VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta R. + c)det A= 3det B, d)det A= 6det B, e)det A=6detB.

Transkript

1 VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta R 1. Které z následujících tvrzení je pravdivé? a) Každý polynom má aspoň jeden komplexní kořen. + b) Existují polynomy, které nemají žádný komplexní kořen. c) Nulový polynom nemá kořen. d) Polynom stupně n s reálnými koeficienty má nreálnýchkořenů. e) Existují polynomy stupně aspoň pátého, které nemají žádný komplexní kořen. 2.Matice Bvzniklazmatice Atypu(5,5)následujícím postupem. Nejprve jsme prohodili v matici A první řádek s třetím, pak jsme přičetli dvojnásobek čtvrtého sloupce k prvnímu sloupci a nakonec jsme vydělili pátý řádek třemi. Platí a)det A= (1/3)detB, b)det A= (2/3)detB, + c)det A= 3det B, d)det A= 6det B, e)det A=6detB. Najděte p R,prokteréjsoumnožiny Ma NvektorůzR 3 shodné. p=5. M= (4,2,6),(1,3,2),(p,p,8), N= {t(3,4, p)+ u(4,7,7); t, u R} Pro všechna a R řešte soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticí soustavy 1 a 1 1 a a determinant 3a(a+2),nemářešenípro a= 2,(1,0,0)+t( 2,1,2)(t R)pro a=0, 1 (0, a+2, 2 a+2 )jinak.

2 VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta S 1.Jedáno klibovolnýchvektorůzr n.tytovektory +a)jsoulineárnězávislé,je-li k > n, b)jsoulineárnězávislé,je-li k < n, c)pro k=ntvoříbáziprostorur n, d)jsoulineárněnezávislépro k > n, e)jsoulineárněnezávislépro k < n. 2.Nechť AječtvercovámaticeaEjejednotková matice stejného typu. Matice B, pro kterou platí AB= BA=E, a) existuje pro všechny nenulové matice A. b)existujejenproregulárnímatice Aatakovýchmatic Bmůžebýtvíce. c) nexistuje v žádném případě. + d) existuje právě jedna pro regulární matici A. e)existujejenzapředpokladu,že A=E.Pak také B= E. Najdětesouřadnicevektoru x R 2 vzhledemkuspořádanébázi(b)=((3,7),(1,2)).vektor xjedán svýmisouřadnicemi( 1,2)vzhledemkuspořádanébázi(C)=((2,1),(3,3)). x=(4,5)amásouřadnice( 3,13)vzhledemk(B). Pro všechna p R řešte soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticí soustavy p p p p 1 0 p 1 1 p (p 1)(p+2) p 1 Pro p= 2nemářešení.Pro p=1jeřešení(1,0,0)+ ( 1,1,0),( 1,0,1).Projiná pjeřešením ( 1 p+2, 1 p+2, 1 p+2 ).

3 VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta T 1. Nechť matice lineárního zobrazení A vzhledem kbázím(b)a(c)má mřádků, nsloupcůa tatomaticemáhodnost h.pak a)def A=m n, b)def A=m h, + c)def A=n h, d)def A=m+n h, e) def A nelze z uvedených informací určit. 2. Uvažujte k libovolných vektorů lineárního prostoru L,dimL=n.Tytovektory a)jsoulineárněnezávislépro k > n, b)jsoulineárněnezávislépro k < n. c)pro k=ntvoříbáziprostoru L, +d)jsoulineárnězávislé,je-li k > n, e)jsoulineárnězávislé,je-li k < n, Najděte všechny kořeny(včetně násobností) polynomu P(x), víte-li, že jeho kořenem je komplexní číslo 1+i. P(x)=x 5 7x 4 x 3 +9x 2 12x 14 Jednonásobnékořeny1+i,1 i,7,dvojnásobnýkořen 1. Pro všechna p R řešte soustavu homogenních lineárních rovnic s maticí soustavy A p 5 2 A= p 3 Pro p 3soustavamájennulovéřešení.Pro p=3jeřešením (11, 7,1).

4 VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta U 1.Je-lidefinovánonásobenímatic A BiB A, pak a)matice AaBspolukomutují, b)matice AaBjsounutněčtvercové, c)matice AaBmusímítstejnouhodnost, +d)matice A Ba B Anemusejíbýtstejného typu, e)početřádkůmatic A Ba B Amusíbýt shodný. 2. Vektor u lineárního prostoru L dimenze 3 má vzhledemkuspořádanébázi( b 1, b 2, b 3 )souřadnice (α 1, α 2, α 3 ). Jeho souřadnice vzhledemkuspořádanébázi( b 1 + b 2, b 2 + b 3, b 3 + b 1 ) pak jsou a)(α 1 + α 2, α 2 + α 3, α 3 + α 1 ), b) ( (α 1 + α 2 )/2,(α 2 + α 3 )/2,(α 3 + α 1 )/2 ), + c) ( (α 1 + α 2 α 3 )/2,( α 1 + α 2 + α 3 )/2, (α 3 α 2 + α 1 )/2 ), d)(α 1 + α 3, α 1 + α 3, α 2 + α 3 ), e)jinénežzdeuvedené. Podlečehopoznáme,žejedanézobrazenílineární?Nechť P 2 jelineárníprostorpolynomůnejvýšedruhého stupně.ověřte,že A:P 2 P 2,kteréderivujepolynomy(tj. A(p)=p ),jelineární.najdětebázijeho jádra a určete jeho defekt. báze jádra obsahuje nenulovou konstantu, defekt je roven jedné Pro všechna p R řešte soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticí soustavy p p Pro p=2jeřešení(0, 1,0,0)+t(0, 8, 3,1)+u(1,2,0,0),kde t, u R.Pro p 2navícmusí u=0.

5 VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta V 1.Pro každý komplexní kořen polynomu p má tento polynom i kořen komplexně sdružený. Toto tvrzení platí za předpokladu, že a) polynom p je nenulový, b) reálné i imaginární části koeficientů polynomu p jsou celá čísla, c) polynom p nemá koeficienty zapsány pomocí odmocnin, + d) koeficienty polynomu p jsou reálné, e) tvrzení platí pro libovolný polynom p. 2.Nechť AjelibovolnáčtvercovámaticeaEje jednotková matice stejného typu. Vyberte tvrzení, které neplatí: + a) Všechny matice B, které vznikly eliminací matice A,komutujísmaticí A, b)matice A 3 komutujesmaticí A, c)matice A 2 + Ekomutujesmaticí A, d)matice 1 2A Ekomutujesmaticí A, e)pokudexistujematice A 1 +3E,pakkomutujesmaticí A. Jedánlineárníobal M= (1,2,3),(4,8,12),(7,8,a) alineárnízobrazení A:R 3 Rpředpisem Prokterá a RjeKerA=M? a=3. A(x 1, x 2, x 3 )=3x 1 3x 2 + x 3. Najdětevšechna p R,proněžmánenulovéřešenímaticovárovnice AX = px,kde X jeneznámá matice typu(3,1) a A= Aspoň pro jednu z těchto hodnot p řešení vypočtěte. (A pe) X=0,maticesoustavyje: 1 p p p Determinatsoustavyje p(p 3) 2.Netriv.řešeníhledámepro p=0:řešeníje t(4,4,1) T.Dálepro p=3 jeřešením t(1, 2,1) T,kde t R.