Interpolace, aproximace
|
|
- Luděk Holub
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 11 Interpolace, aproximace Metoda nejmenších čtverců 11.1 Interpolace Mějme body [x i,y i ], i =0, 1,...,n 1. Cílem interpolace je najít funkci f(x), jejíž graf prochází všemi těmito body, tj. f(x i )=y i. Poté lze pomocí nalezeného funkčního předpisu počítat hodnoty pro libovolné x, samozřejmě s jistou chybou. Nejčastější interpolační metody: Po částech lineární interpolace, kdy danými body proložíme lomenou čáru. Tj. dva sousední body jsou spojeny úsečkou, pro výpočet pak můžem užít oblíbenou trojčlenku. Polynomická interpolace, kdy danými body proložíme polynom. Dvěma body se dá vést přímka, tj. polynom stupně 1, třemi parabola, tj. polynom stupně 2atd.Máme-lin bodů, můžeme jimi proložit polynom stupně n 1: y = a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 1 x + a 0 Dosadíme-li do tohoto polynomu [x i,y i ], i =1,...,n,získámesoustavun rovnic o n neznámých: x n 1 0 x n a n 1 y 1 x n 1 1 x n a n 2. = y 2. x n 1 n 1 x n 2 n a 0 y n Matice této soustavy se nazývá Vandermondova matice. Zásadní nevýhodou této metody je skutečnost, že budeme-li se snažit proložit více body (asi sedmi a více) jediný polynom, skončíme velmi pravděpodobně (pokud jsme data nezískali skutečně z nějakého polynomu) tak, že kvůli velmi výrazným a neopodstatněné zákmitům grafu bude polynom k ničemu (vizte obr. 1) Metoda je vhodná pouze při menším počtu bodů, kdy dává dobré výsledky. 1
2 Obr. 1: Polynom stupně 8 I při menším počtu bodů je výpočet koeficientů zatížen zaokrouhlovacími chybami (s Vandermondovou maticí se špatně počítá). Existují však i jiné postupy, jak polynom vypočítat. Newtonova interpolace: Newtonův interpolační polynom má následující tvar: N n (x) =a 0 +a 1 (x x 0 )+a 2 (x x 0 )(x x 1 )+ +a n (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) Koeficienty získáme postupným dosazováním argumentů, kterýžto postup lze algoritmizovat. Lagrangeova interpolace: Interpolační polynom n 1 L(x) = y j l j (x) =y 0 l 0 (x)+y 1 l 1 (x)+ + y n 1 l n 1 (x) j=0 je lineární kombinací Lagrangeových bázových polynomů l j (x) = n 1 i=0,i j x x i = (x x 0) x j x i (x j x 0 ) (x x j 1) (x j x j 1 ) Pro bázové polynomy l j (x) platí: l j (x i )= { 1 pro i = j 0 pro i j (x x j+1 ) (x j x j+1 ) (x x n 1) (x j x n 1 ). Existují i další metody, k jejich rozvoji vedla historicky snaha zjednodušit výpočetní náročnost a získat pohodlně interpolační polynom v případě doplnění dalších bodů k již použitým pro nalezení polynomu. Samozřejme, že všechny postupy vedou k témuž polynomu, ovšem při výpočtu různými metodami můžeme získat různé výpočty vlivem zaokrouhlovacích chyb. 2
3 Po částech polynomická interpolace, proložíme parabolu. kdy např. třemi sousedními body Interpolace splajnem [splajn, postaru často psáno spline], kdy mezi každými dvěma body je výsledná křivka popsána jiným funkčním předpisem f i (x). To umožňuje dosáhnout hladké funkce, tj. mající spojité derivace (nikde nejsou zuby). Často se užívá kubický splajn, kdy mezi každými dvěma body máme kubickou funkci f i (x) =a i + b i (x x i )+c i (x x i ) 2 + d i (x x i ) 3. Předpokládejme že máme n + 1 bodů (číslujeme 0, 1,...,n,tj.nintervalů), a tedy i n kubických polynomů, z nichž každý je popsán 4 koeficienty. Dohromady máme tedy 4n neznámých a musíme tedy mít 4n podmínek pro výpočet všech parametrů. Ty získáme takto: (1) jednostranné limity jednotlivých polynomů v bodech x i nám dají 2n rovnic, tedy: (1a) n podmínek typu lim f i(x) =y i x x i + pro i =0,...,n 1, kde f i (x) je odpovídající kubická funkce na i-tém intervalu (počítáno od nuly), (1b) n podmínek typu lim x x i f i 1(x) =y i pro i = 1,...,n,kdef i (x) je odpovídající kubická funkce na i-tém intervalu (počítáno od nuly), (2) z požadavku hladkosti nám vyplyne 2n 2podmínektypu lim f i 1 (x) = lim f i (x) x x i x x i + lim f i 1 (x) = lim f i (x) x x i x x i + pro i =1,...,n 1 (bez koncových krajních bodů), kde f i (x) je odpovídající kubická funkce na i-tém intervalu (počítáno od nuly). (3) pro dva koncové krajní body se obvykle bere podmínka tzv. přirozeného splajnu, tedy že do koncového bodu dobíhá splajn jako rovná čára, tedy lim f 0 (x) = lim x x 0 + f n x x n (x) =0. Na pomoc si samozřejmě vezmeme kvalitní matematický softvér. 3
4 Obr. 2: Kubický splajn Mezi výhody kubického splajnu patří: (1) lze jednoduše přidávat další a další body tvořící složitější a složitější křivky při zachování přesnosti a proveditelnosti výpočtu (srovnejte si s polynomy vysokého stupně), (2) výsledná funkce je hladká, nikde žádné zlomy, (3) případný zákmit lze odstranit přidáním dalšího bodu Aproximace Mějme body [x i,y i ], i =1,...,n.Argumentyx i jsou určeny deterministicky (tedy měřeny bezchybně) a y i jsou nezávislé náhodné veličiny (nabývají hodnot s jistou pravděpodobností) s normálním rozdělením se střední hodnotou 0 a rozptylem σ 2 pro všecha i (vizte poznámku 1 na str. 11). Cílem aproximace je najít funkci, jejíž graf co nejlépe vystihuje rozložení těcho bodů (nemusí jimi procházet). Poté lze pomocí nalezeného funkčního předpisu počítat hodnoty pro libovolné x, samozřejmě s jistou chybou. Názor na to, co považovat za co nejlepší vystižení rozložení bodů není jednoznačný. Kvůli poměrné jednoduchosti se nejčastěji používá metoda nejmenších čtverců (čtverec = druhá mocnina): Předpokládejme, že nejlépe vystihuje rozložení daných bodů [x i,y i ], i =1,...,n, funkce y = f(x), jejíž funkční předpis obsahuje neznámé parametry. Pro každé i vypočteme čtverec (y i f(x i )) 2. Sečteme všechny tyto čtverce, tj. vypočteme Φ= (y i f(x i )) 2 a hledáme, pro které hodnoty parametrů je tato suma minimální, tj. kde je parciální derivace sumy Φ podle každého parametru 0. Pokusme se body [x i,y i ], i = 1,...,n, proložit přímku f(x) = β 0 + β 1 x, nazývanou též regresní. 4
5 Budeme tedy minimalizovat výraz Φ= (y i β 1 x i β 0 ) 2. Vypočteme obě parciální derivace a upravíme je: Φ β 1 = Φ β 0 = 2(y i β 1 x i β 0 )( x i )=0 2(y i β 1 x i β 0 )( 1) = 0 ( xi y i + β 1 x 2 i + β ) 0x i =0 ( y i + β 1 x i + β 0 )=0 x i y i = β 0 x i + β 1 y i = nβ 0 + β 1 x i x 2 i n ˆβ 0 = y n i x2 i n x n i x iy i n n x2 i ( n x i) 2 ˆβ 1 = n n x iy i n x n i y i n n x2 i ( n x i) 2 (vypočtené koeficienty odhady parametrů je zvykem značit se stříškou) Získanou soustavu lze zapsat pomocí matic: y i n x i ( ) = β0 β 1 x i y i x i x 2 i 5
6 Tato soustava se dá sestavit pomocí těchto matic: 1 x 1 y 1 1 x 2 X =.., Y = y 2., β = 1 x n y n Soustava pak má tvar X Y = X Xβ a β =(X X) 1 X Y. Pokud bychom neprokládali přímku, ale polynom stupně n, projeví se to tak, že příslušné matice budou mít tvar 1 x 1 x x n 1 β 0 1 x 2 x x n 1 X =....., β = β 1., 1 x n x 2 n... xn n β n aopětβ =(X X) 1 X Y. Aproximující křivka f(x) nemusí procházet danými body [x i,y i ], i =1,...,n, je tedy rozumné spočítat odchylky e i = y i f(x i ), nazývané rezidua. Dálese neboli reziduální součet čtverců. Platí, že rozptyl S 2 = S e /(n k), kde k je počet parametrů (v našem případě 2), S je směrodatná odchylka. Kvalitu s jakou jsou data popsána regresní přímkou, udává index determinace pak zkoumá součet čtverců reziduí S e = n e2 i I = n (ŷ i ȳ) 2 n (y i ȳ) 2, kde ŷ i je hodnota vypočtená z nalezené funkce, ȳ značí aritmetický průměr. Někdy se při výpočtu s výhodou používá také vztah ȳ = β 0 + β 1 x, který získáme sečtením rovnic y i = β 0 + β 1 x i pro všechna i a vydělení součtu n. Příklad 1. Mravenec průzkumník se probouzí při teplotě okolo 5 C, při teplotě 10 C už může dosáhnout rychlosti 18 m/hod., při teplotě 15 C vyvine rychlost 54 m/hod., při teplotě 20 C běží rychlostí 126 m/hod., při teplotě 25 C uhání rychlostí 210 m/hod., při teplotě 28 C jeho rychlost klesá na 190 m/hod. [Bernard Werber: Mravenci, KK, 2005] 1. Najděte regresní přímku β 0 + β 1 x pro závislost rychlosti y mravence průzkumníka na teplotě okolí x. Určete index determinace. 6 ( β0 β 1 )
7 Obr. 3: Dané hodnoty rychlosti v závislosti na teplotě Řešení: Sestavíme tabulku i x i y i x 2 i x i y i yi 2 ŷ i e i e 2 i = n ˆβ 0 = y n i x2 i n x n i x iy i n n x2 i ( n x i) 2 = = = ˆβ 1 = n n x iy i n x n i y i n n x2 i ( n x i) 2 = = = = Směrodatná odchylka (vizte opět poznámku 1 na str. 11) je S = 3 7 =
8 Rovnice přímky je β 0 + β 1 x = x. Pro zjištění indexu determinace výpočteme průměry x = 19.6, ȳ = a sestavíme další tabulku i x i y i y i ȳ (y i ȳ) 2 ŷ i ȳ (ŷ i ȳ) Odtud I = n (ŷ i ȳ) n (y i ȳ) = =0.969 Obr. 4: Regresní přímka 2. Najděte interpolační polynom rychlosti pohybu mravence v závislosti na teplotě. Řešení: Použijeme Lagrangeovu interpolaci pro daná data: teplota := [10, 15, 20, 25, 28], rychlost := [18, 54, 126, 210, 190]. 8
9 Vypočteme Lagrangeovy bázové polynomy a sestavíme polynom L(x): (x 15)(x 20)(x 25)(x 28) l 0 (x) = (10 15)(10 20)(10 25)(10 28) = = x x x x (x 10)(x 20)(x 25)(x 28) l 1 (x) = (15 10)(15 20)(15 25)(15 28) = = x x x x (x 10)(x 15)(x 25)(x 28) l 2 (x) = (20 10)(20 15)(20 25)(20 28) = =0.0005x x x x (x 10)(x 15)(x 20)(x 28) l 3 (x) = (25 10)(25 25)(25 20)(25 28) = = x x x x (x 10)(x 15)(x 20)(x 25) l 4 (x) = (28 10)(28 15)(28 20)(28 25) = = x x x x L(x) =18l 0 (x)+54l 1 (x) + 126l 2 (x) + 210l 3 (x) + 190l 4 (x) = = x x x x t Obr. 5: Interpolační polynom 9
10 Na zvěr ještě nakreslíme interpolační splajn rychlosti pohybu mravence v závislosti na teplotě získaný Matlabem. Kód úlohy byl tento: mravenci=[5,0;10,18;15,54;20,126;25,210;28,190]; X=mravenci(:,1); Y=mravenci(:,2); rad=length(x); xx=x(1):0.2:x(rad); yy=spline(x,y,xx); plot(x,y, o,xx,yy) Výsledek: Obr. 6: Interpolační splajn 10
11 Poznámka 1. Význam směrodatné odchylky je znázorněn na obr. 7 Obr. 7: Křivka normálního rozdělení četnosti Procenta udávají plochu nad příslušným intervalem. Pravděpodobnost toho, že realizace náhodné veličiny s rozdělením N(μ, σ 2 ) bude v intervalu μ σ, μ + σ je %, v intervalu μ 2σ, μ +2σ je % a v intervalu μ 3σ, μ +3σ je %. Např. vyrábíme-li metrové tyče s přesností ±1 mm a zákazníkovi vyhovuje tyč délky 99 mm až 101 mm, pak vyrobíme pravděpodobně % zmetků. Chceme- -li méně zmetků, pak musíme zpřesnit výrobní proces, při přesnosti ±0.5 mm bude jen 4.55 % zmetků, při přesnosti ±0.33 mm bude jen 0.27 % zmetků. Také lze přesvědčit zákazníka, že na nějakém milimetru nesejde. 11
13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách
13 Regrese 13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách znaku X. Přitom je třeba vyřešit jednak volbu funkcí k vystižení dané závislosti a dále stanovení konkrétních
VíceMetoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012
Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012 Metoda nejmenších čtverců Matematicko-statistická metoda používaná zejména při zpracování nepřesných dat (typicky experimentálních empirických
VícePolynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
VíceInterpolace pomocí splajnu
Interpolace pomocí splajnu Interpolace pomocí splajnu Připomenutí U interpolace požadujeme, aby graf aproximující funkce procházel všemi uzlovými body. Interpolační polynom aproximující funkce je polynom
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VíceRegresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel
Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23
VíceUNIVERZITA PARDUBICE. 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek
UNIVERZITA PARDUBICE Licenční Studium Archimedes Statistické zpracování dat a informatika 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek Mgr. Jana Kubátová Endokrinologický ústav V Praze, leden 2012 Obsah
Více5. Interpolace a aproximace funkcí
5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x
VíceAplikovaná matematika I
Metoda nejmenších čtverců Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 1 / 8 Obsah 1 Formulace problému 2 Princip metody nejmenších čtverců 3
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,
VíceAproximace a interpolace
Aproximace a interpolace Aproximace dat = náhrada nearitmetické veličiny (resp. složité funkce) pomocí aritmetických veličin. Nejčastěji jde o náhradu hodnot složité funkce g(x) nebo funkce zadané pouze
VíceStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení dvanácté aneb Regrese a korelace Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 18 V souboru 25 jedinců jsme měřili jejich výšku a hmotnost. Výsledky jsou v tabulce a grafu. Statistika (KMI/PSTAT)
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regresní analýza - motivace Základní úlohou regresní analýzy je nalezení vhodného modelu studované závislosti. Je nutné věnovat velkou pozornost tomu aby byla modelována REÁLNÁ
VíceBodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model Mějme lineární regresní model (LRM) Y = Xβ + e, kde y 1 e 1 β y 2 Y =., e
VíceÚloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté
Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0
VíceAproximace funkcí. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Aproximace funkcí Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Dělení Interpolace 1D Více dimenzí Minimalizace Důvody 1 Dělení Dělení - Získané data zadané data 2 Dělení - Získané data Obecně
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování
KATEDRA ANALYTICKÉ CHEMIE FAKULTY CHEMICKO TECHNOLOGICKÉ UNIVERSITA PARDUBICE - Licenční studium chemometrie LS96/1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování Praha, leden 1999 0 Úloha
Více2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
VíceLINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model
LINEÁRNÍ REGRESE Chemometrie I, David MILDE Lineární regresní model 1 Typy závislosti 2 proměnných FUNKČNÍ VZTAH: 2 závisle proměnné: určité hodnotě x odpovídá jediná hodnota y. KORELACE: 2 náhodné (nezávislé)
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
VíceAproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.
Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace
VíceAVDAT Nelineární regresní model
AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceTéma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany
3 Metoda nejmenších čtverců 3 Metoda nejmenších čtverců Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 73-80. Jedná se o třetí možnou metodu aproximace,
Více7. Analýza rozptylu.
7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VíceOdhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceNormální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký
Víceodpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných
8. Regresní a korelační analýza Problém: hledání, zkoumání a hodnocení souvislostí, závislostí mezi dvěma a více statistickými znaky (veličinami). Typy závislostí: pevné a volné Pevná závislost každé hodnotě
VíceKombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceBézierovy křivky Bohumír Bastl KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26
Bézierovy křivky Bohumír Bastl (bastl@kma.zcu.cz) KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26 Opakování Spline křivky opakování Bézierovy křivky GPM 2 / 26 Opakování Interpolace
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceSemestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň
VíceInterpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012
Interpolace Lagrangeovy polynomy Michal Čihák 29. října 2012 Problematika interpolace V praxi máme často k dispozici údaje z různých měření tzv. data. Data mohou mít například podobu n uspořádaných dvojic
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VícePopis metod CLIDATA-GIS. Martin Stříž
Popis metod CLIDATA-GIS Martin Stříž Říjen 2008 Obsah 1CLIDATA-SIMPLE...3 2CLIDATA-DEM...3 2.1Metodika výpočtu...3 2.1.1Výpočet regresních koeficientů...3 2.1.2 nalezených koeficientu...5 2.1.3Výpočet
VíceNormální rozložení a odvozená rozložení
I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více4 Numerické derivování a integrace
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 21 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 2 / 21 Řešíme následující úlohu: differencovatelnou funkci f : R R známe jen v konečném počtu bodů x 0,
Vícef(x) = ax + b mocnin (čili čtverců, odtud název metody) odchylek proložených hodnot od naměřených hodnot byl co (ax i + b y i ) 2 2(ax i + b y i ).
Úvod Metoda nejmenších čtverců Metodu nejmenších čtverců používáme, chceme-li naměřenými (nebo jinak získanými) body proložit křivku, např. přímku. Tedy hledáme taková reálná čísla a, b, aby graf funkce
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceLineární a polynomická regrese, interpolace, hledání v tabulce
co byste měli umět po dnešní lekci: proložit body přímku, parabolu,... a určit chyby parametrů (u přímky) interpolovat mezi hodnotami v tabulce hledat v tabulce (1D) prokládání (fitování) křivek metoda
VíceGEODETICKÉ VÝPOČTY I.
SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 2.ročník GEODETICKÉ VÝPOČTY I. TABELACE FUNKCE LINEÁRNÍ INTERPOLACE TABELACE FUNKCE Tabelace funkce se v minulosti často využívala z důvodu usnadnění
VíceRegrese. 28. listopadu Pokud chceme daty proložit vhodnou regresní křivku, musíme obvykle splnit tři úkoly:
Regrese 28. listopadu 2013 Pokud chceme daty proložit vhodnou regresní křivku, musíme obvykle splnit tři úkoly: 1. Ukázat, že data jsou opravdu závislá. 2. Provést regresi. 3. Ukázat, že zvolená křivka
VíceMĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ
MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceMÍRY ZÁVISLOSTI (KORELACE A REGRESE)
zhanel@fsps.muni.cz MÍRY ZÁVISLOSTI (KORELACE A REGRESE) 2.5 MÍRY ZÁVISLOSTI 2.5.1 ZÁVISLOST PEVNÁ, VOLNÁ, STATISTICKÁ A KORELAČNÍ Jednorozměrné soubory - charakterizovány jednotlivými statistickými znaky
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceAVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců
AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model klasický lineární regresní model odhad parametrů MNČ y = Xβ + ε, ε
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceKřivky a plochy technické praxe
Kapitola 7 Křivky a plochy technické praxe V technické praxi se setkáváme s tím, že potřebujeme křivky a plochy, které se dají libovolně upravovat a zároveň je jejich matematické vyjádření jednoduché.
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceČebyševovy aproximace
Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu
VícePseudospektrální metody
Pseudospektrální metody Obecně: založeny na rozvoji do bázových funkcí s globálním nosičem řešení diferenciální rovnice aproximuje sumou kde jsou např. Čebyševovy polynomy nebo trigonometrické funkce tyto
VíceVZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
VíceIntegrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze
Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál
Více8 Střední hodnota a rozptyl
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceLineární regrese. Komentované řešení pomocí MS Excel
Lineární regrese Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A1:B11 (viz. obrázek) na listu cela data Postup Základní výpočty - regrese Výpočet základních
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VíceQ(y) dy = P(x) dx + C.
Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato
VícePozn. 1. Při návrhu aproximace bychom měli aproximační funkci vybírat tak, aby vektory ϕ (i) byly lineárně
9. Řešení typických úloh diskrétní metodou nejmenších čtverců. DISKRÉTNÍ METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ použití: v případech, kdy je nevhodná interpolace využití: prokládání dat křivkami, řešení přeurčených
VíceStatistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup
Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceAPROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL
APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL Jiří Kulička 1 Anotace: Článek se zabývá odvozením, algoritmizací a popisem konstrukce
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceBodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu
Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu 1 Odhady parametrů 11 Bodové odhady Mějme lineární regresní model (LRM) kde Y = y 1 y 2 y n, e = e 1 e 2 e n Y = Xβ + e, x 11 x 1k, X =, β = x n1
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceTéma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6. Základní aproximační úlohu lze popsat následovně: Jsou dány body [x 0, y 0 ], [x 1, y 1 ],..., [x n, y n
VíceInovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Regrese Závislostproměnných funkční y= f(x) regresní y= f(x)
VícePříklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7
Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku
VíceNumerické metody zpracování výsledků
Numerické metody zpracování výsledků Měření fyzikální veličiny provádíme obvykle tak, že měříme hodnoty y jedné fyzikální veličiny při určitých hodnotách x druhé veličiny, na které měřená veličina závisí.
VíceCVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
VíceZlín, 23. října 2011
(. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0548 Název školy: Gymnázium, Trutnov, Jiráskovo náměstí 325 Název materiálu: VY_32_INOVACE_158_IVT Autor: Ing. Pavel Bezděk Tematický okruh:
Víceúloh pro ODR jednokrokové metody
Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické
VíceTestování předpokladů pro metodu chain-ladder. Seminář z aktuárských věd Petra Španihelová
Testování předpokladů pro metodu chain-ladder Seminář z aktuárských věd 4. 11. 2016 Petra Španihelová Obsah Datová struktura Posouzení dat Předpoklady metody chain-ladder dle T. Macka Běžná lineární regrese
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Vícena magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy
Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd
VíceObsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
Více