Matematické metody rozhodování

Transkript

1 Matematické metody rozhodování Roman Hájek, Klára Hrůzová, Tomáš Konečný, Markéta Krmelová, Martin Trnečka 30. dubna 200 Rozhodovacíproblém: Výběrideálníhonotebooku. ID Notebook Váha Design Baterie Procesor RAM Disk Acer 2,50 nic moc 2 Intel Celeron 60 2 Asus 2,60 ujde 3,5 AMD Turino X HP 2,49 nicmoc 5 IntelCore2DuoT Dell 2,64 ujde 4 Intel Pentium Dual Core T Lenovo 2,50 nic moc 4 Intel Centrino Packard 2,70 dobrý 3 Intel Pentium Dual Core T Samsung 2,60 ujde 3 Intel Core i Sony 2,70 dobrý 4,5 Intel Core 2 Duo T Toshiba 2,72 ujde 3,5 Intel Pentium Dual Core T Fujitsu 2,70 nic moc 3 Intel Core 2 Duo P Tabulka : Tabulka důsledků Poznámka: Hodnoty ve sloupci Design jsou seřazany: nic moc < ujde < dobrý. Hodnoty ve sloupci procesor jsouseřazenytakto:<2<4<7<6<9<3,5<8 <0. Strom cílů: Výběr notebooku Dobrá konfigurace Praktičnost Design Procesor RAM Disk Baterie Váha Obrázek : Strom cílů Seřazení kritérií: Procesor RAM Baterie Disk Design Váha

2 Váhy kriterií: Označení Název Váha Váha (přímou metodou) (normovaná) K Procesor K 2 RAM K 3 Baterie K 4 Disk K 5 Design K 6 Vaha Rozdělení kritérií do skupin: Tabulka 2: Kritéria K,K 2 K 3,K 4 K 5,K 6 Obrázek 2: Rozdělení kritérií dle kategorií Metfesselova alokace: K 4 =.5% K 5 =7.5% K 6 =5% K =30% K 3 =9% K 2 =27% Obrázek 3: Metfesselova alokace(přímá) Poznámka: Označenípoužitévobrázku4jenásledující. K K 6 označujejednotlivákriteria. K A označuje množinuvšechkritérií. K B = K A \ {K }, K C = K B \ {K 2 }... Výsledné váhy kritérií získané pomocí postupné Metfesselovi alokace ukazuje tabulka 3. 2

3 K A K 0.3 K K B K K C K K D 0.57 K E 0.54 K 5 K Obrázek 4: Metfesselova alokace(postupná) Označení Název Váha (nepřímá metoda) K Procesor K 2 RAM K 3 Baterie 0.86 K 4 Disk 0.4 K 5 Design K 6 Vaha Tabulka 3: Kritéria získaná Metfesselovou alokací Nepřímé metody stanovení vah kritérií:. Preferenční pořadí: Označení Název Váha w i Normovanáváha v i K 6 Váha 0.04 K 5 Design K 4 Disk K 3 Baterie K 2 RAM K Procesor Tabulka 4: Váhy kritérií získané metodou preferenčního pořadí 3

4 2. Párové srovnávání: Kritéria K K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 Váha w i Normovanáváha v i K K K K K K Tabulka 5: Váhy kritérií získané metodou párového srovnávání Saatyho metoda: Hodnoty se do matice přiřazují podle následujících kritérií. - stejně významné 3- K i jeslaběvýznamnější K j 5- K i jedostivýznamnější K j 7- K i jeprokazatelněvýznamnější K j 9- K i jeabsolutněvýznamnější K j Pro náš rozhodovací problém pak matice odpovídá tabulce 6 K K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K K K K K K Tabulka 6: Saatyho matice S Matice ovšem nemusí být konzistentní. Pro zjištění konzistentnosti je potřeba vypočítat vlastní číslo matice S. Výsledkem výpočtu pomocí programu Matlab jsou následující dvě matice. Tyto matice pak slouží pro výpočet koeficientu nekonzistence CI= λ max m m i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i Tabulka7:PomocnámaticeekSaatyhomatici S 4

5 i i i i Tabulka8:PomocnámaticeekSaatyhomatici S kde mjepočetkritériíaλ max jemaximálníhodnotazdruhématice.výsledekprokonzistentní matici by se měl blížit nule, ale protože nevíme, jak blízko nule by měla být, vypočítáme relativní koeficient nekonzistence daný vztahem CR= CI RI(m) kde RI(m) je pro náš případ rovno hodnotě.252. Aby byla matice konzistentní, je třeba, aby hodnota CR 0. Po dosazení dostáváme výsledek Matice je tedy nekonzistentní a musíme ji tedy upravit. Po úpravě budeme postupovat stejným způsobem, jak pro první matici. Prvky upravené Saatyho matice se vypočítají pomocí vlastního vektoru z předchozích dvou matic. Vlastnívektorjevybránztabulky6.Zvolenýsloupecodpovídásloupci,vněmžsenachází λ max v 7. Výsledek vypadá následovně. K K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K K K K K K Tabulka9:Saatyhomatice S Tentokrát je CR = 0. Matice je tedy konzistentní. Při výpočtech docházelo k zaokrouhlení i i i i i i i i i i Tabulka0:PomocnámaticeekSaatyhomatici S 5

6 i i Tabulka:PomocnámaticevkSaatyhomatici S Váha Váha Označení Název (Metfess) (Saaty) K Procesor K 2 RAM K 3 Baterie K 4 Disk K 5 Design K 6 Vaha Tabulka 2: Váhy kritérií získané Metfesselovou a Saatyho metodou Kompenzeční metoda: K i =RAM, K j =váha.změnuhodnotykriteriiukazujetabulka3 Notebook Váha Design Baterie Procesor RAM Disk x i Packard 2,70 dobrý 3 IntelPentiumDualCoreT x j Packard 2,70 dobrý 4.5 IntelPentiumDualCoreT Tabulka 3: Změna kriterií h RAM (x i )=0.667 h baterie (x i )=0.333 Z předchozího pak plyne závěr, že h RAM (x j )=0.333 h baterie (x j )=0.833 Korekce vah: v RAM =.497 v baterie Použijeme váhy získané pomocí Metfesselovi alokace. w = =0.68 v =0.309, v 2=0.274, v 4=0.7 w 2 = =

7 w = 0.7 w 2 = 0.2 w 3 = 0. K,K 2,K 4 K 3,K 6 K 5 Obrázek 5: Korekce vah v 3 =0.52, v 6 =0.048 w 3 =0. v 5 =0. Kendallův koeficient pořadové korelace spočtemepro K (Procesor)a K 2 (RAM) Nejprve seřaďme všechny varianty zvlášť podle každého z kritérií. Varianty jsou seřazeny shora dolů od nejlepší po nejhorší. Stejné jsou na témže řádku. Procesor RAM x 0 x 3,x 7,x 8,x 0 x 8 x 4,x 6 x 3,x 5 x 2,x 5,x 9 x 9 x x 6 x 7 x 4 x 2 x Tabulka 4: Seřazení variant dle zvolených kritérií Nyní sestrojme tabulku, ve které budeme porovnávat jednotlivé varianty podle zvolených kritérií. Hodnota každé buňky v tabulce se vypočítá dle vztahu [x, y]=k (x, y) K 2 (x, y) kde K i (x, y)jerovno,pokudjevarianta xlepšínežvarianta yvkriteriu K i.pokudjehorší, jerovno apokudjsoustejné,jerovno0. P= count([x, y]=)=27 Q=count([x, y]= )=7 S= P Q=20 Nyní spočtěme sumy přes řádky tabulky 5, t označuje počet prvků v řádku. 7

8 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 x - x x x x x x x x x Tabulka 5: Srovnávací tabulka variant U= 2 T= 2 t(t )= (2(2 ))= 2 t(t )= 2 (4(4 )+2(2 )+3(3 ))= 2 (2+2+6)=0 A nakonec Kendallův koeficient: n=0 τ= S = 2 n(n ) T 2 n(n ) U 20 = 2 0(0 ) 2 0(0 ) =0,50 Výsledek může vyjít v intervalu, kde nám signalizuje, že varianty mají vzhledem ke kritériím shodný trend,- značí trend úplně opačný. 0 značí nezávislost. Shluková analýza: s = K K 2 K 3 K 4 s = 0.50 π K,K 2 K 3 K 4 s = π 2 K,K 2,K 3 K 4 s = 0.29 K,K 2,K 3,K 4 Obrázek 6: Shluková analýza Obdobným způsobem jako v předešlé části spočítáme Kendallovy koeficienty mezi jednotlivými kritérii a dostaneme τ 2 =0.50 τ 3 =0.358 τ 4 =0.52 8

9 τ 23 =0.240 τ 24 =0.343 τ 34 =0.34 Zpředchozíhovyplývá,ženejvícepodobnéjsousikritéria K a K 2 aprotojeshluknemedojednoho klastruaoznačímejej π.dálevypočítámepodobnosttohotoklastruskriterii K 3 a K 4 s (π, K 3 )=0.369 s (π, K 4 )=0.335 τ 34 =0.34 Nejvícepodobnéjsousikluster π akriterium K 3 aprotojeopětshlukneme.nynímámstačí určitpodobnosttohotoklusterusezbývajícímkritériem K 4 Koeficient konzistence: s (π 2, K 4 )=0.290 K K 2 K 3 K 4 ( s) 2 x x ,5 2, x 3 3,5 2, x 4 8 5,5 3,5 8,5 25,5 2,25 x 5 3,5 8 3,5 8,5 23,5 2,25 x 6 6 5, ,5 2,25 x 7 7 2,5 8 2, x 8 2 2,5 2 2, x ,5 2,5 2 x 0 2, ,5 20,25 S 635 Tabulka 6: Tabulka ohodnocení variant dle jednotlivých kritérií Vtabulce6jepoužitopísmeno s,cožjeřádkovýprůměr,kterýsevypočítápodlevzorce: kde m je počet kritérií a n je počet variant. s= m (n+), 2 s= 4 2 =22 Koeficient konzistence W se potom vypočítá podle vzorce: přičemžpro T j platí: S W= 2 m2 (n 3 n) m m j= T, j T j = 2 t j (t 3 j t j ), kde t j jepočetstejnýchčíselvesloupci.hodnoty T j jsounásledující T =0.5, T 2 =7.5, T 3 =3, T 4 =7.5 9

10 Koeficient konzistence se v našem případě rovná: 635 W= ,5=0.5 Minimax, Maximax, Hurwitz: Vytvořme si tabulku, která bude obsahovat normované důsledky jednotlivých variant. Důsledky normujeme dle vztahu u ij = x ij x 0 ij x ij x0 ij kde x 0 ij a x ij jsouvždynejhoršíanejlepšíhodnotykritériídosaženénastanovenémsouboru variant. Při použití metody Minimax hledáme pak na každém řádku minimum, při použití metody Maximax hledáme maximum a při použití Hurwitzovy metody stanovíme hodnocení dle vztahu u H (x i )=λu MAX (x i )+( λ)u MIN (x i ), i=,...,m Přinašemvýpočtupoužijeme λ=0.3. Nejlepšívariantydlejednotlivýchmetodpakhledámejakomaximumvesloupcích µ MIN, µ MAX a µ H. Podle metody maximax je optimální variantou Asus, HP, Packard, Samsung, Sony, Toshiba a Fujitsu. Metoda minimax nám dala jako optimální variantu Samsung. Hurvitzem jsme získali, jako optimální také variantu Samsung. Procesor RAM Baterie Disk Design Váha µ MIN µ MAX µ H Acer Asus HP Dell Lenovo Packard Samsung Sony Toshiba Fujitsu Tabulka 7: Minimax, Maximax, Hurwitz Lexikografické uspořádání: Z tabulky 8 je vidět, že lexikografické uspořádání je dáno již prvním kritériem. Jedinou výjimku tvořínotebookyhpalenovo,ketrésepodleprvníhokritériadělío7.místo.udruhéhokritéria užsevšakliší.uspořádánítoutometodoutedynakonecvypadátaktoacer <Asus <Dell < Samsung <Packard <Toshiba <HP <Lenovo <Sony <Fujitsu. Poznámka: Uspořádání A < BlzečístjakoAjepodBvlexikografickémsmyslu(tedyjehorší). 0

11 Procesor RAM Baterie Disk Design Váha Acer Asus HP Dell Lenovo Packard Samsung Sony Toshiba Fujitsu Tabulka 8: Tabulka Lexikografického uspořádání Metoda univerzální standardizace: Procesor RAM Baterie Disk Design Váha u(x i ) Acer Asus HP Dell Lenovo Packard Samsung Sony Toshiba Fujitsu Tabulka 9: Metoda univerzální standardizace Váhy byly získány Metffesovou alokací. Jako nejlepší varianta se podle metody univerzální standartizace ukázala variana Sony. Metoda dílčích cílů: Nejprve expertně stanovíme naplnění jednotlivých cílů(obrázek 8). Významy hodnot pro graf označenýdesignjsou=dobrý,0.5=ujde,0=nicmoc.váhyprokritériumprocesorjsoupro přehlednost zapsány přímo v tabulce 20. Váhy byly získány Metffesovou alokací. Jako nejlepší varianta se podle metody dílčích cílů ukázala variana Sony.

12 Vaha Design Baterie Disk RAM Obrázek 7: Naplnění jednotlivých cílů Procesor RAM Baterie Disk Design Váha vi u ij Acer Asus HP Dell Lenovo Packard Samsung Sony Toshiba Fujitsu Tabulka 20: Metoda dílčích cílů 2

13 Minimalizace vzdáleností od ideální varianty: Ideální varianta je ve všech kritériích hodnocena. x =(,...,) Uvažujeme váhy kritérií získaných Metfessovou alokací. Využití metrik: d (x, x i )= j v j u ij d 2 (x, x i )= j v j(u ij ) 2 Váha Design Baterie Procesor RAM Disk Metrika Metrika 2 Acer , Asus 0, HP Dell 0.7 0, , Lenovo 0, , Packard 0.4 0,5 0, Samsung Sony Toshiba 0. 0, Fujitsu 0, Tabulka 2: Matice expertně zadaných dat k variantám a kritériím Ze sloupce Metrika vybereme nejmenší hodnotu, která bude určovat optimální variantu. Z tabulkylzezjistit,ženejlepšívariantoujesonyazanímnásledujívtomtopořadíhp,fujitsu, Packard, Samsung, Lenovo, Toshiba, Dell, Asus a nejhorší Acer. Ovšem v případě druhé metriky dojdeme k jinému závěru. Pořadí je takovéto Sony, HP, Fujitsu, Packard, Lenovo, Toshiba, Samsung, Dell, Asus a Acer. 3

14 Kompenzační analýza Baterie , , RAM Obrázek 8: Kompenzační analýza Podle kritérií RAM a baterie je jednoznačně nejlepší varianta číslo 3(HP) a proto není třeba použít indiferenční křivky. Saatyho analytický hierarchický proces: K x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 x x x x x x x x x x Tabulka 22: Saatyho matice variant pro kritérium procesor 4

15 K 2 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 x x x x x x x x x x Tabulka 23: Saatyho matice variant pro kritérium RAM K 3 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 x x x x x x x x x x Tabulka 24: Saatyho matice variant pro kritérium baterie K 4 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 x x x x x x x x x x Tabulka 25: Saatyho matice variant pro kritérium disk 5

16 K 5 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 x x x x x x x x x x Tabulka 26: Saatyho matice variant pro kritérium design K 6 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 x x x x x x x x x x Tabulka 27: Saatyho matice variant pro kritérium váha 6

17 Nyní pro každou z 6 předešlých matic vypočítáme vlastní čísla a vlastní vektory. Pro každou z matic vybereme vlastní vektor odpovídající největšímu vlastnímu číslu. Tyto vektory(sloupcové) znormujeme a seřadíme do tabulky 28. Řádky odpovídají jednotlivým variantám, sloupce odpovídají hodnocení dle jednotlivých kritérií. Pro každý řádek spočítáme vážený průměr. Použijeme Saatyhováhyztabulky2.Hodnotyvesloupci u i námpakurčujípořadívariantodnejlepší (max(u i ))ponejhorší(min(u i )). Váha K K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 u i x x x x x x x x x x Tabulka 28: Hledání optimální varianty pomocí Saatyho AHP NazákladěvýsledkůSaatyhoAHPjsouvariantyseřazenyodnejlepšíponejhoršítakto: x 8, x 0, x 6, x 3, x 7, x 9, x 2, x 5, x 4, x. 7

18 Metoda Electra: Pro každé kritérium vytvoříme tabulku. Hodnoty v řádcích jsou určeny dle vzorce v i,j =Pokud x i jelepšínež x j v i,j =0Jinak. Váha x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 x x x 3 0 x x x x x x x Tabulka 29: Design x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 x x x x x x x x x x Tabulka 30: 8

19 Baterie x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 x x x 3 0 x x x x x x x Tabulka 3: Procesor x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 x x x x x x x x x x 0 0 Tabulka 32: RAM x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 x x x x x x x x x x Tabulka 33: 9

20 Disk x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 x x x x x x x x x x Tabulka 34: Z těchto tabulek vytvoříme tabulku fuzzy relací V. Zde jsou hodnoty zadány takto V = 6 i= (v i V i ) kde v i jsoumatfesselovyváhyav i příslušnéhodnotyzpředchozíchtabulek.prourčeníd vposlednímsloupcitabulkyjetřebaznátmaximálníhodnotu v i,j vtabulceadruhounejvyšší hodnotu v i,j.poslednísloupecvtabulcejepakdánrozdílempočtumaximálníchhodnot v i,j vřádkuavsloupci. v = max(v i,j )=0.94, v 2 = max(v k,l )=0.925taková,že v k,l jerůznéod v V x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 D x x x x x x x x x x Tabulka 35: 20

21 Ztabulkyvyberemehodnotusmaximální(minimální)hodnotou D.Toje x 8 (x ).Odstraníme tento příslušný řádek z tabulky a pokračujeme ve výpočtech. V x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 9 x 0 D x x x x x x x x x Tabulka 36: Nyní máme čtyři maximální hodnoty. Pro určení jejich pořadí provádíme stejný postup. Tentokrát však na omezené tabulce. v 3 = max(v i,j )=0.8 v 4 = max(v i,j )=0.566 V x 2 x 3 x 7 x 9 D x x , x x Tabulka 37: Ztétotabulkyzískámejakodalšívariantu x 3.Apokračujeme v 5 = max(v i,j )=0,566 v 6 = max(v i,j )=0,486 V x 2 x 7 x 9 D x x x Tabulka 38: Vybereme x 7,aprotožepoodstraněnípříslušnéhořádkuasloupcebude v 7 = max(v i,j )=0.3, v 8 = max(v i,j )=0.059, taklzesnadnonahlédnout,žedalšípořadíbude x 9 anásledně x 2.Nynímámetakovétopořadí odnejlepšíhoponejhorší {x 8, x 3, x 7, x 9, x 2 }Vrátímesekpůvodnítabulceochuzenéodalšířádky asloupceasnovýmihodnotami v 9 = max(v i,j )=0.896 v 0 = max(v i,j )=

22 V x x 4 x 5 x 6 x 0 D x x x x x Opět vícenásobná maximalní hodnota v D. Tabulka 39: V x 5 x 0 D x x Tabulka 40: Pořadí z tabulky je zřejmé, a proto můžeme pokračovat následujícími kroky v 0 = max(v i,j )=0,705 v = max(v i,j )=0,5 V x x 4 x 6 D x x x Tabulka 4: Opět vybereme varianty s maximálními hodnotami D a z nich pak jednu upřednostníme. Lze vidět,žetobude x 4 před x 6.Tímsepak x stávánejhoršívariantou.výsledeknásledujeod nejlepšívariantyponejhorší {x 8, x 3, x 7, x 9, x 2, x 0, x 5, x 4, x 6,x }. Pro vzestupné pořadí bychom volili minimální hodnoty ve sloupci D. Výsledek zde není počítán, protožejeprováděnzcelaanalogicky.protojenvýsledekodnejhoršíponejlepšívariantu {x, x 4, x 5, x 6, x 9, x 2, x 7, x 3, x 0, x 8 }.Výsledekjerozdílný,některépozicevariantvšakzůstávají zachovány. 22

23 Srovnání rozhodovacích metod: Rozhodovací metoda Nejlepší varianta Minimax x 7 Maximax x 2,x 3,x 6,x 7,x 8,x 9,x 0 Hurwitz x 7 Metodalexikografickéhouspořádání x 0 Metodauniverzálnístandardizace x 8 Metodadílčíchcílů x 8 Minimalizacevzdáleností x 8 Kompenzačníanalýza x 3 Saatyhoanalytickýhierarchickýproces x 8 MetodaElektra x 8 Tabulka 42: Srovnání rozhodovacích metod Závěr: Vybírali jsme nejlepší notebook. Jako množinu variant jsme zvolili tyto notebooky: Acer, Asus, HP, Dell, Lenovo, Packard, Samsung, Sony, Toshiba a Fujitsu. Pro nás nejdůležitějším kritériem bylprocesor.dáleramavýdržbaterie.jakonejlepšíbylavětšinoumětodzvolenavariana x 8 - notebookznačkysony.nepřílišpozaduvšakzůstávávarianta x 3 -notebookzačkyhp,kterýje mírně horší v pro nás nejdůležitějším kriteriu. 23