Využití aproximačních funkcí pro kaskádní syntézu filtrů

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Využití aproximačních funkcí pro kaskádní syntézu filtrů"

Transkript

1 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Mteriál louží ouze jko růvodce k mteriálu odrobějšímu, který je dotuý trákách htt:mi.vb.cz Tm jou uvedey i odkzy literturu zče ěkterá zákldí odvozeí. Čílováí obrázků je řevzto z rozáhlejšího mteriálu. I. MOTIVACE Po oužití Llceovy trformce oiujeme modelujeme lieárí obvody omocí obrzových imedcí Z R R ; Z L L ; Z C C, kde je komlexí kmitočet. σ j Pro j řechází Llceov trformce ve Fourierovu trformci řešíme utáleý hrmoický tv běžými metodmi. db R C -3dB Obr. Píví dolí rout. řádu -dbdec MI - červe - ředášk

2 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe - ředášk Přeo truktury obr. je urče vzthem Zvedeme ormový komlexí kmitočet j j σ σ ; ; Σ Σ. Potom ltí ; ; j j Pro >> je log ; db tomu odovídá ymtot e trmotí - dbdec. ; RC

3 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů C db R R log [ K Q 4Q ] C K log K Q R f K-.R f m Q m -4dBdec Obr. Dolí rout Slle-Key,. řádu Přeo truktury obr. je defiová vzthem K K ; ; Q 3 K Q Q RC Sdo lze určit, že ro 3 K < budou reálé čáti ólů řeoové fukce kldé, ytém bude etbilí. MI - červe - ředášk 3

4 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pro >> je K ; log K db 4 log tomu odovídá ymtot e trmotí -4 dbdec. Extrém fukce je defiová obr. m. m Přeo truktury obr. 3 je defiová vzthem kkádí řzeí K Q C R R R d C C d R f K-.R f i Obr. 3 Kkádí řzeí dolí routi Slle-Key. řádu dolí routi. řádu MI - červe - ředášk 4

5 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Modul řeou vyjádřey v db je log K log log Q db Výledek ro áhodě vybré rmetry filtrů je kvlittivě zázorě lou črou obr. 4. db K db m -4dBdec -6dBdec -dbdec Obr. 4 Modul řeou ro trukturu obr. 3 MI - červe - ředášk 5

6 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe - ředášk 6 Je zřejmé, že volbou rmetrů dílčích filtrů obr. 3 zde w Q ; w můžeme dohovt růzé růběhy výledé modulové chrkteritiky truktury. Budeme-li yí ormovt vůči ějkému kmitočtu, obdržíme ormový řeo ro trukturu obr. 3 v odobě 3 K Pro >> je log 6 log ; 3 K K db tomu odovídá ymtot e trmotí -6 dbdec viz obr. 4. Všechy dolí routi tbilí lze ot ormovou řeoovou fukcí... P Kott K v čitteli vzthu eovlivňuje tvr modulu řeou. Polyom... P je muí být urwitzův olyom.

7 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů II. RWITZŮV POLYNOM Muí ltit, že i > ro všech i všech i jou eulová - odmík utá, ikoli otčující. Všechy kořey olyomu P óly řeoové fukce muí ležet v levé otevřeé oloroviě Σ j. Exitují kritéri, která umožňují ro zdý olyom P tovit, zd e jedá o urwitzův olyom. Pro urwitzův olyom ltí P j Re P j j Im P j fázová chrkteritik olyomu Pro j je Re P j udou fukcí ; Im P j je lichou fukcí. Φ P ImP j rctg ReP j Proto P P j Re P j j Im P j P j j P j Re P Im P P j Alytické rodloužeí okrčováí kvdrát modulu lze át v odobě P P P. MI - červe - ředášk 7

8 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe - ředášk 8 Lze odvodit, že ro celou trukturu ltí l l P P Φ - fázová chrkteritik řeou DP G G - kvdrát modulu řeou DP Skuiové zožděí truktury DP jko fukce P, P- je Φ... l P P P P P P d d d d D Záme-li Φ d d D, otom ro je Φ Φ D d d d d d d D III. APROXIMACE DOLNÍC PROPSTÍ DP ledáme řeoové fukce obvodu, které: roximují oždovou řeotí modul modulovou chrkteritiku obvodu filtru b roximují zožděí

9 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů III. Poi vltotí oždvků DP Ideálí DP by vyždovl - filtr by byl ekoečě ložitý erelizovtelý. Modulová chrkteritik reálé dolí routi je obr. 4. j PROPSTNÉ PÁSMO PŘECODOVÉ PÁSMO ε IDEÁLNÍ DP REÁL. DP PÁSMO ÚTLM Obr. 4 Modul řeou ormové dolí routi Modul řeou modelujeme roximujeme čto omocí chrkteritické fukce ϕ j ε ϕ ϕ tk vltě vždy roximuje ulu ro v itervlu ž, ro > muí hodot chrkteritické fukce rychle růt. MI - červe - ředášk 9

10 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pro ormový filtr rimárě oždujeme řeo ε řeo. Modul řeou je rávě ϕ ε ε rmetr filtru ro ormový tvr. Lze odvodit, že ; ε tk defiuje oždovou řeot v ámu routoti je to ekudárí ε α α log ε je útlum v db ovoleý v routém ámu. Modul řeou je rávě ϕ?, roto ltí ε ϕ ; chrkteritická fukce roto muí být α log je oždový útlum v db. ϕ α α Primárí oždvky filtr ormový tedy jou: α ; α. Sekudárí rmetry filtru jou zcel obecě: ε - defiuje chybu zvlěí v ámu routoti ϕ - defiuje odtu modulu řeou v routém ámu ámu útlumu k - defiuje oždovou trmot v ámu řechodovém MI - červe - ředášk

11 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe - ředášk III. Mximálě lochá modulová chrkteritik Vyjděme z elemetárího oiu řeou ro :... : 4 j j j j Lze zjitit ouze lěí odmíky. Odud ±. Volit muíme kldé zméko - urwitzův olyom ; 4 j 3: j. Zjitit lze lěí odmíek:. Pro e jedá o urwitzův olyom 6 3 ; j

12 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů 4:... j Přeo j 8 obdržíme ro 3,633; 3, 44 - urwitzův olyom; le tké ro 3,839;, eí urwitzův olyom!!! Proto 4 3,633 3,44,633 Je zřejmé, že zíkáváme moduly řeou tyu j kde je řád filtru fukce. Jedá e o Butterworthovy olyomy [Butterworth]. Pro vyšší řády již bude obtížé kotrolovt, které koeficiety i z možých řešeí lňují odmíky ro vytvořeí urwitzov olyomu. Proto e volí vhodější otu odvozeí mximálě loché chrkteritiky omocí chrkteritické fukce ϕ. MI - červe - ředášk

13 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů III.. Mximálě lochá modulová chrkteritik určeá omocí chrkteritické fukce Výchozí vzth j j j ε ϕ Alytickým okrčováím v komlexí roviě je vzth j ; j ε ϕ j Při Butterworthově roximci je ϕ ejčtěji ε. Potom - j - j j j 3 db - ro >> je j j log db - rvích derivcí j ro je rovo ule. Póly fukce zjitíme z rovoti db db j - tomu odovídá ymtot dbdec j j j MI - červe - ředášk 3

14 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe - ředášk 4 Vždy ltí j co i π µ π µ µ ; μ,,..., Pro udá ltí i π µ Pro lichá ltí i π µ všechy óly řeou jou v levé čáti komlexí roviy, leží kružici, óly v kldé čáti komlexí roviy tvoří fukci -. III.. Póly řeou určeé omocí chrkteritické fukce; obecě ε Subtituci ε zíkáme vzthy Pro udá [ ] ε ; i ε π µ ε

15 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pro lichá ε [ ] ε Pro ε doteme ředchozí vzthy. Teto tvr záiu je velmi vhodý ro kkádí relizci filtrů řzeí dílčích filtrů. řádu ro udá, řzeí jedoho filtru rvího řádu dílčích filtrů. řádu ro lichá. III..3 Potřebý řád Butterworthov filtru Pltí α α α α α log α log muí být celé čílo. MI - červe - ředášk 5

16 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů III..4 Odhd chyby v routém ámu V měřicích řetězcích může být důležité určeí chyby modulu vůči ideálí hodotě ro <<. Pro ejběžější ituci, kdy e volí ε to odovídá chybě cc 3% ltí ro <<,5 ; Defiujme chybu modulu E,5,5 ; E %,5 5 Frekveci E, které je chyb rávě E% do určíme ze vzthu Pro < E bude ři Butterworthově roximci chyb meší. E E% 5 III.3 Izoextremálí roximce Čebyševov - ledáme olyom, který e tejoměrou odchylkou roximuje ulu v routém ámu. - Chrkteritická fukce ϕ je tvoře Čebyševovými olyomy. je C co rcco je coh rgcoh Pro Pro Potuě tk obdržíme C C corcco C co rcco x rcco cox co C x i x co x co x co x corcco MI - červe - ředášk 6

17 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pltí Pro říkld: C C C 3 C C C Pro modul řeoové fukce yí ltí j j j ε C Z uvedeých vltotí je zřejmé, že ro lichá C j ro udá C ro všech C j ε j ε III.3. Mxim miim řeou v ámu routoti Mxim v ámu routoti vzikjí tm, kde chrkteritická fukce bývá ulových hodot. Pltí odvozeí viz k ředášce řiložeý mteriál μ,,..., ro udé μ,,..., ro liché. MAXµ π coµ MI - červe - ředášk 7

18 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Miim v ámu routoti vzikjí tm, kde chrkteritická fukce hodot ±. Pltí odvozeí viz k ředášce řiložeý mteriál MINµ co µ π III.3. Frekvece 3 ro okle řeou o 3 db V teorii filtrů je důležité zát frekveci, které je okle řeou rávě 3 db, což v šem řídě zmeá, že muí rávě ltit j3, tedy ε C 3 ; tedyε coh rg coh 3. Odud lze určit odvozeí viz k ředášce řiložeý mteriál 3 coh rg coh ; ε ε III.3.3 Potřebý řád filtru α α Zcel obecě bylo odvozeo ε ϕ, kde jα e oždový útlum v db α je ovoleá chyb zde zvlěí v ámu routoti v db ro rovo ž. Pro Čebyševovu roximci tedy ltí yí již ejme v routém ámu; >, že odvozeí viz k ředášce řiložeý mteriál α C α α α rgcoh α rgcoh muí být celé čílo. MI - červe - ředášk 8

19 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů III.3.4 rčeí ólů řeoové fukce ro Čebyševovu roximci Potu je hodý jko u Butterworthovy roximce. Pouze řešeí roblému je oěkud ložitější, hledáme óly v ámu routoti, kde ltí, že < : ; ε ϕ j ε C j ; C j co rcco j ± j ε ε ϕ j Zvedeme ubtituci rcco j u jv, kde u, v jou již reálá číl. Výledkem je v rg ih π π Σ µ ih vi ε µ ; µ coh v co µ otom do určíme, že Odud určíme, že Σ π µ ; µ µ π µ ih v i coh v co π π Σ ih v coh v i µ co µ µ µ Kořey μ olyomu reálé čáti kořeů záoré leží elie, v levé čáti komlexí roviy. Kořey kldou reálou čátí, áležející olyomu -, leží tejé elie v rvé čáti komlexí roviy. MI - červe - ředášk 9

20 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Σµ µ Pro udá ltí ε Σµ Σµ Σµ µ V ěkterých zdrojích e ro udá rcuje e vzthem B Σ Σ Dod je zřejmý z kvlittivího zobrzeí obr. 5. µ µ µ µ j PROPSTNÉ PÁSMO PŘECODOVÉ PÁSMO j PROPSTNÉ PÁSMO PŘECODOVÉ PÁSMO ε ε B PÁSMO ÚTLM ε PÁSMO ÚTLM Obr. 5 Kvlittiví orováí modulů B ro Obr. 6 Kvlittiví zobrzeí modulu řeou ro 3 Pro lichá ltí ih v Σµ µ ih v Σ Σ µ µ µ MI - červe - ředášk

21 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů III.4 Srováí Butterworthovy Čebyševovy roximce Kvlittiví zobrzeí ro 3 je obr. 6. Při řeou igálů imulového chrkteru hrje kuiové zožděí vážou roli ideálě by mělo být kottí. Tomu odovídá lieárí závilot fáze frekveci. Z hledik kuiového zožděí je vhodější roximce Butterworthov ež Čebyševov ři jik rovtelých rmetrech modulu řeou. To je zřejmé ze zázmu řeou imulů dolích routí obr. 7 obr. 8. Obr. 7 Přeo imulu, Butterworthův filtr 5. řádu, dolí rout kz Obr. 8 Přeo imulu, Čebyševův filtr 5. řádu, zvlěí 3 db, dolí rout kz MI - červe - ředášk

22 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Skuiové zožděí D Butterworthových filtrů růzého řádu je obr. 9. D [] Obr. 9 MI - červe - ředášk

23 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Příkld kuiových zožděí D Čebyševových filtrů je kvlittivě obr.. D [] Obr. Exitují i roximce, kde e otimlizuje kuiové zožděí D. MI - červe - ředášk 3

24 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe - ředášk 4 IV. MAXIMÁLNĚ PLOCÝ PRŮBĚ SKPINOVÉO ZPOŽDĚNÍ Kritériem ro roximci je yí růběh kuiového zožděí D. Vyjděme z elemetárích dříve uvedeých vzthů. Pro : j j j ; rctg Re Im rctg Φ j P j P Φ d d D 4... D Pro dožeí mximálě lochého růběhu kuiového zožděí můžeme zjitit hodu koeficietů u tejých moci v čitteli jmeovteli, ro tedy:. Volíme-li ormové zožděí D, muí ltit 3 Pltí tedy, že kuiové zožděí má mximálě lochý růběh ro Pro 3 : 3 j j j Obdobým zůobem určíme, že kuiové zožděí má mximálě lochý růběh ro

25 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Předvedeý otu je ro větší hodoty obtížý. Vhodější otu vyrcovl Storch. Sdo určíme, že ormový řeo ex j ex j ex j má modul ezávile jeho fáze Φ. Skuiové zožděí ormové hodotu ro tuto řeoovou fukci je D dφ d, což je ideálí tv z hledik kuiového zožděí. Pltí ovšem McLuriov řd ekoečě ložitým ytémem. Pokud e omezíme ouze řdu koečé délky omezeou, ořezou ex x k ex x x k!. Ideálí řešeí by tedy bylo relizováo x k k!, ukázlo e, že již ro 5 obhuje rovice k x vždy komlexě družeé kořey, jejichž reálá čát je kldá, ejedá e tedy o urwitzův olyom! k! Tkové ytémy by ebyly tbilí, tedy emá myl je relizovt. Zde e využije jié vltoti urwitzov olyomu. Předokládejme, že máme olyom řádu P S L k Polyom S tvoří čley e udou mociou ; olyom L tvoří čley lichou mociou. Nutou otčující odmíkou ro urwitzův olyom je, že všechy koeficiety v rozvoji odílu S L řetězové zlomky jou kldé. Vrťme e yí k řeou ex! 3! ! 5! 6!... Záme tedy udou i lichou čát oždového řeou můžeme určit odíl k 4 6 3! 4! 6!... 3! 5!... coh ih MI - červe - ředášk 5

26 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů coh ih 4 6! 4! 6! ! 5! Pokud yí oždujeme roximci řádu, je oledím čleem řetězového zlomku čle. Řetězový zlomek tk roximuje lieárí růběh fáze mximálě lochý obdobě jko tomu bylo modulem řeou u Butterworthovy roximce. Po elemetárích úrvách zíkáme udou lichou čát urwitzov roximčího olyomu, jejich oučtem obdržíme Beelovy olyomy. Pro tedy ltí coh ih 3 3 3, tedy P Poždový řeo lieárí fází je V [Blbi] je uvede ro Beelovu roximci obecý vzth ve tvru b b ; B k k bk b k! k k! k! rověž e uvádí rekuretí vzth B B B MI - červe - ředášk 6

27 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pokud chceme zíkt i yí vzthy vhodé ro kkádí relizci, muíme určit kořey rovic B b B oět rozložit oučiy dílčích fukcí druhého řádu ro udé. Pro liché ouze řibude jede dílčí čle rvího řádu tb.. Z rktických důvodů budeme dále ro kkádí relizce oužívt obecě zái: k Ak k k -ro udé A b b b b bk Ak b - ro liché k k k k b b b - 3, 3, - - 3,3 85 3, , ,79 4 9,4 3 4,7 579, , , ,7 48 4, ,56 35 Tb. odoty dílčích fukcí ro Beelovu roximci Útlumové chrkteritiky Beelových filtrů řevráceá hodot řeou jou obr.. Frekvece okleu řeou o 3 db jou uvedey v tbulce. Průběhy kuiového zožděí jou obr.. Přeo imulu ro Beelův Thomoův filtr 5. řádu je obr. 3. MI - červe - ředášk 7

28 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů α db Obr. řád filtru 3 4 5,36,75,3,4 3 Tb. Beelovy filtry frekv. okleu řeou o 3 db D [] Obr. Obr. 3 Přeo imulu, Beelův filtr 5. řádu, dolí rout kz Je zřejmé, že chováí Beelových Thomoových filtrů v čové oblti je ejleší. MI - červe - ředášk 8

29 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Tbulky k obecému záiu otimlizový zái ro kkádí relizci filtrů Butterworthových Čebyševových b b b -,45 65, ,66 456,66 456, ,35 76,63 59,846 68, ,36 3,3 96,35 784,586 45, Tb.3 Čebyševovy filtry DP zvlěí α, 5 db b b b -,83 86, ,368 9,368 9, ,9 775,98 675,56 44, 568 5,8 38,34 9,95 67,353 3,393 5 Tb.3c Čebyševovy filtry DP zvlěí α db b b b -,97 734, ,494 7,494 7, ,79 7,986 55, , ,89 493,78 97,988 35,468 4,49 98 Tb.3b Čebyševovy filtry DP zvlěí α db Řád filtru zvlěí v ámu routém α,5 db db db,39,8,74 3,68,95,33 4,93,53,8 5,59,34, Tb. 3d 3-dB frekvece Čebyševových filtrů 3 b b b -,44 4, - - 3,,, , ,, , 5,,68 34,,68 34, Tb.4 Butterworthovy filtry rčeí koeficietů je zřejmé ze vzthů tr. 4 Butterworthov roximce, b i tr.. Čebyševov roximce. MI - červe - ředášk 9

30 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů IV. FREKVENČNÍ TRANSFORMACE Byl defiová komlexí ormový kmitočet, zde rerezetuje chrkteritickou vltot celého filtru. σ j Σ j ro který byly odvozey všechy vltoti ormových DP. Jedá e ouze o změu měřítk, k techicky otřebým hodotám e vrátíme zákldí ubtitucí deormlizce, odormováí, ormová DP deormlizová DP Nříkld z ormové dolí routi 3. řádu liché tk obdržíme ředokládáme jedotkový řeo b b b b b b b b Kkádí relizce bude obhovt jedu dolí rout rvího řádu chrkteritickým kmitočtem b jedu dolí rout. řádu DP chrkteritickým kmitočtem b - orováme-li řeo DP běžým techickým záiem modelem Q Rověž je zřejmé, že muí ltit Q Q b b. Pro dílčí olyomy DP. řádu tedy bude vždy ltit, že jim odovídjící chrkteritická dílčí frekvece je MI - červe - ředášk 3

31 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe - ředášk 3 k b k čiitel jkoti je k k k b Q Je li liché, ltí ro řeo rvího řádu dílčí b Tyto rmetry otřebujeme zát ro techickou relizci rvků kkádího řeoového řetězce tyu dolí rout. Trformce DP horí rout P Použijeme ubtituci Jko říkld oět oužijme ormovou DP 3. řádu DP rototy: b b b b b b b b b b b Kkádí relizce bude obhovt jedu horí rout rvího řádu chrkteritickým kmitočtem b jedu horí rout. řádu P chrkteritickým kmitočtem b - orováme-li řeo P běžým techickým záiem modelem Q

32 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů. Q b Q b b b b Rověž je zřejmé, že muí ltit Pro dílčí olyomy P. řádu tedy bude vždy ltit, že jim odovídjící chrkteritická dílčí frekvece je čiitel jkoti je k b k Q b k k k Je li liché, ltí ro řeo rvího řádu dílčí b Tyto rmetry otřebujeme zát ro techickou relizci rvků kkádího řeoového řetězce tyu horí rout. Porováím zjitíme, že óly řeoových fukcí DP P e obecě liší. Pouze ro Butterworthovu roximci, kde b k ro ε e oloh ólů řeoových fukcí eliší. Trformce DP ámovou rout PP Vezměme z zákld ormový řeo dolí routi oždujme ámovou rout. řádu model běžě oužívý v techické rxi. Muí otom ltit rovot Q Q Elemetárími úrvmi doějeme ke vzthu, který je v litertuře ro tuto trformci uvádě: MI - červe - ředášk 3

33 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Q kde výrz Q defiuje oždovou šířku roouštěého ám. Je zřejmé, že ři tomto dozeí do řeou DP rototyu e řád filtru zdvojáobí roti ůvodímu řádu DP rototyu. Trformce DP ámovou zádrž PZ Vezměme z zákld ormový řeo dolí routi oždujme zádrž. řádu model běžě oužívý v techické rxi. Muí otom ltit rovot Q Elemetárími úrvmi doějeme i yí ke vzthu, který je v litertuře ro tuto trformci uvádě: kde výrz Q defiuje oždovou šířku zdržového ám. Q Je zřejmé, že i ři tomto dozeí do řeou DP rototyu e řád filtru zdvojáobí roti ůvodímu řádu DP rototyu. MI - červe - ředášk 33

34 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů V. PŘÍKLAD APROXIMACE A REALIZACE Poždujeme DP, α,3 db f kz. Je oždová útlum α db f 4, 58 kz. 4 rčíme π ; 4,58, 458, td. Zvole byl Čebyševov roximce. Podrobé odvozeí dikue - viz k ředášce řiložeý mteriál. Poždvkům vyhovuje ormlizová fukce,798,798,885,798, ,65 4 4,58 5, ,58 4,58 Je zřejmé, že b,798;,798; b,885; Q b, 555. Pro relizci oždových vltotí mezí frekvecí celého filtru 4 π f 6,83 jedu dolí rout. řádu chrkteritickou frekvecí dílčí 4 rd tedy otřebujeme jedu dolí rout. řádu chrkteritickou dílčí frekvecí 4,58 rd oklee o 3 db frekveci f f,9 f, 9kz. Možé relizce áledují ,9 F 9 4 5,65 7,37 rd čiitelem jkoti Q 555, 4. Přeo k k k 7,9 F k 3,559 k i,9 F Obr. 4 Čebyševov dolí rout 3. řádu e zvlěím,3 db; f kz MI - červe - ředášk 34

35 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů 9 4 5,65 4,58 Této truktuře odovídá řeoová fukce K,3559, ,58 5,65 4,58 Vrity oddělovcím zeilovčem jou dikutováy v řiložeém mteriálu obr.5 obr.6. Obrovkou výhodou hor oých filtrů je to, že můžeme velmi do tvovt čiitel jkoti eměí e chrkteritický kmitočet dílčího filtru. řádu. Součě e změou čiitele jkoti e ovšem měí i řeo K ízkých kmitočtech. Příkld relizci omocí čleu RLC je obr. 8. R L R d C K K C C d Obr. 8 Čebyševov dolí rout e zvlěím,3 db ideálě řeoem ; f kz; K oddělovcí zeilovč; R R d k; C 4,53 F; L 43,65 m; C d,9 F N obr. 9. jou hruty výledky ro truktury jedotkovým řeoem. Přeo truktury je ice rove jedé, mohem obtížější je ovšem tveí čiitele jkoti - muíme tále udržovt kottí ouči C C, ři rktickém tvováí tedy muíme měit obě 3 R kcity. Vždy e jedá o dolí rout 3. řádu okleem řeou o 3 db frekveci,9 kz. Z odtty oužitých vzthů je zřejmé, že změ chrkteritických frekvecí řelděí zámé truktury je velmi dá, chrkteritiky roximcí jou řitom zchováy. Potřebujeme li hodotu f 3 zvětšit,9 kz tedy deetkrát, tčí zmešit všechy odory R deetkrát. Nebo hodoty všech kcit zmešíme deetkrát. Nebo odory zmešíme dvkrát kodezátory ětkrát odle možotí rktické relizce. Máme li trukturu chrkteritickou frekvecí f 3 f oždujeme ovou frekveci f 3 k f 3; f k f, doáheme toho volbou R R k kodezátory eměíme ebo Ci C i k odory eměíme ebo RCi R C i k měíme odory i kodezátory. Pro k meší ež jed ižováí frekvece to mozřejmě vede ke zvětšováí hodot oučátek roti výchozímu tvu. MI - červe - ředášk 35

36 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů C 3 R R R C C Obr. 9 Dolí rout 3. řádu; f 3, 9 kz okle řeou o 3 db; R 5 C 4,55 F; C 3, F; C 3 9, F - Čebyševov dolí rout e zvlěím,3 db; f kz b C 8,633 F; C 4,365 F; C 3 7,66 F - Butterworthov dolí rout; f,9 kz c C 6,5 F; C 4,3 F; C 3 8, F - Beelov dolí rout; f 7,3 kz Moduly řeou růběhy fáze ro dé roximce jou áledujících obrázcích. MI - červe - ředášk 36

37 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů f [z] Moduly řeou v db ro obr. 9: Butterworthov roximce Čebyševov roximce Beelov roximce MI - červe - ředášk 37

38 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů f [z] Fáze řeou ve ro obr. 9: Butterworthov roximce Čebyševov roximce Beelov roximce MI - červe - ředášk 38

39 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů 6 D f [z] Skuiové zožděí v μ ro obr. 9: Butterworthov roximce Čebyševov roximce Beelov roximce MI - červe - ředášk 39

40 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů VI. ISTORIE Z kotextu je zřejmé, že ve jmeovteli řeoové fukce muí být vždy urwitzův olyom. Pouze v tom řídě je obvod tbilí tedy i relizovtelý. Tto roblemtik byl tudová již v 9. toletí, tejě jko roblemtik roximcí. MI - červe - ředášk 4

41 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe - ředášk 4

42 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Str MI - červe - ředášk 4

43 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe - ředášk 43

44 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Chebyhev, P. L., Théorie de mécime cou ou le om de rllélogrmme, Mém. Acd. Sci. Péterb , Alo to be foud i Oeuvre de P. L. Tchebychef, Volume, -43, Chele, New York, 96, from where thi er w ced.... MI - červe - ředášk 44

45 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Zolotrev, E. I., Prilozheie ellitichekikh fukcij k vorom o fukciykh, jmeee i ibolee otkloyykchikhy ot uly, Oeuvre de E. I. Zolotrev, Volume, Izdt. Akd. Nuk SSSR, Leigrd, 93,. -59 i Rui. The Eglih title i ``Alictio of ellitic fuctio to roblem of fuctio devitig let d mot from zero''. The origil ered i Ziki St-Peterburg Akd. Nuk MI - červe - ředášk 45

elektrické filtry Jiří Petržela základní pojmy

elektrické filtry Jiří Petržela základní pojmy Jiří Petržela základí ojmy základí ojmy z oblati elektrických filtrů základí ojmy elektrický filtr je lieárí dvojbra, který bez útlumu roouští je určité kmitočtové ložky, které obahuje vtuí igál rouštěé

Více

Využití aproximačních funkcí pro kaskádní syntézu filtrů

Využití aproximačních funkcí pro kaskádní syntézu filtrů Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů I. MOTIVACE Lieárí obvody rektčími rvky jou oáy itegrodifereciálími rovicemi. Použití Llceovy trformce

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže Regulace apětí v ES Základí pricip regulace v ES si ukážeme a defiici statických charakteristik zátěže Je zřejmé, že výko odebíraý spotřebitelem je závislý a frekveci a apětí a přípojicích spotřebitelů.

Více

Směrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 4 Verze 4 je shodná se Směrnicí 1/2011 verze 3, pouze byla rozšířena o robustní analýzu

Směrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 4 Verze 4 je shodná se Směrnicí 1/2011 verze 3, pouze byla rozšířena o robustní analýzu Směrce /0 Stattcké vyhodocováí dat, verze 4 Verze 4 e hodá e Směrcí /0 verze 3, ouze byla rozšířea o robutí aalýzu. Stattcké metody ro zkoušeí zůoblot Cílem tattcké aalýzy výledků zkoušek ř zkouškách zůoblot

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzt Krlov v Prze Pegogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM 00/00 CIFRIK Záí: Vyšetřete všem probrým prostřeky polyom 0 0 Vyprcováí: Pole věty: Rcoálí kořey. Nechť p Q je koře polyomu

Více

Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení

Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení V úvodí èásti [] volého cylu èláù yl uvede struèý pøehled proletiy ejistot v ìøeí, pøilíže historicý vývoj v této olsti zèey dùvody výhody používáí souèsé odifice v širších souvislostech eziárodí etrologie

Více

5.1. Pojem posloupnosti čísel 152 5.1.1. Grafické znázornění posloupnosti 154 5.1.2. Některé vlastnosti posloupností 155 Kontrolní otázky 157

5.1. Pojem posloupnosti čísel 152 5.1.1. Grafické znázornění posloupnosti 154 5.1.2. Některé vlastnosti posloupností 155 Kontrolní otázky 157 Zákldy mtemtiky Poloupoti 5 POSLOUPNOSTI A ŘADY 5 5 Pojem poloupoti číel 5 5 Grfické zázorěí poloupoti 5 5 Některé vltoti poloupotí 55 Kotrolí otázky 57 5 Aritmetická poloupot 58 5 Součet prvích čleů ritmetické

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

Z-TRANSFORMACE. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Hálkova 6, 461 17 Liberec 1, CZ. Teorie automatického řízení II. Katedra řídicí techniky

Z-TRANSFORMACE. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Hálkova 6, 461 17 Liberec 1, CZ. Teorie automatického řízení II. Katedra řídicí techniky Čílcové říí Příloh EHNIKÁ UNIVERIA V LIBERI Hálov 6, 46 7 Lbrc, Fult mchtro moborových žýrých tudí or utomtcého říí II -RANSFORMAE Studí mtrál oc Ig Ovld Modrlá, Sc Ktdr řídcí tch oc Ig Ovld Modrlá, Sc

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost Poloupoti Růzým způobem (rekuretě i jik zdé poloupoti Urči prvích pět čleů poloupoti, ve které, + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo:, + + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo: 0,, Urči prvích

Více

Regulace frekvence a velikosti napětí Řízení je spojeno s dodávkou a přenosem činného a jalového výkonu v soustavě.

Regulace frekvence a velikosti napětí Řízení je spojeno s dodávkou a přenosem činného a jalového výkonu v soustavě. 18. Řízeí elektrizačí soustavy ES je spojeí paralelě pracujících elektráre, přeosových a rozvodých sítí se spotřebiči. Provoz je optimálě spolehlivá hospodárá dodávka kvalití elektrické eergie. Stěžejími

Více

Základní elementární funkce.

Základní elementární funkce. 6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika 02a Racionální čísla. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika 02a Racionální čísla. Text a příklady. Čílo ojektu CZ..07/..00/4.074 Název školy Movké gymnázium Bno..o. Auto Temtiká olt Mg. Mie Chdimová Mg. Vě Jeřáková Mtemtik 0 Rionální číl. Text říkldy. Ročník. Dtum tvoy.. 0 Anote ) o žáky jko text látky,

Více

Vážeí zákazíci dovolujeme si Vás upozorit že a tuto ukázku kihy se vztahují autorská práva tzv. copyright. To zameá že ukázka má sloužit výhradì pro osobí potøebu poteciálího kupujícího (aby èteáø vidìl

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí

Více

4.5.9 Vznik střídavého proudu

4.5.9 Vznik střídavého proudu 4.5.9 Vzik střídavého proudu Předpoklady: 4508 Miulá hodia: Pokud se v uzavřeém závitu měí magetický idukčí tok, idukuje se v ěm elektrické apětí =. Př. 1: Vodorově orietovaá smyčka se pohybuje rovoměrě

Více

a q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0)

a q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0) ..9 Úlohy geometickou poloupotí Předpokldy: 0, 0 Pedgogická pozámk: Při řešeí příkldů potupujeme tk, by Ti ejpomlejší počítli lepoň příkldy,,,. Souh vzoců pvidel po geometickou poloupot: + - pozávcí zmeí

Více

Obr. Z1 Schéma tlačné stanice

Obr. Z1 Schéma tlačné stanice Části a mechaismy strojů III Předmět : 34750/0 Části a mechaismy strojů III Cvičí : Doc Ig Jiří Havlík, PhD Ročík : avazující Školí rok : 00 0 Semestr : zimí Zadáí cvičeí Navrhěte a kostrukčě zracujte

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava ENERGETIKA U ŘÍZENÝCH ELEKTRICKÝCH POHONŮ. 1.

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava ENERGETIKA U ŘÍZENÝCH ELEKTRICKÝCH POHONŮ. 1. Katedra obecé eletrotechiy Faulta eletrotechiy a iformatiy, VŠB - TU Ostrava EERGETIKA U ŘÍZEÝCH EEKTRICKÝCH POHOŮ Předmět : Rozvody eletricé eergie v dolech a lomech. Úvod: Světový tred z hledisa eletricé

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů

Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů Číslicová filtrace Použití : Separace sigálů Restaurace sigálů Číslicové filtry Aalogové x číslicové filtry : Aalogové Číslicové: + levé + rychlé + velký dyamický rozsah (v amplitudě i frekveci) - evhodé

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Výpočet planetových soukolí pomocí maticových metod

Výpočet planetových soukolí pomocí maticových metod Česé Vysoé Učeí Techcé v ze Fult stojí Techcá 4, h 6, 166 07 Výočet letových souolí omocí mtcových metod Výzumá záv áce byl odoová Výzumým cetem Josef Bož Záv č.: Z 02-07 Auto: Gbel Achteová Se, 2002 1

Více

Měřící technika - MT úvod

Měřící technika - MT úvod Měřící techika - MT úvod Historie Už Galileo Galilei zavádí vědecký přístup k měřeí. Jeho výrok Měřit vše, co je měřitelé a co eí měřitelým učiit platí stále. - jedotá soustava jedotek fyz. veliči - símače

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

Soustava kapalina + tuhá látka Izobarický fázový diagram pro soustavu obsahující vodu a chlorid sodný

Soustava kapalina + tuhá látka Izobarický fázový diagram pro soustavu obsahující vodu a chlorid sodný Soustv kpl + tuhá látk Izobrcký fázový dgrm pro soustvu obshující vodu chlord sodý t / o C H 2 O (s) + esyceý roztok 30 20 10 0-10 -20 t I t II esyceý roztok 2 1 p o NCl (s) + syceý roztok eutektcký bod

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

Termodynamický popis chemicky reagujícího systému

Termodynamický popis chemicky reagujícího systému 5. CHEMICKÉ ROVNOVÁHY Všechny chemcké rekce směřují k dynmcké rovnováze, v níž jsou řítomny jk výchozí látky tk rodukty, které všk nemjí jž tendenc se měnt. V řdě řídů je všk oloh rovnováhy tk osunut ve

Více

( a ) s. Exponenciální rovnice teorie. Exponenciální rovnice ukázkové úlohy. Příklad 1.

( a ) s. Exponenciální rovnice teorie. Exponenciální rovnice ukázkové úlohy. Příklad 1. eg. č. pojektu CZ..07/..0/0.0007 Eponenciální ovnice teoie - ovnice, ve kteých e neznámá vykytuje v eponentu Řešíme je v záviloti n typu ovnice několik zákldními metodmi. A. metod převedení n tejný zákld

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

8.2.7 Vzorce pro geometrickou posloupnost

8.2.7 Vzorce pro geometrickou posloupnost 7 Vzoce po geometicou poloupot Předpoldy: 0, 0 Př : Po geometicou poloupot pltí ; q Uči čle, iž by učovl Mohli bychom pomocí vzoce po -tý čle učit čle p pomocí tejého vzoce učit i Teto potup je ložitější

Více

2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 2. část: Základy matematického programováí, dopraví úloha. 1 Úvodí pomy Metody a podporu rozhodováí lze obecě dělit a: Eaktí metody metody zaručuící alezeí optimálí řešeí, apř. Littlův algortimus, Hakimiho

Více

1.2.2 Síly II. Předpoklady: 1201

1.2.2 Síly II. Předpoklady: 1201 1.. Síly II Předoklady: 101 Oakování z minulé hodiny: Pohyb a jeho změny zůobují íly. Pro každou ravou ílu můžeme najít: ůvodce (těleo, které ji zůobuje), cíl (těleo, na které íla ůobí), artnerkou ílu

Více

Interakce světla s prostředím

Interakce světla s prostředím Iterakce světla s prostředím světlo dopadající rozptyl absorpce světlo odražeé světlo prošlé prostředím ODRAZ A LOM The Light Fatastic, kap. 2 Light rays ad Huyges pricip, str. 31 Roviá vla E = E 0 cos

Více

ť ť ť ó ť Ž ť ť ó Č ň ů ť ť ť ť ů ňť ť ů ť ť ť ť ť Č Č Č Í Ý Ý ť Č Č ť Š Č ď ť Ý Ú ť ó ť ó ď ů ň Ó ť ť ó ň Ř ó Ó É ď ó Ň ň ť Č ň ó Ý Ý ť Ý Ý ó Ž Ý Č Ř Ý ť Ý ť Ň ť ť Č Á Š Č Ž Č ť ť ů Č ů Č Č ť Č Ú ď ó

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Ě Ý Í Č í ří í Ř ř ř ří é í í í Ž ř é ř é č ů í é é ž č é č é ž í ů é č í é é ž í í Ž Ž é ú í ř é é Íí ř ů é ž č ů ú í ů ů ú é í í č í í é ř é ů ů í é ř é í ů ž í Í é Í Ř ř ů ř ů ž í é í č í č í í ří í

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

Zadávání pomocí Obrazového přenosu

Zadávání pomocí Obrazového přenosu Zdáváí poocí Ozového přeou Defiice: kde: Jko Lplceův oz výtupí veličiy ku Lplceově ozu vtupí veličiy při ulových počátečích podíkách zlev.. +... +. + 0.(. +... +. je řád ttiu + je řád outvy V Mtlu e po

Více

Mocniny, odmocniny, úpravy. Repetitorium z matematiky

Mocniny, odmocniny, úpravy. Repetitorium z matematiky Mociy, odmociy, úpvy lgeických výzů epetitoium z mtemtiky Podzim Iv culová . Mociy přiozeým celým mocitelem Po kždé eálé čílo kždé přiozeé čílo pltí:... čiitelů moci Zákld mociy (mocěec) mocitel (expoet)

Více

20. Kontingenční tabulky

20. Kontingenční tabulky 0. Kotigečí tabulky 0.1 Úvodí ifomace V axi e velmi častá situace, kdy vyšetřueme aedou dva statistické zaky, kteé sou svou ovahou diskétí kvatitativí( maí řesě staoveý koečý očet všech možostí ); soité

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

V následující tabulce jsou uvedeny jednotky pro objemový a hmotnostní průtok.

V následující tabulce jsou uvedeny jednotky pro objemový a hmotnostní průtok. 8. Měření růtoků V následující tabulce jsou uvedeny jednotky ro objemový a hmotnostní růtok. Základní vztahy ro stacionární růtok Q M V t S w M V QV ρ ρ S w ρ t t kde V [ m 3 ] - objem t ( s ] - čas, S

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA 1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA V této kpitole se ozvíte: co rozumíme lgebrickým výrzem; jk jsou efinovány zlomky jké záklní operce s nimi prováíme; jk je

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

5.1. Úvod. [s] T = 5. Mení hydraulického rázu

5.1. Úvod. [s] T = 5. Mení hydraulického rázu 5. Mení hydrulického rázu 5. Mení hydrulického rázu 5.1. Úvod Pi neutáleném proudní kpliny v potrubí odpovídjí všem zmnám prtoku i zmny tlku. Zmny tlku vyvolné hydrulickým rázem mohou dohovt znných hodnot

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Jaroslav Hlava. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Jaroslav Hlava. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Jaroslav Hlava THIKÁ UIVZIT V LII Fakulta mechatroniky, informatiky a meioborových stuií Tento materiál vnikl v rámci rojektu F Z..7/../7.47 eflexe ožaavků růmyslu na výuku v oblasti automatického říení

Více

Ideální struktura MIS Metal-Insulator-Semiconductor M I S P. Ideální struktura MIS. Ideální struktura MIS. Ochuzení. Akumulace U = 0 U > 0 U < 0 U = 0

Ideální struktura MIS Metal-Insulator-Semiconductor M I S P. Ideální struktura MIS. Ideální struktura MIS. Ochuzení. Akumulace U = 0 U > 0 U < 0 U = 0 truktura M Akuulace, ochuzeí, slabá a silá iverze rahové apětí, způsob vziku iverzí vrstv Kapacitor M, proud dielektrickou vrstvou razistor MOF truktura, pricip čiosti deálí VA charakteristika odporová

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů 6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu.

Více

M R 8 P % 8 P5 8 P& & %

M R 8 P % 8 P5 8 P& & % ážení zákazníci dovolujeme si ás upozornit že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva tzv. copyright. To znamená že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH Zpracováo v rámci projektu " Vzděláváí pro kokureceschopost - kokureceschopost pro Třeboňsko", registračí číslo CZ.1.07/1.1.10/02.0063 Gymázium, Třeboň, Na Sadech 308 Autor:

Více

Průchod paprsků různými optickými prostředími

Průchod paprsků různými optickými prostředími Průchod paprsků růzými optickými prostředími Materiál je urče pouze jako pomocý materiál pro studety zapsaé v předmětu: A4M38VBM, ČVUT- FEL, katedra měřeí, 05 Před A4M38VBM 05, J. Fischer, kat. měřeí,

Více

DYNAMIC PROPERTIES OF ELECTRONIC GYROSCOPES FOR INERTIAL MEASUREMENT UNITS

DYNAMIC PROPERTIES OF ELECTRONIC GYROSCOPES FOR INERTIAL MEASUREMENT UNITS DYNAMIC PROPERTIES OF ELECTRONIC GYROSCOPES FOR INERTIAL MEASUREMENT UNITS Jiří Tůma & Jiří Kulháek Abstract: The paper deals with the dyamic properties of the electroic gyroscope as a sesor of agular

Více

sin n sin n 1 n 2 Obr. 1: K zákonu lomu

sin n sin n 1 n 2 Obr. 1: K zákonu lomu MĚŘENÍ INDEXU LOMU REFRAKTOMETREM Jedou z charakteristických optických veliči daé látky je absolutím idexu lomu. Je to podíl rychlosti světla ve vakuu c a v daém prostředí v: c (1) v Průchod světla rozhraím

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

VYUŽITÍ MATLABU PŘI NÁVRHU FUZZY LOGICKÉHO REGULÁTORU. Ing. Aleš Hrdlička

VYUŽITÍ MATLABU PŘI NÁVRHU FUZZY LOGICKÉHO REGULÁTORU. Ing. Aleš Hrdlička VYUŽITÍ MATLABU PŘI NÁVRHU FUZZY LOGICKÉHO REGULÁTORU Ing. Aleš Hrdlička Katedra technické kybernetiky a vojenké robotiky Vojenká akademie v Brně E-mail: hrdlicka@c.vabo.cz Úvod Tento článek popiuje jednoduchou

Více

PREDIKCE HLOUBKY VNIKU BALISTICKÝCH TĚLES DO BLOKU NÁHRADNÍHO MATERIÁLU BIOLOGICKÝCH TKÁNÍ V BALISTICKÉM EXPERIMENTU

PREDIKCE HLOUBKY VNIKU BALISTICKÝCH TĚLES DO BLOKU NÁHRADNÍHO MATERIÁLU BIOLOGICKÝCH TKÁNÍ V BALISTICKÉM EXPERIMENTU Ž I L I N S K Á U N I V E R Z I V Ž I L I N E F K U L B E Z P E Č N O S N É H O I N Ž I N I E R S V KRÍZOVÝ MNŽMEN - /15 PREDIKCE HLOUBKY VNIKU BLISICKÝCH ĚLES DO BLOKU NÁHRDNÍHO MERIÁLU BIOLOGICKÝCH KÁNÍ

Více

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:

Více

Parametry kvality elektrické energie ČÁST 6: OMEZENÍ ZPĚTNÝCH VLIVŮ NA HROMADNÉ DÁLKOVÉ OVLÁDÁNÍ

Parametry kvality elektrické energie ČÁST 6: OMEZENÍ ZPĚTNÝCH VLIVŮ NA HROMADNÉ DÁLKOVÉ OVLÁDÁNÍ Podiková orma eergetiky pro rozvod elektrické eergie ČEZ Distribuce, E.ON CZ, E.ON Distribuce, PRE Distribuce, ČEPS, ZSE Parametry kvality elektrické eergie ČÁST 6: OMEZENÍ ZPĚTNÝCH VLIVŮ NA HROMADNÉ DÁLKOVÉ

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

ZÁKLADNÍ POJMY OPTIKY

ZÁKLADNÍ POJMY OPTIKY Záš pojmy A. Popiš aspoň jede fyzikálí experimet měřeí rychlosti světla. - viz apříklad Michelsoův, Fizeaův, Roemerův pokus. Defiuj a popiš fyzikálí veličiu idex lomu. - je to bezrozměrá fyzikálí veličia

Více

Elektrické přístroje. Přechodné děje při vypínání

Elektrické přístroje. Přechodné děje při vypínání VŠB - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky Katedra elektrických strojů a řístrojů Předmět: Elektrické řístroje Protokol č.5 Přechodé děje ři vyíáí Skuia: Datum: Vyracoval: - -

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

ř ř ď ř ř ř ř é é ř ř é ř ř ř ú ů ů Ý ř ř ň é é ř ť ř ř ř ř ř é ř ř Í Ú é é ř ř ř ř ř ř ú ů ů ů Č é Ž ř ř ň Ž é ú ř ů ř ř é ú ů ř ř é ů ř ú ř é ř ú ř ů ú é ú é ř Ť ř ů ř ů ů ú ů ř ů ř ř ř ť ž Í é ž ú ř

Více

Západočeská univerzita. Lineární systémy 2

Západočeská univerzita. Lineární systémy 2 Západočeská univerzita FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD Lineární systémy Semestrální práce vypracoval: Jan Popelka, Jiří Pročka 1. květen 008 skupina: pondělí 7-8 hodina 1) a) Jelikož byly měřící přípravky nefunkční,

Více

1. Trapézový plech poloha pozitivní (betonem jsou vyplněna úzká žebra) TR 50/250-1mm. Tloušťka Hmotnost PL Ý PRŮŘEZ EFEKTIV Í PRŮŘEZ

1. Trapézový plech poloha pozitivní (betonem jsou vyplněna úzká žebra) TR 50/250-1mm. Tloušťka Hmotnost PL Ý PRŮŘEZ EFEKTIV Í PRŮŘEZ Příkld 0: Nvrhěte pouďte protě uložeou oelobetoovou tropii rozpětí 6 m včetě poouzeí trpézového plehu jko ztreého beděí. - rozteč tropi m - tloušťk betoové dek elkem 00 mm - oel S 5 - beto C 0/5 - užité

Více

CVIČENÍ 1 - část 3: PROVOZNÍ STAVY VZDUCHOTECHNICKÉ JEDNOTKY

CVIČENÍ 1 - část 3: PROVOZNÍ STAVY VZDUCHOTECHNICKÉ JEDNOTKY CVIČENÍ 1 - část 3: PROVOZNÍ STAVY VZDUCHOTECHNICKÉ JEDNOTKY Na úvod řehled Jak vyočítat množství řiváděného vzduchu - ouze řiomenutí a ár dolňkových informací Množství řiváděného vzduchu V : Standardně:

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým

Více

Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace

Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace Periodicita v časové řadě, její popis a idetifikace 1 Periodicita Některé časové řady obsahují periodickou složku. Pomocí vybraých ástrojů spektrálí aalýzy budeme tuto složku idetifikovat. Mějme fukci

Více