KALENDÁŘOVÉ ÚLOHY PRO TALENTY, vč. metodického listu. doc. PhDr. Marta Volfová, CSc.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "KALENDÁŘOVÉ ÚLOHY PRO TALENTY, vč. metodického listu. doc. PhDr. Marta Volfová, CSc."

Transkript

1 KALENDÁŘOVÉ ÚLOHY PRO TALENTY, vč. metodického listu doc. PhDr. Marta Volfová, CSc. Centrum talentů M&F&I, Univerzita Hradec Králové, 2010

2 Kalendářové úlohy jsou zahaleny určitou tajemností a přitahují pozornost i zájem žáků. Poměrně jednoduchá formulace úloh však skrývá často obtížnou cestu k nalezení řešení, proto jsou tyto úlohy vhodné zejména do různých typů matematických seminářů a olympiád, mohou být pro matematické talenty inspirující. Uveďme nejprve několik autentických odpovědí žáků (z výzkumu [2]) o tom, jak se jim kalendářové úlohy líbily, proč je ta či ona úloha zaujala a zda by si je přáli zařadit přímo do hodin matematiky. (Šlo o žáky 8. ročníku, ne pro vybrané talenty.) - Byly supr, skoro jako IQ rozcvička. - Byly dobrý, na logický myšlení. - Líbily, je to něco jiného než v učebnicích. - Byly velmi zajímavé. Nikdy by mě nenapadlo, že mohou být matematické úlohy z kalendáře. - Úlohy se mi líbily, protože se u toho musí víc přemýšlet. - Tak ani moc ne, byly moc těžký na pochopení. - Tyto úlohy byly zábavné a líbily se mi. - Dané úlohy jsou velmi záludné. - Jó, byly dobré, ale ne moc pro moji hlavu. A jak vidí žáci vhodnost zařazení do výuky? - Ne, protože bych z matematiky propadla. - Určitě ano. Je to něco jiného než v učebnicích. - Jo, jasně. Je to lepší než učit se vzorečky i když je už umím. - Jó! Zařadit! Určitě! - V žádném případě. Matematika je už tak pro mě dost těžká. - Do některý hodiny by se mělo zařadit, protože je to zábava. - Jo třeba jako ňáký prémie k písemce. Mnohé kalendářové úlohy, které byly zařazeny do nižších kategorií MO Z v posledních letech, orientují žáky na experimentování a kombinační myšlení. Ty přemýšlivé by pak mělo poněkud nudné probírání a ověřování jednotlivých případů dovést k nápadu malému objevu jak počet zkoumaných případů zmenšit a dojít k řešení elegantněji. Následuje soubor 14 úloh (vhodných pro talenty ze ZŠ a nižších tříd gymnázií). KALENDÁŘOVÉ ÚLOHY 1. Letošní rok (2010) jsou v lednu 4 pondělky a 5 pátků. Jaký den týdnu musí být na Nový rok, aby byly v lednu právě 4 pondělky a 4 pátky? 2. Babička je narozená Je to pěkné datum, protože = 39. Urči, v kterých letech mezi roky ) bylo takových pěkných dat a) nejvíce, b) nejméně. (Obměna úloh z 51. a 36. ročníku MO.) oslavila teta Eva dnů svého života. Kdy bude slavit nejbližší narozeniny a kolik jí bude let? 4. Spočítej, kolik dní jsi na světě a kdy budeš mít nejbližší kulaté výročí (ve dnech)? 5. Tomáš Šetřivý v březnu zjistil, že se vyprodávají kalendáře na letošní rok za 9 Kč. Řekl si, že za několik let budou opět funkční (data a dny v týdnu se budou shodovat s rokem 2010) a tak koupil tři kalendáře, že je pak daruje rodičům a bratrovi. Kdy to nastane?

3 6. Tomáš se zeptal tatínka, zdali nemá on nějaký starší (nepoužitý) kalendář, co by byl funkční pro příští rok (Uveďte dvě možnosti, z kterého roku mohou kalendáře být.) 7. Může být některý rok šťastný tak, že v něm nebude žádný pátek třináctého? (47. roč. MO) 8. Jedno pořadové číslo dne bylo smutné, protože nebylo (v daném roce) ani jednou nedělí. Které to bylo? (54. roč. MO) 9. Kolik let uplynulo od 15/3 r. 30 př. n. l. do 15/3 r. 30 n. l.? (Rok 0 se v letopočtech nevyskytuje.) 10. Kolik let se konaly původní olympiády a kolik jich bylo? (První byla r. 776 př. n. l., poslední v r. 393 n. l., kdy olympiády byly zakázány.) 11. Řím byl založen r. 753 př. n. l. Kolik let uplynulo od jeho založení? 12. Matematický den je takový, jehož datum (den + měsíc) zapsané bez teček je současně pořadovým číslem dne (např by měl být 245-tý den v roce). Kolik je matematických dnů v nepřestupném roce a kolik v přestupném? 13. Významný matematik z Univerzity Hradec Králové si v den svých narozenin roku 1986 všiml, že jeho věk se rovná součinu čísel, zapsaných čtyřmi číslicemi letopočtu jeho narozenin. Ve kterém roce se narodil? 14. Kalendář na měsíc s vyznačeným čtyřúhelníkem je polomagický, to je součet čísel v každé úhlopříčce a v každé střední příčce je stejný a navíc je třikrát větší, než prostřední čísla. Ověřte, že tato polomytičnost je skrytá v každém čtverci s devíti vyplněnými čísly. Proč to platí? Po Út Stř Čt Pá So Ne Literatura: 1. Úlohy MO. 2. Kulován, L.: Diplomová práce, 2005, UHK Poznámka: Starší žáky lze dovést až k vytvoření tzv. věčného kalendáře. (Jakým způsobem, to bude obsahem dalšího textu.)

4 VĚČNÝ KALENDÁŘ Občas se setkáváme s nabídkami věčného kalendáře tabulky, v níž lze jednoduchým způsobem zjistit, na který den týdne připadá určité datum. Vytvoření takové tabulky však není nijak obtížné, jeden možný přístup si zde ukážeme. Budeme pracovat s tzv. zbytkovými třídami podle modulu 7 : [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]. Každé celé číslo můžeme zařadit právě do jedné z těchto tříd. Zařazení určí zbytek po dělení sedmi. Tak např. číslo 25 patří do třídy [4] (25 = , zbytek 4), 30 do třídy [2] (30 = , zb. 2) atd. Při sčítání opět pracujeme se zbytkem po dělení sedmi, např. [6] + [5] = [4] (6 + 5 = 11; 11 = , zb. 4). Pro vytvoření věčného kalendáře přiřadíme každému dni týdne jednu zbytkovou třídu a to takto: Pondělí [1] 1. den týdne Úterý [2] 2. den týdne Středa [3] 3. den týdne Čtvrtek [4] 4. den týdne Tabulka 1 Pátek [5] 5. den týdne Sobota [6] 6. den týdne Neděle [0] 7. den týdne Jednadvacáté století začínalo v pondělí V lednu roku 2001 pořadové číslo již přímo vede k zjištění dne týdne. Zajímá-li nás např., na který den týdne připadl svátek Zdeňka, tj , počítáme 23 : 7 = 3, zb. 2 [2] úterý; Otýlie pořádala oslavu svého svátku v neděli, neboť ho má a 28 : 7 = 4, zb [0]... neděle; svátek Tří králů (6. 1.) připadl na sobotu, neboť 6 : 7 = 0, zb [6]... sobota. Takto jednoduché je to jen v letech, kdy připadá Nový rok na pondělí. Těmto rokům přiřadíme zbytkovou třídu [0]. Každý nepřestupný rok posouvá začátek příštího roku o jeden den, proto je v úterý. Protože rok 2002 má posunut začátek roku (oproti roku 2001) o jeden den, přiřadíme mu třídu [1], obdobně roku 2003 třídu [2] (posouvá začátek roku vzhledem k roku 2001 o dva dny), roku 2004 třídu [3]. Rok 2004 je přestupný, má 366 dní, 366 = (zb. 2), posouvá začátek dalšího roku o dva dny; rok 2005 bude mít přiřazenu ne třídu [4], ale [5]. Rok 2006 třídu [6], 2007 třídu [0] (třída 7 neexistuje; 7 = , zb. 0), rok 2008 třídu [1]. Sám rok 2008 je přestupný, proto rok 2009 bude mít přiřazenou ne třídu [2], ale [3]. A letošní rok 2010 má přiřazenou třídu [4]. Ve kterém dnu týdne slavil svátek Zdeněk v roce 2007, Otýlie v r a Tři králové v roce 2010? Nestačí počítat zbytkovou třídu pro den, musíme přičíst i třídu roku: Zdeněk [2] + [0] = [2]..... úterý, Otýlie [0] + [1] = [1]..... pondělí, Tři králové [6] + [4] = [3]..... středa... POZOR! = 10; 10 : 7 = 1, zbytek 3; proto [6] + [4] = [3] Přehledně zopakujme přiřazení 2001 [0] 2002 [1] 2003 [2]

5 2004 [3] (přestupný rok) 2005 [5] 2006 [6] 2007 [0] 2008 [1] (přestupný rok) 2009 [3] 2010 [4] Protože máme sedmidenní týden a každý 4. rok je přestupný, opakují se situace vždy po 28 letech. Tedy rok 2001 má pro stejná data přiřazeny stejné dny týdne jako např. rok 1973, 1945, 1917 atp. (neboť = 1973, = 1945, = 1917). Pro celé 20. a 21. století se takto pravidelně střídají roky. Změnu vnáší rok 1900, který není přestupný, ačkoliv je 1900 násobkem 4. To platí od úpravy kalendáře v 16. století, kdy papež Řehoř XIII. podepsal bulu o novém kalendáři šlo o vynechání deseti dnů a ustanovení, že roky, které jsou násobky 100, budou přestupné jen tehdy, jsou-li násobkem i čísla 400 (což právě číslo 1900 nesplňuje). Přehledné přiřazení čísel jednotlivým rokům přináší tabulka 2. Roky (přestupné označeny *) začínají dnem přiřazeno po [0] ú [1] st [2] 1920* 1948* 1976* 2004* čt [3] so [5] ne [6] po [0] 1924* 1952* 1980* 2008* ú [1] čt [3] pá [4] so [5] 1888* 1928* 1956* 1984* ne [6] ú [1] st [2] č [3] 1892* 1904* 1932* 1960* 1988* pá [4] ne [6] po [0] ú [1] 1896* 1908* 1936* 1964* 1992* st [2] pá [4] so [5] ne [6] 1912* 1940* 1968* 1996* po [0] st [2] č [3] pá [4] 1916* 1944* 1972* 2000* so [5] Tabulka 2

6 Podle této tabulky můžeme též zjistit, ve kterých letech mají kalendáře stejnou podobu. Samozřejmě po 28 letech, ale také vždy, když jsou roky stejně přestupné či nepřestupné a začínají týmž dnem. Např. letošní rok 2010 má stejnou podobu kalendáře s lety (2010 k.28), tj. je např. 1982, 1954, 1926, ; také se všemi nepřestupnými roky, co jako zde 2010 začínají pátkem, tj. 1999, 1993, 1982, 1971, 1965, Ještě je třeba uvážit, jak přispívají měsíce (svými různými délkami) ke změně dne v týdnu. Např. je-li pondělí, bude posunuto o 3 dny (leden má 31 dní, 31 = ), tj bude čtvrtek. Předchozí měsíc posune o nějaký počet (0, 1, až 6) dní další měsíc (tedy leden posune dny v týdnu února o 3 dny; je-li středa [3] jako letos v r. 2010, bude sobota [3] + [3] = [6]; proto únoru přiřadíme číslo [3] atd.).. leden o 0 celkový posun bude 0 [0] únor. o 3 dny celkový posun bude [3] březen.. o 0 či 1 den celkový posun bude [3] 4[] duben o 3 dny celkový posun bude [6] [0] květen.. o 2 dny celkový posun bude [1] [2] červen.. o 3 dny celkový posun bude [4] [5] červenec o 2 dny celkový posun bude [6] [0] srpen. o 3 dny celkový posun bude [2] [3] září o 3 dny celkový posun bude [5] [6] říjen.. o 2 dny celkový posun bude [0] [1] listopad o 3 dny celkový posun bude [3] [4] prosinec o 2 dny celkový posun bude [5] [6] příští Nový rok o 3 dny celkový posun bude [1] [2] nepřestup- přestupný ný rok rok Tabulka 3 Nyní již můžeme řešit libovolnou úlohu na zjištění, na který den připadlo to či ono datum. Určíme číslo tak, že sečteme D + M + R, tj. pořadové číslo dne (či lépe: zbytkovou třídu pořadového čísla dne), číslo měsíce (dle tabulky) a roku (jak jsme výše přiřadili). Takže např [3] + [0] + [5] = [1].... pondělí = 8; 8 : 7 = 1 (zb. 1) [4] + [6] + [3] = [6].... sobota = 13; 13 : 7 = 1 (zb.6) [1 + [6] + [0] = [0].....neděle = 7; 7 : 7 = 1 (zb. 0) [3] + [5] + [4] = [5]... pátek = 12; 12 : 7 = 1 (zb. 5) Pro běžné používání je takovýto způsob, kdy musíme mít k dispozici 2 tabulky (nebo si je vždy nejprve sestavit), těžkopádný. V obvyklých vypracováních ( i komerčně prodávaných tabulkách) věčných kalendářů je pro každý rok již stanoven součet čísla roku a čísel měsíců, jak udává tabulka 4. S tou je pak určení, jaký den v týdnu bylo určité datum, velmi jednoduché: sečte se číslo z tabulky 4 pro daný rok a měsíc s pořadovým číslem dne a určí se, jaký zbytek po dělení číslem 7 součet má (tj. do jaké zbytkové třídy patří) a tím je přiřazen (dle tabulky 1) i den týdne.

7 (Pro zjednodušení zápisů a větší přehlednost nejsou třídy v sestavených tabulkách zapisovány v závorkách). L Ú B D K Č Č S Z Ř L P * * * * * * * Tabulka 4 (* opět označuje řádek, v němž jsou přestupné roky) Např.: [3] + [5] = [1].... pondělí [4] + [2] = [6].... sobota [1] + [6] = [0].... neděle [3] + [2] = [5].... pátek (První číslo odpovídá číslu dne, druhé zjistíme z tabulky 4: najdeme řádek hledaného roku a v něm ve sloupci daného měsíce je příslušné druhé číslo) Vytvoření věčného kalendáře je jen jednou ze zajímavých, někdy obtížných, někdy až tajemných, ale vždy přitažlivých kalendářových úloh. Literatura: Volfová, M.: Věčný kalendář, In časopis Rozhledy matematicko fyzikální, Úlohy soutěže Klokan, 1997

8 METODICKÝ LIST KE KALENDÁŘOVÝM ÚLOHÁM PRO TALENTY Řešení kalendářových úloh a některé metodické poznámky k nim ad 1. Mladším žákům lze doporučit, aby si vytvořili takovéto schéma dnů v měsíci lednu: a přemýšleli, kdy může být první lednové pondělí: kdyby bylo nebo nebo 3. 1., bylo by v lednu pět pondělků. Kdyby bylo 4. a. nebo nebo 6. 1., bylo by v lednu pět pátků. Jediná možnost je tedy ta, že první pondělí je a Nový rok připadá na úterý. ad 2. Úloha je dosti pracná. 1) Vynecháme ta poslední dvojčíslí roků (mezi lety ), která jsou prvočísly (tj. 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97). 2) Ostatních 39 dvojčíslí rozložíme na vhodné součiny (sdružených dělitelů) a stanovíme počtu pěkných dat 50 = = = ; 10.5.; pěkná data 51 = pěkné datum 52 = = , pěkná data 54 = = = 9. 6 = , 18.3.; 9.6.; pěkná data atd. Řešení: a) nejvíce pěkných dat bylo v letech 1960 a 1972 právě šest = = = = = = 6. 10, tj ; 15.4; 12.5.; 5.12.; 10.6.; dat = = = = = 9. 8 = 8. 9, tj 24.3.; 18.4.; 12.6.; 6.12.; 9.8; dat b) Nejméně takových dat, totiž žádné, bylo v těch výše uvedených letech, kde poslední dvojčíslí je prvočíslo a také v letech 1958, 1962, 1974, 1982, 1986 a ad 3. Řešení: = Teta se narodila v roce = 1956; do r bylo 13 přestupných let (1960; 64; 68; 72; 76; 80; 84; 92; 2000; 2004; 2008) Tedy = Tetě je 54 let a 277 dní, do dalších narozenin jí zbývá = 88 dní 88 = (31 dní do 1.6.; 30 dní do 1.7.; 27 dní do 28.7.) Teta bude slavit své půlkulatiny 55.narozeniny ad 4. Jde o obdobu úlohy 3 ad 5. Ve 2. části textu o kalendářových úlohách je situace vysvětlena. Kalendář bude funkční v r ad 6. (Obdobná úloze 5) Tatínek mohl mít schované kalendáře např. z let 2005, 1994, 1983, 1977 budou v r funkční.

9 ad 7., ad 8.: Jde o podobné úlohy. ad 7. Uvažujme datum 13. Je-li v lednu např. v pondělí, bude v únoru ve čtvrtek, protože leden má 31 dní, 31 = , posune datum o 3 dny dál. V březnu bude 13. opět ve čtvrtek (jen jeli nepřestupný rok), neboť únor má 28 dní, tj. právě 4 celé týdny. Březen (31 dní) posune opět 13. o 3 dny, 13. dubna bude v neděli. Duben (30 dní; 30 = ) posune 13. o 2 dny, bude v úterý atd. Lze uvažovat obecně Je-li den týdne D, bude den týden D + 3, den týdne D + 3, den týdne D + 6, (duben má 30 dní, ), den týdne D + 1 (duben posunul D + 8, tedy o týden a ještě jeden den), den týdne D + 4 (posunul květen o 3 dny), den týdne D + 6 (posunul červen o 2 dny, 30 = ), den týdne D + 2 (posunul červenec o 3 dny na D + 9, tedy o celý týden a dva dny), den týdne D den týdne D (září má 30 dní, 30 = , tedy D = D + 7 vyjde den D), den týdne D den týdne D další rok D + 1 (D = D ; pro kontrolu uvažujme, jak posouvá dny celý rok 365 = ; tedy 52 týdnů a 1 den navíc) Vidíme, že pro 13. den měsíce se vystřídají všechny dny týdne (D, D + 1, D + 2, D + 3, D + 4, D + 5, D + 6), tedy pátek 13. musí být v každém roce. Naši úvahu jsme tvořili pro nepřestupný rok. V přestupném, bude-li den D, bude D + 3, D + 4, D, D + 2, D + 5, D, D + 3, D + 6, D + 1, D + 4 a D + 6, tedy opět pátek 13. musí být i v každém přestupném roce aspoň jednou. I v přestupném roce se pro 13. den měsíce vystřídají všechny dny týdne. V nepřestupném roce se pro 13. den měsíce vyskytuje třikrát den D + 3 bude-li to pátek, bude v tom roce třikrát pátek 13. (Je-li D + 3 pátek, je D úterý, tedy je úterý a 1.1. je čtvrtek. Začíná-li nepřestupný rok ve čtvrtek, budou v něm tři pátky 13., a to 13.2., a ) (Tak tomu bylo např. r ) (V přestupném roce se vyskytuje třikrát den D; bude-li pátek, bude pátek též a a nový rok bude začínat nedělí tak tomu bude např. v r. 2012) ad 8. Podíváme-li se výše na náš přehled, vidíme, že v nepřestupném roce se vyskytuje den D + 1 a D + 4 jen jednou (D + 1 v květnu, D + 4 v červnu). Červen má jen 30 dní. Kdyby 31. v červnu měla být neděle, tak 31. nebude v celém roce nedělí nikdy. Je-li D + 4 neděle, je D + 3 sobota, D + 2 pátek, D + 1 čtvrtek a D středa; D + 5 pondělí a D + 6 úterý; tedy bude středa, sobota, čtvrtek, úterý, pátek, středa a pondělí (Např. tomu bylo tak 2007, 2001 a bude 2018) Smutné bylo číslo 31. V přestupném roce se právě jednou vyskytuje D + 1 (v říjnu), D + 2 (v květnu) a D + 5 (opět v červnu a tedy situace je v podstatě stejná jako v nepřestupném roce)

10 Kdyby měla být neděle, tak 31. nebude v celém roce nedělí nikdy. Je-li D + 5 neděle, je D + 6 pondělí, D úterý, D + 1 středa, D + 2 čtvrtek, D + 3 pátek a D + 4 sobota. Tedy bude úterý, sobota, 31.5 čtvrtek, úterý, pátek, středa a pondělí. (Rok bude začínat nedělí a bude to např. v r. 2012). Smutné číslo bude opět 31. ad 9. Od roku 30 př. n. l. do roku 30 n.l. uplyne = 59 (Protože chybí rok 0, od součtu je třeba odečíst jeden rok) ad 10. Olympiády se konaly od roku 776 př. n. l. do roku 393 n. l., tedy = 1168 let ad 11. Řím byl založen 753 př. n. l.; do roku 2010 uplynulo = let ad 12. Úloha má složitější pracnější řešení; uvedeme hledání pro nepřestupný rok) Hledáme dny s matematickým datem, tj. x-tý den měsíce y-tého má být xy -tý den měsíce roku. Pro leden tedy x-tý den ledna má být x 1. den roku, pro únor tedy x-tý den února a má být x 2. den roku, atd. Pořadová čísla dní v lednu jsou 1 31, v únoru 32 59, v březnu 60 90, v dubnu , v květnu , v červnu , v červenci , v srpnu , v září , v říjnu , v listopadu , v prosinci Pro leden (pořadová čísla 1 31) ověříme: 1.1. má být 11. den roku (ne, je 1. den roku) 2.1. má být 21. den roku (ne, je 2.) 3.1. má být 31. den roku (ne, je 3.) Pro únor (pořadová čísla 32 59) 3.2. má být 32. den roku (ne, je 34.) 4.2. má být 42. den roku (ne, je 35.) 5.2. má být 52. den roku (ne, je 36.) Pro březen (pořadová čísla 60 90) ověříme: 6.3. má být 63. den roku (ne, je 65.) 7.3. má být 73. den roku (ne, je 66.) 8.3. má být 83. den roku (ne, je 67.) atd. Pro září (pořadová čísla ) ověříme: má být 249. den roku (ne, je 267.) má být 259. den roku (ne, je 268.) má být 269. den roku ANO! Matematický den v nepřestupném roce je jediný je 269. den roku.

11 ad 13. Zde půjde o experimentování. Lze uvážit, že žádný matematik na UHK není starší 86 let Pak platí: xy = x. y; předp.: věk 9. x. y je > 20; x, y N 86 - xy = 9x. y 86 10x 9xy < 20 < 9xy < 86 < 90 /:9 (86 10x) = y.(9x + 1) 2 < xy < 10 Lze vytvořit tabulku, volit y, k němu určit x Jediné řešení: y = 2; x = 3 Matematik se narodil v roce 1932, v roce 1986 mu bylo = 54 let (Dnes je mu 78 let) ad 14. Vyznačíme-li číslo uprostřed čtverce x a ostatní dopočítáme, získáme tvar: x 8 x 7 x 6 x 1 x x + 1 x 6 x + 7 x + 8 Součet v obou úhlopříčkách i obou středních příčkách je 3x jde o polomagický čtverec (x 8) + x + (x + 8) = 3x (x + 6) + x + (x 6) = 3x (x 7) + x + (x + 7) = 3x (x 1) + x + (x + 1) = 3x

Týden 1/2014. 1.ledna 2014-5.ledna 2014

Týden 1/2014. 1.ledna 2014-5.ledna 2014 Týden 1/2014 1.ledna 2014-5.ledna 2014 30.12.2013 31.12.2013 1.1.2014 2.1.2014 3.1.2014 4.1.2014 5.1.2014 Týden 2/2014 6.ledna 2014-12.ledna 2014 6.1.2014 7.1.2014 8.1.2014 9.1.2014 10.1.2014 11.1.2014

Více

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek) Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

VM 2. Dělitelnost přir. čísel násobek, dělitel, znaky dělitelnosti.notebook. September 21, 2015. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

VM 2. Dělitelnost přir. čísel násobek, dělitel, znaky dělitelnosti.notebook. September 21, 2015. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Otázky z kapitoly Základní poznatky

Otázky z kapitoly Základní poznatky Otázky z kapitoly Základní poznatky 4. ledna 2016 Obsah 1 Krokované příklady (0 otázek) 1 2 Mnohočleny a lomené výrazy (88 otázek) 1 2.1 Obtížnost 2 (78 otázek)....................................... 1

Více

Přehled plánovaných akcí v MŠ Zátor školní rok 2015-2016

Přehled plánovaných akcí v MŠ Zátor školní rok 2015-2016 Přehled plánovaných akcí v MŠ Zátor školní rok 2015-2016 ZÁŘÍ (Podzim) cesta za kamarády 1. 9. Úterý Zahájení školního roku, dárečky novým dětem 14. 9. Pondělí Divadlo Šikulka 45,00kč 8:45 Jak se prasátka

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více

1 z 7 18.6.2012 8:14. 1. otázka. Které číslo musíme odečíst od čísla 250, aby výsledné číslo bylo osminásobkem čísla 25? 2. otázka

1 z 7 18.6.2012 8:14. 1. otázka. Které číslo musíme odečíst od čísla 250, aby výsledné číslo bylo osminásobkem čísla 25? 2. otázka Stonožka 9 - M 2011 - náhled testu http://ib.scio.cz/test?t=ceow8rrhgtr79v2xq7/zcppky1fbxbzulq... 1 z 7 18.6.2012 8:14 1. otázka Které číslo musíme odečíst od čísla 250, aby výsledné číslo bylo osminásobkem

Více

Graf č. 1.: Celkový počet ohrožených osob leden 2012... 3. Graf č. 2.: Celkový počet ohrožených osob dle pohlaví leden 2012... 4

Graf č. 1.: Celkový počet ohrožených osob leden 2012... 3. Graf č. 2.: Celkový počet ohrožených osob dle pohlaví leden 2012... 4 Obsah Graf č. 1.: Celkový počet ohrožených osob leden 2012... 3 Graf č. 2.: Celkový počet ohrožených osob dle pohlaví leden 2012... 4 Graf č. 3.: Celkový počet ohrožených osob únor 2012... 5 Graf č. 4.:

Více

SČÍTÁNÍ UŽIVATELŮ CYKLOSTEZEK NA ÚZEMÍ JIHOMORAVSKÉHO KRAJE

SČÍTÁNÍ UŽIVATELŮ CYKLOSTEZEK NA ÚZEMÍ JIHOMORAVSKÉHO KRAJE ZAŽÍT KRAJ VÍNA A PAMÁTEK NA KOLE SČÍTÁNÍ UŽIVATELŮ CYKLOSTEZEK NA ÚZEMÍ JIHOMORAVSKÉHO KRAJE ZPRÁVA ZA ROK 211 tel: (+42) 515 93 111 fax: (+42) 515 93 11 www.scitace.cz 2 Obsah 1 Základní údaje o sčítání

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Harmonogram soutěží 2015 / 2016

Harmonogram soutěží 2015 / 2016 14. 10. 2015 - Přírodovědný klokan 8.12. - MO školní kolo kat. A do 22.12. AO, kat. AB,CD,EF,GH školní kolo 12. 11. 2015 - ChO - test školního kola kat. A, E 4. 12. 2015 - ChO - krajské kolo kat. A, E

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 2 Výroková logika pokračování Logické vyplývání

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s

Více

Práce s čísly. Klíčové pojmy: Základní matematické operace, zápis složitějších příkladů, mocniny, odmocniny, zkrácené operátory

Práce s čísly. Klíčové pojmy: Základní matematické operace, zápis složitějších příkladů, mocniny, odmocniny, zkrácené operátory Práce s čísly Cílem kapitoly je seznámit žáky se základy práce s čísly v programu python. Klíčové pojmy: Základní matematické operace, zápis složitějších příkladů, mocniny, odmocniny, zkrácené operátory

Více

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři

Více

METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově

METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově METODICKÉ LISTY výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově reg. č. projektu: CZ.1.07/1.3.11/02.0005 Sada metodických listů: KABINET MATEMATIKY Název metodického

Více

DOMOVNÍČEK. Číslo 1/2013. DS Věstonická Domovníček č. 1/2013 Stránka 1

DOMOVNÍČEK. Číslo 1/2013. DS Věstonická Domovníček č. 1/2013 Stránka 1 DOMOVNÍČEK Číslo 1/2013 DS Věstonická Domovníček č. 1/2013 Stránka 1 Slovo ředitele Domova pro seniory Věstonická Ing. Rudolfa Nytla Vážení čtenáři, dnes se Vám dostává do rukou první vydání našeho zpravodaje,

Více

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA pro žáky základních škol a nižších ročníků víceletých gymnázií 63. ROČNÍK, 2013/2014 http://math.muni.cz/mo Milí mladí přátelé, máte rádi zajímavé matematické úlohy a chtěli byste

Více

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 015 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 1 1. Původní cena knihy byla 50 Kč. Pak byla zdražena o 15 %. Jelikož nešla

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

NEWSLETTER MŠMT Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost

NEWSLETTER MŠMT Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost NEWSLETTER MŠMT Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Výkazy práce Vážené čtenářky, Vážení čtenáři, v uplynulých měsících mnohokrát proběhla médií informace o provedeném auditu Evropské

Více

Řešení 3. série. Řešení J-I-3-1 Rok má 365 dní, 12 měsíců. Pro názornost si zde vypíšeme vždy první den v měsíci a jeho pořadové číslo v roce.

Řešení 3. série. Řešení J-I-3-1 Rok má 365 dní, 12 měsíců. Pro názornost si zde vypíšeme vždy první den v měsíci a jeho pořadové číslo v roce. Řešení 3. série Řešení J-I-3-1 Rok má 365 dní, 12 měsíců. Pro názornost si zde vypíšeme vždy první den v měsíci a jeho pořadové číslo v roce. 1.1. 1.den 1.7. 182.den 1.2. 32.den 1.8. 213.den 1.3. 60.den

Více

Přijímací řízení. Krajský úřad Pardubického kraje odbor školství, kultury a tělovýchovy oddělení organizační a vzdělávání

Přijímací řízení. Krajský úřad Pardubického kraje odbor školství, kultury a tělovýchovy oddělení organizační a vzdělávání Přijímací řízení pro školní rok 2011/2012 Krajský úřad Pardubického kraje odbor školství, kultury a tělovýchovy oddělení organizační a vzdělávání Jednotné přijímací zkoušky Rada Pardubického kraje dne

Více

Co víme o přirozených číslech

Co víme o přirozených číslech Co víme o přirozených číslech 4. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 24 31. Persistent

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jaroslav Bílek Pythagorova věta ve třetí třídě středních škol Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 66 (1937), No. 4, D265--D268 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123381

Více

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.

Více

2. Přečtěte zapsaná desetinná čísla 0,27; 1,4; 1,57; 0,729; 2,4; 128,456; 0,005; 0,7; 12,54; 0,034; 100,001; 0,1

2. Přečtěte zapsaná desetinná čísla 0,27; 1,4; 1,57; 0,729; 2,4; 128,456; 0,005; 0,7; 12,54; 0,034; 100,001; 0,1 2a) Desetinná čísla celá část desetinná část příklady k procvičení 1. Zapište číslo a) 5 celých 4 desetin, 8 setin b) 8 set 4 desítky 7 jednotek 1 desetina 8 tisícin c) 2 miliony 8 tisíc 9 tisícin. 2.

Více

VÝPOČET STAROBNÍHO DŮCHODU

VÝPOČET STAROBNÍHO DŮCHODU VÝPOČET STAROBNÍHO DŮCHODU Starobní důchod patří mezi důchody přímé, tj. důchody, které se vyměřují v závislosti na získané době důchodového pojištění a na výši dosažených výdělků v rozhodném období (výpočtového

Více

Systémové elektrické instalace KNX/EIB (11. část) Ing. Josef Kunc

Systémové elektrické instalace KNX/EIB (11. část) Ing. Josef Kunc Systémové elektrické instalace KNX/EIB (11. část) Ing. Josef Kunc Stmívací akční členy Hlavním úkolem těchto přístrojů je spínání a stmívání světelného zdroje. Stejně jako v klasických elektrických instalacích

Více

Cvičná přijímací zkouška 16.1.2013. d) Kolikrát je součin čísel 163 a 48 větší než rozdíl čísel 385 a 377?

Cvičná přijímací zkouška 16.1.2013. d) Kolikrát je součin čísel 163 a 48 větší než rozdíl čísel 385 a 377? Cvičná přijímací zkouška 16.1.2013 1) Vypočítejte: a) 137 48 2769 = b) 36 2 11+ 36 2 16 + 55 2 30 + 56 2 15 = c) O kolik je rozdíl čísel 137 a 98 menší než jejich součet? d) Kolikrát je součin čísel 163

Více

MATEMATIKA. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2 Pravidla správného zápisu řešení. 3.2 Pokyny k uzavřeným úlohám 7-15 DIDAKTICKÝ TEST

MATEMATIKA. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2 Pravidla správného zápisu řešení. 3.2 Pokyny k uzavřeným úlohám 7-15 DIDAKTICKÝ TEST MATEMATIKA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY DIDAKTICKÝ TEST B TS-M5MBCINT Maximální bodové hodnocení: 50 bodů 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 15 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Z JEDNÁNÍ ZASTUPITELSTVA OBCE konaného dne 5. srpna 2010

Z JEDNÁNÍ ZASTUPITELSTVA OBCE konaného dne 5. srpna 2010 16. ročník srpen 2010 Z JEDNÁNÍ ZASTUPITELSTVA OBCE konaného dne 5. srpna 2010 Usnesením č. 31/2010 zastupitelé rozhodli zadat provedení stavby odradonovacího zařízení veřejného vodovodu v Horních Dvorcích

Více

Teoretická rozdělení

Teoretická rozdělení Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické

Více

SLOVENSKEJ REPUBLIKY

SLOVENSKEJ REPUBLIKY ZBIERKA ZÁKONOV SLOVENSKEJ REPUBLIKY Ročník 1948 Vyhlásené: 02.08.1948 Časová verzia predpisu účinná od: 13.11.1947 do: 01.08.1948 Obsah tohto dokumentu má informatívny charakter. 180. Z á k o n ze dne

Více

Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou

Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou Gymnázium Přírodní škola, o p s Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou Jan Pokorný Petr Martiška, Vojtěch Žák 1 11 2012 Obsah 1 Úvod 3 2 Teoretické základy a použité metody 4 21

Více

( ) ( ) 2.8.2 Lineární rovnice s parametrem II. Předpoklady: 2801

( ) ( ) 2.8.2 Lineární rovnice s parametrem II. Předpoklady: 2801 .8. Lineární rovnice s parametrem II Předpoklady: 80 Pedagogická poznámka: Zvládnutí zápisu a obecného postupu (dělení podle hodnot parametru) při řešení parametrických rovnic v této hodině je zásadní

Více

Soutěž družstev Booklet

Soutěž družstev Booklet Poděbrady 0 Soutěž družstev Booklet Tento materiál obsahuje kompletní seznam typů úloh, které budou použity v soutěži družstev. Cílem je, aby se hráči seznámili se zadáními a mohli prodiskutovat s kolegy,

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

Vícekriteriální hodnocení variant metody

Vícekriteriální hodnocení variant metody Katedra aplikované matematiky a informatiky Jihočeská Univerzita v Českých Budějovicích, Ekonomická fakulta 2010 Metody vícekriteriální hodnocení variant (VHV) Jak jsme již zmiňovali, VHV obecně neposkytuje

Více

2012 / Bez obav - Zvládnu to sám

2012 / Bez obav - Zvládnu to sám 2012 / 2013 - Bez obav - Zvládnu to sám leden 2012 ne po út st čt pá so ne po út st čt pá so ne po út st čt pá so ne po út st čt pá so ne po út únor 2012 st čt pá so ne po út st čt pá so ne po út st čt

Více

Pondělník 15. Vážené studentky a vážení studenti, oslovuji Vás 15. číslem Pondělníku a zároveň prvním v novém kalendářním roce 2013.

Pondělník 15. Vážené studentky a vážení studenti, oslovuji Vás 15. číslem Pondělníku a zároveň prvním v novém kalendářním roce 2013. Pondělník 15 Pondělní zpravodaj pro studenty Přírodovědecké fakulty UP v Olomouci ZS 2012/2013 Vážené studentky a vážení studenti, oslovuji Vás 15. číslem Pondělníku a zároveň prvním v novém kalendářním

Více

Kompletní informace k výluce vlaků v Brně (od 15. 8. do 31. 8. 2011)

Kompletní informace k výluce vlaků v Brně (od 15. 8. do 31. 8. 2011) Kompletní informace k výluce vlaků v Brně (od 15. 8. do 31. 8. 2011) Pondělí 15. 8. 2011 Výluka Řečkovice v době od 0.00 do 24.00 hodin Úterý 16. 8. 2011 Výluka Řečkovice v době od 0.00 do 24.00 hodin

Více

Fond... celkový požadovaný fond pracovní doby za období (kolik odpracovat měl)

Fond... celkový požadovaný fond pracovní doby za období (kolik odpracovat měl) Exportní soubor pro mzdové programy Při vytváření výsledovky v programu Docházka 3000 máte možnost ve druhém kroku (po doběhnutí výpočtů) zatrhnout volbu Export. Ta umožní vytvoření exportního souboru

Více

Hledáte si i během trvání rekvalifikace práci?

Hledáte si i během trvání rekvalifikace práci? Účastnice A: No asi nic moc, protože jsem neměla práci a nikde jsem ji nemohla najít. No doufám, že mi pomůže? Myslíte jako najít práci nebo obecně? No hlavně tu práci, no a pak se budu mít jako celkově

Více

Ten objekt (veličina), který se může svobodně měnit se nazývá nezávislý.

Ten objekt (veličina), který se může svobodně měnit se nazývá nezávislý. @001 1. Základní pojmy Funkce funkční? Oč jde? Třeba: jak moc se oblečeme, závisí na venkovní teplotě, jak moc se oblečeme, závisí na našem mládí (stáří) jak jsme staří, závisí na čase jak moc zaplatíme

Více

ÚLOHY SE SPORTOVNÍ TÉMATIKOU PRO MATEMATICKÉ TALENTY, vč. metodického listu. doc. PhDr. Marta Volfová, CSc.

ÚLOHY SE SPORTOVNÍ TÉMATIKOU PRO MATEMATICKÉ TALENTY, vč. metodického listu. doc. PhDr. Marta Volfová, CSc. ÚLOHY SE SPORTOVNÍ TÉMATIKOU PRO MATEMATICKÉ TALENTY, vč. metodického listu doc. PhDr. Marta Volfová, CSc. Centrum talentů M&F&I, Univerzita Hradec Králové, 2010 Úlohy se sportovní tematikou pro matematické

Více

7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky

7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky 0 Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek vyjádření části celku část snědla jsem kousky celek a pizza byla rozdělena na kousky Pojem zlomek Vyjádření zlomku Základní tvar: čitatel a jmenovatel jsou nesoudělná

Více

TEST 1 (40 bodů) (9 4)! 2. Nejméně kolikrát musíme hodit kostkou, abychom měli alespoň 80% pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka?

TEST 1 (40 bodů) (9 4)! 2. Nejméně kolikrát musíme hodit kostkou, abychom měli alespoň 80% pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? TEST (40 bodů) Jméno:. Pin karty se skládá ze čtyř náhodně vybraných číslic až 9, z nichž se žádné neopakuje. Jaká je pravděpodobnost, že všechny čtyři číslice budou liché? podíl všech možností,jak vybrat

Více

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich Normy matic Příklad 1 Je dána matice A a vektor y: A = 2 0 3 4 3 2 y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Ověřte, že platí Ay A y (1) Ay = (4, 14, 2) T 2 2 Frobeniova norma

Více

Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty

Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Počítání se zlomky In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický ústav

Více

Matematická statistika

Matematická statistika Matematická statistika Daniel Husek Gymnázium Rožnov pod Radhoštěm, 8. A8 Dne 12. 12. 2010 v Rožnově pod Radhoštěm Osnova Strana 1) Úvod 3 2) Historie matematické statistiky 4 3) Základní pojmy matematické

Více

Dělitelnost přirozených čísel. Násobek a dělitel

Dělitelnost přirozených čísel. Násobek a dělitel Dělitelnost přirozených čísel Násobek a dělitel VY_42_INOVACE_ČER_10 1. Autor: Mgr. Soňa Černá 2. Datum vytvoření: 2.1.2012 3. Ročník: 6. 4. Vzdělávací oblast: Matematika 5. Vzdělávací obor: Matematika

Více

N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 125 N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l e a k t i v n ě

N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 125 N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l e a k t i v n ě N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 125 N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l e a k t i v n ě - i n t e r a k t i v n ě Č í s l o p r o j e k t u

Více

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647 ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ..07/.4.00/2.0647 Název vzdělávacího materiálu: VY_32_INOVACE_HRAVĚ06 Soutěž sčítání a odčítání do 20, slovní úlohy, sčítání

Více

Kód uchazeče ID:... Varianta: 14

Kód uchazeče ID:... Varianta: 14 Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 14 1. V lednu byla zaměstnancům zvýšena mzda o 16 % prosincové mzdy. Následně

Více

Predispozice pro výuku IKT (2015/2016)

Predispozice pro výuku IKT (2015/2016) Konzervatoř P. J. Vejvanovského Kroměříž Predispozice pro výuku IKT (15/16) Základní algoritmy pro počítání s celými a racionálními čísly Adam Šiška 1 Sčítání dvou kladných celých čísel Problém: Jsou dána

Více

Zámecké listy. Domov Pod Lipami Smečno. poskytovatel sociálních služeb. Číslo 44. prosinec 2013. Prosinec

Zámecké listy. Domov Pod Lipami Smečno. poskytovatel sociálních služeb. Číslo 44. prosinec 2013. Prosinec Domov Pod Lipami Smečno poskytovatel sociálních služeb Číslo 44. prosinec 2013 Zámecké listy Prosinec je podle gregoriánského kalendáře dvanáctý a poslední měsíc v roce. Má 31 dní. Prosinec začíná stejným

Více

Michal Malátný z Chinaski: Jsem chodící reklama na rodičovství a manželství Neděle, 17 Květen 2015 00:33

Michal Malátný z Chinaski: Jsem chodící reklama na rodičovství a manželství Neděle, 17 Květen 2015 00:33 V poslední době se vám velmi daří. Vydali jste novou desku, sbíráte jedno ocenění za druhým a jste uprostřed vyprodaného turné. Co plánujete po jeho zakončení? 1 / 6 Turné se sice blíží ke svému závěru,

Více

DODATEČNÉ INFORMACE K ZADÁVACÍM PODMÍNKÁM A ZMĚNA ZADÁVACÍCH PODMÍNEK

DODATEČNÉ INFORMACE K ZADÁVACÍM PODMÍNKÁM A ZMĚNA ZADÁVACÍCH PODMÍNEK DODATEČNÉ INFORMACE K ZADÁVACÍM PODMÍNKÁM A ZMĚNA ZADÁVACÍCH PODMÍNEK OTEVŘENÉ ŘÍZENÍ ČESKÉ REPUBLIKY ÚŘADU PRÁCE ČESKÉ REPUBLIKY NA VEŘEJNOU ZAKÁZKU S NÁZVEM REALIZACE REKVALIFIKACÍ A PORADENSKÝCH ČINNOSTÍ

Více

www.insolvencnispravce.info

www.insolvencnispravce.info Insolvenční správce Informační newsletter ze světa vašeho software Nová verze informačního systému Insolvenční správce vyjde na začátku listopadu 2012 Na začátek listopadu 2012 jsme pro vás, naše zákazníky,

Více

Matematický KLOKAN 2005 (A) 2 005 002 005 (B) 20 052 005 (C) 2 007 005 (D) 202 555 (E) 202 505 (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 2 (E) 1

Matematický KLOKAN 2005 (A) 2 005 002 005 (B) 20 052 005 (C) 2 007 005 (D) 202 555 (E) 202 505 (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 2 (E) 1 Matematický KLOKAN 2005 kategorie Benjamín Úlohy za 3 body 1. Vypočítej 2 005. 100 + 2 005. (A) 2 005 002 005 (B) 20 052 005 (C) 2 007 005 (D) 202 555 (E) 202 505 2. Anička a Bětka mají dohromady 10 bonbonů.

Více

21. ročník červenec 2015. Z JEDNÁNÍ ZASTUPITELSTVA OBCE konaného dne 2. července 2015

21. ročník červenec 2015. Z JEDNÁNÍ ZASTUPITELSTVA OBCE konaného dne 2. července 2015 21. ročník červenec 2015 Z JEDNÁNÍ ZASTUPITELSTVA OBCE konaného dne 2. července 2015 Usnesením č. 33/2015 zastupitelé vzali na vědomí rozpočtové opatření č. 5/2015. Usnesením č. 34/2015 zastupitelé schválili

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

Účetní předpisy versus obchodní zákoník

Účetní předpisy versus obchodní zákoník Účetní předpisy versus obchodní zákoník V souvislosti s platnými účetními předpisy se již v roce 2002 vyskytly některé problémy ve vztahu k obchodnímu zákoníku. Zejména změny v promítání odložené daně

Více

Legislativní pravidla vlády (dále jen LPV ) schválená usnesením vlády ze dne 19. března 1998 č. 188, ve znění

Legislativní pravidla vlády (dále jen LPV ) schválená usnesením vlády ze dne 19. března 1998 č. 188, ve znění AKTUALIZOVÁNO K DATU 15. 11. 2010 Legislativní pravidla vlády (dále jen LPV ) schválená usnesením vlády ze dne 19. března 1998 č. 188, ve znění usnesení vlády ze dne 21. srpna 1998 č. 534, usnesení vlády

Více

Logické úlohy, vč. řešení. Marta Volfová

Logické úlohy, vč. řešení. Marta Volfová Logické úlohy, vč. řešení Marta Volfová Centrum talentů M&F&I, Univerzita Hradec Králové, 2010 Logické úlohy 1. Muž cestuje s (částečně ochočeným) vlkem, kozou a pytlem zelí. Dojde k dosti široké a hluboké

Více

Z JEDNÁNÍ ZASTUPITELSTVA OBCE konaného dne 6. srpna 2015

Z JEDNÁNÍ ZASTUPITELSTVA OBCE konaného dne 6. srpna 2015 21. ročník srpen 2015 Z JEDNÁNÍ ZASTUPITELSTVA OBCE konaného dne 6. srpna 2015 Usnesením č. 36/2015 zastupitelé vzali na vědomí rozpočtové opatření č. 7/2015. Usnesením č. 37/2015 zastupitelé rozhodli

Více

Odůvodnění: Dne 8. 11. 2011 podal navrhovatel k Českému telekomunikačnímu úřadu návrh na rozhodnutí sporu o plnění povinnosti k peněžitému plnění prostřednictvím systému a na elektronickém formuláři, který

Více

POJISTNÉ NA SOCIÁLNÍ ZABEZPEČENÍ 1. vydání 1. aktualizace k 1. 8. 2009

POJISTNÉ NA SOCIÁLNÍ ZABEZPEČENÍ 1. vydání 1. aktualizace k 1. 8. 2009 POJISTNÉ NA SOCIÁLNÍ ZABEZPEČENÍ 1. vydání 1. aktualizace k 1. 8. 2009 Nabyl úèinnosti 1. března 2009 Str. 10 Zákon č. 41/2009 Sb., o změně některých zákonů v souvislosti s přijetím trestního zákoníku

Více

na období od 1. ledna 2015 (úplné znění od 18. prosince 2015)

na období od 1. ledna 2015 (úplné znění od 18. prosince 2015) Ú S T A V N Í S O U D R o z v r h p r á c e Ú s t a v n í h o s o u d u na období od 1. ledna 2015 (úplné znění od 18. prosince 2015) Podle 16 zákona č. 182/1993 Sb., o Ústavním soudu, ve znění pozdějších

Více

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY UNIVERZITA OBRANY KATEDRA EKONOMETRIE UČEBNÍ TEXT PRO DISTANČNÍ STUDIUM EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY RNDr. Michal ŠMEREK doc. RNDr. Jiří MOUČKA, Ph.D. B r n o 2 0 0 8 Anotace: Skriptum Ekonomicko-matematické

Více

Jihlavské listy. Třebíčský deník

Jihlavské listy. Třebíčský deník Jihlavské listy 18.08.2015 - (jv) - Kultura - str. 09 Vernisáž a dvě nové knihy o historii Brtnice BRTNICE - Dvě knihy o historii Brtnice budou představeny v nadcházejících dnech. Výstava obrazů Aloise

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 8

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 8 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 8 analýza závislostí kontingenční tabulky test závislosti v kontingenční tabulce analýza rozptylu regresní analýza lineární regrese Analýza závislostí Budeme ověřovat existenci

Více

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA pro žáky základních škol a nižších ročníků víceletých gymnázií 63. ROČNÍK, 2013/2014 http://math.muni.cz/mo Milí mladí přátelé, máte rádi zajímavé matematické úlohy a chtěli byste

Více

ILUSTRAÈNÍ TEST LIBERECKÝ KRAJ

ILUSTRAÈNÍ TEST LIBERECKÝ KRAJ ILUSTRAÈNÍ TEST LIBERECKÝ KRAJ NEOTVÍREJ, DOKUD NEDOSTANEŠ POKYN! Test obsahuje 30 úloh na 60 minut. Každá úloha má právì jedno správné øešení. Za správné øešení získáš 2 body. Za chybnou odpovìï ztratíš

Více

POKYNY. k vyplnění přiznání k dani z příjmů právnických osob

POKYNY. k vyplnění přiznání k dani z příjmů právnických osob POKYNY k vyplnění přiznání k dani z příjmů právnických osob Všeobecně 1) Poplatníky daně z příjmů právnických osob (dále v těchto pokynech jen daň ) jsou osoby, které nejsou fyzickými osobami ( 17 zákona

Více

Analýza přežití čertic a čertů

Analýza přežití čertic a čertů StatSoft Analýza přežití čertic a čertů Vzpomeňme si na pohádku s Čerty nejsou žerty. V ní Lucifer (dále jen Lůca) pověřil čerta Janka, aby přinesl Dorotu Máchalovou do pekla, poněvadž míra jejích hříchů

Více

Služba na tomto služebním místě bude vykonávána ve služebním poměru na dobu neurčitou.

Služba na tomto služebním místě bude vykonávána ve služebním poměru na dobu neurčitou. Oznámení o vyhlášení výběrového řízení na služební místo vrchní ministerský rada - vedoucí oddělení FM 2007, v odboru 12 Financování územních rozpočtů a programové financování, odd. 1203 Legislativa a

Více

R 13-01 Výkaz o ředitelství škol podle stavu k 30. 9. 2015 Pokyny a vysvětlivky k vyplnění

R 13-01 Výkaz o ředitelství škol podle stavu k 30. 9. 2015 Pokyny a vysvětlivky k vyplnění Liší-li se text či vysvětlivky uvedené na formuláři výkazu od těchto Pokynů a vysvětlivek k vyplnění, platí verze uvedená v Pokynech a vysvětlivkách. Kdo výkaz vyplňuje Výkaz vyplňují všechny mateřské

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

3 Rozúčtování nákladů na vytápění v zúčtovací jednotce

3 Rozúčtování nákladů na vytápění v zúčtovací jednotce 269 VYHLÁŠKA ze dne 30. září 2015 o rozúčtování nákladů na vytápění a společnou přípravu teplé vody pro dům Ministerstvo pro místní rozvoj stanoví podle 14a zákona č. 67/2013 Sb., kterým se upravují některé

Více

ZBIERKA ZÁKONOV SLOVENSKEJ REPUBLIKY. Ročník 1977. Vyhlásená verzia v Zbierke zákonov Slovenskej republiky

ZBIERKA ZÁKONOV SLOVENSKEJ REPUBLIKY. Ročník 1977. Vyhlásená verzia v Zbierke zákonov Slovenskej republiky ZBIERKA ZÁKONOV SLOVENSKEJ REPUBLIKY Ročník 1977 Vyhlásené: 28.12.1977 Vyhlásená verzia v Zbierke zákonov Slovenskej republiky Obsah tohto dokumentu má informatívny charakter. 98 V Y H L Á Š K A Ministerstva

Více

Výzva k podání nabídek

Výzva k podání nabídek Výzva k podání nabídek Číslo zakázky (bude doplěno CZ.1.07/1.2.05/02.0022 2/28 MŠMT nebo ZS) Název programu: Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.2.05/02.0022

Více

HODNOTÍCÍ ZPRÁVA o činnosti SCD v OB SK Žabovřesky Brno v roce 2015

HODNOTÍCÍ ZPRÁVA o činnosti SCD v OB SK Žabovřesky Brno v roce 2015 SK Žabovřesky Brno HODNOTÍCÍ ZPRÁVA o činnosti SCD v OB SK Žabovřesky Brno v roce 2015 Brno, prosinec 2015 Obsah 1. Název projektu 2 2. Předkladatel 2 3. Řešitel projektu 2 4. Závodníci zařazení do SCD

Více

DĚLITEL A NÁSOBEK DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL VY_32_INOVACE_TR_01-20_MA-6. autor Hana Trundová. vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

DĚLITEL A NÁSOBEK DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL VY_32_INOVACE_TR_01-20_MA-6. autor Hana Trundová. vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Základní škola, Šlapanice, okres Brno-venkov, příspěvková organizace Masarykovo nám. 1594/16, 664 51 Šlapanice www.zsslapanice.cz MODERNÍ A KONKURENCESCHOPNÁ ŠKOLA reg. č.: CZ.1.07/1.4.00/21.2389 DĚLITEL

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký

Více

SMÍCHOVINY. Časopis, který se umí smát.. Časopis J&G Společnosti. Úvod aneb pár slov na začátek

SMÍCHOVINY. Časopis, který se umí smát.. Časopis J&G Společnosti. Úvod aneb pár slov na začátek S VAZEK 1, VYDÁNÍ 1 P OČET VÝTISKŮ 40 SMÍCHOVINY Časopis, který se umí smát.. V YDÁNO DNE 8.1.2013 Časopis J&G Společnosti Uvnitř tohoto vydání: Úvod 1 Ohlédnutí za minulým měsícem Projekt 2013 Za zábavou

Více

ZBIERKA ZÁKONOV SLOVENSKEJ REPUBLIKY. Ročník 1991. Vyhlásené: 30.12.1991 Časová verzia predpisu účinná od: 01.01.1992

ZBIERKA ZÁKONOV SLOVENSKEJ REPUBLIKY. Ročník 1991. Vyhlásené: 30.12.1991 Časová verzia predpisu účinná od: 01.01.1992 ZBIERKA ZÁKONOV SLOVENSKEJ REPUBLIKY Ročník 1991 Vyhlásené: 30.12.1991 Časová verzia predpisu účinná od: 01.01.1992 Obsah tohto dokumentu má informatívny charakter. 549 Z Á K O N České národní rady ze

Více

www.ujep.cz/ujep/pf/kmat/home/page2/kos.htm

www.ujep.cz/ujep/pf/kmat/home/page2/kos.htm Milý příteli, dostal se Ti do rukou druhý ročník matematického korespondenčního semináře KOS SEVERÁK. Kategorie Student je určena pro studenty všech ročníků středních škol (tedy od 10. roku chození do

Více

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO 1. kolo řešení matematika

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO 1. kolo řešení matematika INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO 1. kolo řešení matematika 1. Zimní bundu zdražili v obchodě o 22 % a po zdražení stála 5 68 Kč. Kolik korun stála bunda před zdražením? 122 % 5 68 Kč 1 % 44 Kč 100 % 4 400

Více

Úloha 2. Obdélník ABCDprotínákružnicivbodech E, F, G, H jakonaobrázku.jestližeplatí AE =3, DH =4a GH =5,určete EF. G C

Úloha 2. Obdélník ABCDprotínákružnicivbodech E, F, G, H jakonaobrázku.jestližeplatí AE =3, DH =4a GH =5,určete EF. G C Úloha 1. Čitatel i jmenovatel Kennyho zlomku jsou přirozená čísla se součtem 2011. Hodnota zlomku jepřitommenšínež 1 3.Jakánejvětšímůžetatohodnotabýt? Úloha 2. Obdélník Dprotínákružnicivbodech E, F, G,

Více

P O K Y N Y k vyplnění přiznání k dani silniční za zdaňovací období (kalendářní rok) 2015 nebo jeho část

P O K Y N Y k vyplnění přiznání k dani silniční za zdaňovací období (kalendářní rok) 2015 nebo jeho část P O K Y N Y k vyplnění přiznání k dani silniční za zdaňovací období (kalendářní rok) 2015 nebo jeho část Základní informace k dani silniční Daň silniční je upravena zákonem č. 16/1993 Sb., o dani silniční,

Více

Řešení elektronických obvodů Autor: Josef Sedlák

Řešení elektronických obvodů Autor: Josef Sedlák Řešení elektronických obvodů Autor: Josef Sedlák 1. Zdroje elektrické energie a) Zdroje z hlediska průběhu zatěžovací charakteristiky b) Charakter zdroje c) Přenos výkonu ze zdroje do zátěže 2. Řešení

Více

SBÍRKA ZÁKONŮ. Ročník 2016 ČESKÁ REPUBLIKA. Částka 36 Rozeslána dne 31. března 2016 Cena Kč 98, O B S A H :

SBÍRKA ZÁKONŮ. Ročník 2016 ČESKÁ REPUBLIKA. Částka 36 Rozeslána dne 31. března 2016 Cena Kč 98, O B S A H : Ročník 2016 SBÍRKA ZÁKONŮ ČESKÁ REPUBLIKA Částka 36 Rozeslána dne 31. března 2016 Cena Kč 98, O B S A H : 88. Zákon, kterým se mění zákon č. 309/2006 Sb., kterým se upravují další požadavky bezpečnosti

Více

Eufrat a Tigris HRACÍ MATERIÁL PŘÍPRAVA NA HRU. Sestavení monumentů. Příprava hrací desky. Výběr dynastie

Eufrat a Tigris HRACÍ MATERIÁL PŘÍPRAVA NA HRU. Sestavení monumentů. Příprava hrací desky. Výběr dynastie HRACÍ MATERIÁL Eufrat a Tigris 1 hrací deska 153 civilizačních kartiček - 30 černých osady - 57 červených chrámy - 36 modrých farmy - 30 zelených tržiště 8 kartiček katastrof 4 spojovací kartičky 4 kartičky

Více

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA pro žáky základních škol a nižších ročníků víceletých gymnázií 65. ROČNÍK, 2015/2016 http://math.muni.cz/mo Milí mladí přátelé, máte rádi zajímavé matematické úlohy a chtěli byste

Více