Kinetická teorie ideálního plynu

Transkript

1 Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na základě představ o jejich vnitřní mikroskopické struktuře. Historicky byla kinetická teorie založena na třech postulátech (předpokladech) o vnitřní struktuře látek: Postulát 1 Látky kteréhokoli skupenství se skládají z částic, mezi nimiž je volné místo (mluvíme o diskrétní struktuře látek). Postulát 2 Částice v látkách se neustále chaoticky pohybují. Postulát 3 Částice látek libovolného skupenství na sebe navzájem působí současně silami přitažlivými i odpudivými. Velikost výsledných sil mezi částicemi závisí na vzdálenostech mezi nimi. V současné době lze považovat všechny tyto postuláty za experimentálně ověřené skutečnosti. 10 1

2 Michal Varady Přednáška 10: Kinetická teorie ideálního plynu 10.2 Vlastnosti ideálních plynů Metody kinetické teorie budeme demonstrovat na látkách v plynném skupenství, jejichž popis je například ve srovnání s popisem pevných látek zdaleka nejjednodužší. V této kapitole budeme navíc aproximovat reálné plyny modelem ideálního plynu, který má tyto vlastnosti: skládá se z N identických částic kromě okamžiků srážek na sebe částice ideálního plynu navzájem silově nepůsobí srážky mezi částicemi ideálního plynu jsou ideálně pružné celkový objem, který zabírají částice ideálního plynu je zanedbatelně malý vůči objemu nádoby v níž je plyn uzavřen částice ideálního plynu se neustále chaoticky pohybují Experimentálně bylo zjištěno, že ve většině situací lze chování reálných plynů dobře popsat pomocí modelu ideálního plynu. Tato shoda se zlepšuje, pokud plyny zřed ujeme. Vyjímkou jsou plyny při velmi vysokých tlacích nebo velmi nízkých teplotách, kdy roste hustota molekul plynu a klesá střední molekulová vzdálenost tak, že už nelze zanedbat mezimolekulární síly. Tehdy model ideálního plynu selhává Tlak, teplota, střední kvadratická rychlost Tlak ideálního plynu Nyní, na základě postulátů kinetické teorie a z vlastností ideálního plynu odvodíme vztah pro tlak ideálního plynu. Z mikroskopického hlediska tlak plynu na stěny nádoby zřejmě souvisí s neustálými nárazy molekul plynu s různými rychlostmi na stěny nádoby v níž je plyn uzavřen. Pro odvození tlaku plynu uvažujme N molekul ideálního plynu uzavřených v krychlové nádobě s objemem V, jejíž stěny jsou 10 2

3 Tlak, teplota, střední kvadratická rychlost Michal Varady y v x 0 vx v v vx x z Obrázek 10.1: Ideálně pružný odraz molekuly plynu od stěny nádoby. kolmé k souřadným osám a jsou udržovány na konstantní teplotě T. Spočtěme tlak plynu například na stěnu krychle, která je kolmá na osu x. Nejprve uvažujme odraz jedné molekuly plynu od vybrané stěny nádoby (viz obrázek 11.1). Vzhledem k tomu, že odrazy molekul plynu od stěn jsou ideálně pružné, velikosti rychlosti dané molekuly před odrazem v a po odrazu v na stěnou nádoby musí být stejné, pouze x ová složka rychlosti molekuly v x se změní na opačnou. Změna hybnosti molekuly během jednoho odrazu od stěny je tedy p x = mv x ( mv x )=2mv x, kde m je hmotnost jedné molekuly. Předpokládejme, že v nádobě je v daném okamžiku N(v x ) molekul, které mají složku rychlosti v x z intervalu (v x,v x + v x ). Potom na stěnu nádoby s plochou S dopadnou za čas τ pouze ty molekuly s danou x ovou složkou rychlosti, které stihnou za uvažovanou dobu doletět k dané stěně. 10 3

4 Michal Varady Přednáška 10: Kinetická teorie ideálního plynu Pro jejich počet platí N vx = N(v x) Sv x τ. V Jakou střední silou tedy působí tyto molekuly na stěnu nádoby? Z II. Newtonova zákona víme, že síla je časová změna hybnosti, tedy p x F x (v x )= N vx t = N(v x) Sv x τ 2mv x V τ = 2mS V N(v x)v 2 x. Dostáváme tedy sílu, kterou na stěnu nádoby působí molekuly s x ovými složkami rychlostmi z vybraného intervalu. Je jasné, rychlosti molekul v nádobě a tedy i x ové složky rychlostí molekul jsou různé. Abychom k výsledné síle započetli příspěvky od molekul se všemi možnými rychlostmi, rozdělíme celý interval vyskytujících se x ových složek rychlostí na intervaly (v x1,v x2 ),...,(v xi 1,v xi ), (v xi,v xi+1 ),...(v xk 1,v xk ), kde v jednotlivých intervalech jsou následující počty částic: N(v x1 ), N(v x2 ),..., N(v xi ), N(v xi+1 ),..., N(v xk ). Zavedeme-li nyní střední hodnotu kvadrátu x ové složky rychlosti v 2 x jako v 2 x = N(v x 1 )v 2 x N(v xi )v 2 x i + + N(v xk )v 2 x K N = 1 N K N(v xi )vx 2 i, kde N je celkový počet molekul v nádobě. Vzhledem k tomu, že na vybranou stěnu nádoby narážejí pouze molekuly s kladně orientovanou x ovou složkou rychlosti, je výsledná síla F x = SNm V v2 x a tedy tlak na stěnu p = F x S = Nm V v2 x, kde m je hmotnost molekuly, N je počet molekul v nádobě a V je objem nádoby. Pro kvadrát výsledné rychlosti každé molekuly platí v 2 = v 2 x + v 2 y + v 2 z. Vzhledem k velikému počtu molekul v nádobě a k tomu, že všechny směry pohybu molekul musí být stejně pravděpodobné (jinak bychom pozorovali tečení plynu ve směru nejpravděpodobnějšího směru rychlosti) dále platí i=1 v 2 x = v 2 y = v 2 z = 1 3 v2, (10.1) kde veličina v 2 = v k se nazývá střední kvadratická rychlost posuvného pohybu molekul. 10 4

5 Tlak, teplota, střední kvadratická rychlost Michal Varady Definice 18 Střední kvadratická rychlost posuvného pohybu molekul plynu v k = v 2 je dána vztahem vk 2 = v2 = N(v 1)v1 2 + N(v 2)v N(v i)vi N(v K)vK 2, N neboli vk 2 = v2 = 1 K N(v i )vi 2. (10.2) N i=1 Nyní s využitím vztahu (10.1) lze pro tlak plynu na stěnu nádoby napsat výsledný vztah p = Nm 3V v2 k. (10.3) Teplota plynu a střední kvadratická rychlost molekul Přepíšeme li rovnici (10.3) jako pv = 1 3 Nmv2 k, a porovnáme li ji se stavovou rovnicí ideálního plynu pv = RnT dostaneme vztah RnT = 1 3 Nmv2 k, který můžeme s použitím definičních vztahů pro látkové množství n = N/N A a molární hmotnost M m = m 0 N A dále upravit a dostaneme vztah mezi teplotou plynu T, střední kvadratickou rychlostí v k a molární hmotností plynu M m : 3RT v k =. (10.4) M m Vyjádříme li naopak T, dostaneme T = M m 3R v2 k. (10.5) Vidíme tedy, že teplota plynu je jednoznačnou rostoucí funkcí střední kvadratické rychlosti molekul a rovněž střední kvadratická rychlost molekul je jednoznačnou rostoucí funkcí teploty. Z kinetické kinetické teorie tedy vyplývá, že teplota plynu je veličina, která charakterizuje intenzitu chaotického pohybu molekul. 10 5

6 Michal Varady Přednáška 10: Kinetická teorie ideálního plynu 10.4 Střední volná dráha molekul Vezměme opět N molekul ideálního plynu uzavřeného v nádobě s objemem V jejíž stěny jsou udržovány na konstantní teplotě T. Po nějakém čase se mezi stěnami nádoby a plynem vytvoří stav termodynamické rovnováhy. Molekuly plynu v nádobě se samozřejme chaoticky pohybují a navzájem do sebe narážejí, takže se neustále mění směry a velikosti jejich rychlostí. Užitečným parametrem, který popisuje význam srážek molekul je takzvaná střední volná dráha l. Fyzikální význam tohoto parametru je prostý. Vybereme li jednu molekulu plynu a budeme li měřit dostatečně dlouho dráhy, které tato molekula urazí mezi jednotlivými srážkami a vypočteme li z těchto drah aritmetický průměr, dostaneme střední volnou dráhu (rozuměj dráhu bez srážky). Při odvození střední volné dráhy předpokládejme, že všechny molekuly plynu mají kulový tvar o stejném poloměru R a jsou v klidu, takže jediná molekula v pohybu je molekula jejíž pohyb sledujeme. Dále pro jednoduchost předpokládejme, že se pohybuje podél osy x a srážkami se její směr nezmění. Molekula při svém pohybu narazí do molekul jejichž středy jsou ve vzdálenosti δ<2r, tedy jejichž středy leží uvnitř válce centrovaného osou x o poloměru 2R. Předpokládáme li že rychlost sledované molekuly je v, potom za čas τ urazí podél osy x vzdálenost tedy objem zmíněného válce je x = v τ, V =4πR 2 v τ. Počet kulových molekul které mají své středy uvnitř tohoto válce a tedy také počet srážek sledované molekuly za čas τ tedy je ν τ = N V V =4πR2 v τ N V. Střední volná dráha tedy bude rovna podílu vzdálenosti uražené sledovanou molekulou a počtem srážek na této dráze, tedy l = x ν τ = v τv 4πR 2 N v τ = V 4πR 2 N. (10.6) Takto odvozený vztah však platí pouze přibližně. Důvodem je to, že jsme předpokládali pohyb pouze jedné molekuly, zatímco všechny ostatní byly v klidu. 10 6

7 Střední volná dráha molekul Michal Varady Zatímco v čitateli vztahu (10.6) správně vystupuje střední rychlost molekuly vůči laboratorní soustavě, ve jmenovateli bychom měli použít střední rychlost relativního pohybu molekul vůči sobě. Se zahrnutím této korekce bychom dostali správný vztah pro střední volnou dráhu V l = 4 2πR 2 N, (10.7) kde V je objem nádoby, N počet molekul v nádobě a R poloměr molekul. 10 7

8 Michal Varady Přednáška 10: Kinetická teorie ideálního plynu 10 8