VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta R
|
|
- Jindřich Neduchal
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta R 1.Nechť p, q, rjsoupolynomy,všechnymajístupeňroven n.pakpolynom má stupeň: a)vždyroven n 2, b)vždyroven2n, c)vždyroven n, d)nejvýšeroven n 2, + e)nejvýšeroven2n. p 2 + q r 2.Nechť A je čtvercová matice typu (n,n) a E je jednotková matice stejného typu. Sestavmetzv.adjungovanoumatici B =(b i,j ) typu(n,n)takto: b i,j =doplněkkmatici A vzhledemkpozici(j,i).pakplatí: a) A B=detA B 2, b) A 1 = B, + c) A B=detA E, d) A B=detB A T, e) A B=detA det B. Jakjevalgebředefinovánpojem souřadnicevzhledemkbázi? Vektor u R 3 mávzhledemkuspořádanébázi(b)= ( ( 1,2,0),(1,1,1),(1,1, 2) ) souřadnice(1, 1,2). Určetejehosouřadnicevzhledemkuspořádanébázi(C)= ( (1,0,1),(0,1,1),(1,1,0) ). Souřadnicevektoru xvzhledemkuspořádanébázi( b 1, b 2,..., b n )jsoukoeficientylineárníkombinacevektorů b 1, b 2,..., b n,kteráserovnávektoru x.koeficientyjsouuspořádánypodleindexůbázových vektorů.druháčást:vektormásložky(0,3, 5)ajehosouřadnicevzhledemk(C)jsou( 4, 1,4). Pro všechna a R řešte soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticí soustavy a a determinant (a+6)(a 1),nemářešenípro a= 6.Pro a=1jeřešení(1,1,1)+t( 1,4,3) (t R),proostatnípřípady( 2a+7 a+6, 1 a+6, 1 a+6 ).
2 VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta S 1.Opětivektorech x 1, x 2,..., x 5 lineárníhoprostoru dimenze 7 víme, že jsou lineárně závislé, dále všechny čtveřice těchto vektorů jsou lin. závislé, existují závislé i nezávislé trojice těchto vektorů a tyto vektory jsou po dvou lineárně nezávislé. Platí: a)dim x 1, x 2,..., x 5 =5, b)dim x 1, x 2,..., x 5 =4, + c)dim x 1, x 2,..., x 5 =3, d)dim x 1, x 2,..., x 5 =2, e)dim x 1, x 2,..., x 5 nelzeurčit. 2. Nechť A je čtvercová matice. Nenulová matice B,prokterouplatí AB= BA, a) existuje jen pro nulovou matici A. b)existujejenprosingulárnímatice Aatakovýchmatic Bmůžebýtvíce. c) je jakákoliv čvercová matice stejného typu jako A. d) existuje právě jedna pro regulární matici A. + e) existuje pro jakoukoli čtvercovou matici Aatakovýchmatic Bjevždynekonečně mnoho. Uveďtealgoritmusprovyhodnocenílineárnínezávislosti mvektorůzr n (m n). Pro jaké hodnoty parametru a jsou následující vektory lineárně nezávislé? (1,1,a),(2,a, 4),(2,1+a,2a) Vektory jsou LN, právě když hodnost matice(kde jsou vektory zapsány v řádcích) je rovna počtuřádků.při m=njsoulnprávěkdyždeterminanttétomaticejerůznýodnuly.druháčást: det=2a 2 +2a 4=2(a+2)(a 1),nezávislépro a R \ {1, 2}. Najděte všechny matice X, které vyhovují maticové rovnici AX = B. A= , B= X= 1 2 +t u , t,u R
3 VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta T 1.Nechťlineárnízobrazení A:L 1 L 2 mámatici Avzhledemkbázím(B)a(C)amámatici A vzhledemkbázím(b )a(c ).Nechťtyto matice mají m řádků a n sloupců. Pak a)hoda=m n, +b)hoda=hoda, c)def A=m hoda d)diml 1 =def A hoda, e)diml 2 =def A+hodA. 2. Předpokládejme existenci k lineárně nezávislých vektorů lineárního prostoru L. Pak a)diml < k, b)diml k, c)diml=k, +d)diml k, e)diml > k. Definujte kořen a násobnost kořene polynomu. Určetenásobnostkořene α=2propolynom P(x)=x 6 4x 5 +6x 4 8x 3 +9x 2 4x+4 a tento polynom rozložte na součin ireducibilních(dále nerozložitelných) reálných polynomů. Kořenpolynomu pjekomplexníčíslo α,prokteréje p(α)=0.násobnostkořenejenejvětšítakové přirozené k,prokteréje p(x)=(x α) k q(x),kde qjepolynom.druháčást: P(x)=(x 2) 2 (x 2 +1) 2 Pro všechna p R řešte soustavu lineárních rovnic s maticí soustavy A A= p p Pro p 5soustavanemářešení,pro p=5jeřešení(1,0, 1,0)+ ( 6, 7,0,5),( 1,3,5,0).
4 VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta U 1.Je-lidefinovánonásobenímatic A Bi B C, pak a)matice AaCspolukomutují, b)matice A, Ba Cjsounutněčtvercové, c)matice A, Ba C musejímítstejnouhodnost, d)matice A B a B C musejíbýtstejného typu, + e)početsloupcůmatice Asenemusírovnat počtu řádků matice C. 2. Vektor u lineárního prostoru L dimenze 2 mávzhledemkuspořádanébázi( b 1, b 2 )souřadnice (α 1,α 2 ). Jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi ( b 1 +2 b 2, b 2 +2 b 1 ) pak jsou a)(α 1 +2α 2, α 2 +2α 1 ), b) ( (α 1 +2α 2 )/2,(α 2 +2α 1 )/2 ), + c) ( ( α 1 +2α 2 )/3,( α 2 +2α 1 )/3 ), d) ( (α 1 2α 2 )/4,(α 2 2α 1 )/4 ), e)jinénežzdeuvedené. Podle čeho poznáme, že je dané zobrazení lineární? Nechť M je lineární prostor matic typu(2, 2). Ověřte, že A:M M,kterétransponujematici(tj. A(A)=A T ),jelineární.najdětebázijehojádraaurčete jeho defekt. Prozobrazení Amusíplatit A(x+y)=A(x)+A(y)aA(αx)=αA(x).Druháčást:jádroje triviální, defekt je roven 0 Najděte všechny matice X, které vyhovují maticové rovnici AX = B. A= , B= X= t u , t,u R.
5 VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta V 1. Existuje komplexní kořen α polynomu p, pro který platí, že α není kořenem polynomu p. Toto tvrzení platí za předpokladu, že a) polynom p je nulový, b) koeficienty polynomu p jsou celá čísla, c) reálný polynom p nemá koeficienty zapsány pomocí odmocnin, + d) alespoň jeden koeficient polynomu p není reálný, e) p je libovolný polynom. 2. Homogenní soustava lineárních rovnic má matici Asmřádky,ansloupci.Množinuvšech jejích řešení označme U. Platí +a)dimu+hoda=n, b)dimu+hoda=m, c)dimu+hoda=m+n, d)dimu+hoda=n m, e)dimu+hoda=m n. Proč množina matic komutujících s pevně danou čtvercovou maticí tvoří lineární podprostor? Najděte bázi podprostoru všech komutujících matic s maticí ( ) 0 2 A=. 3 0 Označme M množinukomutujícíchmaticsmaticí A.Nechť B,C M,tedy BA=AB a CA=AC.Pak(B+ C)A=BA+CA=AB+ AC= A(B+ C),takže B+ C M Také(αB)A= α(ba)=α(ab)=a(αb),takže αb M.Ztohoplyne,že Mjelineárnípodprostor.Druháčást:báze jenapř. {A,E}. Pro všechna a R řešte soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticí soustavy a a determinant(a+7)(a 1),nemářešenípro a= 7.Pro a=1je(0,2,1)+t( 3,5,1)(t R), jinak( 6 a+7, 6 a+7,3a+3 a+7 ).
6 VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta W 1. Předpokládejme polynom p s reálnými koeficientystupně2 14.Tentopolynommávždy a) všechny kořeny reálné, b) aspoň jeden kořen reálný, c) aspoň jeden kořen nulový, d)2 14 vzájemněrůznýchkořenů. + e) kořeny reálné a/nebo po dvou komplexně sdružené. 2.Nechťmatice Ajetypu(n,n).Platí a)det(a+a)=2det A, +b)det(a+a)=2 n det A, c)det(a A T )=0, d)det(a A T )=( 1) n det A, e)det(a T )=( 1) n det A. Definujte lineární obal konečné skupiny vektorů z lineárního prostoru L. Určete,projakouhodnotuparametru p Rležípolynom3x 2 +2x 1uvnitřlineárníhoobalupolynomů: px 2 2x+1,(px) 2 + x+p 1. Postup výpočtu zdůvodněte. x 1, x 2,..., x n ={α 1 x 1 +α 2 x 2 + +α n x n,α i R}.Druháčást: p= 3, p=1/2.přivýpočtu lzemístodanýchpolynomůpracovatsuspořádanýmitrojicemijejichsouřadnicvzhledemkbázi(x 2,x,1), protože zobrazení souřadnic je izomorfismus(pokud jste tak postupovali, je potřeba tuto vlastnost uvést). VektoryvobalujsouLN,takžejdeotozjistit,prokterá p RjsoutřizadanévektoryLZ. Najděte všechny matice X, které vyhovují maticové rovnici AX = B A= 1 2 2, B= X= 1 2 +t u , t,u R
7 VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta X 1.Předpokládejme kvektorů x 1, x 2,..., x k vlineárnímprostoru Ldimenze n.nechť k > n. Pakvektory x 1, x 2,..., x k a) mohou tvořit bázi lin. prostoru L, b) mohou být lineárně nezávislé, + c)jejichlineárníobalmůžebýtroven L, d) jejich netriviální lineární kombinace je vždy nenulová, e) mají nutně nenulové souřadnice. 2.Nechť A : L 1 L 2,aB : L 2 L 3 jsou lineární zobrazení, diml 1 = diml 3 = 7, dim L 2 =9.Pak a) složené zobrazení B A musí mít hodnost 9, b)složené zobrazení B A musí mít hodnost 7 c)jemožné,že B Amádefektvětšínež9, +d)jemožné,že B Ajeizomorfismus, e)jemožné,že B Anenílineární. Co je rozklad polynomu na ireducibilní(dále nerozložitelné) polynomy? Na součin ireducibilních reálných polynomů rozložte polynom P(x)=x 6 +4x 5 +8x 4 +20x 3 +19x 2 +16x+12. Rozklad polynomu na ireducibilní polynomy je zápis polynomu jako součin polynomů co nejnižšíchstupňů.druháčást: P(x)=(x+1)(x+3)(x 2 +1)(x 2 +4) Pro všechna p R řešte soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticí soustavy p p 4 Pro p 4nemářešení,jinakřešenímje(2/3,2/3, 8/3,0)+ (2,2,7,3).
8 VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta Y 1.Nechť u, v, wjsoulineárněnezávislévektoryv lineárnímprostoru L.Označme M = u, v a N= w.pak a) M Njeprázdnámnožina, +b) M Njejednoprvkovámnožina, c) M N je nekonečný lineární podprostor, d) M Nnenípodprostorlin.prostoru L, e) M Njepodprostorlin.prostoru L. 2.Nechť AjelibovolnáčtvercovámaticeaEje jednotková matice stejného typu. Vyberte tvrzení, které neplatí: a)matice A 2 komutujesmaticí A, b)matice A+Ekomutujesmaticí A, c)matice 1 2A Ekomutujesmaticí A, d)pokudexistujematice A 1,pakkomutuje smaticí A, + e)matice A T komutujesmaticí A. Jak je definována báze B lineárního prostoru L? Zjistěte,zda B 1 = {(2,5,0),(1,6, 2)}aB 2 = {( 1,8, 6),(3,4,2)}jsoubázetéhožpodprostoruprostoruR 3.Jestližeano,najdětesouřadnicevektorůbáze B 1 vzhledemkuspořádanébázi(b 2 ). Báze Blineárníhoprostoru Ljelineárněnezávislámnožina B,prokterouje B =L.Druháčást:Jsou tobázestejnéhopodprostoru.symbolem C( x)jsouzdeoznačenysouřadnicevektoru xvzhledemk(b 2 ). C(2,5,0)=(1/4,3/4), C(1,6, 2)=(1/2,1/2). Najděte všechny matice X, které vyhovují maticové rovnici AX = B. A= , B= X= 1 2 +t u , t,u R.
9 VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta Z 1.Nechť Mjemnožinapětivektorů(zlineárního prostoru L) takových, že žádný není násobkem jinéhovektoruztétomnožiny M.Pak a)dim M =5, b)dim M =4, c)dim M =2, +d)dim M {2,3,4,5}, e)dim M =0. 2.Nechť A jematice,kterávzniknezečtvercové matice A konečně mnoha řádkovými úpravami Gaussovou eliminační metodou. Pak a)existujeregulárnímatice P,že A = A P, b)matice Akomutujesmaticí A, c)matice A jejednotkovámatice, +d)existujeregulárnímatice Q,že A = Q A, e)existujeregulárnímatice P,že A = P A P 1. Jak jsou definovány souřadnice vektoru vzhledem k uspořádané bázi? Vektor xmásouřadnice(3,2,1)vzhledemkbázi ( (1,2,3),(1,3,2),(2,1,0) ).Najdětejehosouřadnice vzhledemkbázi ( (1,1,0),(0,1,1),(2,1,0) ). Souřadnice daného vektoru vzhledem k bázi jsou koeficienty lineární kombinace této báze, která je rovna danému vektoru. x=(7,13,13),másouřadnice( 7,13,7)vzhledemkbázi ( (1,1,0),(0,1,1),(2,1,0) ). Pro všechna p R řešte soustavu homogenních lineárních rovnic s maticí soustavy p2 1 (p 1) p p 1 Determinantsoustavyje7p 3,tj.pro p { 3 7 }másoustavajedinéřešení:(0,0,0).pro p= 3 7 jeřešení (7,21,39).
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta R. + c)det A= 3det B, d)det A= 6det B, e)det A=6detB.
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(14. 4. 2010), varianta R 1. Které z následujících tvrzení je pravdivé? a) Každý polynom má aspoň jeden komplexní kořen. + b) Existují polynomy, které nemají žádný
Víceα 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0
Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VícePolynomy. Matice a determinanty. 1. Rozložte na součin kořenových činitelů polynom. P(x) = x 4 6x Řešení: x 4 6x 2 +8 = (x+2)(x 2)(x+ 2)(x 2)
Polynomy 1 Rozložte na součin kořenových činitelů polynom P(x = x 4 6x 2 +8 x 4 6x 2 +8 = (x+2(x 2(x+ 2(x 2 2 Rozložte na součin ireducibilních reálných polynomů polynom P(x = x 6 64 x 6 64 = (x 2(x 2
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Vícea + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceJedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
VíceMatematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
VíceA0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení)
A0B0LAA Lineární algebra a aplikace příklady na cvičení- řešení Martin Hadrava martin@hadrava.eu. ledna 0.týdenod9.9. Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou diskuse počtu řešení..
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceVĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceNALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
Víceftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Vícez textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceMatice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Vícetěchto písemek (bez řešení) najdete na (odkazy v posledních dvou odstavcích před sekcí Literatura ).
Vážení studenti, předkládám vám zde vzorová řešení písemek, které proběhly letos v semestru, a také řešení vzorové písemky. Zadání těchto písemek (bez řešení) najdete na http://math.feld.cvut.cz/0educ/pozad/y01alg.htm
VíceŘešené úlohy z Úvodu do algebry 1
Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceObsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
VíceSoustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Více1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
VícePodobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,
Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace
VíceÚlohykpřednášceNMAG101a120: Lineární algebra a geometrie 1,
ÚlohykpřednášceNMAGa: Lineární algebra a geometrie 5 Verzezedne9.prosince Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se budou
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Více2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
VíceUspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
VíceKapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
VíceV: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
Více7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Více(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.
(1 [B] Nechť A : R 6 R 6 je lineární zobrazební takové, že A 26 = I. Najděte lineární prostory V 1, V 2 a V 3 takové, že R 6 = V 1 V 2 V 3 dim V 1 = dim V 2 = dim V 3 AV 1 V 1, AV 2 V 2 a AV 3 V 3 (2 [B]
VíceOkruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a
Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i
VíceTransformace souřadnic
Transformace souřadnic Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 8.2 a 8.3 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 1/17 Minulá přednáška
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8
1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace
VíceŘešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1
Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném
VíceVektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u)
Hodnost matice Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Více2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice
26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceLineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
VíceSoustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
Více(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.
Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Více