METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově

Transkript

1 METODICKÉ LISTY výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově reg. č. projektu: CZ.1.07/1.3.11/ Sada metodických listů: KABINET MATEMATIKY Název metodického listu: DĚLITELNOST V OBORU PŘIROZENÝCH ČÍSEL NA SŠ

2 Název příspěvku Jméno autora Stručná anotace Očekávaný výstup vzhledem k RVP ZV Rozvíjené klíčové kompetence Průřezové téma Organizace časová Nutné pomůcky a prostředky Použitá literatura a zdroje Dělitelnost v oboru přirozených čísel na SŠ Ing. Jana Michaliková Přehled základních pojmů týkajících se dělitelnosti přirozených čísel, řešené příklady na procvičení provádí operace s přirozenými čísly rozliší prvočíslo a číslo složené užívá vlastnosti dělitelnosti přirozených čísel rozloží číslo na prvočinitele určí největší společný dělitel a nejmenší společný násobek užívá Euklidův algoritmus Kompetence k učení osvojuje si matematické pojmy a vztahy často řeší úlohy individuálně plánuje postupy Kompetence komunikativní užívá správnou terminologii a symboliku je veden k používání odborného jazyka formuluje své myšlenky, otázky a problémy je veden ke správné interpretaci přijímaných řešení Kompetence sociální a personální spolupracuje při řešení úloh hodnotí podíl vlastní práce na řešení úlohy a přínos druhých je veden k rozhodování se na základě vlastního úsudku Kompetence k podnikavosti je vybízen k vlastní iniciativě a tvořivosti Kompetence k řešení problémů provádí rozbor úlohy, plánuje řešení ověřuje různé postupy při řešení problému hledá a vytváří další úlohy, které je možné řešit nalezeným postupem OSV organizační dovednosti a efektivní řešení problémů 2 vyučovací hodiny Psací potřeby, tabule Josef Polák, Přehled středoškolské matematiky, SPN Praha 1980 I.Bušek, E.Calda, Základní poznatky z matematiky, Prometheus 1992

3 Poznámka Komentář k příspěvku např. způsob vyhodnocení, zpětné vazby Úvodem Metodický list má dvě části. První část tvoří přehled základních pojmů (nových i těch, které žáci již znají ze ZŠ) a druhou částí je soubor jednoduchých příkladů na procvičení včetně jejich řešení (pro výklad a procvičení pojmů ve vyučovací hodině). Příklady jsou doplněny návodem na jejich obměnu. Základní pojmy: Dělitel, největší společný dělitel, násobek, nejmenší společný násobek, čísla soudělná a nesoudělná. Kritéria dělitelnosti (číslo, číslice-cifra, ciferný součet, ciferný řád čísla, postavení jedničky). Samozřejmí (vlastní) dělitelé, prvočíslo a číslo složené, prvočíselný rozklad. ML může sloužit nejen učitelům SŠ jako příprava na vyučovací hodinu, ale též maturantům při opakování a přípravě na složení maturity, nebo jako pomůcka pro žáky studující v dálkovém či individuálním studiu. Pojmy, které si žák osvojí, jsou v textu uvedeny tučně. Některé příklady v druhé části ML jsou doplněny poznámkou, která uvádí možné obměny zadání. Úlohy na důkazy dělitelnosti využívají převážně metodu matematické indukce a jsou obsahem jiného ML.

4 Pracovní list Vysvětlení základních pojmů Dělitel a násobek: Jestliže existuje podíl přirozených čísel a, b, pak vztah mezi těmito čísly lze zapsat a = bq, kde q je přirozené číslo, a uvedený vztah lze pojmenovat těmito způsoby: číslo a je dělitelné číslem b číslo a je násobkem čísla b číslo b je dělitelem čísla a Kritéria (znaky) dělitelnosti: Dvěma Třemi Čtyřmi Přirozené číslo je dělitelné dvěma právě tehdy, končí-li některou z číslic 0, 2, 4, 6, 8. Přirozené číslo je dělitelné třemi právě tehdy, je-li jeho ciferný součet dělitelný třemi. Přirozené číslo je dělitelné čtyřmi právě tehdy, je-li jeho poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi (kritérium dělitelnosti dvaceti, dvaceti pěti a padesáti obdobně). Pěti Přirozené číslo je dělitelné pěti právě tehdy, končí-li číslicí 0, nebo 5. Šesti Osmi Devíti Přirozené číslo je dělitelné šesti právě tehdy, je-li dělitelné dvěma a zároveň třemi. Přirozené číslo je dělitelné osmi právě tehdy, je-li jeho poslední trojčíslí dělitelné osmi. Přirozené číslo je dělitelné devíti právě tehdy, je-li jeho ciferný součet dělitelný devíti. Deseti Přirozené číslo je dělitelné deseti právě tehdy, končí-li cifrou 0. Jedenácti Přirozené číslo je dělitelné jedenácti právě tehdy, jestliže součet cifer lichých řádů se liší od součtu cifer sudých řádů o celočíselný násobek jedenácti. Dvanácti Přirozené číslo je dělitelné dvanácti právě tehdy, je-li dělitelné třemi a zároveň čtyřmi. Číslo 1 je dělitelné pouze jediným dělitelem (sebou samým) Každé přirozené číslo větší než jedna je dělitelné sebou samým a číslem 1 tyto dělitelé se nazývají samozřejmí dělitelé. Přirozené číslo, které má pouze samozřejmé dělitele, se nazývá prvočíslo. Existuje nekonečně mnoho prvočísel.

5 Přirozené číslo, které není prvočíslem, se nazývá číslo složené. Každé složené číslo lze vyjádřit ve tvaru součinu několika prvočísel jediným způsobem (až na pořadí činitelů) tzv. prvočinitelé. Rozklad čísla na součin prvočinitelů (prvočíselný rozklad) žáci zvládají již na ZŠ a používají ho např. při stanovení nejmenšího společného násobku či největšího společného dělitele čísel. Číslo složené má nejméně dva prvočinitele, z nichž aspoň jeden musí být menší než n. Není-li číslo dělitelné žádným prvočíslem p n využívá při určování, zda je číslo prvočíslem nebo číslem složeným (číslo n dělíme postupně prvočísly Společný dělitel přirozených čísel p n). n..., je samo prvočíslem. Toho se 1, n2, n3... nk je takové přirozené číslo, které je dělitelem každého z těchto čísel. Skupina (dvou i více) přirozených čísel může mít více společných dělitelů. Ten ze společných dělitelů, který je větší než všichni ostatní společní dělitelé, se nazývá největší společný dělitel čísel a označuje se D( n 1, n2, n nk ). Pro nesoudělná čísla platí D( n 1, n2, n nk ) = 1 Pro výpočet největšího společného dělitele dvou a více čísel lze použít prvočíselný rozklad. Největší společný dělitel je součin společných prvočinitelů všech čísel v nejnižší mocnině, která se v rozkladech vyskytuje. Společný násobek přirozených čísel n... 1, n2, n3... nk je takové přirozené číslo, které je násobkem každého z těchto čísel. Skupina (dvou i více) přirozených čísel má nekonečně mnoho společných násobků. Ten ze společných násobků, který je menší než libovolný jiný společný násobek, se nazývá nejmenší společný násobek čísel a označuje se n( n 1, n2, n nk ). Pro výpočet nejmenšího společného násobku dvou a více čísel lze použít prvočíselný rozklad. Nejmenší společný násobek je součin společných prvočinitelů všech čísel v nejvyšší mocnině, která se v rozkladech vyskytuje. Pro dvě čísla n,n 1 2 a jejich největší společný dělitel D( n,n 1 2) a nejmenší společný násobek n( n,n 1 2 ) platí : D( n,n 1 2 ) n( n,n 1 2 )= n1 n2

6 Řešené příklady k procvičení základních pojmů: Př. 1 Určete součet všech dělitelů čísla 20 Zadání úlohy neobsahuje poznámku, jestli jsou dělitelé vlastní nebo nevlastní, proto je vypíšeme všechny. Žáci ústně dělí číslo 20 všemi čísly, která jsou menší, nebo rovna 20 a dělitele zapisují: 1, 2, 4, 5, 10, 20 Jejich součet je = 42 Pozn.: úloha lze obměnit např. změnou čísla nebo určení součinu dělitelů apod. Př. 2 Přirozená čísla menší než 30 rozdělte do dvou množin množina prvočísel a čísel složených. Množiny zapište výčtem prvků a určete průnik množin. Do jaké množiny patří číslo 1? Kolik existuje v množině prvočísel sudých čísel? Označíme množiny P množina prvočísel S množina složených čísel Žáci postupně jmenují čísla od 1 do 29 a u každého čísla rozhodují, jestli má či nemá nevlastní dělitele a podle toho zapisují do množin: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} S = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28} Ze zápisu žáci vyvodí, že průnik množin P S = ø. P a S jsou disjunktní množiny (mají prázdný průnik). Žáci zdůvodní, že žádné číslo nemůže být zároveň prvočíslem a číslem složeným. Číslo 1 nepatří do žádné z uvedených množin nesplňuje podmínku dvou dělitelů (vlastních či nevlastních). Sudé prvočíslo je jediné 2. Pro každé vyšší sudé číslo je číslo 2 nevlastním dělitelem, a proto je to číslo složené. pozn.: Žáky vedeme důsledně ke správné interpretaci závěrů. Obměnou otázek upevňujeme znalost základních pojmů.

7 Př. 3 Proveďte prvočíselný rozklad čísla Doporučení: nejprve na složeném čísle vyzkoušíme různé typy zápisu rozkladu, které žáci znají ze ZŠ. Necháme žáky rozhodnout, který ze zápisů je nejvýhodnější a žádáme zdůvodnění. např : 2 = : 2 = : 3 = : 7 = 31 (je prvočíslo) 2604 = = nebo = = = = = Pozn: obměny, otázky Zapište nejmenší dělitel čísla. (1) Zapište nejmenší nevlastní dělitel čísla. (2) Zapište největší dělitel čísla. (2604) Zapište největší nevlastní dělitel čísla. (31) Určete počet prvočísel, která jsou děliteli čísla. (4) Určete součet všech prvočísel, která jsou děliteli čísla. ( = 43) Je součet prvočísel, která jsou v prvočíselném rozkladu čísla, prvočíslo? (43 ano) Platí předchozí tvrzení obecně pro každé číslo? (ne, např = 24 je číslo složené) Př. 4 Určete největší společný dělitel čísel 2604 a Provedeme prvočíselné rozklady obou čísel: 2604 = = (viz předchozí příklad) = = : 2 = 918

8 918 : 2 = : 3 = : 3 = : 3 = je prvočíslo D(2604, 1836) = = 12 pozn.: Žáky seznámíme s Euklidovým algoritmem pro určení největšího společného dělitele přirozených čísel a necháme je diskutovat o výhodách jednotlivých postupů: 2604 = = = = = = = = D(2604, 1836) = 12 Obměny, otázky: Zapište prvočísla, která jsou společnými děliteli obou čísel Zapište největší prvočíslo, které je dělitelem obou čísel Určete součet všech prvočísel, která jsou děliteli daných čísel Př. 5 Určete nejmenší společný násobek čísel 2604 a Provedeme prvočíselné rozklady obou čísel: 2604 = = (viz předchozí příklad) = = (viz předchozí příklad) 2 3 n(2604, 1836) = =

9 pozn: Máme-li řešení předchozího příkladu, dovedeme žáky ke vztahu (zdůrazníme výhody užití tohoto vztahu): D( n 1,n2) n( n 1,n2) = n1 n2 n( n 1,n2) = n1 n2 D( n1, n2 ) n( n 1,n2) = = Př. 6 Může být součin dvou prvočísel prvočíslo? Nemůže. Součin a b má minimálně 4 dělitele (1, a, b, a b), z nichž alespoň 2 (a, b) jsou nevlastní. Pozn.: Vedeme žáky k vyslovení obecného závěru a jeho zdůvodnění. Vysvětlíme, že zdůvodnění nelze opřít o jediný konkrétní příklad (K tomu zpravidla žáci inklinují). Př. 7 Mezi prvočísly většími než 3 a menšími než 100 vyhledejte tzv. prvočíselná dvojčata (jsou to prvočísla p, p + 2). Určete společné dělitele čísel ležících mezi prvočíselnými dvojčaty. Žáci zapisují prvočísla menší než 100 a podtrhnou prvočíselná dvojčata: 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 Vypíší čísla mezi dvojčaty : 12, 18, 30, 42, 60, 72 Žáci odhalí, že to jsou jednak čísla sudá a zároveň dělitelná třemi, a proto jsou uvedená čísla dělitelná šesti.

10 Př. 8 Rozhodněte a zdůvodněte, jestli existují další čísla, která mají stejný počet dělitelů jako číslo čtyři. Pokud ano, mají společnou vlastnost? Počet dělitelů je 3 (jsou to dělitelé 1, 2, 4) Žáci přijdou na to, že hledanými čísly nemohou být prvočísla. Ze složených čísel jsou to právě ta, která mají pouze jeden nevlastní dělitel. Pokusí se taková čísla najít: 4, 9, 25, 49, 121, 169, Pro žáky není těžké odhalit, že jsou to druhé mocniny přirozených čísel. Pokud zapíší základy těchto mocnin: 2, 3, 5, 7, 11, 13,, zjistí, že jsou to prvočísla. Vedeme žáky k vyslovení závěru: Druhé mocniny prvočísel mají právě tři dělitele. Pozn.: Lze též vyslovit závěr: Druhá mocnina prvočísla má pouze jeden nevlastní dělitel a tím je dané prvočíslo. Někteří žáci dokážou závěr odvodit, nebo alespoň zdůvodnit i obecně.