GALOISOVA TEORIE DAVID STANOVSKÝ
|
|
- Zuzana Vítková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 GALOISOVA TEORIE DAVID STANOVSKÝ Předběžná varianta!!! Obsahuje aktualizaci obsahu kapitoly o kořenových rozšířeníchanovoukapitoluogaloisověteorii.četljsemtoposobějenomjednou,takže text určitě obsahuje chyby a nejasná místa. Budu vděčný, když mě na ně upozorníte (stanovsk karlin.mff.cuni.cz). 1. Kořenová rozšíření 1.1. Kořenová a rozkladová nadtělesa. Cílem tohoto odstavce je dokázat, že pro každý polynom f T[x] existuje nejmenší rozšíření S T, kde se f rozkládá na lineární činitele(tj. polynomy stupně1).intuitivnějevěcjasná:je-lit C,pakstačívzítS=T(a 1,...,a n ), kde a 1,...,a n jsoukomplexníkořenypolynomu f.problémyjsoudva:jednakjsme nedokázali, že se f nad komplexními čísly skutečně rozkládá(tento fakt se nazývá základnívětaalgebryanenízastaksnadnéhodokázat),ale,atozejména,nekaždé těleso je podtělesem C. Definice. BuďT Srozšířenítělesaf T[x].Řekneme,žeSje (1)kořenovénadtělesopolynomu f nadt,pokudmápolynom f vtěleses kořen aanavícs=t(a). (2) rozkladové nadtěleso polynomu f nad T, pokud se polynom f rozkládá v S[x]nalineárníčinitele,tj. f (x a 1 )... (x a n )pronějaká a 1,...,a n S,anavícS=T(a 1,...,a n ). Příklad. Příklady kořenových a rozkladových nadtěles (uvedena jsou všechna, která jsou obsažena v tělese C): f kořenová nadtělesa f nad Q rozkladové nadtěleso f nad Q x 2 +1 Q(i) Q(i) x 2 1 Q Q x 3 1 Q, Q(e 2πi/3 ) Q(e 2πi/3 ) x 4 1 Q, Q(i) Q(i) x 3 2 Q( 3 2), Q( 3 2 e 2πi/3 ) Q( 3 2, 3 2 e 2πi/3 ) Obecně,kořenovénadtělesopolynomu x n 1nadtělesem Qjekaždé Q(e 2kπi/n ), kde k=0,...,n 1,aleneníjasné,kteráztěchtotělesjsoutotožná.Rozkladové nadtěleso dostaneme volbou k = 1. Z teorie cyklotomických polynomů plyne, že stupeň tohoto rozkladového nadtělesa je ϕ(n), kde ϕ značí Eulerovu funkci. Dokážeme, že pro každý polynom stupně aspoň 1 existuje kořenové i rozkladové nadtěleso, a navíc, že rozkladové nadtěleso je určeno jednoznačně až na izomorfismus. Klíčovým krokem je kontrukce rozšíření, kde má daný polynom aspoň nějaký kořen. Dále pak stačí postupovat indukcí. Lemma1.1.BuďTtělesoaf T[x]stupně 1.Pakexistujekořenovénadtěleso polynomu fnadt. 1
2 2 Důkaz.Buď gnějakýireducibilnídělitelpolynomu f.hlavníideál I = gt[x]je maximálníideálvoborut[x],atedyfaktorokruhs=t[x]/(g)jepodlevěty?? těleso. Uvažujme homomorfismus ψ:t S, a [a]. Ten je podle Tvrzení??(3) prostý, protože prvky tělesa T(jakožto konstantní polynomy) nejsou v ideálu I. Můžeme tedy ztotožnit těleso T s Im(ψ)(formálně vzato,jsouizomorfní)abudemeuvažovat,žet S.(Podobnýmzpůsobemjsmese vypořádali s vnořením daného oboru do jeho podílového tělesa, kde ztotožňujeme prvek aazlomek a 1.)Dosadíme-lidopolynomu g= n i=0 a ix i prvek b=[x] S, dostaneme n n g(b)= a i [x] i =[ a i x i ]=[g]=[0], i=0 neboť g I.Prvek bjetedykořenempolynomu g,čilitaképolynomu f,vtělese S.PřitomS=T(b),protožeužokruhT[x]jegenerovánmnožinou T {x}. Příklad. Uvažujmetěleso Qapolynom x 2 +1.Kořenovýmnadtělesemjejistě těleso Q(i) C. Důkaz Lemmatu 1.1 nabízí jinou, abstraktní konstrukci kořenového nadtělesa:protožejepolynom x 2 +1ireducibilní,jejímfaktorokruh Q[x]/(x 2 +1). Je snadné ukázat, že obě nadtělesa jsou izomorfní: uvažujme homomorfismus i=0 ϕ:q[x] Q(i), f f(i). JakjsmerozebralivSekci??,jádremtohotohomomorfismujeideál(x 2 +1)Q[x], takžepodle1.větyoizomorfismuplatí Q[x]/(x 2 +1) Q(i). Věta1.2. BuďTtělesoaf T[x]stupně 1.Pakexistujerozkladovénadtěleso polynomu fnadt. Důkaz. Budeme postupovat indukcí podle stupně polynomu f. Je-li f stupně 1, paks=t.vopačnémpřípaděuvažujmekořenovénadtělesot(a) Tpolynomu fapolynom g T(a)[x]takovýže f= g (x a).pakdegg <degf,tedypodle indukčníhopředpokladuexistujejehorozkladovénadtělesos=t(a,b 1,...,b m ) nad T(a). Protože se polynom g rozkládá v S[x] na lineární činitele, rozkládá se tamif= g (x a). Buď T S, T U rozšíření těles. Zobrazení ϕ : S U se nazývá T- izomorfismus, pokud je to tělesový izomorfismus splňující ϕ(a) = a pro každé a T. Důležitou vlastností rozkladových nadtěles je jejich jednoznačnost až na T-izomorfismus. Prvním krokem je dokázat jednoznačnost kořenových nadtěles pro ireducibilní polynomy. Lemma1.3. BuďTtěleso, f T[x]ireducibilnípolynomaS 1,S 2 kořenovánadtělesapolynomu fnadt.pakexistujet-izomorfismuss 1 S 2. Důkaz.UvažujmedvěkořenovánadtělesaT T(a)aT T(b).PodleTvrzení??a??je T(a)={g(a):g T[x]}aT(b)={g(b):g T[x]}.Uvažujmetedy zobrazení ϕ:t(a) T(b), g(a) g(b). Přesněji řečeno, je třeba dokázat, že to je skutečně zobrazení. Je důležité si uvědomit,že f = m a,t = m b,t,protože f jeireducibilnípolynomaaibjsoujeho kořeny. Proto, podle definice minimálního polynomu, g(a)=h(a) (g h)(a)=0 f g h (g h)(b)=0 g(b)=h(b).
3 3 Čili ϕ je skutečně zobrazení, a navíc prosté. Protože očividně zachovává všechny operace a přitom nehýbe s prvky T(které odpovídají konstantním polynomům g), je to T-izomorfismus T(a) T(b). K důkazu jednoznačnosti rozkladových nadtěles se hodí o něco obecnější princip, který využijeme také v sekcích o algebraickém uzávěru a o Galoisových grupách. Lemma1.4.BuďT T 1,T T 2 rozšířenítělesaϕ:t 1 T 2 T-izomorfismus. Uvažujmepolynomy f= a i x i T 1 [x], ϕ(f)= ϕ(a i )x i T 2 [x]stupně 1a označmes 1 rozkladovénadtělesopolynomu f nadt 1 as 2 rozkladovénadtěleso polynomu ϕ(f)nadt 2.PakexistujeT-izormorfismus ψ : S 1 S 2 takový,že ψ T1 = ϕ. Důkaz.Budemeopětpostupovatindukcípodlestupněpolynomu f.je-lidegf=1, pakjes 1 =T 1 as 2 =T 2 jedinávolba.vopačnémpřípaděuvažujmeireducibilní dělitel gpolynomu f ajehokořen avs 1.Pak ϕ(g)jeireducibilnídělitelpolynomu ϕ(f)auvažujmejehokořen bvs 2.PodobnějakovLemmatu1.3uvažujme zobrazení ψ:t 1 (a) T 2 (b), h(a) ϕ(h)(b). Analogickydokážeme,žejdeoT-izomorfismus,jetřebasivšimnout,že m a,t1 = g, zatímco m b,t2 = ϕ(g).navíc ψ T1 = ϕ,neboťvtomtopřípadějdeozúženína polynomy g, které jsou stupně 0. Nyní použijeme indukční předpoklad. Označme h T 1 (a)[x]polynomsplňující f =(x a) h,tedytaké ψ(f)=(x b) ψ(h) protože ψ(a)=b.dáleoznačmes 1 as 2 rozkladovánadtělesatěchtopolynomů nadtělesyt 1 (a)at 2 (b).protožedegh <degf,podleindukčníhopředpokladu existujet-izomorfismus ρ:s 1 S 2 takový,že ρ T1(a)= ψ,atedy ρ T1 = ϕ. Věta1.5.BuďTtělesoaf T[x]stupně 1.Pakkaždádvěrozkladovánadtělesa polynomu f nad T jsou T-izomorfní. Důkaz.PlynezpředchozíholemmatudosazenímT 1 =T 2 =Taϕ=id Algebraický uzávěr. Definice. Těleso T se nazývá algebraicky uzavřené, jestliže má každý polynom zt[x]stupně 1vtěleseTkořen. V algebraicky uzavřeném tělese se každý polynom rozkládá na lineární činitele, cožmůžemesnadnodokázatindukcípodledegf:propolynomystupně1jetvrzení triviální; pro vyšší stupně využijeme existenci nějakého kořene a, vydělíme f polynomem x a, čímž získáme polynom menšího stupně a ten rozložíme pomocí indukčního předpokladu. Příklad. Těleso C je algebraicky uzavřené. Tomuto tvrzení se říká základní věta algebry a její důkaz lze nejsnáze provést pomocí komplexní analýzy. Ač se její platnost dlouho tušila, poprvé byla se všemi detaily dokázána Gaussem až kolem roku 1800.(Název věty je z dnešního pohledu poněkud zavádějící a pochází z počátku 19. století, kdy se algebra zabývala především kořeny polynomů.) Poznámka. Žádné konečné těleso nemůže být algebraicky uzavřené. Označíme-li a 1,...,a n jehoprvky,pakpolynom(x a 1 )... (x a n )+1nemávtomtotělese kořen.
4 4 Definice. Řekneme,žeS Tjealgebraickýuzávěr tělesat,pokudjesalgebraicky uzavřené těleso a zároveň je algebraickým rozšířením tělesa T. Příklady. Algebraickýuzávěrtělesa Rjetěleso C;jetorozšířenístupně2,tedyalgebraické. Algebraický uzávěr tělesa Q není těleso C, neboť nejde o algebraické rozšíření. Algebraický uzávěr Q popisuje následující tvrzení. Věta1.6. BuďSrozšířenítělesaT.Pak (1) množina U= {a S: ajealgebraickýprveknadt} tvoří podtěleso tělesa S; (2) je-li těleso S algebraicky uzavřené, pak U je algebraický uzávěr tělesa T. Důkaz.(1)Nechť a,b UauvažujmetělesoT(a,b).Protožejsou a,balgebraické prvkynadt,jdeorozšířeníkonečnéhostupně(věta??),atudížorozšířeníalgebraické(tvrzení??).čili T(a,b) Uaspeciálnětedy Uobsahujeprvky a+b, a b, aia 1 (pro a 0).Tedy Utvořípodtěleso. (2) Evidentně je U algebraické rozšíření tělesa T. Je algebraicky uzavřené? Uvažujme libovolný polynom n f= a i x i U[x]. i=0 Tento polynom má jistě kořen b S, protože těleso S je algebraicky uzavřené. Přitomprvek bjealgebraickýnadtělesemt(a 0,...,a n ),protoževeskutečnosti je f T(a 0,...,a n )[x].ztvrzení??takplyne,žestupeň[t(a 0,...,a n,b) :: T(a 0,...,a n )]jekonečný.přitomstupeň[t(a 0,...,a n ):T]jetakékonečný,neboť a 0,...,a n jsoualgebraickénadt,atakpodletvrzení??jestupeň [T(a 0,...,a n,b):t]=[t(a 0,...,a n,b):t(a 0,...,a n )] [T(a 0,...,a n ):T] takékonečný.tedypodletvrzení??jeprvek balgebraickýnadt,čilikořen b polynomu fležívu. Tedy algebraický uzávěr tělesa Q sestává právě z těch komplexních čísel, která jsou algebraická nad Q. Speciálně, algebraický uzávěr Q je spočetný, zatímco množina C je nespočetná.(obecněji, algebraický uzávěr nekonečného tělesa má stejnou velikost jako dané těleso. Argument je analogický důkazu, že algebraických čísel nad Qjejenspočetněmnoho,vizSekce??.) Věta 1.7. Ke každému tělesu T existuje algebraický uzávěr. Každé dva algebraické uzávěry tělesa T jsou T-izomorfní. Lemma1.8.BuďRokruhaA R.PakexistujemaximálníideálvRobsahující množinu A. Důkaz. Buď I množina všech vlastních ideálů obsahujících podmnožinu A, uspořádaná inkluzí. Množina I je neprázdná, obsahuje například ideál generovaný množinou A. Každý řetězec v(i, ) má horní mez, konkrétně sjednocení těchto ideálů (důkáže se podobně jako Tvrzení??). Podle Zornova lemmatu?? tedy existuje maximální prvek v(i, ).
5 5 Lemma 1.9. Ke každému tělesu T existuje rozšíření S T takové, že každý polynomzt[x]mávskořen. Důkaz. Důkaz je analogický konstrukci kořenového nadtělesa daného polynomu; budemekonstruovatněcojako kořenovénadtělesoprovšechnypolynomyzároveň. Buď tedy X množina proměnných taková, že každému ireducibilnímu polynomu z T[x] stupně aspoň 1 odpovídá jedna proměnná; formálně, položme X= {x f : f T[x],degf 1}. Uvažujme nyní okruh T[X](polynomy konečně mnoha proměnných vybíraných z X). Podle Lemmatu 1.8 existuje maximální ideál I obsahující všechny polynomy f(x f ), f T[x],degf 1(zdezaproměnnou xvpolynomu f substituujeme proměnnou x f ).FaktorokruhS=T[X]/IjepodleVěty??tělesoapodobnějako vdůkazulemmatu1.1sedokáže,žedonějlzevnořittělesot(vnoření t [t])a žekaždýpolynom f T[x]mávSkořen,konkrétně[x f ]. DůkazVěty1.7.Nejprvedokážemeexistenci.UvažujmeřetězecnadtělesT=S 0 S 1 S 2...,kdeS i+1 vzniknezs i konstrukcízlemmatu1.9.položmes:= i=0 S i.totojetakétěleso.přitomjealgebraickyuzavřené,neboťkaždýpolynom f S[x]májenkonečněmnohokoeficientů,tedy f S i [x]pronějaké(dostatečně velké) i,atedy fmákořenvs i+1,čilitakévs.algebraickýuzávěrzískámeaplikací Věty 1.6. UvažujmenynídvaalgebraickéuzávěryS 1,S 2 tělesat.pokuds 1 S 2,pak podlevěty1.6tělesos 1 sestávázevšechprvkůtělesas 2,kteréjsoualgebraické nadt.protožes 2 jezdefinicealgebraickérozšířenítělesat,musíbýts 1 =S 2. NyníuvažujmeobecnousituaciT S 1,T S 2.Uvažujmemnožinu M={ϕ:U 1 U 2 T-izomorfismus:T U 1 S 1,T U 2 S 2 } uspořádanou inkluzí, tj. ϕ ψ právě tehdy, když definiční obor ϕ je podmnožinou definičníhooboru ψaϕ(x)=ψ(x)provšechna xzdefiničníhooboruzobrazení ϕ. Množina M je neprázdná, obsahuje např. identické zobrazení na T. Sjednocením řetězcezobrazení ϕ i MdostanemeopětzobrazenízM(ověřtejakocvičení!). Podle Zornova lemmatu?? tedy existuje maximální prvek v(m, ), označme jej ϕ:u 1 U 2.Dokážeme,žetotomaximálnízobrazení ϕjet-izomorfismuss 1 S 2. Nejprveuvažujmepřípad,žeU 1 S 1.PakU 1 neníalgebraickyuzavřenétěleso (jinak bychom měli dva do sebe vnořené algebraické uzávěry, což jsme vyvrátili výše),tedyexistujepolynom f= a i x i U 1 [x],kterýnemávu 1 kořen.buďv 1 rozkladovénadtělesopolynomu fnadu 1 abuďv 2 rozkladovénadtělesopolynomu ϕ(f)= ϕ(a i )x i U 2 [x]nadu 2.PodleLemmatu1.4existujeT-izomorfismus ψ:v 1 V 2 takový,že ψ U1 = ϕ,čímždostávámesporsmaximalitouzobrazení ϕ. Dokázalijsme,žemaximálnízobrazenív(M, )mázadefiničníoboru 1 = S 1.Tedyoborhodnot,U 2,jetakéalgebraickyuzavřený.Podlevýšeuvedeného pozorovánímusínutněplatitu 2 =S Galoisovy grupy a neřešitelnost polynomů stupně Galoisovy grupy.
6 6 Definice. Buď T S rozšíření těles. Připomeňme, že T-automorfismy tělesa S jsouprávětyizomorfismy ϕ:s Ssplňující ϕ(x)=xprokaždé x T.Všechny T-automorfismy tělesa S tvoří podgrupu symetrické grupy na množině S, tato grupa senazývágaloisovagruparozšířenít SaznačíseGal(S/T). Cílemtétokapitolyjeukázattzv.Abel-Ruffinihovětu,kteráříká,žepro n 5 neexistuje vzorec, který by vyjadřoval kořeny polynomů stupně n za použití základních aritmetických operací +,,,/ a n-tých odmocnin. První důkaz podal vroce1799paoloruffini,tenvšakbylneúplný.nazákladěruffinihomyšlenekpak Niels Henrik Abel našel v roce 1823 kompletní důkaz. My půjdeme jinou, přímější cestou, kterou odahlil o 10 let později Évariste Galois. Jeho metoda navíc umožňuje dokázatsilnějšítvrzení,totižžeprokaždé n 5existujepolynomstupně n,jehož kořeny nelze vyjádřit vzorcem(tj. nejen že neexistuje vzorec, který by fungoval pro všechny polynomy zároveň, ale pro některé polynomy neexistuje ani jednorázové vyjádření kořenů pomocí uvedených operací). Nazývejme takové polynomy neřešitelné v radikálech, formální definici uvedeme v Sekci 2.3. Galoisův důkaz je založen na následujícím kritériu, pomocí kterého je dokonce možné zjistit, zda je daný polynom řešitelný v radikálech. Věta2.1(Galoisovavěta). BuďTtělesocharakteristiky0, fpolynomzt[x]as rozkladové nadtěleso polynomu f nad T. Polynom f je řešitelný v radikálech právě tehdy, když je grupa Gal(S/T) řešitelná. Pojem řešitelné grupy vysvětlíme v Sekci 2.2. Zatím se spokojme s informací, žegrupys n, n 5,řešitelnénejsou.KdůkazusilnějšíverzeAbel-Ruffinihověty takstačínajítpolynomystupně n,jejichžgaloisovagrupajeizomorfnígrupěs n. Z toho důvodu v tomto textu ukážeme pouze jednu implikaci v Galoisově větě, totiž že řešitelné polynomy mají řešitelnou Galoisovu grupu. Opačná implikace je složitější a k důkazu Abel-Ruffiniho věty není potřeba. Poznamenejme, že předpoklad charakteristiky 0 je zbytečně silný. Co ve skutečnosti potřebujeme, je fakt, že ireducibilní polynomy nemají vícenásobné kořeny (této vlastnosti se říká separabilita), což pro tělesa charakteristiky 0 plyne z Věty??:vícenásobnékořenypolynomu fbyzpůsobily,žensd(f,f ) 1.Detailypřenecháme obsažnějším učebnicícm. Kapitolu začneme zkoumáním základních vlastností Galoisových grup, které nám umožní tyto grupy pro některé jednoduché polynomy spočítat. Zcela základním pozorováním je, že T-automorfismy zachovávají kořeny všech polynomů, tj. obraz kořenepolynomu fjeopětkořenem f.protožejdeoautomorfimy,totozobrazení indukuje permutaci na množině všech kořenů daného polynomu. Lemma 2.2. BuďT Srozšířenítěles, f T[x]aAmnožinavšechkořenů polynomu fvs.pakprokaždé ϕ Gal(S/T)je ϕ A permutacímnožiny A. Důkaz.Označmepolynom f= a i x i T[x]auvažujmejehokořen u S.Pak ϕ(u)jetakékořenem f,protože f(ϕ(u))= a i ϕ(u) i = ϕ(a i )ϕ(u) i = ϕ( ai u i) = ϕ(f(u))=ϕ(0)=0, kdedruhárovnostvyužíváfaktu,že ϕ T jeidentita,atřetírovnostplynezfaktu, že ϕjehomomorfismus.tedy ϕjezobrazenínamnožině Avšechkořenů fv S.Z definice Galopisovy grupy je to prosté zobrazení, a protože je množina A konečná, jetopermutacena A.
7 7 Připomeňme fakt, že homomorfismus je jednoznačně určen svými hodnotami na generátorech.speciálně,pokuds=t(a 1,...,a n ),pakkaždýt-homomorfismusϕ: S Sjeurčenhodnotamiϕ(a 1 ),...,ϕ(a n ):obecnýprveku Slzezapsatjakou= f(a 1,...,a n )pronějakýpolynom f T[x 1,...,x n ],tedy u= c i1,...,i n a i1 1...ain n pronějakékoeficienty c i1,...,i n T,atedy ϕ(u)=ϕ( c i1,...,i n a i1 1...ain n)= ϕ(c i1,...,i n )ϕ(a 1 ) i1...ϕ(a n ) in = c i1,...,i n ϕ(a 1 ) i1...ϕ(a n ) in, využívajíce faktu, že ϕ je T-homomorfismus. Na druhou stranu, ne každá sada hodnot na generátorech dává homorfismus: např. neexistuje R-homomorfismus ϕ: C Csplňující ϕ(i)=2i,protože ϕ(i 2 )=ϕ( 1)= 1,avšak ϕ(i) 2 =(2i) 2 = 4. Příklad. Spočteme prvky grupy Gal(C/R). Každý R-automorfismus ϕ tělesa C je určen hodnotou ϕ(i). Přitom podle Lemmatu 2.2 permutuje ϕ kořeny polynomu x 2 +1,tedy ϕ(i)=inebo ϕ(i)= i.prvnívolbavedenazobrazení ϕ(a+bi)= ϕ(a)+ϕ(b)ϕ(i) = a+bi,tedyjdeoidentickézobrazení.druhávolbavedena zobrazení ϕ(a+bi)=a bi,tedyjdeooperacikomplexníhosdružení,cožjejistě homomorfismus.grupagal(c/r)jetedydvouprvková,izomorfnígrupě Z 2. Příklady. Analogicky lze odvodit následující: Gal(Q( 2):Q) Z 2,protožeprvkytétogrupymusejízachovávatkořeny polynomu x 2 2,netriviálním Q-automorfismemjezobrazení a+b 2 a b 2. Gal(Q( 3 2):Q) =1,protožeprvkytétogrupymusejízachovávatkořeny polynomu x 3 2,avšaktentopolynommávQ( 3 2)jedinýkořen 3 2. Výpočty Galoisových grup jsou obecně komplikované. Např. platí, ale není úplně snadné dokázat, že Gal(R/Q) = 1, zatímco Gal(C/Q) je nekonečná. Galoisovy grupy mají zajímavější vlastnosti, pokud jde o rozkladové rozšíření. Následující tvrzení umožňují určit Galoisovy grupy rozkladových nadtěles některých jednodušších polynomů. Tvrzení2.3.BuďSrozkladovénadtělesopolynomu f T[x]nadtělesemT.Pak (1)Gal(S/T)sevnořujedosymetrickégrupyS n,kde njepočetrůznýchkořenůpolynomu f; (2)je-li fireducibilní,pakprokaždédvakořeny a,b Sexistuje ϕ Gal(S/T) takový,že ϕ(a)=b; (3)prokaždérozšířeníT S Utakové,žeUjetakérozkladovýmnadtělesem nějakéhopolynomunadt,platígal(u/s) Gal(U/T)a Gal(U/T)/ Gal(U/S) Gal(S/T). Důkaz.(1)Označme A={a 1,...,a n }množinukořenůpolynomu f vtěleses. ProtožejeSrozkladovépro f,platís=t(a 1,...,a n ).Uvažujmelibovolné ϕ Gal(S/T).Tvrzení2.2říká,že ϕ A jepermutacena A.Přitom ϕjejednoznačně určenésvýmihodnotaminagenerátorech a 1,...,a n,tedy ϕjejednoznačněurčené svojírestrikcí ϕ A.Ztohoplyne,žezobrazení Gal(S/T) S A, ϕ ϕ A je prosté, a je snadné nahlédnout, že to je homomorfismus.
8 8 (2) Protože je f ireducibilní, Lemma 1.3 říká, že kořenová nadtělesa T(a), T(b) jsou T-izomorfní, přičemž T-izomorfismem je zobrazení definované předpisem ϕ(h(a)) = h(b)prokaždé h T[x].Speciálně(pro h=x)vidíme,že ϕ(a)=b.nynístačí použítlemma1.4pros 1 =S 2 =Sazískáme ψ Gal(S/T)takový,že ψ T(a) = ϕ, tedyspeciálně ψ(a)=b. (3)Pro ϕ Gal(U/T)definujemezobrazeníΦ(ϕ)=ϕ S.Dokážeme,žejdeo homomorfismus Gal(U/T) Gal(S/T), jehož jádrem je Gal(U/S) a obrazem celé Gal(S/T). Dokazované tvrzení pak ihned plyne z faktu, že jádro je normální podgrupou,az1.větyoizomorfismu. Nejprvemusímeověřit,že ϕ S jevždyprvkemgrupygal(s/t).podletvrzení2.2zobrazení ϕpermutujekořenypolynomu f,kterégenerujítělesos,atedy ϕ(s)=s,čilizobrazeníϕ S jet-automorfismemtělesas.restrikcenapodmnožinu zřejmě zachovává skládání, takže zobrazení Φ je homomorfismem Gal(U/T) Gal(S/T). Spočteme jeho jádro a obraz. Jádro Ker(Φ) obsahuje právě ty automorfismy ϕ,prokteré ϕ S jeidentita,tedyprávěvšechnys-automorfismytělesa U,tedyKer(Φ)=Gal(U/S).Cosetýčeobrazu,je-lidáno ψ Gal(S/T),pak podlelemmatu1.4existujet-automorfismus ϕtělesautakový,že ϕ S = ψ,tedy Im(Φ) = Gal(S/T). Na dvou příkladech ilustrujeme použití Tvrzení 2.3 k výpočtu Galoisových grup. Příklad. Spočteme grupu VSekci??jsmeukázali,že Gal(Q( 2, 3)/Q). S=Q( 2, 3)=Q( 2+ 3) aže m 2+ 3,Q = x4 10x 2 +1.Tentopolynommá4kořeny, ± 2 ± 3,tedy tělesosjejehorozkladovýmnadtělesem.tělesosmájedinýgenerátor 2+ 3, každý ϕ Gal(S/Q) je určen hodnotou na tomto generátoru. Podle Lemmatu 2.2 sekořenyzobrazujínakořeny,tedy Gal(S/Q) 4.Podle(2)jekaždáhodnota na generátoru přípustná, tedy Gal(S/Q) = 4. Zbýváurčit,jakprvkyGal(S/Q)vypadajíazdajeGal(S/Q)izomorfnígrupěZ 4 nebogrupě Z 2 Z 2.AplikacíLemmatu2.2napolynomy x 2 2ax 2 3dostaneme, že ϕ( 2)=u 2aϕ( 3)=v 3pronějaká u,v {1, 1},atedy ϕ(a+b 2+c 3+d 6)=a+ub 2+vc 3+uvd 6. Snadnoověříme,že ϕ 2 = idprovšechnyvolby u,v,tedygal(s/q) Z 2 Z 2. Příklad. Spočteme grupu Gal(S/Q), kdes=q( 3 2,e 2πi/3 ). Jesnadnénahlédnout,žeSjerozkladovénadtělesopolynomu x 3 2.Kolikmájeho Galoisova grupa prvků? Jednoduchá úvaha jako v předchozím příkladě nepomůže, protože těleso S je dáno dvěma generátory(podle Věty?? lze toto těleso generovat jedním prvkem, ale ten nebude kořenem tohoto polynomu a navíc není jasné, jak jejnajít).uvažujmemezitěleso Q(e 2πi/3 ).Jdeorozkladovénadtělesopolynomu x 3 1=(x 1)(x 2 x+1).ztohoplyne Gal(Q(e 2πi/3 )/Q) =2,
9 9 protožeautomorfismymusípermutovatkořenypolynomu x 2 x+1.dálesepodívámenaprvkygrupygal(s/q(e 2πi/3 )).Protakový Q(e 2πi/3 )-automorfismus ϕ musíplatit ϕ(e 2πi/3 )=e 2πi/3 adále ϕ( 3 2)semusízobrazitnanějakýkořenpolynomu x 3 2,přičemžpodle(2)jekaždávolbapřípustná.Vidíme,že Podle(3) platí Gal(S/Q(e 2πi/3 ) =3. Gal(S/Q)/Gal(S/Q(e 2πi/3 )) Gal(Q(e 2πi/3 )/Q), tedy Gal(S/Q) = Gal(S/Q(e 2πi/3 )) Gal(Q(e 2πi/3 )/Q) =3 2=6(velikost faktorgrupy je podíl velikosti grupy a velikosti příslušné normální podgrupy, viz Lagrangeovavěta).Podle(1)segrupaGal(S/Q)vnořujedogrupyS 3,tedynemůže býtizomorfnígrupě Z 6,tedyGal(S/Q) S 3. Stěžejním krokem k důkazu Galoisovy věty je následující vlastnost polynomů, jejichž kořeny definují n-té odmocniny. Grupa G se nazývá metabelovská, pokud existujen Gtaková,žeoběgrupyN,G/Njsouabelovské.Jdeospeciálnítyp řešitelných grup, viz Sekce 2.2. Tvrzení 2.4. Buď T těleso charakteristiky 0. (1)BuďSrozkladovénadtělesopolynomu x n 1nadT.PakGal(S/T)je abelovská grupa. (2)Buď S rozkladové nadtěleso polynomu x n a nad T, kde a T. Pak Gal(S/T) je metabelovská grupa. Důkaz.(1)Dokážeme,žeGal(S/T)jeizomorfnínějaképodgrupěgrupy Z n,tedy jde o abelovskou grupu. Vzhledem k charakteristice 0 můžeme předpokládat Q T S=T(e 2πi/n ) C. Každýautomorfismus ϕ Gal(S/T)permutujekořenypolynomu x n 1,tedy splňujeϕ(e 2πi/n )=e 2kπi/n pronějakék {0,...,n 1}.PřitomnutněNSD(k,n)= 1,protože ϕpermutujetakékořenyvšechpolynomů x m 1,tedyprvky,kterémají vgrupě C řáddělící m,semusízobrazitnaprvkyřádu,kterýdělí m;čiliprvky řádupřesně nsemusízobrazitnaprvkyřádupřesně n,cožjsouprávěčísla e 2kπi/n kdensd(k,n)=1.vidíme,žezobrazení,kteréautomorfismu ϕpřiřadítoto kje prostý homomorfismus: prostý díky tomu, že ϕ je jednoznačně určeno hodnotou na generátoru, a homomorfismus díky tomu, že skládání automorfismů odpovídá násobení příslušných k. (2)Označme bkořenpolynomu x n avs.pak be 2kπi/n, k=0,...,n 1,jsou právěvšechnykořenypolynomu x n avs.vidíme,žes=t(b,e 2πi/n ),máme tedy řadu rozšíření T T(e 2πi/n ) S=T(b,e 2πi/n ). ProstřednítělesoT(e 2πi/n )jerozkladovépropolynom x n 1,můžemetedyaplikovat Tvrzení 2.3(3), které říká, že Gal(S/T)/Gal(S/T(e 2πi/n )) Gal(T(e 2πi/n )/T). JakvypadágrupaGal(S/T(e 2πi/n ))?Každýprvek ϕjeurčenhodnotounagenerátorub.tensemusízobrazitnajedenzkořenůpolynomux n a,tedyϕ(b)=be 2kπi/n pro nějaké k. Vidíme, že skládání automorfismů odpovídá sčítání těchto koeficientů,tedyzobrazenígal(s/t(e 2πi/n )) Z n,kteréautomorfismu ϕpřiřadítoto
10 10 k,jeprostýmhomomorfismemdocyklickégrupy Z n.dokázalijsme,žepodgrupa N=Gal(S/T(e 2πi/n ))jecyklická,tudížabelovská,adíkyčásti(1)jefaktorgrupa Gal(S/T)/N také abelovská. Takže grupa Gal(S/T) je metabelovská. Poznamenejme, že důkaz tohoto tvrzení je jediné místo, kde potřebujeme předpoklad charakteristiky 0. Pro tělesa kladné charakteristiky toto tvrzení neplatí. Na závěr uvedeme jednu důležitou vlastnost, která se dokazuje podobným trikem jako Tvrzení 2.3. Tvrzení 2.5. Buď S rozkladové nadtěleso nějakého polynomu nad tělesem T a buď g T[x]ireducibilnípolynom.Pokudmápolynom gvtělesesnějakýkořen,pak se nad tělesem S rozkládá na lineární činitele. Důkaz. Označme f polynom, pro nějž je S rozkladovým nadtělesem a uvažujme rozkladovénadtělesoupropolynom fgnadt.označme akořenpolynomu gv tělese S a uvažujme jakýkoliv jiný kořen b tohoto polynomu v U. Chceme dokázat, že bležívs.podobnějakovtvrzení2.3(2)rozšířímet-izomorfismust(a) T(b) naprvek ϕ Gal(U/T)splňující ϕ(a) = b(nemůžemepřímopoužítbod(2), protože polynom f g není ireducibilní). Nyní si uvědomíme, že ϕ permutuje kořeny polynomu f,kterégenerujítělesos,atedy ϕ(s) S.Speciálnědostáváme,že b=ϕ(a) S Řešitelnost grup. Definice. Grupa G se nazývá řešitelná, pokud existuje číslo k a normální podgrupy N 0,...,N k Gtakové,že {1}=N 0 N 1... N k =Gakaždáfaktorgrupa N i /N i 1, i=1,...,k,jeabelovská.číslu kseříkástupeňřešitelnosti. Vidíme, že grupa je Příklady. řešitelná stupně 1 právě tehdy, když je abelovská; řešitelná stupně 2 právě tehdy, když je metabelovská. GrupaS 3 jeřešitelnástupně2,jakprokazujeřadapodgrup {1} A 3 S 3.Vidíme,žeoběfaktorgrupyA 3 /{1}=A 3 Z 3 as 3 /A 3 Z 2 jsou abelovské. Obecněji,dihedrálnígrupyD 2n jsouřešitelnéstupně2,jakprokazujeřada podgrup {1} N D 2n,kdeNsestávázevšechotočení.Vidíme,žeobě faktorgrupyn/{1}=n Z n ad 2n /N Z 2 jsouabelovské. GrupaS 4 jeřešitelnástupně3,jakprokazujeřadapodgrup {1} K A 4 S 4,kdeK= (12)(34),(13)(24) jekleinovapodgrupa.vidíme,že K Z 2 Z 2, A 3 /K =12/4=3aS 4 /A 4 Z 2,tedyvšechnyfaktorgrupy jsou abelovské. Příklad. GrupaS 5 nenířešitelná.stačídokázat,žejedinávlastnípodgrupatéto grupyjea 5,tedyžejedinámožnářadaje {1} A 5 S 5,avšakA 5 neníabelovská. Důkaz lze provést rozborem případů podle typu permutací. Uvažujme normální podgrupu {1} N S 5. (1) Pokud N obsahuje transpozici, pak obsahuje všechny transpozice, protože Njeuzavřenánakonjugaci,atedyN=S 5,neboťtranspozicegenerují celougrupus 5.
11 11 (2) PokudNobsahujetrojcyklus,pakobsahujevšechnytrojcykly,atedyA 5 N,neboťtrojcyklygenerujícelougrupuA 5.ZLagrangeovyvětyplyne,že N=A 5 nebon=s 5. (3) Pokud N obsahuje permutaci složenou ze dvou disjunktních transpozic, pak obsahujevšechnytakovéasložení(12)(34) (12)(35)=(354)převádí problém na bod(2). (4) Pokud N obsahuje permutaci složenou z trojcyklu a dvojcyklu, pak obsahujevšechnytakovéasložení((123)(45)) 2 =(132)převádíproblémna bod(2). (5) PokudNobsahuječtyřcyklus,pakobsahujevšechnytakovéasložení(1234) (1243)=(132)převádíproblémnabod(2). (6) PokudNobsahujepěticyklus,pakobsahujevšechnytakovéasložení(12345) (12345)=(13)(24)převádíproblémnabod(3). Stěžejní vlastností řešitelných grup je následující charakterizace, která umožňuje problém řešitelnosti dané grupy převést na problém řešitelnosti dvou menších podgrup. Lemma2.6. BuďGgrupa.PakGjeřešitelnáprávětehdykdyžexistujeN G taková, že obě grupy N, G/N jsou řešitelné. Důkaz. V TÉTO VERZI NEBUDE, viz libovolná učebnice teorie grup Příklad.GrupyS n, n 5,nejsouřešitelné,protožeobsahujípodgrupuS 5,okteré jsme již ukázali, že není řešitelná. Důsledkem lemmatu je následující kritérium řešitelnosti, které zeslabuje podmínky na normální podgrupy z definice řešitelnosti. Důsledek 2.7. Buď G grupa a předpokládejme, že existuje číslo k a normální podgrupyn 0,...,N k Gtakové,že {1}=N 0 N 1... N k =Gakaždá faktorgrupan i /N i 1, i=1,...,k,jeřešitelná.pakgjeřešitelná. Důkaz. Snadno indukcí podle k Řešitelnost polynomů v radikálech. Definice.BuďT Srozšířenítělesaa S.Řekneme,žeprvek ajevyjádřitelnýv radikálechnadtělesemt,pokudexistujírozšířenít=s 0 S 1... S k taková, žes i+1 jerozkladovénadtělesonějakéhopolynomu x ni a i S i [x]nadtělesems i, a a S k. Neformálně, prvek je vyjádřitelný v radikálech nad T, pokud jej lze zapsat za pomociprvkůtělesat,operací+,,,/an-týchodmocnin.např.prvek i+1 jevyjádřitelnýnad Q,neboťjeprvkemrozšíření Q S 1 S 2 S 3,kdepostupně použijemepolynomy x 3 2 Q[x], x 2 ( 3 2+1) S 1 [x]ax 2 +1 S 2 [x]. Definice. BuďTtělesoafpolynomzT[x].Řekneme,žepolynom fjeřešitelný vradikálech nadtělesemt,pokudjekaždýkořenrovnice f =0vyjádřitelnýv radikálechnadt.jinýmislovy,pokudexistujírozšířenít=s 0 S 1... S k taková,žes i+1 jerozkladovénadtělesonějakéhopolynomu x ni a i S i [x]nad tělesems i,arozkladovénadtělesopolynomu fjeobsaženovs k.
12 12 Rozebereme si případ polynomů stupně 2 a 3. Pro kořeny kvadratického polynomu x 2 +bx+c Q[x]mámevzorec b± b 2 4c, 2 tedykořenyležívnadtělese Q( b 2 4c),kteréjerozkladovýmnadtělesempolynomu x 2 (b 2 4c).Stačítedyjedinérozšířenítělesa Q.Prokořen akubického polynomu x 3 +bx+c Q[x]mámevzorec a= 3 c+ D 2 3 c+ D, 2 kde D=c b3,takžepotřebujemeaspoňdvěrozšíření:nejprveoprvek D,a pakopříslušnoutřetíodmocninu.formálně, Q S 1 S 2,kdeS 1 jerozkladové nadtělesopolynomu x 2 DaS 2 jerozkladovénadtělesopolynomu x 3 ( c+ D). Nenítěžkédokázat,žetělesoS 2 obsahujeidruhýsčítaneczevzorce,tedy a S 2, ažesedanýpolynomvs 2 dokoncerozkladá.podobněbybylomožnérozebrati výpočet kořenů polynomů stupně 4. UvedenádiskusesouvisísřešitelnostígrupS 2,S 3,S 4.Všimnětesi,žeS 2 jeabelovskádvouprvkováakřešenírovnicestačilojednorozšířenístupně2.grupas 3 jemetabelovská,velikostifaktorgrupjsoupostupně3= A 3 /{1} a2= S 3 /A 3, přitom k vyjádření kořene byla potřeba rozšíření stupně 2 a 3. Podobné pozorování lzeučinitiprostupeň4.tonenínáhoda,nýbržzákonitost,kteráplynezpokročilejší Galoisovy teorie(tak daleko se nedostaneme). Naopak neexistence vzorce na řešenípolynomůstupně5avíceplynezneřešitelnostigrups n, n 5,jaksinyní ukážeme. V této chvíli máme k dispozici všechny pojmy potřebné k důkazu stěžejní implikace Galoisovy věty 2.1. Její důkaz je založen na Tvrzení 2.4. Definice vyjádřitelnostivradikálechpoužívářetězecrozšířenís 0 S 1... S k,kdekaždés i+1 jerozkladovýmnadtělesemnějakéhopolynomutypu x n a,kde ajeprvkems i. Tvrzení 2.4 říká, že Galoisova grupa takového rozšíření je řešitelná. Nabízí se použít vlastnost(3) z Tvrzení 2.3, dostat řadu normálních podgrup, jejíž faktorgrupy jsou řešitelné a použít kritérium řešitelnosti z Důsledku 2.7. Problém je v tom, že Tvrzení 2.3 lze použít pouze na tělesa, jež jsou rozkladová nad bázovým tělesem T. Situaci lze řešit pomocí následujícího technického lemmatu. Lemma2.8. BuďTtělesocharakteristiky0aT S Urozšířenítělestaková, že S je rozkladové naděleso nějakého polynomu nad T a U je rozkladové nadtěleso polynomu x n a S[x]nadS.PakexistujerozšířeníU Vtakové,žeVje rozkladové naděleso nějakého polynomu nad T a Gal(V/S) je řešitelná grupa. Poznamenejme, že kdyby bylo samo U rozkladovým nadtělesem nějakého polynomunadt,pakbychommohlivolitv=uapoužíttvrzení2.4. Důkaz. Označme f polynom, pro který je těleso S rozkladové nad T. Definujeme polynom g= m a,t (x n ) T[x](dominimálníhopolynomu m a,t dosadímemocninu proměnné x)auvažujmerozkladovénadtělesovpolynomu fg T[x]nadtělesemT.Vidíme,žeU V,protože x a m a,t vs[x],tedy x n a m a,t (x n )=g vs[x],takžesepolynom x n arozkládávev[x]nalineárníčinitele.dokážeme, že Gal(V/S) je řešitelná grupa.
13 13 Označme a 1,...,a m kořenypolynomu m a,t vtěleses.tentopolynomjeireducibilní,jehokořen aležívs,tedypodletvrzení2.5jsouvšechnyprvky a 1,...,a m vs.tedy m a,t =(x a 1 ) (x a m )ag=(x n a 1 ) (x n a m )vs[x].označme g i =(x n a 1 ) (x n a i ) S[x] abuďu i rozkladovýmnadtělesempolynomu g i nads,prokaždé i=0,...,m. Máme řadu rozšíření S=U 0 U 1... U m 1 U m =V, všechna tělesa jsou rozkladová nad S, tedy můžeme m-krát aplikovat Tvrzení 2.3(3) a dostáváme řadu normálních podgrup {id}=n m N m 1... N 1 N 0 =Gal(V/S), kden i =Gal(V/U i ) Gal(V/S)provšechna i.navíc,opětdíkytvrzení2.3(3), N i /N i 1 =Gal(V/U i )/Gal(V/U i 1 ) Gal(U i /U i 1 ), přičemžtytofaktorgrupyjsouřešitelnépodletvrzení2.4,protožeu i jerozkladovýmnadtělesempolynomu x n a i nadtělesemu i 1.Důsledek2.7říká,žegrupa Gal(V/S) je řešitelná. Důkaz Galoisovy věty 2.1, část( ). Uvažujme polynom f řešitelný v radikálech a příslušná tělesa prokazující tento fakt,tj.mějmerozšířenít=s 0 S 1... S k taková,žes i+1 jerozkladové nadtělesonějakéhopolynomu x ni a i S i [x]nadtělesems i,apředpokládejme, žerozkladovénadtělesowpolynomu fnadtjeobsaženovtěleses k.dokážeme, že grupa Gal(W/T) je řešitelná. BudemestavětdvěřadyrozšířeníT=U 0 U 1... U k at=v 0 V 1... V k splňujícínásledujícívlastnostiprovšechna i=1,...,m: (1)S i U i V i, (2)V i jerozkladovénadtělesonějakéhopolynomunadt, (3)Gal(V i /V i 1 )jeřešitelnágrupa. DefinujmeU 0 =V 0 =S 0 =Tapostupujmeinduktivněpro i=1,...,m.buď U i rozkladovénadtělesopolynomu x ni a i nadtělesemv i 1.Nynípoužijeme Lemma2.8nasituaciV i 1 U i azískámerozšířeníu i V i svlastnostmi(2), (3). Vlastnost(1) je očividně splněna také. MámetedyřadurozšířeníT=V 0 V 1... V k,kdekaždév i jerozkladové nad T, takže lze aplikovat Tvrzení 2.3(3) a získat řadu normálních podgrup {id}=n m N m 1... N 1 N 0 =Gal(V k /T), kden i =Gal(V k /V i ) Gal(V k /T)provšechna i.vlastnost(2)říká,žefaktorgrupy N i /N i 1 =Gal(V k /V i )/Gal(V k /V i 1 ) Gal(V i /V i 1 ) jsouřešitelné,azdůsledku2.7vidíme,žegrupagal(v k /T)jeřešitelná. Zbývá dokázat, že grupa Gal(W/T) je také řešitelná. Z vlastnosti(1) plyne, žet W V k.oběrozšířeníjsourozkladovánadt,tedyopětmůžemepoužít Tvrzení2.3(3)avidíme,žeGal(W/T) Gal(V k /T)/Gal(V k /W).Nynístačí použítlemma2.6,kteréříká,žefaktorgrupařešitelnégrupygal(v k /T)jetaké řešitelná.
14 14 K důkazu Abel-Ruffiniho věty zbývá najít polynomy, jejichž rozkladové nadtěleso nemá řešitelnou Galoisovu grupu. Takových polynomů je většina, přesto není úplně snadné nějaký příklad předvést. Asi nejjednodušší rodinu příkladů popisuje následující tvrzení. Tvrzení 2.9. Buď p prvočíslo a uvažujme ireducibilní polynom f Q[x] stupně p,kterýmá p 2reálnýcha2imaginárníkořeny.BuďSrozkladovénadtěleso polynomu fnad Q.PakGal(S/Q) S p. Důkaz.Připomeňme,žegrupaGal(S/Q)sevnořujedogrupyS p,přičemžjejíprvky jsou dány permutací na kořenech polynomu f. Nejprve si uvědomme, že komplexní sdružení je Q-automorfismem tělesa S, tedy obraz Gal(S/Q) obsahuje transpozici. Věta??říká,že Gal(S/Q) =[S:Q].Přitom[S:Q]jedělitelnéčíslem p,tedy podle Cauchyho věty?? obsahuje grupa Gal(S/Q) prvek řádu p, tedy její obraz obsahuje p-cyklus. Nyní si stačí uvědomit, že libovolný p-cyklus a transpozice generuje celougrupus p. Příkladempolynomu,kterýsplňujepředchozítvrzení,jetřeba f= x 5 4x+2. Tento polynom je ireducibilní podle Eisensteinova kritéria, počet reálných kořenů snadnozjistímepomocíkalkulu: f =5x 4 4,tatorovnicemádvěreálnářešení, tedy příslušná reálná funkce f má jedno maximum a jedno minimum, přičemž snadno dopočítáme, že maximum je kladné a minimum záporné. Protože polynomiální funkce jsou spojité, musí existovat právě tři reálné kořeny. Galoisova grupa rozkladovéhonadtělesapolynomufjetedyizomorfnígrupěs 5,kteránenířešitelná. Důsledek 2.10(Abel-Ruffiniho věta, silnější verze). Existují racionální polynomy stupně 5 a více, které nejsou řešitelné v radikálech nad tělesem Q.
GALOISOVA TEORIE. Definice. Grupa G se nazývá řešitelná, pokud existuje číslo k a normální podgrupy
GALOISOVA TEORIE DAVID STANOVSKÝ Řešitelné grupy Definice. Grupa G se nazývá řešitelná, pokud existuje číslo k a normální podgrupy N 0,..., N k G takové, že {1} = N 0 N 1... N k = G a každá faktorgrupa
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VíceCharakteristika tělesa
16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním
VíceCyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)
C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu
Vícepochopení celé kapitoly je myšlenka, že těleso S lze považovat za vektorový prostor
NOVý TEXT O TěLESOVýCH ROZ LÍřENÍCH DAVID STANOVSKÝ 1. Algebraické prvky a rozšíření konečného stupně 1.1. Rozšíření jako vektorový prostor. Buď T S rozšíření těles. Klíčem k pochopení celé kapitoly je
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Vícegrupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
S Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 s Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy s Doporučene zdroje Martin Panák,
VíceOkruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a
Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i
VícePŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
Více[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
Více15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.
Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy Martin Panák, Jan Slovák, Drsná
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál
VícePolynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
VíceAlgebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám
Algebra 2 slidy k přednáškám KMI/ALG2 Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. Vytvořeno za podpory projektu FRUP_2017_052: Tvorba a inovace výukových opor
VíceÚlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
VícePomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
Více[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
Více4 Počítání modulo polynom
8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li
VícePOLYNOMY DAVID STANOVSKÝ
POLYNOMY DAVID STANOVSKÝ 1. Polynomy nad gaussovskými obory 1.1. Gaussova věta. Polynomy jedné proměnné nad tělesem tvoří eukleidovský obor, a tedy jsou gaussovské. Polynomy více proměnných, nebo třeba
VíceLineární algebra : Lineární zobrazení
Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory
VíceMatematika 2 pro PEF PaE
Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VíceDefinujte Gaussovský obor. Vysvětlete, co přesně rozumíme jednoznačností rozkladu.
1.teorie(1bod) Formulujte princip matematické indukce. Napište základní větu aritmetiky. Napište Bézoutovu rovnost v oboru celých čísel. Definujte,coznamenázápis a b(mod n),auveďtezákladnívlastnosti. Napište
Více2. Test 07/08 zimní semestr
2. Test 07/08 zimní semestr Příklad 1. Najděte tříprvkový poset (částečně uspořádanou množinu), která má právě dva maximální a právě dva minimální prvky. Řešení. Takový poset je až na izomorfismus jeden:
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
VíceALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =
ALGEBRA 1 Úkol na 13. 11. 2018 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = 353 623, b = 244 571. 2. Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin
VíceStromové rozklady. Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom,
Stromové rozklady Zdeněk Dvořák 25. října 2017 Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom, β je funkce přiřazující každému vrcholu T podmnožinu vrcholů v G, pro každé
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Více)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
Více10. Vektorové podprostory
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Definice. Bud V vektorový prostor nad polem P. Podmnožina U V se nazývá podprostor,
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
VícePavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT 2 0 1 7 Obsah 1 Vektorové prostory 2 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 2 2 Generování podprostor u............................
VíceModely Herbrandovské interpretace
Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
VíceVrcholová barevnost grafu
Vrcholová barevnost grafu Definice: Necht G = (V, E) je obyčejný graf a k N. Zobrazení φ : V {1, 2,..., k} nazýváme k-vrcholovým obarvením grafu G. Pokud φ(u) φ(v) pro každou hranu {u, v} E, nazveme k-vrcholové
VícePŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceAlgebraické struktury
Algebraické struktury KMA/ALG Sylabus Teorie grup - grupy, podgrupy, normální podgrupy, faktorgrupy, Lagrangeova věta. Homomorfismus grup, věty o izomorfismu grup, cyklické grupy a jejich struktura. Direktní
VíceGenerující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30
Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou
VícePavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................
VíceFIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceDoporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Více4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy
4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s
VíceLineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
Více(1) Dokažte, že biprodukt je součin (a tím pádem i součet). Splňují-li homomorfismy. A B je izomorfismus stejně jako A B i+j
1. cvičení (1) Necht A je komutativní grupa. Dokažte, že End(A) společně s operacemi sčítání a skládání zobrazení je okruh. (2) Dokažte přímo z definice, že na každé komutativní grupě existuje právě jedna
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceÚlohy k procvičování textu o univerzální algebře
Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA
MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ŘEŠITELNÉ GRUPY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Brno 2006 Martin Štoudek Prohlašuji, že tato práce je mým původním autorským dílem, které jsem vypracoval samostatně. Všechny
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. zavedení pojmů relace, zobrazení (funkce); prostá zobrazení, zobrazení na, bijekce 2. rozklady, relace ekvivalence, kongruence, faktorizace 3. uspořádání a některé
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 27. Cyklické grupy In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 198--202. Persistent
VíceTeorie grup 1 Příklad axiomatické teorie
Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní
Víceα β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace
Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme
VíceZápadočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ
Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE KONEČNÉ GRUPY MALÝCH ŘÁDŮ Ivana Čechová Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Hora, CSc. Plzeň 2012 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY. PAVEL RŮŽIČKA 3.1. Kompaktní prostory. Buď (X, τ) topologický prostor a Y X. Řekneme, že A τ je otevřené pokrytí množiny Y, je-li
VíceNAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VíceVýroková a predikátová logika - XII
Výroková a predikátová logika - XII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XII ZS 2015/2016 1 / 15 Algebraické teorie Základní algebraické teorie
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceNOVý TEXT O GRUPÁCH DAVID STANOVSKÝ
NOVý TEXT O GRUPÁCH DAVID STANOVSKÝ 1. Pojem grupy 1.1. Definice a příklady. Motivací teorie grup je především studium nejrůznějších symetrií matematických objektů. Pojem pochází z Galoisovy teorie a původně
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceZáklady teorie grup. Martin Kuřil
Základy teorie grup Martin Kuřil Abstrakt Text je vhodný pro samostudium a jako studijní opora pro studenty distanční a kombinované formy studia. V textu jsou vyloženy základy teorie grup od zavedení pojmu
VíceVysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy
Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Regulární pologrupy Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Tomáš Masopust Brno, 2006 Obsah Úvod 1 1 Základní definice
Více2. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy:
Sbírka příkladů z polynomů pro předmět Cvičení z algebry I Dělení v okruzích polynomů 1. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy a) (x 5 + x 3 2x + 1) : ( x 3 + x + 1), b) (3x 3 + 10x 2 + 2x 3) : (5x 2 + 25x
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceKomutativní okruhy Teorie těles a její aplikace
1 / 236 Komutativní okruhy Teorie těles a její aplikace Pavel Růžička ruzicka@karlin.mff.cuni.cz www.karlin.mff.cuni.cz/ ruzicka Karlín - místnost 307, tel: 2-2191-3359 Zimní Semestr, 2008 Teorie těles
Více8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy
24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF
Více