15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï
|
|
- Vít Neduchal
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných povětrnostních jevech, natolik významných, že obdržely vlastní jméno. V matematice je tomu podobně. Rovnice lineární, kvadratické a kubické (tj. třetího stupně) mají své vlastní názvy, protože je na jedné straně často řešíme, na druhé straně tyto rovnice popisují různé geometrické útvary, jako např. přímky, roviny a jiné rovinné či prostorové křivky či plochy. Bikvadratické rovnice (tj. speciální rovnice 4. stupně) získaly svůj název podle metody výpočtu, která připomíná řešení kvadratických rovnic. Všechny rovnice popsané v této kapitole jsou tzv. algebraické rovnice, tj. rovnice, kde se neznámá vyskytuje pouze jako základ nějaké mocniny s přirozeným exponentem, tj. jako x, x 2, x 3, x 4 atd. I. Aritmetika a algebra StupeÚ rovnice Jednotlivé algebraické rovnice jsou pojmenovány podle následujícího pravidla: Nejvyšší mocnina x určuje název rovnice. okud x vystupuje pouze jako první mocnina, jedná se o rovnici prvního stupně. Je-li nejvyšší mocninou x 2, jedná se o rovnici druhého stupně, atd. Exponent u nejvyšší mocniny neznámé x odpovídá tzv. stupni rovnice, a tím určuje její název. Lineární rovnice jsou tudíž rovnicemi prvního stupně, rovnice kvadratické rovnicemi stupně druhého, rovnice kubické rovnicemi stupně třetího. 167
2 I. Aritmetika a algebra KubickÈ rovnice Rovnice třetího stupně neboli kubické rovnice obsahují neznámou x jako třetí mocninu x 3, případně i jako nižší mocniny x 2 a x. Kubická rovnice má obecný tvar a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x+ a 0 = 0, kde a 3 0 Tato rovnice má nejvýše tři reálné kořeny. Na následujícím příkladu ukážeme, jak se tyto kořeny dají v některých jednodušších případech stanovit. Uvažujeme kubickou rovnici: x 3 3x 2 4x+ 12 = 0 V prvním kroku výpočtu stanovíme jeden kořen na základě dosazování. V následující podkapitole ukážeme, jak se to dělá. Hled nì ko ene kubickè rovnice dosazov nìm Jedná se o jednoduchou metodu řešení rovnice spočívající v tom, že jednotlivá čísla zvolená v závislosti na koeficientech rovnice dosazujeme do dané rovnice. okud dosazené číslo rovnici vyhovuje, kořen rovnice je nalezen. Je třeba zdůraznit, že uvedeným způsobem lze obvykle dojít k řešení rovnic, jejichž kořeny jsou malá celá čísla. Dosazováním takových čísel do dané rovnice se obvykle začíná. Výše uvedenou kubickou rovnici budeme řešit dosazováním. Vyjdeme z absolutního členu (členu neobsahujícího neznámou) rovnajícího se 12. Celočíselné dělitele čísla 12 jsou 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6. Dá se ukázat, že všechny celočíselné kořeny dané rovnice jsou mezi těmito děliteli. Tato čísla postupně dosazujeme do dané rovnice počínaje čísly nejmenšími v absolutní hodnotě (str. 151). 168
3 Nejmenší dělitele v absolutní hodnotě jsou 1 a 1, pokračujeme s čísly 2 a 2 atd. Číslo 1 dosadíme do dané rovnice x 3 3x 2 4 x+ 12 = 0 a dostáváme = 0 a odtud 6 = 0 Číslo 1 není kořenem dané rovnice, neboť 6 = 0 je nepravdivým výrokem. Číslo 1 dosadíme do dané rovnice x 3 3x 2 4 x+ 12 = 0 a dostáváme ( 1) 3 3 ( 1) 2 4 ( 1)+ 12 = 0 a odtud 12 = 0 Číslo 1 není kořenem dané rovnice, neboť 12 = 0 je nepravdivým výrokem. I. Aritmetika a algebra Číslo 2 dosadíme do dané rovnice x 3 3x 2 4 x + 12 = 0 a dostáváme = 0 a odtud 0 = 0 Číslo 2 je kořenem dané rovnice, neboť 0 = 0 je pravdivým výrokem. Další kořeny stanovíme pomocí dalšího kroku výpočtu uvedeného v následující podkapitole. DÏlenÌ mnohoëlen Celou rovnici dělíme výrazem (x x 1 ), kde x 1 je první nalezený kořen. V našem příkladu budeme dělit výrazem (x 2), neboť 2 byl první nalezený kořen. Uvedená metoda se nazývá dělení mnohočlenu, neboť dělencem je výraz x 3 3x 2 4 x + 12, což je tzv. mnohočlen (polynom) třetího stupně. odobně výraz ax 2 + bx + c, a 0 je polynom druhého stupně, ax + b, a 0 je polynom prvního stupně (viz též str. 173). ři dělení (x 3 3x 2 4x+ 12) : (x 2) dělíme mnohočlen x 3 3x 2 4x+ 12 mnohočlenem (x 2). 169
4 I. Aritmetika a algebra Řádek Dělenec Dělitel Výsledek Výpočty 1a (x 3 3x 2 4x + 12) : (x 2) = x 2 x 6 x 3 : x = x 2 b (x 3 2x 2 ) x 2 (x 2) = x 3 2x 2 c x 2 4x + 12 (x 3 3x 2 4x + 12) (x 3 2x 2 ) = x 2 4x a x 2 4x + 12 x 2 : x = x b ( x 2 + 2x) x (x 2) = x 2 + 2x c 6x + 12 ( x 2 4x + 12) ( x 2 + 2x) = = 6x a 6x x : x = 6 b ( 6x + 12) 6 (x 2) = 6x + 12 c 0 6x + 12 ( 6x + 12) = 0 Dělení mnohočlenů se v zásadě neliší od dělení čísel. Také zde se každý krok skládá ze tří částí: dělení, násobení a odčítání. Řádek 1a (dělení): Nejvyšší mocnina v dělenci ( x 3 ) se dělí nejvyšší mocninou v děliteli (x) : x 3 : x = x 2 Řádek 1b (násobení): Výsledek násobíme celým dělitelem (x 2): x 2 (x 2) = x 3 2x 2 Řádek 1c (odčítání): Od řádku 1a odečteme výraz x 3 2x 2, proto znak minus před závorkou v řádku 1b. Tyto tři kroky opakujeme ve zbývajících řádcích 2a až 3c. Smysl dělení polynomu vynikne, pokud převedeme levou stranu původní rovnice na součin: x 3 3x 2 4x + 12 = 0 ůvodní rovnice. (x 3 3x 2 4x + 12) : (x 2) = x 2 x 6 Dělení polynomu na levé straně rovnice a jeho výsledek. 170
5 x 3 3x 2 4x + 12 = x 2 x 6 (x 2) odíl vyjádřený jako zlomek. x 2 x 3 3x 2 4x + 12 = (x 2 x 6) (x 2) Dělenec vyjádřený jako součin podílu a dělitele. (x 2 x 6) (x 2) = 0 Nový tvar původní rovnice, kde je levá strana vyjádřena jako součin. Nová rovnice je ekvivalentní rovnici původní (obě rovnice mají stejnou množinu řešení), ale postup řešení nové rovnice je snazší. řipomínáme: Součin je rovný nule, právě když alespoň jeden jeho činitel je roven nule. Druhý činitel x 2 je roven nule pro x = 2. Toto řešení jsme stanovili již v kroku 1. Další krok výpočtu (stanovení dalších kořenů) vychází z nulovosti prvního činitele (x 2 x 6). Hodnoty x, pro které je první činitel roven nule, jsou kořeny kvadratické rovnice x 2 x 6 = 0. I. Aritmetika a algebra DokonËenÌ eöenì kubickè rovnice ñ eöenì dìlëì kvadratickè rovnice řipomínáme, že kvadratická rovnice tvaru ax 2 + bx+ c = 0 má následující kořeny: x 1, 2 = b ± p b2 & 4ac 2a 171
6 I. Aritmetika a algebra Dokončíme nyní řešení uvedené kubické rovnice řešením dílčí kvadratické rovnice: x 2 x 6 = 0 a = 1, b = 1, c = 6 x 2,3 = 1 ± p ( 1)2 4 1 ( 6) 2 1 x 2,3 = 1 ± p25& 2 Označíme koeficienty. Dosadíme do vzorce s diskriminantem. Vypočteme výraz pod odmocninou. oznámka k označení kořenů: Kořen x 1 již známe. Nyní počítáme kořeny x 2 a x 3. Vypočteme odmocninu. x 2,3 = 1 ± 5 2 x 2 = = 3 Kořen obsahující + 2 x 3 = 1 5 = 2 Kořen obsahující 2 Rozdělíme výraz pro výpočet obou kořenů x 2,3 na dva výrazy pro kořeny x 2 a x 3. K= { 2, 2, 3} Množina řešení dané kubické rovnice. Všechna řešení jsou reálná čísla. Cíle bylo dosaženo. Všechny tři kořeny jsou známy, x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 2. AlgebraickÈ rovnice n-tèho stupnï Rovnice pátého stupně má obecný tvar ax 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f = 0 ředpokládáme, že a 0 (kdyby a = 0, pak by byl stupeň rovnice nejvýše 4), ostatní koeficienty b, c, d, e, f jsou libovolná reálná čísla (mohou to být i nuly). 172
7 Budeme užívat zápisu a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x+ a 0 = 0 Toto označení koeficientů lépe určuje polohu koeficientu; index koeficientu (číslo umístěné níže než a) udává, k jaké mocnině neznámé x koeficient přísluší. Například a 3 je koeficient před x 3. okud je a 3 = 0, znamená to, že v dané rovnici se mocnina x 3 nenachází. Rovnice n-tého stupně má obecný tvar: a n x n + a n-1 x n a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x+ a 0 = 0, kde a n 0 Výraz na levé straně uvedené rovnice se nazývá mnohočlen (polynom) n-tého stupně. I. Aritmetika a algebra Každá algebraická rovnice, tj. rovnice, kde neznámá x vystupuje pouze jako mocnina s celým kladným exponentem, se dá zapsat uvedeným způsobem. Rovnice x 4 3 = 0 je rovnicí čtvrtého stupně s koeficienty a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 0, a 1 = 0, a 0 = 3 odrobně se všemi koeficienty a mocninami x můžeme uvedenou rovnici napsat následovně: 1 x x x x + ( 3) = 0 Z tohoto zápisu je zřejmé, že nepřítomnost mocnin x 3, x 2 a x v dané rovnici je způsobena tím, že odpovídající koeficienty jsou rovny nule. V kapitole o kvadratických rovnicích (str. 149) jsme ukázali, že kvadratická rovnice má dvě, jedno nebo žádné reálné řešení. Jinými slovy, kvadratická rovnice, tj. rovnice druhého stupně má nejvýše dvě reálná řešení. odobně lineární rovnice, tj. rovnice prvního stupně má jediné reálné řešení. ro rovnici n-tého řádu obecně platí: Rovnice n-tého řádu má nejvýše n reálných řešení (kořenů). 173
8 I. Aritmetika a algebra odobně jako kubické rovnice i rovnice čtvrtého a vyššího stupně řešíme dosazovací metodou v kombinaci s metodou dělení mnohočlenů. Metoda byla popsána v předchozí podkapitole. Zde jen zdůrazníme, že dosazovací metodou nemusíme dospět k cíli, pokud žádný kořen nebude celočíselný. Dá se ukázat, že jiné celočíselné kořeny než dělitele absolutního členu rovnice nemá. o každém stanovení kořene (např. x 1 ) dosazovací metodou dělíme rovnici výrazem (x x 1 ); vzniklá rovnice je stupně o 1 nižšího a opětovné použití dosazovací metody je snazší. V následující podkapitole uvedeme postup hledání kořenů pro speciální případ rovnice čtvrtého stupně. Rovnice ËtvrtÈho stupnï Rovnice čtvrtého stupně má obecný tvar a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x+ a 0 = 0 Rovnice má nejvýše čtyři reálné kořeny, které lze stanovit (pokud jsou celočíselné) za pomoci dosazování a dělení mnohočlenu stejně jako v případě rovnice kubické (viz podkapitolu Kubická rovnice, str. 168 a Dělení mnohočlenů, str. 169). Jednodušší postup řešení se nabízí v případě, že se jedná o speciální případ rovnice čtvrtého stupně, tzv. rovnici bikvadratickou. Kořeny této rovnice se dají najít pomocí vzorce s diskriminantem pro rovnice kvadratické. Způsob řešení je založen na zajímavé myšlence a není příliš pracný. Rovnice bikvadratickè Rovnice x 4 13x = 0 je rovnicí čtvrtého stupně vyznačující se tím, že obsahuje pouze sudé mocniny neznámé x. To se ukáže jako rozhodující v následujícím postupu výpočtu, který nevyžaduje dělení mnohočlenů. Bikvadratickými rovnicemi rozumíme rovnice typu a 4 x 4 + a 2 x 2 + a 0 = 0, kde a
9 Ve srovnání s obvyklou kvadratickou rovnicí ax 2 + bx+ c = 0 má bikvadratická rovnice a 4 x 4 + a 2 x 2 + a 0 = 0 dvojnásobné exponenty u neznámé x. roto se jí také říká bikvadratická neboli dvoukvadratická. V následujícím příkladu bude ilustrován postup využívající uvedenou souvislost s kvadratickou rovnicí. Řešme rovnici x 4 13x = 0. V uvedené rovnici nahradíme výraz x 2 novou neznámou u (a tudíž výraz x 4 = (x 2 ) 2 nahradíme výrazem u 2 ) a dostáváme kvadratickou rovnici u 2 13u + 36 = 0. Nyní již můžeme použít vzorec pro kořeny kvadratické rovnice (str. 154): u 2 13u + 36 = 0 Stanovíme koeficienty a, b, c. a = 1, b = 13, c = 36 Dosadíme je do vzorce pro kořeny kvadratické rovnice. u 1,2 = 13 ± p ( 13) u 1,2 = 13 ± p25& 2 Vzorec s diskriminantem. Řešení označíme u 1, u 2, protože neznámou v kvadratické rovnici je u. Vypočteme výraz pod odmocninou. Ve výrazu odmocníme a výraz rozdělíme na dva kořeny. u 1 = 18 2 = 9 Kořen s + I. Aritmetika a algebra u 2 = 8 2 = 4 Kořen s Stanovili jsme dvě řešení kvadratické rovnice: u 1 = 9, u 2 = 4. Úloha není ještě zcela rozřešena, protože naším cílem je stanovit kořeny bikvadratické rovnice x 4 13x = 0. Je třeba se vrátit k původní neznámé x: Uvažujme tedy opět kvadratickou rovnici u 2 13u + 36 = 0: 1. řešení 2. řešení u= 9 výsledek výpočtu u= 4 u= x 2 dosazení u= x 2 x 2 = 9 návrat k původní neznámé x 2 = 4 175
10 I. Aritmetika a algebra o návratu k původní neznámé provedeme další výpočty: x 2 = 9 odmocníme x 2 = 4 ozor: pro každou rovnici dostaneme dvě řešení! x 1,2 = ± 3 Rozdělíme na kladná x 3,4 = ± 2 a záporná řešení: x 1 = 3 kladná řešení x 3 = 2 x 2 = 3 záporná řešení x 4 = 2 Cíle bylo dosaženo: stanovili jsme čtyři kořeny dané bikvadratické rovnice. Všechna řešení jsou reálná čísla, množinou řešení je K = { 3, 2, 2, 3}. Uvedeným způsobem lze řešit všechny bikvadratické rovnice. Metoda nahrazování neznámých se nazývá substituce. Tuto metodu lze použít uvedeným způsobem jen tehdy, jsou-li všechny exponenty u neznámé sudé. 176
11 lohy 1. Stanovte množinu řešení pro následující rovnice řešené v oboru reálných čísel: a) x 3 2x 2 x + 2 = 0 b) x 3 + 5x 2 2x 24 = 0 c) 2x 3 10x x = 0 2. Stanovte množinu řešení pro následující rovnice. Navrhujeme následující způsob řešení: 1. Dosazením rozhodněte, které z uvedených hodnot jsou kořeny dané rovnice. 2. Dělte mnohočlen odpovídajícím kořenovým činitelem: (x kořen). 3. oužijte vzorec pro řešení kvadratické rovnice. 4. Rozhodněte, zda nalezené řešení patří do definičního oboru dané rovnice a) D =, x 2 4x 3 x x 12 = 0 možná řešení: 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 b) D = +, x 2 + 2x 2 6x 16 = 0 možná řešení: 0, 1, 2, 3 I. Aritmetika a algebra 3. Ke stanovení množiny řešení daných bikvadratických rovnic navrhujeme následující způsob řešení: 1. Nahraďte určitou mocninu o základu x novou neznámou u tak, aby vznikla kvadratická rovnice tvaru au 2 + bu+ c = odle vzorce s diskriminantem stanovte řešení uvedené kvadratické rovnice o neznámé u. 3. Nahraďte zpětně neznámou u odpovídající mocninou x. 4. Stanovte původní neznámé x. a) x 4 13x = 0 b) 2x 4 + 4x 2 16 = 0 D = D = c) x 6 + 7x 3 8 = 0 (Tato rovnice je trojkvadratická.) D = 177
12 I. Aritmetika a algebra ÿeöenì 1. a) K = { 1, 1, 2} b) K = { 4, 3, 2} c) K = {0, 2, 3} Z výrazu na levé straně vytkneme x. rvní řešení je x= a) x 1 = 2, x 2 = 1 Kořeny jsou 2 a 1. x 3 = 2, x 4 = 3 Kořenové činitele jsou (x + 2) a (x 1). x 2 5x + 6 = 0 K = { 2, 1, 2, 3} (Dílčí) kvadratická rovnice. b) x 1 = 2, x 2 = 2 Kořeny jsou 2 a 2. x 2 2x + 4 = 0 Kořenové činitele jsou (x + 2) a (x 2). (Dílčí) kvadratická rovnice. K = {2} Jiná řešení nejsou, 2 nepatří do definičního oboru! 3. a) Dosazení u= x 2. x 1 = 3, x 2 = 3 Kvadratická rovnice u 2 13u + 36 = 0. x 3 = 2, x 4 = 2 Řešení v neznámé u : u 1 = 9, u 2 = 4 K = { 3, 2, 2, 3} Návrat k neznámé x: x 2 = 9, x 2 = 4 b) Dosazení u= x 2. Kvadratická rovnice: 2u 2 +4u 16 = 0 x 1 = %2&, x 2 = %2& Řešení v neznámé u : u 1 = 2, u 2 = 4 K = { %2&, %2&} Návrat k neznámé x: x 2 = 2, x 2 = 4 (tato rovnice nemá reálné řešení) c) Dosazení u= x 2. Kvadratická rovnice u 2 +7u 8 = 0. x 1 = 2, x 2 = 1 Řešení v neznámé u : u 1 = 8, u 2 = 1 K = { 2, 1} Návrat k neznámé x: x 3 = 8, x 3 = 1 178
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná
VíceM - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceMatematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar
Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na
VíceM - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
VíceKvadratické rovnice. Řešení kvadratických rovnic. Kvadratická rovnice bez lineárního členu. Příklad 1:
Kvadratické rovnice V zadání lineární rovnice se může vyskytovat neznámá ve vyšší než první mocnině. Vždy ale při úpravě tato neznámá ve vyšší než první mocnině zmizí, odečte se, protože se vyskytuje na
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
VíceMatematika I (KMI/5MAT1)
Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceSoustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých obsah 1.a) x + y = 5 x 2 + y 2 = 13 3 b) x - y = 7 x 2 + y 2 = 65 5 c) x - y = 3 x 2 + y 2 = 5 6 3. a) x + 2y = 9 x. y = 10 12 b) x - 3y = 1
VíceVZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
VíceM - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
VíceAlgebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,
VíceMAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce
MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last
Vícea a
1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)
VíceM - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK
M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK Souhrnný studijní materiál k přípravě na 2. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo listopadu až ledna. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen,
VíceStřední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49
Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.7/1.5./34.5 Šablona: III/ Přírodovědné předměty
VíceSTŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace
VíceÚvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav
Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceM - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceJednoduchá exponenciální rovnice
Jednoduchá exponenciální rovnice Z běžné rovnice se exponenciální stává, pokud obsahuje proměnnou v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: a f(x) = b g(x), kde a, b > 0. Typickým
VíceKvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0
Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice a + b + c = 0 a, b, c R a 0 - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 - pokud by koeficient a byl roven nule, jednalo by se o rovnici
VíceŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší
VíceŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108
ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární
VíceEXPONENCIÁLNÍ ROVNICE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)
Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme
VíceM - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy P a VK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu dovoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
VícePomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
VíceNázev školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.
Více[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceLINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je
VícePOŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY
TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceM - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK
M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento
VíceJan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011
Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
Více16. Goniometrické rovnice
@198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny
VíceII. 3. Speciální integrační metody
48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou
VíceV exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto:
Eponenciální rovnice V eponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v eponentu. Obecně bychom mohli eponenciální rovnici zapsat takto: a ( ) f ( ) f kde a > 0, b > 0 b Příkladem velmi jednoduché eponenciální
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Více2.7.6 Rovnice vyšších řádů
6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení
VíceLineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především
Vícekuncova/, 2x + 3 (x 2)(x + 5) = A x 2 + B Přenásobením této rovnice (x 2)(x + 5) dostaneme rovnost
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/, kytaristka@gmail.com Příklady Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím na maimální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete.. f()
VíceKFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice
KFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice Požadované dovednosti: Řešení lineárních rovnic a nerovnic Řešení kvadratických rovnic Řešení rovnic s odmocninou Řešení rovnic s parametrem Řešení rovnic s absolutní
VíceLineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.
Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceAlgebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková
Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceCVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23
CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceGONIOMETRICKÉ ROVNICE -
1 GONIOMETRICKÉ ROVNICE - Pois zůsobu oužití: teorie k samostudiu (i- learning) ro 3. ročník střední školy technického zaměření, teorie ke konzultacím dálkového studia Vyracovala: Ivana Klozová Datum vyracování:
VíceAlgebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek.
Algebraické výrazy Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. 1. Upravte výrazy: a) 6a + 3b + 2a + c b b) 3m + s
Více2.7.6 Rovnice vyšších řádů
6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení
Více2. Řešení algebraické
@016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Argumentace a ověřování Gradovaný řetězec úloh Autor: Stanislav Trávníček Úloha 1 (úroveň 1)
Více4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy
4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s
Více3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy
. Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
VíceANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů
ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Komplexní
VíceZáklady aritmetiky a algebry II
Osnova předmětu Základy aritmetiky a algebry II 1. Lineární rovnice, řešení v tělesech Q, R, C, Z p, počet řešení v okruhu Z n, n N \ P. Grafické řešení, lineární nerovnice. 2. Kvadratická rovnice. Didaktický
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
Více. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0
Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy
VíceLogaritmické rovnice a nerovnice
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Logaritmické rovnice a nerovnice Bakalářská práce Brno 008 Lenka Balounová Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze z materiálů
VíceMatematika pro všechny
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/.007 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Goniometrické rovnice Autor: Ondráčková
VícePoznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.
@083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x
VícePolynomy a racionální lomené funkce
Polnom a racionální lomené funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Polnom Definice a základní pojm Násobnost kořene Počet kořenů Kvadratický polnom Rozklad na součin kořenových
VíceCVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: geometrická posloupnost, geometrická
VíceHorner's Method using Excel (výpočet hodnoty polynomu v Excel s využitím historické Hornerovy metody) RNDr. Miroslav Kružík UPOL Olomouc
Horner's Method using Excel (výpočet hodnoty polynomu v Excel s využitím historické Hornerovy metody) RNDr. Miroslav Kružík UPOL Olomouc Proč historická metoda v dnešní počítačové době? Dnes údajně počítače
VíceKOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy
KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
6. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic y + 3x = 4x 3, x + 3y = 4y 3. 2. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VíceLineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic
Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Číslo a proměnná Gradovaný řetězec úloh Téma: soustava rovnic, parametry Autor: Stanislav Trávníček
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
VíceNalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
Více9.4. Rovnice se speciální pravou stranou
Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta
VíceKapitola 1. Hlavním cílem této kapitoly je naučit se rychle a bezchybně upravovat složité algebraické výrazy. To ovšem
Kapitola Algebraické výrazy Hlavním cílem této kapitoly je naučit se rychle a bezchybně upravovat složité algebraické výrazy. To ovšem předpokládá bezproblémové zvládnutí základních úprav jednoduchých
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceVýfučtení: Mocniny a kvadratické rovnice
Výfučtení: Mocniny a kvadratické rovnice S čísly a základními operacemi, tedy se sčítáním, odčítáním, násobením a dělením, jsme se seznámili už dávno během prvních let naší školní docházky. Každý z nás
VíceNástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918
Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918 Jednoroční učební kurs (JUK) In: Jiří Mikulčák (author): Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích
Více