2. Maximální úspornost (Maximum Parsimony, MP)
|
|
|
- Marie Novotná
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 2. Maximální úspornost (Maximum Parsimony, MP) Ze všech metod konstrukce fylogenetických stromů byly donedávna nejpoužívanější metody maximální úspornosti (parsimonie). Důvodem pro jejich mimořádnou oblibu bylo kromě relativní jednoduchosti a výpočetní rychlosti především to, že základní princip parsimonie preferování jednodušších hypotéz před složitějšími je většině z nás důvěrně známý. Vychází z myšlenky anglického filozofa přelomu 13. a 14. století Williama z Ockhamu, že entity nemají být zmnožovány víc než je nutné, jinými slovy že nejjednodušší vysvětlení je nejlepší (tento princip je znám jako Ockhamova břitva). Jednoduchostí se v tomto případě rozumí minimální počet evolučních kroků; sdílení společných stavů znaků je vysvětlováno společným původem, naopak jakékoli sdílení společného stavu znaku, které nelze vysvětlit zděděním po společném předkovi, je označováno jako důsledek homoplazie (analogie, homoplasy). Princip úspornosti si můžeme ilustrovat na následujícím triviálním příkladu. Předpokládejme fylogenii pěti taxonů s topologií jako na obr. 2.1, která byla konstruována na základě série binárních znaků, u kterých je stejná pravděpodobnost změn 0 1 i 1 0. Stavy tří z těchto znaků pro jednotlivé taxony jsou následující: Taxon Znaky I II III A B C D E a) b) c) Obr. 2.1 Tři nejúspornější kladogramy pro pět taxonů, z nichž každý je založen na jednom znaku (stavy těchto znaků jsou uvedeny v textu). Strom a) a c) předpokládá dvě změny (1 0), strom b) jednu změnu (0 1); pro všechny tři znaky by tedy fylogenie zahrnovala minimálně pět různých změn. 45
2 2. MAXIMÁLNÍ ÚSPORNOST (MAXIMUM PARSIMONY, MP) Stromy na obr. 2.1a c ukazují nejúspornější rozložení stavů pro znaky I III, ke kterému můžeme dospět od oka inspekcí uvedené tabulky. Vidíme, že pro znak 1 strom vyžaduje minimálně dvě změny, pro znak II pouze jednu změnu a pro znak III opět dvě změny. Pro všechny tři znaky tedy strom vyžaduje nejméně pět změn. Minimální počet je však tři, každá pro jeden znak, takže zde máme dvě změny navíc. Tyto nadbytečné změny, kdy jeden stav znaku vzniká vícekrát, jsou vysvětleny ad hoc homoplazií. Princip parsimonie proto můžeme chápat i jako snahu minimalizovat počet těchto analogických stavů. POSTUP METODY V praxi je ovšem odhad počtu změn podél fylogenetického stromu poměrně složitější a vyžaduje určitý algoritmus. Přestože původně byla metoda maximální úspornosti vyvinuta pro morfologické znaky (Hennig 1966), v následujícím textu vyjdeme ze sekvence DNA. Postup metody maximální úspornosti si můžeme ilustrovat na tzv. Fitchově algoritmu (Fitch 1971), který předpokládá stejnou pravděpodobnost změn v jednom i druhém směru (např. Pr[A T] = Pr[T A]) a přímou změnu stavu v kterýkoli jiný. Předpokládejme strom bez kořene se šesti taxony, znázorněný na obr. 2.2a a rekonstruovaný na základě jednoho znaku (tj. jednoho nukleotidového místa) j s následujícími stavy: 1 = C 2 = T 3 = T 4 = T 5 = A 6 = A Stanovení minimálního počtu kroků Nejprve stanovíme minimální počet substitucí podél dané topologie. Zpravidla je výhodné arbitrárně stanovit kořen stromu: v našem případě je kořenem uzel 6 (obr. 2.2b). Začneme v jednom z vrcholů (např. 1) a postupujeme k vnitřnímu uzlu w, který tento vrchol spojuje s nejbližším vrcholem 2. Jestliže vycházíme z předpokladu minimálního počtu substitucí, uzlu w připíšeme C, nebo T. Obdobně v uzlu x musí být stav T, protože oba terminální uzly, které vnitřní uzel x spojuje, mají na místě j thymin; další vnitřní uzel y má stav A, nebo T. Porovnáme-li uzly w (C, nebo T) a y (A, nebo T), nejúspornějším stavem pro uzel z je T. Jakmile algoritmus dosáhne kořene stromu, pokračuje odsud zpět k vrcholům. Protože uzel z neobsahuje stav charakterizující jeho předka (uzel 6), bude přiřazení jeho stavu arbitrární. Předpokládejme, že tomuto uzlu připíšeme adenin, takže přechod 6 z potom nevyžaduje žádnou substituci (obr. 2.2c). Uzlu y připíšeme A, protože ten je přítomen již v uzlu z. V uzlu x ponecháme T (substituce A T) a uzlu w připíšeme opět arbitrárně stav T (substituce A T). Přechod z uzlu w k terminálnímu uzlu 1 vyžaduje další změnu (substituce T C). Celkový počet substitucí nezbytných k vysvětlení daného stromu je 3. Jestliže uzlu z připíšeme stav T, bude výsledný počet změn opět 3 (obr. 2.2d). Celkem jsou možné čtyři stejně úsporné stromy (zbývající dva stromy jsou ukázány na obr. 2.2e f). 46
3 Postup metody a) b) c) d) e) f) Obr. 2.2 Postup metody maximální úspornosti pro neseřazená data (Fitchova parsimonie). Na obr. a) je na základě stavů jednoho znaku (bází na jedné nukleotidové pozici) vytvořena jedna z možných topologií bez kořene, která je převedena na strom s kořenem (b) arbitrárním stanovením kořene v jednom z terminálních uzlů (6). Jednotlivým terminálním uzlům jsou přiřazeny příslušné zjištěné báze, zatímco stavy na interních uzlech jsou odhadovány jako nejúspornější průsečík stavů nad nimi. Při cestě od kořene vzhůru dostáváme dva alternativní, stejně úsporné stromy podle toho, jakou bázi předpokládáme ve vnitřním uzlu z. Jestliže je tomuto uzlu přiřazen thymin (d), uzly w a y budou při kritériu úspornosti obsahovat stejnou bázi; naopak pokud si uzel z zachová adenin, dostaneme tři možné stromy. Všechny čtyři stromy jsou stejně úsporné, s délkou čtyři kroky. 47
4 2. MAXIMÁLNÍ ÚSPORNOST (MAXIMUM PARSIMONY, MP) Ve výše uvedeném příkladu jsme uvažovali pouze jednu topologii. Ve skutečnosti musíme uvažovat všech 105 potenciálních topologií a identifikovat tu, která vyžaduje nejmenší počet kroků. Tímto způsobem můžeme vypočítat sumu minimálních počtů substitucí pro všechny potenciální topologie a pro všechna nukleotidová místa. Tato suma se nazývá délka stromu. Maximálně úsporný strom je potom topologie, která má nejmenší délku. Často se stává, že existuje několik odlišných topologií se stejnou délkou. V praxi jsou pro vyhledání optimálního stromu (stromů) používány sofistikované algoritmy. Zde je nutno rozlišovat mezi kritériem optimálnosti a konkrétním algoritmem zatímco algoritmy jsou neustále zdokonalovány, kritéria zůstávají stejná. Informativní a neinformativní znaky a problém analogie Při hledání maximálně úsporných (MP) stromů nejsou všechny znaky stejně důležité. Zůstaneme-li u příkladu sekvence DNA, potom invariabilní místa, tj. pozice, které obsahují stejný nukleotid u všech zkoumaných taxonů, jsou z analýzy vyloučena. Ovšem ani všechna variabilní místa nejsou z hlediska konstrukce MP stromu stejně informativní. Jedním z příkladů neinformativního variabilního znaku je místo, které obsahuje odlišný nukleotid pouze u jedné sekvence, zatímco všechny ostatní sekvence jsou v tomto místě stejné tyto stavy se nazývají výlučně odvozené neboli autapomorfní. Aby bylo nukleotidové místo informativní, musí obsahovat alespoň dva různé nukleotidy, z nichž každý se vyskytuje alespoň u dvou sekvencí. Pro úplnost je nutno dodat, že pro některé jiné metody fylogenetické analýzy (např. maximální věrohodnost, bayesovskou analýzu) jsou důležitá i invaria bilní místa. Rovněž některé MP algoritmy používají pro výpočet délky stromů i variabilní místa, která jsou z hlediska hledání maximálně úsporného stromu neinformativní. Protože maximálně úsporný strom můžeme spolehlivě konstruovat pouze na základě fylogeneticky informativních znaků, musí být MP analýza založena na velkém celkovém počtu míst. Jestliže však data obsahují velký počet homoplazií, nemusí být výsledek spolehlivý ani při velmi velkém množství znaků. Pro odhad rozsahu homoplazie bylo navrženo několik indexů. Nejstarší a nejznámější je index konzistence (consistency index, CI), navržený Klugem a Farrisem (1969). Tento poměrně jednoduchý index je pro jedno nukleotidové místo vyjádřen jako podíl c i = m i /s i, kde m i je minimální počet potenciálně možných evolučních kroků (substitucí) na i-té pozici a s i je minimální počet substitucí nutných k vysvětlení daného stromu. Minimální možný počet substitucí m i je dán počtem různých typů nukleotidů na i-tém místě minus 1. Například pro strom na obr. 2.2c je index konzistence roven 2/3, protože m i je 2 (3 nukleotidy minus 1) a s i je rovno 3 (tj. 3 substituce). Nízký rozsah homoplazie v datech se odráží ve vysokých hodnotách indexu konzistence. Maximální hodnota CI je 1, spodní hranice však není 0 a navíc index kolísá s topologií. Proto Farris (1989) navrhl další dva ukazatele, retenční index a přeškálovaný index konzistence. Retenční index (retention index, RI) lze považovat za míru stupně synapomorfie v datech (Kitching et al. 1998; Klingenberg a Gidaszewski 2010). Pro jedno nukleotidové místo je roven r i = g i s i g i m i, (2.1) 48
5 Postup metody kde g i je maximální možný počet substitucí na i-tém místě pro jakýkoli myslitelný strom. Ten je roven počtu substitucí nezbytných pro hvězdicovou topologii, ve které je nejfrekventovanější nukleotid umístěn doprostřed. Veličina g i vyjadřuje, kolik kroků by bylo nutno k vysvětlení evoluce analyzovaných dat za nejhorších možných podmínek. Retenční index nabývá nulové hodnoty, když g i = s i, a maximálně dosahuje 1. V případě obr. 2.2 by ve středu hvězdicového stromu bylo T; g i by pak bylo rovno 3 (3 substituce: 2 T A, 1 T C), s i = 3, m i = 2 a r i = (3 3)(3 2) = 0. Přeškálovaný index konzistence (rescaled consistency index, RC) je dán součinem CI a RI, pro i-té nukleotidové místo tedy platí rc i = g i s i g i m i m i s i. (2.2) Všechny výše jmenované indexy lze vypočítat také pro všechna informativní místa. Hovoříme potom o složeném neboli celkovém indexu konzistence (CI), celkovém retenčním indexu (RI) a celkovém přeškálovaném indexu konzistence (RC). Tyto indexy se vypočítají sumací jednotlivých proměnných přes všechna informativní nukleotidová místa: CI= i m i i s i, RI= i g i i s i i g i i m i, RC=CI RI. ( ) Tyto indexy můžeme počítat pouze pro informativní místa, protože pro neinformativní místa nelze r i a rc i definovat. CI, RI a RC jsou často používány systematiky jako míra přesnosti získané topologie MP stromu. V systematice se někdy index konzistence nahrazuje indexem homoplazie (homoplasy index, HI), který je dán jako HI = 1 CI, tj. při nulové homoplazii CI = 1 a HI = 0. Některé programy poskytují i další indexy, které informují o charakteru dat a rozložení homoplazie mezi znaky a částmi MP stromu. Jedním z nich je průměrná jednotková konzistence znaku (average unit character consistency, AUCC): AUCC= N i=1c i N, (2.6) kde c i je jednotková konzistence znaku (Kluge a Farris 1969). AUCC je maximální tehdy, když je homoplazie rozložena krajně asymetricky, tj. když se všechny analogické stavy vyskytují u jediného znaku. Minimální hodnota AUCC je rovna CI, maximální je rovna 1. Poměr rozložení homoplazie (homoplasy distribution ratio, HDR) je vyjádřen jako index rozložení homoplazie (HDI) vydělený indexem homoplazie (HI), kde HDI = = AUCC CI (Sang 1995). Protože při výskytu jakékoli homoplazie je AUCC menší než 1, AUCC CI musí být menší než HI (1 CI, viz výše) a HDR spadá do intervalu (0,1). Kromě měření rozsahu homoplazie a její distribuce může podle Sanga (1995) být tento index poměrně přesným ukazatelem spolehlivosti MP stromu. To znamená, že i když je index konzistence nízký, kladogram může stále být spolehlivý, protože homoplazie je omezena jen na několik kladisticky nespolehlivých znaků. 49
6 2. MAXIMÁLNÍ ÚSPORNOST (MAXIMUM PARSIMONY, MP) Index kompatibilních stavů znaku (compatible character state index, CCSI) je vypočten jako poměr počtu kompatibilních stavů znaku, tj. stavů, které jsou v souladu s MP stromem, a celkového počtu stavů (včetně neinformativních stavů i autapomorfií, které jsou vždy konzistentní a proto inflatují CCSI). Stejně jako v předchozím případě se hodnoty CCSI pohybují v rozmezí 0 (hvězdicový strom) až 1 (všechny stavy konzistentní). Odhad délek větví a optimalizace stromu Jakožto metody typické pro kladistickou analýzu jsou MP stromy zpravidla konstruovány bez stanovení délek větví. Za určitých podmínek však můžeme délky odhadnout. Odhad délek větví MP stromu se provádí tak, že uvažujeme všechny evoluční dráhy na každém variabilním místě a vypočteme průměrný počet substitucí pro jednotlivé vnitřní i vnější větve. Vraťme se k topologii na obr Na základě nukleotidů zjištěných u šesti zkoumaných taxonů byly odvozeny čtyři stejně úsporné stromy dlouhé tři kroky (obr. 2.2c f). Například evoluční dráha stromu na obr. 2.2c vyžaduje jednu substituci podél větve 1 w, jednu podél w z a jednu podél větve x y. Podobně bychom mohli přiřadit substituce jednotlivým větvím i pro ostatní topologie a vypočítat jejich průměrnou délku. Tyto délky jsou pro jednotlivé větve: 1 w = 3/4, 2 w = 2/4, 3 x = 0, 4 x = 0, 5 y = 1/4, x y = 3/4, w z = 2/4, y z = 0 a 6 z = 1/4. Podobně můžeme získat celkové délky sečtením substitucí podél každé z větví. Tato metoda se označuje jako metoda průměrné dráhy. Délky větví můžeme odhadnout i pomocí dvou algoritmů. První z nich, ACCTRAN (ACCelerated TRANsformation), předpokládá, že k evolučním změnám dochází co nejdříve od společného kořene, kdežto druhý, DELTRAN (DELayed TRANsformation) naopak upřednostňuje změny pozdější (Swofford a Maddison 1987). Například jestliže u stromu na obr. 2.2 budeme taxon 6 považovat za společný kořen a nukleotid A tedy za ancestrální, ACCTRAN bude považovat za pravděpodobnější změnu A T mezi uzly 6 a z a potom uvažovat minimální počet substitucí, tzn. uzlům w, x, y přiřadí také T (obr. 2.2d). Naproti tomu v algoritmu DELTRAN jsou všechny změny maximálně zpožděny, proto přiřadí uzlům w, x, y a z nukleotidy A, T, A a A (obr. 2.2f). To znamená, že přiřazení nukleotidů jednotlivým ancestrálním uzlům se mezi oběma metodami liší a odhady délek větví budou tím pádem také rozdílné. Jsou-li však zkoumané sekvence podobné, není rozdíl mezi oběma metodami tak markantní, jak by se mohlo z uvedeného příkladu zdát. Obecně platí, že délky větví získané metodami maximální úspornosti mají tendenci být nižší než skutečné délky, zejména pokud je divergence mezi sekvencemi vysoká. 50
STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik
STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik Jak stanovit charakteristiky rozložení sledované veličiny v základní populaci? Populaci většinou nemáme celou k dispozici, musíme se spokojit jen s
Systém a evoluce obratlovců I.Úvod
MODULARIZACE VÝUKY EVOLUČNÍ A EKOLOGICKÉ BIOLOGIE CZ.1.07/2.2.00/15.0204 Systém a evoluce obratlovců I.Úvod literatura taxonomie a systematika znaky a klasifikace Carl Linné Willy Hennig Literatura 2007
Fylogeneze a diverzita obratlovců I.Úvod
MODULARIZACE VÝUKY EVOLUČNÍ A EKOLOGICKÉ BIOLOGIE CZ.1.07/2.2.00/15.0204 Fylogeneze a diverzita obratlovců I.Úvod literatura taxonomie a systematika znaky a klasifikace Carl Linné Willy Hennig Charles
Malcomber S.T. (2000): Phylogeny of Gaertnera Lam. (Rubiaceae) based on multiple DNA markers: evidence of a rapid radiation in a widespread,
Malcomber S.T. (2000): Phylogeny of Gaertnera Lam. (Rubiaceae) based on multiple DNA markers: evidence of a rapid radiation in a widespread, morphologically diverse genus. Evolution 56(1):42-57 Proč to
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
Typy fylogenetických analýz
Typy fylogenetických analýz Distanční metody: Neighbor-Joining Minimum Evolultion UPGMA,... Maximum Likelihood Bayesian Inference Maximum Parsimony Genetické distance, substituční modely pro výpočet fylogenetických
4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
Algoritmizace Dynamické programování. Jiří Vyskočil, Marko Genyg-Berezovskyj 2010
Dynamické programování Jiří Vyskočil, Marko Genyg-Berezovskyj 2010 Rozděl a panuj (divide-and-conquer) Rozděl (Divide): Rozděl problém na několik podproblémů tak, aby tyto podproblémy odpovídaly původnímu
Kombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
8 Coxův model proporcionálních rizik I
8 Coxův model proporcionálních rizik I Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí formulovat Coxův model proporcionálních rizik 2. Student rozumí významu regresních koeficientů modelu 3. Student zná
Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
4. Úvod do kladistiky. kladogram podobnost a příbuznost homologie (sym)plesiomorfie, (syn)apomorfie polarizace znaků kritérium parsimonie
4. Úvod do kladistiky kladogram podobnost a příbuznost homologie (sym)plesiomorfie, (syn)apomorfie polarizace znaků kritérium parsimonie Willi Hennig (1913-1976) německý entomolog 1950: Grundzüge einer
KGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním
Diferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
Binární vyhledávací stromy pokročilé partie
Binární vyhledávací stromy pokročilé partie KMI/ALS lekce Jan Konečný 30.9.204 Literatura Cormen Thomas H., Introduction to Algorithms, 2nd edition MIT Press, 200. ISBN 0-262-5396-8 6, 3, A Knuth Donald
Vyvažování zátěže na topologii přepínačů s redundandními linkami
Vyvažování zátěže na topologii přepínačů s redundandními linkami Petr Grygárek, FEI, VŠB-TU Ostrava Transparentní mosty (dnes většinou přepínače) se propojují do stromové struktury. Jestliže požadujeme
Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl
Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl Podkladové údaje Korelační matice Odhad lineárního regresního modelu (LRM) Verifikace modelu PEF ČZU Praha Určeno pro posluchače předmětu Ekonometrie Needitovaná
Základy algoritmizace. Pattern matching
Základy algoritmizace Pattern matching 1 Pattern matching Úloha nalézt v nějakém textu výskyty zadaných textových vzorků patří v počítačové praxi k nejfrekventovanějším. Algoritmy, které ji řeší se používají
zpravidla předpokládá, že hodnoty intenzity poruch a oprav jsou konstantní.
Pohotovost a vliv jednotlivých složek na číselné hodnoty pohotovosti Systém se může nacházet v mnoha různých stavech. V praxi se nejčastěji vyskytují případy, kdy systém (nebo prvek) je charakterizován
Náhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
Bankovní efektivnost Uvedení Metodologie Malmquistův index Přístupy k volbě proměnných pro výpočet efektivnosti
Bankovní efektivnost Uvedení Studium efektivní hranice začal Farrell (1957), který definoval jednoduchou míru firemní efektivnosti. Navrhl, že efektivnost každé firmy se skládá ze dvou částí, tedy technické
LEKCE 5 STATISTICKÁ INFERENCE ANEB ZOBECŇOVÁNÍ VÝSLEDKŮ Z VÝBĚROVÉHO NA ZÁKLADNÍ SOUBOR
LEKCE 5 STATISTICKÁ INFERENCE ANEB ZOBECŇOVÁNÍ VÝSLEDKŮ Z VÝBĚROVÉHO NA ZÁKLADNÍ SOUBOR Ve většině případů pracujeme s výběrovým souborem a výběrové výsledky zobecňujeme na základní soubor. Smysluplné
Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1
Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu
Tabulka 1. Výběr z datové tabulky
1. Zadání domácího úkolu Vyberte si datový soubor obsahující alespoň jednu kvalitativní a jednu kvantitativní proměnnou s alespoň 30 statistickými jednotkami (alespoň 30 jednotlivých údajů). Zdroje dat
Umělá inteligence II
Umělá inteligence II 11 http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Roman Barták, KTIML roman.bartak@mff.cuni.cz Dnešní program! V reálném prostředí převládá neurčitost.! Neurčitost umíme zpracovávat pravděpodobnostními
z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové funkce, ze kterého vycházíme,
Úloha 1: V naší studii se zabýváme poptávkovou funkcí životního pojištění, vycházíme z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové
OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )
3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =
Návrh Designu: Radek Mařík
1. 7. Najděte nejdelší rostoucí podposloupnost dané posloupnosti. Použijte metodu dynamického programování, napište tabulku průběžných délek částečných výsledků a tabulku předchůdců. a) 5 8 11 13 9 4 1
4.3. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE
4.3. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: jak jsou definovány goniometrické rovnice a nerovnice; jak se řeší základní typy goniometrických rovnic a nerovnic. Klíčová slova této
15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï
15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných
Domény. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta
Domény Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 10 1 Typy programů v čistém Prologu je možné uspořádat podle různých pohledů. Zajímavá je charakteristika podle domén,
Normální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení f x = 1 2 exp x 2 2 2 f(x) je funkce hustoty pravděpodobnosti, symetrická vůči poloze maxima x = μ μ střední hodnota σ směrodatná odchylka (tzv. pološířka křivky mezi inflexními
Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Interpolace, aproximace
11 Interpolace, aproximace Metoda nejmenších čtverců 11.1 Interpolace Mějme body [x i,y i ], i =0, 1,...,n 1. Cílem interpolace je najít funkci f(x), jejíž graf prochází všemi těmito body, tj. f(x i )=y
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
Pseudospektrální metody
Pseudospektrální metody Obecně: založeny na rozvoji do bázových funkcí s globálním nosičem řešení diferenciální rovnice aproximuje sumou kde jsou např. Čebyševovy polynomy nebo trigonometrické funkce tyto
Normální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
Generování pseudonáhodných. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Generování pseudonáhodných čísel při simulaci Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky V simulačních modelech se velice často vyskytují náhodné proměnné. Proto se budeme zabývat otázkou, jak při simulaci
Statistická teorie učení
Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální
Jednofaktorová analýza rozptylu
I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých
Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.
.. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8. Statistické usuzování, odhady
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Výběr od deskripce k indukci Deskripce dat, odhad parametrů Usuzování = inference = indukce Počítá se s náhodným
7 Regresní modely v analýze přežití
7 Regresní modely v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student rozumí významu regresního modelování dat o přežití 2. Student dokáže definovat pojmy poměr rizik a základní riziková funkce
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Hlavní specializace: Ekonometrie a operační výzkum Název diplomové práce Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů Diplomant: Vedoucí
3 Bodové odhady a jejich vlastnosti
3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe
Úvod do logiky (VL): 5. Odvození výrokových spojek z jiných
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 5. Odvození z jiných doc. PhDr. Jiří Raclavský,
Odhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
Příklady k T 2 (platí pro seminární skupiny 1,4,10,11)!!!
Příklady k T 2 (platí pro seminární skupiny 1,4,10,11)!!! Příklad 1.: Obchodník prodává pouze jeden druh zboží a ten také výhradně nakupuje. Činí tak v malém rozsahu, a proto koupil 500 výrobků po 10 Kč
Základy genetiky populací
Základy genetiky populací Jedním z významných odvětví genetiky je genetika populací, která se zabývá studiem dědičnosti a proměnlivosti u velkých skupin jedinců v celých populacích. Populace je v genetickém
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
Logické programy Deklarativní interpretace
Logické programy Deklarativní interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 7 1 Algebry. (Interpretace termů) Algebra J pro jazyk termů L obsahuje Neprázdnou
VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ
VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ Michal Kořenář 1 Abstrakt Rozvoj výpočetní techniky v poslední době umožnil také rozvoj výpočetních metod, které nejsou založeny na bázi
Úvod do teorie informace
PEF MZLU v Brně 24. září 2007 Úvod Výměna informací s okolím nám umožňuje udržovat vlastní existenci. Proces zpracování informací je trvalý, nepřetržitý, ale ovlivnitelný. Zabezpečení informací je spojeno
Matematika (a fyzika) schovaná za GPS. Global Positioning system. Michal Bulant. Brno, 2011
Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Michal Bulant Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky Brno, 2011 Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Brno,
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 1,25 hodiny
Fyzikální praktikum III 15 3. PROTOKOL O MĚŘENÍ V této kapitole se dozvíte: jak má vypadat a jaké náležitosti má splňovat protokol o měření; jak stanovit chybu měřené veličiny; jak vyhodnotit úspěšnost
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)
Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Princip: Ověřování určitého předpokladu zjišťujeme, zda zkoumaný výběr pochází ze základního souboru, který má určité rozdělení zjišťujeme,
12. Lineární programování
. Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)
Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 23 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 2 / 23 biologové často potřebují najít často se opakující sekvence DNA tyto sekvence bývají relativně krátké,
Modely Herbrandovské interpretace
Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší
Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.
Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy
Stanovení měrného tepla pevných látek
61 Kapitola 10 Stanovení měrného tepla pevných látek 10.1 Úvod O teple se dá říci, že souvisí s energií neuspořádaného pohybu molekul. Úhrnná pohybová energie neuspořádaného pohybu molekul, pohybu postupného,
Informační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1
Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit
1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
11. Trhy výrobních faktorů Průvodce studiem: 11.1 Základní charakteristika trhu výrobních faktorů Poptávka po VF Nabídka výrobního faktoru
11. Trhy výrobních faktorů V předchozích kapitolách jsme zkoumali způsob rozhodování firmy o výstupu a ceně v rámci různých tržních struktur (dokonalá a nedokonalá konkurence). Ačkoli se fungování firem
Křivky a plochy technické praxe
Kapitola 7 Křivky a plochy technické praxe V technické praxi se setkáváme s tím, že potřebujeme křivky a plochy, které se dají libovolně upravovat a zároveň je jejich matematické vyjádření jednoduché.
3. Úloha o společném rozhraní
34 3. Úloha o společném rozhraní Cíle Po prostudování této kapitoly budete schopni: Zjistit neregularity v systému Navrhnout řešení pro odstranění neregulárních vazeb Doba potřebná ke studiukapitoly:60minut
Dynamicky vázané metody. Pozdní vazba, virtuální metody
Dynamicky vázané metody Pozdní vazba, virtuální metody Motivace... class TBod protected: float x,y; public: int vrat_pocet_bodu() return 1; ; od třídy TBod odvodíme: class TUsecka: public TBod protected:
cv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost
3 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv3tex n i=1 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Systém náhodných jevů nazýváme úplným, jestliže pro něj platí: B i = 1 a pro i k je B i B k = 0 Jestliže je (Ω, A, P
KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE
KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE Slovo kvadrát vzniklo z latinského slova quadratus které znamená: čtyřhranný, čtvercový. Obsah čtverce se vypočítá, jako druhá mocnina délky
EXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA 2 Přednáška 5 - Chyby a nejistoty měření. Jan Krystek
EXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA 2 Přednáška 5 - Chyby a nejistoty měření Jan Krystek 9. května 2019 CHYBY A NEJISTOTY MĚŘENÍ Každé měření je zatíženo určitou nepřesností způsobenou nejrůznějšími negativními vlivy,
Univerzita Pardubice. Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie. Licenční studium Statistické zpracování dat
Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Licenční studium Statistické zpracování dat Semestrální práce Interpolace, aproximace a spline 2007 Jindřich Freisleben Obsah
Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Vytěžování znalostí z dat
Pavel Kordík, Jan Motl (ČVUT FIT) Vytěžování znalostí z dat BI-VZD, 2012, Přednáška 7 1/27 Vytěžování znalostí z dat Pavel Kordík, Jan Motl Department of Computer Systems Faculty of Information Technology
Přednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
Parametrické rovnice křivky
Křivkový integrál Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Křivkový integrál Jedná se o rozšíření Riemannova integrálu, kdy množinou
2.6. Koncentrace elektronů a děr
Obr. 2-11 Rozložení nosičů při poloze Fermiho hladiny: a) v horní polovině zakázaného pásu (p. typu N), b) uprostřed zakázaného pásu (vlastní p.), c) v dolní polovině zakázaného pásu (p. typu P) 2.6. Koncentrace
Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK
Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Vznikají při zkoumání vztahů kvalitativních resp. diskrétních znaků Jedná se o analogii s korelační analýzou spojitých znaků Přitom předpokládáme, že každý prvek populace
4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY
4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být
9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
Ing. Alena Šafrová Drášilová, Ph.D.
Rozhodování Ing. Alena Šafrová Drášilová, Ph.D. Rozhodování??? video Obsah typy rozhodování principy rozhodování rozhodovací fáze základní pojmy hodnotícího procesu rozhodovací podmínky rozhodování v podmínkách
Regresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
Kinetická teorie ideálního plynu
Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na
Testy dobré shody Máme dvě veličiny, u kterých bychom chtěli prokázat závislost, TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests)
Testy dobré shody Máme dvě veličiny, u kterých bychom chtěli prokázat závislost, např. hmotnost a pohlaví narozených dětí. Běžný statistický postup pro ověření závislosti dvou veličin je zamítnutí jejich
Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,
2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
M - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů
Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že
Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule tabulkovou metodou
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot
1.1 Využití ukazatele EVA jako moderního konceptu pro hodnocení výkonnosti podniku PLAST, s.r.o.
1.1 Využití ukazatele EVA jako moderního konceptu pro hodnocení výkonnosti podniku PLAST, s.r.o. Pro případovou studii byl vybrán koncept EVA, který je výhodný především díky možnosti identifikovat a účinně
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární