Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t."

Transkript

1 ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz jsou výrz v ichž se vsktují pouze reálá čísl Většiou jí podobu čísl, součtu, rozdílu, součiu ebo podílu Provede-li všech početí výko, které obshuje číselý výrz, dostee hodotu tohoto výrzu Npříkld, + 6,78 7, ( ) + Algebrický výrz je číselý výrz s proěou V těchto výrzech se vsktují vedle reálých čísel tké proěé Npříkld, + 6,78 7t 6,78 Loeý výrze rozuíe podíl dvou výrzů, které píšee ve tvru zloku Loeý lgebrický výrze se zývá tkový loeý výrz, který á v čitteli ebo jeovteli lespoň jedu proěou S loeýi výrz počítáe jko se zlok Příkld Určete hodotu lgebrického výrzu pro Příkld Určete hodotu lgebrického výrzu ( ) ( ) ) 0, pro pro 0 stejého příkldu jko z pro ( odstrň odociu ze jeovtele ) stejého příkldu jko z pro - (odstrň odociu ze jeovtele ) Důležitou součástí práce s lgebrickýi výrz je určeí podíek řešitelosti dých výrzů ( kd á výrz ssl ) POZOR jeovtel zloku se esí rovt ule

2 ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Příkld Určete podík řešitelosti výrzů ) 6 ( ) ( ) g) 0, 7 h) 6 Řešeí ) ( )( + ) ( ) ( ) ( ) g) 0, > 0 ( zákld odoci eůže být záporý ) 7 >, > h) ) > 0 ( ze stejého důvodu jko v předcházející příkldě > -6 > - Příkld Určete podík řešitelosti výrzů ) + ( ) 6 ( ) g) ( ) ( )( ) h) ( )( ) ( ) ch) 7 i) ( )( ) j) k) l) ( )( )( )

3 ( v ) ) 6 c ) ( )( o) 8 p) r) ) ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli ( )( ) s) v) t) ( )( )( 8) w) ( 6 ) 7 u) 6 6 ) 6 Příkld Určete kd á výrz ssl ) bc b 6b b 8 u g) 0 tu ( s t ) su h) 6 7 ( ) 6 k z i) 6k 8k z 0z 00 j) ( ) ( ) k) l) ) 7 ( ) ( ) r ) r 6 r r r Určeí hodot výrzu ) zloek je kldý, kdž výrz v čitteli ve jeovteli á souhlsé zíko zloek je záporý, kdž výrz v čitteli ve jeovteli jí rozdílé zéko zloek je rove ule, jestliže výrz v čitteli je rove ule zloek eá ssl, jestliže výrz ve jeovteli je rove ule PAMATUJTE - souči je kldý, jestliže všichi čiitelé jsou kldí - souči je tké kldý, jestliže á sudý počet záporých čiitelů - souči je záporý, jestliže á lichý počet záporých čiitelů - souči je rove ule, jestliže lespoň jede čiitel je rove ule - souči eí rove ule, jestliže žádý čiitel eí rove ule Příkld Pro jké je výrz 7 ) kldý záporý rove ule výrz eá ssl ) Zloek je kldý, jestliže čittel i jeovtel je buď kldý ebo ob jsou záporé Protože jeovtel je kldý, tk čittel usí být tké kldý Ab souči bl kldý, usí být kldý > 0 Zloek je záporý, jestliže čittel jeovtel á opčé zíko Protože jeovtel je kldý, tk čittel usí být záporý Ab souči bl záporý, usí být záporý < 0

4 ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Zloek je záporý, jestliže čittel je rove 0 Ab souči bl rove ule, usí být lespoň jede čiitel rove 0 v še přípdě ted 0 Ab zloek eěl ssl je uté, b jeovtel bl rove 0 To v še přípdě eí ožé Neboli eeistuje žádé, b teto výrz eěl ssl Příkld Pro jké je výrz výrz eá ssl ) kldý záporý rove ule ) > 0 součsě > 0 > 0 součsě > > ebo < 0 součsě < 0 < 0 součsě < < > 0 součsě < 0 > 0 součsě < 0 < < ebo < 0 součsě > 0 < 0 součsě > eeistují žádé dé vlstosti 0 0 Příkld Pro jké je výrz výrz eá ssl ) kldý záporý rove ule Příkld Pro jké je výrz výrz eá ssl ) kldý záporý rove ule Příkld 6 Pro jké je výrz výrz eá ssl ) kldý záporý rove ule Příkld 7 Pro jké je výrz výrz eá ssl 6 ) kldý záporý rove ule Kráceí rozšiřováí loeých výrzů Krátit zloek zeá dělit čittele i jeovtele stejý čísle, které je růzé od ul Krátit ůžee pouze čísl píse, která jsou osoce ebo jko čiitel při součiu Příkld Zjedodušte zlok ) ) 6 z 7 0 z ( )

5 6 z 6 z z z 0 z z z ( výsledek ůžee tké zpst ve tvru 0,6 - z -6 ) ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli 0 0 z 0 ( ) ( ) 0 - ( )( ) - ( ) ( ) ( Při výpočtu epíšee do výpočtu výrz, který krátíe V ukázce, b, c jse pro lepší pochopeí teto výrz, který jse krátili, uvedli ) Příkld 8 Zjedodušte zlok ) ( ) ch) 0 8 g) 0 i) 8 8 z 6 z ( ) ( 6) h) Příkld Zjedodušte zlok ) 6 0 z z 8 z 0 z 0 z Rozšířit zloek zeá ásobit čittele i jeovtele stejý čísle, které je růzé od ul Příkld Rozšiřte zloek výrze, který je v závorce ) ( ) ( ) (-) ( ) Řešeí ) ( ) 0 ( ) 0 (-) 6 0 ( ) 6 -

6 ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Příkld 0 Rozšiřte zloek výrze, který je v závorce ) ( ) ( ) ( ) ( ) Příkld Zjistěte jký výrze rozšiřujee zloek doplňte chbějící čittel ebo jeovtel ) 0 z z Řešeí 6 ) z z z z z z 0 0 z 0 0 z z z 0 0 z 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) již bez podrobějšího výkldu ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Příkld Zjistěte jký výrze rozšiřujee zloek doplňte chbějící čittel ebo jeovtel z 0 z b 6 8 ) (+) 0 ( ) ( ) ( )( ) u c c ( ) u u 0u 6

7 Sčítáí odčítáí loeých výrzů ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Příkld + 6 ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Příkld ( ) 7( ) ( )( ( ) 0 0) ( 0 )( ) 7 0 ( )( ) ( )( ) ( ( ) )( ) - Příkld Vpočítejte ) 6 g) i) l) ) h) j) ( ) ( ) ch) k) ) o) ( ) p) r) ( ) ( ) u v s) t) u 6u u u v v v u) v) 6 w) ) ( ) b b ) z) b b Příkld Vpočítejte 7

8 ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli z z ) z z z z z z z z z z z z ( z ) z z g) z ( z z ) p z z p p p z ( z 6z ) z p h) p p p 6 i) p p p j) p p p p k) l) ( ) ( ) 6 8 ( ) 8 ) ) 8 ( 0,) Násobeí děleí loeých výrzů Příkld b 6 0 b z b z b z 0 b 0 0 z 0 Příkld ( ) 6 ( ) z z z ( ) ( ) POZOR Před vlstí ásobeí ohočleů usíe krátit Příkld Vpočítejte ) b z z b c d c b (- ) ( ) 0 6 r 0 r r 6r ( s ) 6 s g) s 0 s rs s r 6s h) s r s r ( u v) v uv i) uv u u v j) k) l) ) 6 Příkld Vpočtěte 8

9 ) ( ) 0 (7u v) 8 u v ( ) 6 6 ( ) ( ) 0 z z 6 0z z(0 z) g) r s r 0s h) r s 6rs rs s rs s ch) r r s r rs s rs s i) r s r s ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli ( r s) ( r s) j) r s r s p p k) p p p r pr l) p p ) p r pr p r r pr p r p r ) p pr ( r p) o) ( ) p) ( ) r) s) Zloek dělíe zloke tk, že děleec ásobíe převráceou hodotou dělitele Příkld ( ) ( ) 6 ( ) z ( ) z ( ) ( )( ) z ( )( ) 6 ( )( ) ( ) z ( ) 0 0 z 0 - Příkld 6 Vpočítejte 7 8 ) b b b b u u v uv u v u 8uv v( u v) u uv u u u u 0 u u u u u v v u g) u v v u u u h) v v v v 6 ch) i) j) k)

10 l) (-) ) ) ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli o) p) r) b b b b b b b b b Příkld 7 Vpočítejte ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b ( ) b b b 7 g) ( ) ( ) 6 ( ) h) ( ) u v ch) ( ) u v v u u v i) j) 8 ( ) b b b k) ( ) ( ) b p p p l) ( )( p )( p ) p p p ) ( ) ( ) b b b ) b b b b b o) p) 6 b b q) b b b r) s) 6 Složeý loeý výrz ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Příkld ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 - Příkld 8 Vpočítejte 0

11 b b b b b ) b b r r 6 r r r ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli ( )( ) b b b b b b 6 Operce se složitějšíi loeýi výrz Příkld Vpočítejte ) b b ( b ) ( ) ( b b b ( b b b ( b b b ( ) ( ) b b b b ( ) g) b b b b b b c d c d cd d c d c d h) 7 Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Příkld Vřešte rovici 0,7 ) určíe podík řešitelosti 0 ) celou rovici vásobíe společý jeovtele

12 ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli 0,7 / +, 7, ) uděláe zkoušku L P 0,7 L P Příkld Vřešte rovici ) určíe podík řešitelosti ) celou rovici vásobíe společý jeovtele / ( ) ( ) ( ) ( ) + ( + ) ( ) ( ) ( ) , ) uděláe zkoušku L,,, 7, 6,, 0,8, P L P Příkld 0 Vřešte rovici ) ( )( ) ( )( ) 7 7 g) h) 6 ch) 0 i) j) 0, 7 k) 8 l) 6 6 ) ) 7 o) 0 p) r) s) t) u) v) 6 w) 6 ) ( ) 8 ) ( ) 6 z) 8 ( ) ) 7 ( )

13 Souhrá cvičeí ) Vpočtěte ) p p p p p ( ) 6 7 ( ) b 6( b ) b b b 6 b b b ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli ) Vpočtěte doszeí do zdáí výpočtu ověřte správost výpočtu 6 ) (6 ) ( ) b b b - b b b ( ) 6 ( ) ( ) ( ) , ( ) b b g) b b b b b b b h) 0 ( ) g) - ( )( ) ) Pro jké je výrz ) kldý záporý rove ule výrz eá ssl ) Pro jké je výrz ) kldý záporý rove ule výrz eá ssl ) Řešte rovici ) 0

14 s s 7 s s ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli s s 7 6 g) s s s s h) 7 8 h h ch) h h i) 6) Určete hodotu výrzu ) ( ) ( ) ( + ) pro - ( ) ( ) ( + ) pro - 7) Vpočtěte ) ( + ) + ( ) ( 8 ) 6 ( )( ) ( 6 + ) + ( ) ( 8 ) ( )( ) 8) Zjedodušte p ) p p p u v u uv u u v rs s r s s r s p g) p p p ) Zjedodušte z z ) z uv v u 6 uv u v 6 b 6 b b b 8 b b h) 6 8 i) u v u u v v u j) k) l) r s r s s r 6

15 ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli b b b g) b b b b b b b 0) Řešte rovici ) Určete hodotu tk, b zloek ) Vpočítejte 8 0, ), 0, bl co ejvětší 6 0, 7 Výsledk ) - 7 6, <, > -, > -, > -, ) ejsou podík, 0, 0,, -,, g), h) -, ch) ejsou podík, i) 0 -, j) 0, k), l) -, ) 7 8 7, ) -, o) -, p) 0 -, 8 r) 0 0, s) > 0, t) > -, u) < 0, v) < -, w) > -7, ) -, ) b 0 c, -,, 0 -,, k -0,, 0 0 -, b - -0,, g) u t,s, h) -, --, i) 0 z -0, j) -, k) > 0, l) >, ), ) r, -, ) < 0 ebo >, 0 < <, 0,, ) < ebo >, < <,,, 6 ) > -, 0, < -,, 0, -,, 7 ) < - ebo >, - < <,, -, 8 ) 0, - 0 0, 0 0 z 0, 0 6, z 6

16 ) 0 ) -, h) ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli 0, 0 0, -, g) -, ch) -, i) 0 0, - 0 0, 0, z 0 0 z 0, , -,, 0, z z, z 0, 0 -, 0 - -, 7 -, ) 0 z b 0 0 z 0 0 b 0, 7c ( -) 0 c 0 -, (+) 0 -, (-)(+) - (-)(-)( +) 0, u u, ) 7, 0, 0, , 6 -, -, g) 0; h) ; ch) 0 ; i) 0 ( )6 ( ) ( ) -; j) -; k) - ; l) ( ) ( ) - ; ) - ; ) ; o) ( ) - ; p) - ; r) - ( u ) - + 0; s) u 0 u -; u( u ) 7v 6 0 t) v 0 v -; u) ; v) -6; w) v ( v ) 6 b -; ) -; ) -; z) b ; b z z ) ) z 0 z ; z 0 z z -; z z( z ) ( z )( z ) 7 z z 0 ( z ) z - ; z z -; z -; z ; g) p p -; ( z ) ( z ) h) p p -; i) p p -; j) p p -; k) ; p p ( ) l) ( z ) z -; ) ; ) z 0, (z 0,) 6

17 ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli 6 b ) ) 0 b 0; 0 0 z 0; b 0 c 0 d 0; b 6 6d ( s ) -(-) 0 0; 0,7,; r - r,; g) ( s) v ( v u) s - s s -; h) -s r -s r s; i) u 0 u -v u v; j) + 0 u ; k) 0 ; l) 0 ; ) 0 -; ) + 6, u 7 v, ( + ) ( + ), ( ) -, 0, 0,- 0, g) 0 z 0,8, h) r r s; s 0 r 0 ch) s r 0 r s r -s; i) s(r-s) r r s r s r -s ; j) r s r -s ; k) p p -; l) r p p -; ) p 0 r 0 r p; ) p 0 p r p -r; o) 0; p) p p 0 0; r) 0 0 -; s) - 6 ) 0 -, - 0 0, -0, b -b 0, 0,( u v ) u 0 u v u v u -v,,; u, u 0 ; u u 0 u z -; g) u v u -v ; h) uv u 0 u v u -v ; ch) - 0 ; i) ; - ; j) 0 0 ; k) ; l) 0 0 ; ) 0 0 ; ) 0 - ; o) - r) b 0 b 0 -; 7 ) - -, 0 -; p) 0 b 0; 0, -0, -, -, - -,, + 0 -, b 0 b b b - b b -, g) 0 -, h) 0, - -0,, ch) u v u -v, i) j) ( ) ( + ) -, k) b p 0 b 0 -b, l) p p p b p -, ) -, ) - b b -b; o) 0 b - - ; p) 0, -0, - ; q) b b -b 0; r) 0, -0, 0; s) - 0 0; 7

18 ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli 8 ) b 0 b 0 b -b, r r r r -, 0 r -, 0 -, + b 0 b 0 b -b, 0 -, 6 ) b 0 b 0 b -b, 0, b, 0 0 -, 0 b 0 b -b, - 0, -0,, 0 b -b b 0, g), b d -,, h) c d c -d, c d 0 ) 0, 0 0, L P, L P, - L P -0, 6 7 L P, -, L P, 6 - L P 0,, 6 g) -, - L P, h),; ch) ; i),6; j) eá řešeí; k) 8; l),; )0,; ); o) 0; p) eá řešeí; r) ; s) 0,; t) ; u) - ; v) ; w),8; ) ; ) ekoečě oho řešeí; z) eá řešeí; ) eá řešeí; Souhrá cvičeí ) p p -, 0, -, -,, g) -, ( b ) b b ) -8 8 po dosžeí -7, - po doszeí b 8, -,, b b - b,, b b -b 0 -b, h) 0 - b - po doszeí,, - po doszeí,7, - 0, po doszeí, 7 - po doszeí 0,7, g) ( ) ( ) po doszeí,, ) < - ebo < <, - < < ebo >, ebo, -,

19 ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli ) jeovtel uprveého zloku je vžd kldý proto ) > 0, < 0, 0, tkové eeistuje, ) 0, 0 0, L P, L P 0, -0 0,8 L P, - - L P, 0, 8 6 L P 0, s - s s - L P, g) s - s s - L P -, h) 7 L P 0, ch) h -, h - h L P i) 7-6 ),,7 ), , +, ) p p -, -, u v u v u -v, 0, -, g) p p -, s 0 r 0 r s r -s, h) -, i) u - v u 0 u v u -v, j) 0 l) - 0, ( ) l) r 0 s 0 r -s ) z z, u u v u, b b - b 0 b 0,, -,, g) b -b b 0 b, 0) v oboru reálých čísel eá řešeí, ),) ) 8, -, 0,,, 0,8, -, 0, 7

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Algebraické výrazy. Mnohočleny 1) Sčítání (odčítání) mnohočlenů:

Algebraické výrazy. Mnohočleny 1) Sčítání (odčítání) mnohočlenů: Algeicé ýz Výz = ždý zápis, eý je spáě oře podle zásd o zápisech čísel, poěých, ýsledů opecí, hodo fcí. Npř. π,,... Výz číselé s poěo Výzo spi oří loeé ýz s ezáo e jeoeli ( sí ý ede podí, ýz á ssl poze

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

ž ě ž ě ě ě ě ě ě ě ě ě ě ě ž š ě ě ž ň ň ž Í ň ě ě š ž ě ě ě š ž ě ě ň ě ň ž ě š ě š ž ě ě ě ě ě ě ž š ň ě ě ň ď ě ž ě š ě š š ě ž ž ě ě š ěž ě ě ž ž ě ť ě Ž ě ě ě ě š ě ř ě ěš ť Ž ž ď Ž ž ž ě ě ž Í ě

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x)

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x) 9 REGRESE A KORELACE Slovo regrese oecě zmeá poh zpět ústup ávrt regresví = ustupující Opčým termíem je progrese pokrok postup šířeí růst Pojem regrese l do sttstk zvede kocem 9 století rtským učecem Frcsem

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad VŠB TU OSTRAVA, FEI, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY Úvod do lýz čsových řd [Zdeje podiul dokueu.] Mri Lischová Popis čsových řd Čsová řd je uerická proěá, jejíž hodo podsě závisí čse, v ěž bl získá (posloupos

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická ZÁVĚREČNÁ PRÁCE

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická ZÁVĚREČNÁ PRÁCE TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fkult příodovědě-humití pedgogická ZÁVĚREČNÁ PRÁCE LIBEREC 0 Mg. JAROMÍR OSČÁDAL Techická uivezit v Lieci Fkult příodovědě-humití pedgogická Egyptské zlomky Závěečá páce

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011 Evropský socálí fod Praha & EU: Ivesujee do vaší budoucos Ekooka podku aedra ekooky, aažersví a huaích věd Fakula elekroechcká ČVUT v Praze Ig. učerková Blaka, 20 Úrokový poče, základy fačí aeaky (BI-EP)

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

ó Šú ž ó ó ó É Ž É Š Ž Š ú ů ó š Š Š Ž ó Š Ž ú ů Š Ž ň š ů É Ž š Ž ó Ž ů ň š š ů š Ú ů Š Ž ž ó Ž ů ú É Ú š É Ť ú ů Š Ž Š š Ť É Š Š Ž Ž Š Š ť ť ť Ž É Š Š Š Ž š Š Ž Ž Ů Š š Ž Ý Ý Š Ž Š Ž Ť Ž É Ý Š Š Ž š

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

ě á čá á é šě č á čá á á č Ý á á á á á á é á ě á ě á á é ěž á š ě á ě ě á ý ě ýš é ý é čá á á é ý ě é á ť š á é é á ě á ý č á ý ž ý á ě ž á á á č É ď ž á č č áž č Ý áš č č č áž á č á č č é áš é é č ů á

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí.

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí. 10. Nebezpečné dotykové npětí zásdy volby ochrn proti němu, ochrn živých částí. Z hledisk ochrny před nebezpečným npětím rozeznáváme živé neživé části elektrického zřízení. Živá část je pod npětím i v

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Využití účetních dat pro finanční řízení

Využití účetních dat pro finanční řízení Využtí účetích dat pro fačí řízeí KAPITOLA 4 V rác této kaptoly se zaěříe a časovou hodotu peěz (a to včetě oceňováí ceých papírů), která se prolíá celý vestčí rozhodováí, dále a fačí aalýzu (vycházející

Více

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika Nepředvídaé událost v rác kvatfkace rzka Jří Marek, ČVUT, Stavebí fakulta {r.arek}@rsk-aageet.cz Abstrakt Z hledska úspěchu vestce ohou být krtcké právě ty zdroe ebezpečí, které esou detfkováy. Vzhlede

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

ČŠ ž ž ň ž ž Ú Š ž ž ž Ú ň Š Ú ň ž Ů ť Š Šť Ů ž ž ž Š ž ž Ú Č Ú Ú Š Ú Ú ť Ú ž ž Čž Ú Ů Ú Ú Ů Ů ť Š ť ž Ů ž Č Š ž Č Č Š Ú ž Ú ž Ú ž ž Š Ů ť ž Ů ž ť ů ť ň Č Š Ť ť Š Ú Š Ú Š ť ž Č ů ů ů ť ů ů ů Š ť ť Á ň

Více

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 4. ročík šestiletého a. ročík čtyřletého studia Laboratorí práce č. 4: Úlohy z paprskoé optiky G Gymázium Hraice Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 3. ročík šestiletého

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

Ke schválení technické způsobilosti vozidla je nutné doložit: Musí být doložen PROTOKOL O TECHNICKÉ KONTROLE? ANO NE 10)

Ke schválení technické způsobilosti vozidla je nutné doložit: Musí být doložen PROTOKOL O TECHNICKÉ KONTROLE? ANO NE 10) ÚTAV INIČNÍ A MĚTKÉ DPRAVY.s., Prh 4,Chodovec, Türkov 1001,PČ 149 00 člen skupiny DEKRA www.usmd.cz,/ Přehled zákldních vrint pltných pro dovoz jednotlivých vozidel dle zákon č.56/2001b. ve znění zákon

Více

Univerzita Karlova Přírodovědecká fakulta Katedra analytické chemie

Univerzita Karlova Přírodovědecká fakulta Katedra analytické chemie Uivezit ov Příodovědecká fkut ted ytické chemie Sttitické vyhodoceí výedků Picip: Výedky opkových zkoušek, kteé jou ztížey áhodými chybmi, mjí učité ozděeí (ditibuci). Rozděeím e zde ozumí záviot pvděpodoboti

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

IDEÁLNÍ PLYN I. Prof. RNDr. Emanuel Svoboda, CSc.

IDEÁLNÍ PLYN I. Prof. RNDr. Emanuel Svoboda, CSc. IDEÁLÍ PLY I Prof. RDr. Eanuel Soboda, CSc. DEFIICE IDEÁLÍHO PLYU (MODEL IP) O oleulách ideálního plynu ysloujee 3 předpolady: 1. Rozěry oleul jsou zanedbatelně alé e sronání se střední zdáleností oleul

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

No. 1 Michal Hlaváček Difuse technologií 2001/3

No. 1 Michal Hlaváček Difuse technologií 2001/3 No. Michl Hlváček Difuse echoloií 200/3 . Úvod Hospodářský vývoj ve svěě proděll v posledích páci leech ěkolik změ, přičemž ekoomická eorie ě věšiou v odpovídjící míře ereovl. Trdičí ekoomické eorie, keré

Více

R e á l n á č í s l a - R

R e á l n á č í s l a - R Č Í S E L N É M N O Ž I N Y R e á l n á č í s l - R R c i o n á l n í č í s l - Q Ircionální čísl π ;,99 C e l á č í s l - Z Seznm některých mtemtických smbolů znček kulté ; hrnté ; úhlové ;{ složené závork

Více

Úloha č. 10. Měření rychlosti proudu vzduchu. Měření závislosti síly odporu prostředí na tvaru tělesa

Úloha č. 10. Měření rychlosti proudu vzduchu. Měření závislosti síly odporu prostředí na tvaru tělesa yzikálí praktiku I Úloha č10 Měřeí oporu prouícího zuchu (erze 0/01) Úloha č 10 Měřeí rychloti prouu zuchu Měřeí záiloti íly oporu protřeí a taru tělea 1) Poůcky: Aeroyaický tuel, ikroaoetr, Pratloa trubice,

Více

"Kancionálové" nedělní nešpory

Kancionálové nedělní nešpory "Kncionálové" nedělní nešpory Jkub Pvlík Jednotný kncionál obshuje pod č. 084 nedělní 2. nešpory zhudebněné Zdeňkem Pololáníkem. Většin textů je z neděle 1. týdne žltáře, ntifon k Mgnifict je schválně

Více

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school Technická univerzit v Liberci FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚHUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ Ktedr: Studijní progrm: Studijní obor: Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky N750 Učitelství pro zákldní školy Učitelství fyziky pro.

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Virtuální svět genetiky 1

Virtuální svět genetiky 1 Chromozomy obshují mnoho genů pokud nejsou rozděleny crossing-overem, pk lely přítomné n mnoh lokusech kždého homologního chromozomu segregují jko jednotk během gmetogeneze. Rekombinntní gmety jsou důsledkem

Více

Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha

Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha Občejé erecálí rovce Caucova úloa Drcletova úloa Občejé erecálí rovce - Caucova úloa Úlo: I. = s omíou = jea rovce. řáu II. soustava rovc. řáu III. = - jea rovce -téo řáu = = = - = - Hleáme uc res. uce

Více

Č t. Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola elektrotechnická Františka Křižíka Učebna: P1 rozvrh platný od 1. 9. 2015

Č t. Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola elektrotechnická Františka Křižíka Učebna: P1 rozvrh platný od 1. 9. 2015 Vyšší dbrn škla a řední průmyslv škla elekrechnick Franiška Křižíka Učebna: 1 rzvrh planý d 1. 9. 2015 Bakalři Vyšší dbrn škla a řední průmyslv škla elekrechnick Franiška Křižíka Učebna: 2 rzvrh planý

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

Základní poznatky z matematiky

Základní poznatky z matematiky Zákldní pozntky z mtemtiky Obsh. Zákldní pozntky z mtemtiky.... Číselné obory..... Celá čísl..... Reálná čísl.... Odmocniny.... Mocniny... 5.. Mocniny se zákldem 0... 5.. Mocniny s přirozeným mocnitelem...

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více