Datum měření: , skupina: 9. v pondělí 13:30, klasifikace: Abstrakt

Transkript

1 Fyzikální praktikum 3. Měření Měření rezonanční křivky paralelního a vázaného rezonančního obvodu Tomáš Odstrčil, Tomáš Markovič Datum měření: , skupina: 9. v pondělí 13:30, klasifikace: Abstrakt V první části měření proměříme rezonanční křivku RLC obvodu v závislosti na frekvenci a potom na kapacitě. V další části určíme kapacitu neznámého kondenzátoru. Potom ověříme přesnost proměnného normálu Tesla porovnáním s normálem Ulrych. Na konec proměříme závislost napětí na frekvenci u vázaného RLC obvodu při různých stupních vazby. 1 Úvod a teorie RLC obvod se chová jako odpor, ale závislý na frekvenci. Pokud se zapojí prvky RLC obvodu do série pak při rezonanční frekvenci nastává minimální odpor a při paralelním zapojení nastává naopak maximální odpor. Jde to použít jako pásmovou propust a pro zesílení signálu, například v jednoduchém rádiovém přijímači. Vázané RLC obvody se při podkritické vazbě chovají jako normální RLC obvod, ale při nadkritické vazbě vznikají dvě rezonanční frekvence, takže funguje jako pásmová propust pro dvě frekvence. 2 Úkoly 1. V přípravě na měření odvod te vztah pro Q. Dále nakreslete vektorový diagram paralelního rezonančního obvod. 2. Proměřte rezonanční křivku napětí paralelního rezonančního obvodu složeného ze vzduchové cívky a kapacitního normálu Tesla nastaveného na kapacitu C N = 1000 pf. Totéž měření proved te s nasazeným železným jádrem a krytem. Kapacitu normálu při tomto druhém měření zmenšete tak, abyste dosáhli stejné rezonanční frekvence jako v prvním případě. Výstupní napětí z RC generátoru volte 0,8 V. Znázorněte v jednom grafu společně obě rezonanční křivky napětí a stanovte činitele jakosti měřených rezonančních obvodů a indukčnost obou cívek. 3. Proměřte závislost napětí paralelního rezonančního obvodu složeného ze vzduchové cívky a ladícího kapacitního normálu Tesla na velikosti kapacity. Zapojení měřícího obvodu je stejné jako v 2. úkolu. Kapacitu nastavte nejprve na hodnotu 500 pf, nalad te rezonanční frekvenci a z ní rozlad ujte obvod na obě strany zmenšováním a zvětšováním kapacity. Výstupní napětí RC generátoru volte 0,8 V. Znázorněte graficky naměřené závislosti. 4. Určete kapacitu neznámého kondenzátoru, o němž víte, že má kapacitu menší než je maximální hodnota kapacity ladícího kondenzátoru Tesla. Měření proved te při pěti různých hodnotách kapacity ladícího kondenzátoru (například: 1100 pf, 1000 pf, 800 pf, 600 pf a 500 pf). Výslednou kapacitu určete jako aritmetický průměr naměřených hodnot. Nakreslete do protokolu schéma vámi použitého zapojení. 5. Proved te vzájemné porovnání hodnoty 1000 pf kapacitního normálu Ulrich a Tesla. Nejprve za kondenzátor C N použijeme normál Ulrich, mající pevnou kapacitu 1000 pf, a obvod vyladíme změnou frekvence RC generátoru do rezonance. Potom normál Ulrich zaměníme ladícím kondenzátorem Tesla a změnou jeho kapacity doladíme obvod znovu do rezonance. Frekvence RC generátoru se přitom nemění. Na stupnici ladícího kondenzátoru odečteme hodnotu C 1. Diference C = C (C 1 dosazujeme v pf) určuje nesouhlas, tj. odchylku mezi hodnotami 1000 pf označenými výrobci normálů Tesla a Ulrich. 1

2 6. Proměřte napět ovou rezonanční křivku induktivně vázaného rezonančního obvodu pro různé činitele vazby (mění se vzdáleností mezi cívkami) tak, abyste dosáhli vazby nadkritické (vzdálenost mezi cívkami volte 0,5 cm), vazby kritické a vazby podkritické (vzdálenost mezi cívkami volte 3 cm). Znázorněte do jednoho grafu rezonanční křivky pro tyto tři vazby. Výstupní napětí z RC generátoru volte 1 V. 3 Teorie 3.1 Paralelní RLC obvod Pokud se zapojí paralelně cívka, odpor a kondenzátor, vznikne paralelní RLC obvod na obrázku (1a). Pro hodnotu napětí v tomto obvodě platí vztah [3] U = ZI = I ( 1 R 2 + ( ωc 1 ) ) ωl kde Z je impedance obvodu, R odpor, C kapacita a L induktance cívky. Tato funkce nabývá maxima pro rezonanční frekvenci f 0 danou Thomsonovým vzorcem. 1 f 0 = 2π (2) LC a v rezonanci je napětí U = IR. Šířka rezonanční křivky je dána jakostí Q rezonančního obvodu a ta se spočte takto: Q = I C = ω 0C I R 1/R = ω 0RC = R C ω 0 L = R (3) L takže je z posledního vztahu vidět, že maximum je tím užší, čím je větší R a C při konstantním L. (1) Obrázek 1: Jednoduché rezonanční obvody; a) paralelní, b) paralelní se ztrátovým odporem v hlavní větvi, c) sériový Obrázek 2: Napět ová rezonanční křivka paralelního RLC obvodu při různé jakosti Q Závislost U na činiteli Q lze určit z přibližné univerzální rezonanční křivky U = U Q2 F 2 (4) 2

3 kde F je poměrné rozlazení obvodu dané vztahem F = (f f 0 )/f 0. Na základě vztahu (4) lze potom Q odhadnout tak že se určí při jaké frekvenci f nabývá rezonanční křivka hodnoty U 0 /2 U 0 2 = U Q2 F 2 U 04Q 2 F 2 = 3U 0 Q = 3 2F = 3f0 2(f f 0 ) (5) Fázový posun napětí v paralelním RLC obvodu je dán vektorovým diagramem na obr. (3) Obrázek 3: Vektorový diagram paralelního RLC obvodu. 3.2 Měření kapacity Pomocí RLC obvodu lze měřit kapacitu C X neznámého kondenzátoru. V případě kdy je C X menší než maximum proměnného kapacitního normálu, postupuje se tak, že se rezonanční obvod bez zapojeného C X nastaví na rezonanční frekvenci při kapacitě normálu C 1. Potom se paralelně k normálu připojí C X. Obvod se změnou kapacity normálu na C 2 vyladí do rezonance a pro kapacitu C x potom platí C x = C 1 C 2 (6) Pokud je C X větší než maximum normálu, připojí se k němu sériově a postupuje se zcela analogicky. Ze vzorce pro součet kapacity sériově zapojených kondenzátorů plyne C x = C 1C 2 C 1 C 2 (7) Další možnost měření je zjistit rezonanční frekvenci f 01 při samotném C N frekvenci f 02. Kapacita se potom určí ze vztahu (2) ( ) f 2 C X = C 01 N f a potom po paralelním připojení C X (8) 3.3 Vázané RLC obvody Obrázek 4: Vázané RLC obvody s indukční vazbou RLC obvody jdou navzájem provázat, v našem měření použijeme indukční zpětnou vazbu. Schéma takového vázaného obvodu je na obrázku (4). Míra svázaní těch obvodů je definována činitelem vazby k k = M L1 L 2 (9) 3

4 L 1 a L 2 je indukčnost cívek a M je jejich vzájemná indukčnost. Pro k v indukčně vázaném obvodě dále platí k (0, 1).Vázaný RLC obvod složený ze dvou obvodů s různými odpory a různým Q se chovají jako by měly stejný Q i R podle vztahů R = R 1 R 2 Q = Q 1 Q 2 (10) Q 1 a Q 2 se dají určit ze vzorce (3). Oba dva rezonanční obvody musí být nastavené na stejnou rezonanční frekvenci. Impedance takového obvodu se získá ze vzorce [4] Z = R kq (1 + k 2 Q 2 ) (1 k 2 Q 2 ) Q 2 F 2 + Q 4 F 4 (11) F je poměrné rozlazení F = (f f 0 )/f 0. Koeficient kq se nazývá stupněm vazby a udává tvar křivky. Ze vzorce (11) lze určit maxima této křivky. Pro jejich polohu potom platí vztah F = f f 0 f 0 = k 2 1/Q 2 (12) Pro kq > 1 nastává tzv. nadkritická křivka, která má dva vrcholy a pro kq 1 je k = F. Pro kq = 1 nastává kritická křivka s jediným vrcholem a pro kq < 1 nastává podkritická křivka také s jediným vrcholem, ale jeho výška je menší než v předchozích případech. Výška vrcholů nadkritické i kritické křivky je vždy rovna Z max = R/2 a pro poměr Z max a Z při f 0 a platí b je prosedlání křivky. Na základě tohoto vztahu lze určit kq. b = Z max Z 0 = k2 Q kQ kq = b + b 2 1 (13) Obrázek 5: Rezonanční křivka pro vázaný RLC obvod, Z je impedance a F je poměrné rozlazení Obrázek 6: Fázový posun mezi obvody A a B pro různé kq 4 Výsledky 4.1 Rezonanční křivka - frekvence V 2. úloze bylo za úkol proměřit rezonanční křivku RLC obvodu při kapacitě normálu Tesla C N = 1000pF a s cívkou bez jádra. Schéma experimentu je na obr. (7). V druhé části jsme do cívky vložili jádro a obal a změnou kapacity C N na 235 pf jsme dosáhli stejné rezonanční frekvence tedy aby f 0 = 84, 1 khz. Získané závislosti jsou v grafu (8). Indukčnost cívky bez jádra vyšla L = 3, 58 ± 0, 01 mh. Pokud se použijí hodnoty kapacit a rez. frekvencí z tabulek (1) a (2), vyjde L = 3, 61 ± 0, 03 mh, což je ve výborné shodě. Jakost ze vzorce (3) vyjde Q = 2, 66 ± 0, 02. Indukčnost cívky s jádrem vyšla L = 15, 1 ± 0, 1 mh a jakost obvodu Q = 1, 23 ± 0, Rezonanční křivka - kapacita Zapojení je stejné jako v předchozí úloze. Měřili jsme s cívkou bez jádra. Nastavili jsme kapacitu normálu na C N = 500 pf a nalezli jsme rezonanční frekvenci f 0 = 104, 3 khz. 4

5 Obrázek 7: Zapojení paralelního RLC obvodu U[V] U = I/(1/R 2 +(2πfC-1/(2πfL)) 2 ) Bez jádra I = 9,54e-03 +/- 7e-05 L = 3,58e-03 +/- 1e-05 R = 5,04e+03 +/- 4e+01 C = 1e-9 S jádrem I = 5,69e-03 +/- 6e-05 L = 1,514e-02 +/- 1e-04 R = 9,91e+03 +/ C = 235e f [khz ] Graf 8: Závislost napětí na frekvenci paralelního RLC obvodu při měření s cívkou bez jádra a s jádrem U [V] Kapacitní rezonanční křivka U = I/(1/R 2 +(2πfC-1/(2πfL)) 2 ) I = 3,63e-03 +/- 3e-05 L = 4,80e-03 +/- 2e-05 R = 4, / f = 1,043e C [pf] Graf 9: Napětí v paralelním RLC obvodu při proměnné kapacitě 5

6 4.3 Kapacita neznámého kondenzátoru Zapojení je jako na schématu (7), neznámý kondenzátor C X se připojoval paralelně k C N. Měřili jsme kapacitu dvěma způsoby, popsanými v teorii. Obě dvě metody jsou dost nepřesné, přesto se výsledky celkem shodují. Neznámá kapacita vyšla průměrně z C X = 380 ± 30 pf. C N1 [pf] C N2 [pf] C X [pf] f 01 [khz] f 02 [khz] C X [pf] , ,6 70, ,94 73, ,96 76, , ,74 82, nešlo 118,12 89,2 377 průměr 383 průměr 377 chyba 33 chyba 26 Tabulka 1: Kapacita neznámého kondenzátoru C X určená dvěma metodami, ze vzorce (7) a (8). 4.4 Porovnání normálu Tesla a Ulrych Zapojení je opět stejné jako v předchozí úloze. Napřed se do obvodu zapojil normál Ulrych s pevnou kapacitou 1000 pf a nastavila se na generátoru rezonanční frekvence. Potom se normál Ulrych nahradil proměnným normálem Tesla a nestavila se na něm taková kapacita, aby byl obvod opět v rezonanci. f 0 C T esla C 1. 83, , , průměr 14 ± 2 Tabulka 2: Rozdíl mezi kapacitou normálů Tesla a Ulrych 4.5 Vázané RLC obvody Použité zapojení je na schématu (10). Cívky L 1 a L 2 jsou připevněné na posuvné dřevěné tyčce. Napřed jsme cívku L 2 obvodu B umístili dostatečně daleko, aby nastala podkritická vazba, asi do 4 cm. Změnou frekvence RC generátoru jsme dostali do rezonance obvod A. Potom jsem změnou kapacity normálu na C N = 725 pf dosáhli rezonance i v obvodu B. Tím byly oba obvody nastaveny na stejnou rezonanční frekvenci. Měření probíhalo při vzdálenostech cívek 0,5 cm pro nadkritickou křivku, 2,2 cm pro kritickou křivku a 3 cm pro podkritickou křivku. Při měření jsme nepoužívali osciloskop, protože po jeho připojení kleslo napětí v rezonanci asi na 1% původní hodnoty. Proto jsme nepřišli v čas na to, že námi měřená kritická křivka má stále dva vrcholy. Obrázek 10: Schéma zapojení vázaných RLC obvodů 6

7 U [V] Nadkritické) U=U 0 -ikq/((1+iqδf) 2 +k 2 Q 2 ΔF =( f-f 0 )/f 0 Q = 83±6 U 0 = 36±1 f = 69820±50 k = 6,12e-02±7e-04 Kritické Q = 84±3 U 0 = 36,1±0,4 f = 69617±14 k = 1,27e-02±2e-04 Podkritické Q = 83±3 U 0 = 35±1 f = 69400±10 k = 8,85e-03±3e f [khz] Graf 11: Napět ová křivka pro vázaný RLC obvod 5 Diskuse 5.1 Rezonanční křivka - frekvence Průběh rezonační křivky se v obou případech shoduje s teorií. Zvláštní je pouze, odpor v RLC vyšel rozdílný, při měření cívky bez jádra vyšel 5 kω a při měření s jádrem vyšel 10 kω. Možná byl pokles odporu způsobený zapojením osciloskopu. Indukčnost cívky na této změně nezávisí, ale projevilo se to ne tak výrazným poklesem jakosti obvodu, který by šlo očekávat. Jakost obvodu by šla zvýšit předřazením velkého odporu před voltmetr, potom by šla v dalších úlohách přesněji určit rezonanční frekvence. 5.2 Rezonanční křivka - kapacita Na rezonanční křivce, která vznikne změnou kapacity je vidět, že je podstatně širší, než u předchozí úlohy. Přesné nalezení maxima je proto velmi obtížné a to se projevilo i v další úlohách. 5.3 Kapacita neznámého kondenzátoru Ani jedna z použitých metod není ideální k měření kapacity. U první metody, kdy jsme změnou kapacity normálu kompenzovali přírůstek kapacity o C X byla nepřesnost způsobená velmi plochou rezonanční křivkou při změně kapacity. Teoreticky by tato metody měla být přesnější při volbě velkých C 1, protože pak je rezonanční křivka trochu užší. V druhé metodě jsme kapacitu určili na základě dvou různých rez. frekvencí. Rezonanční frekvence lze nalézt mnohem přesněji, ale zase na ní výsledek závisí v druhé mocnině. Tato metoda je přesnější pokud jsou f 01 a f 02 co nejrozdílnější, takže se musí volit C 1 malé. Výsledky získané oběma metodami jsou ve shodě a kapacita neznámého kondenzátoru vyšla C x = 380 ± 30 pf. Možná by šlo dosáhnout větší přesnosti, pokud by se nastavila přibližně rez. frekvence f 0 s C X (na přesnosti zde nezáleží), místo něj by se připojil proměnný C N a na něm by se nastavila kapacita aby se dosáhlo přesně stejné frekvence f 0 (to lze udělat velmi přesně). Potom platí C X = C N. 7

8 5.4 Porovnání normálů Ulrych a Tesla Zde byl opět stejný problém jako u předchozího měření. Velmi špatně se hledalo maximum. Přesto se nám podařilo najít diferenci mezi kondenzátory poměrně přesně a vyšlo, že C = 14±2 pf. To je pro potřeby praktika dostatečná přesnost. 5.5 Vázané RLC obvody Výsledky měření se přibližně shodují s teorií, pouze u nadkritické křivky by měly být oba vrcholy stejně velké. U nadkritické křivky vyšel stupeň vazby kq = 5, 1 ± 0, 4. U kritické vazby vešel stupeň vazby kq = 1, 07 ± 0, 06 a u podkritické kq = 0, 73 ± 0, 05. Hodnoty Q a U 0 si u všech měření v rámci chyby odpovídají, rozdíl v f 0 se mi nepovedlo vysvětlit. 6 Závěr Indukčnost použité cívky bez jádra vyšla L = 3, 58±0, 01 mh a jakost vyšla Q = 2, 66±0, 02. Po přidání pláště a jádra se indukčnost zvýšila na L = 15, 1 ± 0, 1 mh a jakost klesla na Q = 1, 23 ± 0, 01. Kapacita neznámého kondenzátoru vyšla C X = 380 ± 30 pf. Diference mezi normály Ulrych a Tesla je 14±2 pf, tedy 1,4%. Pro naše měření je to dostatečná přesnost. V posledním měření jsme proměřili vázaný RLC obvod. Naměřená křivka odpovídala teoretické předpovědi s tím rozdílem, že výška peaků křivky vyšla různá. Literatura [1] Štoll, Ivan : Mechanika, Skriptum, Praha: Vydavatelství ČVUT, [2] Zadání 3. úlohy - [cit ] [3] S. Moravec, VOŠ a SPŠE Plzeň - Jednoduché rezonanční obvody, - [cit ] [4] S. Moravec, VOŠ a SPŠE Plzeň - Vázané rezonanční obvody - [cit ] [5] Skripta Fyzika I (Laboratorní cvičení) kolektivu katedry fyziky - str. 11 [cit ] 8