Využití aproximačních funkcí pro kaskádní syntézu filtrů

Transkript

1 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Mteriál louží ouze jko růvodce k mteriálu odrobějšímu, který je dotuý trákách htt:mi.vb.cz Tm jou uvedey i odkzy literturu zče ěkterá zákldí odvozeí. Čílováí obrázků je řevzto z rozáhlejšího mteriálu. I. MOTIVACE Po oužití Llceovy trformce oiujeme modelujeme lieárí obvody omocí obrzových imedcí Z R R ; Z L L ; Z C C, kde je komlexí kmitočet. σ j Pro j řechází Llceov trformce ve Fourierovu trformci řešíme utáleý hrmoický tv běžými metodmi. db R C -3dB Obr. Píví dolí rout. řádu -dbdec MI - červe - ředášk

2 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe - ředášk Přeo truktury obr. je urče vzthem Zvedeme ormový komlexí kmitočet j j σ σ ; ; Σ Σ. Potom ltí ; ; j j Pro >> je log ; db tomu odovídá ymtot e trmotí - dbdec. ; RC

3 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů C db R R log [ K Q 4Q ] C K log K Q R f K-.R f m Q m -4dBdec Obr. Dolí rout Slle-Key,. řádu Přeo truktury obr. je defiová vzthem K K ; ; Q 3 K Q Q RC Sdo lze určit, že ro 3 K < budou reálé čáti ólů řeoové fukce kldé, ytém bude etbilí. MI - červe - ředášk 3

4 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pro >> je K ; log K db 4 log tomu odovídá ymtot e trmotí -4 dbdec. Extrém fukce je defiová obr. m. m Přeo truktury obr. 3 je defiová vzthem kkádí řzeí K Q C R R R d C C d R f K-.R f i Obr. 3 Kkádí řzeí dolí routi Slle-Key. řádu dolí routi. řádu MI - červe - ředášk 4

5 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Modul řeou vyjádřey v db je log K log log Q db Výledek ro áhodě vybré rmetry filtrů je kvlittivě zázorě lou črou obr. 4. db K db m -4dBdec -6dBdec -dbdec Obr. 4 Modul řeou ro trukturu obr. 3 MI - červe - ředášk 5

6 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe - ředášk 6 Je zřejmé, že volbou rmetrů dílčích filtrů obr. 3 zde w Q ; w můžeme dohovt růzé růběhy výledé modulové chrkteritiky truktury. Budeme-li yí ormovt vůči ějkému kmitočtu, obdržíme ormový řeo ro trukturu obr. 3 v odobě 3 K Pro >> je log 6 log ; 3 K K db tomu odovídá ymtot e trmotí -6 dbdec viz obr. 4. Všechy dolí routi tbilí lze ot ormovou řeoovou fukcí... P Kott K v čitteli vzthu eovlivňuje tvr modulu řeou. Polyom... P je muí být urwitzův olyom.

7 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů II. RWITZŮV POLYNOM Muí ltit, že i > ro všech i všech i jou eulová - odmík utá, ikoli otčující. Všechy kořey olyomu P óly řeoové fukce muí ležet v levé otevřeé oloroviě Σ j. Exitují kritéri, která umožňují ro zdý olyom P tovit, zd e jedá o urwitzův olyom. Pro urwitzův olyom ltí P j Re P j j Im P j fázová chrkteritik olyomu Pro j je Re P j udou fukcí ; Im P j je lichou fukcí. Φ P ImP j rctg ReP j Proto P P j Re P j j Im P j P j j P j Re P Im P P j Alytické rodloužeí okrčováí kvdrát modulu lze át v odobě P P P. MI - červe - ředášk 7

8 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe - ředášk 8 Lze odvodit, že ro celou trukturu ltí l l P P Φ - fázová chrkteritik řeou DP G G - kvdrát modulu řeou DP Skuiové zožděí truktury DP jko fukce P, P- je Φ... l P P P P P P d d d d D Záme-li Φ d d D, otom ro je Φ Φ D d d d d d d D III. APROXIMACE DOLNÍC PROPSTÍ DP ledáme řeoové fukce obvodu, které: roximují oždovou řeotí modul modulovou chrkteritiku obvodu filtru b roximují zožděí

9 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů III. Poi vltotí oždvků DP Ideálí DP by vyždovl - filtr by byl ekoečě ložitý erelizovtelý. Modulová chrkteritik reálé dolí routi je obr. 4. j PROPSTNÉ PÁSMO PŘECODOVÉ PÁSMO ε IDEÁLNÍ DP REÁL. DP PÁSMO ÚTLM Obr. 4 Modul řeou ormové dolí routi Modul řeou modelujeme roximujeme čto omocí chrkteritické fukce ϕ j ε ϕ ϕ tk vltě vždy roximuje ulu ro v itervlu ž, ro > muí hodot chrkteritické fukce rychle růt. MI - červe - ředášk 9

10 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pro ormový filtr rimárě oždujeme řeo ε řeo. Modul řeou je rávě ϕ ε ε rmetr filtru ro ormový tvr. Lze odvodit, že ; ε tk defiuje oždovou řeot v ámu routoti je to ekudárí ε α α log ε je útlum v db ovoleý v routém ámu. Modul řeou je rávě ϕ?, roto ltí ε ϕ ; chrkteritická fukce roto muí být α log je oždový útlum v db. ϕ α α Primárí oždvky filtr ormový tedy jou: α ; α. Sekudárí rmetry filtru jou zcel obecě: ε - defiuje chybu zvlěí v ámu routoti ϕ - defiuje odtu modulu řeou v routém ámu ámu útlumu k - defiuje oždovou trmot v ámu řechodovém MI - červe - ředášk

11 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe - ředášk III. Mximálě lochá modulová chrkteritik Vyjděme z elemetárího oiu řeou ro :... : 4 j j j j Lze zjitit ouze lěí odmíky. Odud ±. Volit muíme kldé zméko - urwitzův olyom ; 4 j 3: j. Zjitit lze lěí odmíek:. Pro e jedá o urwitzův olyom 6 3 ; j

12 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů 4:... j Přeo j 8 obdržíme ro 3,633; 3, 44 - urwitzův olyom; le tké ro 3,839;, eí urwitzův olyom!!! Proto 4 3,633 3,44,633 Je zřejmé, že zíkáváme moduly řeou tyu j kde je řád filtru fukce. Jedá e o Butterworthovy olyomy [Butterworth]. Pro vyšší řády již bude obtížé kotrolovt, které koeficiety i z možých řešeí lňují odmíky ro vytvořeí urwitzov olyomu. Proto e volí vhodější otu odvozeí mximálě loché chrkteritiky omocí chrkteritické fukce ϕ. MI - červe - ředášk

13 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů III.. Mximálě lochá modulová chrkteritik určeá omocí chrkteritické fukce Výchozí vzth j j j ε ϕ Alytickým okrčováím v komlexí roviě je vzth j ; j ε ϕ j Při Butterworthově roximci je ϕ ejčtěji ε. Potom - j - j j j 3 db - ro >> je j j log db - rvích derivcí j ro je rovo ule. Póly fukce zjitíme z rovoti db db j - tomu odovídá ymtot dbdec j j j MI - červe - ředášk 3

14 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe - ředášk 4 Vždy ltí j co i π µ π µ µ ; μ,,..., Pro udá ltí i π µ Pro lichá ltí i π µ všechy óly řeou jou v levé čáti komlexí roviy, leží kružici, óly v kldé čáti komlexí roviy tvoří fukci -. III.. Póly řeou určeé omocí chrkteritické fukce; obecě ε Subtituci ε zíkáme vzthy Pro udá [ ] ε ; i ε π µ ε

15 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pro lichá ε [ ] ε Pro ε doteme ředchozí vzthy. Teto tvr záiu je velmi vhodý ro kkádí relizci filtrů řzeí dílčích filtrů. řádu ro udá, řzeí jedoho filtru rvího řádu dílčích filtrů. řádu ro lichá. III..3 Potřebý řád Butterworthov filtru Pltí α α α α α log α log muí být celé čílo. MI - červe - ředášk 5

16 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů III..4 Odhd chyby v routém ámu V měřicích řetězcích může být důležité určeí chyby modulu vůči ideálí hodotě ro <<. Pro ejběžější ituci, kdy e volí ε to odovídá chybě cc 3% ltí ro <<,5 ; Defiujme chybu modulu E,5,5 ; E %,5 5 Frekveci E, které je chyb rávě E% do určíme ze vzthu Pro < E bude ři Butterworthově roximci chyb meší. E E% 5 III.3 Izoextremálí roximce Čebyševov - ledáme olyom, který e tejoměrou odchylkou roximuje ulu v routém ámu. - Chrkteritická fukce ϕ je tvoře Čebyševovými olyomy. je C co rcco je coh rgcoh Pro Pro Potuě tk obdržíme C C corcco C co rcco x rcco cox co C x i x co x co x co x corcco MI - červe - ředášk 6

17 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pltí Pro říkld: C C C 3 C C C Pro modul řeoové fukce yí ltí j j j ε C Z uvedeých vltotí je zřejmé, že ro lichá C j ro udá C ro všech C j ε j ε III.3. Mxim miim řeou v ámu routoti Mxim v ámu routoti vzikjí tm, kde chrkteritická fukce bývá ulových hodot. Pltí odvozeí viz k ředášce řiložeý mteriál μ,,..., ro udé μ,,..., ro liché. MAXµ π coµ MI - červe - ředášk 7

18 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Miim v ámu routoti vzikjí tm, kde chrkteritická fukce hodot ±. Pltí odvozeí viz k ředášce řiložeý mteriál MINµ co µ π III.3. Frekvece 3 ro okle řeou o 3 db V teorii filtrů je důležité zát frekveci, které je okle řeou rávě 3 db, což v šem řídě zmeá, že muí rávě ltit j3, tedy ε C 3 ; tedyε coh rg coh 3. Odud lze určit odvozeí viz k ředášce řiložeý mteriál 3 coh rg coh ; ε ε III.3.3 Potřebý řád filtru α α Zcel obecě bylo odvozeo ε ϕ, kde jα e oždový útlum v db α je ovoleá chyb zde zvlěí v ámu routoti v db ro rovo ž. Pro Čebyševovu roximci tedy ltí yí již ejme v routém ámu; >, že odvozeí viz k ředášce řiložeý mteriál α C α α α rgcoh α rgcoh muí být celé čílo. MI - červe - ředášk 8

19 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů III.3.4 rčeí ólů řeoové fukce ro Čebyševovu roximci Potu je hodý jko u Butterworthovy roximce. Pouze řešeí roblému je oěkud ložitější, hledáme óly v ámu routoti, kde ltí, že < : ; ε ϕ j ε C j ; C j co rcco j ± j ε ε ϕ j Zvedeme ubtituci rcco j u jv, kde u, v jou již reálá číl. Výledkem je v rg ih π π Σ µ ih vi ε µ ; µ coh v co µ otom do určíme, že Odud určíme, že Σ π µ ; µ µ π µ ih v i coh v co π π Σ ih v coh v i µ co µ µ µ Kořey μ olyomu reálé čáti kořeů záoré leží elie, v levé čáti komlexí roviy. Kořey kldou reálou čátí, áležející olyomu -, leží tejé elie v rvé čáti komlexí roviy. MI - červe - ředášk 9

20 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Σµ µ Pro udá ltí ε Σµ Σµ Σµ µ V ěkterých zdrojích e ro udá rcuje e vzthem B Σ Σ Dod je zřejmý z kvlittivího zobrzeí obr. 5. µ µ µ µ j PROPSTNÉ PÁSMO PŘECODOVÉ PÁSMO j PROPSTNÉ PÁSMO PŘECODOVÉ PÁSMO ε ε B PÁSMO ÚTLM ε PÁSMO ÚTLM Obr. 5 Kvlittiví orováí modulů B ro Obr. 6 Kvlittiví zobrzeí modulu řeou ro 3 Pro lichá ltí ih v Σµ µ ih v Σ Σ µ µ µ MI - červe - ředášk

21 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů III.4 Srováí Butterworthovy Čebyševovy roximce Kvlittiví zobrzeí ro 3 je obr. 6. Při řeou igálů imulového chrkteru hrje kuiové zožděí vážou roli ideálě by mělo být kottí. Tomu odovídá lieárí závilot fáze frekveci. Z hledik kuiového zožděí je vhodější roximce Butterworthov ež Čebyševov ři jik rovtelých rmetrech modulu řeou. To je zřejmé ze zázmu řeou imulů dolích routí obr. 7 obr. 8. Obr. 7 Přeo imulu, Butterworthův filtr 5. řádu, dolí rout kz Obr. 8 Přeo imulu, Čebyševův filtr 5. řádu, zvlěí 3 db, dolí rout kz MI - červe - ředášk

22 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Skuiové zožděí D Butterworthových filtrů růzého řádu je obr. 9. D [] Obr. 9 MI - červe - ředášk

23 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Příkld kuiových zožděí D Čebyševových filtrů je kvlittivě obr.. D [] Obr. Exitují i roximce, kde e otimlizuje kuiové zožděí D. MI - červe - ředášk 3

24 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe - ředášk 4 IV. MAXIMÁLNĚ PLOCÝ PRŮBĚ SKPINOVÉO ZPOŽDĚNÍ Kritériem ro roximci je yí růběh kuiového zožděí D. Vyjděme z elemetárích dříve uvedeých vzthů. Pro : j j j ; rctg Re Im rctg Φ j P j P Φ d d D 4... D Pro dožeí mximálě lochého růběhu kuiového zožděí můžeme zjitit hodu koeficietů u tejých moci v čitteli jmeovteli, ro tedy:. Volíme-li ormové zožděí D, muí ltit 3 Pltí tedy, že kuiové zožděí má mximálě lochý růběh ro Pro 3 : 3 j j j Obdobým zůobem určíme, že kuiové zožděí má mximálě lochý růběh ro

25 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Předvedeý otu je ro větší hodoty obtížý. Vhodější otu vyrcovl Storch. Sdo určíme, že ormový řeo ex j ex j ex j má modul ezávile jeho fáze Φ. Skuiové zožděí ormové hodotu ro tuto řeoovou fukci je D dφ d, což je ideálí tv z hledik kuiového zožděí. Pltí ovšem McLuriov řd ekoečě ložitým ytémem. Pokud e omezíme ouze řdu koečé délky omezeou, ořezou ex x k ex x x k!. Ideálí řešeí by tedy bylo relizováo x k k!, ukázlo e, že již ro 5 obhuje rovice k x vždy komlexě družeé kořey, jejichž reálá čát je kldá, ejedá e tedy o urwitzův olyom! k! Tkové ytémy by ebyly tbilí, tedy emá myl je relizovt. Zde e využije jié vltoti urwitzov olyomu. Předokládejme, že máme olyom řádu P S L k Polyom S tvoří čley e udou mociou ; olyom L tvoří čley lichou mociou. Nutou otčující odmíkou ro urwitzův olyom je, že všechy koeficiety v rozvoji odílu S L řetězové zlomky jou kldé. Vrťme e yí k řeou ex! 3! ! 5! 6!... Záme tedy udou i lichou čát oždového řeou můžeme určit odíl k 4 6 3! 4! 6!... 3! 5!... coh ih MI - červe - ředášk 5

26 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů coh ih 4 6! 4! 6! ! 5! Pokud yí oždujeme roximci řádu, je oledím čleem řetězového zlomku čle. Řetězový zlomek tk roximuje lieárí růběh fáze mximálě lochý obdobě jko tomu bylo modulem řeou u Butterworthovy roximce. Po elemetárích úrvách zíkáme udou lichou čát urwitzov roximčího olyomu, jejich oučtem obdržíme Beelovy olyomy. Pro tedy ltí coh ih 3 3 3, tedy P Poždový řeo lieárí fází je V [Blbi] je uvede ro Beelovu roximci obecý vzth ve tvru b b ; B k k bk b k! k k! k! rověž e uvádí rekuretí vzth B B B MI - červe - ředášk 6

27 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pokud chceme zíkt i yí vzthy vhodé ro kkádí relizci, muíme určit kořey rovic B b B oět rozložit oučiy dílčích fukcí druhého řádu ro udé. Pro liché ouze řibude jede dílčí čle rvího řádu tb.. Z rktických důvodů budeme dále ro kkádí relizce oužívt obecě zái: k Ak k k -ro udé A b b b b bk Ak b - ro liché k k k k b b b - 3, 3, - - 3,3 85 3, , ,79 4 9,4 3 4,7 579, , , ,7 48 4, ,56 35 Tb. odoty dílčích fukcí ro Beelovu roximci Útlumové chrkteritiky Beelových filtrů řevráceá hodot řeou jou obr.. Frekvece okleu řeou o 3 db jou uvedey v tbulce. Průběhy kuiového zožděí jou obr.. Přeo imulu ro Beelův Thomoův filtr 5. řádu je obr. 3. MI - červe - ředášk 7

28 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů α db Obr. řád filtru 3 4 5,36,75,3,4 3 Tb. Beelovy filtry frekv. okleu řeou o 3 db D [] Obr. Obr. 3 Přeo imulu, Beelův filtr 5. řádu, dolí rout kz Je zřejmé, že chováí Beelových Thomoových filtrů v čové oblti je ejleší. MI - červe - ředášk 8

29 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Tbulky k obecému záiu otimlizový zái ro kkádí relizci filtrů Butterworthových Čebyševových b b b -,45 65, ,66 456,66 456, ,35 76,63 59,846 68, ,36 3,3 96,35 784,586 45, Tb.3 Čebyševovy filtry DP zvlěí α, 5 db b b b -,83 86, ,368 9,368 9, ,9 775,98 675,56 44, 568 5,8 38,34 9,95 67,353 3,393 5 Tb.3c Čebyševovy filtry DP zvlěí α db b b b -,97 734, ,494 7,494 7, ,79 7,986 55, , ,89 493,78 97,988 35,468 4,49 98 Tb.3b Čebyševovy filtry DP zvlěí α db Řád filtru zvlěí v ámu routém α,5 db db db,39,8,74 3,68,95,33 4,93,53,8 5,59,34, Tb. 3d 3-dB frekvece Čebyševových filtrů 3 b b b -,44 4, - - 3,,, , ,, , 5,,68 34,,68 34, Tb.4 Butterworthovy filtry rčeí koeficietů je zřejmé ze vzthů tr. 4 Butterworthov roximce, b i tr.. Čebyševov roximce. MI - červe - ředášk 9

30 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů IV. FREKVENČNÍ TRANSFORMACE Byl defiová komlexí ormový kmitočet, zde rerezetuje chrkteritickou vltot celého filtru. σ j Σ j ro který byly odvozey všechy vltoti ormových DP. Jedá e ouze o změu měřítk, k techicky otřebým hodotám e vrátíme zákldí ubtitucí deormlizce, odormováí, ormová DP deormlizová DP Nříkld z ormové dolí routi 3. řádu liché tk obdržíme ředokládáme jedotkový řeo b b b b b b b b Kkádí relizce bude obhovt jedu dolí rout rvího řádu chrkteritickým kmitočtem b jedu dolí rout. řádu DP chrkteritickým kmitočtem b - orováme-li řeo DP běžým techickým záiem modelem Q Rověž je zřejmé, že muí ltit Q Q b b. Pro dílčí olyomy DP. řádu tedy bude vždy ltit, že jim odovídjící chrkteritická dílčí frekvece je MI - červe - ředášk 3

31 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe - ředášk 3 k b k čiitel jkoti je k k k b Q Je li liché, ltí ro řeo rvího řádu dílčí b Tyto rmetry otřebujeme zát ro techickou relizci rvků kkádího řeoového řetězce tyu dolí rout. Trformce DP horí rout P Použijeme ubtituci Jko říkld oět oužijme ormovou DP 3. řádu DP rototy: b b b b b b b b b b b Kkádí relizce bude obhovt jedu horí rout rvího řádu chrkteritickým kmitočtem b jedu horí rout. řádu P chrkteritickým kmitočtem b - orováme-li řeo P běžým techickým záiem modelem Q

32 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů. Q b Q b b b b Rověž je zřejmé, že muí ltit Pro dílčí olyomy P. řádu tedy bude vždy ltit, že jim odovídjící chrkteritická dílčí frekvece je čiitel jkoti je k b k Q b k k k Je li liché, ltí ro řeo rvího řádu dílčí b Tyto rmetry otřebujeme zát ro techickou relizci rvků kkádího řeoového řetězce tyu horí rout. Porováím zjitíme, že óly řeoových fukcí DP P e obecě liší. Pouze ro Butterworthovu roximci, kde b k ro ε e oloh ólů řeoových fukcí eliší. Trformce DP ámovou rout PP Vezměme z zákld ormový řeo dolí routi oždujme ámovou rout. řádu model běžě oužívý v techické rxi. Muí otom ltit rovot Q Q Elemetárími úrvmi doějeme ke vzthu, který je v litertuře ro tuto trformci uvádě: MI - červe - ředášk 3

33 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Q kde výrz Q defiuje oždovou šířku roouštěého ám. Je zřejmé, že ři tomto dozeí do řeou DP rototyu e řád filtru zdvojáobí roti ůvodímu řádu DP rototyu. Trformce DP ámovou zádrž PZ Vezměme z zákld ormový řeo dolí routi oždujme zádrž. řádu model běžě oužívý v techické rxi. Muí otom ltit rovot Q Elemetárími úrvmi doějeme i yí ke vzthu, který je v litertuře ro tuto trformci uvádě: kde výrz Q defiuje oždovou šířku zdržového ám. Q Je zřejmé, že i ři tomto dozeí do řeou DP rototyu e řád filtru zdvojáobí roti ůvodímu řádu DP rototyu. MI - červe - ředášk 33

34 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů V. PŘÍKLAD APROXIMACE A REALIZACE Poždujeme DP, α,3 db f kz. Je oždová útlum α db f 4, 58 kz. 4 rčíme π ; 4,58, 458, td. Zvole byl Čebyševov roximce. Podrobé odvozeí dikue - viz k ředášce řiložeý mteriál. Poždvkům vyhovuje ormlizová fukce,798,798,885,798, ,65 4 4,58 5, ,58 4,58 Je zřejmé, že b,798;,798; b,885; Q b, 555. Pro relizci oždových vltotí mezí frekvecí celého filtru 4 π f 6,83 jedu dolí rout. řádu chrkteritickou frekvecí dílčí 4 rd tedy otřebujeme jedu dolí rout. řádu chrkteritickou dílčí frekvecí 4,58 rd oklee o 3 db frekveci f f,9 f, 9kz. Možé relizce áledují ,9 F 9 4 5,65 7,37 rd čiitelem jkoti Q 555, 4. Přeo k k k 7,9 F k 3,559 k i,9 F Obr. 4 Čebyševov dolí rout 3. řádu e zvlěím,3 db; f kz MI - červe - ředášk 34

35 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů 9 4 5,65 4,58 Této truktuře odovídá řeoová fukce K,3559, ,58 5,65 4,58 Vrity oddělovcím zeilovčem jou dikutováy v řiložeém mteriálu obr.5 obr.6. Obrovkou výhodou hor oých filtrů je to, že můžeme velmi do tvovt čiitel jkoti eměí e chrkteritický kmitočet dílčího filtru. řádu. Součě e změou čiitele jkoti e ovšem měí i řeo K ízkých kmitočtech. Příkld relizci omocí čleu RLC je obr. 8. R L R d C K K C C d Obr. 8 Čebyševov dolí rout e zvlěím,3 db ideálě řeoem ; f kz; K oddělovcí zeilovč; R R d k; C 4,53 F; L 43,65 m; C d,9 F N obr. 9. jou hruty výledky ro truktury jedotkovým řeoem. Přeo truktury je ice rove jedé, mohem obtížější je ovšem tveí čiitele jkoti - muíme tále udržovt kottí ouči C C, ři rktickém tvováí tedy muíme měit obě 3 R kcity. Vždy e jedá o dolí rout 3. řádu okleem řeou o 3 db frekveci,9 kz. Z odtty oužitých vzthů je zřejmé, že změ chrkteritických frekvecí řelděí zámé truktury je velmi dá, chrkteritiky roximcí jou řitom zchováy. Potřebujeme li hodotu f 3 zvětšit,9 kz tedy deetkrát, tčí zmešit všechy odory R deetkrát. Nebo hodoty všech kcit zmešíme deetkrát. Nebo odory zmešíme dvkrát kodezátory ětkrát odle možotí rktické relizce. Máme li trukturu chrkteritickou frekvecí f 3 f oždujeme ovou frekveci f 3 k f 3; f k f, doáheme toho volbou R R k kodezátory eměíme ebo Ci C i k odory eměíme ebo RCi R C i k měíme odory i kodezátory. Pro k meší ež jed ižováí frekvece to mozřejmě vede ke zvětšováí hodot oučátek roti výchozímu tvu. MI - červe - ředášk 35

36 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů C 3 R R R C C Obr. 9 Dolí rout 3. řádu; f 3, 9 kz okle řeou o 3 db; R 5 C 4,55 F; C 3, F; C 3 9, F - Čebyševov dolí rout e zvlěím,3 db; f kz b C 8,633 F; C 4,365 F; C 3 7,66 F - Butterworthov dolí rout; f,9 kz c C 6,5 F; C 4,3 F; C 3 8, F - Beelov dolí rout; f 7,3 kz Moduly řeou růběhy fáze ro dé roximce jou áledujících obrázcích. MI - červe - ředášk 36

37 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů f [z] Moduly řeou v db ro obr. 9: Butterworthov roximce Čebyševov roximce Beelov roximce MI - červe - ředášk 37

38 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů f [z] Fáze řeou ve ro obr. 9: Butterworthov roximce Čebyševov roximce Beelov roximce MI - červe - ředášk 38

39 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů 6 D f [z] Skuiové zožděí v μ ro obr. 9: Butterworthov roximce Čebyševov roximce Beelov roximce MI - červe - ředášk 39

40 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů VI. ISTORIE Z kotextu je zřejmé, že ve jmeovteli řeoové fukce muí být vždy urwitzův olyom. Pouze v tom řídě je obvod tbilí tedy i relizovtelý. Tto roblemtik byl tudová již v 9. toletí, tejě jko roblemtik roximcí. MI - červe - ředášk 4

41 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe - ředášk 4

42 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Str MI - červe - ředášk 4

43 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe - ředášk 43

44 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Chebyhev, P. L., Théorie de mécime cou ou le om de rllélogrmme, Mém. Acd. Sci. Péterb , Alo to be foud i Oeuvre de P. L. Tchebychef, Volume, -43, Chele, New York, 96, from where thi er w ced.... MI - červe - ředášk 44

45 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Zolotrev, E. I., Prilozheie ellitichekikh fukcij k vorom o fukciykh, jmeee i ibolee otkloyykchikhy ot uly, Oeuvre de E. I. Zolotrev, Volume, Izdt. Akd. Nuk SSSR, Leigrd, 93,. -59 i Rui. The Eglih title i ``Alictio of ellitic fuctio to roblem of fuctio devitig let d mot from zero''. The origil ered i Ziki St-Peterburg Akd. Nuk MI - červe - ředášk 45