15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï"

Transkript

1 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných povětrnostních jevech, natolik významných, že obdržely vlastní jméno. V matematice je tomu podobně. Rovnice lineární, kvadratické a kubické (tj. třetího stupně) mají své vlastní názvy, protože je na jedné straně často řešíme, na druhé straně tyto rovnice popisují různé geometrické útvary, jako např. přímky, roviny a jiné rovinné či prostorové křivky či plochy. Bikvadratické rovnice (tj. speciální rovnice 4. stupně) získaly svůj název podle metody výpočtu, která připomíná řešení kvadratických rovnic. Všechny rovnice popsané v této kapitole jsou tzv. algebraické rovnice, tj. rovnice, kde se neznámá vyskytuje pouze jako základ nějaké mocniny s přirozeným exponentem, tj. jako x, x 2, x 3, x 4 atd. I. Aritmetika a algebra StupeÚ rovnice Jednotlivé algebraické rovnice jsou pojmenovány podle následujícího pravidla: Nejvyšší mocnina x určuje název rovnice. okud x vystupuje pouze jako první mocnina, jedná se o rovnici prvního stupně. Je-li nejvyšší mocninou x 2, jedná se o rovnici druhého stupně, atd. Exponent u nejvyšší mocniny neznámé x odpovídá tzv. stupni rovnice, a tím určuje její název. Lineární rovnice jsou tudíž rovnicemi prvního stupně, rovnice kvadratické rovnicemi stupně druhého, rovnice kubické rovnicemi stupně třetího. 167

2 I. Aritmetika a algebra KubickÈ rovnice Rovnice třetího stupně neboli kubické rovnice obsahují neznámou x jako třetí mocninu x 3, případně i jako nižší mocniny x 2 a x. Kubická rovnice má obecný tvar a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x+ a 0 = 0, kde a 3 0 Tato rovnice má nejvýše tři reálné kořeny. Na následujícím příkladu ukážeme, jak se tyto kořeny dají v některých jednodušších případech stanovit. Uvažujeme kubickou rovnici: x 3 3x 2 4x+ 12 = 0 V prvním kroku výpočtu stanovíme jeden kořen na základě dosazování. V následující podkapitole ukážeme, jak se to dělá. Hled nì ko ene kubickè rovnice dosazov nìm Jedná se o jednoduchou metodu řešení rovnice spočívající v tom, že jednotlivá čísla zvolená v závislosti na koeficientech rovnice dosazujeme do dané rovnice. okud dosazené číslo rovnici vyhovuje, kořen rovnice je nalezen. Je třeba zdůraznit, že uvedeným způsobem lze obvykle dojít k řešení rovnic, jejichž kořeny jsou malá celá čísla. Dosazováním takových čísel do dané rovnice se obvykle začíná. Výše uvedenou kubickou rovnici budeme řešit dosazováním. Vyjdeme z absolutního členu (členu neobsahujícího neznámou) rovnajícího se 12. Celočíselné dělitele čísla 12 jsou 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6. Dá se ukázat, že všechny celočíselné kořeny dané rovnice jsou mezi těmito děliteli. Tato čísla postupně dosazujeme do dané rovnice počínaje čísly nejmenšími v absolutní hodnotě (str. 151). 168

3 Nejmenší dělitele v absolutní hodnotě jsou 1 a 1, pokračujeme s čísly 2 a 2 atd. Číslo 1 dosadíme do dané rovnice x 3 3x 2 4 x+ 12 = 0 a dostáváme = 0 a odtud 6 = 0 Číslo 1 není kořenem dané rovnice, neboť 6 = 0 je nepravdivým výrokem. Číslo 1 dosadíme do dané rovnice x 3 3x 2 4 x+ 12 = 0 a dostáváme ( 1) 3 3 ( 1) 2 4 ( 1)+ 12 = 0 a odtud 12 = 0 Číslo 1 není kořenem dané rovnice, neboť 12 = 0 je nepravdivým výrokem. I. Aritmetika a algebra Číslo 2 dosadíme do dané rovnice x 3 3x 2 4 x + 12 = 0 a dostáváme = 0 a odtud 0 = 0 Číslo 2 je kořenem dané rovnice, neboť 0 = 0 je pravdivým výrokem. Další kořeny stanovíme pomocí dalšího kroku výpočtu uvedeného v následující podkapitole. DÏlenÌ mnohoëlen Celou rovnici dělíme výrazem (x x 1 ), kde x 1 je první nalezený kořen. V našem příkladu budeme dělit výrazem (x 2), neboť 2 byl první nalezený kořen. Uvedená metoda se nazývá dělení mnohočlenu, neboť dělencem je výraz x 3 3x 2 4 x + 12, což je tzv. mnohočlen (polynom) třetího stupně. odobně výraz ax 2 + bx + c, a 0 je polynom druhého stupně, ax + b, a 0 je polynom prvního stupně (viz též str. 173). ři dělení (x 3 3x 2 4x+ 12) : (x 2) dělíme mnohočlen x 3 3x 2 4x+ 12 mnohočlenem (x 2). 169

4 I. Aritmetika a algebra Řádek Dělenec Dělitel Výsledek Výpočty 1a (x 3 3x 2 4x + 12) : (x 2) = x 2 x 6 x 3 : x = x 2 b (x 3 2x 2 ) x 2 (x 2) = x 3 2x 2 c x 2 4x + 12 (x 3 3x 2 4x + 12) (x 3 2x 2 ) = x 2 4x a x 2 4x + 12 x 2 : x = x b ( x 2 + 2x) x (x 2) = x 2 + 2x c 6x + 12 ( x 2 4x + 12) ( x 2 + 2x) = = 6x a 6x x : x = 6 b ( 6x + 12) 6 (x 2) = 6x + 12 c 0 6x + 12 ( 6x + 12) = 0 Dělení mnohočlenů se v zásadě neliší od dělení čísel. Také zde se každý krok skládá ze tří částí: dělení, násobení a odčítání. Řádek 1a (dělení): Nejvyšší mocnina v dělenci ( x 3 ) se dělí nejvyšší mocninou v děliteli (x) : x 3 : x = x 2 Řádek 1b (násobení): Výsledek násobíme celým dělitelem (x 2): x 2 (x 2) = x 3 2x 2 Řádek 1c (odčítání): Od řádku 1a odečteme výraz x 3 2x 2, proto znak minus před závorkou v řádku 1b. Tyto tři kroky opakujeme ve zbývajících řádcích 2a až 3c. Smysl dělení polynomu vynikne, pokud převedeme levou stranu původní rovnice na součin: x 3 3x 2 4x + 12 = 0 ůvodní rovnice. (x 3 3x 2 4x + 12) : (x 2) = x 2 x 6 Dělení polynomu na levé straně rovnice a jeho výsledek. 170

5 x 3 3x 2 4x + 12 = x 2 x 6 (x 2) odíl vyjádřený jako zlomek. x 2 x 3 3x 2 4x + 12 = (x 2 x 6) (x 2) Dělenec vyjádřený jako součin podílu a dělitele. (x 2 x 6) (x 2) = 0 Nový tvar původní rovnice, kde je levá strana vyjádřena jako součin. Nová rovnice je ekvivalentní rovnici původní (obě rovnice mají stejnou množinu řešení), ale postup řešení nové rovnice je snazší. řipomínáme: Součin je rovný nule, právě když alespoň jeden jeho činitel je roven nule. Druhý činitel x 2 je roven nule pro x = 2. Toto řešení jsme stanovili již v kroku 1. Další krok výpočtu (stanovení dalších kořenů) vychází z nulovosti prvního činitele (x 2 x 6). Hodnoty x, pro které je první činitel roven nule, jsou kořeny kvadratické rovnice x 2 x 6 = 0. I. Aritmetika a algebra DokonËenÌ eöenì kubickè rovnice ñ eöenì dìlëì kvadratickè rovnice řipomínáme, že kvadratická rovnice tvaru ax 2 + bx+ c = 0 má následující kořeny: x 1, 2 = b ± p b2 & 4ac 2a 171

6 I. Aritmetika a algebra Dokončíme nyní řešení uvedené kubické rovnice řešením dílčí kvadratické rovnice: x 2 x 6 = 0 a = 1, b = 1, c = 6 x 2,3 = 1 ± p ( 1)2 4 1 ( 6) 2 1 x 2,3 = 1 ± p25& 2 Označíme koeficienty. Dosadíme do vzorce s diskriminantem. Vypočteme výraz pod odmocninou. oznámka k označení kořenů: Kořen x 1 již známe. Nyní počítáme kořeny x 2 a x 3. Vypočteme odmocninu. x 2,3 = 1 ± 5 2 x 2 = = 3 Kořen obsahující + 2 x 3 = 1 5 = 2 Kořen obsahující 2 Rozdělíme výraz pro výpočet obou kořenů x 2,3 na dva výrazy pro kořeny x 2 a x 3. K= { 2, 2, 3} Množina řešení dané kubické rovnice. Všechna řešení jsou reálná čísla. Cíle bylo dosaženo. Všechny tři kořeny jsou známy, x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 2. AlgebraickÈ rovnice n-tèho stupnï Rovnice pátého stupně má obecný tvar ax 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f = 0 ředpokládáme, že a 0 (kdyby a = 0, pak by byl stupeň rovnice nejvýše 4), ostatní koeficienty b, c, d, e, f jsou libovolná reálná čísla (mohou to být i nuly). 172

7 Budeme užívat zápisu a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x+ a 0 = 0 Toto označení koeficientů lépe určuje polohu koeficientu; index koeficientu (číslo umístěné níže než a) udává, k jaké mocnině neznámé x koeficient přísluší. Například a 3 je koeficient před x 3. okud je a 3 = 0, znamená to, že v dané rovnici se mocnina x 3 nenachází. Rovnice n-tého stupně má obecný tvar: a n x n + a n-1 x n a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x+ a 0 = 0, kde a n 0 Výraz na levé straně uvedené rovnice se nazývá mnohočlen (polynom) n-tého stupně. I. Aritmetika a algebra Každá algebraická rovnice, tj. rovnice, kde neznámá x vystupuje pouze jako mocnina s celým kladným exponentem, se dá zapsat uvedeným způsobem. Rovnice x 4 3 = 0 je rovnicí čtvrtého stupně s koeficienty a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 0, a 1 = 0, a 0 = 3 odrobně se všemi koeficienty a mocninami x můžeme uvedenou rovnici napsat následovně: 1 x x x x + ( 3) = 0 Z tohoto zápisu je zřejmé, že nepřítomnost mocnin x 3, x 2 a x v dané rovnici je způsobena tím, že odpovídající koeficienty jsou rovny nule. V kapitole o kvadratických rovnicích (str. 149) jsme ukázali, že kvadratická rovnice má dvě, jedno nebo žádné reálné řešení. Jinými slovy, kvadratická rovnice, tj. rovnice druhého stupně má nejvýše dvě reálná řešení. odobně lineární rovnice, tj. rovnice prvního stupně má jediné reálné řešení. ro rovnici n-tého řádu obecně platí: Rovnice n-tého řádu má nejvýše n reálných řešení (kořenů). 173

8 I. Aritmetika a algebra odobně jako kubické rovnice i rovnice čtvrtého a vyššího stupně řešíme dosazovací metodou v kombinaci s metodou dělení mnohočlenů. Metoda byla popsána v předchozí podkapitole. Zde jen zdůrazníme, že dosazovací metodou nemusíme dospět k cíli, pokud žádný kořen nebude celočíselný. Dá se ukázat, že jiné celočíselné kořeny než dělitele absolutního členu rovnice nemá. o každém stanovení kořene (např. x 1 ) dosazovací metodou dělíme rovnici výrazem (x x 1 ); vzniklá rovnice je stupně o 1 nižšího a opětovné použití dosazovací metody je snazší. V následující podkapitole uvedeme postup hledání kořenů pro speciální případ rovnice čtvrtého stupně. Rovnice ËtvrtÈho stupnï Rovnice čtvrtého stupně má obecný tvar a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x+ a 0 = 0 Rovnice má nejvýše čtyři reálné kořeny, které lze stanovit (pokud jsou celočíselné) za pomoci dosazování a dělení mnohočlenu stejně jako v případě rovnice kubické (viz podkapitolu Kubická rovnice, str. 168 a Dělení mnohočlenů, str. 169). Jednodušší postup řešení se nabízí v případě, že se jedná o speciální případ rovnice čtvrtého stupně, tzv. rovnici bikvadratickou. Kořeny této rovnice se dají najít pomocí vzorce s diskriminantem pro rovnice kvadratické. Způsob řešení je založen na zajímavé myšlence a není příliš pracný. Rovnice bikvadratickè Rovnice x 4 13x = 0 je rovnicí čtvrtého stupně vyznačující se tím, že obsahuje pouze sudé mocniny neznámé x. To se ukáže jako rozhodující v následujícím postupu výpočtu, který nevyžaduje dělení mnohočlenů. Bikvadratickými rovnicemi rozumíme rovnice typu a 4 x 4 + a 2 x 2 + a 0 = 0, kde a

9 Ve srovnání s obvyklou kvadratickou rovnicí ax 2 + bx+ c = 0 má bikvadratická rovnice a 4 x 4 + a 2 x 2 + a 0 = 0 dvojnásobné exponenty u neznámé x. roto se jí také říká bikvadratická neboli dvoukvadratická. V následujícím příkladu bude ilustrován postup využívající uvedenou souvislost s kvadratickou rovnicí. Řešme rovnici x 4 13x = 0. V uvedené rovnici nahradíme výraz x 2 novou neznámou u (a tudíž výraz x 4 = (x 2 ) 2 nahradíme výrazem u 2 ) a dostáváme kvadratickou rovnici u 2 13u + 36 = 0. Nyní již můžeme použít vzorec pro kořeny kvadratické rovnice (str. 154): u 2 13u + 36 = 0 Stanovíme koeficienty a, b, c. a = 1, b = 13, c = 36 Dosadíme je do vzorce pro kořeny kvadratické rovnice. u 1,2 = 13 ± p ( 13) u 1,2 = 13 ± p25& 2 Vzorec s diskriminantem. Řešení označíme u 1, u 2, protože neznámou v kvadratické rovnici je u. Vypočteme výraz pod odmocninou. Ve výrazu odmocníme a výraz rozdělíme na dva kořeny. u 1 = 18 2 = 9 Kořen s + I. Aritmetika a algebra u 2 = 8 2 = 4 Kořen s Stanovili jsme dvě řešení kvadratické rovnice: u 1 = 9, u 2 = 4. Úloha není ještě zcela rozřešena, protože naším cílem je stanovit kořeny bikvadratické rovnice x 4 13x = 0. Je třeba se vrátit k původní neznámé x: Uvažujme tedy opět kvadratickou rovnici u 2 13u + 36 = 0: 1. řešení 2. řešení u= 9 výsledek výpočtu u= 4 u= x 2 dosazení u= x 2 x 2 = 9 návrat k původní neznámé x 2 = 4 175

10 I. Aritmetika a algebra o návratu k původní neznámé provedeme další výpočty: x 2 = 9 odmocníme x 2 = 4 ozor: pro každou rovnici dostaneme dvě řešení! x 1,2 = ± 3 Rozdělíme na kladná x 3,4 = ± 2 a záporná řešení: x 1 = 3 kladná řešení x 3 = 2 x 2 = 3 záporná řešení x 4 = 2 Cíle bylo dosaženo: stanovili jsme čtyři kořeny dané bikvadratické rovnice. Všechna řešení jsou reálná čísla, množinou řešení je K = { 3, 2, 2, 3}. Uvedeným způsobem lze řešit všechny bikvadratické rovnice. Metoda nahrazování neznámých se nazývá substituce. Tuto metodu lze použít uvedeným způsobem jen tehdy, jsou-li všechny exponenty u neznámé sudé. 176

11 lohy 1. Stanovte množinu řešení pro následující rovnice řešené v oboru reálných čísel: a) x 3 2x 2 x + 2 = 0 b) x 3 + 5x 2 2x 24 = 0 c) 2x 3 10x x = 0 2. Stanovte množinu řešení pro následující rovnice. Navrhujeme následující způsob řešení: 1. Dosazením rozhodněte, které z uvedených hodnot jsou kořeny dané rovnice. 2. Dělte mnohočlen odpovídajícím kořenovým činitelem: (x kořen). 3. oužijte vzorec pro řešení kvadratické rovnice. 4. Rozhodněte, zda nalezené řešení patří do definičního oboru dané rovnice a) D =, x 2 4x 3 x x 12 = 0 možná řešení: 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 b) D = +, x 2 + 2x 2 6x 16 = 0 možná řešení: 0, 1, 2, 3 I. Aritmetika a algebra 3. Ke stanovení množiny řešení daných bikvadratických rovnic navrhujeme následující způsob řešení: 1. Nahraďte určitou mocninu o základu x novou neznámou u tak, aby vznikla kvadratická rovnice tvaru au 2 + bu+ c = odle vzorce s diskriminantem stanovte řešení uvedené kvadratické rovnice o neznámé u. 3. Nahraďte zpětně neznámou u odpovídající mocninou x. 4. Stanovte původní neznámé x. a) x 4 13x = 0 b) 2x 4 + 4x 2 16 = 0 D = D = c) x 6 + 7x 3 8 = 0 (Tato rovnice je trojkvadratická.) D = 177

12 I. Aritmetika a algebra ÿeöenì 1. a) K = { 1, 1, 2} b) K = { 4, 3, 2} c) K = {0, 2, 3} Z výrazu na levé straně vytkneme x. rvní řešení je x= a) x 1 = 2, x 2 = 1 Kořeny jsou 2 a 1. x 3 = 2, x 4 = 3 Kořenové činitele jsou (x + 2) a (x 1). x 2 5x + 6 = 0 K = { 2, 1, 2, 3} (Dílčí) kvadratická rovnice. b) x 1 = 2, x 2 = 2 Kořeny jsou 2 a 2. x 2 2x + 4 = 0 Kořenové činitele jsou (x + 2) a (x 2). (Dílčí) kvadratická rovnice. K = {2} Jiná řešení nejsou, 2 nepatří do definičního oboru! 3. a) Dosazení u= x 2. x 1 = 3, x 2 = 3 Kvadratická rovnice u 2 13u + 36 = 0. x 3 = 2, x 4 = 2 Řešení v neznámé u : u 1 = 9, u 2 = 4 K = { 3, 2, 2, 3} Návrat k neznámé x: x 2 = 9, x 2 = 4 b) Dosazení u= x 2. Kvadratická rovnice: 2u 2 +4u 16 = 0 x 1 = %2&, x 2 = %2& Řešení v neznámé u : u 1 = 2, u 2 = 4 K = { %2&, %2&} Návrat k neznámé x: x 2 = 2, x 2 = 4 (tato rovnice nemá reálné řešení) c) Dosazení u= x 2. Kvadratická rovnice u 2 +7u 8 = 0. x 1 = 2, x 2 = 1 Řešení v neznámé u : u 1 = 8, u 2 = 1 K = { 2, 1} Návrat k neznámé x: x 3 = 8, x 3 = 1 178

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Matematika I (KMI/5MAT1)

Matematika I (KMI/5MAT1) Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny

Více

Kvadratické rovnice. Řešení kvadratických rovnic. Kvadratická rovnice bez lineárního členu. Příklad 1:

Kvadratické rovnice. Řešení kvadratických rovnic. Kvadratická rovnice bez lineárního členu. Příklad 1: Kvadratické rovnice V zadání lineární rovnice se může vyskytovat neznámá ve vyšší než první mocnině. Vždy ale při úpravě tato neznámá ve vyšší než první mocnině zmizí, odečte se, protože se vyskytuje na

Více

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých obsah 1.a) x + y = 5 x 2 + y 2 = 13 3 b) x - y = 7 x 2 + y 2 = 65 5 c) x - y = 3 x 2 + y 2 = 5 6 3. a) x + 2y = 9 x. y = 10 12 b) x - 3y = 1

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.7/1.5./34.5 Šablona: III/ Přírodovědné předměty

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

a a

a a 1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Jednoduchá exponenciální rovnice

Jednoduchá exponenciální rovnice Jednoduchá exponenciální rovnice Z běžné rovnice se exponenciální stává, pokud obsahuje proměnnou v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: a f(x) = b g(x), kde a, b > 0. Typickým

Více

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108 ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární

Více

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice a + b + c = 0 a, b, c R a 0 - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 - pokud by koeficient a byl roven nule, jednalo by se o rovnici

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ

Více

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK

M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková

Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto:

V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: Eponenciální rovnice V eponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v eponentu. Obecně bychom mohli eponenciální rovnici zapsat takto: a ( ) f ( ) f kde a > 0, b > 0 b Příkladem velmi jednoduché eponenciální

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x. Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

2. Řešení algebraické

2. Řešení algebraické @016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Algebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek.

Algebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. Algebraické výrazy Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. 1. Upravte výrazy: a) 6a + 3b + 2a + c b b) 3m + s

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy 4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY

1. ČÍSELNÉ OBORY ČÍSELNÉ OBORY 1. ČÍSELNÉ OBORY Číselným oborem rozumíme číselnou množinu, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání a násobení, tj. číselný obor je vzhledem k těmto operacím uzavřený.

Více

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Komplexní

Více

Logaritmické rovnice a nerovnice

Logaritmické rovnice a nerovnice Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Logaritmické rovnice a nerovnice Bakalářská práce Brno 008 Lenka Balounová Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze z materiálů

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

Horner's Method using Excel (výpočet hodnoty polynomu v Excel s využitím historické Hornerovy metody) RNDr. Miroslav Kružík UPOL Olomouc

Horner's Method using Excel (výpočet hodnoty polynomu v Excel s využitím historické Hornerovy metody) RNDr. Miroslav Kružík UPOL Olomouc Horner's Method using Excel (výpočet hodnoty polynomu v Excel s využitím historické Hornerovy metody) RNDr. Miroslav Kružík UPOL Olomouc Proč historická metoda v dnešní počítačové době? Dnes údajně počítače

Více

Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918

Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918 Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918 Jednoroční učební kurs (JUK) In: Jiří Mikulčák (author): Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: geometrická posloupnost, geometrická

Více

Anotace: Digitální učební materiály slouží k zopakování a k testování získaných znalostí a dovedností.

Anotace: Digitální učební materiály slouží k zopakování a k testování získaných znalostí a dovedností. Tematická oblast: (VY_32_INOVACE_04 1 M1) Autor: RNDr. Yvetta Bartáková, Mgr. Petra Drápelová, Mgr. Jaroslava Vrbková, Mgr. Jarmila Zelená Vytvořeno: 2013-2014 Anotace: Digitální učební materiály slouží

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících

Více

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel. Mocniny Mocnina je matematická funkce, která (jednoduše řečeno) slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho abychom složitě psali 2 2 2 2 2, napíšeme jednoduše V množině reálných čísel budeme definovat

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

Výfučtení: Mocniny a kvadratické rovnice

Výfučtení: Mocniny a kvadratické rovnice Výfučtení: Mocniny a kvadratické rovnice S čísly a základními operacemi, tedy se sčítáním, odčítáním, násobením a dělením, jsme se seznámili už dávno během prvních let naší školní docházky. Každý z nás

Více

Rozklad na součin vytýkáním

Rozklad na součin vytýkáním Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:

Více

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2 Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

MATEMATIKA. Diofantovské rovnice 2. stupně

MATEMATIKA. Diofantovské rovnice 2. stupně MATEMATIKA Diofantovské rovnice 2. stupně LADISLAVA FRANCOVÁ JITKA KÜHNOVÁ Přírodovědecká fakulta, Univerzita Hradec Králové V tomto článku se budeme zabývat některými případy diofantovských rovnic 2.

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY VYBRANÉ KAPITOLY Z ELEMENTÁRNÍ ALGEBRY DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Jiří KRYČ Učitelství pro 2. stupeň ZŠ, obor

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Číslo a

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 TEORIE ČÍSEL 000/001 Cifrik, M-ZT Příklad ze zadávacích listů 10 101 Dokažte, že číslo 101 +10 je dělitelné číslem 51 Důkaz:

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Matematika. 18. října Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze

Matematika. 18. října Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Matematika Ondřej Pártl Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze 8. října 206 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 / 72 Obsah Čísla 0 20, desítky, sčítání,

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

Logaritmy a věty o logaritmech

Logaritmy a věty o logaritmech Variace 1 Logaritmy a věty o logaritmech Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Logaritmy Definice

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

CVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 14 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 7x 11 1 Určete hodnotu výrazu pro x = 27. 11 7x 32 2 Aritmetický průměr

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE Slovo kvadrát vzniklo z latinského slova quadratus které znamená: čtyřhranný, čtvercový. Obsah čtverce se vypočítá, jako druhá mocnina délky

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY

ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ ÚLOH ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY CIFRIK C. Úloha 1 [kvadratická rovnice s kořeny y_1=x_1^2+x_2^2, y_2=x_1^3+x_2^3]

Více

Logaritmické a exponenciální funkce

Logaritmické a exponenciální funkce Kapitola 4 Logaritmické a exponenciální funkce V této kapitole se budeme zabývat exponenciálními a logaritmickými funkcemi. Uvedeme si definice vlastnosti a vztah mezi nimi. 4.1 Exponenciální funkce Exponenciální

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více