MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY"

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

2 Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem FRVŠ 0032/2001 c Jiří Novotný, Brno 2004

3 Obsah ÚVOD 3 Cíle Požadované znalosti Doba potřebná ke studiu Klíčová slova VEKTORY 7 2 MATICE Úvodní pojmy, některé speciální třídy matic Operace s maticemi Hodnost matice Inverzní matice Maticové rovnice DETERMINANTY Determinanty 2. a 3. řádu Vlastnosti determinantů Determinanty n-tého řádu Užití determinantů SYSTÉMY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Základní pojmy, Cramerovo pravidlo Existence, počet a metody řešení Řešení homogenních systémů ZÁVĚR 75 Shrnutí Autotest Studijní prameny Rejstřík

4 Lineární algebra 2

5 ÚVOD Metody lineární algebry patří již po řadu let k základním matematickým poznatkům, se kterými se studenti vysokých škol technických seznamují v prvních ročnících svého studia. Při řešení jakýchkoliv lineárních úloh, ať již v technických, ekonomických nebo jiných aplikacích, je používání vektorů, matic, determinantů, lineárních systémů apod. zcela běžné. Například pro sestavení optimálního plánu výroby budeme analyzovat činnost určité hospodářské jednotky firmy, dílny, závodu apod.. Naším úkolem je sestavit takový plán výroby, který v maximální možné míře zabezpečí zisk z prodeje vyrobených výrobků. Předpokládejme, že jsou známy technologické možnosti dané výrobní jednotky a také množství surovin a jiných zdrojů, které můžeme čerpat. Nechť existuje m druhů surovin, které jednotka využívá pro výrobu své produkce. Označme je písmeny R 1, R 2,..., R m. Těmito surovinami mohou být kovy, uhlí, ruda, elektrická energie, finance, ale i pracovní síla apod. Předpokládejme dále, že v naší výrobní jednotce můžeme vyrábět n druhů různých výrobků, které můžeme označit analogicky G 1, G 2,..., G n. Technologií výroby výrobku G j budeme nazývat soubor čísel a ij, i 1, 2,..., m, který určuje, jaká množství suroviny R i jsou nutná pro výrobu jednotky výrobku G j. Takovým způsobem můžeme výrobu chápat jako posloupnost, ve které dodáváme postupně jednotlivé suroviny v množstvích a 1j, a 2j,..., a mj a na konci tohoto procesu vychází hotový výrobek. Na základě těchto informací můžeme sestavit tzv. technologickou matici výroby. G 1 G 2... G j... G n R 1 a 11 a a 1j... a 1n R 2 a 21 a a 2j... a 2n R i a i1 a i2... a ij... a in R m a m1 a m2... a mj... a mn Zbývá předpokládat, že technologie výroby je lineární, to znamená, že spotřeba surovin je přímo úměrná objemu výroby. Pokud označíme A technologickou matici výroby, dále b vektor omezení množství surovin R 1, R 2,..., R m, kterými výrobní jednotka disponuje, x plán výroby, tj. množství jednotek výrobků G 1, G 2,..., G n a c vektor cen vyjadřující zisk z prodeje jednotek výrobků G 1, G 2,..., G n hotové produkce, pak matematický model této úlohy bude mít 3

6 Lineární algebra tvar: max c x A x b, x o, podle kterého hledáme maximum hodnoty zisku c 1 x 1 + c 2 x c n x n na množině ohraničené nerovnostmi n j1 a ij x j b i, i 1, 2,..., m popisujícími výrobní možnosti jednotky a nerovnostmi x j 0, j 1, 2,..., n vyjadřujícími nezápornost množství hotové produkce. Uvedená úloha patří mezi základní úlohy tzv. lineárního programování. Ze střední školy umíme řešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Tak např. soustava 2x + y 5 x y 4 má jediné řešení x 3, y 1. Toto řešení najdeme například tak, že z druhé rovnice vypočteme x a dosadíme do první rovnice. Soustava 2x + y 5 4x + 2y 7 nemá žádné řešení. Odečteme-li dvojnásobek první rovnice od druhé rovnice, dostaneme 0 3, což není možné. Soustava 2x + y 5 4x + 2y 10 má nekonečně mnoho řešení. Všimněme si, že druhá rovnice je dvojnásobkem první rovnice. Stačí tedy soustavu řešit tím, že jednu neznámou volíme. Např. řešením je x 1, y 3, nebo x 0, y 5, nebo x 1, y 7 atd. V právě uvedeném příkladě jsme o řešitelnosti daných soustav rozhodli snadno. Jde-li však o soustavu s větším počtem neznámých, není otázka řešitelnosti tak přehledná. A právě jedním z hlavních úkolů lineární algebry je najít jednak jednoduchá kriteria řešitelnosti takových soustav, jednak vhodné metody, jak tyto soustavy řešit. Úkolem tohoto modulu je seznámit čtenáře se základními pojmy a metodami lineární algebry. Zatím bylo stručně pojednáno o významu lineární algebry. První kapitola uvádí nejzákladnější poznatky o vektorech, které jsou potřebné pro výklad v dalších kapitolách. Druhá kapitola je věnována maticím. Je zde zavedena terminologie maticového počtu a podrobně popsány operace s maticemi. Třetí kapitola pojednává o determinantech. Zejména jsou popsány metody jeho výpočtu a aplikace především v maticovém počtu. Řešení soustav lineárních algebraických rovnic je věnována kapitola čtvrtá. Za každou kapitolou je pro potřeby samostatné práce studentů připojen soubor otázek a cvičení. Za poslední kapitolou je autotest, na kterém si posluchači kombinovaného studia mohou ověřit zvládnutí problematiky celého modulu. Ve studijních pramenech jsou v seznamu použité literatury uvedeny nejprve základní učebnice, a pak skripta, v seznamu doplňkové studijní literatury sbírky příkladů 4

7 Úvod a v odkazech na další studijní zdroje a prameny jsou internetové adresy stránek souvisejících s tématem modulu. Pro snadnější orientaci je na konci zařazen rejstřík pojmů. Cíle znát pojem aritmetického vektoru, počítání s nimi a jejich vlastnosti znát pojem matice a některé jejich speciální třídy umět základní operace s maticemi znát pojem hodnost matice a umět ji stanovit umět definovat inverzní matici a prakticky ji vypočítat umět řešit maticové rovnice znát pojem determinantu, jeho vlastnosti a vyčíslení umět používat determinanty znát pojem systému lineárních algebraických rovnic a jeho maticový zápis umět rozhodnout o existenci a počtu řešení systému lineárních algebraických rovnic znát základní přímé metody pro řešení systému lineárních algebraických rovnic Požadované znalosti Základy lineární algebry jsou prvním modulem z řady studijních opor určených pro posluchače 1. semestru kombinovaného studia na Stavební fakultě Vysokého učení technického v Brně. Proto v tomto díle je použita co možná nejpřístupnější forma výkladu, pro jehož pochopení stačí běžné znalosti středoškolské matematiky. Při studiu vystačíte v podstatě pouze se znalostí sčítání a násobení reálných čísel. Dále je potřebná píle a určitý stupeň logického myšlení, které je u studentů technického zaměření samozřejmou nezbytností. Doba potřebná ke studiu Jak dlouho se budete zabývat studiem tohoto modulu, záleží na vašich možnostech a schopnostech. V prezenčním studiu je problematika modulu probírána v prvních dvou týdnech úvodního semestru v rozsahu 8 hodin přednášek a 8 hodin cvičení. Odtud vychází, že by mělo být dostatečné věnovat studiu 24 hodin samostatné práce završené samokontrolou nabytých vědomostí vyřešením autotestu. 5

8 Lineární algebra Klíčová slova lineární algebra, aritmetický vektor, matice, determinant, systém lineárních algebraických rovnic 6

9 Kapitola 1 VEKTORY Motivace Vektorem se většinou rozumí orientovaná úsečka, nebo jak se zejména ve fyzice názorně říkává, veličina určená velikostí a směrem. Dvě takové úsečky představují jeden a tentýž vektor, právě když jsou souhlasně rovnoběžné a mají stejnou délku. Viz obr. 1. Vektory lze sčítat ve fyzice se také říká skládat, jak je vidět na obr. 2. Obrázek 1.1: Souhlasné vektory u + v u v Obrázek 1.2: Sčítání vektorů Dále lze vektory násobit reálnými čísly. Je-li toto číslo kladné, je výsledný vektor téhož směru jako původní. V případě záporného čísla, je opačného směru a pro nulu nulový vektor, tj. úsečka nulové délky její krajní body splývají. Viz obr. 3. u k u k>0 l u l<0 0 u Obrázek 1.3: Násobení vektorů číslem 7

10 Lineární algebra Budeme nyní uvažovat lineární rovnici o dvou neznámých a 1 x + a 2 y + a 3 0. Násobíme-li tuto rovnici číslem k dostaneme ka 1 x + ka 2 y + ka 3 0. Sečteme-li danou rovnici s rovnicí dostaneme rovnici a 1 x + a 2 y + a 3 0 b 1 x + b 2 y + b 3 0, a 1 + b 1 x + a 2 + b 2 y + a 3 + b 3 0. Je tedy vidět, že místo abychom počítali s rovnicemi, můžeme počítat s uspořádanými trojicemi čísel a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3. Takové trojice můžeme sčítat a násobit čísly. Uspořádané trojice mají tedy charakter vektorů. Lze tedy uspořádanou trojici čísel označit názvem vektor. Definice 1. Každou uspořádanou n tici reálných čísel tvaru a 1, a 2,..., a n nazveme n-členným aritmetickým vektorem a prvky a 1, a 2,..., a n jeho složkami. Vektory budeme značit polotučnými písmeny, např. a a 1, a 2,..., a n, b b 1, b 2,..., b n. o 0, 0,..., 0 je tzv. nulový vektor. Jeho všechny složky jsou nulové. Množina všech uspořádaných n-tic reálných čísel se nazývá vektorový prostor n-členných aritmetických vektorů a značí se R n, jestliže jsou v ní rovnost a operace sčítání a násobení číslem definovány takto: Vektory a a 1, a 2,..., a n, b b 1, b 2,..., b n jsou si rovny, píšeme a b, právě když zároveň platí tyto rovnosti a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n. Neplatí-li některá aspoň jedna z těchto rovností, nazýváme vektory a, b různé a píšeme a b. Součtem vektorů a, b nazýváme vektor, který značíme a+b a pro který platí a + b a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n. K-násobkem vektoru a, k R, nazýváme vektor ka ka 1, ka 2,..., ka n. Příklad 1. Jsou dány vektory a 1, 3, 2, b 3, 1, 2, c 2, 0, 1, 2. Určíme vektory a + b, a + c, 5a 2b, 0 c. Řešení. Platí a + b 1 + 3, 3 1, 2 2 4, 2, 0. Součet a + c nemá smysl, neboť vektory a, c nemají stejný počet složek, takže je nelze sčítat. 8

11 1. Vektory Dále 5a 2b 5, 15, , 2, 4 1, 17, 14. Konečně 0 c 0 2, 0 0, 0 1, 0 2 0, 0, 0, 0. Nyní zavedeme pojem lineární závislosti, který představuje v matematice jeden ze základních vztahů. S tím také úzce souvisí pojem lineární kombinace. Definice 2. Nechť a 1, a 2,..., a k R n jsou aritmetické vektory. Říkáme, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé, jestliže rovnice α 1 a 1 + α 2 a α k a k o, kde α 1, α 2,..., α k mohou být libovolná reálná čísla, je splněna jen pro α 1 α 2... α k 0. V opačném případě, kdy uvedená rovnice platí, přičemž aspoň jedno číslo α i 0, 1 i k, nazývají se tyto vektory a 1, a 2,..., a k lineárně závislé. Vektor b R n se nazývá lineární kombinace vektorů a 1,a 2,..., a k R n, existují-li taková reálná čísla β 1, β 2,..., β k, že platí b β 1 a 1 + β 2 a β k a k. Příklad 2. Zjistíme, zda jsou vektory a 1 3, 2, 1, a 2 0, 1, 1, a 3 3, 1, 2 lineárně závislé nebo nezávislé. Řešení. Zřejmě platí a 1 a 2 3, 2, 1 0, 1, 1 3, 1, 2 a 3, takže a 1 a 2 a 3 o. Protože α 1 1, α 2 1, α 3 1, jsou vektory a 1, a 2, a 3 lineárně závislé. Přitom ze vztahu a 3 a 1 a 2 plyne, že vektor a 3 je lineární kombinací vektorů a 1, a 2. Příklad 3. Ukážeme, že vektory e 1, e 2,..., e n R n tvaru e 1 1, 0, 0,..., 0, e 2 0, 1, 0,..., 0,..., e n 0, 0,..., 0, 1, jsou lineárně nezávislé. Skutečně, napíšeme-li rovnici α 1 e 1 + α 2 e α n e n o ve tvaru α 1, 0, 0,..., 0 + 0, α 2, 0,..., , 0,..., 0, α n 0, 0,..., 0, dostaneme α 1, α 2,..., α n 0, 0,..., 0. Odtud plyne α 1 α 2... α n 0. To však znamená, že vektory e 1,e 2,..., e n R n jsou lineárně nezávislé. Věta Vektory a 1, a 2,..., a k R n jsou lineárně závislé, právě když některý z nich je lineární kombinací zbývajících vektorů. 2. Je-li mezi vektory a 1, a 2,..., a k některý vektor nulový, pak jsou tyto vektory lineárně závislé. Důkaz: 1a Jestliže např. vektor a i, 1 i k je lineární kombinací zbývajících vektorů, pak platí a i β 1 a β i 1 a i 1 + β i+1 a i β k a k. Převedeme-li a i na druhou stranu rovnice, dostaneme o β 1 a β i 1 a i 1 + 1a i + β i+1 a i β k a k. Protože všechny koeficienty nejsou zároveň nuly, jsou dané vektory lineárně závislé. 9

12 Lineární algebra 1b Jestliže naopak jsou dané vektory lineárně závislé, pak v rovnici α 1 a 1 + α 2 a α k a k o je aspoň jeden koeficient různý od nuly, např. α j 0. Dělíme-li tímto koeficientem uvedenou rovnici, dostaneme Odtud α 1 α j a α j 1 α j a j 1 + a j + α j+1 a j α 1 α j a 1... α j 1 α j α j a j 1 α j+1 a j α k α j a k o. α j a j+1... α k α j a k. To však znamená, že vektor a j je lineární kombinací zbývajících vektorů. 2. Nulový vektor je lineárních kombinací každých vektorů a 1, a 2,..., a k, neboť pro α 1 α 2... α k 0 zřejmě platí o 0 a 1 +0 a a k o+o+...+o o. Nyní tvrzení plyne z 1. části této věty. Poznámka 1. Pro k 1 znamená lineární nezávislost jediného vektoru a 1, že a 1 o. Pro k 2 znamená lineární závislost dvou vektorů a 1, a 2, že jeden z nich lze vyjádřit jako násobek druhého vektoru. Aritmetické vektory a 1, a 2 se pak nazývají kolineární, neboť při geometrickém modelu, který jsme uvedli v úvodu této kapitoly, jsou odpovídající orientované úsečky rovnoběžné. CVIČENÍ 1 Vektory Kontrolní otázky 1. Co je to aritmetický vektor? 2. Jak s vektory počítáme? 3. Definujte lineární nezávislost vektorů. 4. Kdy je jeden z vektorů lineární kombinací ostatních vektorů? Příklady k procvičování 1. Jsou dány vektory x 1, 2, 3, 0, y 3, 0, 1, 5, o 0, 0, 0, 0. Vypočtěte a x + y ; b x y ; c 2x ; d 3y ; e 2x 3y ; f 0 x ; g 2o. 2. Jsou dány vektory a 1, 2, 3, 1, b 0, 1, 2, 0, c 1, 0, 2, 3. Určete vektor x x 1, x 2, x 3, x 4 tak, aby platilo a 3b + 2x c 3a. 3. Rozhodněte o lineární závislosti nebo nezávislosti vektorů a a 1 1, 0, 2, a 2 4, 1, 0, a 3 2, 1, 4 ; b a 1 2, 0, 0, a 2 0, 1, 6, a 3 0, 0, 3 ; c a 1 3, 1, 5, 2, a 2 1, 0, 2, 4 ; d a 1 3, 1, 2, 2, a 2 9, 3, 3, 6, a 3 6, 5, 1, 4, a 4 6, 2, 5, 4. Výsledky příkladů 1. a 2, 2, 4, 5 ; b 4, 2, 2, 5 ; c 2, 4, 6, 0 ; d 9, 0, 3, 15 ; e 11, 4, 3, 15 ; f 0, 0, 0, 0 ; g 0, 0, 0, x 1 2 c 4a + 3b 3 2, 11 2, 4, a závislé, a 3 2a 1 a 2 ; b nezávislé; c nezávislé; d závislé, a 4 3a a 2. 10

13 Kapitola 2 MATICE 2.1 Úvodní pojmy, některé speciální třídy matic Motivace V matematice, ekonomice i v technických disciplínách se často setkáváme s úlohami, které se popisují pomocí čísel sestavených do řádků a sloupců. Tak např. systém lineárních rovnic 5x 1 3x 2 1 3x 1 + 2x 2 12 je úplně určen tabulkou čísel , protože na označení neznámých z matematického hlediska nezáleží. Přitom je třeba zdůraznit, že uspořádání těchto čísel do řádků a sloupců je podstatné. Např. číslice 3 neurčuje jen číselnou hodnotu, ale postavení v tabulce současně říká, že číslo 3 je koeficientem ve druhé rovnici u první neznámé. Proto takový koeficient značíme a 21 a v našem případě je roven 3. Má tedy smysl následující definice. Definice 1. Maticí typu m,n, kde m, n jsou přirozená čísla, rozumíme uspořádanou soustavu m n čísel zapsaných ve tvaru tabulky do m řádků a n sloupců. Matici typu m, n zapisujeme takto a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Čísla a 11, a 12,..., a mn nazýváme prvky matice. Prvek ležící v i-tém řádku a j- tém sloupci značíme a ij. První index se nazývá řádkový, druhý index sloupcový.. 11

14 Lineární algebra Poznámka 1. Prvky matice mohou být reálná i komplexní čísla. Setkáme se i s maticemi, jejichž prvky jsou obecnějšího charakteru konstanty, proměnné i funkce. V této kapitole se budeme zabývat maticemi tvořenými reálnými čísly. V ekonomických a technických problémech se pracuje s maticemi, které mají stovky řádků a sloupců. Prakticky není vždy možné vypisovat všechny prvky matice. Daleko výhodnější je označit matici jedním písmenem, např. A, a početní operace s jednotlivými prvky nahradit početními operacemi s jediným objektem A. Tak vzniká maticový počet. Pro matice typu m, n se také používá označení a ij n m, [a ij ] m,n, a ij n m atd. Nebo a ij, [a ij ], A, je-li typ matice znám ze souvislosti, nebo nehrozí-li nedorozumění. Nyní uvedeme několik význačných matic s jejich standardním označením. Název matice je zpravidla shodný s její strukturou. Definice 2. Nechť A je matice typu m, n. Je-li m n, A se nazývá obdélníková matice. Je-li m n, A se nazývá čtvercová matice. Číslo n pak nazýváme řádem čtvercové matice A. Prvky a 11, a 22,..., a nn tvoří hlavní diagonálu úhlopříčku a prvky a 1n, a 2,n 1,..., a n1 vedlejší diagonálu matice A. Příklad 1. Matice A a B jsou obdélníkové, matice C je čtvercová matice 3. řádu. A , B , C Prvky 1, 5, 4 tvoří její hlavní diagonálu, prvky 3, 5, 1 vedlejší diagonálu. Definice 3. Matice typu 1, n se nazývá řádková matice řádkový vektor, matice typu n, 1 sloupcová matice sloupcový vektor. Příklad 2. X je řádkový, Y je sloupcový vektor. Definice 4. Čtvercovou matici řádu n nazýváme diagonální, jestliže všechny její prvky mimo hlavní diagonálu jsou nulové, tj. a ij 0 pro i j, i, j 1, 2,..., n. 12

15 2. Matice Diagonální matice má tedy tvar D d d d n V případě, že d i 1 pro i 1, 2,..., n, se diagonální matice nazývá jednotková matice a značí se E případně I. E Čtvercovou matici řádu n nazýváme dolní resp. horní trojúhelníkovou maticí, jestliže všechny její prvky nad resp. pod hlavní diagonálou jsou nulové, tj. jestliže a ij 0 pro j > i, resp. pro i > j, i, j 1, 2,..., n. Dolní resp. horní trojúhelníková matice má tedy tvar a a 21 a a n1 a n2 a n3 a nn resp... a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n a nn Čtvercová matice řádu n se nazývá symetrická, jestliže a ij a ji pro i, j 1, 2,..., n, tj. prvky symetricky položené vzhledem k hlavní diagonále jsou stejné.. Příklad 3. Matice A je symetrická. Definice 5. Čtvercová matice řádu n se nazývá antisymetrická, jestliže a ij a ji pro i, j 1, 2,..., n, tj. prvky symetricky položené vzhledem k hlavní diagonále se liší znaménkem a všechny prvky v hlavní diagonále jsou nulové. Příklad 4. Matice A je antisymetrická. 13

16 Lineární algebra Definice 6. Matici typu m, n nazýváme nulová matice, jestliže všechny její prvky jsou rovny 0, tj. a ij 0 pro i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n. Nulová matice se značí O. Tedy O Operace s maticemi Podobně jako s čísly zavádíme i s maticemi početní operace s příslušnými pravidly. Definice 7. Rovnost matic Dvě matice A a ij, B b ij téhož typu m, n jsou si rovny, píšeme A B, právě když odpovídající prvky jsou stejné, tj. a ij b ij pro i 1, 2,..., m ; j 1, 2,..., n. Poznámka 2. V této definici se znovu zdůrazňuje rozdíl mezi množinou a maticí. Množiny M {1, 2, 3}, N {3, 1, 2} jsou si rovny, píšeme M N, poněvadž mají stejné prvky. Avšak matice 1 2 3, typu 1, 3, tj. řádkové vektory, se nerovnají, poněvadž nejsou rovny odpovídající si prvky. Rovnost mezi maticemi typu m, n tedy nahrazuje m n rovností mezi odpovídajícími si prvky. Definice 8. Součet matic Jestliže A a ij, B b ij jsou matice téhož typu m, n, pak součtem matic A, B rozumíme matici C c ij typu m, n, píšeme C A + B, jejíž prvky jsou součtem odpovídajících si prvků, tj. c ij a ij + b ij pro i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n. Příklad 5. Jestliže A, B A + B , pak Definice 9. Násobení matice číslem K-násobkem matice A a ij typu m, n rozumíme matici C téhož typu jako A, píšeme C ka, jejíž prvky jsou k-násobky prvků matice A, tj. c ij ka ij pro i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n. 14

17 2. Matice Poznámka 3. Při násobení matice číslem se násobí všechny prvky matice, tj. k a 11 a 1n a m1 a mn ka 11 ka 1n ka m1 ka mn Tuto poslední rovnost můžeme ovšem užít i obráceně k vytknutí společného činitele všech prvků, např Definice 10. Matice 1 A se nazývá opačná matice k matici A a označujeme ji A. Jsou-li A, B matice téhož typu, pak výraz A + B se nazývá rozdíl matic A, B a píšeme A + B A B. Příklad 6. Vypočteme rozdíl matic z předcházejícího příkladu. Zřejmě platí A B Pro součet matic a pro násobení matice číslem platí jednoduchá početní pravidla, která uvedeme v následující větě.. Věta 1. Jsou-li A, B, C libovolné matice téhož typu, k, k 1, k 2 libovolná reálná čísla, pak platí následující vztahy. 1. A + B B + A komutativní zákon 2. A + B + C A + B + C asociativní zákon 3. A + O A, kde O je nulová matice téhož typu jako A. 4. A + A O, kde O je nulová matice téhož typu jako A A A 6. k 1 k 2 A k 1 k 2 A asociativní zákon pro násobení číslem 7. k 1 + k 2 A k 1 A + k 2 A 1. distributivní zákon pro násobení matice číslem 8. ka+b ka+kb 2. distributivní zákon pro násobení matice číslem 15

18 Lineární algebra Důkaz věty je snadný. Uvedené vlastnosti vyplývají z definic příslušných početních operací a vlastností reálných čísel. Definice 11. Součin matic Nechť A a ij je matice typu m, n a B b jk je matice typu n, p. Součinem matice A s maticí B v daném pořadí rozumíme matici C c ik typu m, p, píšeme C A B, pro jejíž prvky platí n c ik a ij b jk pro i 1, 2,..., m; k 1, 2,..., p. j1 Poznámka 4. Definice říká, že chceme-li určit prvek c ik, musíme odpovídající členy i-tého řádku první matice vynásobit odpovídajícími členy k-tého sloupce druhé matice a takto vzniklá čísla sečíst. Proto musí mít první matice řádek stejně dlouhý jako druhá matice sloupec. Tedy první matice musí mít stejný počet sloupců jako druhá řádků. Součin matice A s maticí B můžeme schematicky znázornit takto: i tý řádek a i1 a i2 a in k tý sloupec. b 1k.. b 2k..... b nk. c ik a i1 b 1k + a i2 b 2k a in b nk k tý sloupec c ik i tý řádek Příklad 7. Určíme součiny C A B a D B A pro matice A , B Řešení. Platí A B C, 16

19 B A Matice D. Poznámka Již z příkladu vidíme, že pro násobení matic obecně neplatí komutativní zákon A B B A. Matice A je typu 2,4, matice B je typu 4,2, proto součin A B je typu 2,2, kdežto součin B A je typu 4,4. 2. Je-li např. matice A typu 2, 4, matice B typu 4, 5, pak součin A B existuje a je to matice typu 2, 5, kdežto součin matic B A není definován, protože počet sloupců matice B je různý od počtu řádků matice A. O rovnosti A B B A tedy nemá smysl hovořit. 3. Je-li matice A typu m, n a matice B typu n, m, pak součin A B je čtvercová matice řádu m a B A je čtvercová matice řádu n. Pokud m n, opět nelze uvažovat o rovnosti matic A B a B A, protože nejsou stejného řádu. 4. Z uvedeného vyplývá, že o platnosti komutativního zákona pro součin matic lze uvažovat pouze v případě, kdy obě matice jsou čtvercové a stejného řádu. Na příkladě však uvidíme, že ani v tomto případě komutativní zákon obecně neplatí. Proto má smysl následující definice. Definice 12. Čtvercové matice A, B řádu n se nazývají zaměnitelné komutativní, jestliže platí A B B A. Jak snadno zjistíme vynásobením, platí následující tvrzení. Věta 2. Jsou-li matice A, nulová matice O a jednotková matice E čtvercové matice stejného řádu n, pak platí A O O A O, A E E A A. 17

20 Lineární algebra Tj. nulová a jednotková matice jsou zaměnitelné s libovolnou čtvercovou maticí stejného řádu. Příklad 8. Jestliže A A B B A takže A B B A. Příklad 9. Jestliže A A B a B A , B , B takže dané matice A, B jsou zaměnitelné. Příklad 10. Jestliže A A B , B , pak , pak , pak Tedy z rovnice A B O neplyne, že některý z činitelů je roven nulové matici. Příklad 11. Jestliže A A B a A C , B , C , pak Tedy z rovnice A B A C nelze činit závěr, že B C. Tj. při násobení matic nelze krátit. Z uvedených příkladů vyplývá, že početní operace s maticemi mají některé odlišné vlastnosti od početních operací s reálnými čísly. I když nezavádíme nové názvy a hovoříme stejně jako u reálných čísel o součtu, rozdílu a součinu matic, je třeba si uvědomit, že jde o početní operace s novými matematickými objekty. 18

21 2. Matice Věta 3. Základní vlastnosti součinu matic Nechť A, B, C jsou matice, k číslo. Pak platí následující vztahy. 1. A B C A B C asociativní zákon 2. ka B ka B A kb asociativní zákon pro násobení součinu matic číslem 3. A + B C A C + B C 1. distributivní zákon 4. A B + C A B + A C 2. distributivní zákon Důkaz: Především je třeba říci, že ve vlastnostech 1 4 nejsou uvedeny typy příslušných matic. Těmto vztahům je třeba rozumět tak, že v případě existence matic na levé straně existuje i matice na pravé straně a platí uvedená rovnost. Platnost vztahů se dokáže tak, že matice představující levou i pravou stranu rovnic jsou stejného typu a odpovídající prvky jsou shodné. Například 2. vlastnost, která říká, že součin matic lze násobit číslem k v livolném pořadí, pokud pořadí matic zůstane zachováno, vyplývá z platnosti vztahů k a ij b jk k a ij b jk a ij k b jk plynoucí ze záměnnosti násobení čísel. Poznámka 6. Se součinem matic úzce souvisí mocniny čtvercové matice s přirozeným exponentem. Místo A A píšeme stručněji A 2, A A A A 3, atd. Mocniny matice rozšiřujeme i pro případ, že exponent je roven nule, a to vztahem A 0 E, kde E je jednotková matice stejného řádu jako A Příklad 12. Vypočteme. 2 1 Řešení. Platí , Tedy Na závěr tohoto odstavce uvedeme ještě další operaci maticového počtu. Definice 13. Transponování matice a 11 a 12 a 1n a Jestliže A 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn 19

22 Lineární algebra je matice typu m, n, potom matici A T a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m a 1n a 2n a mn typu n, m nazýváme transponovaná matice k matici A. Poznámka 7. Transponovaná matice A T vznikne tedy z matice A tak, že i-tý řádek matice A napíšeme do i-tého sloupce matice A T. Zaměníme řádky za sloupce a naopak při zachování jejich pořadí. Označíme-li prvky transponované matice a T ij, pak platí a T ij a ji, tj. prvek transponované matice v i-tém řádku a j-tém sloupci je roven prvku původní matice, který leží v j-tém řádku a i-tém sloupci. Příklad 13. Jestliže A , pak AT Příklad 14. Jestliže A a b c, pak A T Tedy transponováním řádkového vektoru dostaneme sloupcový vektor a naopak. a b c. Věta 4. Základní vlastnosti transponování matic Nechť A, B, C jsou matice vhodných typů a k reálné číslo. Pak platí následující vztahy. 1. A T T A 2. A + B T A T + B T 3. A C T C T A T 4. ka T ka T Důkaz: Omezíme se jen na důkaz třetí vlastnosti. Ostatní vlastnosti se snadno nahlédnou z definice transponování. U druhé vlastnosti předpokládáme, že matice A, B jsou stejného typu, aby existoval součet A + B. 20

23 2. Matice Nechť A a ij m,n, pak C c jk n,p, aby existoval součin A C, a tedy C T c T jk p,n, A T a T ij n,m. Dále platí, že matice A C T a C T A T jsou stejného typu p, m. Označíme-li D A C, pak d T ik d ki n j1 a kj c ji n j1 a T jk ct ij n j1 c T ij at jk. Poslední součet je však prvkem i-tého řádku a k-tého sloupce matice C T A T, takže matice A C T a C T A T jsou si rovny. Poznámka 8. Pojem transponované matice se mimo jiné často vyskytuje v souvislosti se symetrickou maticí. Transponovanou matici ke čtvercové matici získáme překlopením kolem hlavní diagonály. Je-li matice symetrická, potom zřejmě transponovaná matice je rovna původní matici, tj. A T A. Podobně se dá ověřit, že čtvercová matice je antisymetrická, právě když A T A. Pro každou čtvercovou matici A je A + A T symetrická matice a A A T antisymetrická matice. Protože platí A 1 2 A + AT A AT, dostáváme tvrzení, že každou čtvercovou matici lze psát jako součet symetrické a antisymetrické matice. Není obtížné ověřit, že takový rozklad čtvercové matice na součet symetrické a antisymetrické matice je jednoznačný. Příklad 15. Matici A antisymetrické matice rozložíme na součet symetrické a Řešení. Podle předcházející poznámky platí A B + C, kde B 1 2 A + AT je symetrická matice a C 1 2 A AT je antisymetrická matice. V našem případě B 1 2 C Tedy máme A ,

24 Lineární algebra 2.3 Hodnost matice Jedním z důležitých pojmů při studiu systémů lineárních algebraických rovnic je pojem hodnosti matice. Definice 14. Uvažujme matici A a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn typu m, n. Hodností matice A rozumíme přirozené číslo, udávající maximální počet lineárně nezávislých řádkových vektorů matice A. Hodnost matice budeme značit ha. Poznámka 9. Zřejmě hodnost nulové matice je nula. Později si ukážeme, že počet lineárně nezávislých řádků matice A je roven počtu lineárně nezávislých sloupců téže matice. Hodnost matice je zdola ohraničena číslem nula a shora minimem z čísel m, n rozměrů matice. Tj. platí 0 ha minm, n. Příklad 16. Matice nezávislé má hodnost 2, neboť její řádky jsou lineárně Příklad 17. Matice má hodnost 1, neboť druhý řádek je dvojnásobkem nenulového a tedy lineárně nezávislého řádku prvního. Příklad 18. Určíme hodnost matice A Řešení. Připusťme, že ha 3, tj. že matice má tři lineárně nezávislé řádky. Označíme-li a 1 2, 0, 2, a 2 1, 2, 3, a 3 2, 6, 8, pak musí platit α 1 a 1 + α 2 a 2 + α 3 a 3 o jen pro α 1 α 2 α 3 0. Ověřme tento předpoklad. Rozepíšeme-li uvedenou rovnici do složek, dostaneme soustavu 2α 1 + α 2 + 2α 3 0 2α 2 + 6α 3 0 2α 1 + 3α 2 + 8α 3 0 Z druhé rovnice soustavy plyne α 2 3α 3 a po dosazení do první rovnice soustavy α 1 α 3 2. Dohromady má soustava řešení α 1 k, α 2 2 3k, α 3 k, kde k je libovolné reálné číslo. Existují tedy i nenulová α 1, α 2, α 3, tj. vektory a 1, a 2, a 3 jsou lineárně závislé. Platí a 3 3a 2 1a 2 1, proto ha 3, tj. ha < 3. Protože. 22

25 2. Matice první a druhý řádek matice nejsou úměrné, a 1, a 2 jsou lineárně nezávislé. Tedy ha 2. Příklad 19. Matice B b 11 b 12 b 1m b 1n 0 b 22 b 2m b 2n b mm b mn kde b ii 0, b ij 0 pro i > j, i 1, 2,..., m, m n, tj. v hlavní diagonále nenulové prvky a pod hlavní diagonálou samé nuly, má hodnost m. Označíme-li totiž její řádky po řadě symboly b 1, b 2,..., b m, potom z rovnice β 1 b 1 + β 2 b β m b m o plynou porovnáním složek obou stran pro čísla β i vztahy β 1 b 11 0 a odtud β 1 0, β 1 b 12 + β 2 b 22 0 a odtud β 2 0, atd. až β m 0. Tedy řádky uvažované matice jsou lineárně nezávislé. Matice B má proto hodnost hb m. Poznámka 10. Určení hodnosti matice přímo z definice není vždy jednoduché viz příklad 18. Proto se matice upravuje na jednodušší tvar viz příklad 19, samozřejmě tak, aby se při úpravách její hodnost neměnila., Definice 15. Mějme matici A a ij typu m, n. Elementárními úpravami matice A budeme rozumět kteroukoliv z následujících úprav: i. přehození i-tého a j-tého řádku resp. sloupce; ii. vynásobení i-tého řádku resp. sloupce nenulovým číslem; iii. přičtení k-násobku i-tého řádku resp. sloupce k j-tému řádku resp. sloupci. Poznámka 11. Pokud upravujeme jen řádky, hovoříme o řádkových úpravách, analogicky zavádíme sloupcové úpravy. Jestliže matice B vznikla elementární úpravou matice A, používáme pro označení vztahu mezi nimi značku A B. Dá se ukázat, že pomocí elementárních úprav lze nenulovou matici A převést na tzv. schodovitou matici B b ij téhož typu m, n tvaru 0 0 b 1j1 b 1n 0 0 b 2j2 b 2n b rjr b rn , kde 1 j 1 < j 2 < < j r n, 1 r minm, n, b iji 0 pro i 1, 2,..., r. 23

26 Lineární algebra Pojem schodovitá matice odpovídá názorně svému názvu, neboť nulové prvky tvoří jakési schody. Vzhledem k nerovnosti 1 j 1, první řádek může, ale také nemusí začínat nulovými prvky. Věta 5. Elementární úpravy matice nemění její hodnost. Důkaz: Postup důkazu ukážeme na řádkové elementární úpravě přičtení k-násobku i-tého řádku k j-tému řádku. Ostatní případy tvrzení věty se ukáží analogicky. Nechť ha r. Označme a 1 a 11, a 12,..., a 1n, a 2 a 21, a 22,..., a 2n,..., a r a r1, a r2,..., a rn maximální počet r lineárně nezávislých řádkových vektorů matice A. Máme ukázat, že pak také vektory a 1, a 2,..., a i,..., ka i + a j,..., a r jsou lineárně nezávislé. Tj. že rovnost α 1 a 1 +α 2 a α i a i +...+α j ka i +a j +...+α r a r o platí, jen když α k 0 pro k 1, 2,..., r. Úpravou dostaneme α 1 a 1 +α 2 a α i + α j ka i +...+α j a j +...+α r a r o. Protože vektory a k, k 1, 2,..., r jsou podle předpokladu lineárně nezávislé, platí α 1 α 2... α i + α j k... α j... α r 0. Protože α i + α j k 0 a α j 0, je také α i 0. Takže α k 0 pro k 1, 2,..., r. To však znamená, že vektory a 1, a 2,..., ka i + a j,..., a r jsou lineárně nezávislé. Poznámka 12. Z předchozí věty plyne, že když schodovitá matice B vznikne z matice A elementárními úpravami, pak ha hb. Hodnost matice B se zjistí snadno. Je zřejmě rovna počtu řádků, které obsahují aspoň jeden nenulový prvek. Tak dostáváme jednu z nejběžnějších metod zjišťování hodnosti matice. Všimněme si ještě, že se můžeme omezit např. jen na řádkové úpravy, protože platí toto tvrzení. Věta 6. Pro každou matici A platí ha ha T, tj. hodnost matice se rovná hodnosti transponované matice. Příklad 20. Určíme hodnost matice Řešení. Platí

27 2. Matice Upravená schodovitá matice má tři nenulové řádky, proto je její hodnost 3, což je také hodnost dané matice. Příklad 21. Určeme hodnost matice Řešení. Platí T Hodnost dané matice je tedy 2. Poznámka 13. Pomocí výpočtu hodnosti matice se dá řešit novým způsobem úloha, zda dané vektory a 1, a 2,..., a m jsou lineárně závislé nebo nezávislé. Je-li totiž hodnost matice, jejíž řádky jsou tvořeny těmito vektory, rovna číslu h, pak jestliže h m jsou dané vektory lineárně nezávislé, v případě h < m lineárně závislé. Příklad 22. Rozhodneme o lineární závislosti či nezávislosti soustavy vektorů a 1 25, 2, 3, 4, 2, a 2 75, 6, 2, 11, 3, a 3 75, 6, 3, 4, 8, a 4 25, 4, 5, 1, 4. Řešení. Platí / Hodnost matice vyšla 4, což se rovná počtu daných vektorů. Proto je soustava vektorů lineárně nezávislá. Příklad 23. Zjistíme, jaká může být hodnost matice. A x pro různé hodnoty čísla x. 25

28 Lineární algebra Řešení. Standardním postupem nulujeme prvky pod hlavní diagonálou. Platí x x x 1 + 2x 5 18x x 1 + 2x 5 18x Nyní pro x 3 dostáváme matici 2-3x x 9 + 3x , tedy ha 2. Pro x 3 jsou prvky 3 x, 9 + 3x nenulové, a proto ha 3.. Definice 16. Čtvercová matice A řádu n se nazývá regulární, jestliže platí ha n, tj. jestliže její hodnost je stejná jako její řád. Není-li matice A regulární, říkáme, že je singulární. Pak ha < n a číslo n ha se nazývá defekt nebo též nulita matice A. Příklad 24. Zjistíme, zda matice A singulární. Řešení. Platí je regulární nebo / Protože ha 3 n, je daná matice regulární. Příklad 25. Určíme nulitu matice

29 2. Matice Řešení. Platí Daná matice má tedy hodnost 2. Protože její řád je 4, jedná se o singulární matici, jejíž nulita je 2, neboť n h Poznámka 14. Dá se ukázat, že každé elementární úpravě s řádky sloupci matice odpovídá vynásobení matice vhodnou regulární maticí zleva zprava. a 11 a 12 a Tak např. vynásobení zleva matice a 21 a 22 a 23 maticí vede a 31 a 32 a k výměně prvního a druhého řádku. Skutečně, platí a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Podobně např. násobení zleva maticí řádku číslem k, neboť k a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Konečně např. násobení zleva maticí třetího řádku k druhému řádku, neboť k a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a k k a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 13 a 31 a 32 a 33. vede k vynásobení druhého a 11 a 12 a 13 ka 21 ka 22 ka 23 a 31 a 32 a 33. vede k přičtení k-násobku a 11 a 12 a 13 a 21 + ka 31 a 22 + ka 32 a 23 + ka 33 a 31 a 32 a

30 Lineární algebra 2.4 Inverzní matice Motivace Uvažujme rovnici ax b, kde a, b jsou reálná čísla, a 0. Její řešení získáme snadno vynásobením rovnice číslem a 1. Platí ax b a 1 ax a 1 b 1 x a 1 b x a 1 b. Analogická situace nastává i při řešení maticové rovnice A X B, kde A, B jsou dané matice a X je matice s neznámými prvky. Kdyby existovala matice A 1 s vlastností A 1 A E, kde E je jednotková matice, mohli bychom danou maticovou rovnici řešit takto: Je proto přirozená následující definice. A X B A 1 A X A 1 B A 1 A X A 1 B E X A 1 B X A 1 B. Definice 17. Nechť A je daná čtvercová matice. Existuje-li matice Z tak, že platí A Z Z A E, kde E je jednotková matice, nazýváme Z inverzní maticí k dané matici A a značíme Z A 1. Poznámka 15. Otázka inverze matic se někdy pojímá obecněji inverze zprava resp. zleva, pro obdélníkovou matici, tím se však v tomto textu zabývat nebudeme. Příklad 26. Matice neboť platí a rovněž je inverzní k matici , Dále se budeme zabývat otázkou existence a jednoznačnosti inverzní matice. Platí následující tvrzení, jehož důkaz provedeme v kapitole

31 2. Matice Věta 7. Inverzní matice k matici A existuje, právě když matice A je regulární. K singulární matici tedy inverzní matice neexistuje. Definice 17 a ani uvedená věta nevylučuje možnost existence více inverzních matic k regulární matici A. Platí však tato věta o jednoznačnosti inverzní matice. Věta 8. Nechť A je regulární matice. Potom k ní existuje právě jedna inverzní matice. Důkaz: Předpokládejme, že k matici A existují dvě inverzní matice např. B a C. Pak platí A B B A E i A C C A E. Odtud dostáváme rovnost B B E B A C B A C E C C. Nyní si uvedeme některé vlastnosti inverzních matic. Věta 9. Nechť A, B jsou regulární matice stejného řádu a k 0 reálné číslo. Pak platí 1. Inverzní matice k jednotkové matici je jednotková matice, tj. E 1 E. 2. Jestliže A 1 je inverzní matice k matici A, je obráceně A inverzní matice k matici A 1, tj. A 1 1 A. 3. Transponovaná inverzní matice je rovna inverzní matici k transponované matici, tj. A 1 T A T Inverzní matice k matici násobené nenulovým číslem je rovna inverzní matici násobené převrácenou hodnotou tohoto čísla, tj. ka 1 1 k A 1, k Inverzní matice k součinu dvou matic je rovna součinu jejich inverzních matic v obráceném pořadí, tj. A B 1 B 1 A 1. Důkaz: 1. Plyne ze vztahu E E E. 2. Matice A 1 1 je inverzní k matici A 1, a proto A 1 1 A 1 E. Násobíme-li tuto rovnost maticí A zprava, dostaneme A 1 1 A 1 A E A a protože A 1 A E, máme A 1 1 E E A, tj. A 1 1 A. 3. Vyjdeme z rovnice A 1 A E. Jejím transponováním dostaneme A 1 A T A T A 1 T E T E. Násobme nyní rovnici A T A 1 T E zleva maticí A T 1. Dostaneme A T 1 A T A 1 T A T 1 E A T 1, z čehož plyne E A 1 T A T 1 a tedy A 1 T A T Platí ka 1 k A 1 k 1 k A A 1 E. 5. Platí A B B 1 A 1 A B B 1 A 1 A E A 1 A A 1 E. 29

32 Lineární algebra Poznámka 16. Nyní popíšeme metodu výpočtu inverzní matice pro danou regulární matici založenou na elementárních úpravách matice. Především už víme poznámka 14, že každé elementární úpravě odpovídá vynásobení matice vhodnou regulární maticí. Dále připomínáme, že elementární úpravy zachovávají hodnost matice. Metoda spočívá v tom, že napíšeme vedle sebe danou čtvercovou matici A a jednotkovou matici stejného řádu. Na takto vzniklou matici jako celek aplikujeme elementární řádkové úpravy s odpovídajícím násobením zleva maticemi A 1, A 2,..., A p tak dlouho, až na místě matice A dostaneme jednotkovou matici E. A E A 1 A A 1 E A 2 A 1 A A 2 A 1 E A p A 2 A 1 A } {{ } E A p A 2 A 1 E } {{ } A 1 Protože E A 1 A, je zřejmě A p A 2 A 1 A 1, a to je právě matice na pravé straně. Z předchozího plyne, že tytéž řádkové úpravy, které převedly regulární matici A na jednotkovou matici E, převedou, provedeny v témže pořadí, jednotkovou matici E na matici inverzní A 1. Příklad 27. Vypočtěme inverzní matici k matici A Výpočet provedeme ve tvaru tabulky. Připojíme kontrolní sloupec Σ, ve kterém je součet všech čísel téhož řádku. Provedeme-li příslušnou řádkovou elementární úpravu i v tomto kontrolním sloupci, musí se opět součet v příslušném řádku shodovat s nově vzniklým číslem v kontrolním sloupci. 30

33 2. Matice A E Σ Poznámka Vyměníme první a druhý řádek První řádek vynásobíme a přičteme k druhému řádku První řádek přičteme ke třetímu Vyměníme druhý a třetí řádek Druhý řádek vynásobíme a přičteme ke třetímu řádku Třetí řádek přičteme ke druhému Třetí řádek vynásobíme Druhý řádek přičteme k prvnímu Tučně označené prvky tvoří inverzní matici. Tedy inverzní matice k matici A je matice A Můžeme provést zkoušku, tj. ověřit rovnosti A A 1 A 1 A E. Skutečně platí i obráceně

34 Lineární algebra Příklad 28. Vypočteme inverzní matici k matici B Řešení. Platí Tedy B Poznámka 17. Existuje ještě celá řada dalších metod pro výpočet inverzní matice. S jednou z nich se ještě blíže seznámíme v kapitole 3. Dále se čtenář setká s inverzní maticí v matematické statistice a na matematiku navazujících předmětech. 2.5 Maticové rovnice Úloha řešit maticovou rovnici o jedné neznámé matici X, znamená najít takovou matici X, která, dosazena do maticové rovnice, ji převede po provedení naznačených početních operací s maticemi na rovnost dvou matic. Řešení maticové rovnice o jedné neznámé matici X má dvě části: 1. Z maticové rovnice osamostatníme neznámou matici X. 2. Neznámou matici X vypočítáme. Postup si ukážeme na příkladech. Příklad 29. Určíme matici X, aby platilo A X B, kde Řešení. 1. Platí X A 1 B. A , B

35 X Inverzní matice k matici je podle příkladu 26 matice Tedy X Řešením dané maticové rovnice je matice X Můžeme provést zkoušku. Platí Matice Příklad 30. Určíme matici X, aby platilo A X + B 2X C, kde A , B Řešení. 1. Osamostatníme matici X. Platí , C A X + B 2X 2C A X 2X B 2C Neznámou matici X vytkneme zprava, protože násobení matic není komutativní. A 2E X B 2C Rovnici násobíme zleva maticí A 2E 1. A 2E 1 A 2E X A 2E 1 B 2C X A 2E 1 B 2C 2. Vypočteme matici A 2E 1 a matici B 2C, pak obě matice vynásobíme. Platí A 2E Nyní ,... 33

36 Lineární algebra Dále B 2C takže A 2E a tedy X A 2E 1 B 2C Řešením rovnice je matice X L : A X + B + P : 2X C Zkouška: CVIČENÍ 2 Matice Kontrolní otázky 1. Co je to matice typu m, n? 2. Jaké používáme speciální druhy matic? 3. Jaké znáte operace s maticemi? 4. Kdy existuje součin matic? 5. Kdy se matice nazývají zaměnitelné? 6. Co je to transponovaná matice? 7. Co je to hodnost matice? 8. Při kterých úpravách se hodnost matice nemění? 9. Jak určujeme hodnost matice? 10. Kdy je matice regulární? 11. Co je to inverzní matice? 34

37 2. Matice 12. Jak vypočteme inverzní matici? 13. Jak postupujeme při řešení maticových rovnic? Příklady k procvičování 1. Denní spotřeba energie a surovin podniku, který má tři závody, je popsána tabulkou. Uhlí El.proud Voda Dřevo Závod t/d kw h/d m 3 /d m 3 /d , , , Vynecháme-li záhlaví této tabulky, dostáváme matici denní spotřeby podniku. S , , , a Co vyjadřuje druhý sloupec matice S? b Co vyjadřuje první řádek matice S? c Jaká je celková denní spotřeba uhlí celého podniku? d Jaké jsou denní náklady 1. závodu, když cena 1 t uhlí je x 1 Kč, 1 kw h elektrického proudu x 2 Kč, 1 m 3 vody x 3 Kč a 1 m 3 dřeva x 4 Kč? 2. Daná matice A je symetrická matice 3. řádu. Doplňte chybějící prvky. A Daná matice B je antisymetrická matice 4. řádu. Doplňte chybějící prvky. B 4. Doplňte chybějící prvky matice 5. Jsou dány matice A matice 0, , , a C 2A B, b D 1 2 A + 3B. 6. Jsou dány matice A , B, B , C. Vypočtěte

38 Lineární algebra Zjistěte, které ze součinů A B, B A, A C, C A, B C, C B jsou definovány a vypočítejte je. 7. Vypočtěte A B a B A pro matice 2 a A 3 1, B ; b A Zjistěte, zda dané matice A, B jsou zaměnitelné a A 2 3 2, B b A Vypočtěte A 3, jestliže A Vypočtěte A 4 A 2, jestliže A, B Určete transponovanou matici k maticím a A , b B , B , c C Rozložte danou matici na součet matice symetrické a antisymetrické a b Určete hodnost dané matice a c Určete nulitu matic a d b b

39 c d Matice 15. Rozhodněte o lineární závislosti nebo nezávislosti vektorů a a 1 1, 7, 8, 3, 5, a 2 2, 2, 0, 6, 6, a 3 5, 3, 8, 15, 7, a 4 4, 1, 5, 12, 7 ; b b 1 1, 1, 1, 1, 0, b 2 0, 1, 1, 1, 1, b 3 1, 2, 3, 0, 0, b 4 0, 1, 2, 3, 0, b 5 0, 0, 1, 2, Pro jaká čísla u, v je hodnost matice 17. Určete inverzní matici k dané matici. a b u v c nejmenší? d g e h f Řešte maticové rovnice pro neznámou matici X. 1 1 a 2X + A B X 2C, když A, B C ; 0 2 b 3A + 2X 4B + X, když A c A X A B, když A d A 2 X + B C, když A 3 2 C ; , B, B, B , ; , ; 37

40 Lineární algebra e A X B C, když A 2 4 C. 3 1 Výsledky příkladů , B a Spotřebu elektrického proudu jednotlivými závody. b Spotřebu energie a surovin prvního závodu. c 1370 t ; d 600x , 5x x x A B 1, C 0 2, A B C B a A B B A , B A, , D C A a B C neexistují. 8. a Ano ; b Ne. 9. A a A T 12. a , A C, B A 4 ; b A B b B T a 2 ; b 2 ; c 4 ; d a 0 ; b 1 ; c 1 ; d a Závislé ; b Nezávislé b 10. c CT, ,,

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem. 1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její

Více

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice 11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty

Více

6. Matice. Algebraické vlastnosti

6. Matice. Algebraické vlastnosti Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,

Více

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,

Více

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

Matematický model kamery v afinním prostoru

Matematický model kamery v afinním prostoru CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002

Více

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2

Více

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).

Více

1.7. Mechanické kmitání

1.7. Mechanické kmitání 1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického

Více

Příklad 1.3: Mocnina matice

Příklad 1.3: Mocnina matice Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních

Více

1 Matematické základy teorie obvodů

1 Matematické základy teorie obvodů Matematické základy teorie obvodů Vypracoval M. Košek Toto cvičení si klade možná přemrštěný, možná jednoduchý, cíl dosáhnout toho, aby všichní studenti znali základy matematiky (a fyziky) nutné pro pochopení

Více

Ne tak letmý úvod k maticím První pracovní verze

Ne tak letmý úvod k maticím První pracovní verze Ne tak letmý úvod k maticím První pracovní verze Tento text na příkladech ukazuje vlastnosti základních algebraických struktur grup, okruhů, polí, vektorových prostorů a algeber. Zvláštní důraz je kladen

Více

Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Statistika II Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu) této závislosti pomocí vhodné funkce

Více

1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204

1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204 .2.5 Reálná čísla I Předpoklady: 00204 Značíme R. Reálná čísla jsou čísla, kterými se vyjadřují délky úseček, čísla jim opačná a 0. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý

Více

METODIKA PRO NÁVRH TEPELNÉHO ČERPADLA SYSTÉMU VZDUCH-VODA

METODIKA PRO NÁVRH TEPELNÉHO ČERPADLA SYSTÉMU VZDUCH-VODA METODIKA PRO NÁVRH TEPELNÉHO ČERPADLA SYSTÉMU VZDUCH-VODA Získávání tepla ze vzduchu Tepelná čerpadla odebírající teplo ze vzduchu jsou označovaná jako vzduch-voda" případně vzduch-vzduch". Teplo obsažené

Více

Statistika ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ. Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková. Semestrální práce - 0 -

Statistika ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ. Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková. Semestrální práce - 0 - ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková 2 34 Statistika Semestrální práce - 0 - 1. Úvod Popis úlohy: V této práci se jedná se o porovnání statistických

Více

GEOMETRICKÁ TĚLESA. Mnohostěny

GEOMETRICKÁ TĚLESA. Mnohostěny GEOMETRICKÁ TĚLESA Geometrické těleso je prostorový geometrický útvar, který je omezený (ohraničený), tato hranice mu náleží. Jeho povrch tvoří rovinné útvary a také různé složitější plochy. Geometrická

Více

Řešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat.

Řešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat. KOMBINATORIKA ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1 Pan Alois dostal od vedení NP Šumava za úkol vytvořit propagační poster se čtyřmi fotografiemi Šumavského národního parku, každou z jiného ročního období (viz obrázek).

Více

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)

Více

Matematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce

Matematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce Matematická analýza KMA/MAI 3. p edná²ka Primitivní funkce Denice a základní vlastnosti P íklad Uvaºujme následující úlohu: Najd te funkci F : R R takovou, ºe F () R. Kdo zná vzorce pro výpo et derivací

Více

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz. 7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY NOSNÍKY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY NOSNÍKY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 16. ČERVNA 2012 Název zpracovaného celku: NOSNÍKY NOSNÍKY Nosníky jsou zpravidla přímá tělesa (pruty) uloţená na podporách nebo

Více

NEJČASTĚJŠÍ POCHYBENÍ PŘI PODÁNÍ ŽÁDOSTI O PODPORU V RÁMCI INTEGROVANÉHO REGIONÁLNÍHO OPERAČNÍHO PROGRAMU, SC 2.5, VÝZVA Č

NEJČASTĚJŠÍ POCHYBENÍ PŘI PODÁNÍ ŽÁDOSTI O PODPORU V RÁMCI INTEGROVANÉHO REGIONÁLNÍHO OPERAČNÍHO PROGRAMU, SC 2.5, VÝZVA Č NEJČASTĚJŠÍ POCHYBENÍ PŘI PODÁNÍ ŽÁDOSTI O PODPORU V RÁMCI INTEGROVANÉHO REGIONÁLNÍHO OPERAČNÍHO PROGRAMU, SC 2.5, VÝZVA Č. 16 ENERGETICKÉ ÚSPORY V BYTOVÝCH DOMECH S ohledem na zjištění učiněná při posuzování

Více

10 je 0,1; nebo taky, že 256

10 je 0,1; nebo taky, že 256 LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání

Více

I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb

I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb 1 VŠEOBECNĚ ČSN EN 1991-1-1 poskytuje pokyny pro stanovení objemové tíhy stavebních a skladovaných materiálů nebo výrobků, pro vlastní

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat

Více

Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola

Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola Diamantová suma - řešení příladů.ola. Doažte, že pro aždé přirozené číslo n platí.n + 2.n + + n.n < 2. Postupujeme matematicou inducí. Levou stranu nerovnosti označme s n. Nejmenší n, pro než má smysl

Více

Číslicová technika 3 učební texty (SPŠ Zlín) str.: - 1 -

Číslicová technika 3 učební texty (SPŠ Zlín) str.: - 1 - Číslicová technika učební texty (SPŠ Zlín) str.: - -.. ČÍTAČE Mnohá logická rozhodnutí jsou založena na vyhodnocení počtu opakujících se jevů. Takovými jevy jsou např. rychlost otáčení nebo cykly stroje,

Více

Data v počítači EIS MIS TPS. Informační systémy 2. Spojení: e-mail: jan.skrbek@tul.cz tel.: 48 535 2442 Konzultace: úterý 14 20-15 50

Data v počítači EIS MIS TPS. Informační systémy 2. Spojení: e-mail: jan.skrbek@tul.cz tel.: 48 535 2442 Konzultace: úterý 14 20-15 50 Informační systémy 2 Data v počítači EIS MIS TPS strategické řízení taktické řízení operativní řízení a provozu Spojení: e-mail: jan.skrbek@tul.cz tel.: 48 535 2442 Konzultace: úterý 14 20-15 50 18.3.2014

Více

1. a) Přirozená čísla

1. a) Přirozená čísla jednotky desítky stovky tisíce desetitisíce statisíce miliony 1. a) Přirozená čísla Přirozená čísla jsou nejčastějšími čísly, se kterými se setkáváme v běžném životě. Jejich pomocí zapisujeme počet věcí

Více

Spoje se styčníkovými deskami s prolisovanými trny

Spoje se styčníkovými deskami s prolisovanými trny cvičení Dřevěné konstrukce Spoje se styčníkovými deskami s prolisovanými trny Úvodní poznámky Styčníkové desky s prolisovanými trny se používají pro spojování dřevěných prvků stejné tloušťky v jedné rovině,

Více

4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí

4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí 4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí Kromě měření konstant je častou úlohou měření zjistit, jak nějaká veličina y (závisle proměnná, jinak řečeno funkce) závisí na jiné proměnlivé veličině x (nezávisle

Více

5.2.1 Matematika povinný předmět

5.2.1 Matematika povinný předmět 5.2.1 Matematika povinný předmět Učební plán předmětu 1. ročník 2. ročník 3. ročník 6. ročník 7. ročník 8. ročník 9. ročník 4 4+1 4+1 4+1 4+1 4 4 3+1 4+1 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v

Více

obecně závazné vyhlášky o vedení technické mapy obce A. OBECNÁ ČÁST Vysvětlení navrhované právní úpravy a jejích hlavních principů

obecně závazné vyhlášky o vedení technické mapy obce A. OBECNÁ ČÁST Vysvětlení navrhované právní úpravy a jejích hlavních principů O D Ů V O D N Ě N Í obecně závazné vyhlášky o vedení technické mapy obce A. OBECNÁ ČÁST Vysvětlení navrhované právní úpravy a jejích hlavních principů 1. Definice technické mapy Technickou mapou obce (TMO)

Více

Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sl

Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sl Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sly z p edchoz ch kapitol k podrobn j mu zkoum n line

Více

MECHANICKÁ PRÁCE A ENERGIE

MECHANICKÁ PRÁCE A ENERGIE MECHANICKÁ RÁCE A ENERGIE MECHANICKÁ RÁCE Konání práce je podmíněno silovým působením a pohybem Na čem závisí velikost vykonané práce Snadno určíme práci pro případ F s ráci nekonáme, pokud se těleso nepřemísťuje

Více

170/2010 Sb. VYHLÁŠKA. ze dne 21. května 2010

170/2010 Sb. VYHLÁŠKA. ze dne 21. května 2010 170/2010 Sb. VYHLÁŠKA ze dne 21. května 2010 o bateriích a akumulátorech a o změně vyhlášky č. 383/2001 Sb., o podrobnostech nakládání s odpady, ve znění pozdějších předpisů Ministerstvo životního prostředí

Více

OBCHODNÍ PRÁVO Vysoká škola ekonomie a managementu 2012

OBCHODNÍ PRÁVO Vysoká škola ekonomie a managementu 2012 OBCHODNÍ PRÁVO Vysoká škola ekonomie a managementu 2012 Obchodní právo JUDr. Ing. Jaroslav Staněk, CSc. Copyright Vysoká škola ekonomie a managementu 2012. Vydání první. Všechna práva vyhrazena. ISBN 978-80-86730-93-6

Více

Makroekonomie I. Přednáška 2. Ekonomický růst. Osnova přednášky: Shrnutí výpočtu výdajové metody HDP. Presentace výpočtu přidané hodnoty na příkladě

Makroekonomie I. Přednáška 2. Ekonomický růst. Osnova přednášky: Shrnutí výpočtu výdajové metody HDP. Presentace výpočtu přidané hodnoty na příkladě Přednáška 2. Ekonomický růst Makroekonomie I Ing. Jaroslav ŠETEK, Ph.D. Katedra ekonomiky Osnova přednášky: Podstatné ukazatele výkonnosti ekonomiky souhrnné opakování předchozí přednášky Potenciální produkt

Více

Posouzení stávající soustavy vytápění. Posouzení stávající soustavy vytápění. Semináře JOULE 2012 Ing. Vladimír Galad galad@volny.

Posouzení stávající soustavy vytápění. Posouzení stávající soustavy vytápění. Semináře JOULE 2012 Ing. Vladimír Galad galad@volny. Posouzení stávající soustavy vytápění ÚVOD Připomeňme si, že existuje několik typů soustav pro vytápění a s nástupem nových technologií a využívání netradičních a obnovitelných zdrojů tepla přibývá řada

Více

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2661/108/15

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2661/108/15 ODBORNÝ POSUDEK č. 2661/108/15 o obvyklé ceně ideální 1/2 nemovité věci bytové jednotky č. 1238/13 včetně podílu 784/15632 na pozemku a společných částech domu v katastrálním území a obci Strakonice, okres

Více

1. Orgány ZO jsou voleny z členů ZO. 2. Do orgánů ZO mohou být voleni jen členové ZO starší 18 let.

1. Orgány ZO jsou voleny z členů ZO. 2. Do orgánů ZO mohou být voleni jen členové ZO starší 18 let. JEDNACÍ ŘÁD ZO OSŽ Praha Masarykovo nádraží I. Úvodní ustanovení Čl. 1. Jednací řád Základní organizace odborového sdružení železničářů Praha Masarykovo nádraží (dále jen ZO) upravuje postup orgánů ZO

Více

Důchody: systém starobního důchodu v ČR

Důchody: systém starobního důchodu v ČR ČESKO- ANGLICKÉ GYMNÁZIUM Důchody: systém starobního důchodu v ČR Seminární práce Interní konzultant: Mgr. Tomáš Veber, Th.D. Externí konzultant: Obor: Student: Filip Janda Ročník: 3. ročník/septima Školní

Více

( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502

( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502 .5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady

Více

Daniel Velek Optimalizace 2003/2004 IS1 KI/0033 LS PRAKTICKÝ PŘÍKLAD NA MINIMALIZACI NÁKLADŮ PŘI VÝROBĚ

Daniel Velek Optimalizace 2003/2004 IS1 KI/0033 LS PRAKTICKÝ PŘÍKLAD NA MINIMALIZACI NÁKLADŮ PŘI VÝROBĚ PRAKTICKÝ PŘÍKLAD NA MINIMALIZACI NÁKLADŮ PŘI VÝROBĚ - 1 - Firma zabývající se výrobou světlometů do aut dostala zakázku na výrobu 3 druhů světlometů do aut, respektive do Škody Fabia, Octavia a Superb.

Více

NEJČASTĚJI KLADENÉ DOTAZY K PUBLICITĚ PROJEKTŮ OP LZZ

NEJČASTĚJI KLADENÉ DOTAZY K PUBLICITĚ PROJEKTŮ OP LZZ NEJČASTĚJI KLADENÉ DOTAZY K PUBLICITĚ PROJEKTŮ OP LZZ A) Povinnost příjemců zajišťovat publicitu projektů 1. Z čeho vyplývá povinnost příjemců podpory dodržovat vizuální identitu ESF/OP LZZ a zajišťovat

Více

Pracovní právo seminární práce

Pracovní právo seminární práce Pracovní právo seminární práce 1. Úvod do problematiky Tématem mé seminární práce je problematika pracovního práva a jeho institutů. V několika nadcházejících kapitolách bych se chtěl zabývat obecnou systematikou

Více

1.3 Druhy a metody měření

1.3 Druhy a metody měření Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 1.3 Druhy a metody měření Měření je soubor činností, jejichž cílem je stanovit hodnotu měřené fyzikální veličiny.

Více

Osvětlovací modely v počítačové grafice

Osvětlovací modely v počítačové grafice Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Semestrální práce z předmětu Matematické modelování Osvětlovací modely v počítačové grafice 27. ledna 2008 Martin Dohnal A07060 mdohnal@students.zcu.cz

Více

Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia. předmětu MATEMATIKA A

Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia. předmětu MATEMATIKA A Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA A Název tématického celku: Zobrazení,reálné funkce jedné reálné proměnné,elementární funkce a jejich základní vlastnosti,lineární

Více

Společné stanovisko GFŘ a MZ ke změně sazeb DPH na zdravotnické prostředky od 1. 1. 2013

Společné stanovisko GFŘ a MZ ke změně sazeb DPH na zdravotnické prostředky od 1. 1. 2013 Společné stanovisko GFŘ a MZ ke změně sazeb DPH na zdravotnické prostředky od 1. 1. 2013 Od 1. 1. 2013 došlo k novelizaci zákona č. 235/2004 Sb., o dani z přidané hodnoty (dále jen zákon o DPH ), mj. i

Více

PARLAMENT ČESKÉ REPUBLIKY Poslanecká sněmovna 2009 V. volební období. Vládní návrh. na vydání. zákona

PARLAMENT ČESKÉ REPUBLIKY Poslanecká sněmovna 2009 V. volební období. Vládní návrh. na vydání. zákona PARLAMENT ČESKÉ REPUBLIKY Poslanecká sněmovna 2009 V. volební období 968 Vládní návrh na vydání zákona kterým se mění zákon č. 180/2005 Sb., o podpoře výroby elektřiny z obnovitelných zdrojů energie a

Více

Příloha Průběžné zprávy. Shrnutí návrhu algoritmu

Příloha Průběžné zprávy. Shrnutí návrhu algoritmu Příloha Průběžné zprávy Shrnutí návrhu algoritmu Obsah 1. Zadání a definice 2. Předpoklady použitíalgoritmu 3. Ocenění lesní půdy Ocenění zemědělské půdy Oceněníbudov a zastavěných ploch Ocenění vodních

Více

7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy

7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy Trivium z optiky 45 7 draz a lom V této kapitole se budeme zabývat průchodem (lomem) a odrazem světla od rozhraní dvou homogenních izotropních prostředí Pro jednoduchost se omezíme na rozhraní rovinná

Více

RAPEX závěrečná zpráva o činnosti systému v roce 2012 (pouze výtah statistických údajů)

RAPEX závěrečná zpráva o činnosti systému v roce 2012 (pouze výtah statistických údajů) Evropská komise GŘ pro zdraví a spotřebitele (SANCO) 5/2013 Dokument D 108 RAPEX závěrečná zpráva o činnosti systému v roce 2012 (pouze výtah statistických údajů) 1. Vývoj počtu oznámení o nebezpečných

Více

Ploché výrobky z konstrukčních ocelí s vyšší mezí kluzu po zušlechťování technické dodací podmínky

Ploché výrobky z konstrukčních ocelí s vyšší mezí kluzu po zušlechťování technické dodací podmínky Ploché výrobky z konstrukčních ocelí s vyšší mezí kluzu po zušlechťování technické dodací podmínky Způsob výroby Dodávaný stav Podle ČSN EN 10025-6 září 2005 Způsob výroby oceli volí výrobce Pokud je to

Více

POKYNY. k vyplnění přiznání k dani z příjmů fyzických osob za zdaňovací období (kalendářní rok) 2012

POKYNY. k vyplnění přiznání k dani z příjmů fyzických osob za zdaňovací období (kalendářní rok) 2012 dz_12dpfo5405_19_pok.pdf - Adobe Acrobat Professional POKYNY k vyplnění přiznání k dani z příjmů fyzických osob za zdaňovací období (kalendářní rok) 2012 Pokyny k vyplnění přiznání k dani z příjmů fyzických

Více

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2381/21/14

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2381/21/14 ODBORNÝ POSUDEK č. 2381/21/14 o obvyklé ceně nemovité věci bytu č. 1765/6 a podílu 622/73998 na společných částech domu a pozemcích, v katastrálním území Svitavy předměstí a obci Svitavy, vše okres Svitavy

Více

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3476 Název materiálu: VY_42_INOVACE_145 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací

Více

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2588/35/15

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2588/35/15 ODBORNÝ POSUDEK č. 2588/35/15 o obvyklé ceně nemovitých věcí pozemku p.č.st. 235 jehož součástí je stavba rodinného domu č.p. 149 a pozemku p.č. 1317/5 vše v katastrálním území Řetová a obci Řetová, okres

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G říjen 2014 1 1O POLOHOVÉ VYTYČOVÁNÍ Pod pojem polohového vytyčování se

Více

5. Legislativní opatření a jejich vliv na vývoj pracovní neschopnosti pro nemoc a úraz

5. Legislativní opatření a jejich vliv na vývoj pracovní neschopnosti pro nemoc a úraz 5. Legislativní opatření a jejich vliv na vývoj pracovní neschopnosti pro nemoc a úraz Úroveň pracovní neschopnosti pro nemoc a úraz je v zásadě dána dvěma rozdílnými faktory. Prvým z nich je objektivní

Více

269/2015 Sb. VYHLÁŠKA

269/2015 Sb. VYHLÁŠKA 269/2015 Sb. - rozúčtování nákladů na vytápění a příprava teplé vody pro dům - poslední stav textu 269/2015 Sb. VYHLÁŠKA ze dne 30. září 2015 o rozúčtování nákladů na vytápění a společnou přípravu teplé

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy paprskové a vlnové optiky, optická vlákna, Učební text Ing. Bc. Jiří Primas Liberec 2011 Materiál vznikl

Více

Modul Řízení objednávek. www.money.cz

Modul Řízení objednávek. www.money.cz Modul Řízení objednávek www.money.cz 2 Money S5 Řízení objednávek Funkce modulu Obchodní modul Money S5 Řízení objednávek slouží k uskutečnění hromadných akcí s objednávkami, které zajistí dostatečné množství

Více

Faremní systémy podle zadání PS LFA s účastí nevládních organizací

Faremní systémy podle zadání PS LFA s účastí nevládních organizací Faremní systémy podle zadání PS LFA s účastí nevládních organizací TÚ 4102 Operativní odborná činnost pro MZe ZADÁNÍ MIMOŘÁDNÉHO TEMATICKÉHO ÚKOLU UZEI Č.J.: 23234/2016-MZE-17012, Č.Ú.: III/2016 Zadavatel:

Více

2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I

2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Předpoklady: 0, 06 Pedagogická poznámka: Řešení slovních úloh představuje pro značnou část studentů nejobtížnější část matematiky Důvod je jednoduchý Po celou

Více

Aplikace počítačů v provozu vozidel 9

Aplikace počítačů v provozu vozidel 9 Aplikace počítačů v provozu vozidel 9 2 Databázové systémy Rozvoj IS je spjatý s rozvojem výpočetní techniky, především počítačů. V počátcích se zpracovávaly velké objemy informací na jednom počítači,

Více

PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ. Strana

PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ. Strana PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ Strana Vyhledávání textu - přidržte klávesu Ctrl, kurzor umístěte na příslušný řádek a klikněte levým tlačítkem myši. 1. Právní předpisy upravující přijímací řízení ke studiu ve střední

Více

Metodický list úprava od 1. 1. 2014 Daně a organizační jednotky Junáka

Metodický list úprava od 1. 1. 2014 Daně a organizační jednotky Junáka Metodický list úprava od 1. 1. 2014 Daně a organizační jednotky Junáka Metodický list je věnován všem druhům daní, které patří do daňového systému ČR mimo daně z příjmů. Této dani je věnován samostatný

Více

Názory na bankovní úvěry

Názory na bankovní úvěry INFORMACE Z VÝZKUMU STEM TRENDY 1/2007 DLUHY NÁM PŘIPADAJÍ NORMÁLNÍ. LIDÉ POKLÁDAJÍ ZA ROZUMNÉ PŮJČKY NA BYDLENÍ, NIKOLIV NA VYBAVENÍ DOMÁCNOSTI. Citovaný výzkum STEM byl proveden na reprezentativním souboru

Více

Žáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce

Žáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Název Téma hodiny Předmět Ročník /y/ CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_32_INOVACE_9_ČT_1.09_ grafická minimalizace Střední odborná škola a Střední odborné učiliště,

Více

Příloha č. 7. ročník 9. 1h 1x za 14 dní. dotace. nepovinný. povinnost

Příloha č. 7. ročník 9. 1h 1x za 14 dní. dotace. nepovinný. povinnost Příloha č. 7 Seminář z matematiky V učebním plánu 2. druhého stupně se zařazuje nepovinný předmět Seminář z matematiky. V tematickém okruhu Čísla a početní operace na prvním stupni, na který navazuje a

Více

Databázové a informační systémy

Databázové a informační systémy Databázové a informační systémy 1. Teorie normálních forem Pojem normálních forem se používá ve spojitosti s dobře navrženými tabulkami. Správně vytvořené tabulky splňují 4 základní normální formy, které

Více

VI. Finanční gramotnost šablony klíčových aktivit

VI. Finanční gramotnost šablony klíčových aktivit VI. Finanční gramotnost šablony klíčových aktivit Číslo klíčové aktivity VI/2 Název klíčové aktivity Vazba na podporovanou aktivitu z PD OP VK Cíle realizace klíčové aktivity Inovace a zkvalitnění výuky

Více

R O Z S U D E K J M É N E M R E P U B L I K Y

R O Z S U D E K J M É N E M R E P U B L I K Y č. j. 5 A 60/2002-34 ČESKÁ REPUBLIKA R O Z S U D E K J M É N E M R E P U B L I K Y Nejvyšší správní soud rozhodl v senátě složeném z předsedkyně JUDr. Marie Součkové a soudců JUDr. Jaroslava Vlašína a

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 16. ZÁKLADY LOGICKÉHO ŘÍZENÍ

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 16. ZÁKLADY LOGICKÉHO ŘÍZENÍ Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 16. ZÁKLADY LOGICKÉHO ŘÍZENÍ Obsah 1. Úvod 2. Kontaktní logické řízení 3. Logické řízení bezkontaktní Leden 2006 Ing.

Více

4.5.1 Magnety, magnetické pole

4.5.1 Magnety, magnetické pole 4.5.1 Magnety, magnetické pole Předpoklady: 4101 Pomůcky: magnety, kancelářské sponky, papír, dřevěná dýha, hliníková kulička, měděná kulička (drát), železné piliny, papír, jehla (špendlík), korek (kus

Více

Podpůrný výukový materiál s využitím ICT* Podpůrný výukový materiál reedukační hodiny *

Podpůrný výukový materiál s využitím ICT* Podpůrný výukový materiál reedukační hodiny * Podpůrný výukový materiál s využitím ICT* Podpůrný výukový materiál reedukační hodiny * Název: Pohádkové počítání,sčítání a odčítání do 20-typ příkladů 10+4, 14-4, reedukační pracovní listy Autor: Mgr.

Více

Střídavý proud v životě (energetika)

Střídavý proud v životě (energetika) Střídavý prod v životě (energetika) Přeměna energie se sktečňje v elektrárnách. Zde pracjí výkonné generátory střídavého napětí alternátory. V energetice se vyžívá střídavé napětí o frekvenci 50 Hz, které

Více

Právní úprava spolků dle nového občanského zákoníku

Právní úprava spolků dle nového občanského zákoníku Právní úprava spolků dle nového občanského zákoníku Konkrétní doporučení pro sportovní organizace občanská sdružení Legislativní rada Českého olympijského výboru 2013 Právní úprava spolků dle nového občanského

Více

Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu

Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu Úloha č. 4 Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu Úkoly měření:. Určete moment setrvačnosti vybraných těles, kruhové a obdélníkové desky.. Stanovení momentu setrvačnosti proveďte s využitím dvou rozdílných

Více

1.1.11 Poměry a úměrnosti I

1.1.11 Poměry a úměrnosti I 1.1.11 Poměry a úměrnosti I Předpoklady: základní početní operace, 010110 Poznámka: Následující látka bohužel patří mezi ty, kde je nejvíce rozšířené používání samospasitelných postupů, které umožňují

Více

DIDAKTIKA PRAKTICKÉHO VYUČOVÁNÍ I.

DIDAKTIKA PRAKTICKÉHO VYUČOVÁNÍ I. DIDAKTIKA PRAKTICKÉHO VYUČOVÁNÍ I. Ing. Miroslav Čadílek. Brno 2005 Obsah 1. Úvod... 3 2. Předmět didaktiky odborného výcviku... 5 2.1. Návaznost didaktiky odborného výcviku na pedagogické a technické

Více

Tab. 1 Podíl emisí TZL a SO₂ v krajích z celkového objemu ČR v letech 2003 až 2009 (v %)

Tab. 1 Podíl emisí TZL a SO₂ v krajích z celkového objemu ČR v letech 2003 až 2009 (v %) 3. Emise Jednou ze základních složek životního prostředí je ovzduší. Jeho kvalita zcela zásadně ovlivňuje kvalitu lidského života. Kvalitu ovzduší lze sledovat 2 způsoby. Prvním, a statisticky uchopitelnějším,

Více

1. LINEÁRNÍ APLIKACE OPERAČNÍCH ZESILOVAČŮ

1. LINEÁRNÍ APLIKACE OPERAČNÍCH ZESILOVAČŮ 1. LNEÁNÍ APLKACE OPEAČNÍCH ZESLOVAČŮ 1.1 ÚVOD Cílem laboratorní úlohy je seznámit se se základními vlastnostmi a zapojeními operačních zesilovačů. Pro získání teoretických znalostí k úloze je možno doporučit

Více

Základní škola a mateřská škola, Ostrava-Hrabůvka, Mitušova 16, příspěvková organizace Školní vzdělávací program 2. stupeň, Matematika.

Základní škola a mateřská škola, Ostrava-Hrabůvka, Mitušova 16, příspěvková organizace Školní vzdělávací program 2. stupeň, Matematika. Matematika Matematika pro žáky 6. až 9. ročníku napomáhá k rozvoji paměti, logického myšlení, kritickému usuzování a srozumitelné a věcné argumentaci prostřednictvím matematických problémů. Žáci si prostřednictvím

Více

MMEE cv.4-2011 Stanovení množství obchodovatelného zboží mezi zákazníkem a dodavatelem

MMEE cv.4-2011 Stanovení množství obchodovatelného zboží mezi zákazníkem a dodavatelem MMEE cv.4-2011 Stanovení množství obchodovatelného zboží mezi zákazníkem a dodavatelem Cíl: Stanovit množství obchodovatelného zboží (předmět směny) na energetickém trhu? Diagram odběru, zatížení spotřebitele

Více

SBÍRKA ZÁKONŮ. Ročník 2016 ČESKÁ REPUBLIKA. Částka 10 Rozeslána dne 28. ledna 2016 Cena Kč 210, O B S A H :

SBÍRKA ZÁKONŮ. Ročník 2016 ČESKÁ REPUBLIKA. Částka 10 Rozeslána dne 28. ledna 2016 Cena Kč 210, O B S A H : Ročník 2016 SBÍRKA ZÁKONŮ ČESKÁ REPUBLIKA Částka 10 Rozeslána dne 28. ledna 2016 Cena Kč 210, O B S A H : 27. Vyhláška o vzdělávání žáků se speciálními vzdělávacími potřebami a žáků nadaných Strana 234

Více

Všeobecné obchodní podmínky portálu iautodíly společnosti CZ-Eko s.r.o.

Všeobecné obchodní podmínky portálu iautodíly společnosti CZ-Eko s.r.o. Všeobecné obchodní podmínky portálu iautodíly společnosti CZ-Eko s.r.o. I. Úvodní ustanovení 1.1 Tyto všeobecné obchodní podmínky (dále jen VOP ) tvoří nedílnou součást každé kupní smlouvy, jejímž předmětem

Více

Česká zemědělská univerzita v Praze Fakulta provozně ekonomická. Obor veřejná správa a regionální rozvoj. Diplomová práce

Česká zemědělská univerzita v Praze Fakulta provozně ekonomická. Obor veřejná správa a regionální rozvoj. Diplomová práce Česká zemědělská univerzita v Praze Fakulta provozně ekonomická Obor veřejná správa a regionální rozvoj Diplomová práce Problémy obce při zpracování rozpočtu obce TEZE Diplomant: Vedoucí diplomové práce:

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 4. Komplexní čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 4. Komplexní čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyiky CZ.1.07/..00/07.0018 4. Komplexní čísla Matematickým důvodem pro avedení komplexních čísel ( latinského complexus složený), byla potřeba rošířit množinu (obor)

Více

Obsah. Trocha právničiny

Obsah. Trocha právničiny Trocha právničiny - Pokud se vám můj ebook líbí, řekněte o tom svým známým. Pošlete jim odkaz na webovou stránku, kde si jej mohou zakoupit. Ebook je mým duševním vlastnictvím a jeho tvorba mě stála spoustu

Více

Vyhláška č. 294/2015 Sb., kterou se provádějí pravidla provozu na pozemních komunikacích

Vyhláška č. 294/2015 Sb., kterou se provádějí pravidla provozu na pozemních komunikacích Změny 1 vyhláška č. 294/2015 Sb. Vyhláška č. 294/2015 Sb., kterou se provádějí pravidla provozu na pozemních komunikacích a která s účinností od 1. ledna 2016 nahradí vyhlášku č. 30/2001 Sb. Umístění svislých

Více

Centrum polymerních materiálů a technologií Otty Wichterle realizace stavební části

Centrum polymerních materiálů a technologií Otty Wichterle realizace stavební části Kvalifikační dokumentace k veřejné zakázce zadávané v otevřeném řízení dle zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách, ve znění pozdějších předpisů (dále jen zákon ) Název veřejné zakázky: Centrum polymerních

Více

Výchovné a vzdělávací strategie pro rozvoj klíčových kompetencí žáků

Výchovné a vzdělávací strategie pro rozvoj klíčových kompetencí žáků CVIČENÍ Z MATEMATIKY Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět je realizován od 6. ročníku až po 9. ročník po 1 hodině týdně. Výuka probíhá v kmenové učebně nebo

Více