkld Úprv ircioálích lgerických výrzů prvidl pro odmocňováí) Při úprvách ircioálích lgerických výrzů vužíváme poztků o odmociách mociách s rcioálími mociteli prvidel pro početí operce se zlomk Podmík z ichž prováděé úprv mjí smsl především vjdřují že zákld všech sudých odmoci musí ýt ezáporé jmeovtelé zlomků se esmějí rovt ule Prvidl pro počítáí s odmocimi 0) 0 pro 0 m m ) m m m m Z N p p p N Pozámk Odmoci ze součtu se erová součtu odmoci!! - -

15 Zákld mtemtik Číselé oor Řešeá úloh Příkld Uprvte výrz V) s rcioálími epoet převodem odmoci moci Řešeí V) z předpokldu že >0 Výkld Asolutí hodot reálého čísl Kždému reálému číslu je přiřzeo právě jedo reálé číslo tkto pro 0 pro < 0 Toto číslo se zývá solutí hodot reálého čísl Některé vlstosti solutí hodot reálého čísl ) Pro R 0 ) Pro R pro 0 ) Pro R ) Pro k R k > 0 < k k < < k eoli k k) ) Pro R pro 0 pro < 0 Geometrický výzm solutí hodot reálých čísel číselé ose předstvuje vzdáleost orzu čísl od počátku vzdáleost orzů čísel - -

16 Zákld mtemtik Číselé oor Rozkld kvdrtického trojčleu Kvdrtickým trojčleem s eulovými koeficiet c zveme výrz c Je-li diskrimit příslušé kvdrtické rovice D 0 její koře ozčíme pk můžeme provést rozkld kvdrtického trojčleu souči kořeových čiitelů v ooru R c ) ) Je-li koeficiet pk kvdrtický trojčle se zývá ormový s koeficiet p q p q ) ) přičemž pltí p q Řešeá úloh Příkld Uprvte ) ) Řešeí ) 8 8 ) ) 7) 7) 9 7) ) ) z podmík že ± 7 7 ) ) ) ) ) ) ) ) z podmík že ± Pozámk Rozkldem kvdrtického trojčleu se tké zývá kpitol příkld procvičeí jsou uvede pod číslem téže kpitol Kotrolí otázk Umíte přečíst smolická ozčeí? Čeho se týkjí smol? Kolik jste si zpmtovli vzorců z kp? - -

17 Zákld mtemtik Číselé oor Úloh k smosttému řešeí Uprvte stovte podmík ) ) c) d) e) 8 f) Zjedodušte v R dý výrz s mocimi ) 9 ) ) ) 7 z z c) ) ) d) e) f) Výsledk úloh k smosttému řešeí ) 0 ) ) 0 c) 0 ± d) ± e) ± f) ± ) 0 0 ) c) z z 0 0 > > d) 0 0 > > e) 0 0 > > f) 0 > - -

18 Zákld mtemtik Číselé oor Klíč k řešeí úloh Ve všech příkldech je uvede je postup úprv lgerických výrzů ez podmíek ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) c) ) ) d) ) ) ) e) ) ) ) ) 8 ) f) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 9 ) z z z z z z c) ) ) d) 8 9 e) 0 ) ) ) f)

19 Zákld mtemtik Číselé oor Kotrolí test Rozhoděte o prvdivosti výroku { R } ) výrok je prvdivý ) výrok je eprvdivý c) eí to výrok Výčtem prvků zpište možiu C { Z <} ) C { 0 } ) C { 0 } c) C { } Doplěk moži{ R < } v R zpište jko sjedoceí dvou itervlů ) ; > < ; ) ) ; ) < ; ) c) ; ) ; ) d) ; > ; ) Proveďte rozkld kvdrtického polomu ) -)-) ) -)-) c) )-) d) -)) Proveďte úplý rozkld polomu ) -)-) ) )-) c) -)) d) )) Sestvte ormový kvdrtický trojčle jestliže záme koře 8 ) ) c) d) 7 Použitím prvidel pro počítáí s mocimi odmocimi vpočtěte ) 9 ) c) d) 9 8 Zjedodušte uveďte podmík z jkých má dý výrz smsl Výsledek zpište ve tvru odmoci - 7 -

20 Zákld mtemtik Číselé oor ) 7 0 > 0 ) >0 c) 0 > 0 9 Zjedodušte lgerický výrz uveďte podmík řešitelosti ) ) ) 9 ) 9 9 c) ± 0 Zjedodušte lgerický výrz uveďte podmík řešitelosti ) ) ± 0 ) - ± c) ± 0 Výsledk testu ); ); d); ); c); ); 7); 8); 9c); 0) Shrutí lekce N testu jste si ověřili zd vše zlosti jsou výoré 00%) dosttečé 80%) eo si potřeujete ještě vše zovu zopkovt odstrit edosttk při zvládutí uváděých příkldů Zovu si projděte řešeé příkld podle ich si propočítejte úloh k smosttému řešeí Zákldí zlosti početí dovedosti které vcházejí z vřešeí co ejvětšího počtu úloh jsou zárukou úspěšého studi VŠ techického směru Dlší příkld k procvičováí jdete v kterékoliv sírce mtemtik pro středí škol Podroější výkld pojmů z mtemtické logik teorie moži jdete v kpitole předmětu Mtemtik I eo v ěkteré z učeic mtemtik pro gmázi - 8 -

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

2 Základní poznatky o číselných oborech

2 Základní poznatky o číselných oborech Zákldí poztky o číselých oorech Mozí lidé jsou evědoí je proto, že vycházejí z pojů, které jsou podle tetických ěřítek epřesé (Sokrtes). Přirozeá čísl Přirozeá čísl ozčují počet prvků koečých oži. Kždé

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Marie Dostálová Eliška Gardavská Radka Hamříková Věra Janků Miloslava Tannenbergová

Marie Dostálová Eliška Gardavská Radka Hamříková Věra Janků Miloslava Tannenbergová VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA ZÁKLADY MATEMATIKY Mrie Dostálová Elišk Grdvská Rdk Hmříková Věr Jků Miloslv Tebergová Vtvořeo v rámci projektu Operčího progrmu Rozvoje lidských zdrojů

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic Logické rovice J Bborák, Gyáziu Česká Líp, bbork@sez.cz Ev Svobodová, Krlíské gyáziu, evsvobo@gil.co Doiik Tělupil, Gyáziu Bro, dtelupil@gil.co Abstrkt Záklde šeho iiproektu e počítáí poocí Booleovy lgebry

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,

Více

Sbírka úloh z matematiky pro 9.ročník Lomené výrazy ZŠ Třešť

Sbírka úloh z matematiky pro 9.ročník Lomené výrazy ZŠ Třešť Sík úloh z tetik po 9.očík I. Loeé výz ZŠ Třešť . Loeý výz je zloek. Jeovtel zloku e eí ovt ule. U loeých výzů učujee vžd podík, po kteé á loeý výz l. Řešeý příkld Uči podík, po kteé jí výz l, řeš dlší

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY,

POSLOUPNOSTI A ŘADY, POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé

Více

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku Stveí sttik.ročík klářského studi osá stveí kostruke osé stveí kostruke ýpočet rekí ýpočet vitříh sil přímého osíku osá stveí kostruke slouží k přeosu ztížeí ojektu do horiového msívu ěmž je ojekt zlože.

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace Koec srady!!!.6. Mociy s přirozeým mocitelem I Předpoklady: základí početí operace Pedagogická pozámka: Zápis a začátku kapitoly je víc ež je srada. Tato hodia je prví v druhé části studia. Až dosud ehrálo

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1.

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1. DIM PaS. Připomeutí pozatků ze středí školy Faktoriály a kombiačí čísla základí vzorce: ( )( 2 )...2.! =. 0! = =! ( k)! k! ( )...( k ). + = k! = k + + = k + k + 2 2 ( a + b) = a + a b+ a b +... + a b +...

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic. temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Mocniny, odmocniny, úpravy. Repetitorium z matematiky

Mocniny, odmocniny, úpravy. Repetitorium z matematiky Mociy, odmociy, úpvy lgeických výzů epetitoium z mtemtiky Podzim Iv culová . Mociy přiozeým celým mocitelem Po kždé eálé čílo kždé přiozeé čílo pltí:... čiitelů moci Zákld mociy (mocěec) mocitel (expoet)

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět ZPG Křivk. Hermitov iterpolce. Fergusoov křivk (). KŘIVKY A PLOCHY Cíl Po prostudováí této kpitol budete umět defiovt iterpolčí proximčí křivk pro dé bod defiovt ploch z dých prvků plikovt křivk ploch

Více

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x)

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x) 9 REGRESE A KORELACE Slovo regrese oecě zmeá poh zpět ústup ávrt regresví = ustupující Opčým termíem je progrese pokrok postup šířeí růst Pojem regrese l do sttstk zvede kocem 9 století rtským učecem Frcsem

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl 7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí této kapitoly budete schopi řešit řadu zajímavých úloh z praxe, týkajících se počtu skupi, které lze sestavit ( vybrat ) z daé možiy

Více

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0).

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0). ČÍSELNÉ VEKTORY Defce Uspořádou -tc čísel = (,,, ) zveme číselým vektoem Čísl,,, jsou složky ebol souřdce vektou Přozeé číslo zýváme ozměem ebo tké dmezí vektou Defce Vekto, jehož všechy složky se ovjí

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovice RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Rovice kombiatorické VY INOVACE_5 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Skupiy prvků, kde záleží a pořadí Bez opakováí Počet Vk( )

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvlity výuky technických oorů Klíčová ktivit IV Inovce zkvlitnění výuky směřující k rozvoji mtemtické grmotnosti žáků středních škol Tém IV Algerické výrzy, výrzy s mocninmi odmocninmi Kpitol

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více