Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace"

Transkript

1 Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1

2 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je dán lineární operátor A L(R 2 ) a jeho matice ve standardní bázi A = E 2 A. Geometrická motivace 1/2 Pokusme se najít všechny přímky p v R 2 procházející počátkem takové, že Ap = p. Označíme-li u R 2 směrový vektor přímky p, platí p = u a u θ. Podmínka Ap = p je splněna tehdy a jenom tehdy, existuje-li λ R tak, že Au = λu. K zadané matici A tedy hledáme dvojici (λ, u), kde λ je číslo a u je nenulový vektor tak, aby platilo Au = λu. Má-li aspoň jedna hledaná přímka p existovat, musí mít homogenní soustava s maticí A λe nenulové řešení. Tedy matice A λe musí být singulární, tzn. det(a λe) = 0. Geometrická motivace 2/2 det(a λe) je polynom 2. stupně v proměnné λ. Pokud má dva různé reálné kořeny λ 1 a λ 2, existují i dvě nenulová řešení u 1 a u 2 homogenních soustav s maticemi A λ 1 E a A λ 2 E. Nalezneme tak dvě přímky p i = u i takové, že Ap i = p i, i {1, 2}. Ilustrujte si tento případ na příkladě, kde A je operátor zrcadlení podle nějaké přímky v R 2. (Přímky nejprve uhádněte, potom spočítejte!) Polynom det(a λe) ale nemusí mít vůbec žádné realné kořeny. V takovém případě neexistuje žádná přímka p v R 2 taková, že Ap = p. Ilustrujte si tento případ na příkladě, kde A je operátor rotace o úhel ϕ (0, π) v R 2.

3 3 V celé této kapitole budeme pracovat v tělese komplexních čísel T = C. Vlastní čísla a vektory operátoru Definice 1. Řekneme, že λ C je vlastní číslo operátoru A L(V ) právě když existuje x V, x θ, takový, že Ax = λx. Vektor x pak nazýváme vlastním vektorem operátoru A příslušejícím vlastnímu číslu λ. Množinu všech vlastních čísel A nazýváme spektrem A a značíme σ(a). Poznámka 2. Víme, že na matici A C n,n se můžeme dívat také jako na lineární zobrazení A : C n C n : x A x. Zcela analogicky bychom proto definovali vlastní čísla, vektory a spektrum matice A C n,n. (Definici si napište!) Také následující věty vyslovené pro operátory platí ve stejném znění i pro matice (je to speciálním případ). pod- Invariatní prostor Definice 3. Nechť A L(V ) a P V. Říkáme, že P je invariatní podprostor vzhledem k operátoru A právě když A(P ) P. Pro vlastní číslo λ operátoru A s vlastním vektorem x platí: Odtud vidíme, že Ax = λx Ax λx = θ (A λe)x = θ. {vlastní vektory operátoru A příslušející vlastnímu číslu λ} = ker(a λe)\{θ} Prostor ker(a λe) nazýváme vlastní podprostor operátoru A příslušející vlastnímu číslu λ. Věta 4. Nechť A L(V ), λ σ(a). Vlastní podprostor operátoru A příslušející vlastnímu číslu λ je invariatním podprostorem vzhledem k A. Důkaz. Buď x ker(a λe), potom Ax = λx, a tedy Ax ker(a λe). Soubor vlastních vektorů k různým vlastním číslům je LN

4 4 Věta 5. Nechť A L(V ), λ 1,..., λ k jsou navzájem různá vlastní čísla A, x i je vlastní vektor A příslušející vlastnímu číslu λ i, i ˆk. Potom soubor (x 1,..., x k ) je LN. Důkaz. Pro k = 1 je tvrzení triviální. Pro k 2 provedeme důkaz sporem. Předpokládejme soubor (x 1,..., x k ) je LZ. Potom l ˆk takový, že x l x 1,..., x l 1 a současně (x 1,..., x l ) je LN. (Rozmyslete!) Existují tedy α 1,..., α l 1 C tak, že Platí: Současně také Dostáváme tedy l 1 Ax l = A α i x i = l 1 x l = α i x i. l 1 l 1 α i Ax i = α i λ i x i. l 1 Ax l = λ l x l = α i λ l x i. l 1 θ = α i (λ i λ l )x i. Protože x l θ, musí j {1,..., l 1} tak, že α j 0 a navíc podle předpokladu je λ l λ i pro i {1,..., l 1}. Našli jsme tedy netriviální lineární kombinaci LN souboru (x 1,..., x l 1 ) rovnající se nulovému vektoru, což je spor. Pozorování: Nechť A L(V n ) a X je báze V n. Označme Charakteristický polynom p A (λ) := det X (A λe). Potom p A je polynom stupně n a nezávisí na volbě báze X. Důkaz. Označme ( X A) ij = a ij. Protože X E = E máme a 11 λ a a 1n a 21 a 22 λ... a 2n p A (λ) =.... a n1 a n2... a nn λ

5 5 Potom z definice determinantu vyplývá, že p A (λ) je polynom v proměnné λ stupně n, neboť koeficient u λ n je ( 1) n (a vyšší mocnina λ se ve výrazu vyskytovat nemůže). Buď Y nějaká další báze V n, potom víme, že X (A λe) = Y P 1 X Y(A λe) YP X. Aplikujeme-li determinant na obě strany rovnosti dostaneme a protože det Y P 1 X det X (A λe) = det Y P 1 X det Y (A λe) det Y P X, = 1/ det YP X je det X (A λe) = det Y (A λe). Tedy definice polynomu p A nezávisí na volbě báze V n. Definice 6. Polynom p A z předchozího pozorování nazýváme charakteristickým polynomem operátoru A. Věta 7. Nechť A L(V n ). Potom σ(a) a platí σ(a) = p 1 A ({0}) {λ C p A(λ) = 0}. Důkaz. Nejprve dokážeme rovnost mezi σ(a) a p 1 A ({0}): 1. : Nechť λ 0 σ(a). Potom ( x V n )(x θ)(ax = λ 0 x). Tedy Ax λ 0 x = θ, nebo-li (A λ 0 E)x = θ x ker(a λ 0 E) (A λ 0 E) není prosté (A λ 0 E) není bijekce X (A λ 0 E) není regulární p A (λ 0 ) = det X (A λ 0 E) = : Nechť λ 0 p 1 A ({0}) det X (A λ 0 E) = 0 X (A λ 0 E) není regulární (A λ 0 E) není bijekce (A λ 0 E) není prosté. Proto existuje θ ker(a λ 0 E), nebo-li Ax = λ 0 x λ 0 σ(a). Neprázdnost množiny σ(a) nyní vyplývá ze základní věty algebry, protože stupeň polynomu p A je n 1. Důsledek 8. Spektrum operátoru A L(V n ) je rovno spektru matice zobrazení A v libovolné bázi X prostoru V n, tj. σ(a) = σ( X A). Příklad 1/2

6 6 Najdeme vlastní čísla a vlastní vektory matice A = (nebo operátoru, kde A je jeho matice vzhledem k nějaké bázi). Spočítáme charateristický polynom: p A (λ) = det(a λe) = (λ 2)(λ 3) 2. Kořeny p A jsou λ 1 = 2 (jednoduchý) a λ 2 = 3 (dvojnásobný). Dostáváme tedy σ(a) = {2, 3}. Příklad 2/2 Vlastní vektory A k vlastnímu číslu λ 1 = 2 jsou všechna nenulová řešení soustavy (A 2E)x = θ. Po výpočtu dostaneme množinu řešení jako ( 2, 1, 4), což je vlastní podprostor A příslušející vlastnímu číslu λ 1 = 2. Příslušný vlastní vektor je libovolné θ x 1 ( 2, 1, 4). Podobně pro nalezení vlastních vektorů A k vlastnímu číslu λ 2 = 3 řešíme homogenní soustavu s maticí A 3E a vyjde nám (1, 1, 0), ( 1, 0, 1). Vlastní podprostor A příslušející vlastnímu číslu λ 2 = 3 má tedy dimenzi 2 a vlastní vektor je libovolné θ x 2 (1, 1, 0), ( 1, 0, 1). Ověřte, že pro vlastní vektory skutečně platí: Ax 1 = 2x 1 a Ax 2 = 3x 2. Ještě jeden příklad Najdeme vlastní čísla a vlastní vektory matice B =

7 7 Postupujeme stejně jako v předchozím příkladě a dostáváme p B (λ) = det(b λe) = (λ 2)(λ 3) 2. Proto σ(b) = {2, 3}, ale vlastní podprostory nám nyní vyjdou: λ 1 = 2 : ker(b 2E) = (0, 3, 4), λ 2 = 3 : ker(b 3E) = (1, 1, 1). Tedy matice A a B mají stejná spektra a charakteristické polynomy, ale různé vlastní podprostory. Definice 9. Nechť A L(V n ), λ 0 σ(a). Násobnost čísla λ 0 jako kořene charakteristického polynomu p A operátoru A nazýváme algebaickou násobností vlastního čísla λ 0 a značíme ji ν a (λ 0 ). Číslo d(a λ 0 E) nazýváme geometrickou násobností vlastního čísla λ 0 a značíme ji ν g (λ 0 ). Poznámka 10. Číslo ν g (λ 0 ) je tedy počet LN vlastních vektorů k vlastnímu číslu λ 0. Věta 11. Nechť A L(V n ), λ 0 σ(a). Potom ν g (λ 0 ) ν a (λ 0 ). Důkaz. Označme ν g (λ 0 ) = k. Nechť (x 1,..., x k ) je báze vlastního podprostoru ker(a λ 0 E). Doplňme soubor (x 1,..., x k ) na bázi V n, tedy X = (x 1,..., x k, x k+1,..., x n ) je báze V n. Potom platí λ a 1,k+1... a 1,n 0 λ a 2,k+1... a 2,n X A =, λ 0 a k,k+1... a k,n a n,k+1... a n,n Dvě různé násobnosti vlastních čísel

8 8 a proto p A (λ) = det X (A λe) = det( X A λe) λ 0 λ a 1,k+1... a 1,n 0 λ 0 λ... 0 a 2,k+1... a 2,n = λ 0 λ a k,k+1... a k,n a n,k+1... a n,n λ = (λ 0 λ) k q(λ), kde q je polynom. Dostali jsme tedy p A (λ) = (λ 0 λ) k q(λ), z čehož vyplývá, že λ 0 je alespoň k-násobný kořen p A. Proto ν g (λ 0 ) = k ν a (λ 0 ) Diagonalizace operátoru Podobné matice Idea: Chtěli bychom říct, že dvě matice A, B C n,n jsou podobné, jsou-li to matice téhož operátoru A na nějakém LP v různých bázích. Definice 12. Matice A, B C n,n nazveme podobné, právě když existuje P C n,n regulární tak, že platí A = P 1 BP. Značíme A B. (Cvičení: Ověřte, že je relace ekvivalence na prostoru C n,n.) Věta 13. Nechť A, B C n,n. Potom A B právě tehdy, když existuje operátor A L(V n ) a dvě báze X, Y takové, že X A = A a Y A = B. Důkaz.

9 9 1. ( ) : Nechť A, B C n,n a A B. Položme V n := C n a definujme A L(C n ) takové, že ( i ˆn)(Ae i := A,i ), kde opět e i, i ˆn, značí vektory standardní báze C n. Potom En A = A, tedy v tvrzení věty je X := E n. Definujme bázi Y jako soubor sloupců matice P 1 z relace podobnosti: A = P 1 BP. Potom P 1 = X P Y a platí B = PAP 1 = X P 1 Y X A X P Y = Y A. 2. ( ) : Nechť naopak existuje operátor A L(V n ) a dvě báze X, Y prostoru V n takové, že X A = A a Y A = B. Potom stačí položit P := Y P X a platí A = X A = Y PX 1 YA YP X = P 1 BP, tedy A B. Diagonalizace operátoru Definice 14. Operátor A L(V n ) nazveme diagonalizovatelný, jestliže existuje báze X prostoru V n taková, že matice X A je diagonalní. Věta 15 (o diagonalizovatelnosti). Operátor A L(V n ) je diagonalizovatelný právě když ( λ 0 σ(a) )( ν a (λ 0 ) = ν g (λ 0 ) ). Důkaz. 1. ( ) : Nechť X je báze V n taková, že X A = diag(α 1,..., α n ). Potom n p A (λ) = det( X A λe) = det diag(α 1 λ,..., α n λ) = (α i λ), tedy σ(a) = {α i i ˆn}. Nechť ν a (λ 0 ) = k pro nějaké λ 0 σ(a). Potom ( i 1,... i k ˆn)(α i1 = = α ik = λ 0 ).

10 10 Pro geometrickou násobnost platí podle 2. věty o dimenzi ν g (λ 0 ) = d(a λ 0 E) = n h(a λ 0 E) = n h( X A λ 0 E). Matice X A λ 0 E je diagonalní a právě na k místech na diagonále (s indexy i 1,... i k ) má nuly. Hodnost této matice je tedy n k a ν g (λ 0 ) = k. 2. ( ) : Hledanou bázi X, v níž je X A diagonální, zkonstruujeme. Buďte λ 1,..., λ k navzájem různá vlastní čísla operátoru A. Jejich algebaické násobnosti označme l 1,..., l k, potom k l i = n. Nechť (x (i) 1,..., x(i) l i ) je LN soubor vlastních vektorů příslušející vlastnímu číslu λ i, i ˆk. Jejich počet je skutečně l i, neboť podle předpokladu dim(ker(a λ i E)) ν g (λ i ) = ν a (λ i ) = l i. Sestavme ze všech vektorů {(x (i) 1,..., x(i) ) i ˆk} soubor l i X = (x (1) 1,..., x(1) l 1, x (2) 1,..., x(2) l 2,..., x (k) 1,..., x(k) l k ). Z konstrukce je zřejmé, že je-li soubor X báze V n, je matice X A diagonalní. Přesněji, X A = diag(λ 1,..., λ }{{ 1, λ } 2,..., λ 2,..., λ }{{} k,..., λ k ). }{{} l 1 krát l 2 krát l k krát Zbývá nám tedy dokázat, že X je báze V n. Protože je X n-členný soubor, stačí ukázat, že X je LN. Nechť l 1 α (1) i x (1) i + l 2 α (2) i x (2) i + + l k α (k) i x (k) i = θ. Všimněme si, že každá ze sum v předchozí rovnici představuje vlastní vektor příslušející jednomu vlastnímu číslu, nebo nulový vektor (neboť lineární kombinace vlastních vektorů příslušejících jednomu vlastnímu číslu je vlastní vektor příslušející tomuto číslu nebo nulový vektor). Předpokládejme, že alespoň jedna ze sum je nenulová. Pak ale rovnice představuje netriviální lineární kombinaci vlastních vektorů příslušejících různým vlastním číslům rovnající se nulovému vektoru. Soubor

11 11 těchto vlastních vektorů je, jak už víme, LN, a tedy dostáváme spor. Proto l j ( j ˆk) α (j) i x (j) i = θ. Protože je soubor (x (i) 1,..., x(i) l i ) LN, všechny koeficienty lineární kombinace výš musejí být nulové. Celkem tedy máme a proto je X LN. ( j ˆk)( i ˆl j )(α (j) i = 0), Důsledek 16. Nechť A L(V n ) a ( λ 0 σ(a) )( ν a (λ 0 ) = 1), potom je A diagonalizovatelný. Důkaz. Protože pro všechny λ 0 σ(a) platí 1 ν g (λ 0 ) ν a (λ 0 ) = 1, je ν g (λ 0 ) = ν a (λ 0 ) a tvrzení plyne z věty o diagonalizovatelnosti. Poznámka 17. Geometricky znamená rovnost X A = diag(λ 1,..., λ n ), že A působí jako operátor změny měřítka ve směrech, které udávají vlastní vektory X = (x 1,..., x n ). (Škálovací koeficient ve směru x i by byl vlastní číslo λ i.) Poznámka 18. Matice A chápaná jako operátor A na C n, A = En A, je podle předchozí definice diagonalizovatelná právě když je podobná diagonální matici. Matice P z relace podobnosti je rovna En P X, kde X je báze diagonalizující A. Jak jsme viděli v důkazu Věty o diagonalizovatelnosti matice P má ve sloupcích souřadnice vlastních vektorů a diagonální matice D X A má na digonále vlastní čísla A (v příslušném pořadí). Potom skutečně platí AP = PD, nebo-li D = P 1 AP. Příklad diagonalizovatelnost matic A a B Příklad: Uvažujme matice A, B z příkladů uvedených na začátku kapitoly. V případě matice A nám vyšlo ν a (2) = ν g (2) = 1 a ν a (3) = ν g (3) = 2. Proto je A diagonalizovatelná.

12 12 V případě matice B nám vyšlo ν a (2) = ν g (2) = 1, ale ν a (3) = 2 1 = ν g (3). Proto B diagonalizovatelná není. Z toho plyne, že A, B nejsou podobné matice ( je tranzitivní), ačkoliv měli stejný charateristický polynom a spektrum. Příklad pokračování Jak vypadá diagonální matice D a regulární matice P z relace podobnosti pro diagonalizovatelnou matici A? Do sloupců matice P stačí napsat vlastní vektory A a na diagonálu matice D vlastní čísla. V našem případě P = , D = Potom platí (Ověřte!) A = PDP 1. Kdybychom chtěli udělat podobnou konstrukci matice P pro matici B, zjistíme, že nemáme dost vlastních vektorů. Tj. vlastní vektory netvoří bázi C n. Cvičení Cvičení: Nechť A C n,n. 1. Vysvětlete, proč je det(a) roven součinu vlastních čísel matice A. 2. Vysvětlete, proč je det(a) roven absolutnímu členu charakteristického polynomu p A matice A. 3. Buď A diagonalizovatelná a nechť Vysvětlete, proč platí n p A (λ) = α i λ i. n p A (A) = α i A i = Θ. (Matice je kořenem svého charakteristického polynomu.)

13 13 Poznámka 19. Tvrzení 3. platí i bez předpokladu diagonalizovatelnosti matice A Funkce diagonalizovatelné matice Funkce matice Je-li matice A podobná diagonální matici D, A = P 1 DP můžeme definovat funkci matice (zatím umíme jenom polynomiální funkci matice). Skutečně, je-li f : C C, a D = diag(λ 1,..., λ n ). Definujeme nejprve funkci diagonální matice f(d) := diag(f(λ 1 ),..., f(λ n )). Pro definici f(a) využijeme vztahu A = P 1 DP a klademe f(a) := P 1 f(d)p. Nyní (teoreticky) umíme počítat sin(a), cos(a), exp(a),.... Nyní již víte, že řešením obyčejné diferenciální rovnice Maticová exponenciála motivace y = ay, y(0) = c je funkce y(t) = ce at. Podobně to funguje i v obecnějčím případě soustavy obyčejných diferenciálních rovnic tvaru y = A y, y(0) = c, kde y = (y 1,..., y n) T je sloupcový vektor derivací neznámých funkcí. Řešením je funkce y(t) = exp(ta) c, kde exp(ta) je matice, kterou umíme spočítat, je-li A diagonalizovatelná.

14 14 Vyřešíme soustavu obyčejných diferenciálních rovnic tvaru Maticová exponenciála příklad 1/2 x = 2x + y y = x + 2y s počáteční podmínkou x(0) = 1 a y(0) = 2. Soustavu můžeme přepat do maticového tvaru: ( ) ( ) ( ) ( ) x 2 1 x x(0) y =, = 1 2 y y(0) }{{} =A ( ) 1. 2 Spočítáme σ(a) = {1, 3}, vlastní vektror k 3 je (1, 1) a vlastní vektor k 1 je ( 1, 1). Potom dopočítáme ( ) 2 1 A = = 1 ( ) ( ) ( ) Z posledního vztahu dostáváme předpis pro exponenciálu matice ta: ( ) 2 1 exp(ta) = = 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 e 3t e t. 1 1 Maticová exponenciála příklad 2/2 Hledané řešení je potom ( ) x(t) = exp(ta) y(t) nebo-li dostáváme ( ) 1 = x(t) = 3 2 e3t 1 2 et, y(t) = 3 2 e3t et. ( ) 3e 3t e t 3e 3t + e t, Dosazením ověřte, že jsme skutečně nalezli řešení zadané soustavy.

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

18. První rozklad lineární transformace

18. První rozklad lineární transformace Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1 Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

Datum sestavení dokumentu: 9. srpna Lineární algebra 1

Datum sestavení dokumentu: 9. srpna Lineární algebra 1 Datum sestavení dokumentu: 9 srpna 22 Lineární algebra L ubomíra Balková e-mail: lubomirabalkova@fjficvutcz Slovo na úvod: Abstraktnost, logická výstavba a univerzálnost lineární algebry jsou výhodami

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

(u, v) u. v. cos φ =

(u, v) u. v. cos φ = LA 3. cvičení Ortogonalita, Gramm-Schmitův ortonormalizační proces Lukáš Pospíšil, Martin Hasal,2 Ortogonální systém vektorů Poznámka: Motivace - připomeňme si Kosinovu větu v obecném tvaru kde φ je úhel

Více

Afinní transformace Stručnější verze

Afinní transformace Stručnější verze [1] Afinní transformace Stručnější verze je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím body a vektory: afinní prostor využití například v počítačové grafice a)

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

Několik aplikací. Kapitola 12

Několik aplikací. Kapitola 12 Kapitola 12 Několik aplikací Diskrétní a rychlá Fourierova transformace Diskrétní Fourierova transformace spočívá ve změně reprezentace polynomu s koeficienty v nějakém tělese T Obvyklá reprezentace polynomu

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Lineární algebra : Úvod a opakování

Lineární algebra : Úvod a opakování Lineární algebra : Úvod a opakování (1. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 013/014 vytvořeno: 19. února 014, 13:15 1 0.1 Lineární prostory R a R 3 V této přednášce si na jednoduchém příkladu

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů

Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů Drsná matematika I 8. přednáška Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 15. 11. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Matice zobrazení 3 Vlastní

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

4 Lineární zobrazení. 4.1 Definice lineárního zobrazení

4 Lineární zobrazení. 4.1 Definice lineárního zobrazení 4 Lineární zobrazení Motivace. Diferenciální rovnice jsou partií matematiky, která má uplatnění ve fyzice, ekonomii, biologii, chemii atd. Prostě a jednoduše, vymyslete si jakýkoliv jev a je pravděpodobné,

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Kapitola 5. Symetrické matice

Kapitola 5. Symetrické matice Kapitola 5 Symetrické matice Symetrické matice mají mezi všemi maticemi významné postavení. Nejen, že se častěji vyskytují v aplikacích, ale i jejich matematické vlastnosti jsou specifické. V této kapitole

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

7. Soustavy ODR1 Studijní text. 7. Soustavy ODR1. A. Základní poznatky o soustavách ODR1

7. Soustavy ODR1 Studijní text. 7. Soustavy ODR1. A. Základní poznatky o soustavách ODR1 7 Soustavy ODR1 A Základní poznatky o soustavách ODR1 V inženýrské praxi se se soustavami diferenciálních rovnic setkáváme především v úlohách souvisejících s mechanikou Příkladem může být úloha popsat

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Algoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic

Algoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic Úvod Algoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic Bc. Martin Veselý Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra softwarového inženýrství v ekonomii Skupina aplikované matematiky a stochastiky

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více