ALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =

Transkript

1 ALGEBRA 1 Úkol na Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b = Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin 2π 3 = i, což je jedna z 3 1, platí 3. Ukažte různými způsoby, že platí: 1 + ε + ε 2 = ω + ω 2 + ω 3 + ω 4 = 0, kde ω = cos 2π 5 + i sin 2π 5 je jedna z pátých odmocnin 5 1. Použijte přitom a) trik s vynásobením ω, b) součet prvních n členů geometrické posloupnosti, c) různých goniometrických vztahů (optimalizovaný výpočet pomocí goniometrického tvaru komplexních čísel), d) pro zájemce: na základě znalosti konstrukce pravidelného pětiúhelníku (tj. přímý výpočet). 4. Dokažte, že obecně pro n-tou odmocninu z jedné ω = cos 2π n + i sin 2π n platí 1 + ω + ω ω n 1 = a) Definujte cyklickou grupu. b) Je cyklická grupa vždy komutativní? Své tvrzení podložte. c) Definujte normální podgrupu. d) Je podgrupa komutativní grupy vždy normální? Své tvrzení podložte. e) Lze vždy faktorizovat podle cyklické podgrupy? Své tvrzení podložte. 6. Připomeňte si pojmy: permutace, cyklus, rozklad na nezávislé cykly, znaménko permutace, počet inverzí, transpozice. Uvědomte si, že cyklus generuje cyklickou grupu. Uveďte konkrétní příklad. 7. Zopakujte si faktorizaci grupy podle normální podgrupy. Začněte klasickým příkladem Z / 2Z = Z 2. Definujte normální podgrupu.

2 2 Úkol na Najděte všechny kořeny kubické rovnice (pomocí Cardanových vzorců, případně pomocí goniometrické substituce, nastane-li casus irreducibilis): a) x 3 3x 2 + x + 5 = 0 b) x 3 13x + 12 = 0 2. Kdy nastává casus irreducibilis? Uveďte charakterizaci pomocí vlastností: a) kvadratické resolventy b) kořenů kubické rovnice. 3. Podrobně si zopakujte obecný postup řešení polynomiálních rovnic pomocí symetrických polynomů a cyklických grup na příkladu kubické rovnice. 4. Najděte všechny kořeny kubické rovnice x 3 2x + 4 = 0 dvěma způsoby: - obecným postupem (tj. pomocí symetrických polynomů a cyklických grup), - postupem vedoucím na kvadratickou resolventu a Cardanovy vzorce. Porovnejte výrazy t 1 a t 2 s třetími odmocninami figurujícími v Cardanových vzorcích. 5. Je dána kubická rovnice v redukovaném tvaru x 3 + px + q = 0. Vypočtěte t t3 2 a výsledek vyjádřete pomocí koeficientů p a q. 3 Úkol na Najděte všechny kořeny kubické rovnice (pomocí Cardanových vzorců, případně pomocí goniometrické substituce, nastane-li casus irreducibilis): 2. Najděte všechny kořeny kubické rovnice x 3 7x + 6 = 0 x 3 3x + 52 = 0 dvěma způsoby: - obecným postupem (tj. pomocí symetrických polynomů a cyklických grup), - postupem vedoucím na kvadratickou resolventu a Cardanovy vzorce. Porovnejte výrazy t 1 a t 2 s třetími odmocninami figurujícími v Cardanových vzorcích. 3. Zopakujte si kapitolku 6 (permutace) z elektronické učebnice Bečvář J.: Lineární algebra. Matfyzpress, Praha, Vypište všechny permutace z alternující grupy A 4 (tj. všechny sudé permutace čtyř prvků). Postupujte systematicky, využijte toho, že všechny sudé permutace čtyř prvků lze zapsat jako složení dvou cyklů (cyklu délky 3 a 1, dvou cyklů délky 2).

3 4 Úkol na Najděte kořeny následujících polynomů tak, že se pokusíte snížit jejich stupeň odstraněním násobných kořenů. Využijte přitom: - větu o násobných kořenech polynomu a jeho derivace a - Eukleidova algoritmu pro nalezení NSD(p, p ). a) p(x) = x 4 6 x x 2 12 x + 4 b) p(x) = 8 x x x x x x Úkol na Následující rovnice lze řešit zkusmo dosazením všech hodnot z konečné množiny Z n. a) Najděte v poli Z 7 všechna řešení rovnice x 2 + 3x + 2 = 0. b) Najděte v okruhu Z 6 všechna řešení rovnice x 2 + 3x + 2 = 0. c) Najděte v okruhu Z 6 všechna řešení rovnice x 3 + 5x = 0. d) Najděte v poli Z 3 všechna řešení rovnice x 2 + x + 2 = 0. e) Najděte v okruhu Z 9 všechna řešení rovnice 6x + 1 = Dosazením všech hodnot ze Z 3 ověřte, že následující polynomy ze Z 3 [x] nabývají pro každé x Z 3 stejných hodnot: 2x + 2 = 2x = 2x 4 + 2x 3 + x = x 3 + x + 2 x Z 3. Takovýchto polynomů lze nalézt více, mezi polynomy stupně 4 jsou to také: 2x 4 + x 3 + x 2 + x + 2, 2x 4 + x 2 + 2x + 2, x 4 + 2x 2 + 2x Uvažte, že tabulka uvedená na následující straně skutečně obsahuje: a) všechny polynomiální funkce na Z 3, b) všechny polynomy stupně nejvýše 2 (a nulový polynom) na Z 3. Všechny polynomiální funkce na Z 3 lze tedy popsat pomocí všech polynomů stupně nejvýše 2 (a nulového polynomu). 4. Pokuste se vlastním výpočtem najít polynom stupně nejvýše 2, který na Z 3 nabývá hodnot f(0) = 2, f(1) = 2, f(2) = 0. Můžete užít např. metodu neurčitých koeficientů. 5. Kolik je všech polynomiálních funkcí nad Z n? A kolik je úplně všech funkcí nad Z n? 6. Pokud bychom chtěli popsat všechny polynomiální funkce na Z 5 pomocí polynomů co nejnižšího stupně n, kolik by bylo toto nejnižší možné n? 7. Pomocí konkrétních protipříkladů ukažte, že pole Z 3 a Z 5 nejsou algebraicky uzavřená, tj. najděte polynom stupně n 1, který má méně než n kořenů. Konkrétně, najděte polynom stupně 2, který nemá v Z 3, resp. v Z 5, žádný kořen. 8. Najděte dva různé polynomy v Z 3, jejichž polynomiální funkce jsou si rovny. Čím se tyto dva polynomy liší? 9. Pomocí předpisu pro Lagrangeovu interpolaci napište polynom p R[x], pro nějž platí: a) p(2) = 5, p(4) = 7, p(0) = 8, b) p(2) = 1, p(3) = 1, p(4) = 1. Výsledný polynom není třeba převádět na tvar dle definice polynomu.

4 Polynomy p(x) = ax 2 + bx + c se zadanými hodnotami v Z 3 p(0) p(1) p(2) polynom p(x) v Z x 2 + x x 2 + 2x x 2 + 2x x x x 2 + x x x x x 2 + x x x 2 + 2x x 2 + x x x 2 + 2x x x x x 2 + 2x x x x 2 + x x 2 + x x 2 + 2x

5 6 Úkol na Nakreslete orientovaný graf Γ, jehož incidenční matice je: ( ) ( ) ( ) a) I(Γ) =, b) I(Γ) =, c) I(Γ) = Pomocí Hornerova schématu vypočtěte hodnotu polynomu p v daném c R. a) p(x) = x 4 + 3x 2 + x + 6, c = 3 c = 2 b) p(x) = x + 3, c = 3, c = 4, c = 3 3. Zopakujte si konstrukci podílového pole nad daným oborem integrity. 4. Ukažte, že rozkladové pole polynomu x Q[x] je pole Q(i). 5. Ukažte, že rozkladové pole polynomu f Q[x], kde f(x) = (x 2 2) (x 2 3), je pole Q( 2, 3). 6. Napište, jakého tvaru jsou všechny prvky z Q( 2, 3) (tj. k poli racionálních čísel jsou adjungovány prvky 2, 3). 7. Popište těleso, které má právě 27 prvků. Jak je to s tělesem, které má právě 10 prvků? 8. Ukažte, že je-li F pole, pak je F [x] oborem integrity. Ukažte, že pro získání stejného tvrzení stačí předpokládat, že F je oborem integrity. 9. Dokažte: je-li O okruh, pak je O[x] také okruh. Uveďte konkrétní protipříklad v Z 4 ukazující, proč Z 4 [x] nemůže být oborem integrity.

6 7 Úkol na výtisk s sebou 7.1 Diskriminant Diskriminant kvadratické rovnice Diskriminant kvadratické rovnice ax 2 + bx + c = 0, a, b, c R, a 0 se ve školské matematice zavádí tak, že můžeme snadno nabýt dojmu, že je pouhým označením výrazu pod odmocninou ve vzorci pro kořeny: D = b 2 4ac. Toto označení se jeví jako užitečné, neboť diskriminant slouží při rozlišování (z latinského discrimino, odlišuji, odděluji) případů, které mohou nastat: D > 0, pak má rovnice 2 různé reálné kořeny, D = 0, pak má rovnice 1 dvojnásobný kořen, D < 0, pak má rovnice 2 komplexně sdružené kořeny Diskriminant libovolného polynomu stupně alespoň druhého Je možné diskriminant definovat také pro rovnice vyšších stupňů? Jaký by mohl mít význam? Jelikož polynomy z R[x] vyšších stupňů mohou mít reálné i komplexní kořeny, není možné, aby znaménko jednoho čísla vypovídalo o počtu komplexních kořenů; pouhý údaj, že polynom má či nemá komplexní kořeny, není dostatečně zajímavý. Vzpomeňme však na základní problém: určit kořeny zadaného polynomu f C[x]. Než je začneme hledat, je výhodné ověřit, že polynom nemá násobné kořeny. Kdyby je měl, mohli bychom snížit jeho stupeň tím, že bychom vyšetřovali polynom f s týmiž kořeny jako f, avšak všechny by byly jednoduché. Takový polynom lze najít snadno: f = f NSD (f, f ). Snížením stupně polynomu bychom si pak usnadnili výpočty spojené s hledáním kořenů. Diskriminant by tedy mohl sloužit k rozhodování, zda má rovnice násobné kořeny Obecná definice diskriminantu Jak najít výraz, který by indikoval výskyt násobných kořenů? U kubické rovnice je to snadné; výraz D 3 = (x 1 x 2 ) (x 1 x 3 ) (x 2 x 3 ) bude nulový právě tehdy, když si budou rovny alespoň dva z kořenů. Problém však je, že tento výraz můžeme napsat (a tedy i vyšetřovat) pouze tehdy, když známe všechny kořeny. Pak je však rozhodování o jejich násobnosti triviální. Výraz D 3 tedy budeme chtít vyjádřit pomocí koeficientů příslušného polynomu. To však bude možné pouze tehdy, pokud bude D 3 možno vyjádřit jako funkci symetrického polynomu s neurčitými x 1, x 2, x 3. Toho lze dosáhnout snadno, stačí místo D 3 vyšetřovat D 3 = (x 1 x 2 ) 2 (x 1 x 3 ) 2 (x 2 x 3 ) 2. Tento výraz lze na základě hlavní věty o symetrických polynomech vyjádřit pomocí elementárních symetrických polynomů, tedy (na základě Vietových vzorců) pomocí koeficientů polynomu. Obecně diskriminantem polynomu n-tého stupně rozumíme výraz D n = n 1 i=1 j=i+1 n (x i x j ) 2.

7 7.1.4 Vyjádření diskriminantu pomocí determinantu Klíčové je uvědomit si, že výraz D3 = (x 1 x 2 ) (x 1 x 3 ) (x 2 x 3 ) je dělitelný každým dvojčlenem x i x j, kde i, j {1, 2, 3}, i j, stejně jako Vandermondův determinant x 1 x 2 x 3 x 2 1 x 2 2 x 2, 3 je dělitelný každým dvojčlenem x i x j, kde i, j {1, 2, 3}, i j; stačí odečíst j-tý sloupec od i-tého. Například dělitelnost x 3 x 1 ověříme odečtením 1. sloupce od 3. sloupce, tj x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 1 x 2 2 x 2 3 x2. 1 Vypočtěme nyní výše uvedený Vandermondův determinant: x 1 x 2 x 3 x 2 1 x 2 2 x 2 = x 2 x 1 x 3 x x 2 2 x2 1 x 2 3 x2 = x 2 x 1 x 3 x x 2 2 x2 1 x 2 3 x2 = x 2 x 1 x 3 x 1 x 2 2 x2 1 x 2 3 x2 = 1 1 (x 2 x 1 )(x 3 x 1 ) 1 1 x 2 x 1 x 3 x 1 = (x 2 x 1 )(x 3 x 1 ) 1 1 x 2 x 3 = (x 2 x 1 )(x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = D 3. Znaménkem minus se nemusíme zabývat, zajímá nás totiž druhá mocnina tohoto determinantu. Jelikož je det A = det A T pro každou čtvercovou matici A, můžeme psát D 3 = x 1 x 2 x 3 x 2 1 x 2 2 x 2 1 x 1 x x 2 x x 3 x 2 = x 1 + x 2 + x 3 x x2 2 + x2 3 x 1 + x 2 + x 3 x x2 2 + x2 3 x x3 2 + x3 3 3 x x2 2 + x2 3 x x3 2 + x3 3 x x4 2 + x4. 3 Označíme-li součty k-tých mocnin S k = x k 1 + x k 2 + x k 3, k {0, 1, 2,... }, můžeme psát S 0 S 1 S 2 D 3 = S 1 S 2 S 3 S 2 S 3 S 4. Podobně D n je možno zapsat pomocí analogicky sestaveného determinantu n-tého řádu, např.: S 0 S 1 S 2 S 3 D 4 = S 1 S 2 S 3 S 4 S 2 S 3 S 4 S 5. S 3 S 4 S 5 S Vyjádření diskriminantu pomocí elementárních symetrických polynomů Jelikož jsou S k symetrické polynomy, lze je dle hlavní věty o symetrických polynomech zapsat pomocí elementárních symetrických polynomů (značme je E d, tj. například E 1 = r i=1 x i, E 2 = r r i=1 j=i+1 x ix j, E 3 = r r r i=1 j=i+1 m=j+1 x ix j x m,..., přičemž pro r > n klademe E r = 0).

8 Při vyjadřování S k pomocí E d dle hlavní věty o symetrických polynomech ihned dojdeme k rekurentnímu vztahu, tzv. Newtonovu vzorci: S k = E 1 S k 1 E 2 S k 2 + E 3 S k 3 E 4 S k ( 1) k E k 1 S 1 + ( 1) k+1 ke k. Speciálně pro n = 3 tedy dostáváme: S 0 = x x x 0 3 = = 3 S 1 = x 1 + x 2 + x 3 = E 1 S 2 = x x x 2 3 = E 1 S 1 2E 2 = E 2 1 2E 2 S 3 = x x x 3 3 = E 1 S 2 E 2 S 1 + 3E 3 = E 1 (E 2 1 2E 2 ) E 2 E 1 + 3E 3 = Diskriminant kubické rovnice = E 3 1 3E 1 E 2 + 3E 3 S 4 = x x x 4 3 = E 1 S 3 E 2 S 2 + E 3 S 1 4E 4 Vypočtěme nyní diskriminant kubické rovnice v redukovaném tvaru x 3 + px + q = 0. Z Vietových vět plyne, že E 1 = 0, E 2 = p, E 3 = q. Z rekurentních vztahů plyne, že S 0 = 3, S 1 = E 1 = 0, S 2 = 2E 2 = 2p, S 3 = 3E 3 = 3q, S 4 = E 2 S 2 = 2p 2. S 0 S 1 S p D 3 = S 1 S 2 S 3 = 0 2p 3q S 2 S 3 S 4 2p 3q 2p 2 = 3 0 2p 0 2p 3q p 3q 0 = 3 2p 3q 3q 0 + ( 2p) 0 2p p 3q = 3 ( 9q2 ) 2p 2p 2 = ( 27q 2 + 4p 3) Dostáváme tak diskriminant, který známe z Cardanova postupu řešení kubické rovnice: ( (q 2 ( p ) ) 3 D 3 = ) 3