1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26"

Transkript

1 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých oorů 7 Zákldí početí operce 7 Itervl 7 Algerické výrz 9 Polom mohočle) 9 Úprv rcioálích lomeých výrzů vzorce prvidl pro umocňováí) 0 Úprv ircioálích lgerických výrzů prvidl pro odmocňováí) Asolutí hodot reálého čísl Rozkld kvdrtického trojčleu Kotrolí otázk Úloh k smosttému řešeí Výsledk úloh k smosttému řešeí Klíč k řešeí úloh Kotrolí test 7 Výsledk testu 8-9 -

2 Zákld mtemtik ČÍSELNÉ OBORY Číselé oor Průvodce studiem Tto kpitol Zákldů mtemtik je rozděle do tří meších celků t jsou ještě dále rozčleě meší oddíl v ichž je podá stručý přehled těch prtií ze středoškolské mtemtik které potřeujete k pochopeí dlšího učiv Jejím prostudováím si zopkujete doplíte přípdé mezer ve svých mtemtických zlostech Do třetí podkpitol jsou zřze řešeé příkld po ich Úloh k smosttému řešeí s výsledk Jk dlece jste zvládli učivo kpitol si ověříte kotrolím testu Předpokládé zlosti Zát zákldí vlstosti početích opercí komuttivost socitivostdistriutivost) umět mohočle sčítt odečítt ásoit zát výpočet kořeů kvdrtické rovice Některé pojm z mtemtické logik Cíle Cílem této kpitol je stručě se sezámit se zákldími pojm z mtemtické logik teorie moži Výkld Výroková logik VÝROK je vsloveé eo psé tvrzeí o ěmž má smsl rozhodout zd je prvdivé eo eprvdivé přičemž musí stt právě jed z těchto dvou možostí Tvrzeí o ichž v dém okmžiku ejsme schopi říct zd jsou prvdivé či eprvdivé zýváme HYPOTÉZY doměk) Je-li výrok prvdivý pk můžeme tké říct že výrok pltí Je-li výrok eprvdivý pk můžeme tké říct že výrok epltí Výrok ozčujeme velkými písme ltiské eced A B C ) Proměá je smol který ozčuje kterýkoli ojekt z dé moži ojektů - 0 -

3 Zákld mtemtik Logická spojk má smolické ozčeí Číselé oor Pomoci logických spojek vtvoříme z dých výroků výrok ové Zákldí složeé výrok vidíme v ásledující tulce Zákldí se jim říká proto že vzikou použitím pouze jedié logické spojk Smol logické spojk Název složeého výroku egce výroku A A Smolické ozčeí Vjádřeí v jzce výroku eí prvd že A kojukce výroků A B A B A B A zároveň BA i B) disjukce výroků A B A B A eo B eo eí vlučovcí!) implikce výroku A výrokem B A B jestliže A pk B A je postčující podmíkou pro B B je utou podmíkou pro A ekvivlece výroků A B A B A právě tehd kdž B A tehd je tehd kdž B A je utou postčující podmíkou pro B Výrokům se přiřzují tzv prvdivostí hodot Prvdivému výroku se přiřzuje prvdivostí hodot eprvdivému výroku se přiřzuje prvdivostí hodot 0 Tulk prvdivostích hodot zákldích složeých výroků A B A A B A B A B A B Zákldí kvtifikátor Název kvtifikátoru Ozčeí Čteí jzkový výzm Oecý kvtifikátor pro kždé pro všech Eistečí kvtifikátor eistuje lespoň jedo) Kvtifikátor jedozčé eistece! eistuje právě jedo Výrz vtvořeé z koečého počtu výrokových proměých logických spojek přípdých závorek se zývjí výrokové formule Výrokové formule které jsou vžd prvdivé se zývjí tutologie Výrokové formule které jsou vžd eprvdivé se zývjí kotrdikce Výrok vziklé kvtifikcí všech proměých ve výrokové formuli se zývjí výrok s kvtifikátor Uvedeme si je příkldech výroků s jedou proměou - -

4 Zákld mtemtik Číselé oor ) Oecý výrok R 0 prvdivý výrok ) Eistečí výrok R prvdivý výrok c) Výrok o eisteci uicitě! R eprvdivý Moži vzth mezi imi MNOŽINA je souor liovolých vzájem rozlišitelých ojektů které mjí stejou vlstost vzhledem ke které jsou chápá jko jede celek Možiu pokládáme z určeou je-li možo o kždém ojektu jedozčě rozhodout zd do í ptří či ikoliv Kždý z ojektů který ptří do moži se zývá prvek moži K ozčováí moži se většiou používjí velká písme ltiské eced A B M k ozčováí jejich prvků mlá písme Výjimkou je př zčeí v geometrii Zčeí A ojekt je prvkem elemetem) moži A A ojekt eí prvkem elemetem) moži A Moži oshující lespoň jede prvek se zývá eprázdá Moži která eoshuje žádý prvek se zývá prázdá zčí se Z hledisk počtu prvků můžeme moži rozdělit koečé mjí koečý počet prvků prázdá moži eo moži jejíž počet prvků je přirozeé číslo) Počet prvků koečé moži A ozčujeme A ekoečé t které ejsou koečé Způso zdáí moži ) výčtem prvků tj vjmeováím všech prvků moži př M Pozor! moži přirozeých čísel { } Tímto způsoem lze zdt pouze možiu koečou N eí dá výčtem prvků Moži všech jedociferých přirozeých čísel { 789 } M { } ) chrkteristickou vlstostí tj vlstostí kterou mjí právě je prvk zdávé moži - -

5 Zákld mtemtik Číselé oor Prvk moži mohou ýt opět moži Možiu jejímiž prvk jsou jisté moži zýváme sstém moži Vlučuje se přípd moži která oshovl jko prvek smu see přípd moži všech moži Vzth mezi možimi A B vzth smol čteí smolu defiice Ikluze moži A B Rovost moži A B Ostrá ikluze moži A B A B moži A je podmožiou částí) moži B A B moži A se rová možiě B A B moži A je vlstí podmožiou B A je podmožiou B právě kdž kždý prvek moži A je zároveň prvkem moži B A B jsou si rov právě kdž A B zároveň B A A je vlstí podmožiou B právě kdž A B zároveň A B A B A B A B Možiové operce Zákldí operce s možimi A B operce smol defiice Sjedoceí moži A B A B Sjedoceí moži A B je moži všech prvků které ptří lespoň do jedé z moži A B Průik moži A B A B Průik moži A B je moži všech prvků které ptří do moži A zároveň do moži B Rozdíl moži A B A B Rozdíl moži A B je moži všech prvků které ptří do moži A zároveň eptří do moži B Doplěk moži A A Doplěk moži A je moži všech prvků U z moži U které eptří do moži A Pro A B zveme rozdíl B A doplňkem moži A v možiě B Zčíme A Říkáme že moži A je disjuktí s možiou B právě kdž mjí moži A B prázdý průik A B ) tj emjí žádý společý prvek B Řešeá úloh Příkld Jsou dá itervl A<; > B-; ) Určete sjedoceí průik rozdíl těchto itervlů Řešeí A B ; > A B < ; ); A B < ; > ; B A ; ) - -

6 Zákld mtemtik Číselé oor Výkld Krtézské ásoeí moži to je vtvářeí krtézských součiů předstvuje dlší operci s možimi všk podsttě odlišou od zákldích možiových opercí Krtézským součiem moži A moži B který zčíme A B zveme možiu všech uspořádých dvojic jejichž prví čle je liovolý prvek z moži A druhý čle je liovolý prvek z moži B {[ ] A B} A B i j Pro počet prvků krtézského součiu dvou koečých moži A s počtem prvků B i j s počtem prvků m pltí A B A B m Řešeá úloh Příkld Jsou dá moži A{ } B{ } Vtvořte krtézský souči A B B A Řešeí A B {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] } {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] } B A Grfické zázorěí moži ) číselých Číselé moži ejčstěji zázorňujeme číselé ose to uď přímo í eo pomocí vodorových čr rovoěžých s číselou osou Pokud číselá moži oshuje ekoečě moho reálých čísel viz dále) potom jed z možostí jk zpst možiu eo její část je itervl který může le emusí oshovt krjí hodot Pokud krjí hodot itervlu do moži ptří vzčíme tuto hodotu plým kolečkem Pokud do moži eptří vzčíme ji kolečkem prázdým To zd krjí hodot do itervlu ptří či e pozáme podle uzávorkováí itervlu Špičtá závork ozčuje hodotu která ještě do itervlu ptří kultá závork hodotu která již do itervlu eptří - -

7 Zákld mtemtik Číselé oor Řešeá úloh Příkld Je dá moži A { R ; } zázorěte ji číselé ose Výkld ) ečíselých Nečíselé moži moži číselé které z ějkého důvodu elze eo eí vhodé zázorit číselé ose zázorňujeme pomocí tzv možiových digrmů Jedá se o grfické zázorěí moži v roviě Možiové digrm zázorňující vzth mezi možimi operce s možimi se zývjí Veov digrm Číselé oor Cíle Po prostudováí této kpitol měl studet umět ezpečě zřdit dé číslo do příslušého číselého ooru ovládt všech způso jeho zápisu oovit si zlosti zákldích vlstostí početích opercí umět jich vužívt umět zorzit reálá čísl číselé ose Výkld Čísl ázv jejich chrkteristik Jede z ejdůležitějších pojmů mtemtik je pojem čísl Pojem čísl se postupě rozšiřovl prohluovl v souldu s potřemi vývoje lidské společosti Vzth mezi jedotlivými druh čísel vjdřuje ásledující schém - -

8 Zákld mtemtik Číselé oor přirozeá čísl ul záporá čísl celá čísl ecelá rcioálí čísl rcioálí čísl ircioálí čísl reálá čísl imgiárí čísl kompleí čísl Moži všech čísel určitého druhu ve které jsou defiová ez omezeí operce sčítáí ásoeí se zývá oor čísel Ovklé ozčeí ejdůležitějších číselých oorů N oor přirozeých čísel { } N0 oor ezáporých celých čísel {0 } Z oor celých čísel { } Q oor rcioálích čísel { 0 } R oor reálých čísel { 0 π} C oor kompleích čísel viz kp) Pltí tto ikluze N N 0 Z Q R C Přirozeá čísl vjdřují počet prvků koečých eprázdých moži pořdí prvků v uspořádých -ticích Celá čísl umožňují vjádřit eje počt prvků koečých moži le i změ těchto počtů přírůstk útk) Rcioálí čísl v porováí s celými čísl jež jsou jejich speciálím přípdem dovolují víc vjádřit údje o počtech dílů určitého celku Rcioálí číslo je kždé reálé číslo které lze psát ve tvru zlomku p/q kde p je celé číslo q je přirozeé číslo Ircioálí čísl rozvojem jsou chrkterizová ekoečým eperiodickým desetiým Reálá čísl jsou sjedoceím všech rcioálích ircioálích čísel Kompleími čísl se podroě zývá kpitol Zákldů mtemtik - -

9 Zákld mtemtik Číselé oor Chrkteristik číselých oorů ) Oor přirozeých čísel N je uzvře vzhledem k opercím sčítáí ásoeí tz výsledkem těchto opercí je opět přirozeé číslo ) Uzvřeosti vzhledem k operci odčítáí lze docílit rozšířeím ooru N oor Z celých čísel který oshuje přirozeá čísl ulu celá záporá čísl c) Achom docílili uzvřeosti ooru čísel vzhledem k operci děleí číslem růzým od ul) rozšiřuje se oor Z oor rcioálích čísel Q Oor Q je uzvřeý vzhledem k operci sčítáí odčítáí ásoeí děleí d) Sjedoceím rcioálích ircioálích čísel vtvoříme oor reálých čísel R který je uzvřeý vzhledem k opercím sčítáí odčítáí ásoeí děleí Zákldí početí operce Použití čísel si vžádlo zvedeí početích opercí jimiž ke dvěm či více číslům přiřzujeme předepsým způsoem jisté číslo Sčítáí sčítec sčítec součet Odčítáí mešeec mešitel rozdíl Násoeí čiitel čiitel souči Děleí Umocňováí děleec dělitel podíl čittel jmeovtel podíl -tá moci čísl epoet zákld Odmocňováí -tá odmoci čísl Itervl Itervl je kždá moži reálých čísel jejichž orz číselé ose vplňují její souvislou podmožiu Růzé druh itervlů jsou popsá v ásledující tulce - 7 -

10 Zákld mtemtik Číselé oor Moži všech reálých čísel pro která pltí Ozčeí Grfické zázorěí číselé ose < < ) < ) < ) > ) < ) ) R Číslům říkáme krjí od itervlu eo tké meze itervlu dolí horí mez) Liovolý od itervlu který eí jeho krjím odem se zývá vitří od itervlu Vitřích odů itervlu je ekoečě moho Ptří-li k itervlu oě jeho meze zývá se uzvřeý itervl Ptří-li k itervlu jediá z jeho mezí zývá se polouzvřeý eo polootevřeý itervl Neptří-li k itervlu žádá z jeho mezí zývá se otevřeý itervl Řešeá úloh Příkld Jik zpište ) ) < ) ) < ) 0) c) ) 0 ) Řešeí ) < ) ) < 0) c) ) R - 8 -

11 Zákld mtemtik Algerické výrz Číselé oor Cíle Umět používt při úprvách lgerických výrzů vzorce uváděé v jedotlivých podkpitolách Výkld Algerický výrz je výrz zápis) skládjící se z čísel z písme ozčujících proměé jež jsou spoje zk opercí sčítáí odčítáí ásoeí děleí umocňováí odmocňováí Je-li tře oshuje tké závork které určují pořdí prováděí opercí K výrzům oshujícím proměé se připojuje oor proměých Neí-li uvede rozumí se jím ovkle číselý oor R Defiičím oorem D lgerického výrzu jsou podmoži oorů proměých pro jejichž hodot má dý výrz smsl Prvidl pro stovováí defiičího ooru lgerického výrzu jsou ) jmeovtel musí ýt růzý od ul ) pod sudou odmociou esmí ýt záporé číslo Polom mohočle) Jedočle je výrz který vzike součiem kostt moci proměé Polom je součtem ěkolik jedočleů Čle s ejvšší mociou udává stupeň polomu Polom -tého stupě proměé může mít zápis 0 kde 0 Jedočle 0 0 je polom ultého stupěje-li rove ulezývá se ulovým polomem Kořeem polomu zveme kždé reálé číslo které po doszeí z proměou dý polom převede polom ulový Mějme kvdrtický trojčle c s podmíkou že c 0 ozčme jeho koře Pk jeho rozkld v ooru R ude mít teto zápis c ) ) - 9 -

12 Zákld mtemtik Číselé oor Je-li solutí čle c 0 pk pro rozkld kvdrtického dvojčleu pltí ) Je-li 0 >0 c>0 pk kvdrtický dvojčle se dá rozložit tkto c c c ) ) Při úprvách lgerických výrzů používáme tto vzorce ± ) ± ) ) ) ) ) ) ) ) V ooru reálých čísel R jsou kvdrtický dvojčle kvdrtické trojčle ± erozložitelé souči lieárích dvojčleů Úprv rcioálích lomeých výrzů vzorce prvidl pro umocňováí) Při úprvách rcioálích lomeých výrzů se používjí výše uvedeé vzorce o rozkldu mohočleů dále vzorce pro počítáí se zlomk V úlohách o úprvách lomeých výrzů je uté klást podmík že jmeovtel kždého zlomku v původích výrzech i v uprveých tvrech musí ýt růzý od ul Při úprvách výrzů udeme používt tto prvidl pro početí operce se zlomk rozšířeí zlomku číslem k 0 kráceí zlomku číslem k 0 k 0 k 0 k k 0 d 0 k sčítáí zlomků c d c d d c c 0 d 0 odčítáí zlomků c d c d d c c 0 d 0-0 -

13 Zákld mtemtik ásoeí zlomků děleí zlomků úprv složeého zlomku c c 0 d 0 d d c d d 0 d 0 c 0 d c c c d c d 0 d 0 c 0 d c Číselé oor umocňováí pro přirozeá čísl r s pro reálá čísl pltí r s r s r s r s 0 r s rs ) r r r ) r r r 0 r r 0 Řešeé úloh Příkld Zjedodušte lgerický výrz Řešeí ) ) ) ) ) ) ) Podmík řešitelosti výrzu vcházejí z toho že všech výrz ve jmeovtelích musí ýt eulové tkže postupě dostáváme

14 Zákld mtemtik Číselé oor Příkld Zjedodušte lgerický výrz ) Řešeí ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Podmík řešitelosti výrzu eoli společý defiičí oor všech výrz ve jmeovtelích musí ýt eulové tkže postupě dostáváme 0 Výkld Úprv ircioálích lgerických výrzů prvidl pro odmocňováí) Při úprvách ircioálích lgerických výrzů vužíváme poztků o odmociách mociách s rcioálími mociteli prvidel pro početí operce se zlomk Podmík z ichž prováděé úprv mjí smsl především vjdřují že zákld všech sudých odmoci musí ýt ezáporé jmeovtelé zlomků se esmějí rovt ule Prvidl pro počítáí s odmocimi 0) 0 pro 0 m m ) m m m m Z N p p p N Pozámk Odmoci ze součtu se erová součtu odmoci!! - -

15 Zákld mtemtik Číselé oor Řešeá úloh Příkld Uprvte výrz V) s rcioálími epoet převodem odmoci moci Řešeí V) z předpokldu že >0 Výkld Asolutí hodot reálého čísl Kždému reálému číslu je přiřzeo právě jedo reálé číslo tkto pro 0 pro < 0 Toto číslo se zývá solutí hodot reálého čísl Některé vlstosti solutí hodot reálého čísl ) Pro R 0 ) Pro R pro 0 ) Pro R ) Pro k R k > 0 < k k < < k eoli k k) ) Pro R pro 0 pro < 0 Geometrický výzm solutí hodot reálých čísel číselé ose předstvuje vzdáleost orzu čísl od počátku vzdáleost orzů čísel - -

16 Zákld mtemtik Číselé oor Rozkld kvdrtického trojčleu Kvdrtickým trojčleem s eulovými koeficiet c zveme výrz c Je-li diskrimit příslušé kvdrtické rovice D 0 její koře ozčíme pk můžeme provést rozkld kvdrtického trojčleu souči kořeových čiitelů v ooru R c ) ) Je-li koeficiet pk kvdrtický trojčle se zývá ormový s koeficiet p q p q ) ) přičemž pltí p q Řešeá úloh Příkld Uprvte ) ) Řešeí ) 8 8 ) ) 7) 7) 9 7) ) ) z podmík že ± 7 7 ) ) ) ) ) ) ) ) z podmík že ± Pozámk Rozkldem kvdrtického trojčleu se tké zývá kpitol příkld procvičeí jsou uvede pod číslem téže kpitol Kotrolí otázk Umíte přečíst smolická ozčeí? Čeho se týkjí smol? Kolik jste si zpmtovli vzorců z kp? - -

17 Zákld mtemtik Číselé oor Úloh k smosttému řešeí Uprvte stovte podmík ) ) c) d) e) 8 f) Zjedodušte v R dý výrz s mocimi ) 9 ) ) ) 7 z z c) ) ) d) e) f) Výsledk úloh k smosttému řešeí ) 0 ) ) 0 c) 0 ± d) ± e) ± f) ± ) 0 0 ) c) z z 0 0 > > d) 0 0 > > e) 0 0 > > f) 0 > - -

18 Zákld mtemtik Číselé oor Klíč k řešeí úloh Ve všech příkldech je uvede je postup úprv lgerických výrzů ez podmíek ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) c) ) ) d) ) ) ) e) ) ) ) ) 8 ) f) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 9 ) z z z z z z c) ) ) d) 8 9 e) 0 ) ) ) f)

19 Zákld mtemtik Číselé oor Kotrolí test Rozhoděte o prvdivosti výroku { R } ) výrok je prvdivý ) výrok je eprvdivý c) eí to výrok Výčtem prvků zpište možiu C { Z <} ) C { 0 } ) C { 0 } c) C { } Doplěk moži{ R < } v R zpište jko sjedoceí dvou itervlů ) ; > < ; ) ) ; ) < ; ) c) ; ) ; ) d) ; > ; ) Proveďte rozkld kvdrtického polomu ) -)-) ) -)-) c) )-) d) -)) Proveďte úplý rozkld polomu ) -)-) ) )-) c) -)) d) )) Sestvte ormový kvdrtický trojčle jestliže záme koře 8 ) ) c) d) 7 Použitím prvidel pro počítáí s mocimi odmocimi vpočtěte ) 9 ) c) d) 9 8 Zjedodušte uveďte podmík z jkých má dý výrz smsl Výsledek zpište ve tvru odmoci - 7 -

20 Zákld mtemtik Číselé oor ) 7 0 > 0 ) >0 c) 0 > 0 9 Zjedodušte lgerický výrz uveďte podmík řešitelosti ) ) ) 9 ) 9 9 c) ± 0 Zjedodušte lgerický výrz uveďte podmík řešitelosti ) ) ± 0 ) - ± c) ± 0 Výsledk testu ); ); d); ); c); ); 7); 8); 9c); 0) Shrutí lekce N testu jste si ověřili zd vše zlosti jsou výoré 00%) dosttečé 80%) eo si potřeujete ještě vše zovu zopkovt odstrit edosttk při zvládutí uváděých příkldů Zovu si projděte řešeé příkld podle ich si propočítejte úloh k smosttému řešeí Zákldí zlosti početí dovedosti které vcházejí z vřešeí co ejvětšího počtu úloh jsou zárukou úspěšého studi VŠ techického směru Dlší příkld k procvičováí jdete v kterékoliv sírce mtemtik pro středí škol Podroější výkld pojmů z mtemtické logik teorie moži jdete v kpitole předmětu Mtemtik I eo v ěkteré z učeic mtemtik pro gmázi - 8 -

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x)

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x) 9 REGRESE A KORELACE Slovo regrese oecě zmeá poh zpět ústup ávrt regresví = ustupující Opčým termíem je progrese pokrok postup šířeí růst Pojem regrese l do sttstk zvede kocem 9 století rtským učecem Frcsem

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická ZÁVĚREČNÁ PRÁCE

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická ZÁVĚREČNÁ PRÁCE TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fkult příodovědě-humití pedgogická ZÁVĚREČNÁ PRÁCE LIBEREC 0 Mg. JAROMÍR OSČÁDAL Techická uivezit v Lieci Fkult příodovědě-humití pedgogická Egyptské zlomky Závěečá páce

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Univerzita Karlova Přírodovědecká fakulta Katedra analytické chemie

Univerzita Karlova Přírodovědecká fakulta Katedra analytické chemie Uivezit ov Příodovědecká fkut ted ytické chemie Sttitické vyhodoceí výedků Picip: Výedky opkových zkoušek, kteé jou ztížey áhodými chybmi, mjí učité ozděeí (ditibuci). Rozděeím e zde ozumí záviot pvděpodoboti

Více

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky ..7 Příkldy řešené pomocí ět pro trojúhelníky Předpokldy:, 6 Pedgogická poznámk: U následujících příkldů ( u mnoh dlších příkldů z geometrie) pltí, že nedílnou součástí řešení je nápd (který se tké nemusí

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013,

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, EVROPSKÁ KOMISE V Bruselu dne 30.4.2013 C(2013) 2420 finl NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, kterým se mění nřízení (ES) č. 809/2004, pokud jde o poždvky n zveřejňování

Více

Regulace f v propojených soustavách

Regulace f v propojených soustavách Regulce f v propojených soustvách Zopkování principu primární sekundární regulce f v izolovné soustvě si ukážeme obr.,kde je znázorněn S Slovenské Republiky. Modře jsou vyznčeny bloky, které jsou zřzeny

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad VŠB TU OSTRAVA, FEI, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY Úvod do lýz čsových řd [Zdeje podiul dokueu.] Mri Lischová Popis čsových řd Čsová řd je uerická proěá, jejíž hodo podsě závisí čse, v ěž bl získá (posloupos

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR ŘÍJEN 2014 MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Odbor řízení

Více

KOMBINATORIKA. Způsob řešení b)

KOMBINATORIKA. Způsob řešení b) / KOMBINATORIKA Příld Určete počet všech přirozeých dvojciferých čísel, v jejichž dedicém zápisu se ždá číslice vysytuje ejvýše jedou. Způsob řešeí ) Kombitoricé prvidlo součiu: Počet všech uspořádých

Více

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I 3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

pro čajovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g a n i z a c e soutěže

pro čajovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g a n i z a c e soutěže H r í ř á d pro čjovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g n i z e soutěže I-1. Vymezení soutěže Soutěž je pořádán pro družstv složená z hráčů, kteří hrjí go pro zpestření svého volného čsu htějí změřit

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

Zhoubný novotvar ledviny mimo pánvičku v ČR

Zhoubný novotvar ledviny mimo pánvičku v ČR Aktuální informce Ústvu zdrvotnických informcí sttistiky České repuliky Prh 8.1.2004 1 Zhouný novotvr ledviny mimo pánvičku v ČR Počet hlášených onemocnění zhouným novotvrem ledviny mimo pánvičku (dg.

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky ELEKTRICKÉ POHONY pro kombiovaé a distačí studium Ivo Neborák Václav Sládeček Ostrava 004 1 Doc. Ig. Ivo Neborák, CSc.,

Více

Deskriptivní geometrie I.

Deskriptivní geometrie I. Středí růmyslová šol eletrotecicá Vyšší odorá šol rduice, Krl IV. 3 esritiví geometrie I. Ig. Rudolf Rožec = = = = rduice 00 Srit jsou urče ro ředmět desritiví geometrie II. ročíu tecicéo lyce jo dolě

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

1.3.5 Řešení slovních úloh pomocí Vennových diagramů II

1.3.5 Řešení slovních úloh pomocí Vennových diagramů II 1.3.5 Řešení slovníh úloh pomoí Vennovýh igrmů II Přepokly: 1304 Pegogiká poznámk: Ieální je poku tto hoin vyje n vičení. Postup stuentů je totiž velmi iniviuální ěljí velké množství hy, oěht elou tříu

Více

Základní údaje. Ing. Zdeněk Jindrák JUDr. Dana Musalová. n Vznik společnosti 29.9.1997. n Obchodní název HYDRA a.s.

Základní údaje. Ing. Zdeněk Jindrák JUDr. Dana Musalová. n Vznik společnosti 29.9.1997. n Obchodní název HYDRA a.s. Základí údaje Vzik společosti 29.9.1997 Obchodí ázev HYDRA a.s. Sídlo: Na Zámecké 1518, 140 00 Praha 4 IČO/DIČ 25610562 / CZ25610562 Předmět podikáí Výroba kodezátorů Provozovy: Průmyslová 1110, Jičí Hradecká

Více

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ Sdělení Ministerstv zhrničníh věí č. 13/2005 S.m.s. Ministerstvo zhrničníh věí sděluje, že dne 20. říjn 2000 yl ve Florenii přijt Evropská úmluv o krjině. Jménem

Více

No. 1 Michal Hlaváček Difuse technologií 2001/3

No. 1 Michal Hlaváček Difuse technologií 2001/3 No. Michl Hlváček Difuse echoloií 200/3 . Úvod Hospodářský vývoj ve svěě proděll v posledích páci leech ěkolik změ, přičemž ekoomická eorie ě věšiou v odpovídjící míře ereovl. Trdičí ekoomické eorie, keré

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Zatížení konstrukcí Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb. Praha : ČNI, 2004.

ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Zatížení konstrukcí Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb. Praha : ČNI, 2004. STÁLÁ UŽITNÁ ZTÍŽENÍ ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Ztížení konstrukcí Objemové tíhy, vlstní tíh užitná ztížení pozemních stveb. Prh : ČNI, 004. 1. Stálá ztížení stálé (pevné) ztížení stvebních prvků zhrnuje

Více

SPS SPRÁVA NEMOVITOSTÍ

SPS SPRÁVA NEMOVITOSTÍ SMLOUVA O REZERVACI POZEMKU A SMLOUVA O BUDOUCÍ SMLOUVĚ O DÍLO Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli: 1. EURO DEVELOPMENT JESENICE, s.r.o., IČ 282 44 451, se sídlem Ječná 550/1, Prh 2, PSČ 120 00, zpsná

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ

Více

Aplikace marginálních nákladů. Oceňování ztrát v distribučním rozvodu

Aplikace marginálních nákladů. Oceňování ztrát v distribučním rozvodu Apliace margiálích áladů Oceňováí ztrát v distribučím rozvodu Učebí text předmětu MES Doc. Ig. J. Vastl, CSc. Celové ročí álady a ztráty N P ( T ) z z sj z wj Kč de N z celové ročí álady a ztráty *Kč+

Více

Základní poznatky z matematiky

Základní poznatky z matematiky Zákldní pozntky z mtemtiky Obsh. Zákldní pozntky z mtemtiky.... Číselné obory..... Celá čísl..... Reálná čísl.... Odmocniny.... Mocniny... 5.. Mocniny se zákldem 0... 5.. Mocniny s přirozeným mocnitelem...

Více

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school Technická univerzit v Liberci FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚHUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ Ktedr: Studijní progrm: Studijní obor: Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky N750 Učitelství pro zákldní školy Učitelství fyziky pro.

Více