6. T e s t o v á n í h y p o t é z

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "6. T e s t o v á n í h y p o t é z"

Transkript

1 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně zvolené funkce náhodného výběru (statistiky), jejíž rozdělení známe a na jejíchž hodnotách se projevují sledované vlastnosti. Rozeznáváme dva základní typy testů: Parametrické testy jsou testy o hodnotách parametrů rozdělení, ze kterého je proveden náhodný výběr. Neparametrické testy jsou testy o vlastnostech rozdělení, např. typ rozdělení, shoda dvou a více rozdělení, či symetrie rozdělení. Strategie testování. 1. Na základě hodnot náhodného výběru a charakteru úlohy zvolíme: nulovou hypotézu H 0 a alternativní hypotézu H 1, kterou příjímáme v případě odmítnutí nulové hypotézy.. Volíme testovací kritérium. Vybereme statistiku, funkci náhodného výběru, jejíž rozdělení známe a která charakterizuje testovanou vlastnost rozdělení. 3. Stanovíme hladinu významnosti testu jako hodnotu α, číslo α je blízké nule. Obvykle z intervalu (0, 01; 0, 1), nejčastěji 0, 05, která bývá zadavaná ve statistických programech. 4. Na základě hodnoty hladiny, stanovíme kritický obor W α testu, kdy v případě, že zvolená statistika má hodnotu z kritického oboru zamítneme nulovou hypotézu H 0 a přijmeme alternativní hypotézu H 1. Chyby testu. Je-li T testovací statistika, α je hladina významnosti testu a W α je kritický obor testu, pak při rozhodovaní nastanou následující situace. S k u t e č n o s t H 0 H 1 H 0 T / W α T / W α, správně chyba. druhu β H 1 T W α, T W α chyba 1. druhu α správně Stanovení kritického oboru. Požadujeme, aby chyba 1. druhu, kdy odmítneme nulovou hypotézu H 0, ačkoliv platí, byla menší než α. K 83

2 tomu stačí, aby byl kritický obor W α doplňkem k (1 α)0% intervalu spolehlivosti pro testovaný parametr rozdělení. Chybu. druhu můžeme pouze ve většině případů alespoň odhadnout. Při této volbě kritického oboru jsou chyby 1. a. druhu na sobě závislé. Je-li zvolená chyba 1. druhu α příliš malá, může být chyba. druhu velká. Na obrázku Obr. 6.1 znázorníme jednoduchou situaci, která ilustruje závislost velikostí chyb. W α t α µ 0 T µ 1 Obr Znázorníme si vztah chyby 1. druhu α a chyby. druhu β. Testujeme nulovou hypotézu H 0 : µ = µ 0 na hladině významnosti α pro případ výběru z normálního rozdělení N(µ; σ ). Použijeme testovací statistiku T = (X µ) n/s, o které víme, že má Studentovo rozdělení t(n 1). Označme T hodnotu testovací statistiky, t α je hranicekritického oboru W α (kritická hodnota.) Jestliže je ale ve skutečnosti µ = µ 1, pak nulová hypotéza H 0 neplatí. Chyba. druhu β odpovídá ploše obrazce \\\\ a hodnota chyby 1. druhu α odpovídá ploše obrazce ////. Je vidět, že pokud budeme hodnotu α zmenšovat, pak se bude hranice t α kritického oboru posunovat doprava a hodnota chyby. druhu β se bude zvětšovat. Proto v praxi volíme hodnotu α podle charakteru úlohy. Musíme se rozhodnout, zda je pro nás přijatelnější odmítnou testovanou hypotézu H 0 i když je ve skutečnosti pravdivá a nebo zda je přijatelnější ji přijmout, i když ve skutečnosti platí alternativní hypotéza. Poznámka: p hodnota testu. V současné době se používá místo popsaného rozhodovacího procesu rozhodovaní na základě p hodnoty testu. Je to umožněno tím, že pro většinu používaných statistik známe jeich rozdělení a dovedene určit pravděpodobnosti a kvantily v celém rozsahu a nejsme odkázáni na několik tabulkových hodnot pro vybrané hladiny významnosti. p hodnota testu je definována jako hodnota hladiny významnosti, při které se hodnota testovací statistiky stává hraniční hodnotou kritického oboru. Situaci si znázorníme na obrázku pro jednotlivé varianty testu. Symboly t β jsou označeny β kvantily rozdělení 84 x

3 testovací statistiky T, které tvoří hranice kritického oboru testu. Je-li T testovací statistika a t 0 je její hodnota, pak je p hodnota testu definována jako: p = min{p (T t 0 ), P (T t 0 )} pro oboustranný test; W α t α 0 t 0 p = P (T t 0 ) pro pravostranný test; p = P (T t 0 ) pro levostranný test. p = P (T t 0 ) p/ = P (T t 0 ) t1 α p = P (T t 0 ) W α 0 t 0 W α t1 α W α tα t 0 0 Nulovou hypotézu H 0 zamítáme na hladině významnosti α, jestliže je p < α. Velikost pravděpodobnosti p je přesnějším popisem rozhodovacího procesu, než je minimální vzdálenost bodu t 0 od hranice kritického oboru. Testy o parametrech rozdělení Test o střední hodnotě, jednovýběrový t-test. Předpokládáme, X 1, X,... X n je náhodný výběr z normálního rozdělení N(µ; σ ). Jako odhad střední hodnoty µ použijeme výběrový průměr X a jako odhad rozptylu σ použijeme výběrový rozptyl S. a) Testujeme nulovou hypotézu (oboustranný test) H 0 : µ = µ 0 proti alternativní hypotéze H 1 : µ µ 0. Za testovou statistiku volíme T = X µ 0 n, S 85

4 o které je známo, že má Studentovo t(n 1) rozdělení. Je totiž T = X µ 0 σ 0 / n X µ0 S = σ 0 / n n ) / = n 1 ( Xi X kde U N(0; 1) a Z χ (n 1). Kritickým oborem je σ 0 W α = {T ; T > t 1 α(n 1)} U Z/(n 1), doplněk k (1 α)0% intervalu spolehlivosti pro parametr µ. Při této volbě je chyba 1. druhu menší než α. To znamená, že ve 0α% případů odmítneme pravdivou skutečnost a příjmeme alternativní hypotézu, ačkoliv neplatí. Situace je znázorněná na obrázku. W α t α 0 W α t 1 α Obdobně provádíme test jednostranných hypotéz: b) H 0 : µ µ 0, H 1 : µ > µ 0, pak 0 W α = {T ; T > t 1 α (n)}; t 1 α W α c) H 0 : µ µ 0, H 1 : µ < µ 0, pak W α = {T ; T < t α (n)}. W α t α 0 Kritické hodnoty testu. Krajní body intervalů, které tvoří kritické obory se nazývají kritické hodnoty testu. Označují se symbolem t(α), ačkoliv jsou to 1 α kvantily. Při práci s tabulkami je třeba dávat pozor, jak je přesně kritická hodnota definována. V záhlaví tabulky je toto vždy uvedeno. Poznamenejme, že pro rozsahy výběru n 30 můžeme nahradit kvantily, či kritické hodnoty Studentova t rozdělení hodnotami z normovaného normálního rozdělení. Obvykle bývají označeny symbolem u(α). 86

5 Příklad: Soubor {X i, 1 i n} je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ; σ ). Testovaná hypotéza: H 0 : µ = µ 0, alternativní hypotéza H 1 : µ µ 0. a) VS-1: n = 35, X = 18, 11, S = 61, 1, S = 7, Testujeme hypotézu H 0 : µ = µ 0 = 180, proti alternativě H 1 : µ 180. Potom je 18, T = 35 = 1, , Kritické hodnoty t(0, 1) = 1, 64449, t(0, 05) = 1, 96, t(0, 01) =, Protože je T / W α pro všechny hladiny, přijmeme nulovou hypotézu H 0. p hodnota testu je p = 0, 1, je tedy rozhodování blízké hladině významnosti. b) VH-4: n = 7, X = 76, 74, S = 59, 74, S = 7, Testujeme hypotézu H 0 : µ = µ 0 = 75, proti alternativě H 1 : µ 75. Potom je 76, T = 7 = 1, , 7916 Kritické hodnoty t(0, 1) = 1, 7056, t(0, 05) =, 0555, t(0, 01) =, Protože je T / W α pro všechny hladiny, přijmeme nulovou hypotézu H 0. p hodnota testu je p = 0, 53, můžeme tedy považovat chybu. druhu za malou ve srovnání s hodnotou α. 6.. Test o rozptylu normálního rozdělení jednovýběrový F test. Pro náhodný výběr X 1, X,... X n je náhodný výběr z normálního rozdělení N(µ; σ ) hledáme hodnotu rozptylu σ. Jako jeho odhad použijeme výběrový rozptyl S. a) Testujeme nulovou hypotézu H 0 : σ = σ 0 proti alternativní hypotéze H 1 : σ σ 0. Za testovou statistiku volíme V = (n 1)S σ 0 = n 87 X i X σ 0,

6 o které je známo, že má χ (n 1) rozdělení. Kritickým oborem je množina W α = {V ; V < χ α(n 1) nebo V > χ 1 (n 1)}, α která je doplňkem k (1 α)0% intervalu spolehlivosti pro parametr σ. Při této volbě je chyba 1. druhu menší než α. To znamená, že ve 0α% případů odmítneme pravdivou skutečnost a příjmeme alternativní hypotézu, ačkoliv neplatí. Situace je znázorněná na obrázku. 0 W α χ α χ 1 α W α Obdobně provádíme test jednostranných hypotéz: b) H 0 : σ σ 0, H 1 : σ > σ 0, pak W α = {V ; V > χ 1 α(n 1)}; 0 χ 1 α W α c) H 0 : σ σ 0, H 1 : σ < σ 0, pak W α = {V ; V < χ α(n 1)}. 0 W α χ α Kritické hodnoty testu. Krajní body intervalů, které tvoří kritické obory se nazývají kritické hodnoty testu. Označují se symbolem χ α, ačkoliv jsou to 1 α kvantily. Při práci s tabulkami je třeba dávat pozor, jak je přesně kritická hodnota definována. V záhlaví tabulky je toto vždy uvedeno. Příklad: Soubor {X i, 1 i n} je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ; σ ). a) VS-: n = 30, X = 183, S = 64, 97. Testujeme hypotézu H 0 : σ = σ0 = 70, proti alternativě H 1 : σ 70. Potom je 9.64, 97 V = = 6,

7 Kritické hodnoty α = 0, 1 : 17, 708, 4, 557; α = 0, 05 : 16, 047, 45, 7; α = 0, 01 : 13, 11, 5, 336. Protože je V / W α pro všechny hladiny, přijmeme nulovou hypotézu H 0. p hodnota testu je p = 0, 848. Je p >> α, tedy závěr je poměrně spolehlivý, chyba. druhu je velice malá. b) VH-4: n = 7, X = 76, 74, S = 59, 74. Testujeme hypotézu H 0 : σ = σ0 = 0, proti alternativě H 1 : σ 0. Potom je V = 6.59, 74 0 = 15, 53. Kritické hodnoty α = 0, 1 : 15, 375, 38, 885; α = 0, 05 : 13, 844, 41, 93; α = 0, 01 : 11, 160, 48, 90. Protože je V / W α pro všechny hladiny, přijmeme nulovou hypotézu H 0. p hodnota testu je p = 0, 6 a hodnota je velice blízká uvažovaným hladinám významnosti α = 0, 1, resp. α = 0, 05. Chyba. druhu může být významná Test pro parametr δ exponenciálního rozdělení Exp(0; δ). Pomocí hodnot náhodného výběru X 1, X,..., X n z exponenciálního rozdělení Exp(0; δ) testujeme hypotézu o střední hodnotě δ. Nulovou hypotézou je H 0 : δ = δ 0 proti alternativě H 1 : δ δ 0. Za testovou statistiku volíme náhodnou veličinu T = nx δ 0, o níž jsme ukázali, že má rozdělení χ (n). Kritickým oborem je W α = {T ; T < χ α(n 1) nebo T > χ 1 (n 1)}, α což je doplněk k (1 α)0% intervalu spolehlivosti pro parametr δ. Příklad: Soubor {X i ; 1 i n} je výběrem s exponenciálního rozdělení Exp(0; 1, 5), kde n =

8 Testujeme hypotézu H 0 : δ = δ 0 = 1, 3 proti alternativní hypotéze H 1 : δ δ 0. Pro data jsme dostali X = 60, Pro testovací statistiku dostaneme hodnotu T = nx = 9, 98. δ 0 Kritický obor na hladině významnosti α = 0, 1 získáme z kvantilů rozdělení χ (80). Je W = {T ; T < χ 0,05(80) = 60, 391, nebo T > χ 0,95(80) = 1, 88}. Protože je T / W nezamítáme nulovou hypotézu H 0. Z kvantilové funkce získáme p hodnotu testu p = 0, 304, což je přijatelná hodnota, která signalizuje menší hodnoty chyby. druhu. Pro zajímavost uvedeme interval spolehlivosti (δ 1 ; δ ) pro parametr δ, kdy jeho hranice dostaneme z rovnic T =, 873 δ 1 = 1, 88, resp. T =, 873 δ 60, 391. Odtud plyne, že pro hodnoty δ 0 (1, 19; ) nebudou hodnoty testovací statistiky v kritickém oboru, tedy nulovou hypotézu nezamítneme Test o rovnosti středních hodnot, dvouvýběrový t-test. Předpokládáme, že X 1, X,..., X n je náhodný výběr z normálního rozdělení N(µ 1 ; σ1) a Y 1, Y,..., Y m je náhodný výběr z normálního rozdělení N(µ ; σ). Jako odhady středních hodnot µ 1 a µ použijeme výběrové průměry X a Y a jako odhady rozptylů σ1 a σ použijeme výběrové rozptyly SX a SY. Předpokládáme, že jsou výběry nezávislé a že se rozptyly rovnají, tedy σ1 = σ = σ. Testujeme nulovou hypotézu H 0 : µ 1 µ =, obvykle = 0, proti alternativní hypotéze H 1 : µ 1 µ. A) Dvouvýběrový t-test. Za testovou statistiku volíme T = X Y (µ 1 µ ) (n 1)S X + (m 1)S Y nm(n + m ), n + m o které je známo, že má Studentovo t(n + m ) rozdělení. K odvození této skutečnosti postupně použijeme vlastností: X N µ 1, σ n, 90 Y N µ, σ m.

9 Dále je E(X Y ) = E(X) E(Y ) = µ 1 µ. Z nezávislosti výběrů plyne, že D(X Y ) = D(X) + D(Y ) = σ 1 n + σ ( 1 m = σ n m) + 1 = σ n + m nm. Výraz pro S je odhadem rozptylu obou souborů. Náhodná veličina Z = (n 1)S X + (m 1)S Y σ Potom je kde = n X i X σ + m χ (n 1) + χ (m 1) = χ (n + m ). T = U Z/(n + m ), U = X Y (µ 1 µ ) σ N(0; 1) n+m nm a tedy statistika T má Studentovo rozdělení t(n + m ). Kritickým oborem testu je množina W α = {T ; T > t 1 α(n + m )}, Y i Y σ která je doplňkem k (1 α)0% intervalu spolehlivosti pro parametr = µ 1 µ. Při této volbě je chyba 1. druhu menší než α. To znamená, že ve 0α% případů odmítneme pravdivou skutečnost a příjmeme alternativní hypotézu, ačkoliv neplatí. Porušení normality výběru se ve výsledcích testů výrazněji neprojeví. Shodu rozptylů před výpočtem ověříme testem pro jejich rovnost. Pokud nám test pro rovnost rozptylů dá negativní výsledek, použijeme pro ověření hypotézy některou z uvedených variant testu, např. Cochranův- Coxův test nebo neparametrické testy, např. dvouvýběrový Wilcoxonův test, či Kolmogorovův-Smirnovův test, nebo test dobré shody. B) Cochranův-Coxův test volíme v případě, že není splněn předpoklad o rovnosti rozptylů. Za testovou statistiku volíme T = X Y, S = v X + v Y, v X = S X S n, v Y = S Y m. 91

10 Je pak T = X Y = S X n + S Y m X Y ms X +ns Y nm = X Y nm σ n+m ms X +nsy σ(n+m) Náhodná veličina v čitateli má normované normální rozdělení a ve jmenovateli χ. Ve jmenovateli představuje vážený průměr odhad rozptylu. Kritickým oborem je W α = {T ; T > t }, t = v Xt n 1 (α) + v Y t m 1 (α) v X + v Y, kde t k (α) je kritická hodnota jednovýběrového t testu. Kritickou hodnotu t dostaneme jako vážený průměr kritických hodnot jednovýběrových testů. Uvedený test má ještě některé jiné varianty, které pro menší rozsahy výběrů dávají poněkud jiné kritické obory. Uvedeme si na ukázku dvě z nich. C) Satterthwaite (1946). Při použití statistiky T stanovujeme kritický obore jako W α = {T ; T > t f (α)}, f = S 4 v X n 1 + v Y m 1 kde t k (α) je kritická hodnota jednovýběrového t testu. D) Welch (1947). Pro statistiku T je kritickým oborem W α = {T ; T > t h (α)}, h = S4 v X n + v Y m, kde t k (α) je kritická hodnota jednovýběrového t testu. Varianty majípraktické využití při menších rozsazích výběrů. Je-li m+ n > 30 dávají všechny stejné výsledky. Kritické hodnoty se při změně počtu stupňů volnosti již nemění. Příklad: Soubor {X i, 1 i n} je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ 1 ; σ 1) a soubor {Y i, 1 i m} je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ ; σ ). 9,.

11 a) VS-: n = 30, X = 183, SX = 64, 97; VS-4: m = 7, Y = 181, SY = 74, 77. Testujeme hypotézu H 0 : µ 1 = µ, proti alternativě H 1 : µ 1 µ. Potom je T = 7, 9567 = 0, , 87 Kritické hodnoty t(0, 1) = 1, 64449, t(0, 05) = 1, 96, t(0, 01) =, Protože je T / W α pro všechny hladiny, přijmeme nulovou hypotézu H 0. Pro test dostaneme p hodnotu rovnu p = 0, 37, která je výrazně větší než uvažované hladiny významnosti testu. b) VH-1: n = 35, X = 75, 4, S X = 1, 78; VH-3: m = 34, Y = 77, 53, S Y = 134, 6. Testujeme hypotézu H 0 : µ 1 = µ, proti alternativě H 1 : µ 1 µ. Potom je T = 75, 4 77, , 997 = 0, , 6034 Kritické hodnoty t(0, 1) = 1, 64449, t(0, 05) = 1, 96, t(0, 01) =, Protože je T / W α pro všechny hladiny, přijmeme nulovou hypotézu H 0. Pro test dostaneme p hodnotu rovnu p = 0, 4, která je výrazně větší než uvažované hladiny významnosti testu Test o rovnosti rozptylů, dvouvýběrový F-test. Předpokládáme, že X 1, X,..., X n je náhodný výběr z normálního rozdělení N(µ 1 ; σ1) a Y 1, Y,..., Y m je náhodný výběr z normálního rozdělení N(µ ; σ). Jako odhady středních hodnot µ 1 a µ použijeme výběrové průměry X a Y a jako odhady rozptylů σ1 a σ použijeme výběrové rozptyly SX a SY. Předpokládáme, že jsou náhodné výběry nezávislé. Testujeme nulovou hypotézu H 0 : σ1 = σ proti alternativě H 1 : σ1 σ. Jako výběr X i označíme ten, pro který je SX > SY. Za testovou statistiku volíme F = S X SY, 93

12 o které je známo, že má F n 1,m 1 rozdělení. Kritickým oborem je W α = {F ; F > F n 1,m 1 (α), } kde F n 1,m 1 (α) je kritická hodnota z tabulek, která je (1 α/) kvantilem rozdělení F n 1,m 1. Poznamenejme, že při této volbě označení výběrů vyjde vždy hodnota testovací statistiky větší než jedna. Kritický obor je tedy volen tak, že tento poměr nesmí přesáhnout kritickou hodnotu. Pro obecnou situaci by měl kritický obor ještě část hodnot blízkých nule. To ve zvolené variantě testu ale nemůže nastat. Testy ve statistických softwarových produktech někdy předpokládají volbu této varianty a testují obvykle pouze překročení horní kritické hodnoty. Při této volbě je chyba 1. druhu menší než α. To znamená, že ve 0α% případů odmítneme pravdivou skutečnost a příjmeme alternativní hypotézu, ačkoliv neplatí. Příklad: Soubor {X i, 1 i n} je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ 1 ; σ 1) a soubor {Y i, 1 i m} je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ ; σ ). a) VH-1: X n = 35, X = 75, 4, SX = 1, 78; VH-: Y n = 30, Y = 77, 4, SY =, 59. Testujeme hypotézu H 0 : σ1 = σ, proti alternativě H 1 : σ1 σ. Potom je 1, 78 F = = 1, , 59 Kritické hodnoty α = 0, 1 : 1, 79; α = 0, 05 :, 01. Protože je F / W α pro všechny hladiny, přijmeme nulovou hypotézu H 0. Pro test dostaneme p hodnotu p = 0, 8, tedy odmítnutí alternativní hypotézy je oprávněné. b) VH-3: X n = 30, X = 77, 53, SX = 134, 6; VH-4: Y n = 7, Y = 76, 74, SY = 59, 74. Testujeme hypotézu H 0 : σ1 = σ, proti alternativě H 1 : σ1 σ. Potom je 134, 6 F = =, , 74 Kritické hodnoty 94

13 α = 0, 1 : 1, 89; α = 0, 05 :, 14. Protože je F W α pro všechny hladiny, zamítneme nulovou hypotézu H 0 a přijmeme hypotézu H 1. Pro test dostaneme p hodnotu rovnu p = 0, 04, což potvrzuje odmítnutí nulové hypotézy. Neparametrické testy V neparametrických testech má hypotéza charakter tvrzení o vlastnostech rozdělení, které nejsou odvozeny od hodnot parametrů. Testujeme hodnotu mediánu, symetrii rozdělení, shodu dvou a více rozdělení, či typ rozdělení a to nejčastěji normalitu. Uvedeme některé z nejčastěji používaných testů Znaménkový test je testem o mediánu rozdělení. Používáme jej jako velice jednoduchou variantu testu na symetrii rozdělení, kdy by se měl medián rovnat střední hodnotě. Test má velmi malou vypovídací hodnotu, uvádíme jej jako příklad neparametrického testu. na kterém ukážeme principy testování tohoto druhu. Předpokládáme, že X 1, X,..., X n je náhodný výběr ze spojitého rozdělení jehož medián je x 0,5 = x. Testujeme nulovou hypotézu H 0 : x = x 0, proti alternativě H 1 : x x 0. Označme si Y i = X i x 0. Pokud je nulová hypotéza platná, pak by měl být počet kladných a záporných hodnot souboru Y i stejný. Označímeli Y počet kladných hodnot v souboru Y i, je pak Y realizací náhodné veličiny, která má binomické rozdělení Bi(n, 1 ). Ta nabývá hodnot z množiny {0, 1,,..., n} a hodnoty blízké nule a n se vyskytují s velmi malou pravděpodobností. Kritický obor testu je W α = {Y ; Y k 1 nebo Y k }, kde hodnoty k 1 a k nalezneme v tabulkách. Pro zvolenou hladinu testu je nalezneme tak, že je k 1 největší z hodnot a k je nejmenší z hodnot, pro které platí P (Y k 1 ) α, P (Y k ) α, jestliže má Y zmiňované binomické rozdělení Bi(n, 1 ). Pokud má výběr větší rozsah, n > 36, můžeme nahradit binomické rozdělení Bi(n, 1 ) normálním rozdělením N(n, n 4 ). Obě rozdělení mají 95

14 shodné střední hodnoty n a shodné rozptyly n 4. Potom má normalizovaná náhodná veličina U = Y n n = Y n n normované normální rozdělení N(0; 1). Kritický obor je roven W α = {U; U u(α), } kde u(α) je kritická hodnota pro normální rozdělení, kterou nalezneme z tabulek. Poznamenejme, že je tato kritická hodnota u(α) = u 1 α rovna 1 α kvantilu normovaného normálního rozdělení. Snadno odvodíme i jednostranné varianty testu. Test má poměrně malou sílu a k věrohodnotnějšímu výsledku je potřeba poměrně velký rozsah náhodného výběru, v řádu n > Příklad: Soubor dat {X i ; 1 i 6} je počet, kolikrát padne číslo {i; 1 i 6} při 150 hodech hrací kostkou. Je X i {4,, 5,, 8, 9}. Testujeme nulovou hypotézu H 0 : x = x 0,5 = 5 proti alternativní hypotéze H 1 : x 5. Pro uvedená dat je Y i { 1, 3, 0, 3, 3, 4}. Počet kladných hodnot je Y =. Z tabulek dostaneme kritické hodnoty testu na hladině významnosti α = 0, 05 a z nich kritický obor W = {Y ; Y k 1 = 0, nebo Y k = 6}. Protože je Y / W nezámítáme nulovou hypotézu H 0. Příklad: Soubor dat {X i ; 1 i 6} je počet, kolikrát padne číslo {i; 1 i 6} při 300 hodech hrací kostkou. Je X i {48, 5, 51, 40, 51, 48}. Testujeme nulovou hypotézu H 0 : x = x 0,5 = 50 proti alternativní hypotéze H 1 : x 50. Pro uvedená dat je Y i {,, 1,, 1, }. Počet kladných hodnot je Y = 3. Z tabulek dostaneme kritické hodnoty testu na hladině významnosti α = 0, 05 a z nich kritický obor W = {Y ; Y k 1 = 0, nebo Y k = 6}. 96

15 Protože je Y / W nezámítáme nulovou hypotézu H 0. Jeste jeden p5iklad 6.7. Jednovýběrový Wilcoxonův test je testem symetrie rozdělení. Testujeme symetrii rozdělení vzhledem k hodnotě x 0, za kterou obvykle volime odhad mediánu či střední hodnoty. Testujeme skutečnost, že pro hustotu či pravděpodobnostní funkci platí f(x x 0 ) = f(x + x 0 ). Nulovou hypotézu zapisujeme ve tvaru podmínky pro medián x 0,5 = x : H 0 : x = x 0, proti alternativě H 1 : x x 0. Pro náhodný výběr X 1, X,..., X n utvoříme soubor Y i = X i x 0, ve kterém vypustíme případné nulové hodnoty. Hodnoty Y i uspořádáme podle velikosti a označíme R i + jejich pořadí. Nyní je S + = Y i >0 R + i, S = Y i <0 R + i. Poznamenejme, že S + + S = 1 n(n + 1). Pokud je rozdělení symetrické, budou se vyskytovat kladné a záporné hodnoty souměrně kolem hodnoty x 0, tedy součty pořadí kladných a záporných hodnot se od sebe budou málo lišit. Kritický obor testu je stanoven jako W α : min(s +, S ) < w(α), kde w(α) je kritická hodnota testu, kterou nalezneme v tabulkách. Je-li splněna podmínka pro kritický obor zamítneme nulovou hypotézu, že rozdělení je symetrické. Poznamenejme, že pro náhodné veličiny S + a S je E(S + ) = E(S ) = 1 4 n(n + 1), a D(S+ ) = D(S ) = 1 n(n + 1)(n + 1). 4 Pro větší hodnoty rozsahu výběru nahradíme rozdělení rozdělením normálním, tedy skutečností, že má náhodná veličina U = S+ 1 4n(n + 1) n(n + 1)(n + 1) 1 4 normované normální rozdělení N(0; 1). Kritický obor testu je pak W α = {U; U > u(α), } 97

16 kde u α je kritická hodnota testu pro normální rozdělení, která je rovna u(α) = u 1 α, tedy (1 α/ kvantilu normovaného normálního rozdělení. Příklad: Budeme testovat symetrii souboru dat, která jsou počtem studentů, kteří získali u testu stejného bodového ohodnocení. Datový soubor je X i {, 3,, 8, 5, 6, 7, 6, 4, 3, 4}. Jestliže spočteme aritmetický průměr, dostaneme x = = 4, 55. Budeme testovat symetrii rozdělení kolem této hodnoty, tedy nulovou hypotézu H 0 : x = 4, 55 proti alternativní hypotéze H 1 : x 4, 55. Pro hodnoty X i x určíme součet pořadí kladných a záporných hodnot a dostaneme, že S + = 9, S = 37. (S + + S = 66) Odtud je min{s +, S } = 9. Pro kritické hodnoty w(α) testu dostaneme z tabulek hodnoty w(0, 05) =, w(0, 01) = 5. Pro obě hladiny významnosti je min{s +, S } > w(α), tedy nulovou hypotézu nezamítáme. Rozdělení je symetrické kolem hodnoty x = 4, Dvouvýběrový Wilcoxonův test slouží k porovnání výběrů, kdy testujeme hypotézu, že jsou oba výběry ze stejného rozdělení. Předpokládáme, že náhodný výběr {X 1, X,..., X n } je výběrem z rozdělení s distribuční funkcí F a náhodný výběr {Y 1, Y,..., Y m } je výběrem z rozdělení s distribuční funkcí G. Testujeme hypotézu H 0 : F = G proti alternativě H 1 : F G. Test je založen na skutečnosti, že pokud jsou obě rozdělení stejná, pak se v obou výběrech budou vyskytovat hodnoty shodné velikosti ve stejném počtu. Uvedený algoritmus je známý jako test. Algoritmus testu: 1. Vytvoříme sdružený soubor {Z 1, Z,..., Z n+m } = {X 1, X,..., X n } {Y 1, Y,..., Y m }.. Stanovíme pořadí prvků souboru, který uspořádáme podle velikosti, přičemž prvkům, které mají stejnou velikost přiřadíme průměr jejich pořadí. Označme 98

17 T 1 je součet pořadí prvků z prvního souboru; T je součet pořadí prvků z druhého souboru. Poznamenejme, že T 1 + T = 1 (n + m)(n + m + 1). 3. Položme U 1 = nm + 1 n(n + 1) T 1 a U = nm + 1 m(m + 1) T. Poznamenejme pro kontrolu, že U 1 + U = nm. Testovací kritérium: Kritický obor W α : min{u 1, U } w(α), kde kritickou hodnotu w(α) testu nalezneme v tabulkách. Poznámka: Pořadí souborů volíme tak, aby n m, tabulky bývají pro rozsahy m 0, 5 n 30. Pro větší rozsahy výběrů využíváme skutečnosti, že za platnosti hypotézy H 0 je E(U 1 ) = E(U ) = 1 nm a D(U 1) = D(U ) = 1 nm(n + m + 1). 1 Rozdělení obou veličin můžeme pak považovat za normální a tedy náhodná veličina U = U 1, 1 nm 1 1nm(n + m)(n + m + 1) má normované normální rozdělení N(0; 1). Kritický obor testu je W α = {U; U > u(α)}, kde u(α) je kritická hodnota pro normální rozdělení, tedy u 1 α kvantil normálního rozdělení. Příklad: Budeme testovat shodu rozdělení pro datové soubory {X i ; 1 i } a {Y i ; 1 i }, které jsou počty výskytů 1, resp. 6 v seriích po 30 hodech hrací kostkou. Dostaneme X i {4, 3, 3, 7, 7, 7,, 6, 1, 7} a Y i {6, 6, 4, 5, 8, 5, 1, 4, 4, 5}. Pro sdružené pořadí dostaneme T 1 = T = 5, tedy U 1 = U = 50. Kritické hodnoty w(α) testu nalezneme v tabulkách. Z nich dostaneme, 99

18 že w(0, 05) = 3 a w(0, 01) = 16. Protože min{u 1 ; U } = 50 > w(α), tedy hodnota statistiky nepatří do kritického oboru, nezamítáme nulovou hypotézu H 0 na obou hladinách významnosti. Poznámka. Test je citlivý na posun, tedy na situaci, kdy je F (x) = G(x ). Pořadí jednotlivých dat souborů jsou vůči sobě posunuta a v součtu je pak jejich rozdíl velký. Dochází tak k zamítnutí hypotézy o shodě. Pro tyto situace a případy, kdy se soubory liší spíše rozptylem či tvarem je doporučován Kolmogorovův-Smirnovův test Kruskalův-Wallisův test je neparametrickou obdobou analýzy rozptylu a je rozšířením Wilcoxonova testu na větší počet výběrů. Máme k, k 3 nezávislých výběrů X i1, X i,..., X ini, 1 i k. Označme n = n 1 + n n k počet všech prvků ve výběrech. Předpokládáme, že výběry jsou po řadě z rozdělení se spojitými distribučními funkcemi F 1, F,..., F k. Testujeme nulovou hypotézu proti alternativě H 0 : F 1 = F =... = F k H 1 : H 0 neplatí. Algoritmus testu: 1. Srovnáme všechny prvky výběrů podle velikosti a určíme pořadí R ij, 1 j n i, 1 i k každého z nich.. Určíme součet pořadí T i = n i j=1 R ij, 1 i k prvků z každého z výběrů. Pro kontrolu je T 1 +T +...+T k = 1 n(n+1). 3. Vypočteme hodnotu testovací statistiky Q = 4. Kritický obor testu je 1 n(n + 1) k T i n i 3(n + 1). W α = {Q; Q > h k 1 (α)}, kde kritické hodnoty h k 1 (α) nalezneme pro menší rozsahy výběrů ve statistických tabulkách. Při větších rozsazích využíváme skutečnosti, že 0

19 pro n i má statistika Q v limitě rozdělení χ (k 1). Použijeme tedy aproximace h k 1 (α). = χ α(k 1). Jedná se o (1 α) kvantil rozdělení χ (k 1). Test je citlivý na posun, podobně jako při porovnávání dvou výběrů. V takovém případě volíme porovnávání metodou analýzy rozptylu. V případě zamítnutí nás zajímá, pro které z dvojic je rozdíl mezi F i a F j signifikantní. Pokud jsou rozsahy výběrů různé pak je podstatný rozdíl pro dvojice i a j, pro které je t i t j > n i n j n(n + 1)h k 1 (α), kde t i = T i n i, 1 i k a h k 1 (α) je kritická hodnota testu. Šetření je nutné provést pro všech 1 k(k 1) dvojic výběrů. V případě stejného rozsahu výběrů používáme citlivější Neményiovy metody, která je obdobou Tukeyovy metody z analýzy rozptylu pro vyvážená třídění. Položme m = n 1 = n =... = n k a n = mk. Rozdílné jsou dvojice, pro které je rozdíl T i T j větší než kritická hodnota z tabulek. Ty uvadí hodnoty pro m 5 a k. Pro větší rozsahy výběrů používáme kritické hodnoty pro rozpětí. Je-li Y 1, Y,..., Y k náhodný výběr z rozdělení N(0; 1) a Y (1) Y ()... Y (k) je uspořádaný výběr, pak náhodná veličina R = Y (k) Y (1) je rozpětí. Kritická hodnota q k, (α) je definována jako P (R q k, (α)) = α. Rozdíl je signifikantní pro dvojice, pro které je t i t j > q k, (α) 1 k(mk + 1). 1 Příklad: 6.. Kolmogorovův-Smirnovův test. Test je založen na porovnávání maximální odchylky distribučních funkcí. Porovnáváme empirickou distribuční funkci, kterou získáme z datového souboru s teoretickou distribuční funkcí předpokládaného rozdělení. Nebo při porovnávání dvou výběrů srovnáváme obě empirické 1

20 distribuční funkce. Test je odvozen za předpokladu, že se jedná o výběry z normálního rozdělení. Pro jiná rozdělení, která se výrazně od něj odlišují (exponenciální) jsou v literatuře uvedeny modifikace testu. Nejprve popíšeme empirickou distribuční funkci, která se v testu používá. Je-li {X 1, X,..., X n } náhodný výběr z rozdělení, které má distribuční funkci F, pak empirickou distribuční funkcí nazýváme funkci F n, která je definována předpisem: F n (x) = 1 n n ξ i (x), kde ξ i (x) = 0, x < Xi, 1, x X i. Potom je lim F n n(x) = F (x), x R. Poznámka. Empirická distribuční funkce je po úsecích konstantní a má skoky velikosti 1 v bodech x = X i, 1 i n. Znázorníme si průběh empirické distribuční funkce pro náhodný výběr, pro který platí: X 1 < X < X 3 = X 4 < X 5. y F 5 (x) X 1 X X 3 = X 4 X 5 x Obr Jednovýběrový test Předpokládáme, že náhodný výběr X i, 1 i n je výběrem z rozdělení s distribuční funkcí F. Testujeme hypotézu: H 0 : výběr je z rozdělení s distribuční funkcí F proti alternativní hypotéze H 1 : výběr není z rozdělení s distribuční funkcí F. Algoritmus testu: 1. Vypočteme empirickou distribuční funkce F n a teoretickou dostribuční funkce F.. Určíme maximální rozdíl těchto funkcí, D n = sup{ F n (x) F (x) ; x R}.

21 Platí-li hypotéza H 0 je lim D n,m n = Určíme testovací statistiku ndn, která má rozdělení určené distribuční funkcí K(λ), kde tj. 4. Kritický obor testu je K(λ) = 1 ( 1) k+1 e k λ, k=1 lim P ( ndn < λ ) = K(λ), λ > 0. n,m W α : ndn λ α D n λ α n, kde kritickou hodnotu testu Dn = λ α n nalezneme v tabulkách pro hodnoty n 0. Pro větší rozsahy výběrů použijeme aproximace K(λ). = 1 e λ a kritickou hodnotu λ α určíme z podmínky: P D n < λ α = K(λ) = 1 α 1 α = 1 e λ α λα = n Pro kritický obor dostaneme W α : D n D n = 1 n ln α. 1 ln α. Příklad: Pro soubor dat {, 1, 5, 1, 0, 7, 0, 1, 0, 5, 1, 1, 1, 6,, 3} testujeme hypotézu H 0 : výběr je z rovnoměrného rozdělení v intervalu (, 3). Podle algoritmu testu dostaneme: max{ F n (x) F (x) ; x, 3 }. = 0, 1667; hodnota statistiky D n. = 0, 577; kritická hodnota D n (0, 05) = 1, 358. Protože je D n < D n (0, 05) nezamítáme hypotézu H 0 na hladině významnosti α = 0, 05. Pro p hodnotu testu dostaneme p. = 0,

22 Dvouvýběrový test Předpokládáme, že náhodný výběr {X 1, X,..., X n } je výběrem z rozdělení s distribuční funkcí F a náhodný výběr {Y 1, Y,..., Y m } je výběrem z rozdělení s distribuční funkcí G. Testujeme hypotézu H 0 : F = G proti alternativě H 1 : F G. Test je založen na skutečnosti, že pokud jsou obě rozdělení stejná, pak se v obou výběrech budou vyskytovat hodnoty shodné velikosti ve stejném počtu. Algoritmus testu: 1. Vypočteme empirické distribuční funkce F n a G m.. Určíme maximální rozdíl těchto funkcí, D n,m = sup{ F n (x) G m (x) ; x R}. Platí-li hypotéza H 0 je lim D n,m n,m = Určíme testovací statistiku MDn,m, M = nm n + m, která má rozdělení určené distribuční funkcí K(λ), kde tj. K(λ) = 1 ( 1) k+1 e k λ, k=1 ( ) lim P MDn,m < λ = K(λ), λ > 0. n,m 4. Kritický obor testu je W α : MDn,m λ α D n,m λ α M, kde kritickou hodnotu testu Dn,m = λ α M nalezneme v tabulkách pro hodnoty n 0, 4 m 0, n + m 8. Pro větší rozsahy výběrů použijeme aproximace K(λ). = 1 e λ a kritickou hodnotu λ α určíme z podmínky: P ( D n,m < λ α M ) = K(λ) = 1 α 1 α = 1 e λ α 4

23 Pro kritický obor dostaneme λ α = 1 ln α. W α : D n,m D n,m = 1 M ln α. Příklad: Porovnáme shodu rozdělení, ze kterého pocházejí datové soubory, které jsou počtem 6, resp. 1 v seriích po 30 hodech hrací kostkou. Je X i {1, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 8} a Y i {1,, 3, 3, 4, 6, 7, 7, 7, 7}. Pro empirické distribuční funkce dostaneme: x F 1 G Odtud dostaneme, že hodnota testovací statistiky je D, = 3. Kritické hodnoty nalezneme v tabulkách, kde je D,(0, 05) = 0, 7 a D,(0, 01) = 0, 8. Protože je D, < D,, tedy hodnota D, / W α pro obě hodnoty hladiny významnosti, nezamítáme nulovou hypotézu H 0 na žádné z hladin. Pro výpočet přibližné kritické hodnoty dostaneme, že M = 0 0 = 5 a D 1 M ln α : D 0, 607, α = 0, 05; D 0, 78, α = 0, Test shody pro binomické rozdělení. Máme dány hodnoty nezávislých náhodných veličin X Bi(n, p 1 ) a Y Bi(m, p ). Testujeme nulovou hypotézu H 0 : p 1 = p proti alternativě H 1 : p 1 p. Algoritmus testu. 1. Vypočteme hodnoty x = X n a y = Y m, které jsou odhady parametrů p 1 x a p y. 5

24 . Má-li výběr dostatečně velký rozsah, pak mají náhodné veličiny x a y po řadě normální rozdělení x N p 1 ; p 1(1 p 1 ) n a y N p ; p (1 p ) m 3. Protože jsou náhodné veličiny x a y nezávislé má náhodná veličina U = (x y) (p 1 p ) p1 (1 p 1 ) n + p (1 p ) m normované normální rozdělení N(0; 1). 4. Pokud platí nulová hypotéza H 0, je p 1 p = 0 a jestliže použijeme aproximací p 1 = x, p = y, má náhodná veličina U a = x y x(1 x) normované normální rozdělení N(0; 1). 5. Kritický obor testu je pak n + y(1 y) m W α = {U a ; U a u( α )}, kde kritická hodnota u( α ) je rovna 1 α kvantilu normálního rozdělení N(0; 1). Alternativní varianta testu je založena na skutečnosti, že společnou hodnotu p 1 = p odhadujeme pomocí hodnoty z = X+Y n+m = nx+my n+m. Potom má náhodná veličina U b = x y z(1 z) ( 1 n + 1 m normované normální rozdělení N(0; 1). Kritický obor testu je pak W α = {U b ; U b u( α )}. Protože je pro n = m hodnota U b U a dává tato varianta častěji jako výsledek testu přijetí nulové hypotézy H 0. 6 ).

25 Příklad: Budeme testovat shodu parametru v binomickém rozdělení pro soubory, které jsou počtem hodů s předepsaným počtem bodů v serii 300 hodů hrací kostkou. Je n = m = 300 a počet hodů je Největší rozdíl dostaneme pro 1 a 5. Volíme tedy X = 47 a Y = 61. Potom je x = 0, 15666, y = 0, 033 a z = 0, 18. Je tedy U a = 1, 491, U b = 1, Kritické hodnoty u(α) najdeme v tabulkách kvantilů normovaného normálního rozdělení. Je u(0, 1) = 1, 645 a u(0, 05) = 1, 96. Protože je U a < u(α), resp. U b < u(α) pro obě hodnoty α nezamítáme nulovou hypotézu H 0 na obou hladinách významnosti Multinomické rozdělení. Rozdělení je zobecněním binomického rozdělení, kde uvažujeme více alternativních výsledků náhodného pokusu. Jako možné výsledky uvažujeme náhodné jevy A i, 1 i k, které jsou po dvou disjunktní, P (A i ) = p i, A 1 A... A k = U, tedy p 1 +p +...+p k = 1. Opakujeme n krát pokus, který jako výsledek dává posloupnost jevů A i nebo A i a sledujeme kolikrát se na i tém místě objeví jev A i, 1 i k, přičemž jsou jednotlivá opakování na sobě nezávislá. Je-li Y i počet výskytů náhodného jevu A i, 1 i k, pak říkáme,že náhodný vektor (Y 1, Y,..., Y k ) má multinomické rozdělení s parametry n a (p 1, p,..., p k ). Náhodný vektor má diskrétní rozdělení a pro jeho sdruženou pravděpodobnostní funkci p dostaneme vzorec p(i 1, i,..., i k ) = P (Y 1 = i 1, Y = i,..., Y k = i k ) = n! = i 1!.i!... i k! pi 1 1 p i... p i k k, 0 i j, 1 j k, i 1 + i +... i k = n. 7

26 Marginální rozdělení každé z náhodných veličin Y j je binomické rozdělení Bi(n, p j ) a E(Y j ) = np j, D(Y j ) = np j (1 p j ), 1 j k. Dále je koeficient korelace cov(y i, Y j ) = np i p j, i j, 1 i, j k. Takové rozdělení dostaneme, jestliže pro náhodný výběr provedeme diskretizaci jeho hodnot pomocí zvolené škály. Parametry p i rozdělení pak odpovídají pravděpodobnostem výskytu hodnoty náhodné veličiny v příslušném intervalu škály. Nechť je X náhodná veličina, jejíž rozdělení je určeno distribuční funkcí F a X 1, X,... X n je náhodný výběr z rozdělení s danou distribuční funkcí. Rozdělíme interval, ve kterém se může daná náhodná veličina X vyskytovat na systém k disjunktních intervalů (škálu) tvaru (a 0, a 1, (a 1, a,... (a k 1, a k ). Dále označme p i = P (a i 1 < X a i ) = F (a i ) F (a i 1 ), 1 i k pravděpodobnosti výskytu náhodné veličiny X v i tém intervalu škály. Potom je np i teoretická četnost výskytu hodnot náhodného výběru v i tém intervalu škály. Jestliže si označíme n i, 1 i k empirickou četnost výskytu, t.j. počet hodnot X j z náhodného výběru, které leží v i tém intervalu škály, pak platí tvrzení: Věta: Náhodná veličina ( ) χ = k (n i np i ) má přibližně rozdělení χ (k 1). Poznámka: Hodnota χ je vlastně vážený součet čtverců odchylek empirické a teoretické četnosti, kdy je každá odchylka vážena proti své teoretické hodnotě. Pokud je náhodný výběr z rozdělení se zadanou distribuční funkcí F, pak se má tato hodnota, náhodná veličina, řídit uvedeným zákonem rozdělení. Na této skutečnosti je založen test dobré shody o druhu rozdělení, tedy o typu distribuční funkce. Uvedeme vzorec, který se někdy lépe hodí k výpočtu hodnoty χ. Je totiž χ = k (n i np i ) = k n i n i np i + (np i ) = np i np i = k n i np i k n i + k np i np i = k n i np i n. 8

27 6.13. Test dobré shody, test χ (chí kvadrát). Testujeme, že daný náhodný výběr je výběrem ze známého rozdělení. Pokud jsou parametry rozdělení (hustoty či pravděpodobnostní funkce) známy, počítáme uvedené veličiny z rozdělení, které je určeno jejich hodnotami. Pokud tyto parametry neznáme, použijeme pro ně odhady získané některou z metod hledání bodových odhadů (metoda maximální věrohodnosti či metoda momentů). Máme dán náhodný výběr X 1, X,..., X n z rozdělení se známým typem distribuční funkce (hustoty). Testujeme nulovou hypotézu H 0 : náhodný výběr je výběrem s daným rozdělením proti alternativě H 1 : náhodný výběr je výběrem z jiného rozdělení. Algoritmus testu. 1. Definiční obor náhodné veličiny X rozdělíme pomocí dělících bodů na škálu k intervalů tvaru (, a 1, (a 1, a,... (a k, a k 1, (a k 1, a k = ).. Vypočteme teoretické četnosti p i = P (a i 1 < X a i ), 1 i k a ověříme podmínku použitelnosti testu: np i 5, 1 i k, nebo np i 5q, kde q je podíl tříd, pro které je np i < 5, v případech kdy k Určíme empirické četnosti n i jako počty hodnot X j z náhodného výběru, které leží v intervalu (a i 1, a i, 1 i k a vypočteme hodnotu statistiky χ = k (n i np i ). np i 4. Pro zvolenou hladinu významnosti testu stanovíme kritický obor testu W α = {χ ; χ χ k 1(α)}, kde χ k 1(α) je kritická hodnota testu, která je rovna 1 α kvantilu rozdělení χ (k 1). 5. Je-li hodnota χ W α zamítneme nulovou hypotézu H 0 ve prospěch alternativní hypotézy H 1. V opačném případě, kdy je χ < χ k 1(α) nulovou hypotézu H 0 přijmeme. 9

28 Poznámka: Pokud použijeme místo skutečných hodnot parametrů rozdělení jejich odhadů, pak místo k 1 stupňů volnosti rozdělení χ volíme rozdělení s k m 1 stupni volnosti, kde m je počet neznámých parametrů rozdělení. Poznámka: Metoda minimálního χ se používá k zpřesnění výsledku v případě, kdy parametry roazdělení odhadujeme. Její princip je založen na tom, že hledáme hodnoty neznámých parametrů tak, aby hodnota náhodné veličiny χ ze vzorce ( ) byla minimální. Pravděpodobnosti p i jsou funkcemi parametrů rozdělení. Hodnota náhodné veličiny χ také. Hledáme, podobně jako při metodě maximální věrohodnosti, jejich hodnoty tak, aby měla funkce χ minimum. Řešení této úlohy je poměrně komplikované, zájemce odkazujeme na podrobnější učebnice matematické statistiky. Příklad: Budeme testovat hypotézu, že soubor dat pochází z rovnoměrného rozdělení. Datový soubor má hodnoty a je to počet studentů, kteří získali stejné bodové ohodnocení ve škále (0, 1,..., 1) : 158, 76, 6, 130, 135,, 8, 138, 14, 14, 111, , tedy 13 dat a v případě rovnoměrného rozdělení je p i = 1 13 = 0, a np i = = 11, 77. Pro hodnotu statistiky χ dostaneme χ = 36, 38. Pro kritické hodnoty testu z tabulek odečteme: χ (0, 05) = 1, 03, χ (0, 05) = 3, 34, χ (0, 01) = 6,. Pro všechny hladiny významnosti je hodnota testovací statistiky větší než kritická hodnota, patří tedy do kritického oboru a tudíž nulovou hypotézu H 0 zamítáme na všech hladinách. Jestliže uvažujeme podobný soubor 6, 130, 135,, 8, 138, 14, 14, 111, , pak máme skupinu 11 dat. Pro ně je p i = 1 11 = 0, a np i = = 1, 64. V tomto případě dostaneme χ = 8, 68. Kritické hodnoty testu z tabulek jsou: χ (0, 05) = 18, 31, atd. Protože je hodnota testovací statistiky χ menší než kritická hodnota testu nezamítáme hypotézu H 0 na žádné z hladin. Příklad: Testujeme pomocí testu dobré shody hypotézu H 0 : výběr je z normálního rozdělení proti alternativě H 1 : výběr není z normálního rozdělení pro soubor dat 1

29 X = {165, 170, 173, 178, 189, 176, 180, 175, 187, 184, 18, 00, 179, 18, 178, 175, 176, 176, 185, 185, 178, 183, 181, 175}; Pro výpočet teoretických četností použijeme odhady parametrů µ = X = 181, 64 a σ = s = 9, 766. Jako odhad pro interval hodnot dostaneme (147, 46; 15, 8). Pro počet dat n = 4 dostaneme pro počet tříd k = 6. Testovací statistika a kritická hodnota mají hodnoty: χ = 0, 835 a kr = χ 3(0, 05) = 7, Protože je χ < kr, hypotézu H 0 nezamítáme. Pro test dostaneme p hodnotu p = 0, Test závislosti a nezávislosti. Pro náhodné veličiny X a Y se nejčastěji k popisu závislosti používá koeficient korelace ρ(x, Y ), který je definován vztahem ρ(x, Y ) = E((X E(X))(Y E(Y ))) D(X)D(Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) D(X)D(Y ). Koeficient je roven nule pro nezávislé náhodné veličiny a je roven ±1 v případě lineární závislosti Y = ax + b. Pro normální rozdělení je úplnou charakteristikou závislosti náhodných veličin. Platí totiž: Jestliže má náhodný vektor (X, Y ) normální rozdělení, pak je jeho sdružená hustota dána vzorcem f(x, y) = 1 πσ 1 σ exp 1 ρ (x µ 1 ) σ 1 + (y µ ) σ (1 ρ ) ρ(x µ 1)(y µ ) σ 1 σ kde náhodná veličina X má marginální rozdělení N(µ 1 ; σ 1) a Y má marginální rozdělení N(µ 1 ; σ ) a ρ je koeficient korelace mezi X a Y. Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé právě když je ρ = 0. Podmíněné náhodné veličiny X y, resp.y x mají také normální rozdělení se středními hodnotami, resp. a rozptyly E(X y) = µ 1 + β 1, (y µ ), β 1 = ρ σ 1 σ E(Y x) = µ + β 1 (x µ 1 ), β 1 = ρ σ σ 1 D(X y) = σ 1(1 ρ ), resp. D(Y x) = σ (1 ρ ). 111

30 Podmíněná střední hodnota je lineární funkcí y, resp. x, a její směrnice β 1, resp. β 1, je regresní koeficinet. Podmíněný rozptyl je konstantní. Odhad závislosti či nezávislosti pro náhodné výběry provádíme pomocí výběrového koeficientu korelace, který je obdobou výběrových momentů. Výběrový koeficient korelace je definován pro dvourozměrný náhodný výběr (X i, Y i ), 1 i n jako kde S X = 1 n 1 n r(x, Y ) = S XY S X S Y, (X i X), SY = 1 n 1 S XY = 1 n 1 n n (X i X)(Y i Y ). (Y i Y ), Vztah lze úpravami, kterými jsme odvodili vyjádření pro výběrový rozptyl upravit na tvar r(x, Y ) = ( n n (X iy i ) nxy X i n(x) ) ( n Y i n(y ) ) Test závislosti či nezávislosti je založen na tomto tvrzení: Je-li (X i, Y i ), 1 i n náhodný výběr z dvourozměrného normálního rozdělení, pak má náhodná veličina (statistika) T = r 1 r n t(n ) t rozdělení s n stupni volnosti. Algoritmus testu Testovaná hypotéza: H 0 : ρ = 0 nezávislost; H 1 : ρ 0 závislost. Kritický obor W α = {T ; T > t n (α)}, kde t n (α) je kritická hodnota t testu, tedy 1 α kvantil Studentova t rozdělení o n stupních volnosti. Existují tabulky, které uvadějí kritické hodnoty r n (α) přímo pro hodnoty statistiky r. Kritický obor je pak 11

31 W α = {r; r > r n (α)}. Příklad: Pro soubory X výšek a Y vah testujme lineární závislost, jestliže: X = {165, 170, 173, 178, 189, 176, 180, 175, 187, 184, 18, 00, 179, 18, 178, 175, 176, 176, 185, 185, 178, 183, 181, 175}; Y = {7, 60, 65, 75, 9, 7, 73, 65, 70, 83, 85, 93, 70, 80, 68, 75, 78, 63, 75, 87, 61, 74, 69, 75}; Podle algoritmu testu dostaneme: koeficient korelace r XY = 0, 6883; hodnota testovací statistiky T = 4, 4499; kritická hodnota t(0, 05) =, 073, p hodnota testu p =. 4. Protože je T > t(0, 05) hypotézu o nezávislosti zamítáme a přijímáme očekávanou hypotézu, že jsou náhodné veličiny závislé Testy normality Náhodný výběr {X i ; 1 i n} je výběrem z normálního rozdělení. Uvedeme test normality rozdělení, který je založen na výběrové šikmosti a špičatosti, nebo na jejich kombinaci. Vycházíme z porovnání odhadů koeficientů šikmosti a špičatosti s jejich teoretickou hodnotou. Připomeneme: a M k = 1 n n (X i X) k, 1 k je k tý výběrový moment. A 3 = M 3 (M ) 3/ je výběrová šikmost; A 4 = M 4, resp. A 4 = M 4 3 M Pro ně platí: M E(A 3 ) = 0, D(A 3 ) = je výběrová špičatost. 6(n ) (n + 1)(n + 3) E(A 4) = 3 6 n + 1, resp. E(A 4) = 6 n + 1, D(A 4 ) = 4n(n )(n 3) (n + 1) (n + 3)(n + 5). Pro menší rozsahy výběru jsou kritické hodnoty pro statistiky A 3 a A 4 uvedeny v tabulkách. Pro větší rozsahy výběrů, n > 00 pro A 3 a 113

32 n > 500 pro A 4, lze použít aproximace normálním rozdělením, které vychází z centrální limitní věty. Počítáme s tím, že náhodné veličiny U 3 = A 3 D(A3 a U 4 = A 4 E(A 4 ) D(A 4 ) mají normované normální rozdělení. Kritické hodnoty testu nalezneme pomocí kvantilů normálního rozdělení. Kritickým oborem testů je nebo W α = {U 3 ; U 3 > u α/ }, W α {U 4 ; U 4 > u α/, kde u α je α kvantil nornálního rozdělení N(0; 1). Existuje podstatné vylepšení postupu, které se dá použít v případě výběrů menšího rozsahu. Test založený na šikmosti: Postupně vypočteme b = 3(n + 7n 70)(n + 1)(n + 3) (n )(n + 5)(n + 7)(n + 9), W = (b 1) 1, δ = a = W 1, Z 3 = δ ln U 3 a + ) ( U3 a ln W Potom má náhodná veličina Z 3 přibližně normální rozdělení N(0; 1) a hypotézu o normalitě rozdělení zamítáme v případě, že Z 3 u α/. Test se dá použít pro n > 8. Test založený na špičatosti: Postupně vypočteme B = 6(n 5n + ) (n + 7)(n + 9) 6(n + 3)(n + 5) n(n )(n 3), Z 4 = 1 9A 1 3 A 9A A = 6+ 8 B B B 1+U 4 A 4 Náhodná veličina Z 4 má přibližně normální rozdělení N(0; 1) a hypotézu o normalitě zamítáme, pokud je Z 4 u α/. Aproximace je použitelná pro n ,

33 Testy založené současně na šikmosti a špičatosti: Pro výběry kde je rozsah n > 00 můžeme použít skutečnosti, že náhodná veličina U 3 + U 4 χ má rozdělení χ o dvou stupních volnosti. Hypotézu o normalitě zamítáme, pokud je U 3 + U 4 χ (α). Pro menší rozsahy, kde n 0 lze použít skutečnosti, že má náhodná veličina Z 3 + Z 4 χ přibližně rozdělení χ o dvou stupních volnosti. Hypotézu o normalitě zamítáme, pokud je Z 3 + Z 4 χ (α). Příklad: Testujeme pomocí popsaných algoritmů normalitu rozdělení pro náhodný výběr X výšek skupiny studentu. Je Testujeme nulovou hypotézu H 0 : výběr je z normálního rozdělení proti alternativě H 1 : výběr není z normálního rozdělení. Pomocí algoritmů dostaneme: n = 4- počet dat; Pro test založený na koeficientu šikmosti: U 3 = 1, 547, Z 3 = 1, 5663, kritická hodnota u(0, 05) = 1, 96. Je U 3 < u(0, 05) a Z 3 < u(0, 05), tedy v obou případech hypotézu H 0 nezamítáme. Pro test založený na koeficientu špičatosti: U 4 =, 535 Z 4 = 1, 973, kritická hodnota u(0, 05) = 1, 96. V obou případech jsou hodnoty v kritickém oboru, tedy hypotézu H 0 zamítáme. V prvním případě máme příliš málo hodnot, pro druhou variantu vidíme, že je hodnota testovací statistiky těsně u kritické hodnoty. Pro test založený na kombinaci obou hodnot dostaneme: U 3 +U 4 = 8, 81, Z 3 +Z 4 = 6, 345 a kritická hodnota χ (0, 05) = 5, 99. Obě hodnoty přesahují kritickou hodnotu, hypotézu H 0 zamítáme. 115

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Hypotéza Domněnka, předpoklad Nejčastěji o rozdělení, středních hodnotách, závislostech, Hypotézy ve vědeckém výzkumu pracovní, věcné hypotézy

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik:

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik: Testování hypotéz Biolog, Statistik, Matematik a Informatik na safari. Zastaví džíp a pozorují dalekohledem. Biolog "Podívejte se! Stádo zeber! A mezi nimi bílá zebra! To je fantastické! " "Existují bílé

Více

Matematická Statistika. Ivan Nagy, Jitka Kratochvílová

Matematická Statistika. Ivan Nagy, Jitka Kratochvílová Texty k přednáškám Matematická Statistika Ivan Nagy, Jitka Kratochvílová Obsah 1 Náhodný výběr 4 1.1 Pojem náhodného výběru (Sripta str. 68).................... 4 1.2 Charakteristiky výběru (Sripta str.

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Testy pro porovnání vlastností dvou skupin

Testy pro porovnání vlastností dvou skupin Testy pro porovnání vlastností dvou skupin Petr Pošík Části dokumentu jsou převzaty (i doslovně) z Mirko Navara: Pravděpodobnost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_print.pdf

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Semestrální práce z předmětu Matematika 6F

Semestrální práce z předmětu Matematika 6F vypracoval: Jaroslav Nušl dne: 17.6.24 email: nusl@cvut.org Semestrální práce z předmětu Matematika 6F Zádání: Cílem semestrální práce z matematiky 6F bylo zkoumání hudebního signálu. Pluginem ve Winampu

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat.

Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat. 6..0 Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat. Power Analysis and Interval Estimation Analýza síly testu Odhad velikosti vzorku Pokročilé techniky pro odhad intervalu spolehlivosti Rozdělení

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta. Statistika II

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta. Statistika II Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta Statistika II distanční studijní opora Marie Budíková Brno 2006 Tento projekt byl realizován za finanční podpory Evropské unie v rámci programu SOCRATES

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testování hypotéz na základě jednoho a dvou výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/004. Testování hypotéz Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru,

Více

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D.

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Program Statistica Base 9 Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. OBSAH KURZU obsluha jednotlivých nástrojů, funkce pro import dat z jiných aplikací, práce s popisnou statistikou, vytváření grafů, analýza dat, výstupní

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Obsah. 3 Testy 31 3.1 z test... 32 3.2 z test 2... 33 3.3 t test... 34 3.4 t test 2s... 35

Obsah. 3 Testy 31 3.1 z test... 32 3.2 z test 2... 33 3.3 t test... 34 3.4 t test 2s... 35 Obsah 1 Popisná statistika 4 1.1 bas stat........................................ 5 1.2 mean.......................................... 6 1.3 meansq........................................ 7 1.4 sumsq.........................................

Více

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Opakování: Mějme náhodné veličiny X a Y uspořádané do kontingenční tabulky. Řekli jsme, že nulovou hypotézu H 0 : veličiny X, Y jsou nezávislé zamítneme, když

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

5 ANALÝZA ROZPTYLU. Počet sloupců, K = 7 Počet dat, N = 70 Celkový průměr = 3.9846

5 ANALÝZA ROZPTYLU. Počet sloupců, K = 7 Počet dat, N = 70 Celkový průměr = 3.9846 1 5 ANALÝZA ROZPTYLU Vzorová úloha 5.1 Zkrácený postup jednofaktorové analýzy rozptylu Na úloze B5.02 Porovnání nové metody v sedmi laboratořích ukážeme postup 16 jednofaktorové analýzy rozptylu. Kirchhoefer

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

Písemná práce k modulu Statistika

Písemná práce k modulu Statistika The Nottingham Trent University B.I.B.S., a. s. Brno BA (Hons) in Business Management Písemná práce k modulu Statistika Číslo zadání: 144 Autor: Zdeněk Fekar Ročník: II., 2005/2006 1 Prohlašuji, že jsem

Více

Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum

Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. Mgr. Jan Koláček, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Pravděpodobnost, statistika a operační výzkum 1 Obsah I Statistické metody 7 1 Odhad

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Modul Základní statistika

Modul Základní statistika Modul Základní statistika Menu: QCExpert Základní statistika Základní statistika slouží k předběžné analýze a diagnostice dat, testování předpokladů (vlastností dat), jejichž splnění je nutné pro použití

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests), : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij

Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests),   : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij Testy dobré shody Máme dvě veličiny a předpokládáme, že jsou nezávislé (platí nulová hypotéza nezávislosti). Často chceme naopak prokázat jejich závislost. K tomu slouží: TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit

Více

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ HELENA KOUTKOVÁ PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA MODUL GA03 M3 ZÁKLADY TEORIE ODHADU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

Mannův-Whitneyův(Wilcoxonův) test pořadová obdoba dvouvýběrového t-testu. Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008

Mannův-Whitneyův(Wilcoxonův) test pořadová obdoba dvouvýběrového t-testu. Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008 Statistika (MD30P03Z, MD30P03U) ak. rok 007/008 Karel Zvára karel.zvara@mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/ zvara (naposledy upraveno. listopadu 007) 1(4) Mann-Whitney párový Wilcoxon párový znaménkový

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Kurz SPSS: Jednoduchá analýza dat. Jiří Šafr

Kurz SPSS: Jednoduchá analýza dat. Jiří Šafr Kurz SPSS: Jednoduchá analýza dat Jiří Šafr vytvořeno 29. 6. 2009 Dva základní typy statistiky 1. Popisná statistika: metody pro zjišťování a sumarizaci informací grfy, tabulky, popisné chrakteristiky

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Úvod do statistiky (interaktivní učební text) - Řešené příklady. Martina Litschmannová

Úvod do statistiky (interaktivní učební text) - Řešené příklady. Martina Litschmannová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Západočeská univerzita v Plzni Úvod do statistiky (interaktivní učební text) - Řešené příklady Martina Litschmannová 1. strana ze 159 1 Explorační analýza

Více

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Statistika nuda je, má však cenné údaje. Neklesejme na mysli, ona nám to vyčíslí. Z pohádky Princové jsou na draka Populace (základní

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Statistika v příkladech

Statistika v příkladech Verlag Dashöfer Statistika v příkladech Praktické aplikace řešené v MS Ecel Ukázkové tety z připravované učebnice Doc. Ing. Jan Kožíšek, CSc. Ing. Barbora Stieberová, Ph.D. Praha 0 Obsah Obsah. Předmluva

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně V tomto článku bychom se rádi věnovali otázce, jak poznat již z grafického náhledu vztahy a závislosti v analýze rozptylu. Pomocí následujících grafických zobrazení

Více

Ω = 6 6 3 = 1 36 = 0.0277,

Ω = 6 6 3 = 1 36 = 0.0277, Příklad : Házíme třemi kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet bude roven 5? Jev A značí příznivé možnosti: {,, 3}; {,, }; {, 3, }; {,, }; {,, }; {3,, }; P (A) = A Ω = 6 6 3 = 36 = 0.077, kde. značí

Více

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 76

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 76 1 / 76 Méně než minimum ze statistiky Michaela Šedová KPMS MFF UK Principy medicíny založené na důkazech a základy vědecké přípravy Příklad Studie syndromu náhodného úmrtí dětí. Dvě skupiny: Děti, které

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Přednáška 10. Analýza závislosti

Přednáška 10. Analýza závislosti Přednáška 10 Analýza závislosti Analýza závislosti dvou kategoriálních proměnných Analýza závislosti v kontingečních tabulkách Analýza závislosti v asociačních tabulkách Simpsonův paradox Analýza závislosti

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel

Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Luboš Marek Vysoká škola ekonomická v Praze, Praha Konzultace 1 Úvod Mezi statistickou obcí se často diskutuje, který statistický program je nejlepší, přičemž se

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Cronbachův koeficient α nová adaptovaná metoda uvedení vlastností položkové analýzy deskriptivní induktivní parametrické

Cronbachův koeficient α nová adaptovaná metoda uvedení vlastností položkové analýzy deskriptivní induktivní parametrické Československá psychologie 0009-062X Metodologické požadavky na výzkumné studie METODOLOGICKÉ POŽADAVKY NA VÝZKUMNÉ STUDIE Výzkumné studie mají přinášet nová konkrétní zjištění získaná specifickými výzkumnými

Více

Využití korelace v rezervování povinného ručení

Využití korelace v rezervování povinného ručení INSURANCE Využití korelace v rezervování povinného ručení Ondřej Bušta, Actuarial services 7. prosince 2007 ADVISORY 1 Agenda Nástin problému Majetkové škody Zdravotní škody Korelační analýza a riziko

Více

ADDS cvičení 7. Pavlína Kuráňová

ADDS cvičení 7. Pavlína Kuráňová ADDS cvičení 7 Pavlína Kuráňová Analyzujte závislost věku obyvatel na místě kde nejčastěji tráví dovolenou. (dotazník dovolená, sloupce Jaký je Váš věk a Kde nejčastěji trávíte dovolenou) Analyzujte závislost

Více

STUDIJNÍ OPORY S PŘEVAŽUJÍCÍMI DISTANČNÍMI PRVKY PRO VÝUKU STATISTIKY PRVNÍ ZKUŠENOSTI. Pavel Praks, Zdeněk Boháč

STUDIJNÍ OPORY S PŘEVAŽUJÍCÍMI DISTANČNÍMI PRVKY PRO VÝUKU STATISTIKY PRVNÍ ZKUŠENOSTI. Pavel Praks, Zdeněk Boháč STUDIJNÍ OPORY S PŘEVAŽUJÍCÍMI DISTANČNÍMI PRVKY PRO VÝUKU STATISTIKY PRVNÍ ZKUŠENOSTI Pavel Praks, Zdeněk Boháč Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzita Ostrava 17. listopadu

Více