Hodnocení detailn. 2. Spln ní zadání: A. Práce svým rozsahem p vodní zadání ve skute nosti p ekonává.

Transkript

1 Posudek ²kolitele diplomové práce Stochastické modely epidemií s ohledem na demograi lidské populace studentky Jitky Kostkové ze zam ení Aplikované matematicko-stochastické metody Autorka se v p edkládané práci (DP) zabývá stochastickými modely epidemií a s nimi souvisejícími optimaliza ními a statistickými úlohami. Jako model epidemie zde slouºí soustava stochastických diferenciálních rovnic (SDE), kde kaºdá komponenta popisuje vývoj n které ze subpopulací (náchylní k nákaze, inkovaní, uzdravení). Dále jsou zkoumány vlastnosti a numerické simulace klasických model, ale i jejich n která zobecn ní, zejména tzv. Austin-Brewer v model, který (dle mých informací) byl práv v této práci poprvé uvaºován ve stochastickém p ípad. Ukazuje se, ºe tento model je mimo ádn vhodný pro popis reálného ²í ení epidemie ch ipky (v DP modelováno pro Prahu). Pro jednotlivé modely autorka formulovala a s úsp chem e²ila úlohu optimální vakcinace a odhad hustoty pravd pobnosti (náhodného) asu vypuknutí epidemie. První dv kapitoly obsahují p ehled pouºitých výsledk ze stochastické analýzy a numerických metod pro SDE. Ve t etí kapitole jsou prezentovány klasické výsledky pro základní Kermack- McKendrick v SIR model a jsou zde formulovány úlohy optimální vakcinace a odhad hustoty rozd lení asu prvního dosaºení hranice epidemie. Ve tvrté kapitole autorka uvaºovala z literatury známý (deterministický) SIR model s pr - b ºnou vakcinací a p edstavila t i jeho moºná stochastická zobecn ní. Pro kaºdý tento submodel numericky e²ila vý²e popsané úlohy a diskutovala jejich výsledky. Analýza ukázala, ºe uvaºovaný logistický len pro popis demograe je nerealistický a bylo nutné ho nahradit vhodn j²ím lenem. V páté kapitole je denován Austin-Brewer v stochastický SIR model s demograí jakoºto produkt autor ina mimo ádn intenzivního pátrání v literatu e a vlastního návrhu t ech jeho stochastických variant. Tyto t i verze byly porovnány na základ výsledk vý²e uvedených úloh a byl vybrán nejvhodn j²í (velice realistický) kandidát, coº povaºuji za mimo ádný úsp ch. V poslední kapitole je nejlépe vyhodnocený model z p edchozí kapitoly zkoumán podrobn ji vyuºitím teorie lineárních model. Konkrétn je zde studována závislost asu prvního dosaºení hranice epidemie na parametrech modelu v etn odvození modelu této závislosti. Sle na Kostková projevila enormní nasazení a tv r í samostatnost p i práci na diplomové práci a obdrºela výstupy, které by rozhodn m ly být publikovány. Práce má také zna ný potenciál dal²ího rozvoje (rigorozní výsledek ohledn existence a jednozna nosti e²ení Austin- Brewerova stochastického modelu, asov závislá vakcinace a formulace stochastické úlohy optimálního ízení atd.). Detailní hodnocení práce uvádím na druhé stran tohoto dokumentu. Vzhledem k vý²e uvedenému doporu uji práci k obhajob a navrhuji hodnocení A (výborn ). V Milanu dne 29. kv tna 2015 Ing. Petr Veverka, PhD.

2 Hodnocení detailn 1. Náro nost zadání: A. Zadání práce bylo kombinací metod stochastické analýzy, matematické statistiky a numerických metod pro SDE. Krom toho studentka provedla mimo ádn náro nou re²er²i v oblasti popula ních model a poda ilo se jí najít pom rn málo známý ale velice realistický Austin-Brewer v model, který dále zobecnila a zkoumala. 2. Spln ní zadání: A. Práce svým rozsahem p vodní zadání ve skute nosti p ekonává. 3. V cná, formální a logická úrove : A. Práce je psaná velice srozumiteln, jednotlivé kapitoly a sekce jsou logicky správn azeny. Práce je bez jazykových a v cných chyb. Jednotlivé výsledky jsou velmi dob e komentovány a interpretovány. P evzaté výsledky jsou náleºit citované. 4. Práce se zdroji: A. Zcela bez výhrad. 5. Výsledky a výstupy: A. Dá se íct, ºe p edkládaná diplomová práce p edstavuje pom rn ucelenou studii stochastických model epidemií s demograí (s vakcinací i bez). Hlavním výsledkem je formulace a testování nového stochastického modelu epidemie (Austin-Brewerova), který má z ejm velký potenciál pro dal²í praktické vyuºití. Výsledky by rozhodn m ly být zaslány do odborného asopisu.

3 Posudek oponenta Název diplomové práce: Stochastické modely epidemií s ohledem na demografii lidské populace Autor: Jitka Kostková Shrnutí: Práce se zabývá epidemickými modely, přesněji modely, které jsou popsány pomocí diferenciálních rovnic, respektive stochastických diferenciálních rovnic. Po úvodní části se autorka zaměří na Kermackův-McKendrickův model a jeho modifikace včetně stochastických verzí modelu či modelu s vakcinací a na shrnutí již známých výsledků. V další kapitole je pak uvažován SIR model s demografickými prvky. Studentka k již publikovanému deterministickému modelu představuje tři stochastické verze, které vzájemně porovnává pomocí simulační studie a ukazuje i slabiny těchto modelů. Dále je zde zkoumáno rozdělení času prvního dosažení hranice epidemie a také je zde řešena úloha hledání optimální vakcinační strategie. V další kapitole jsou představeny některé z populačních modelů, které jsou následně použity k modifikaci modelů z přechozí kapitoly tak, aby se zabránílo nevhodnému chování při vakcinaci populace. U těchto nových modelů je následně opět provedena simulační studie, zkoumáno rozdělení času prvního dosažení hranice epidemie a řešena úloha řízení. Poslední část je věnována zkoumání závislost středního času prvního dosažení hranice epidemie na dalších parametrech modelu. K tomu je využit lineární regresní model. Práce je napsána srozumitelně a přehledně, použité prameny jsou správně citovány, úvodní části práce dávají čtenáři pěkný náhled do již publikovaných výsledků v této oblasti a část práce s původnímy výsledky na tyto části přirozeně navazuje. Ačkoliv se tato práce věnuje převážně simulačním studiím, je dle mého názoru přínosem v této oblasti. Vzhledem k rozsahu práce se autorka nevyhnula některým nevhodným formulacím či drobným chybám, které jsou uvedeny níže. Konkrétní připomínky: str. 15: Za definicí 1.3 zaměňuje autorka pojem filtrace a σ-algebra. Jsou-li v úvodní části definovány pojmy jako náhodný proces či martingal, bylo by vhodné definovat i složitější pojmy jako Itôův proces a Itôův integrál.

4 str. 44, model I.: Autorka píše Snížení počtu náchylných osob ale vede k tomu, že velikost populace se opět snaží dosáhnout optimální hladiny K. Důsledkem tohoto je markantní nárůst celkové populace. V první řadě by bylo vhodné doplnit, že velikost populace náchylných jedinců se snaží dosáhnout hladiny K. Z obrázků se také zdá, že roste rozptyl v modelu, je tomu tak? str. 45, model II.: Autorka uvádí, že díky velkým výkyvům ve velikosti populace způsobených šumem dochází ke zvýšení počtu infikovaných osob I. Ve srovnání s předchozím modelem se ale výkyvy ve velikosti populace zdají spíše menší. Rovněž je na obrázcích 4.3 a 4.4 vidět, že v tomto modelu (a v modelu III.) má velikost populace tendenci neustále růst. Toto by bylo vhodné zmínit a třeba i doplnit podrobnějším komentářem, neboť při letmém pohledu na rovnici (4.5) by nepozorný čtenář mohl dospět k mylnému závěru, že jelikož se velikost náchylné populace S t má tendenci držet u hodnoty K (jak je psáno na straně 44), tak by deterministická část této rovnice měla být spíše záporná, a tedy by se měla celková populace zmenšovat. str : U obrázků 4.1, 4.3 a 4.5 není jasné, proč je zde uveden i výřez obrázku, který je ale pouhým dvojnásobným zvětšením pravého obrázku, a tak neposkytuje čtenáři významně podrobnější informaci než obrázek vpravo. V popisu obrázku 4.6 mělo být asi napsáno (obrázek vlevo) místo (obrázek nahoře). str. 49, obrázek 4.7: Tento obrázek vypadá spíše jako histogram než jako empirická hustota. Stejně tak i u obrázků 4.9, 4.11, 5.7 a 5.9. str. 52: Zde by bylo vhodné popsat, co je to O t. Z toho, že I T + O T je počet všech osob, které onemocněly do času T, lze usuzovat, že O t je počet osob, které onemocněly do času t, ale v tomto čase již nejsou mezi nemocnými. Z této přirozené interpretace by se dalo očekávat, že O t je neklesajíci, což je ale v rozporu se rovnicí (4.12) na následující straně. str. 53: Je otázkou, zda interpretace parametru u, která je uvedena na této straně a vede k omezení u max 1, je vhodná (pro u dostatečně velké). Dle mého názoru ani u = 1 nevede k plné vakcinaci a i u > 1 má svůj smysl. str. 60: Zde je uvedeno, že Tyto parametry přibližně odpovídají datům z [21] a základnímu reprodukčnímu číslu pro chřipku [14]. Bylo by vhodné tato data uvést. Pokud tedy nejde jen o zmíněný počet úmrtí na chřipku a pětiprocentní míru proočkovanosti.

5 str. 61: Je zde uvedeno, že na obrázku 5.4 je vidět, že i naočkování malé části populace způsobí velký pokles nakažených osob. To ale není z tohoto obrázku tak jasně viditelné, kromě toho u obrázku chybí také popis, který obrázek je bez vakcinace a který s vakcinací. str. 71: Dle mého názoru by bylo vhodné uvést hned na úvod šesté kapitoly, proč se autorka rozhodla pro lineární model. str. 71: Zde se uvádí První část se zabývá efekty zprůměrovaných trajektorií a jejich obecnými vlastnostmi a Hodnoty time značí průměrný čas prvního vypuknutí epidemie vypočtený z 1000 trajektorií. To ale není totéž, neboť čas prvního vstupu z průměrné trajektorie a průmerný čas prvního vstupu se nemusí rovnat. str. 75: Zde autorka uvádí, že nejsou splněny předpoklady k testu ANOVA. Asi by bylo dobré uvést, o jaké předpoklady se jedná. Závěr: Celková úroveň práce je velmi dobrá a proto ji doporučuji uznat jako diplomovou práci. Návrhuji klasifikovat práci známkou A - výborně. RNDr. Jakub Staněk, Ph.D. (Katedra didaktiky matematiky, MFF UK v Praze) V Praze, dne