1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

Transkript

1 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých oorů 7 Zákldí početí operce 7 Itervl 7 Algerické výrz 9 Polom mohočle) 9 Úprv rcioálích lomeých výrzů vzorce prvidl pro umocňováí) 0 Úprv ircioálích lgerických výrzů prvidl pro odmocňováí) Asolutí hodot reálého čísl Rozkld kvdrtického trojčleu Kotrolí otázk Úloh k smosttému řešeí Výsledk úloh k smosttému řešeí Klíč k řešeí úloh Kotrolí test 7 Výsledk testu 8-9 -

2 Zákld mtemtik ČÍSELNÉ OBORY Číselé oor Průvodce studiem Tto kpitol Zákldů mtemtik je rozděle do tří meších celků t jsou ještě dále rozčleě meší oddíl v ichž je podá stručý přehled těch prtií ze středoškolské mtemtik které potřeujete k pochopeí dlšího učiv Jejím prostudováím si zopkujete doplíte přípdé mezer ve svých mtemtických zlostech Do třetí podkpitol jsou zřze řešeé příkld po ich Úloh k smosttému řešeí s výsledk Jk dlece jste zvládli učivo kpitol si ověříte kotrolím testu Předpokládé zlosti Zát zákldí vlstosti početích opercí komuttivost socitivostdistriutivost) umět mohočle sčítt odečítt ásoit zát výpočet kořeů kvdrtické rovice Některé pojm z mtemtické logik Cíle Cílem této kpitol je stručě se sezámit se zákldími pojm z mtemtické logik teorie moži Výkld Výroková logik VÝROK je vsloveé eo psé tvrzeí o ěmž má smsl rozhodout zd je prvdivé eo eprvdivé přičemž musí stt právě jed z těchto dvou možostí Tvrzeí o ichž v dém okmžiku ejsme schopi říct zd jsou prvdivé či eprvdivé zýváme HYPOTÉZY doměk) Je-li výrok prvdivý pk můžeme tké říct že výrok pltí Je-li výrok eprvdivý pk můžeme tké říct že výrok epltí Výrok ozčujeme velkými písme ltiské eced A B C ) Proměá je smol který ozčuje kterýkoli ojekt z dé moži ojektů - 0 -

3 Zákld mtemtik Logická spojk má smolické ozčeí Číselé oor Pomoci logických spojek vtvoříme z dých výroků výrok ové Zákldí složeé výrok vidíme v ásledující tulce Zákldí se jim říká proto že vzikou použitím pouze jedié logické spojk Smol logické spojk Název složeého výroku egce výroku A A Smolické ozčeí Vjádřeí v jzce výroku eí prvd že A kojukce výroků A B A B A B A zároveň BA i B) disjukce výroků A B A B A eo B eo eí vlučovcí!) implikce výroku A výrokem B A B jestliže A pk B A je postčující podmíkou pro B B je utou podmíkou pro A ekvivlece výroků A B A B A právě tehd kdž B A tehd je tehd kdž B A je utou postčující podmíkou pro B Výrokům se přiřzují tzv prvdivostí hodot Prvdivému výroku se přiřzuje prvdivostí hodot eprvdivému výroku se přiřzuje prvdivostí hodot 0 Tulk prvdivostích hodot zákldích složeých výroků A B A A B A B A B A B Zákldí kvtifikátor Název kvtifikátoru Ozčeí Čteí jzkový výzm Oecý kvtifikátor pro kždé pro všech Eistečí kvtifikátor eistuje lespoň jedo) Kvtifikátor jedozčé eistece! eistuje právě jedo Výrz vtvořeé z koečého počtu výrokových proměých logických spojek přípdých závorek se zývjí výrokové formule Výrokové formule které jsou vžd prvdivé se zývjí tutologie Výrokové formule které jsou vžd eprvdivé se zývjí kotrdikce Výrok vziklé kvtifikcí všech proměých ve výrokové formuli se zývjí výrok s kvtifikátor Uvedeme si je příkldech výroků s jedou proměou - -

4 Zákld mtemtik Číselé oor ) Oecý výrok R 0 prvdivý výrok ) Eistečí výrok R prvdivý výrok c) Výrok o eisteci uicitě! R eprvdivý Moži vzth mezi imi MNOŽINA je souor liovolých vzájem rozlišitelých ojektů které mjí stejou vlstost vzhledem ke které jsou chápá jko jede celek Možiu pokládáme z určeou je-li možo o kždém ojektu jedozčě rozhodout zd do í ptří či ikoliv Kždý z ojektů který ptří do moži se zývá prvek moži K ozčováí moži se většiou používjí velká písme ltiské eced A B M k ozčováí jejich prvků mlá písme Výjimkou je př zčeí v geometrii Zčeí A ojekt je prvkem elemetem) moži A A ojekt eí prvkem elemetem) moži A Moži oshující lespoň jede prvek se zývá eprázdá Moži která eoshuje žádý prvek se zývá prázdá zčí se Z hledisk počtu prvků můžeme moži rozdělit koečé mjí koečý počet prvků prázdá moži eo moži jejíž počet prvků je přirozeé číslo) Počet prvků koečé moži A ozčujeme A ekoečé t které ejsou koečé Způso zdáí moži ) výčtem prvků tj vjmeováím všech prvků moži př M Pozor! moži přirozeých čísel { } Tímto způsoem lze zdt pouze možiu koečou N eí dá výčtem prvků Moži všech jedociferých přirozeých čísel { 789 } M { } ) chrkteristickou vlstostí tj vlstostí kterou mjí právě je prvk zdávé moži - -

5 Zákld mtemtik Číselé oor Prvk moži mohou ýt opět moži Možiu jejímiž prvk jsou jisté moži zýváme sstém moži Vlučuje se přípd moži která oshovl jko prvek smu see přípd moži všech moži Vzth mezi možimi A B vzth smol čteí smolu defiice Ikluze moži A B Rovost moži A B Ostrá ikluze moži A B A B moži A je podmožiou částí) moži B A B moži A se rová možiě B A B moži A je vlstí podmožiou B A je podmožiou B právě kdž kždý prvek moži A je zároveň prvkem moži B A B jsou si rov právě kdž A B zároveň B A A je vlstí podmožiou B právě kdž A B zároveň A B A B A B A B Možiové operce Zákldí operce s možimi A B operce smol defiice Sjedoceí moži A B A B Sjedoceí moži A B je moži všech prvků které ptří lespoň do jedé z moži A B Průik moži A B A B Průik moži A B je moži všech prvků které ptří do moži A zároveň do moži B Rozdíl moži A B A B Rozdíl moži A B je moži všech prvků které ptří do moži A zároveň eptří do moži B Doplěk moži A A Doplěk moži A je moži všech prvků U z moži U které eptří do moži A Pro A B zveme rozdíl B A doplňkem moži A v možiě B Zčíme A Říkáme že moži A je disjuktí s možiou B právě kdž mjí moži A B prázdý průik A B ) tj emjí žádý společý prvek B Řešeá úloh Příkld Jsou dá itervl A<; > B-; ) Určete sjedoceí průik rozdíl těchto itervlů Řešeí A B ; > A B < ; ); A B < ; > ; B A ; ) - -

6 Zákld mtemtik Číselé oor Výkld Krtézské ásoeí moži to je vtvářeí krtézských součiů předstvuje dlší operci s možimi všk podsttě odlišou od zákldích možiových opercí Krtézským součiem moži A moži B který zčíme A B zveme možiu všech uspořádých dvojic jejichž prví čle je liovolý prvek z moži A druhý čle je liovolý prvek z moži B {[ ] A B} A B i j Pro počet prvků krtézského součiu dvou koečých moži A s počtem prvků B i j s počtem prvků m pltí A B A B m Řešeá úloh Příkld Jsou dá moži A{ } B{ } Vtvořte krtézský souči A B B A Řešeí A B {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] } {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] } B A Grfické zázorěí moži ) číselých Číselé moži ejčstěji zázorňujeme číselé ose to uď přímo í eo pomocí vodorových čr rovoěžých s číselou osou Pokud číselá moži oshuje ekoečě moho reálých čísel viz dále) potom jed z možostí jk zpst možiu eo její část je itervl který může le emusí oshovt krjí hodot Pokud krjí hodot itervlu do moži ptří vzčíme tuto hodotu plým kolečkem Pokud do moži eptří vzčíme ji kolečkem prázdým To zd krjí hodot do itervlu ptří či e pozáme podle uzávorkováí itervlu Špičtá závork ozčuje hodotu která ještě do itervlu ptří kultá závork hodotu která již do itervlu eptří - -

7 Zákld mtemtik Číselé oor Řešeá úloh Příkld Je dá moži A { R ; } zázorěte ji číselé ose Výkld ) ečíselých Nečíselé moži moži číselé které z ějkého důvodu elze eo eí vhodé zázorit číselé ose zázorňujeme pomocí tzv možiových digrmů Jedá se o grfické zázorěí moži v roviě Možiové digrm zázorňující vzth mezi možimi operce s možimi se zývjí Veov digrm Číselé oor Cíle Po prostudováí této kpitol měl studet umět ezpečě zřdit dé číslo do příslušého číselého ooru ovládt všech způso jeho zápisu oovit si zlosti zákldích vlstostí početích opercí umět jich vužívt umět zorzit reálá čísl číselé ose Výkld Čísl ázv jejich chrkteristik Jede z ejdůležitějších pojmů mtemtik je pojem čísl Pojem čísl se postupě rozšiřovl prohluovl v souldu s potřemi vývoje lidské společosti Vzth mezi jedotlivými druh čísel vjdřuje ásledující schém - -

8 Zákld mtemtik Číselé oor přirozeá čísl ul záporá čísl celá čísl ecelá rcioálí čísl rcioálí čísl ircioálí čísl reálá čísl imgiárí čísl kompleí čísl Moži všech čísel určitého druhu ve které jsou defiová ez omezeí operce sčítáí ásoeí se zývá oor čísel Ovklé ozčeí ejdůležitějších číselých oorů N oor přirozeých čísel { } N0 oor ezáporých celých čísel {0 } Z oor celých čísel { } Q oor rcioálích čísel { 0 } R oor reálých čísel { 0 π} C oor kompleích čísel viz kp) Pltí tto ikluze N N 0 Z Q R C Přirozeá čísl vjdřují počet prvků koečých eprázdých moži pořdí prvků v uspořádých -ticích Celá čísl umožňují vjádřit eje počt prvků koečých moži le i změ těchto počtů přírůstk útk) Rcioálí čísl v porováí s celými čísl jež jsou jejich speciálím přípdem dovolují víc vjádřit údje o počtech dílů určitého celku Rcioálí číslo je kždé reálé číslo které lze psát ve tvru zlomku p/q kde p je celé číslo q je přirozeé číslo Ircioálí čísl rozvojem jsou chrkterizová ekoečým eperiodickým desetiým Reálá čísl jsou sjedoceím všech rcioálích ircioálích čísel Kompleími čísl se podroě zývá kpitol Zákldů mtemtik - -

9 Zákld mtemtik Číselé oor Chrkteristik číselých oorů ) Oor přirozeých čísel N je uzvře vzhledem k opercím sčítáí ásoeí tz výsledkem těchto opercí je opět přirozeé číslo ) Uzvřeosti vzhledem k operci odčítáí lze docílit rozšířeím ooru N oor Z celých čísel který oshuje přirozeá čísl ulu celá záporá čísl c) Achom docílili uzvřeosti ooru čísel vzhledem k operci děleí číslem růzým od ul) rozšiřuje se oor Z oor rcioálích čísel Q Oor Q je uzvřeý vzhledem k operci sčítáí odčítáí ásoeí děleí d) Sjedoceím rcioálích ircioálích čísel vtvoříme oor reálých čísel R který je uzvřeý vzhledem k opercím sčítáí odčítáí ásoeí děleí Zákldí početí operce Použití čísel si vžádlo zvedeí početích opercí jimiž ke dvěm či více číslům přiřzujeme předepsým způsoem jisté číslo Sčítáí sčítec sčítec součet Odčítáí mešeec mešitel rozdíl Násoeí čiitel čiitel souči Děleí Umocňováí děleec dělitel podíl čittel jmeovtel podíl -tá moci čísl epoet zákld Odmocňováí -tá odmoci čísl Itervl Itervl je kždá moži reálých čísel jejichž orz číselé ose vplňují její souvislou podmožiu Růzé druh itervlů jsou popsá v ásledující tulce - 7 -

10 Zákld mtemtik Číselé oor Moži všech reálých čísel pro která pltí Ozčeí Grfické zázorěí číselé ose < < ) < ) < ) > ) < ) ) R Číslům říkáme krjí od itervlu eo tké meze itervlu dolí horí mez) Liovolý od itervlu který eí jeho krjím odem se zývá vitří od itervlu Vitřích odů itervlu je ekoečě moho Ptří-li k itervlu oě jeho meze zývá se uzvřeý itervl Ptří-li k itervlu jediá z jeho mezí zývá se polouzvřeý eo polootevřeý itervl Neptří-li k itervlu žádá z jeho mezí zývá se otevřeý itervl Řešeá úloh Příkld Jik zpište ) ) < ) ) < ) 0) c) ) 0 ) Řešeí ) < ) ) < 0) c) ) R - 8 -

11 Zákld mtemtik Algerické výrz Číselé oor Cíle Umět používt při úprvách lgerických výrzů vzorce uváděé v jedotlivých podkpitolách Výkld Algerický výrz je výrz zápis) skládjící se z čísel z písme ozčujících proměé jež jsou spoje zk opercí sčítáí odčítáí ásoeí děleí umocňováí odmocňováí Je-li tře oshuje tké závork které určují pořdí prováděí opercí K výrzům oshujícím proměé se připojuje oor proměých Neí-li uvede rozumí se jím ovkle číselý oor R Defiičím oorem D lgerického výrzu jsou podmoži oorů proměých pro jejichž hodot má dý výrz smsl Prvidl pro stovováí defiičího ooru lgerického výrzu jsou ) jmeovtel musí ýt růzý od ul ) pod sudou odmociou esmí ýt záporé číslo Polom mohočle) Jedočle je výrz který vzike součiem kostt moci proměé Polom je součtem ěkolik jedočleů Čle s ejvšší mociou udává stupeň polomu Polom -tého stupě proměé může mít zápis 0 kde 0 Jedočle 0 0 je polom ultého stupěje-li rove ulezývá se ulovým polomem Kořeem polomu zveme kždé reálé číslo které po doszeí z proměou dý polom převede polom ulový Mějme kvdrtický trojčle c s podmíkou že c 0 ozčme jeho koře Pk jeho rozkld v ooru R ude mít teto zápis c ) ) - 9 -

12 Zákld mtemtik Číselé oor Je-li solutí čle c 0 pk pro rozkld kvdrtického dvojčleu pltí ) Je-li 0 >0 c>0 pk kvdrtický dvojčle se dá rozložit tkto c c c ) ) Při úprvách lgerických výrzů používáme tto vzorce ± ) ± ) ) ) ) ) ) ) ) V ooru reálých čísel R jsou kvdrtický dvojčle kvdrtické trojčle ± erozložitelé souči lieárích dvojčleů Úprv rcioálích lomeých výrzů vzorce prvidl pro umocňováí) Při úprvách rcioálích lomeých výrzů se používjí výše uvedeé vzorce o rozkldu mohočleů dále vzorce pro počítáí se zlomk V úlohách o úprvách lomeých výrzů je uté klást podmík že jmeovtel kždého zlomku v původích výrzech i v uprveých tvrech musí ýt růzý od ul Při úprvách výrzů udeme používt tto prvidl pro početí operce se zlomk rozšířeí zlomku číslem k 0 kráceí zlomku číslem k 0 k 0 k 0 k k 0 d 0 k sčítáí zlomků c d c d d c c 0 d 0 odčítáí zlomků c d c d d c c 0 d 0-0 -

13 Zákld mtemtik ásoeí zlomků děleí zlomků úprv složeého zlomku c c 0 d 0 d d c d d 0 d 0 c 0 d c c c d c d 0 d 0 c 0 d c Číselé oor umocňováí pro přirozeá čísl r s pro reálá čísl pltí r s r s r s r s 0 r s rs ) r r r ) r r r 0 r r 0 Řešeé úloh Příkld Zjedodušte lgerický výrz Řešeí ) ) ) ) ) ) ) Podmík řešitelosti výrzu vcházejí z toho že všech výrz ve jmeovtelích musí ýt eulové tkže postupě dostáváme

14 Zákld mtemtik Číselé oor Příkld Zjedodušte lgerický výrz ) Řešeí ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Podmík řešitelosti výrzu eoli společý defiičí oor všech výrz ve jmeovtelích musí ýt eulové tkže postupě dostáváme 0 Výkld Úprv ircioálích lgerických výrzů prvidl pro odmocňováí) Při úprvách ircioálích lgerických výrzů vužíváme poztků o odmociách mociách s rcioálími mociteli prvidel pro početí operce se zlomk Podmík z ichž prováděé úprv mjí smsl především vjdřují že zákld všech sudých odmoci musí ýt ezáporé jmeovtelé zlomků se esmějí rovt ule Prvidl pro počítáí s odmocimi 0) 0 pro 0 m m ) m m m m Z N p p p N Pozámk Odmoci ze součtu se erová součtu odmoci!! - -

15 Zákld mtemtik Číselé oor Řešeá úloh Příkld Uprvte výrz V) s rcioálími epoet převodem odmoci moci Řešeí V) z předpokldu že >0 Výkld Asolutí hodot reálého čísl Kždému reálému číslu je přiřzeo právě jedo reálé číslo tkto pro 0 pro < 0 Toto číslo se zývá solutí hodot reálého čísl Některé vlstosti solutí hodot reálého čísl ) Pro R 0 ) Pro R pro 0 ) Pro R ) Pro k R k > 0 < k k < < k eoli k k) ) Pro R pro 0 pro < 0 Geometrický výzm solutí hodot reálých čísel číselé ose předstvuje vzdáleost orzu čísl od počátku vzdáleost orzů čísel - -

16 Zákld mtemtik Číselé oor Rozkld kvdrtického trojčleu Kvdrtickým trojčleem s eulovými koeficiet c zveme výrz c Je-li diskrimit příslušé kvdrtické rovice D 0 její koře ozčíme pk můžeme provést rozkld kvdrtického trojčleu souči kořeových čiitelů v ooru R c ) ) Je-li koeficiet pk kvdrtický trojčle se zývá ormový s koeficiet p q p q ) ) přičemž pltí p q Řešeá úloh Příkld Uprvte ) ) Řešeí ) 8 8 ) ) 7) 7) 9 7) ) ) z podmík že ± 7 7 ) ) ) ) ) ) ) ) z podmík že ± Pozámk Rozkldem kvdrtického trojčleu se tké zývá kpitol příkld procvičeí jsou uvede pod číslem téže kpitol Kotrolí otázk Umíte přečíst smolická ozčeí? Čeho se týkjí smol? Kolik jste si zpmtovli vzorců z kp? - -

17 Zákld mtemtik Číselé oor Úloh k smosttému řešeí Uprvte stovte podmík ) ) c) d) e) 8 f) Zjedodušte v R dý výrz s mocimi ) 9 ) ) ) 7 z z c) ) ) d) e) f) Výsledk úloh k smosttému řešeí ) 0 ) ) 0 c) 0 ± d) ± e) ± f) ± ) 0 0 ) c) z z 0 0 > > d) 0 0 > > e) 0 0 > > f) 0 > - -

18 Zákld mtemtik Číselé oor Klíč k řešeí úloh Ve všech příkldech je uvede je postup úprv lgerických výrzů ez podmíek ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) c) ) ) d) ) ) ) e) ) ) ) ) 8 ) f) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 9 ) z z z z z z c) ) ) d) 8 9 e) 0 ) ) ) f)

19 Zákld mtemtik Číselé oor Kotrolí test Rozhoděte o prvdivosti výroku { R } ) výrok je prvdivý ) výrok je eprvdivý c) eí to výrok Výčtem prvků zpište možiu C { Z <} ) C { 0 } ) C { 0 } c) C { } Doplěk moži{ R < } v R zpište jko sjedoceí dvou itervlů ) ; > < ; ) ) ; ) < ; ) c) ; ) ; ) d) ; > ; ) Proveďte rozkld kvdrtického polomu ) -)-) ) -)-) c) )-) d) -)) Proveďte úplý rozkld polomu ) -)-) ) )-) c) -)) d) )) Sestvte ormový kvdrtický trojčle jestliže záme koře 8 ) ) c) d) 7 Použitím prvidel pro počítáí s mocimi odmocimi vpočtěte ) 9 ) c) d) 9 8 Zjedodušte uveďte podmík z jkých má dý výrz smsl Výsledek zpište ve tvru odmoci - 7 -

20 Zákld mtemtik Číselé oor ) 7 0 > 0 ) >0 c) 0 > 0 9 Zjedodušte lgerický výrz uveďte podmík řešitelosti ) ) ) 9 ) 9 9 c) ± 0 Zjedodušte lgerický výrz uveďte podmík řešitelosti ) ) ± 0 ) - ± c) ± 0 Výsledk testu ); ); d); ); c); ); 7); 8); 9c); 0) Shrutí lekce N testu jste si ověřili zd vše zlosti jsou výoré 00%) dosttečé 80%) eo si potřeujete ještě vše zovu zopkovt odstrit edosttk při zvládutí uváděých příkldů Zovu si projděte řešeé příkld podle ich si propočítejte úloh k smosttému řešeí Zákldí zlosti početí dovedosti které vcházejí z vřešeí co ejvětšího počtu úloh jsou zárukou úspěšého studi VŠ techického směru Dlší příkld k procvičováí jdete v kterékoliv sírce mtemtik pro středí škol Podroější výkld pojmů z mtemtické logik teorie moži jdete v kpitole předmětu Mtemtik I eo v ěkteré z učeic mtemtik pro gmázi - 8 -