Co je to sinus a kosinus

Transkript

1 Předmět: Doporučený ročník: Vazba na ŠVP: Matematika 2. ročník Goniometrie a trigonometrie Cíle Objasnit, jak spolu souvisí sinus a kosinus daného úhlu Lépe pochopit význam jednotkové kružnice Prohloubení prostorové představivosti Čtení z grafů funkcí Stručná anotace Na jednotkové kružnici se prezentuje význam funkce sinus a kosinus. Používají se zde 2 demonstrace v programu Mathematica. Jedna ukazuje klasický obrázek, který se běžně v hodinách rýsuje na tabuli, druhá potom představuje 3D pokus, na kterém je patrné, co znamená, že funkce jsou od sebe pootočeny o 90. Na závěr je připraven kvíz, na jehož otázku studenti hledají odpovědi v grafech funkcí sin x a cos x. Hodina předpokládá, že již byla zopakována trigonometrie učivo ZŠ. Dále se předpokládá již zavedený orientovaný úhel. Harmonogram aktivity 1

2 1. název činnosti čas stručná náplň činnosti pomůcky + přílohy Představení práce s jednotkovou kružnicí 2. Zkuste si to 1 3. Sinus a kosinus v prostoru 4. Zkuste si to 2 5. Kvíz Na základě znalostí trigonometrie se odvodí graf funkce sinus a kosinus Studenti si na svých počítačích sami pohybují bodem po kružnici a sledují graf funkcí sinus a kosinus. Zajímavá ukázka, jak lze v 3D demonstrovat vztah sinu a kosinu. Studenti si na svých počítačích sami pohybují bodem po kružnici a sledují graf funkcí sinus a kosinus Studenti podle grafů funkcí sinus a kosinus odpovídají na otázky PC Program Mathematica. Soubor SinKosJednotkKruz.cdf Projektor, plátno PC pro každého studenta, Soubor SinKosJednotkKruz.cdf PC Program Mathematica. Soubor SinKos3D.cdf Projektor, plátno PC pro každého studenta, soubor SinKos3D.cdf Skupiny 2-3 studentů, do každé skupiny 2 ipady, aplikace Quick Graph a Nearpod Teorie 2

3 Představení práce s jednotkovou kružnicí Práce na učitelském PC + promítání na plátno. Spustí se program Mathematica a otevře soubor SinKosJednotkKruz.cdf. Myší nastavíme pohyblivý bod na libovolnou pozici uvnitř 1. Kvadrantu. Připomeneme, že poloměr jednotkové kružnice je 1 a že tedy sinus daného úhlu odpovídá y-ové souřadnici bodu na kružnici. Současně necháme studenty sledovat, jak se vyvíjí gram funkce sinus ve stření části obrazovky. Je na zvážení vyučujícího, zda v tomto kroku představit rovnou i kosinus (analogicky), nebo se sem vrátit později (záleží na rychlosti chápání skupiny). Vysvětlíme a prakticky ukážeme, že když teď budeme otáčet bodem po kružnici do druhého kvadrantu, budeme schopni počítat sinus i z větších úhlů než 90. Intuitivně pak přejdeme k libovolně velkému úhlu, včetně záporných (tam je třeba studenty upozornit, že obrázek grafů funkcí v naší prezentaci je omezený na interval, že je třeba si představit, že se na obě strany vyvíjí periodicky. V horní části obrazovky je navíc možné přepínat mezi obloukovou mírou a stupni. (Zaškrtávací pole degrees = stepně). Hnědé číslo přímo vedle bodu na kružnici bude vždy znamenat velikost úhlu v obloukové míře, ale hnědá věta nad grafy informující o velikosti úhlu, se přepne do stupňů. 3

4 Zkuste si to 1 Studenti si zapnou program Mathematica a sami si to, co se právě dozvěděli, zkouší na počítačích. Sinus a kosinus v prostoru Na učitelském PC otevřeme v programu Mathematica soubor SinKos3D.cdf. Obrazovku zvětšíme, aby byl obrázek zřetelný. Vysvětlíme, že pohybujeme nyní bodem po kružnici, která se navíc pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem v prostoru. Pohybovat budeme posuvníkem vedle slova angle, což v překladu znamená úhel. Napravo můžeme velikost úhlu (v radiánech) sledovat. Pohybujeme se tentokrát na intervalu. Na zadní stěně se zeleně vykresluje graf funkce sin x a na spodní na podlaze potom červeně cos x. Zkuste si to 2 Studenti si zapnou program Mathematica a sami si to, co se právě dozvěděli, zkouší na počítačích. 4

5 Kvíz Rozdělíme studenty do dvou- až tříčlenných skupin. Každá skupina má 2 ipady. Na jednom si pustí aplikaci Quick Graph. V aplikaci Quick Graph kliknou na ikonu + a napíší y= sin (x). Následně potvrdí Done. Potom stejným způsobem zobrazí funkci y=cos (x). Pohybem prstů po obrazovce mohou sledovat i přibližovat a oddalovat průběh funkcí. Barva šipky vedle definice funkce odpovídá barvě grafu. (studenti si mohou barvu upravit, pokud kliknou na tuto barevnou šipku) 5

6 Na druhém ipadu si studenti pustí aplikaci Nearpod. Učitel na svém ipadu také. Učitel se přihlásí do kolonky TEACHER. Jako Username vyplní XXXXXXX a jako heslo YYYYYYY. Stiskne LOG IN. Z knihovny prezentací vybere Kvadratická funkce a stiskne LAUNCH. V následující nabídce nic nevyplní, jen stiskne Submit. V levém horním okraji se objeví PIN (např. FFDAJ) Tento PIN si studenti vyplní do svých ipadů a stisknou OK. Tím se učitelský a studentské ipady spojí do jedné pracovní skupiny. Vždy, když chce učitel poslat studentům novou práci, tiskne tlačítko SHARE. Učitel otevře prezentaci SinCosGrafy a zpřístupní ji pro student. Ti za pomocí obrázku na 1.iPadu odpovídají na otázky v kvízu. Na závěr učitel vyhodnotí, která skupina měla nejvíce bodů. 6

7 klíčová slova Sinus, sin, kosinus, cos, jednotková kružnice, graf funkce, 3D, vlastnosti goniometrických funkcí 7