7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál

Transkript

1 Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, (60 minut) Body Jméno: První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 5 minutách..[povinný] Pro mytí autobusů a trolejbusů dostal DPBodEUnovoumyčku,kterázasměnuuspoří6 procentvodya5procentelektřiny.účetzavodupři použitístarémyčkyzajednusměnuje6tisíckčaúčet za elektřinu 2 tisíce Kč. Kolik peněz nákupem nové myčkyuspořídpbzajednusměnuakolikzatýden? (Vpracovnídnyjedemyčkanadvěsměny,ovíkendech pouze jednu směnu. Nemáte-li kalkulačku, nemusíte dopočítávat numericky.) 2.[3 bodů] Pro lineární diferenciální operátor prvního řádu L[y] = y +a(x)ydokažte,žejelineárníajsou-li u a v diferencovatelné funkce, odvoďte vztah pro L[u v]. 3.[0 bodů] Napište definici parciální derivace funkce f(x,y)podle xapodle y.napišterovnicitečnérovinyke grafufunkce z = f(x,y)vbodě (x 0,y 0 ). 4.[3 body] Vypočtěte obě parciální derivace funkce z = x 2 e x y 7.[4body] Jedánautonomnísystém x = x+y 5 + y = x(y ) ajedenzjehostacionárníchbodů,bod [0, ]. Určete vlastní čísla Jacobiho matice v tomto bodě, typ stacionárního bodu a načtrněte, jak vypadá typický průběh trajektorií ve stacionárním bodě uvedeného typu. 8.[4 body] Integrál x 2 dxdy. zapište jako dvojnásobný integrál v polárních souřadnicích. nožina je čtvrtina jednotkového kruhu ležící v prvním kvadrantu. y 5.[8 bodů] Vyřešte rovnici y y = x ex 6.[8 bodů] Vyřešte rovnici y 2y +y = x, x Požadavek: 6 bodů z 50 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. ZnámkybudouzapsánydoUISuažpozapsánídoindexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu(chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. x 2 +A 2dx = A arctg x A, A 2 x 2dx = 2A ln A+x A x, x 2 +B dx = ln x+ x+b, A 2 x 2dx = arcsin x A

2

3 Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky,..202(60 minut) Body Jméno: První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 5 minutách..[povinný] Odhad maximálního počtu zvířat, která mohou být na pastvině pasena celou sezónu je n = Sm kt, kde njepočetzvířat, Splochapastviny, mprůměrný výnos sušiny, průměrná hmotnost paseného zvířete, T délkapastevnísezonyak= 0,04jekonstanta.Jedán počet zvířat a je nutno určit plochu pastviny. Vyjádřete ze vzorce S pomocí zbylých proměnných, parametrů a konstant. 2.[3 bodů] Uvažujme homogenní diferenciální rovnici L[y] = 0,kde L[y] = y +p(x)y +q(x)y,kde L[y]je linerární diferenciální operátor druhého řádu. a) Rozepište, jak z linearity tohoto operátoru plyne, že lineární kombinace dvou řešení je také řešením této rovnice. b) Platítotéžipronehomogennírovnici?Jsou-li y a y 2 řešenímrovnice L[y] = x,čemujerovno L[y +y 2 ]? 3.[0 bodů] Definujte pojem Jacobiho matice autonomního systému x = f(x,y) y = g(x,y). 4.[8 bodů] Určete lokální extrémy funkce z = e y (x 2 +y). Návod: z x = 2xe y, z y = e y (x 2 +y)+e y 5.[8 bodů] Najděte obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu y 3y +2y = e x. Návod:Partikulárnířešeníhledejtevetvaru y = Axe x, kde Ajereálnéčíslo. 6.[7 bodů] Najděte obecné řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu 7.[4 body] Integrál y +2xy = x 2 e x2 xdxdy. zapište jako dvojnásobný integrál v polárních souřadnicích. nožina je čtvrtina jednotkového kruhu ležící ve druhém kvadrantu. Integrál nepočítejte. y Napište, jakého typu může být stacionární bod, pokud víme,ženulanenívlastnímčíslemmaticeažealespoň jednozvlastníchčíseljereálnéakladné.(je-litomožné, posuďte i stabilitu stacionárního bodu.) x Požadavek: 6 bodů z 50 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. ZnámkybudouzapsánydoUISuažpozapsánídoindexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu(chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. x 2 +A 2dx = A arctg x A, A 2 x 2dx = 2A ln A+x A x, x 2 +B dx = ln x+ x+b, A 2 x 2dx = arcsin x A

4

5 Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky,..202(60 minut) Body Jméno: První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 5 minutách..[povinný] Odhad maximálního počtu zvířat, která mohou být na pastvině pasena celou sezónu je n = Sm kt, kde njepočetzvířat, Splochapastviny, mprůměrný výnos sušiny, průměrná hmotnost paseného zvířete, T délkapastevnísezonyak= 0,04jekonstanta.Jedán počet zvířat a je nutno určit plochu pastviny. Vyjádřete ze vzorce S pomocí zbylých proměnných, parametrů a konstant. 2.[3 bodů] Uvažujme homogenní diferenciální rovnici L[y] = 0,kde L[y] = y +p(x)y +q(x)y,kde L[y]je linerární diferenciální operátor druhého řádu. a) Rozepište, jak z linearity tohoto operátoru plyne, že lineární kombinace dvou řešení je také řešením této rovnice. b) Platítotéžipronehomogennírovnici?Jsou-li y a y 2 řešenímrovnice L[y] = x,čemujerovno L[y +y 2 ]? 3.[0 bodů] Definujte pojem Jacobiho matice autonomního systému x = f(x,y) y = g(x,y). 4.[8 bodů] Určete lokální extrémy funkce z = e y (x 2 +y). Návod: z x = 2xe y, z y = e y (x 2 +y)+e y 5.[8 bodů] Najděte obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu y 3y +2y = e x. Návod:Partikulárnířešeníhledejtevetvaru y = Axe x, kde Ajereálnéčíslo. 6.[7 bodů] Najděte obecné řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu 7.[4 body] Integrál y +2xy = x 2 e x2 xdxdy. zapište jako dvojnásobný integrál v polárních souřadnicích. nožina je čtvrtina jednotkového kruhu ležící ve druhém kvadrantu. Integrál nepočítejte. y Napište, jakého typu může být stacionární bod, pokud víme,ženulanenívlastnímčíslemmaticeažealespoň jednozvlastníchčíseljereálnéakladné.(je-litomožné, posuďte i stabilitu stacionárního bodu.) x Požadavek: 6 bodů z 50 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. ZnámkybudouzapsánydoUISuažpozapsánídoindexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu(chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. x 2 +A 2dx = A arctg x A, A 2 x 2dx = 2A ln A+x A x, x 2 +B dx = ln x+ x+b, A 2 x 2dx = arcsin x A

6

7 Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, (60 minut) Body Jméno: První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 5 minutách..[povinný] Bazální metabolismus(br- Basal etabolic Rate) muže vypočteme ze vzorce BR = k +k 2 m+k 3 h k 4 T, kde mjehmotnost, hvýška, Tvěkak = 66,473, k 2 = 3,756, k 3 = 5,0033, k 4 = 6,755jsoukonstanty. Pro konkrétního muže máme zadány hodnoty BR, h a T.Vyjádřetezevzorcehmotnost m. 2.[0 bodů] Jak poznáme z druhých derivací funkce dvou proměnných, zda ve stacionárním bodě je lokální extrém a jaký? Nadefinujte pojem Hessián a rozepište všechny možnosti, které mohou nastat. 6.[6bodů] Jedánautonomnísystém x = x+y 3 + y = x(y ) ajedenzjehostacionárníchbodů,bod [0, ]. Určete vlastní čísla Jacobiho matice v tomto bodě, typ stacionárního bodu a načtrněte, jak vypadá typický průběh trajektorií ve stacionárním bodě uvedeného typu. Najděte i všechny ostatní stacionární body, pokud existují(vlastní čísla ani další charakteristiky už v těchto bodech neurčujte). 3.[3bodů] a) Napište, jak najdeme konstatní řešení a jak najdeme obecné řešení diferenciální rovnice se separovanýmiproměnnými y = f(x)g(y). b) Napište,jakověříme,zdarovnice y = ϕ(x,y)ječi není rovnicí se separovanými proměnnými. 7.[7 bodů] Vypočtěte dvojný integrál (x+y)dxdy. nožina je vyznačena na obrázku. 4.[6 bodů] Vypočtěte obě parciální derivace prvního řádu pro funkce y = x a) z = (x 2 +y 2 )sinx b) z = e x2 y 2 5.[8 bodů] Najděte obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu y +y +2y = x 2. Požadavek: 6 bodů z 50 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. ZnámkybudouzapsánydoUISuažpozapsánídoindexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu(chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. x 2 +A 2dx = A arctg x A, A 2 x 2dx = 2A ln A+x A x, x 2 +B dx = ln x+ x+b, A 2 x 2dx = arcsin x A

8

9 Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, (60 minut) Body Jméno: První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 5 minutách..[povinný] Na webových stránkách zlatnictví je následující návod na výpočet ceny prstenu v závislosti na katalogové ceně avelikosti C = K 54 V (*) kde Cjekonečnácenaprozákazníka, KkatalogovácenaaV je velikost prstenu. Nyní zlatnictví nabízí slevu 8 procent, ale nespecifikuje z jaké ceny. Je pro zákazníka výhodnější slevu požadovat z katalogové ceny, z konečné ceny, nebo je to jedno?jaksebudelišitkonečnácenaproprstenovelikosti V = 46avkatalogovéceně K = 7000Kč,pokud a) nejprveodečteme 8procentzkatalogovéceny Kapoté použijeme vzorec(*), nebo b) nejprvepoužijemevzorec(*)azvýslednéceny C odečteme 8 procent. 3.[5bodů] Trajektorieautonomníhosystému x = f(x,y), y = g(x,y)jemožnéchápatjakointegrálníkřivkyjisté diferenciální rovnice, kde y hledáme jako funkci proměnné x. Napište tuto diferenciální rovnici. Jak se tato rovnice změní(a jak se změní trajektorie původního autonomního systému), pokud funkce f a g obě zdvojnásobíme? 4.[9 bodů] Určete obě parciální derivace následujících funkcí (derivace už nemusíte upravovat) a) z = x 2 +y 2 sin(x 2 +y 2 ) b) z = x y e x c) z = (x 2 +y 2 ) 2.[8bodů] a) Stručně ale výstižně popište rozdíl mezi lokálním maximem, vázaným maximem a absolutním maximem funkce dvou proměnných. b) Jaká je nutná podmínka pro existenci lokálního extrému? (Přesněji: co v tomto bodě musí splňovat parciální derivace?) c) Je možné podat příklad funkce dvou proměnných takové, žefunkcemávbodě (0,0)lokálníminimum,jednu parciální derivaci rovnu nule a druhá parciální derivace neexistuje? Pokud ano, nakreslte, jak mohou vypadat řezy grafufunkcerovinami y = 0(rovinazadanáosou x aosou z)ax = 0. Pokud ne, vysvětlete proč. d) Pokuste se vytvořit úlohu na hledání absolutního maxima takovou, že úloha má řešení(a vysvětlete proč má úloha řešení), ale funkce z této úlohy nemá lokální extrém(a vysvětlete, proč nemá lokální extrém). 5.[0 bodů] Najděte obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu y 2y +y = e x. Návod:Partikulárnířešeníhledejtevetvaru y = Ax 2 e x,kde A je reálné číslo. 6.[4 body] Najděte obecné řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu na intervalu (0, ). y x y = 7.[4body] Vypočtěteintegrálfunkce xy 3 přesmnožinu, kteroutvoříjednotkovýčtverecsvrcholy (0,), (0,), (,0)a (,). Požadavek: 6 bodů z 50 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. ZnámkybudouzapsánydoUISuažpozapsánídoindexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu(chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. x 2 + A 2dx = A arctg x A, A 2 x 2dx = 2A ln A + x A x, x 2 + B dx = ln x + x + B, A 2 x 2dx = arcsin x A

10

11 Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky,.2.202(60 minut) Body Jméno: První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 5 minutách..[povinný] Aritmetický průměr tří čísel je 5,3. Dvě z těchtočíseljsou 7,a4,2.Jakvypočtemetřetíztěchtočísel? (Není nutno dopočítávat numericky.) 2.[0 bodů] Zformulujte Weirstrassovu větu. Definujte pojmy kompaktní množina, uzavřená množina a ohraničená množina, které s touto větou úzce souvisí. 3.[6 bodů] Logistická rovnice je základní diferencíální rovnice používaná pro modelování růstu populací. Napište tuto rovnici a najděte její konstatní řešení. 4.[7bodů] Profunkci f(x,y)dvouproměnnýchdefinujte pojmy a) parciální derivace podle x b) totální diferenciál 7.[4 body] Najděte obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice druhého řádu y y +2y = 0. 8.[5 bodů] Najděte(v explicitním tvaru) obecné řešení diferenciální rovnice prvního řádu y e 2x y 2 = 0. 9.[6 bodů] Vypočtěte integrál na obrázku. y = x 2 y xdxdypřesmnožinu 5.[8 bodů] Určete stacionární body funkce f(x,y) = x 2 xy 2 +x.ztěchtostacionárníchbodůsijeden vyberteaurčete,zdavněmmáfunkcelokálníextrémajaký. 6.[4 body] Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce z = x 2 +xy +yvbodě (,0). x Požadavek: 6 bodů z 50 možných. Po vyřešení příkladů vyplníte testové otázky. ZnámkybudouzapsánydoUISuažpozapsánídoindexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu(chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. x 2 + A 2dx = A arctg x A, A 2 x 2dx = 2A ln A + x A x, x 2 + B dx = ln x + x + B, A 2 x 2dx = arcsin x A

12