Učební text pro Dívčí katolické střední školy Matematika Josef Civín

Transkript

1 Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond Praha & EU: Evropský Investujeme sociální do vaší fond budoucnosti Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Učební text pro Dívčí katolické střední školy Matematika Josef Civín Platnéřská 4, Praha 1

2 Evropský sociální fond Dívčí katolická střední škola, 01 Josef Civín, 01 Vytiskla Tiskárna F&F, Praha 4 ISBN Dívčí katolická střední škola - -

3 Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Obsah Úvodem 7 1. Zlomky K čemu je potřebujeme: 8 1. Pojmy a základní pravidla: 8 1. Co je to zlomek: Krácení zlomků Nejmenší společný jmenovatel: Porovnávání zlomků: Sčítání a odčítání zlomků Násobení zlomků Dělení zlomků Složené zlomky Převedení zlomku na desetinné číslo Shrnutí a opakování 18 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: 19. Desetinná čísla 0.1 Základní pojmy 0. Násobení a dělení 10, 100, 1000, apod. 0. Zaokrouhlování.4 Shrnutí a opakování Výsledky příkladů pro samostatnou práci: 4. Procenta 5.1 Základní pojmy 5. Převedení procent na zlomek a obráceně 5. Výpočet části 7.4 Výpočet počtu procent 9.5 Výpočet základu 0.6 Shrnutí a opakování 1 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: 4. Mocniny a odmocniny 4.1 Základní pojmy 4. Druhá mocnina Platnéřská 4, Praha 1

4 Evropský sociální fond 4. Druhá odmocnina Mocniny a odmocniny vyšších řádů Shrnutí a opakování 41 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: 4 5. Trojčlenka Základní pojmy Přímá úměra Nepřímá úměra Měřítko Shrnutí a opakování 49 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Celá čísla Základní pojmy Sčítání záporného a kladného čísla Násobení a dělení celých čísel Shrnutí a opakování 56 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Úhly Základní pojmy Počítání s úhly Úhly vrcholové a vedlejší Úhly v trojúhelníku Shrnutí a opakování 67 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Konstrukce obrazců v rovině Základní pojmy Konstrukce čtverce a obdélníka Konstrukce lichoběžníka Konstrukce trojúhelníka (SSS, SUS, USU) Složitější konstrukce trojúhelníka přidáváme výšku Kružnice opsaná trojúhelníku Kružnice vepsaná trojúhelníku Shrnutí a opakování Pythagorova věta Základní pojmy Základní příklady Obrácená Pythagorova věta 8 Dívčí katolická střední škola - 4 -

5 Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 9.4 Shrnutí a opakování 8 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Obvody a obsahy mnohoúhelníků a kruhu Základní pojmy Obvod a obsah čtverce Obvod a obsah obdélníka Rozměry lichoběžníka Obvod a obsah lichoběžníka Obvod a obsah trojúhelníka Obvod a obsah kruhu Shrnutí a opakování 96 Výsledky příkladů pro samostatnou práci Výrazy K čemu výrazy potřebujeme Pojmy a základní pravidla Jednoduché výrazy Závorky ve výrazech sčítání a odčítání Závorky ve výrazech násobení Násobení mnohočlenu mnohočlenem Vytýkání před závorku Vícenásobné závorky Shrnutí a opakování 106 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Rovnice Motivace Základní pojmy Jednoduché rovnice Zkouška Rovnice se složitějšími výrazy na obou stranách Zvláštní případy řešení rovnic Slovní úlohy o společné práci Ostatní slovní úlohy Vyjádření neznámé ze vzorce Shrnutí a opakování 10 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Funkce Základní pojmy Platnéřská 4, Praha 1

6 Evropský sociální fond 1. Graf funkce 1 1. Graf přímé úměrnosti Shrnutí a opakování Povrchy a objemy těles Motivace Základní pojmy Povrch a objem krychle Povrch a objem kvádru Povrch a objem válce Rozměry jehlanu Povrch a objem jehlanu Rozměry kužele Povrch a objem kužele Povrch a objem koule Shrnutí a opakování 151 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: 15 Dívčí katolická střední škola - 6 -

7 Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Úvodem Vítej ve světě matematiky. V několika kapitolách společně nahlédneme na některé oblasti matematiky. Smyslem naší práce nebude jen učení se pravidlům, když bez nich bychom se obešli stěží. Hlavně se budeme učit o problémech přemýšlet a rozvíjet tak v sobě schopnost logicky uvažovat. Tak ať se kolečka otáčejí Platnéřská 4, Praha 1

8 Evropský sociální fond 1. Zlomky 1.1 K čemu je potřebujeme: Zlomky vyjadřují podíl - o jaké části z celku mluvíme. Např. 1 koláče. Díky zlomkům můžeme snadno řešit příklady, které počítají s částmi celku. Např. Co je víc? Pět osmin, nebo devět patnáctin? 7 Nebo? Zlomky nám také pomohou v některých složitějších oblastech matematiky. 1. Pojmy a základní pravidla: Zlomková čára Jmenovatel 1 18 Čitatel Zlomkovou čáru píšeme v úrovni znaménka =. Např.: Ve zlomcích používáme pouze celá čísla. Číslo např. můžeme zapsat také jako Zlomky nazýváme odborně racionální čísla. Vzhledem k tomu, že nulou nelze dělit, nikdy nesmí být 0 ve jmenovateli. 0 Je-li 0 v čitateli je celý zlomek roven 0. Např. nelze napsat, ale Dívčí katolická střední škola - 8 -

9 Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 1. Co je to zlomek: Na obrázku vidíme koláč rozkrájený na 8 dílků. Jeden 1 dílek nazýváme jedna osmina a zapisujeme jej takto:. 8 Vezmeme-li dva dílky koláče, máme dvě osminy a zapisujeme je takto:. 8 1 Určitě si ale všimnete, že mohu říci, že see jedná o. 4 6 Na tomto obrázku již jasněě vidíme, že vybarveno je, 8 což je totéžž jako. 4 Podle čeho tedy poznáme že zlomky jsou si rovny? Zapamatuj si pravidlo: Pok Pokud kud čitate čitatele le i jm jmenovatele menovatele zlo zlomku omku vyn vynásobíme, ásobíme, nebo nebo vydě vydělíme ělímee stejn stejným ným číslem číslem, m, zís získáme skáme zlom zlomek, mek, který který se se původ původnímu dnímu zlo zlomku omku rovn rovná. ná. Příklad: 6 Zlomek vynásobíme v čitateli i jmenovateli číslem a získáme zlomek, 6 18 který se původnímu zlomku rovná. Podobně můžeme čitatele i jmenovatele vydělit 1 číslem a získáme zlomek, který se původnímu zlomku opět rovná Platnéřská 4, Praha 1

10 Evropský sociální fond K zapamatování: Na obrázku vidíme různě vybarvené kruhy. Ve všech je vybarvena jedna polovina. 1 4 Na prvním obrázku je vyjádřena zlomkemm, na druhém, na třetím a tak 4 8 bychom mohli pokračovat dále. Z toho můžeme vyvodit závěr, že jakoukoli část celku můžemee vyjádřit různými zlomky, které se však navzájem rovnají. 1.4 Krácení zlomků V předchozí kapitole jsme si uvědomili, žee různé zlomky se mohou rovnat, tedy že libovolnou část celku můžeme zapsat různými zlomky. Nyní se domluvíme, že každý zlomek budeme vždy uvádět v tzv. zkráceném (nejjednodušším) tvaru. Tedy v takovém tvaru aby čísla v čitateli a jmenovateli byla co možná nejmenší. Příklad: 1 4 Zlomky,,, jsou si rovny. Ve zkráceném tvaru je však jen ten který má ve jmenovateli i v čitateli nejmenší čísla. Jedná se tedy o zlomek. Jak ale nalezneme zkrácený tvar zlomku? Postup je jednoduchý: Krácení zlomku: Nalezneme největšíhoo společného dělitele čitatelee a jmenovatele. a) Rozložíme čitatele na prvočinitele tedy na součin dále nedělitelných čísel. b) Rozložíme jmenovatele na prvočinitele. c) Porovnáme oba rozklady a v jednom z nich podtrhneme činitele, kteří jsou stejní v obou rozkladech Dívčí katolická střední škola

11 Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti d) Součin podtržených čísel je hledaný největší společný dělitel.. Tímto společným dělitelem vydělíme čitatele i jmenovatele a získám tak zlomek ve zkráceném tvaru. Poznámka: Výše popsaný postup se jistě brzy naučíme dělat od pohledu a takto dlouze budeme postupovat jen u těžších případů Výsledek: Příklady pro práci ve škole: Zkraťte zlomky (pokud to lze): ,,,,,,, Příklady za domácí úkol: Zkraťte zlomky (pokud to lze): ,,,,,,, Příklady pro samostatnou práci: (1) Zkraťte zlomky (pokud to lze): ,,,,,,, Nejmenší společný jmenovatel: Při některých početních operacích se zlomky (sčítání, odčítání, porovnávání) budeme potřebovat nalézt nejmenšího společného jmenovatele dvou (nebo více) zlomků. Naučíme se postup pro dva zlomky, protože postup pro více zlomků si každý snadno odvodí sám. Hledání nejmenšího společného jmenovatele zlomků: 1, 6 1. Vybereme většího jmenovatele 9. Procházíme násobky většího jmenovatele a hledáme nejmenší z nich, který je dělitelný menším jmenovatelem.. Nalezené číslo je hledaný společný jmenovatel = 9 není dělitelné 6 9 = 18 je dělitelné Platnéřská 4, Praha 1

12 Evropský sociální fond Příklady pro práci ve škole: Nalezněte nejmenšího společného jmenovatele zlomků: a, a, a, 1 a Příklady za domácí úkol: Nalezněte nejmenšího společného jmenovatele zlomků: a, a, a Příklady pro samostatnou práci: () Nalezněte nejmenšího společného jmenovatele zlomků: a, a, a, a Porovnávání zlomků: Jak poznáme který zlomek je větší? Někdy je to vidět na první pohled, jindy nám to dá pořádně zabrat. Příklad: 7 Který zlomek je větší? nebo? Na první pohled to nepoznáme. Převedeme 11 4 tedy zlomky na společného jmenovatele a pak to bude již snadné. Porovnávání zlomků: 7 a 11 4 Nalezneme nejmenšího společného jmenovatele (postup výše). 44 Vydělíme společného jmenovatele prvním jmenovatelem. 44 : 11 = 4 Výsledkem vynásobíme čitatele prvního zlomku a získáme tak nového čitatele Obdobný postup provedeme s druhým zlomkem. Nyní již snadno zlomky porovnáme. Stačí samozřejmě porovnat čitatele, protože jmenovatelé se rovnají. 1 Dívčí katolická střední škola < tedy

13 Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Příklady pro práci ve škole: Porovnejte zlomky: a, a, a, a Příklady za domácí úkol: Porovnejte zlomky: a, a, a, a Příklady pro samostatnou práci: () Seřaďte zlomky podle velikosti od největšího k nejmenšímu: ,,,,,,, Sčítání a odčítání zlomků Se zlomky můžeme provádět obdobné operace jako s přirozenými čísly. Musíme se však naučit složitější postup. Sčítání a odčítání zlomků: 5 4 Nalezneme nejmenšího společného jmenovatele (postup 0 výše). Vydělíme společného jmenovatele prvním jmenovatelem. 0 : 5 = 4 Výsledkem vynásobíme čitatele prvního zlomku a získáme 8 tak nového čitatele Obdobný postup provedeme s druhým zlomkem Nyní již snadno zlomky sečteme. Stačí samozřejmě sečíst čitatele, a jmenovatele opíšeme jmenovatelé se rovnají. Při odčítání postupujeme obdobně = Platnéřská 4, Praha 1

14 Evropský sociální fond Příklady pro práci ve škole: Vypočítejte: 4 7 1,, , 6, 1.7. Příklady za domácí úkol: Vypočítejte: 5 4 1,, 7 9 7, 5 5, Příklady pro samostatnou práci: (4) Vypočítejte: ,,,, Násobení zlomků Násobení zlomků je velmi jednoduché. Stačí se naučit jedno pravidlo. Násobení zlomků: Nejprve provedeme krácení. Krátit můžeme v rámci zlomku, nebo křížem (např. čitatele jednoho zlomku s jmenovatelem druhého zlomku). Zlomky násobíme tak, že vynásobíme čitatele a jmenovatele zvlášť.vydělíme společného jmenovatele prvním jmenovatelem = Příklady pro práci ve škole: Vypočítejte: ,,,, Příklady za domácí úkol: Vypočítejte: ,,,, Dívčí katolická střední škola

15 Platnéřská 4, Praha Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Příklady pro samostatnou práci: (4) Vypočítejte: 8 5, , 5, 7 1, Dělení zlomků Dělení zlomků je odvozeno od násobení. Dělení zlomků: Nejprve zaměníme čitatele a jmenovatele druhého zlomku. Pozor! Krácení křížem provedeme až poté Dále postupujeme jako při násobení Příklady pro práci ve škole: Vypočítejte: 7 6, 6 7, , 5 9 7, Příklady za domácí úkol: Vypočítejte: 11 5, 5, 5, , Příklady pro samostatnou práci: (5) Vypočítejte: 8 5, , 5, 7 1, Složené zlomky Častější a přehlednější způsob zápisu dělení zlomků jsou složené zlomky. Příkladem složeného zlomku je tento: 1 6 4

16 Evropský sociální fond Nyní se naučíme tento zlomek zjednodušit, tedy převést jej do základního tvaru. Zjednodušení složeného zlomku: Nejprve krátíme, je-li to možné. Krátit lze vnitřní členy 4 (v našem případě 4 a 6) proti vnějším (v našem případě a 1). Vnitřní proti vnitřnímu a vnější proti vnějšímu 1 krátit nelze. 1 Nyní vynásobíme vnější členy a výsledek napíšeme do čitatele a pak vynásobíme vnitřní členy a výsledek napíšeme do jmenovatele Příklady pro práci ve škole: Zjednodušte: ,,,, Příklady za domácí úkol: Zjednodušte: ,, , , Příklady pro samostatnou práci: (6) Zjednodušte: ,, , 6 5 9, Dívčí katolická střední škola

17 1.11 Převedení zlomku na desetinné číslo Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Jak jste si již jistě všimli, je zlomek naznačené dělení. Jinými slovy lze říci, že vydělím-li čitatele jmenovatelem získám desetinné číslo, které má stejnou velikost jako zlomek. Např.: 1 1 0,5 Pozor! Ne každý zlomek lze převést na takto pěkné konečné desetinné číslo. Zkusme převést zlomek : 0, A mohli bychom v psaní šestek pokračovat do nekonečna. Takové číslo se nazývá iracionální a pokud se v něm do nekonečna opakuje jedna číslice, nebo jejich skupina, nazýváme jej periodické. Opakující se úsek nazýváme perioda. Takové číslo pak zapisujeme takto: 0, ,6 A čteme: Nula celá, 6 desetin periodických Příklady pro práci ve škole: Převeďte na desetinná čísla: ,,,,,,, Příklady za domácí úkol: Převeďte na desetinná čísla: ,,,,,,, Příklady pro samostatnou práci: (7) Převeďte na desetinná čísla: ,,,,,,, Platnéřská 4, Praha 1

18 Evropský sociální fond 1.1 Shrnutí a opakování V této kapitole jsme se věnovali zlomkům a početním operacím s nimi. Nyní si zkusíme zopakovat nejdůležitější informace. Pokuste se zodpovědět následující otázky: 1. Co je to zlomek?. Co zlomek vyjadřuje?. Jak se nazývá číselný obor, který zahrnuje právě celá čísla a zlomky? 4. Které číslo nesmím napsat do jmenovatele? 5. Co se stane násobím-li zlomek zlomkem s nulovým čitatelem? 6. Co je to složený zlomek? 7. Mohu zadat příklad: 7 0 1? A co 8 8 0? 8. Co všechno mohu se zlomkem udělat, aniž by se změnil? A nyní pár příkladů: Zjednodušte tento zlomek: 6. Od výsledku odečtěte. Výsledek vydělte číslem 5 a převeďte na desetinné číslo.. Anežka si koupila velký koláč. Přišla Markéta a poprosila jí o půlku. Pak se připlížil Jakub a v nestřežené chvíli snědl třetinu zbytku. Anežku to dost naštvalo. Přesto ještě čtvrtinu zbytku rozdrobila holubům na Staroměstském náměstí. Vyjádřete zlomkem, kolik nakonec zbylo Anežce a kolik ukradl Jakub.. Vyjádřete zlomkem jakou část koláče by měla Anežka, pokud by jí Markéta vrátila dvě třetiny svého dílu. 4. Bylo pět bratrů. Když jim zemřel otec, nechal po sobě truhlu s tisíci zlatými a tuto závěť. Jiří má dostat 400 zlatých, Jan tři čtvrtiny toho co Jiří, Petr polovinu toho co Jan, Matěj dvě třetiny toho co Petr a Ondřej zbytek. Kolik zlatých zbylo na Ondřeje? 5. Vyjádřete zlomkem jakou část z oněch 1000 zlatých dostal který z bratří? 18 Dívčí katolická střední škola

19 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: (1) ,,,,,,, () 1, 6, 40, 4 () > > > > > > > (4) ,,,, (5) ,,,, (6) ,,,, (7) 0,5; 0,16 ; 0, ; ; 0,5; 1,16 ; 0,8; 1, 6 Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Platnéřská 4, Praha 1

20 Evropský sociální fond. Desetinná čísla S desetinnými čísly jsme se důvěrně seznámili už na základní škole, takže následující text bude pro všechny spíše opakováním..1 Základní pojmy Příklady desetinných čísel jsou: 1,55; 5,8; 0,006;... Trocha názvosloví , 6 Milióny Jednotky Statisíce Desítky Desetinná čárka Desetitisíce Stovky Desetiny Tisíciny Tisíce Setiny Na konec čísla, za desetinnou čárku mohu připsat libovolný počet nul, aniž by se číslo změnilo.. Násobení a dělení 10, 100, 1000, apod. Násobení a dělení těmito čísly je natolik jednoduché, že jej zvládneme vždy zpaměti. Násobení a dělení čísly 10, 100, 1000,... Při násobení posouváme desetinnou čárku doprava o tolik míst, kolik nul má číslo kterým násobíme. (Při násobení deseti o jedno místo, při násobení stem o dvě místa,...) Nemá-li násobené číslo za desetinnou čárkou dostatek míst, doplníme na chybějící místa nuly. Dělení provádíme podobně jako násobení. Desetinnou čárku však posouváme o příslušný počet míst doleva. 4, ,6 451, :100 4,5 1: 100 0,1 6 :1000 0,06 0 Dívčí katolická střední škola - 0 -

21 Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti..1 Příklady pro práci ve škole: a) Vypočítejte: 4, ,110, b) Vypočítejte: 456, : :10 0,4 : : , :10.. Příklady za domácí úkol: a) Vypočítejte: 54, , , ,54 10,78100 b) Vypočítejte: 9658 :100 4 :10 0,0 : :1000 4,78 : Platnéřská 4, Praha 1

22 Evropský sociální fond.. Příklady pro samostatnou práci: (1) a) Vypočítejte: 7,5 10 4,100 0, , ,8 100 b) Vypočítejte: 9845 :100 0,8 :10 1,0 :10 70 :1000 5,78 :10. Zaokrouhlování V některých případech není třeba (a někdy to dokonce ani není možné) počítat s přesnými čísly a stačí nám čísla přibližná. Například budeme-li vyprávět o koncertě kterého se zúčastnilo 5996 osob, klidně řekneme, že jich tam bylo Nebo není vždy nutné počítat s čísly jako je 678,56479, ale můžeme dané číslo zaokrouhlit na 678,565, nebo na 678,6, nebo třeba na 680, podle toho jak moc přesný výsledek potřebujeme. Číslice 1,, a 4 zaokrouhlíme směrem dolů, číslice 5, 6, 7, 8, 9 směrem nahoru. Zaokrouhlování: Označíme si poslední číslici, která má zůstat nenulová. Dívčí katolická střední škola ,456 zaokrouhlit na setiny (dvě desetinná místa) V našem případě mají zůstat dvě desetinná místa (setiny) 967, Podíváme se na číslici, která je těsně za označenou číslicí. Podle pravidla v červeném rámečku se rozhodneme, Nahoru zda zaokrouhlujeme směrem dolů, či nahoru. Při zaokrouhlování směrem nahoru zvětšíme = 6 zvýrazněnou číslici o 1, při zaokrouhlování směrem dolů se zvýrazněná číslice nemění. Pak již jen napíšeme místo číslic za zvýrazněnou nuly. 967,4600 = 967,46

23 Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Poznámka: Při zaokrouhlování používáme místo znaménka = znaménko Při zaokrouhlování směrem nahoru, je-li zvýrazněná číslice 9, mění se na 0 a o 1 musím zvýšit i číslici předchozí. Např.: Zaokrouhleno na tisíciny: 899, ,59 Zaokrouhleno na desítky: Zaokrouhleno na jednotky: 9999, Příklady pro práci ve škole: Zaokrouhlete: 45,657 na dvě desetinná místa na desítky 54,1 na jedno desetinné místo 8,504 na jedno desetinné místo 6695 na stovky.. Příklady za domácí úkol: Zaokrouhlete: 57,6467 na dvě desetinná místa na desítky 98,187 na jedno desetinné místo ,54 na jedno desetinné místo na stovky.. Příklady pro samostatnou práci: () Zaokrouhlete: 7,6879 na dvě desetinná místa na desítky 654,769 na jedno desetinné místo 606,18 na jedno desetinné místo na stovky.4 Shrnutí a opakování V této kapitole jsme si zopakovali dvě operace s desetinnými čísly. Nyní si zopakujeme základní pojmy: 1. Popište názvy jednotlivých míst v následujícím čísle: , Platnéřská 4, Praha 1

24 Evropský sociální fond. Doplňte znaménka rovnosti, či nerovnosti: a. 56,76 56,456 b. 667,18 667, c. 71, ,5600. Proč je dobré umět zaokrouhlovat?.4.1 Příklady Vypočítejte: , :10 48 :1000 0, ,89 :1000 Zaokrouhlete na celá čísla: 675,56 54,7 159,45,56 0,5 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: (1) () a) 75; 4; 1; 7400; 680 b) 98,45; 0,08; 0,10; 0,07; 0,578 7,69; 7 000; 654,8; 606,; Dívčí katolická střední škola - 4 -

25 Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti. Procenta Pojem procento patří v běžné řeči mezi nejpoužívanější matematické pojmy. Obchody mají mnoha (nebo málo) procentní slevy, daň z přidané hodnoty je 19 %, v bance nám nabídnou 1,5% úrok, peníze si můžeme půjčit s např. 14% úrokem, na sraz dorazím tak na 80 % apod..1 Základní pojmy Slovo procento vzniklo z latinského PER CENTUM což je jedna setina z celku. 1 Matematicky lze jedno procento vyjádřit takto: 1 % = 0,01 = Jedno procento z celku je tedy celku. 100 Příklad: % ze 00 je ze 00 tj Převedení procent na zlomek a obráceně Vzhledem k tomu, že z předchozího textu víme, že jedno 1 % celku je totéž co 1 celku, je zřejmé že mezi procenty a zlomky bude možné nalézt jednoduchý 100 vztah. Díky němu pak dokážeme převádět procenta na zlomky a obráceně. Převedení procentního vyjádření na zlomek 0 % Do čitatele napíšeme počet procent (samozřejmě bez 0 znaku %) a do jmenovatele číslo Je-li to možné, zlomek krátíme Převedení zlomku na procenta 5 Čitatele zlomku dělíme jmenovatelem. : 5 0, 4 Výsledek násobíme , K výslednému číslu připíšeme znak %. 40 % Platnéřská 4, Praha 1

26 Evropský sociální fond..1 Příklady pro práci ve škole: a) Převeďte na zlomek: 0 % 5 % 4 % 100 % 150 % b) Převeďte na vyjádření v procentech:, ,,, Příklady za domácí úkol: a) Převeďte na zlomek: 5 % 5 % % 10 % 1500 % b) Převeďte na vyjádření v procentech:, ,,, Příklady pro samostatnou práci: (1) a) Převeďte na zlomek: 15 % % 8 % 110 % 10 % b) Převeďte na vyjádření v procentech: 11 7,,,, Dívčí katolická střední škola - 6 -

27 Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti. Výpočet části Už se vám někdy stalo, že jste viděli na obchodě nápis sleva 15 %. Umíte si spočítat kolik vlastně ušetříte? Pro takový výpočet je nutné umět vypočítat právě procentovou část. Co je to ta část? Ukažme si to na krátkém příkladu: Příklad: Markéta si chtěla koupit nové kalhoty. Za výlohou uviděla jedny, které stály 500 Kč. V rámci výprodejní akce byly ještě o 15 % levnější. Markéta uměla matematiku celkem slušně a tak si během cesty kolem obchodu rychle spočítala, že sleva činí 75 Kč. To se jí zdálo málo a tak zamířila dál. Celková cena kalhot byla 500 Kč. To je 100 % ceny a toto číslo nazveme základ. (zkratka z ) Sleva činila 15 %. Toto číslo nazýváme počet procent. (zkratka p ) Patnácti procentům odpovídala suma 75 Kč. Toto číslo nazýváme část. (zkratka č ) Výpočet části: Nejprve si důkladně rozepíšeme všem, co víme. p je uveden ve tvaru procent. Musíme jej tedy nejdříve převést na zlomek. Nyní vynásobíme základ počtem procent ve tvaru zlomku. Jedná se o běžné násobení zlomků tak, jak jsme jej již probírali. Nakonec si ještě uvědomíme, co jsme vlastně vypočítali a napíšeme odpověď. Kolik je 0 % ze 50 korun? z = 100 % p... 0 % č? 0 0% č % ze 50 Kč je 50 Kč. Poznámka: Při výpočtu procentové části si musíme dát pozor, zda vypočítáme skutečně hledanou část, nebo její doplněk do 100 % Platnéřská 4, Praha 1

28 Evropský sociální fond Příklad: Kalhoty stály 500 Kč. Kolik za ně zákazník zaplatí po patnáctiprocentní slevě? Vypočítáme velikost slevy a tu pak odečteme od celkové ceny: z 500 = 100 % p 15 % č? 15 č Sleva je tedy 75 Kč. Výsledná cena kalhot je 500 Kč 75 Kč = 45 Kč. Zákazník zaplatí za kalhoty po 15% slevě 45 Kč...1 Příklady pro práci ve škole: 1. Kolik bude stát rádio po dvacetiprocentní slevě, jestliže jeho původní cena byla 750 Kč. Ve školním roce bylo odučeno 150 hodin matematiky. Na kolika hodinách byl přítomen Jiří, jestliže měl 0 % absenci?. V malé obci přišlo k volbám do obecního zastupitelstva 50 lidí. Nejvíc hlasů (6 %) získal Antonín Vomáčka. Kolik získal hlasů? 4. Kolik korun bude činit DPH při koupi fotoaparátu, je-li jeho cena bez DPH 500 Kč a DPH činí 19 %? 5. Kolik tuku je ve 00 gramech 8% jogurtu?.. Příklady za domácí úkol: 1. Při výprodeji zlevnili v obchodě zimní bundu o 5 procent. Kolik stála bunda po slevě, jestliže její původní cena byla 567 Kč.. Kolik vám zbude peněz, je-li vaše hrubá mzda 5000 Kč, pracujete-li na dohodu o provedení práce a daň činí 15 %... Příklady pro samostatnou práci: () 1. Kolik tuku obsahuje litr (= 1 Kg) 1,5 procentního mléka?. Při vichřici padlo v lese 40 % z 50 stromů. Kolik stromů museli lesníci zpracovat? 8 Dívčí katolická střední škola - 8 -

29 Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti.4 Výpočet počtu procent Nyní se podívejme na předchozí výpočty obráceně. Představme si, že známe základ a část, ale neznáme počet procent. Příklad: Kolik procent z 500 žáků školy je přítomno na vyučování, jestliže jich je ve škole 4? Základ je 500 žáků. Část je 4 žáků. Počet procent musíme vypočítat. Výpočet počtu procent: Nejprve si důkladně rozepíšeme vše, co víme. základ Vypočítáme 1 % tj. 1% Kolik procent z 500 žáků školy je přítomno na vyučování, jestliže jich je ve škole 4? Výsledek zaokrouhlete na celá čísla. z = 100% č 4 p...? % 500 1% 100 Nyní vydělíme část jedním procentem. Získáme tak počet procent, který podle požadavku zaokrouhlíme. Nakonec si ještě uvědomíme, co jsme vlastně vypočítali a napíšeme odpověď. 4 p 84, Na vyučování je přítomno přibližně 85 % žáků školy..4.1 Příklady pro práci ve škole Výsledky (je-li to třeba) zaokrouhlete na jedno desetinné místo. 1. Kolik procent pomerančů prodal obchodník, jestliže z 450 Kg mu jich zbylo 5 Kg.. O kolik procent podražilo mléko, jestliže litr mléka stál dříve 9,50 Kč a dnes stojí 15 Kč?. Kolik procent bodů dostala Jana v písemce, jestliže získala 14 bodů ze 150? 4. Kolik procent ze 00 poslanců bylo pro návrh zákona, jestliže pro zvedlo ruku 41 poslanců? 5. Kolik procent ze 50 kuřat bylo zemřelo na ptačí chřipku, jestliže jich naživu zůstalo 1? Platnéřská 4, Praha 1

30 Evropský sociální fond.4. Příklady za domácí úkol Výsledky (je-li to třeba) zaokrouhlete na jedno desetinné místo. 1. Kolik procent benzínu zbylo v nádrži, jestliže z celkové kapacity 40 litrů bylo 4 litrů spotřebováno.. O kolik procent zlevnily jogurty, jestliže průměrná cena 100 gramů bílého jogurtu klesla ze 1 Kč na 1,50 Kč..4. Příklady pro samostatnou práci () Výsledky (je-li to třeba) zaokrouhlete na jedno desetinné místo. 1. Kolik procent banánů obchodníkovi zbylo, jestliže z 540 Kg jich prodal 511 Kg.. Kolik procent zůstane obchodníkovi z prodejní ceny jednoho páru bot, jestliže je nakoupil za 80 Kč a prodal je za 1054 Kč..5 Výpočet základu Již umíme vypočítat procentovou část a počet procent. Poradíme si však i tehdy, budeme-li znát obě tyto veličiny a budeme-li chtít vypočítat základ, tedy 100 %? Příklad: Kolik stál původně pánský oblek, jestliže byl zlevněn o 15 % a sleva činila 1000 Kč? Počet procent je 15 %. Část je 1000 Kč Základ neznáme, musíme jej vypočítat. Výpočet základu: Nejprve si důkladně rozepíšeme vše, co víme. Vypočítáme 1 % tj. část 1% počet _ procent Známe-li 1 %, stačí jej vynásobit stem a dostaneme 100 %, tedy základ. Nakonec si ještě uvědomíme, co jsme vlastně vypočítali a napíšeme odpověď. Kolik stál původně pánský oblek, jestliže byl zlevněn o 15 % a sleva činila 900 Kč? č 900 Kč p % z.? 900 1% z Pánský oblek stál před slevou 6000 Kč. 0 Dívčí katolická střední škola - 0 -

31 .5.1 Příklady pro práci ve škole Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 1. Během přepravní kontroly v autobuse MHD objevil revizor 5 lidí bez lístku. Udělil jim poutu a pak vykázal, že bylo pokutováno,5 % cestujících. Kolik cestujících jelo autobusem?. Při pěstování mrkve na záhoně vzejde přibližně 0 % semínek. Kolik semínek zahradník zasel, jestliže vzešlo 150 rostlinek.. Kolik ryb chytil rybář jestliže míru měly 4 z nich, což bylo 5 %? 4. V pekařství zbylo po zavírací době 1 bochníků chleba. Vedoucí zapsal 6 % ztráty. Kolik měli původně v pekařství bochníků? 5. V novinách vyšel článek o stávce učitelů. Do stávky se zapojilo v daném kraji 4 % škol. Kolik škol je v kraji celkem, jestliže jich stávkovalo 456? Údaj zaokrouhlete na celá čísla..5. Příklady za domácí úkol 1. Za jak dlouho se naplnila nádrž, jestliže 5 % natékalo 7 hodin?. Ve třídě chyběli žáci, což bylo 10 % z celkového počtu žáků. Kolik bylo celkem ve třídě žáků..5. Příklady pro samostatnou práci (4) 1. Kolik kilogramů banánů nakoupil obchodník ve velkoobchodě, jestliže jich prodal 85 %, což bylo 17,5 Kg.. V inzerátu stálo: Prodám osobní automobil Škoda Felicia v dobrém stavu za 60 % původní ceny. Cena Kč. Kolik stál původně daný automobil?.6 Shrnutí a opakování V této kapitole jsme se důkladněji seznámili s pojmem procenta a naučili jsme se s nimi počítat. Zkuste nyní zodpovědět následující otázky: 1. Co je to procento?. Jak mohu procenta zapisovat pomocí zlomků, nebo desetinných čísel?. Co je to základ? 4. Co je to počet procent? 5. Co je to procentová část? 6. Kolik procent odpovídá zlomku 1? Platnéřská 4, Praha 1

32 Evropský sociální fond.6.1 Příklady 1. O kolik procent podražilo sýr Eidam, jestliže 1 kg stál dříve 110 Kč a dnes stojí 15 Kč?. Kolik tuku je ve 00 gramech (1 sklenice) % mléka?. Kolik hub našel houbař, jestliže prohlásil: našel jsem 15 pravých hříbků a to bylo jen 0 procent všech nalezených hub. Výsledky příkladů pro samostatnou práci: (1) () () (4) a) /0; 1/50; 17/50; 11/10; 1/10 b) 60 %; 75 %; 70 %; 15 %; 67 % a) Litr 1,5 procentního mléka obsahuje 15 g tuku. b) Dělníci museli zpracovat 1408 stromů. a) Obchodníkovi zbylo 5,4 % banánů. b) Obchodníkovi zůstane, % z ceny bot. a) Obchodník nakoupil ve velkoobchodě 150 Kg banánů. b) Automobil stál původně Kč. Dívčí katolická střední škola - -