KALENDÁŘOVÉ ÚLOHY PRO TALENTY, vč. metodického listu. doc. PhDr. Marta Volfová, CSc.

Transkript

1 KALENDÁŘOVÉ ÚLOHY PRO TALENTY, vč. metodického listu doc. PhDr. Marta Volfová, CSc. Centrum talentů M&F&I, Univerzita Hradec Králové, 2010

2 Kalendářové úlohy jsou zahaleny určitou tajemností a přitahují pozornost i zájem žáků. Poměrně jednoduchá formulace úloh však skrývá často obtížnou cestu k nalezení řešení, proto jsou tyto úlohy vhodné zejména do různých typů matematických seminářů a olympiád, mohou být pro matematické talenty inspirující. Uveďme nejprve několik autentických odpovědí žáků (z výzkumu [2]) o tom, jak se jim kalendářové úlohy líbily, proč je ta či ona úloha zaujala a zda by si je přáli zařadit přímo do hodin matematiky. (Šlo o žáky 8. ročníku, ne pro vybrané talenty.) - Byly supr, skoro jako IQ rozcvička. - Byly dobrý, na logický myšlení. - Líbily, je to něco jiného než v učebnicích. - Byly velmi zajímavé. Nikdy by mě nenapadlo, že mohou být matematické úlohy z kalendáře. - Úlohy se mi líbily, protože se u toho musí víc přemýšlet. - Tak ani moc ne, byly moc těžký na pochopení. - Tyto úlohy byly zábavné a líbily se mi. - Dané úlohy jsou velmi záludné. - Jó, byly dobré, ale ne moc pro moji hlavu. A jak vidí žáci vhodnost zařazení do výuky? - Ne, protože bych z matematiky propadla. - Určitě ano. Je to něco jiného než v učebnicích. - Jo, jasně. Je to lepší než učit se vzorečky i když je už umím. - Jó! Zařadit! Určitě! - V žádném případě. Matematika je už tak pro mě dost těžká. - Do některý hodiny by se mělo zařadit, protože je to zábava. - Jo třeba jako ňáký prémie k písemce. Mnohé kalendářové úlohy, které byly zařazeny do nižších kategorií MO Z v posledních letech, orientují žáky na experimentování a kombinační myšlení. Ty přemýšlivé by pak mělo poněkud nudné probírání a ověřování jednotlivých případů dovést k nápadu malému objevu jak počet zkoumaných případů zmenšit a dojít k řešení elegantněji. Následuje soubor 14 úloh (vhodných pro talenty ze ZŠ a nižších tříd gymnázií). KALENDÁŘOVÉ ÚLOHY 1. Letošní rok (2010) jsou v lednu 4 pondělky a 5 pátků. Jaký den týdnu musí být na Nový rok, aby byly v lednu právě 4 pondělky a 4 pátky? 2. Babička je narozená Je to pěkné datum, protože = 39. Urči, v kterých letech mezi roky ) bylo takových pěkných dat a) nejvíce, b) nejméně. (Obměna úloh z 51. a 36. ročníku MO.) oslavila teta Eva dnů svého života. Kdy bude slavit nejbližší narozeniny a kolik jí bude let? 4. Spočítej, kolik dní jsi na světě a kdy budeš mít nejbližší kulaté výročí (ve dnech)? 5. Tomáš Šetřivý v březnu zjistil, že se vyprodávají kalendáře na letošní rok za 9 Kč. Řekl si, že za několik let budou opět funkční (data a dny v týdnu se budou shodovat s rokem 2010) a tak koupil tři kalendáře, že je pak daruje rodičům a bratrovi. Kdy to nastane?

3 6. Tomáš se zeptal tatínka, zdali nemá on nějaký starší (nepoužitý) kalendář, co by byl funkční pro příští rok (Uveďte dvě možnosti, z kterého roku mohou kalendáře být.) 7. Může být některý rok šťastný tak, že v něm nebude žádný pátek třináctého? (47. roč. MO) 8. Jedno pořadové číslo dne bylo smutné, protože nebylo (v daném roce) ani jednou nedělí. Které to bylo? (54. roč. MO) 9. Kolik let uplynulo od 15/3 r. 30 př. n. l. do 15/3 r. 30 n. l.? (Rok 0 se v letopočtech nevyskytuje.) 10. Kolik let se konaly původní olympiády a kolik jich bylo? (První byla r. 776 př. n. l., poslední v r. 393 n. l., kdy olympiády byly zakázány.) 11. Řím byl založen r. 753 př. n. l. Kolik let uplynulo od jeho založení? 12. Matematický den je takový, jehož datum (den + měsíc) zapsané bez teček je současně pořadovým číslem dne (např by měl být 245-tý den v roce). Kolik je matematických dnů v nepřestupném roce a kolik v přestupném? 13. Významný matematik z Univerzity Hradec Králové si v den svých narozenin roku 1986 všiml, že jeho věk se rovná součinu čísel, zapsaných čtyřmi číslicemi letopočtu jeho narozenin. Ve kterém roce se narodil? 14. Kalendář na měsíc s vyznačeným čtyřúhelníkem je polomagický, to je součet čísel v každé úhlopříčce a v každé střední příčce je stejný a navíc je třikrát větší, než prostřední čísla. Ověřte, že tato polomytičnost je skrytá v každém čtverci s devíti vyplněnými čísly. Proč to platí? Po Út Stř Čt Pá So Ne Literatura: 1. Úlohy MO. 2. Kulován, L.: Diplomová práce, 2005, UHK Poznámka: Starší žáky lze dovést až k vytvoření tzv. věčného kalendáře. (Jakým způsobem, to bude obsahem dalšího textu.)

4 VĚČNÝ KALENDÁŘ Občas se setkáváme s nabídkami věčného kalendáře tabulky, v níž lze jednoduchým způsobem zjistit, na který den týdne připadá určité datum. Vytvoření takové tabulky však není nijak obtížné, jeden možný přístup si zde ukážeme. Budeme pracovat s tzv. zbytkovými třídami podle modulu 7 : [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]. Každé celé číslo můžeme zařadit právě do jedné z těchto tříd. Zařazení určí zbytek po dělení sedmi. Tak např. číslo 25 patří do třídy [4] (25 = , zbytek 4), 30 do třídy [2] (30 = , zb. 2) atd. Při sčítání opět pracujeme se zbytkem po dělení sedmi, např. [6] + [5] = [4] (6 + 5 = 11; 11 = , zb. 4). Pro vytvoření věčného kalendáře přiřadíme každému dni týdne jednu zbytkovou třídu a to takto: Pondělí [1] 1. den týdne Úterý [2] 2. den týdne Středa [3] 3. den týdne Čtvrtek [4] 4. den týdne Tabulka 1 Pátek [5] 5. den týdne Sobota [6] 6. den týdne Neděle [0] 7. den týdne Jednadvacáté století začínalo v pondělí V lednu roku 2001 pořadové číslo již přímo vede k zjištění dne týdne. Zajímá-li nás např., na který den týdne připadl svátek Zdeňka, tj , počítáme 23 : 7 = 3, zb. 2 [2] úterý; Otýlie pořádala oslavu svého svátku v neděli, neboť ho má a 28 : 7 = 4, zb [0]... neděle; svátek Tří králů (6. 1.) připadl na sobotu, neboť 6 : 7 = 0, zb [6]... sobota. Takto jednoduché je to jen v letech, kdy připadá Nový rok na pondělí. Těmto rokům přiřadíme zbytkovou třídu [0]. Každý nepřestupný rok posouvá začátek příštího roku o jeden den, proto je v úterý. Protože rok 2002 má posunut začátek roku (oproti roku 2001) o jeden den, přiřadíme mu třídu [1], obdobně roku 2003 třídu [2] (posouvá začátek roku vzhledem k roku 2001 o dva dny), roku 2004 třídu [3]. Rok 2004 je přestupný, má 366 dní, 366 = (zb. 2), posouvá začátek dalšího roku o dva dny; rok 2005 bude mít přiřazenu ne třídu [4], ale [5]. Rok 2006 třídu [6], 2007 třídu [0] (třída 7 neexistuje; 7 = , zb. 0), rok 2008 třídu [1]. Sám rok 2008 je přestupný, proto rok 2009 bude mít přiřazenou ne třídu [2], ale [3]. A letošní rok 2010 má přiřazenou třídu [4]. Ve kterém dnu týdne slavil svátek Zdeněk v roce 2007, Otýlie v r a Tři králové v roce 2010? Nestačí počítat zbytkovou třídu pro den, musíme přičíst i třídu roku: Zdeněk [2] + [0] = [2]..... úterý, Otýlie [0] + [1] = [1]..... pondělí, Tři králové [6] + [4] = [3]..... středa... POZOR! = 10; 10 : 7 = 1, zbytek 3; proto [6] + [4] = [3] Přehledně zopakujme přiřazení 2001 [0] 2002 [1] 2003 [2]

5 2004 [3] (přestupný rok) 2005 [5] 2006 [6] 2007 [0] 2008 [1] (přestupný rok) 2009 [3] 2010 [4] Protože máme sedmidenní týden a každý 4. rok je přestupný, opakují se situace vždy po 28 letech. Tedy rok 2001 má pro stejná data přiřazeny stejné dny týdne jako např. rok 1973, 1945, 1917 atp. (neboť = 1973, = 1945, = 1917). Pro celé 20. a 21. století se takto pravidelně střídají roky. Změnu vnáší rok 1900, který není přestupný, ačkoliv je 1900 násobkem 4. To platí od úpravy kalendáře v 16. století, kdy papež Řehoř XIII. podepsal bulu o novém kalendáři šlo o vynechání deseti dnů a ustanovení, že roky, které jsou násobky 100, budou přestupné jen tehdy, jsou-li násobkem i čísla 400 (což právě číslo 1900 nesplňuje). Přehledné přiřazení čísel jednotlivým rokům přináší tabulka 2. Roky (přestupné označeny *) začínají dnem přiřazeno po [0] ú [1] st [2] 1920* 1948* 1976* 2004* čt [3] so [5] ne [6] po [0] 1924* 1952* 1980* 2008* ú [1] čt [3] pá [4] so [5] 1888* 1928* 1956* 1984* ne [6] ú [1] st [2] č [3] 1892* 1904* 1932* 1960* 1988* pá [4] ne [6] po [0] ú [1] 1896* 1908* 1936* 1964* 1992* st [2] pá [4] so [5] ne [6] 1912* 1940* 1968* 1996* po [0] st [2] č [3] pá [4] 1916* 1944* 1972* 2000* so [5] Tabulka 2

6 Podle této tabulky můžeme též zjistit, ve kterých letech mají kalendáře stejnou podobu. Samozřejmě po 28 letech, ale také vždy, když jsou roky stejně přestupné či nepřestupné a začínají týmž dnem. Např. letošní rok 2010 má stejnou podobu kalendáře s lety (2010 k.28), tj. je např. 1982, 1954, 1926, ; také se všemi nepřestupnými roky, co jako zde 2010 začínají pátkem, tj. 1999, 1993, 1982, 1971, 1965, Ještě je třeba uvážit, jak přispívají měsíce (svými různými délkami) ke změně dne v týdnu. Např. je-li pondělí, bude posunuto o 3 dny (leden má 31 dní, 31 = ), tj bude čtvrtek. Předchozí měsíc posune o nějaký počet (0, 1, až 6) dní další měsíc (tedy leden posune dny v týdnu února o 3 dny; je-li středa [3] jako letos v r. 2010, bude sobota [3] + [3] = [6]; proto únoru přiřadíme číslo [3] atd.).. leden o 0 celkový posun bude 0 [0] únor. o 3 dny celkový posun bude [3] březen.. o 0 či 1 den celkový posun bude [3] 4[] duben o 3 dny celkový posun bude [6] [0] květen.. o 2 dny celkový posun bude [1] [2] červen.. o 3 dny celkový posun bude [4] [5] červenec o 2 dny celkový posun bude [6] [0] srpen. o 3 dny celkový posun bude [2] [3] září o 3 dny celkový posun bude [5] [6] říjen.. o 2 dny celkový posun bude [0] [1] listopad o 3 dny celkový posun bude [3] [4] prosinec o 2 dny celkový posun bude [5] [6] příští Nový rok o 3 dny celkový posun bude [1] [2] nepřestup- přestupný ný rok rok Tabulka 3 Nyní již můžeme řešit libovolnou úlohu na zjištění, na který den připadlo to či ono datum. Určíme číslo tak, že sečteme D + M + R, tj. pořadové číslo dne (či lépe: zbytkovou třídu pořadového čísla dne), číslo měsíce (dle tabulky) a roku (jak jsme výše přiřadili). Takže např [3] + [0] + [5] = [1].... pondělí = 8; 8 : 7 = 1 (zb. 1) [4] + [6] + [3] = [6].... sobota = 13; 13 : 7 = 1 (zb.6) [1 + [6] + [0] = [0].....neděle = 7; 7 : 7 = 1 (zb. 0) [3] + [5] + [4] = [5]... pátek = 12; 12 : 7 = 1 (zb. 5) Pro běžné používání je takovýto způsob, kdy musíme mít k dispozici 2 tabulky (nebo si je vždy nejprve sestavit), těžkopádný. V obvyklých vypracováních ( i komerčně prodávaných tabulkách) věčných kalendářů je pro každý rok již stanoven součet čísla roku a čísel měsíců, jak udává tabulka 4. S tou je pak určení, jaký den v týdnu bylo určité datum, velmi jednoduché: sečte se číslo z tabulky 4 pro daný rok a měsíc s pořadovým číslem dne a určí se, jaký zbytek po dělení číslem 7 součet má (tj. do jaké zbytkové třídy patří) a tím je přiřazen (dle tabulky 1) i den týdne.

7 (Pro zjednodušení zápisů a větší přehlednost nejsou třídy v sestavených tabulkách zapisovány v závorkách). L Ú B D K Č Č S Z Ř L P * * * * * * * Tabulka 4 (* opět označuje řádek, v němž jsou přestupné roky) Např.: [3] + [5] = [1].... pondělí [4] + [2] = [6].... sobota [1] + [6] = [0].... neděle [3] + [2] = [5].... pátek (První číslo odpovídá číslu dne, druhé zjistíme z tabulky 4: najdeme řádek hledaného roku a v něm ve sloupci daného měsíce je příslušné druhé číslo) Vytvoření věčného kalendáře je jen jednou ze zajímavých, někdy obtížných, někdy až tajemných, ale vždy přitažlivých kalendářových úloh. Literatura: Volfová, M.: Věčný kalendář, In časopis Rozhledy matematicko fyzikální, Úlohy soutěže Klokan, 1997

8 METODICKÝ LIST KE KALENDÁŘOVÝM ÚLOHÁM PRO TALENTY Řešení kalendářových úloh a některé metodické poznámky k nim ad 1. Mladším žákům lze doporučit, aby si vytvořili takovéto schéma dnů v měsíci lednu: a přemýšleli, kdy může být první lednové pondělí: kdyby bylo nebo nebo 3. 1., bylo by v lednu pět pondělků. Kdyby bylo 4. a. nebo nebo 6. 1., bylo by v lednu pět pátků. Jediná možnost je tedy ta, že první pondělí je a Nový rok připadá na úterý. ad 2. Úloha je dosti pracná. 1) Vynecháme ta poslední dvojčíslí roků (mezi lety ), která jsou prvočísly (tj. 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97). 2) Ostatních 39 dvojčíslí rozložíme na vhodné součiny (sdružených dělitelů) a stanovíme počtu pěkných dat 50 = = = ; 10.5.; pěkná data 51 = pěkné datum 52 = = , pěkná data 54 = = = 9. 6 = , 18.3.; 9.6.; pěkná data atd. Řešení: a) nejvíce pěkných dat bylo v letech 1960 a 1972 právě šest = = = = = = 6. 10, tj ; 15.4; 12.5.; 5.12.; 10.6.; dat = = = = = 9. 8 = 8. 9, tj 24.3.; 18.4.; 12.6.; 6.12.; 9.8; dat b) Nejméně takových dat, totiž žádné, bylo v těch výše uvedených letech, kde poslední dvojčíslí je prvočíslo a také v letech 1958, 1962, 1974, 1982, 1986 a ad 3. Řešení: = Teta se narodila v roce = 1956; do r bylo 13 přestupných let (1960; 64; 68; 72; 76; 80; 84; 92; 2000; 2004; 2008) Tedy = Tetě je 54 let a 277 dní, do dalších narozenin jí zbývá = 88 dní 88 = (31 dní do 1.6.; 30 dní do 1.7.; 27 dní do 28.7.) Teta bude slavit své půlkulatiny 55.narozeniny ad 4. Jde o obdobu úlohy 3 ad 5. Ve 2. části textu o kalendářových úlohách je situace vysvětlena. Kalendář bude funkční v r ad 6. (Obdobná úloze 5) Tatínek mohl mít schované kalendáře např. z let 2005, 1994, 1983, 1977 budou v r funkční.

9 ad 7., ad 8.: Jde o podobné úlohy. ad 7. Uvažujme datum 13. Je-li v lednu např. v pondělí, bude v únoru ve čtvrtek, protože leden má 31 dní, 31 = , posune datum o 3 dny dál. V březnu bude 13. opět ve čtvrtek (jen jeli nepřestupný rok), neboť únor má 28 dní, tj. právě 4 celé týdny. Březen (31 dní) posune opět 13. o 3 dny, 13. dubna bude v neděli. Duben (30 dní; 30 = ) posune 13. o 2 dny, bude v úterý atd. Lze uvažovat obecně Je-li den týdne D, bude den týden D + 3, den týdne D + 3, den týdne D + 6, (duben má 30 dní, ), den týdne D + 1 (duben posunul D + 8, tedy o týden a ještě jeden den), den týdne D + 4 (posunul květen o 3 dny), den týdne D + 6 (posunul červen o 2 dny, 30 = ), den týdne D + 2 (posunul červenec o 3 dny na D + 9, tedy o celý týden a dva dny), den týdne D den týdne D (září má 30 dní, 30 = , tedy D = D + 7 vyjde den D), den týdne D den týdne D další rok D + 1 (D = D ; pro kontrolu uvažujme, jak posouvá dny celý rok 365 = ; tedy 52 týdnů a 1 den navíc) Vidíme, že pro 13. den měsíce se vystřídají všechny dny týdne (D, D + 1, D + 2, D + 3, D + 4, D + 5, D + 6), tedy pátek 13. musí být v každém roce. Naši úvahu jsme tvořili pro nepřestupný rok. V přestupném, bude-li den D, bude D + 3, D + 4, D, D + 2, D + 5, D, D + 3, D + 6, D + 1, D + 4 a D + 6, tedy opět pátek 13. musí být i v každém přestupném roce aspoň jednou. I v přestupném roce se pro 13. den měsíce vystřídají všechny dny týdne. V nepřestupném roce se pro 13. den měsíce vyskytuje třikrát den D + 3 bude-li to pátek, bude v tom roce třikrát pátek 13. (Je-li D + 3 pátek, je D úterý, tedy je úterý a 1.1. je čtvrtek. Začíná-li nepřestupný rok ve čtvrtek, budou v něm tři pátky 13., a to 13.2., a ) (Tak tomu bylo např. r ) (V přestupném roce se vyskytuje třikrát den D; bude-li pátek, bude pátek též a a nový rok bude začínat nedělí tak tomu bude např. v r. 2012) ad 8. Podíváme-li se výše na náš přehled, vidíme, že v nepřestupném roce se vyskytuje den D + 1 a D + 4 jen jednou (D + 1 v květnu, D + 4 v červnu). Červen má jen 30 dní. Kdyby 31. v červnu měla být neděle, tak 31. nebude v celém roce nedělí nikdy. Je-li D + 4 neděle, je D + 3 sobota, D + 2 pátek, D + 1 čtvrtek a D středa; D + 5 pondělí a D + 6 úterý; tedy bude středa, sobota, čtvrtek, úterý, pátek, středa a pondělí (Např. tomu bylo tak 2007, 2001 a bude 2018) Smutné bylo číslo 31. V přestupném roce se právě jednou vyskytuje D + 1 (v říjnu), D + 2 (v květnu) a D + 5 (opět v červnu a tedy situace je v podstatě stejná jako v nepřestupném roce)

10 Kdyby měla být neděle, tak 31. nebude v celém roce nedělí nikdy. Je-li D + 5 neděle, je D + 6 pondělí, D úterý, D + 1 středa, D + 2 čtvrtek, D + 3 pátek a D + 4 sobota. Tedy bude úterý, sobota, 31.5 čtvrtek, úterý, pátek, středa a pondělí. (Rok bude začínat nedělí a bude to např. v r. 2012). Smutné číslo bude opět 31. ad 9. Od roku 30 př. n. l. do roku 30 n.l. uplyne = 59 (Protože chybí rok 0, od součtu je třeba odečíst jeden rok) ad 10. Olympiády se konaly od roku 776 př. n. l. do roku 393 n. l., tedy = 1168 let ad 11. Řím byl založen 753 př. n. l.; do roku 2010 uplynulo = let ad 12. Úloha má složitější pracnější řešení; uvedeme hledání pro nepřestupný rok) Hledáme dny s matematickým datem, tj. x-tý den měsíce y-tého má být xy -tý den měsíce roku. Pro leden tedy x-tý den ledna má být x 1. den roku, pro únor tedy x-tý den února a má být x 2. den roku, atd. Pořadová čísla dní v lednu jsou 1 31, v únoru 32 59, v březnu 60 90, v dubnu , v květnu , v červnu , v červenci , v srpnu , v září , v říjnu , v listopadu , v prosinci Pro leden (pořadová čísla 1 31) ověříme: 1.1. má být 11. den roku (ne, je 1. den roku) 2.1. má být 21. den roku (ne, je 2.) 3.1. má být 31. den roku (ne, je 3.) Pro únor (pořadová čísla 32 59) 3.2. má být 32. den roku (ne, je 34.) 4.2. má být 42. den roku (ne, je 35.) 5.2. má být 52. den roku (ne, je 36.) Pro březen (pořadová čísla 60 90) ověříme: 6.3. má být 63. den roku (ne, je 65.) 7.3. má být 73. den roku (ne, je 66.) 8.3. má být 83. den roku (ne, je 67.) atd. Pro září (pořadová čísla ) ověříme: má být 249. den roku (ne, je 267.) má být 259. den roku (ne, je 268.) má být 269. den roku ANO! Matematický den v nepřestupném roce je jediný je 269. den roku.

11 ad 13. Zde půjde o experimentování. Lze uvážit, že žádný matematik na UHK není starší 86 let Pak platí: xy = x. y; předp.: věk 9. x. y je > 20; x, y N 86 - xy = 9x. y 86 10x 9xy < 20 < 9xy < 86 < 90 /:9 (86 10x) = y.(9x + 1) 2 < xy < 10 Lze vytvořit tabulku, volit y, k němu určit x Jediné řešení: y = 2; x = 3 Matematik se narodil v roce 1932, v roce 1986 mu bylo = 54 let (Dnes je mu 78 let) ad 14. Vyznačíme-li číslo uprostřed čtverce x a ostatní dopočítáme, získáme tvar: x 8 x 7 x 6 x 1 x x + 1 x 6 x + 7 x + 8 Součet v obou úhlopříčkách i obou středních příčkách je 3x jde o polomagický čtverec (x 8) + x + (x + 8) = 3x (x + 6) + x + (x 6) = 3x (x 7) + x + (x + 7) = 3x (x 1) + x + (x + 1) = 3x