Sbírka příkladů z matematiky pro 1. ročník tříletých učebních oborů

Transkript

1 Sbírka příkladů z matematiky pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída:

2 Obsah. Teorie množin. Přirozená čísla 6 Dělitelnost čísel 8. Celá čísla 0 4. Racionální čísla Zlomky 4 5. Reálná čísla Intervaly 6. Převody jednotek 5 7. Poměry 9 Měřítko výkresů Trojčlenka Testové úlohy 4 8. Procenta 5 Testové úlohy 8 9. Intervaly a neúplná čísla 9 0. Mocniny 4. Počítání s mocninami 4 Mocniny s přirozeným mocnitelem 4 Mocniny s celým mocnitelem 45 Zápis čísla ve tvaru a Odmocniny 49 Mocniny s racionálním mocnitelem 50 Opakování 5. Planimetrie 54 Shodnost trojúhelníků 55 Shodná zobrazení 60 Podobná zobrazení Vlastnosti trojúhelníka Pythagorova věta 69 Thaletova věta. Středové a obvodové úhly 7 6. Řešení pravoúhlého trojúhelníku 7 7. Obvody a obsahy mnohoúhelníků 77 Obsah nepravidelných mnohoúhelníků 80 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře 8 Kružnice, kruh a jejich části 8 Test: J

3 .Teorie množin Množina je souhrn nějakých předmětů, které chápeme jako celek, O předmětech, jejichž souhrn vytváří danou množinu, mluvíme jako o prvcích této množiny; množina je jednoznačně určena svými prvky. - Průnik množin A a B (A B) je množina všech prvků společných množinám A a B - Sjednocení množin A a B ( A B ) je množina všech prvků, patřících do alespoň jedné z množin A nebo B - Množina A je podmnožinou množiny B (A B), právě když je každý prvek množiny A zároveň prvkem množiny B. Je-li A B, pak platí A B A a zároveň A B B. - Doplněk množiny A v množině B ( A B ) je množina všech prvků množiny B, které nepatří do A.Rozdíl množin A a B ( A - B) je množina všech prvků množiny b, které nepatří do A. x A : prvek x patří do množiny A y ˇA : prvek y nepatří do množiny A : prázdná množina N : množina přirozených čísel - vyjadřuje nenulový počet prvků Z : množina celých čísel vznikne, jestliže k množině N přidáme nulu a všechna čísla opačná k N Q : množina racionálních čísel všechna čísla, která můžeme zapsat pomocí zlomku R : množina reálných čísel všechna čísla ležící na číselné ose k množině Q přidáme i čísla s neukončeným rozvojem, tzn. čísla, která se nedají vyjádřit pomocí zlomku reálná čísla racionální čísla iracionální celá necelá přirozená nula záporná

4 ) Zapište pomocí matematických symbolů : a) množina A má prvky,,, 4 b) prvek x patří do množiny A c) prvek y nepatří do množiny B d) množina A je podmnožinou množiny B ) Zapište označení : - množina přirozených : - množina celých čísel - množina racionálních čísel - množina reálných čísel ) Je dána množina W{0,,,,4,5,7,8} a množiny A{,4,,7}, B{,4,5}. Určete množiny: a) A B d) B b) A B e) A-B c) A f) B-A 4) Je dána množina U{,,,4,5,6,7,8,9} a množiny A{,5,,8,4}, B{,,4,5}. Určete množiny: a) A B d) B b) A B e) A-B c) A f) B-A 5) Zapište : a) prvky množiny A b) prvky množiny B c) prvky množiny U d) prvky A B e) prvky A B f) prvky A g) prvky B h) prvky A-B i) prvky B-A 4

5 6) Zapište : a) prvky množiny K b) prvky množiny L c) prvky množiny M d) prvky K L e) prvky K M f) prvky K L M g) prvky L M h) prvky K M i) prvky K v L M j) prvky K k) prvky M l) prvky M - L m) prvky K - M 7) Je dána množina V { a, b, d, h, k, l, r, s, t, u, v, z, } a množiny H { h k, r, u, v, z} J { d, h, r, s, z}, K { a, b, l, r, s, t, u}. Určete množiny : j) H J k) J K l) H K m) J K n) H J K o) J p) K q) H J r) J K,, 5

6 . Přirozená čísla Přirozené číslo je číslo označující počet prvků konečné množiny. ) Počítej s výhodou: a b c d. 9 ) Vypočtěte: a) b) 5. c) 40 : 60 d) ) Vypočtěte: a) 4. 5 b) c) d) e f g h e) (5. 8) : 5 f) 6.. g). (5. 7) h) e) 75 : 4 f) 786 : g) 5475 : h) : 4) Na stavbu bylo dovezeno v jednom týdnu toto množství cihel: jeden den 500, 5870 a 5 cihel, druhý den 605, 450 a 750 cihel, třetí den 7500 a 85 cihel, čtvrtý den 750, 985 a 65 cihel a pátý den 5, 550 a 750 cihel. Kolik cihel bylo celkem? 5) Do osobního výtahu nastoupí 4 osoby, které mají hmotnost 75 kg, 8 kg, 68 kg a 7 kg. Nejvyšší přípustná zátěž výtahu je 400 kg. Jak velkou hmotností by mohl být výtah ještě zatížen? 6) Na opravu školy je třeba 50 bílých obkládaček a modrých o 80 více. Kolik obkládaček je potřeba celkem? 6

7 7) V jedné bedně je 0 kg hřebíků, ve druhé je o kg hřebíků méně. Kolik je ve třetí bedně, jestliže ve třech bednách je dohromady 6 kg hřebíků? 8) Skladník si zapsal příjem a výdej hliníkového plechu do tabulky: Den Přijal Vydal Pondělí 74 kg 56 kg Úterý kg 68 kg Středa 97 kg 8 kg Čtvrtek 06 kg 49 kg Pátek 5 kg 5 kg V pondělí před zahájením pracovní doby měl ve skladu zásobu 60 kg tohoto plechu. Kolik kilogramů bylo ve skladu v pátek po směně? 9) Kolik m písku uveze auto o nosnosti 8 tun, když m písku má hmotnost 600 kg? 0) Bylo zjištěno, že na stavbu jedné egyptské pyramidy bylo zapotřebí kg kamene. Kolik nákladních vlaků po 50 vagónech o nosnosti 0 tun by bylo potřeba k dopravě tohoto kamene a kolik dní by trvala přeprava, kdyby za každé tři hodiny byl naložen jeden vlak. ) Které číslo patří doplnit? A) 005 B) 006 C) 007 D) 008 E) 009 7

8 Dělitelnost čísel V celé kapitole bude číslo znamenat kladné přirozené číslo (vyloučíme nulu). 5 : 5 Číslo 5 je dělitelné číslem. Číslo 5 je násobkem čísla. Číslo je dělitelem čísla 5 Každá z těchto vět vyjadřuje totéž. Prvočíslo: číslo, které má právě dva dělitele (číslo jedna a sebe sama). Číslo složené : číslo, které má alespoň tři dělitele. Číslo nepočítáme ani mezi prvočíslo, ani mezi čísla složená. Každé složené číslo lze rozložit na součin prvočísel. Soudělná čísla: mají společného dělitele. Nesoudělná čísla: nemají společného dělitele. Znaky dělitelnosti: Číslo je dělitelné dvěma právě tehdy, má-li na místě jednotek některou z číslic 0,, 4, 6, 8 (tj. je-li sudé). Číslo je dělitelné třemi právě tehdy, je-li jeho ciferný součet dělitelný třemi. Číslo je dělitelné čtyřmi právě tehdy, je-li poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi. Číslo je dělitelné pěti právě tehdy, má-li na místě jednotek některou z číslic 0, 5. Číslo je dělitelné šesti právě tehdy, je-li dělitelné dvěma a třemi. Číslo je dělitelné devíti právě tehdy, je-li jeho ciferný součet dělitelný devíti. Číslo je dělitelné deseti právě tehdy, má-li na místě jednotek číslici 0. Erastosthenesovo síto ) Zapište všechna přirozená čísla x, pro která platí 05 x <6 a zároveň jsou násobkem. ) Najděte všechna přirozená čísla z, pro která platí 6 < z a zároveň jsou dělitelná 4. 8

9 ) Doplňte vynechanou číslici tak, aby vzniklo číslo dělitelné 4 a) *4 b) * c) * d) 58* 4) Doplňte chybějící číslici tak, aby vzniklo číslo dělitelné 9 a) 4* b) *8 c) *0 d) * 5) Určete všechny přirozené dělitele čísla 48, 50, 6, 6, 96 6) Určete všechny společné dělitele čísel 4 a 4 6 a 40 a 6 7) Kolik dělitelů má číslo 6? A. 9 B. 8 8) Rozložte čísla na součin prvočinitelů: C. 7 D. 6 E. 5 F. 4 9) Všechny společné dělitele čísel 4 a 0 A),,, 4, 6, 8,, 4 B),,, 6 C),, 6 D),,, 5, 6, 0, 5, 0 E),, 5, 6, 8 0) Určete největšího společného dělitele čísel 0 a a 0 5 a 40 9

10 ) Určete společné násobky čísel a 4 0 a 6 ) Určete nejmenší společný násobek čísel 6 a 40 5 a 0 60 a 90 ) Určete kolik různých obdélníků můžeme sestavit ze 60 čtvercových dlaždic? Určete rozměry těchto obdélníků pomocí počtu dlaždic. 4) Tři parníky vypluly ze stejného přístavu ve stejnou dobu na své trsy. První se vracel do tohoto přístavu třetí den, druhý se vracel čtvrtý den a třetí se vracel šestý den. Kolikátý den od vyplutí nejdříve se opět všechny v tomto přístavu setkaly?. Celá čísla Přirozeným číslům,,, říkáme kladná celá čísla. Zapisujeme je také +, +, +, Opačným číslům k přirozeným číslům,,, říkáme záporná celá čísla. Zapisujeme je -, -, -, Všechna přirozená čísla, všechna čísla k nim opačná a nula vytvářejí množinu všech celých čísel. Označujeme ji Z. Opačné číslo ke kladnému číslu je záporné číslo. Opačné číslo k zápornému číslu je kladné číslo. Nula je opačná sama k sobě. Vzdálenosti obrazů navzájem opačných čísel od počátku číselné osy se rovnají. 0

11 ) Na číselné ose vyznačte: a) všechna celá čísla větší než - 4 a menší než 5 b) všechna celá čísla větší nebo rovna - a menší než 4 c) všechna celá čísla větší nebo rovna - a menší nebo rovna 5 d) { x Z; - 6 x < 9 } e) { x Z; - < x < 6 } ) Určete opačná čísla k číslům : 50, -7, 0, 6, -9, ,, -7 Sčítaní a odčítání celých čísel Pravidla pro odstranění závorek: + ( ( ( ( - + ) Doplňte tabulku: ) Vypočítejte: (+ 0) + ( - 00) ( - 00) + ( - 60) ( + 400) + ( - 00) ( + 500) + ( + 00) 00 ( - 00) ( - 54) 6 ( -8) - + ( - 4) ( -4) Násobení a dělení celých čísel: Pravidla pro násobení a dělení: +. (:) (:) (:) (:) - +

12 5) Vypočítejte : ( - 5) 7. ( - 5) 5 : 5 6) Doplňte tabulky: -5 : ( -5) -5 : 7 5 : ( -7) ( - 5) + 6. ( - 5) -6. ( - 4). ( - ) -0 : -66 : ( - 6) 55 : ( - 5) + 0 : ( + 0) : x 8 x x x x - 6 x 7) Na stavbě byla večer zaznamenána teplota + C. Do rána klesla o 5 C. Jaká byla ranní teplota? 8) Sklep má podlahu,5 m pod úrovní terénu. Jímka pro kanalizaci musí mít dno o, m níže. Zapište záporným číslem, jak hluboko pod terénem je dno jímky 9) Výšková kóta dlažby sklepa je,750, kóta terénu pod dlažbou,85. Jak tlustá je dlažba sklepa? 0) Na stavbě se na stěně vyznačuje přímka ve výšce m nad budoucí podlahou. Střed výtoku z dřezu má být 70 mm nad touto přímkou, střed vyústění odpadu 40 mm pod ní. a) Udejte výšku odpadu a výtoku nad podlahou. b) Jak vyjádříte kladným a záporným číslem, že výtok je nad přímkou a vyústění odpadu pod přímkou? c) Vypočtěte vzdálenost středů výtoku a vyústění odpadu. J

13 4. Racionální čísla ) Která z čísel 0,8 - a) přirozená 5-0, , π jsou 9 b) celá c) racionální ) Zapište ve tvaru zlomku: 4 : 5 9 : (-) 40 0,5-8, -5 0,0 -,05 0,00-0,05 0,54 ) Převeďte zlomky na desetinná čísla: a) e) b ) f ) c) g) d) h) 6 5 4) Počítej zpaměti s desetinnými čísly: 74. 0, (-0,0). (-546) 8. 0,00 0,5 : 00, : ,8 : 0, (-0,) 0, ,0 450: 0, -0,49 : (-0,0) 0,854 : (-0,000) 4, ,6 : : 0, 6,8. 0,0 (-0,06). (-00) (-0,0084) : (-0,0)

14 Zlomky ) Převeďte zlomky na smíšená čísla a naopak: ) Převeď na zlomky se jmenovatelem 4 : ) Převeď na zlomky se jmenovatelem : ) Převeď na zlomky s daným jmenovatelem : ) upravte zlomky na základní tvar : _ ) Sečtěte a odečtěte zlomky zpaměti: 4 a ) b ) c ) d )+ 4 4 e ) 5 6 f ) 7 g ) h ) 8 i ) 7 4 j ) 5 k ) + 6 l ) 4 m ) n )

15 5 4 ) o ) p ) 9 6 ) r q ) s + 4 ) t ) u v) ) x 9 ) y ) Řidič osobního auta spotřeboval při jízdě první den 6 zásoby benzínu v nádrži, druhý den 9 4 původní zásoby. Jakou celkovou část zásoby benzínu v nádrži spotřeboval za oba dny? 8) Jaký je celkový odpor R paralelně zapojených rezistorů R 5Ω, R 4Ω, R Ω, R 4 0Ω? R R R R R 6) Vynásobte: ( ) 5 4 ) 5 4 ) 4 ) ) ) 7 5 ) ) g f e d c b a ( ) ( ) ). 5 ) 8. 9 ) 4. ) 7. 5 ) 7 8 ). 5. ) n m l k j i h

16 7) Vypočítejte: z 40 g z 80 t 4 z 6000 m z m 7 8 z 90 km 5 4 ze hl 5 z 6, dm 4 z,4 kg 5 8) Z tabule obsahu m se na jeden výrobek spotřebují 4 tabule. Kolik m je zbytek tabule? 9) Hmotnost odlitku je před opracováním činí-li odpad 7 jeho celkové hmotnosti? 4 kg. Jakou hmotnost má opracovaný výrobek, 5 0) Při zpracování řeziva přichází materiálu do odpadu. Kolik m řeziva se využije při 0 zpracování 5 m řeziva? ) Skupina montérů spotřebovala dopoledne 4 kabelu, odpoledne zbytku. Jaká část kabelu zbyla? 6

17 ) Skupina žáků má omítnout 460 m zdiva. Do splnění úkolu jim chybí 5. Kolik m zdiva již omítli? ) Třetina kůlu byla zatlučená do země. Nad zemí vyčnívaly 4 m kůlu. Jak byl kůl dlouhý? 4) Hliníková tabule byla rozstříhána na tři stejné díly, každý díl byl dále rozdělen na pět stejných dílů. Jakou část tabule je nejmenší díl? Nakreslete. 5) Vypočítejte: 4 a) 4 9 b) 7 5 c) 4 ( 5) d)

18 6) Vydělte: 4 a) : 9 4 b) : 5 5 ( 8) 4 c) : 7 d : 5 4 e) : 5 5 f )7 : g ) : ( 4 ) 6 h )( ) : 7 6 i ) : j )7, : 5 k ) : 4 5 l ) : 6 m ) : 4 5 n ) : 6 7 o ) : 4 5 p ) : ( 0, 7) 7 q ) : r ) : s )9 : 5 t) : 5 4 8

19 7) Zjednodušte: 5 a) b) c) 8 7 d) 5 8 e) f) 7 g) h) i) 6 0 9

20 j) 4 + k) l) ) Žák prvního ročníku má splnit úkol v odborném výcviku za hodiny. Jakou část úkolu musí splnit za hodinu? 9) Truhlář zhotovil výrobek za 5 hodiny. Jakou část práce splnil za hodinu? 0) Vypočítejte: a) 5 4 b) 5 4 c) : 5 4 d) : 5 4 e). 5 0

21 f) 6. g) 9 4 : 5 h) : 4 i) ) Vypočítejte: a ) : 4 b) : 4 c) : 4 d) e) f) : + g) 4 : ) Čemu se rovná polovina z jedné setiny? A) 0,005 B) 0,00 C) 0,05 D) 0,0 E) 0,5 J

22 5. Reálná čísla ) Která z čísel -7 jsou a) přirozená ,5 7-5 π b) kladná racionální c) celá nezáporná d) záporná reálná e) iracionální f) kladná iracionální g) nekladná iracionální h) záporná celá Absolutní hodnotu čísla si můžeme představit jako vzdálenost tohoto čísla od počátku číselné osy. Zapisujeme ji pomocí svislých čárek. Absolutní hodnota a) kladného čísla je číslo samo : b) záporného čísla je číslo k němu opačné : 7 7 c) nuly je nula 0 0 ) Znázorněte na číselné ose čísla ; - ; 4 ; 0 ; -0,5 ;,5 ; -0,5 ; a jejich absolutní hodnoty. ) Vypočítejte: ,45-0,5 00-0,

23 ) Vypočítejte: - -,5 + -,8-6,5 - +0, , - 0, ,5 5 0, : ( ) 8 : 6 : ( 6 ) : ( 4 ) Intervaly Množiny všech reálných čísel, větších (případně větších nebo rovných) než jisté číslo a a menších (menších nebo rovných) než jisté číslo b. Přitom a, b jsou reálná čísla, a < b Množinový zápis Grafické znázornění Symbolický zápis Způsob čtení { x R ; x < b } (-,b ) otevřený interval méně nekonečno, b { x R ; x b } (-,b polouzavřený interval méně nekonečno, b { x R ; x > a } ( a, ) otevřený interval a, nekonečno { x R ; x a } a, ) polouzavřený interval a, nekonečno { x R ; a < x < b } ( a, b ) otevřený interval a, b { x R ; a x b } a, b uzavřený interval a, b { x R ; a x < b } a, b ) polouzavřený interval a, b, uzavřený zdola { x R ; a < x b } ( a, b polouzavřený interval a, b, uzavřený shora R ( - ; ) ( - ; ) interval méně nekonečno,nekonečno Číslo a nazýváme dolní mez, číslo b horní mez intervalu. Otevřenost či uzavřenost intervalu značíme typem závorky. Závorky (, ) znamenají, že příslušná mez do intervalu nepatří, závorky, znamenají, že příslušná mez do intervalu patří. Symboly -, nepředstavují čísla.

24 ) Dané množiny zapište jako intervaly a znázorněte na číselné ose: A {x R; x,5} B {x R; -4 x 0} C {x R; x < } D {x R; x < 5} E {x R; -8 < x < -5} F {x R; x -,5} G {x R; x -,5} H {x R; 4 < x 8} ) Dané množiny zapište pomocí charakteristické vlastnosti a znázorněte je na číselné ose: K ( -8, 0> L < -6, > M ( -, 4 ) P < 0, + ) S < 6, > T ( -, -) 4

25 ) Určete (intervaly z předchozích příkladů): B F C B K L K L M P M P L T L T 6. Převody jednotek : 000 :0 :0 :0 km. 000 m.0 dm.0 cm.0 mm ) Vyjádřete v km: 6500 m 58 m 57,7 m ) Vyjádřete v m:,5 cm 9800 mm dm 0,04 km 0,87 dm 780 cm 0, mm 5,06 km ) Vyjádřete v dm: 0,75 m 68 cm 4800 mm 5

26 4) Vyjádřete v cm:,7 dm 0,05 m 56 mm 5) Vyjádřete v mm: 5, cm 0,76 dm 0,005 m 6) Upravte na m a sečtěte: a) 5 cm + 6,4 dm + 50 mm b),5 dm mm + 0,47 cm + 0,00045 km c) 600 mm + 0,0 dm + 0,000 9 km d),5 m 05 mm + 6,5 cm m 7) Na bubnu je navinuto 0,75 km lana. Kolik m lana zůstane, jestliže spotřebujeme 84,5 m? 8) Při jedné otáčce se navine na buben zdvihadla 74 cm provazu. O kolik m se zvedne břemeno po 5 otáčkách? km :00 :00 :00 :00 :00 :00 ha a m dm cm mm 9) Upravte na mm :,7 cm 0,75 dm 0,0004 m 0) Upravte na cm : 0,64 dm 57 mm 0,0064 m ) Upravte na dm : 46 cm 0,04 m 6700 mm ) Upravte na m : 5 dm,5 a 0,046 ha ) Upravte na a: 58 m 6,4 ha 0,6 km 4) Upravte na ha: 64 a 7750 m 0,058 km 5) Upravte na km a 59 ha 5 84 m 6

27 6) Kolik m je : a) 40 cm +54 dm +740 mm b) 58 m cm mm c),6 m + dm + 8 cm 7) Podlaha místnosti měří 8,7 m, obsah jedné parkety je 74 cm. Kolik kusů parket bude potřeba na položení podlahy? 8) Kolik čtvercových dlaždiček o rozměru 5 cm je vydláždění chodby, je-li její šířka m a její délka 4 m? : 000 : 000 : 000 : 000 km. 000 m. 000 dm. 000 cm. 000 mm m 0 hl, dm l, cm ml hl :00 :0 :0 :0 l dl cl ml. 9) Upravte na m : 4650 dm cm 5 l 5,7 hl 0,6 hl mm 0) Upravte na dm : 400 cm 7500 mm,5 l 0,7 m 5,6 hl 0,05 dm 7

28 ) Kolik m je a),75 hl dm + 4 l b) 0,456 hl + 50 l dm ) Kolik cm je 7,4 dm mm + 0,0000 m ) Na m kamenného zdiva počítáme,5 m kamene a 4 hl malty. Kolik m kamene a malty se celkem spotřebuje na 5 m zdiva? :0 :00 :00 :0 : 000 t q kg dkg g mg ) Upravte na kg: 500 g 75 g 0,758 q 0,0075 t 0,4 q,5 t 5) Upravte na g: 0,4 kg 5 kg 0,00048 q 6) Upravte na t: 4000kg 8,6 q 0,7 q 7) Na stavbu bylo dodáno 540 pytlů cementu za 8 900,- Kč. Kolik stál q cementu, má-li pytel hmotnost 50 kg? 8) Kolik m písku lze naložit na nákladní auto nosnosti 8 t, jestliže m písku má hmotnost 6 q? 8

29 :60 :60 h.60 min.60 s min h, s min 6 min 0, h, 6 s 0, ) Upravte na sekundy: min min 0,75 min 0, h 0,5 min h 0,5 min 0) Upravte na minuty: 80 s 0 s 5 s,75 h 0,4 h 0,5 h ) Upravte na hodiny: 40 min 5400 s 5 min ) Do kotle přitéká 5 litrů za sekundu. Jak dlouho potrvá jeho naplnění, má-li objem 75 hl? ) Do vodojemu přitéká 7,5 litrů vody za sekundu. Kolik hl nateče za minutu a kolik m za hodinu? 7. Poměry Poměrem porovnáváme dvě čísla nebo dvě hodnoty veličiny téhož druhu, obě vyjádřené ve stejných jednotkách. Zápis: 5 :, čteme 5 ku dvěma! nejde o dělení! Poměr můžeme krátit a rozšiřovat. Úpravami se snažíme o to, mít poměr vyjádřený nesoudělnými přirozenými čísly. ) Zapište poměry v základním tvaru: 45:90 46:8 0:5:5 49:77:05 0,:,5,5:0,8:0,09 9

30 ) První dělník smontoval 4 součástek, druhý 6 součástek. V jakém poměru si rozdělí odměnu? ) Z jedné tuny cukrovky se vyrobí 60 kg cukru. V jakém poměru je množství cukrovky k množství získaného cukru? 4) Plná cihla má hmotnost 4,5kg, děrovaná má hmotnost,5kg. Jakém poměru je hmotnost cihel? Tento poměr vyjádřete nejmenšími přirozenými čísly. 5) Řidič nalil do chladiče,9 l vody a,6 l nemrznoucí kapaliny. V jakém poměru smísil vodu s nemrznoucí kapalinou? 6) Částka 800,-Kč se má rozdělit mezi dva pracovníky v poměru :. Vypočtěte kolik dostane každý. 7) Dva brigádníci dostali za práci, kterou vykonali společně, 490,-Kč. První však pracoval hodiny a druhý 4 hodiny. Kolik dostane každý, jestliže se rozdělí v poměru odpracovaných hodin? 8) Rozdělte částku 5000,-Kč v poměru,:,:4,5. 0

31 9) Písek se štěrkem má být smíšen v poměru :. Kolik písku a kolik štěrku bude ve,5m směsi? 0) Rozdělte pěti žákům částku 8,50Kč v poměru podle odpracovaných směn 5:7:6:9:8. Kolik dostane každý žák? ) Výkon menšího čerpadla k výkonu většího čerpadla byl :8. Jaké množství kapaliny se přečerpalo větším čerpadlem, když za stejnou dobu se menším přečerpalo 4 l kapaliny? ) Výkony dvou čerpadel jsou v poměru,:,8. Prvním čerpadlem se za hodiny přečerpá 540 hl vody. Kolik hektolitrů vody se přečerpá za hodiny oběma čerpadly? ) Nejvýhodnější průřez trámů je udán poměrem šířky k výšce 5:7. Jak široké trámy zvolíte, navrhneme-li výšku 60 mm, 80 mm, 00 mm a 40 mm? Měřítko výkresů ) Délka garáže 6,0 m se má nakreslit na výkres v měřítku :50. Jakou velikost bude mít na výkrese? ) Na výkrese nakresleném v měřítku :00 byla odměřením zjištěna délka budovy 76 mm. Jaká bude skutečná délka?

32 ) Šířka schodiště podle kóty je 400 mm. Odměřením na výkrese byla zjištěna šířka 0 mm. Jaké je měřítko výkresu? 4) Skutečná délka místnosti 4,0 m je na výkrese vyznačena úsečkou dlouhou 84 mm. Jaké je měřítko výkresu? 5) Podrobný výkres dřevěného schodiště je narýsován v měřítku :0. Jaká bude šířka a výška jednoho stupně na výkrese, je-li jeho skutečná šířka 80 mm a skutečná výška 60 mm? 6) Na výkrese byla zapomenuta kóta výšky komína od půdy nad střechu. Odměřením na výkrese byla zjištěna výška 9 mm. Měřítko výkresu bylo :50. Jaká byla skutečná výška komína? 7) Budova dlouhá 6,4 m měří na výkrese 8 mm. Určete měřítko výkresu. 8) Šířka průčelí budovy 4,5 m měří na výkrese 45 mm. Určete měřítko výkresu. 9) Měřením na výkrese byla zjištěna délka sloupku 0 mm, měřítko výkresu bylo :0. Jaká byla skutečná délka sloupku. 0) Jaké budou půdorysné rozměry učebny na výkrese v měřítku :00 a :50, je-li skutečná délka učebny, a skutečná šířka 7,6 m? Trojčlenka ) Vyjadřují následující vztahy přímou nebo nepřímou úměrnost? a) Doba, kterou svítí žárovka, a množství elektrické energie, kterou za tu dobu spotřebuje. b) Délka strany čtverce a obvod čtverce. c) Délka strany čtverce a obsah čtverce. d) Výška člověka a stáří člověka. e) Počet nákladních automobilů a doba potřebná k dovozu daného množství cihel. f) km Doba chůze člověka a vzdálenost, kterou ujde, jestliže jde stálou rychlosti 4,5 h ) Na m zdiva se spotřebuje 0,8 m malty. Kolik malty je třeba na 4 m zdiva?

33 ) Dva dělníci nakládali cihly na auto hodiny. Jak dlouho by je nakládali dělníci při stejném výkonu? 4) Pět dlaždičů by vydláždilo náměstí za dní. Za kolik dní by toto náměstí vydláždili 4 dlaždiči? 5) Kolik m cihelných stěn omítne 8 žáků za 6 směn, když 5 žáků za tutéž dobu omítne 5 m? 6) Špatně utěsněným kohoutkem uniká 0,8 l vody za hodinu. Kolik litrů vody uniklo v bytě dvěma kohoutky, které netěsnily, když oprava byla provedena až za 0 dní? 7) Příjezdovou cestu k hotelu by opravilo 4 dělníků za pracovních dní. Kolik dělníků je třeba přibrat, má-li být cesta opravena do zahájení provozu, tj. za 8 pracovních dní?

34 8) Podnik potřebuje na splnění zakázky při dvousměnném provozu dní. Za kolik dní by zakázku splnil při třísměnném provozu? 9) Elektrický vařič má spotřebu 0 watthodin za 48 sekund. Jaká bude jeho spotřeba v kilowatthodinách za hodinu? 0) Čerpadlo o výkonu,5 litru za sekundu vyprázdní stavební jámu za 0 hodin. a) Za jak dlouho vyprázdní tuto jámu čerpadlo o výkonu 0 litrů za sekundu? b) Jaký výkon musí mít čerpadlu, aby se jáma vyprázdnila za 5 hodin? ) Auto jede 4 km za 6 minut. a) Jak dlouho pojede vzdálenost 5,5 km? b) Kolik km ujede za 0 minut? c) Kolik km ujede za,5 hodiny? Testové úkoly ) Veličiny x a y jsou přímo úměrné, jestliže platí: A. o kolik se zvětší veličina x, o tolik se zvětší veličina y B. o kolik se zvětší veličina x, o tolik se zmenší veličina y C. kolikrát se zvětší veličina x, tolikrát se zvětší veličina y D. kolikrát se zvětší veličina x, tolikrát se zmenší veličina y E. kolikrát se zvětší veličina x, o tolik se zvětší veličina y ) Která dvojice veličin je ve vztahu nepřímé úměrnosti? A. průměr kružnice a délka kružnice B. obsah kruhu a poloměr kruhu C. doba jízdy ujetá při konstantní rychlosti D. doba jízdy a spotřeba benzínu při konstantní rychlosti E. rychlost jízdy a doba jízdy při konstantní vzdálenosti ) Pět revizorů chytí za 6 dní v průměru 70 černých pasažérů. Kolik černých pasažérů chytí v průměru 9 revizorů za 0 dní? A. 900 B. 60 C. 40 D. 0 E. 0 4

35 4) Vlak ujel vzdálenost mezi dvěma městy za hodiny a jel průměrnou rychlostí 80 km/h. Jakou průměrnou rychlostí musí jet, aby zkrátil čas této jízdy o hodinu? A. 40 km/h B. 0 km/h C. 0 km/h D. 00 km/h E. 60 km/h 5) Když jsou na poště otevřené tři přihrádky, čekají lidé ve frontě průměrně 5 minut. Jaká bude průměrná čekací doba, jestliže se otevřou další dvě přihrádky? A. 8 minut B. 9 minut C. 0 minut D. minut E. 5 minut 8. Procenta J Jedno procento (%) znamená jednu setinu celku, kterému říkáme základ. Zapisujeme: % 0,0 základu V úlohách procentového počtu se setkáte s třemi údaji, mezi nimiž je vzájemný vztah: Jsou to základ, počet procent a procentová část. Př.: ze 450 žáků školy bylo 8 nepřítomných, což jsou 4% těchto žáků. Číslu 450 říkáme základ (z). Základ považujeme za celek představující 00 procent. Číslu 8 říkáme procentová část (č). Je to číslo vyjadřující část základu. Číslo 4 se nazývá počet procent (p). Toto číslo udává, kolik setin základu přísluší procentové části. Výpočet procentové části ze známého počtu procent, který jí přísluší a ze známého základu ) Vypočítej ,5, ,064 % % 0 % 5 % 50 % 5

36 ) Vypočítejte: a) % ze 00 kg b) 5% z 80 m c) 0% ze 6000 g d) 00% z 0 km Výpočet základu ze známé procentové části a počtu procent, který jí přísluší ) Vypočítejte základ, jestliže a) % je 48 m b) 00% je 40 t c) % jsou 5 kg d) 60% je 5 W Výpočet počtu procent ze známého základu a známé procentové části 4) Kolik procent je : a) 44 kusů ze 0 kusů b) kg z 6 kg c) 4 t z 500 t d) 0,5 kg z 500g 5) Doplň chybějící údaje: (výsledky zaokrouhluj na jedno desetinné místo) základ p (%) Č ) Rozpočet na rodinný domek byl ,- Kč. Zlepšením pracovního postupu se ušetřilo 9% z celkového rozpočtu. Kolik Kč se ušetřilo? 7) Zlepšením pracovního postupu se ušetřilo 7 400,- Kč, což je 8,5% celkového nákladu na opravu. Jaký byl plánovaný náklad a kolik činí skutečná cena po snížení? 6

37 8) Žák měl vyzdít 4 m příček. Na kolik procent splnil úkol, jestliže vyzdil 0,64 m? 9) Opravou stoupla hodnota budovy o 5% na hodnotu ,- Kč. Jakou cenu měla budova před opravou? 0) Průměrná denní spotřeba vody na stavbě byla 5000 litrů. Je však třeba počítat se špičkovou spotřebou o 0% vyšší. Jakou dodávku vody je třeba zajistit? ) Hmotnost smrkového dřeva se umělým sušením sníží průměrně o 48%. Jakou hmotnost má m dřeva, jestliže po vysušení má hmotnost 40 kg? ) Skupina 8 žáků pracovala týden na omítkách a splnila úkol na 05%. Kolik m omítli, jestliže denní norma byla 0 m na jednoho žáka. ) V závodě pracuje 600 zaměstnanců. Z celkového počtu zaměstnanců je 8% žen. Kolik žen pracuje v závodě? 7

38 4) V kg bronzu je 50 g olova, 80 g cínu a zbytek je měď. Vyjádřete v procentech. 5) Z žáků mělo na konci školního roku 5 žáků vyznamenání. Kolik procent žáků mělo vyznamenání? 6) Dva žáci mají položit za hodinu m hoblovaných podlah. Kolik m mají položit za tři dny po 6 pracovních hodinách, když chtějí plnit svoji normu na 05%. 7) Norma na žáka na položení tabulové podlahy byla 6 m na žáka za den. Na kolik procent splnili normu žáci, když za tři dny položili 40 m podlah? 8) Jeden žák měl vyzdít za 6 hodin,4 m cihelného zdiva. Kolik měl vyzdít zedník za 8 hodin, jestliže norma na žáka byla jeho 60% normy zedníka? 9) Na kolik procent splnila skupina žáků plán, když místo plánovaných 500 m betonu uložila 605 m betonu? 0) Skupina žáků omítla 500 m stěn a splnila úkol na 80%. Jaký byl původní plán? ) Zboží, které stálo 40,- Kč, bylo zlevněno na 60% z původní ceny. Odhadněte, zda některá z částek 60 Kč 40 Kč 80 Kč Je zlevněnou cenou. Svůj odhad ověřte výpočtem. ) Zboží bylo v akci zlevněno o 45%, nová cena je 450,- Kč. Jaká byla původní cena? ) Kterou ze dvou uvedených slev na zboží, které si chcete koupit, byste více uvítali: a. sleva o 45% b. sleva na 45% 4) Elektrická vrtačka stála původně 890,- Kč, po inovaci byl tento typ o 0% dražší, ale pak bylo všechno zboží zlevněno o 0%. Kolik za vrtačku zaplatíme? 5) Všechny ceny se snižují o 0% až 40%. Kolik bude stát zboží s původní cenou 960,- Kč? Testové úkoly ) Procento je A. pětina celku B. desetina celku C. setina celku D. tisícina celku E. desetitisícina celku 8

39 ) Kolik procent jsou metry ze 0 metrů? A. 0,5 % B.,5 % C. 4 % ) 8 % z 0 kg je A. 9 kg B. 8 kg C. 57,6 kg D. 5 % E. 40 % D. 90 kg E. 576 kg 4) Kolik gramů kuchyňské soli je nutno rozpustit v 400 gramech vody, abychom dostali 0% roztok? A. 00 g D. 40 g B. 80 g E. 0 g C. 60 g 5) Kovboj Joe ukradl koně. Šerif určil škodu na 768 dolarů. Kolik dolarů stál kůň, jestliže sedlo bylo o 40% levnější než kůň? A. 88 dolarů D. 50 dolarů B. 460 dolarů E. 78 dolarů C. 480 dolarů 9. Intervaly a neúplná čísla ) Neúplné číslo znázorněte na číselné ose. Určete střední hodnotu a o a absolutní chybu α. Zapište ve tvarech a a o ± α, a < a o -α, a o +α >. a) 9 a b) a 4 c) 0 a 09 d),6 a,8 ) Neúplné číslo znázorněte na číselné ose. Určete střední hodnotu a o a absolutní chybu α. Zapište ve tvarech a a o ± α, a o -α a a o +α. a) a < -0, ; 0, > b) a < 4,4 > 9

40 c) a < 8,0 ; 8,6 > d) a < 8,0> ) Neúplné číslo znázorněte na číselné ose. Určete střední hodnotu a o a absolutní chybu α. Zapište ve tvarech a o -α a a o +α, a < a o -α, a o +α >. a) a ± 0,5 b) a 7,5 ± 0, c) a 0 ± d) a,75 ± 0,5 4) Uveďte alespoň pět přípustných hodnot neúplného čísla: a) 0 ± 0,5 b) <, ;,7 > c) 4 a 5 d) 0,7 ± 0,005 5) Jsou dána neúplná čísla a 64, ± 0,4; b 5,7 ± 0,. Vypočtěte a + b, a b. 6) Hřídel má části o délkách (,7 ± 0,05)mm, (0,0 ± 0,05)mm, (,8 ± 0,5)mm. Vypočtěte její délku. 7) Plechovka s kg barvy vystačí na 7 m až 0 m natírané plochy. Má se natřít 6 m stěny. a) Kolik kilogramových plechovek barvy je třeba koupit, aby barva určitě stačila? b) Kolik plechovek by mohlo zbýt? 40

41 8) Pramen dodává do studny nejméně 6 l vody za min. Vypočtěte, jaký největší objem vody lze ze studny odebrat, aby bylo zaručeno, že voda bude během další hodiny vždy znovu doplněna. 9) Při zapojení jednoho čerpadla s objemovým průtokem 50l za min hladina v jímce nepřestala stoupat. Při zapojení dalšího čerpadla se stejným objemovým průtokem začala hladina klesat. Vyjádřete neúplným číslem, jaký byl přítok do jímky. J 0. Mocniny Pro každé přirozené číslo n > a pro každé reálné číslo a je a n součin n stejných činitelů rovných číslu a, tj. a n a. a. a... a Platí: a n činitelů a pro každé reálné číslo a 0 pro každé reálné a 0 0 n není definováno Výraz a n (čteme a na entou ) je mocnina ; a je základ, n je mocnitel neboli exponent 4

42 Určete zpaměti: a) b) 9 0,9 0,09 0,009 c) (-) - (-0,) d) (-,) 0, -0 e) 5 50 (-,5) -0,5 ) Vypočítejte obsah čtverce se stranou a, doplňte tabulku: a m,6 dm 0,09 km 5,4 cm Sa ) Zapište ve tvaru mocniny:... a.a.a a.a.a.a.a 4) Zapište ve tvaru součinu: (-) 6 (-50) (-) 5 -, 4 (-4).(-4) (-k).(-k).(-k) a b.a b.a b.a b.a b (-,) (9a) -b 5 (x+) (y-) 5) Vypočítejte: 600 0,4 (-5) -40 0, 4 (-) 6-4 0, 5 6) Vypočítejte objem krychle s hranou a, doplňte tabulku: A 5 dm, cm 0,05 m mm Va 4

43 7) Porovnejte hodnoty výrazů k a k, doplňte tabulku: K k k 8) Vypočítejte: (-) 4 (-0 +.4) 5 [(-5) + (-5) ] (5.0, ) 0 -(-0) (-0) ( 4.5):0 4 (+ )( ) [(-)+(+)] [(-4) ] 7 [ (-) (-) (-).5] - (-7 + ) ( 7 ) ( + 5) ( ) [ ] ( ) ( ) 9) Vypočítejte : (-6) (-4) 5-7 0, 4 0,00 0,5 0 (-) 5 (-) 4 -(-0,5) -(-0) (-) 5 -(-) 4 (-0,5) 0. Počítání s mocninami Mocniny s přirozeným mocnitelem S mocninami s přirozenými mocniteli počítáme podle vzorců : a n. b n (a.b) n a n : b n (a : b) n a r. a s a r+s a r : a s a r-s (a r ) s a r.s Ve všech vzorcích můžeme pořadí stran zaměnit. Sčítat a odčítat můžeme pouze mocniny se stejným základem i mocnitelem. 4

44 ) Zjednodušte sčítáním a odčítáním: a + a 4a 4b 7b + b x x x + 5x a + 5x a + 4a x 6x 4x 9x - 6 x + x 6a + a b 4a b + b 4a b (-a) + (-a) (+4a) + (+a) 8a (+4b) + (-5a ) + b - a + ) Vynásobte, vydělte: a p.a q a.a x 4.x.x m 0.m x.x m.m.m (-).(-) 6 (-).(-) 5.(-) 8 m x.n x m.n.. 9 (5. 0) 4 : ( ) Umocněte: (a r ) s ( ) (x 7 ) 4 (0 6 ) [(-4) ] 5 a.b.c , a p : b p m 6 : m 7 5 : 7 x : x (-) 8 : (-) 7 m 5 m [(-) 4 ] [(-) ] 4 [(-0,5) ] (a.b) s (x) 5 (0,y) (-) ,4 5. (5. 0 ) : (5 6. 8) : (-0,5r) (-.0) 4 (6xy) m 44

45 4) Zjednodušte výrazy: a.a a.a (p.p ) 4 5 ( m ) ( 6m ) ( m ) (p.p ) 4 : p 4 (.0 ) : (4.0 5 ) Mocniny s celým mocnitelem Pro libovolné celé číslo k a pro a 0 je k a k k a a a b k b a Vzorce pro počítání s mocninami zůstávají v platnosti i pro mocniny s celočíselnými mocniteli. k ) Zapište jako mocninu s kladným mocnitelem: a -n x (-7) - (-8) - (-x) -7 (-0) - ) Vypočítej: p q n ,9 (,5) (-) -5 (-) ,

46 ) Zjednodušte: a -.a - a.a - x -4.x.x (-) -.(-) - (-) -.(-) 5.(-) -5 m -x.n -x m -.n - a -.b -.c : 5 0 a - : a 4 m -6 : m 7-5 : 7 (a r ) -s ( - ) (x -7 ) -4 (0 6 ) - [(-4) - ] 5 [(-) -4 ] - [(-) ] -4 [(-0,5) - ] (a.b) -s (x) -5 (0,y) - (-0,5r) - (-.0) -4 (6xy) - 4a -.a 7a -.a (5p -.p ) -4 (p.p - ) 4 : p -4 (4.0 - ) : (4.0-5 ) : : : : 4 5 ( 5) Zápis čísla ve tvaru a.0 n Platí: Kladný mocnitel udává počet nul za číslicí, takže např Záporný mocnitel udává počet desetinných míst včetně číslice, takže např , Používané předpony v označení jednotek: Násobné zkratka zápis Dílčí zkratka zápis deka dk 0 deci d 0 - hekto h 0 centi c 0 - Kilo k 0 mili m 0 - mega M 0 6 mikro m 0-6 giga G 0 9 nano n 0-9 tera T 0 piko p 0-46

47 ) Zapište ve tvaru a.0 n : 000 0, ,7 70 0, ) Zapište bez mocnin čísla 0: ) Zapište ve tvaru a.0 n : Kč 0,00 kw 5,6.0 -,7.0 6,05.0 9, km 0,000 0 m 4) Zapište ve tvaru a.0 n s jednotkou bez předpony: 9 cm 0, kg t 0,006 m 8 dm mm hl kw 5) Zapište bez mocnin čísla 0:. 0 - m 5. 0 m kg m 6, m,. 0 W, A 9, Pa 6) Zapište, co vyjadřují údaje, které se objevily na displeji kalkulačky: ) Zapište výsledek ve tvaru a.0 n : , , , , , ,9. 0, : : 0,07 00 : 0,08 0,055 : 0, ,00 0, , ( 0 ) 0 0 ( 0, )

48 8) Vypočítejte: 5,.0 4 4, ,.0 + 7,5.0 6,75.0 9, , , ) Dospělý člověk má asi 5,5 l krve. V mm krve je asi 5 miliónů červených krvinek, 0 tisíc bílých krvinek a 50 tisíc krevních destiček. Vypočítejte a zapište množství červených a bílých krvinek a krevních destiček v krvi dospělého člověka. 0) List papíru má tloušťku 0, mm. Odhadněte a potom vypočítejte, kolik listů papíru je narovnáno ve sloupci vysokém m. ) Odhadněte a vypočítejte, kolik krychlí o hraně mm se vejde do krabice délky m, šířky 5 dm a výšky 0 cm. Předpokládejte, že krychle krabici zcela vyplňují. ) Porovnejte hmotnost Země s hmotností Měsíce a Slunce. Hmotnost Země je kg, hmotnost Měsíce je 7,4. 0 kg a hmotnost Slunce. 0 0 kg. ) Jak dlouho letí ze Slunce na Zemi světelný paprsek? Vzdálenost Země od Slunce je asi, km, světlo se ve vakuu šíří rychlostí km.s -. Za jak dlouho by km tuto vzdálenost uletělo letadlo letící rychlostí 00? h 48

49 ) Vypočítejte druhé a třetí odmocniny: ,0. Odmocniny 00 0,000 0,6 0, 008 0,005 0, ,44 ) Použijte kapesní kalkulačku: 5,76 97,5 0,056 76, 59 ) Určete hodnotu výrazu: ( 6 5) ( ) , ( ) 4) Vypočítejte. Výsledky zaokrouhlujte na dvě desetinná místa: , , 0, 5) Jakou délku strany má čtverec, jehož obsah je: a S S 64 dm 0,694 m 864 cm 0,0095 km a 6) Jakou délku hrany má krychle, jejíž objem je: a V V 000 dm 00 m 5 cm 0,08 km a 49

50 Mocniny s racionálním exponentem a q p a a p q a a a a a ) Napište jako mocniny: a 5 0 m 4 7 p ) Napište jako odmocniny: b 4,5 m 0 q q p q ) Mocniny zapište jako odmocniny a vypočtěte je: a ( a ) p , ,5, 5 8 0,064 0,008 0,09 0,5 0,6-0,5 0,

51 a x 4) Vypočtěte: , ,5 a 4 0, 5 : x m m p : p OPAKOVÁNÍ: ) Zapište ve tvaru mocniny:... a.a 4a.4a.4a.4a.4a ) Vypočti: 5 0,9 0,00 0,07 0,00 ) Vypočti: ,6 0,006 0,09 0, , , (-5).(-5).(-5) (-k).(-k).(-k).(-k) a b. a b. a b. a b. a b,465 75,8 0,4859 9,76 0,5,5 0,05 0,005 4) Vypočti zpaměti: , 0,0 0, ,64 0,0064 0, ) Vypočítej: 0 + +, +0, 5

52 Slovní úlohy: ) Kolik m tapet je třeba k vytapetování stropu čtvercové místnosti s délkou strany 4,75 m? ) Nádrž tvaru krychle (bez víka) má hranu délky,8 m. Kolik m plechu je třeba k její výrobě, počítáme-li 4% materiálu na spoje a odpad? ) Normy předepisují jako nejmenší průřez komínového průduchu 0,05 m. Vypočítejte potřebnou délku strany čtvercového průduchu. 4) Čtvercová deska má mít plochu 0,5 m. Kolik mm bude měřit délka jedné strany? 5) Jaký odpad v % bude, jestliže z čtvercové překližky o straně 0,8 m vyřízneme největší možnou kruhovou desku? 6) Čtvercová podlaha hudební síně má být pokryta podlahovou krytinou, m této krytiny stojí 5,- Kč. Kolik bude stát krytina na celou podlahu, je-li strana čtverce 8,5 m? 5

53 7) Z kmene, jehož průměr na užším konci je 80 mm, se má vytesat trám čtvercového průřezu. Vypočtěte délku strany největšího možného čtvercového průřezu. 8) Chodník tvaru obdélníku má délku 5 m a šířku m. Chodník má být vydlážděn čtvercovými dlaždicemi o straně 50 mm. Kolik dlaždic bude potřeba? 9) Čtverec má stejný obsah jako obdélník o stranách 8,85 m a,60 m. Vypočtěte stranu čtverce. 0) Deska má tvar čtverce o straně 0,75 m, Jaký má obsah, má-li otvory o průměru 5 cm a otvor o průměru 9 cm? ) Kolik vody je ve studni s kruhovým průřezem o průměru 0,89 m, je-li hloubka vodního sloupce,4m? ) Vypočítejte délku úhlopříčky ve čtverci se stranou 8 m. ) Vypočítejte poloměr kruhu, který je opsaný čtverci se stranou 5 cm. 5

54 4) Otevřená plechová nádrž na vodu tvaru krychle má objem 0,5 m. Jaká je délka její hrany? Kolik plechu je potřeba na její výrobu? 5) Věž tvaru válce má kruhový půdorys. Jaký je objem jejího zdiva, je-li vnitřní průměr 5,4 m a tloušťka zdí m? Výška zdiva je m. 6) Vodní nádrž má přibližně čtvercové dno o rozloze ha a je v ní právě milión litrů vody. Může v ní být uspořádána plavecká soutěž? J. Planimetrie Geometrické symboly a jejich zápisy: Zápis Význam AB úsečka AB AB délka úsečky BA AB, p přímka AB a AB polopřímka AB AB polopřímka AB opačná k polopřímce AB ABC Konvexní úhel ABC ABC Nekonvexní (konkávní) úhel ABC ABC Velikost úhlu ABC X, o Vzdálenost bodu X od přímky o ABC Trojúhelník ABC Zobrazení je shodné, má-li tuto vlastnost: Libovolná úsečka a její obraz jsou shodné (XY X Y ). 54

55 ) Užitím geometrických symbolů zapište body, přímky, polopřímky, úsečky, roviny, poloroviny a úhly, které jsou vyznačeny na obrázku. ) Zapište vzájemné polohy přímek na obrázku. Zapište, které úsečky jsou na obrázku shodné. Zapište, které úhly jsou na obrázku shodné. Shodnost trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků délka všech tří stran Dáno Podmínka Věta délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného délka jedné strany a velikost dvou úhlů k ní přilehlých délky dvou stran a velikost úhlu ležícího proti delší z nich součet délek dvou libovolných stran je větší než délka třetí strany velikost daného úhlu je menší než 80 součet velikostí daných úhlů je menší než 80 velikost daného úhlu je menší než 80 Sss Sus Usu Ssu 55

56 ) Sestrojte dvojice daných trojúhelníků. Zapište, podle které věty o shodnosti trojúhelníků jsou shodné. a) ABC: a,5 cm, b 4 cm, c 5 cm A B C : a,5 cm, b 4 cm, c 5 cm b) ABC: a 5 cm, b 7 cm, γ 60 A B C : a 5 cm, b 7 cm, γ 60 c) ABC: a 6 cm, β 47, γ 75 A B C : a 6 cm, β 47, γ 75 56

57 d) ABC: b 5 cm, c 6 cm, γ 90 A B C : b 5 cm, c 6 cm, γ 90 ) Zapište velikosti prvků trojúhelníků, které mají být shodné s trojúhelníky danými. (Udělejte si náčrty) a) ABC MNP, ABC: AB 6 cm, BAC 0, ABC 45 b) KLM PQR, KLM: LM 7 cm, LK 4 cm, KM 6 cm ) Sestrojte dané trojúhelníky, zapište věty o shodnosti trojúhelníků, které při konstrukci používáte. a. PQR: PQ 7 cm, QR cm, PQR 65 57

58 b. MNP: p 6,5 cm, m 8 cm, n 0 cm c. Pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C: CAB 7, b 5 cm d. Pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C: c 9,5 cm, a,7 cm 58

59 4) Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC o straně a 6 cm. Zapište věty o shodnosti trojúhelníků, které můžeme ke konstrukci použít. 5) Rovnoramenný trojúhelník ABC má základnu c, ramena a,b. Sestrojte trojúhelník ABC podle zadání a zapište větu o shodnosti trojúhelníků, pomocí níž konstrukci provádíte: a. c 5 cm, a 8 cm b. c 8,4 cm, α 0 59

60 c. b 5 cm, γ d. α 74, γ 45 Shodná zobrazení ) Sestrojte osu: úsečky tupého úhlu ostrého úhlu přímého úhlu 60

61 ) U narýsované kružnice není zřetelná poloha středu. Jak střed kružnice najdete? ) Narýsujte a sestrojte osy souměrnosti těchto útvarů: a) čtverec o straně a 4 cm b) obdélník o základně délky 8 cm a poloviční výšce c) kružnici o průměru d 5 cm 6

62 d) rovnostranný trojúhelník o straně délky a 5 cm 4) Narýsujte libovolný: a) kosočtverec b) kosodélník c) rovnoramenný trojúhelník d) obecný trojúhelník e) polokruh f) čtvrtkruh g) pravidelný šestiúhelník h) pravoúhlý lichoběžník Narýsujte všechny osy souměrnosti těchto útvarů, pokud existují. 6

63 Osová souměrnost Středová souměrnost 6) Sestrojte obraz A B C rovnostranného trojúhelníku ABC (a 4 cm) v osové souměrnosti s osou AC. Dále sestrojte obraz A B C trojúhelníku A B C ve středové souměrnosti se středem v bodě A. 7) V soustavě souřadnic Oxy jsou dány body S[-,], D[-,0]. Sestrojte kružnici k(s, r SD ). Dále sestrojte obraz této kružnice v osových souměrnostech s osami x a y. V obou souměrnostech určete samodružné body. 6

64 8) V soustavě souřadnic Oxy jsou dány body A[,], B[,0], C[0,]. Sestrojte trojúhelník ABC. a) Sestrojte jeho obraz A B C v osové souměrnosti s osou x b) Sestrojte jeho obraz A B C v osové souměrnosti s osou y c) Sestrojte obraz trojúhelníku A B C v osové souměrnosti s osou y Vyšrafujte obrazec vzniklý z trojúhelníků. Zapište souřadnice samodružných bodů a uveďte vždy příslušnou osovou souměrnost. 9) V soustavě souřadnic Oxy jsou dány body A[,], B[4,] a C[,]. Sestrojte trojúhelník ABC a jeho obraz A B C středově souměrný podle bodu S[0,0]. 0) Který z uvedených útvarů je osově i středově souměrný? A) rovnostranný trojúhelník B) rovnoramenný lichoběžník C) pravidelný pětiúhelník D) pravidelný šestiúhelník E) kosodélník ) Kolik os souměrnosti má pravidelný šestiúhelník? více něž 00 Podobná zobrazení ) Narýsujte dvojici podobných trojúhelníků podle zadání. a) ABC má strany AB cm, BC 4,5 cm, AC,5 cm, A B C má odpovídající strany dvojnásobné délky. 64

65 b) Pravoúhlý trojúhelník ABC má vnitřní úhel o velikosti β 60 a strana a 4 cm, podobný pravoúhlý trojúhelník A B C má vnitřní úhel β 60 a strana a 5,5 cm. c) ABC má strany c,5 cm, b cm a úhel α 40, podobný A B C je A B 5 cm, α 40, A C 4 cm. ) Úsečku AB délky AB 0 cm rozdělte na a) sedm dílů b) devět dílů c) dva díly v poměru : d) tři díly v poměru : : 65

66 ) V plánu v měřítku : 000 je zahrada znázorněna rovnoramenným pravoúhlým trojúhelníkem o délce ramene 6 cm. Určete skutečnou rozlohu zahrady ( využijte vlastnosti podobnosti). 4. Vlastnosti trojúhelníka ) Jak rozdělujeme trojúhelníky a) podle stran J b) podle úhlů ) Užitím trojúhelníkové nerovnosti rozhodněte, zda existují trojúhelníky s délkami stran: a) 65 m, 8 m, 0m b) 50 m, 0 m, 9 m c) 0, km, 0,4 km, 50m d) 0 m, 0,4 km, 90 m e) 00 mm, 400 cm, 7 dm f) 4 m, 5000 mm, 0,007 km 66

67 ) V ABC určete velikosti zbývajících vnitřních úhlů, jestliže: a) α 5, β 4 b) a b 0 cm, γ 6 c) α 67 40, β 4 5 d) pravoúhlý trojúhelník, β,5 e) a b c 5 cm f) b c 7 cm, β 80 g) pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník h) β 50, γ,5 4) Který z trojúhelníků se zadanými úhly nelze sestrojit: A) 5, 0 B) 90, 50 C) 0, 90 5) Určete velikosti vnitřních úhlů: a. v kosočtverci ABCD, je-li ABD 55 0 b. v pravidelném pětiúhelníku 6) V ABC (a 6 cm, b 7 cm, c 8 cm) sestrojte střední příčky, výšky a těžnice. 67

68 7) V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou c je dáno: a 6 cm, b 5 cm. Sestrojte jeho výšky a těžnice. 8) Sestrojte v ABC ( α 0, c 6 cm, b cm) všechny výšky. 9) Sestrojte ABC ( a cm, b 4 cm, γ 90 ), sestrojte kružnici opsanou. 0)Sestrojte ABC (a 7 cm, β 60, γ 75 ), sestrojte kružnici vepsanou. 68

69 ) Narýsujte plánek pozemku ABCD v měřítku : 0000, jsou-li změřeny tyto údaje: AB 700 m, AD 00m, BD 600m, BDC 60, ABC Pythagorova věta Obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu čtverců nad oběma odvěsnami. c a + b Obrácená Pythagorova věta: Jestliže je v trojúhelníku součet druhých mocnin délek kratších stran roven druhé mocnině délky nejdelší strany, potom je tento trojúhelník pravoúhlý. ) Vypočítej délky zbývajících stran pravoúhlých trojúhelníků ABC s pravým úhlem při vrcholu C: a) a m, b 4 m b) c cm, b cm c) c dm, a 6 cm d) c 6 mm, b 4 mm ) Žebřík dlouhý 8,5 m je opřen o zeď. Spodní konec žebříku je 75 cm od zdi domu. Do jaké výšky dosahuje žebřík? (načrtni) 69

70 ) Rozhodni, jestli je trojúhelník se zadanými stranami pravoúhlý: a) 8,6 cm, 7,5 cm a,4 cm b) 4,5 m, 6 m a 7,5 m 4) Vypočítej výšku rovnostranného trojúhelníka se stranou cm. 5) Vypočítej délku úhlopříčky v obdélníku se stranami,6 cm a 5,9 cm. 6) Vypočítej délku úhlopříčky ve čtverci se stranou 8 m. 7) Jak vysoko dosáhne dvojitý žebřík (tzv. štafle), který má délku 4 m a dolní konce jsou od sebe vzdáleny,5 m. 70

71 8) Příčný řez odvodňovacího kanálu má tvar rovnoramenného lichoběžníka. Základny měří,8 m a 90 cm, ramena měří 60 cm. Vypočti hloubku tohoto kanálu. (načrtni) 9) V pravoúhlém trojúhelníku ABC jsou odvěsny dlouhé 6 cm a 8 cm. Poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC je A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 8 cm E. 0 cm 0) Pomocí Pythagorovy věty proveďte kontrolu pravých úhlů v místnosti o rozměrech,60 m a,50 m. ) Pomocí pásma, z kterého použijeme m, máme vytyčit pravý úhel. Vypočtěte příslušné délky stran pravoúhlého trojúhelníku. ) Nejdelší lať, kterou máme po ruce, je dlouhá 500 mm. Jak dlouhé musí být další dvě, chceme-li vytyčit pravý úhel? 7

72 Thaletova věta. Středové a obvodové úhly Množinu vrcholů pravých úhlů všech pravoúhlých trojúhelníků s přeponou AB je kružnice k s průměrem AB s výjimkou bodů A,B. Kružnici k nazýváme Thaletova kružnice. ) Sestrojte rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou délky 6 cm. ) Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou délky 5 cm a výškou k přeponě cm. ) Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou c 8 cm a úhlem α 60. 7

73 6. Řešení pravoúhlého trojúhelníku Vztahy mezi stranami a ostrými úhly pravoúhlého trojúhelníka ABC: Sinus úhlu je poměr délky protilehlé odvěsny a přepony : sin α c a Kosinus úhlu je poměr délky přilehlé odvěsny a přepony : cosα c b Tangens úhlu je poměr délky protilehlé a přilehlé odvěsny : tg α b a Kotangens úhlu je poměr délky přilehlé a protilehlé odvěsny :cotg α a b ) V pravoúhlých trojúhelnících ABC s přeponou c vypočtěte délky zbývajících stran: a) c 0 cm, α 0 b) c 7,5 cm, β 65 c) b 7 cm, β 5 d) a 0,5 km, β 0 e) c km, α 0 7

74 f) b cm, α 47 0 ) Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou c, je-li dáno: a) a 8 cm, c 0 cm b) a cm, b 0 cm, c) b 75 mm, c 00 mm d) a 00 cm, b m ) Řešte pravoúhlý trojúhelník, jehož výška v 4 cm dělí přeponu na úseky o délkách cm a 8 cm. Vypočtěte jeho obsah. 4) Osovým řezem šachty vysoké pece je rovnoramenný lichoběžník, jehož základny mají délky 8 m, 6,6 m a výška je 5 m. Vypočítejte úhel sklonu zdiva. 74

75 5) Profil příkopu je rovnoramenný lichoběžník. Šířka příkopu je 00 mm, šířka na dně je 400 mm. Vypočítejte hloubku příkopu. 6) Jak vysoko na zdi sahá žebřík, který s vodorovnou rovinou svírá úhel 7 a jeho dolní konec je od zdi vzdálen,m. 7) Na natření plochy 6,5 m se spotřebuje kg barvy. Jakou hmotnost má barva, která se spotřebuje na natření plochy na obr.? 8) Vypočítejte vzdálenost teodolitu od telegrafní tyče vysoké 8,8 m. Úhel α

76 9) Vypočítejte výšku budovy, jestliže jste trigonometrickým měřením zjistili vzdálenost optického stroje od budovy 85 m a úhel α 0 0. Výška přístroje od země je 00 mm. Zhotovte nákres. 0) V jakém úhlu stoupá schodiště, jehož schody jsou 00 mm široké a 50 mm vysoké. ) Žebřík 8,5 m dlouhý je umístěn ve studni a svým dolním koncem vzdálen 0,9 m od stěny studně. Horní část žebříku je opřena o stěnu studně. Jak velký úhel svírá žebřík se dnem studně? ) Dalekohled měřícího přístroje je,7 m nad vodorovnou rovinou a je vzdálen 85 m od paty komína. Vypočtěte výšku komína, je-li změřen výškový úhel 9. ) Dvě stejné síly F F 500 N mají společné působiště a svírají úhel o velikosti 65. Určete velikost jejich výslednice (silový rovnoběžník je kosočtverec). 4) Vypočtěte velikost výslednice kolmých sil o velikostech F 750 N a F N. Jak velký úhel svírá výslednice se složkou F? 5) Balon je upoután na laně dlouhém 0 m. Vlivem bočního větru lano svírá s vodorovným směrem úhel o velikosti 65. Jak vysoko je balon nad zemí? 6) K vybudování dálničního úseku je nutno odstranit výběžek skalního masívu. Vypočtěte délku úseku, na němž budou tyto práce probíhat, znáte-li údaje zeměměřičů určené při vytyčování tělesa dálnice. 76

77 7. Obvody a obsahy mnohoúhelníků Trojúhelník : - o a + b +c a v - S a Čtverec : - o 4.a - S a Obdélník : - o.(a + b) - S a.b Rovnoběžník: Kosočtverec : - o 4.a - S a. v ; S u. u Kosodélník : - o.( a + b ) - S a. v a Lichoběžník : - o a + b + c + d ( a + c) v - S ) Vypočtěte délku obvodové lišty ve čtvercové hale s délkou strany 6 m. V každé stěně jsou dvojité dveře. Šířka dveřních otvorů je 500 mm. 77

78 ) Kolik metrů podlažní lišty v místnosti lichoběžníkového půdorysu, jehož rovnoběžné strany jsou 4800 mm a 4400 mm dlouhé a šikmé strany 4600 mm a 500 mm dlouhé. V místnosti jsou dveře široké 900 mm. ) Pozemek má tvar čtverce o straně,8 m. Vypočtěte kolik drátěného pletiva je potřeba na oplocení pozemku, počítáme-li s vjezdem širokým 4 m. 4) Na oplocení obdélníkového pozemku se spotřebovalo 80 m pletiva. Jedna strana pozemku je dlouhá 80m. Jak velká je druhá strana? 5) Hřiště má tvar čtverce. Délka plotu je 80 m. Jak dlouhá je strana hřiště? 6) Vypočtěte plochu stropu čtvercové místnosti o délce strany 4650 mm. 7) Stavební parcela tvaru obdélníku má 990 m. Stanovte délku, když šířka parcely je 7,5 m. 78

79 8) Parketa tvaru obdélníku má rozměry 75 mm a 70 mm. Kolik takových parket nejméně je potřeba na pokrytí podlahy s rozměry,5 m a 6, m? 9) Kolik arů měří parcela tvaru kosodélníku o rozměrech na obrázku? 0) Okno střešního vikýře má tvar rovnostranného trojúhelníku o straně 0,6 m. Kolik skla je třeba na zasklení okna. Je-li dvojité? ) Střecha chaty se skládá ze 4 shodných rovnoramenných trojúhelníků o základně,4 m a výšce,8 m. Pro stanovení spotřeby krytiny vypočítejte obsah střechy. ) Průřez chodby má tvar rovnoramenného lichoběžníku. Spodní základna je dlouhá,6 m a stropnice,8 m. Výška chodby je,6 m. Jak dlouhé jsou stojky? Jak velký je průřez? ) Pro určení spotřeby krytiny vypočtěte plochu střechy budovy, která se skládá ze dvou shodných lichoběžníků (a 7 m, c 8 m, v 6 m) a ze dvou shodných trojúhelníků (a 0 m, v a 6 m). 4) Vypočtěte plochu dlaždice tvaru pravidelného šestiúhelníku o poloměru opsané kružnice 60 mm. 5) Kolik dlaždic tvaru pravidelného šestiúhelníku o poloměru kružnice opsané 80 mm bude potřeba na vydláždění plochy m? 6) Vypočtěte, kolik m skla je třeba na zasklení okna tvaru pravidelného pětiúhelníku o straně m? 7) Z čtvercové tabule překližky o straně 70 cm jsme zhotovili víko tvaru pravidelného pětiúhelníku o straně 40 cm. Kolik % bylo odpadu? 8) Kolik různých obdélníků s celočíselnými délkami stran má obsah 60 cm? A. B. 4 C. 5 D. 6 E. 8 9) Obvod kosočtverce je,6 cm, jeho obsah je,6 cm. Výška tohoto kosočtverce měří a) 8 cm b) 5,4 cm c) 5 cm d) 4 cm e) žádná z možností A D není správná 79

80 Obsah nepravidelných mnohoúhelníků ) Vypočítejte plochu: 80

81 ) Vypočítejte plošný obsah stěn místnosti 6,0 m dlouhé, 4,80 m široké a,6 m vysoké. 4) Kolik m měří omítky stěn a stropu místnosti 4650 mm široké, 5 m dlouhé a 800 mm vysoké? 5) Vypočítejte plochu omítek stěn a stropu místnosti obdélníkového půdorysu o rozměrech stran 500 mm a 400 mm, vysoké 800 mm. V místnosti jsou tři čtvercová okna o straně 500 mm a jedny dveře široké 900 mm a m vysoké. Od omítky stěn odečtěte plochu oken a dveří. p, Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře ) Velikost úhlů danou ve stupních vyjádřete v radiánech: 0, 5, 0, 45, 60, 75, 90, 0, 5, 50, 80, 5, 40, 70, 60 ) Velikost úhlu danou v radiánech vyjádřete ve stupních: π π π 5π π 6 6 5π π π π 7 π 6 π 4 π π π 4 π 8

82 ) Převeďte velikosti úhlů v radiánech na stupně:,56 4,74,6806,0540 0,675 Kružnice, kruh a jejich části Kružnice, kruh: - o.π. r π. d - S π. r ) Vypočtěte délku kružnice, je-li dáno: a) r 5 cm c) r 0,7 m b) d 0 cm d) d,6 m ) Vypočtěte obsah kruhu, je-li dáno: a) r,0 dm c) r 0,4 m b) d 8 mm d) d 5,6 cm ) Je dána délka kružnice. Vypočtěte její průměr. a) 0 m b) 6, dm 8

83 4) Je dán obsah kruhu. Vypočtěte poloměr kruhu. a) 0 cm b) 0,48 m 5) Průřez roury z plechu má být : a) 4 cm b) dm Jaká musí být šířka plechu, z něhož bude roura stočena? 6) Mosazná podložka tvaru mezikruží s průměry 7 mm a 6 mm má hmotnost 46 g. Jaká je hmotnost m materiálu, z něhož je zhotovena? 7) Obvod kmene stromu měří, m. Jaký je přibližný průměr a průřez kmene v tomto místě? 8

84 8) Obvod komínu kruhového průřezu je 4,775 m. Vypočtěte jeho vnější průměr. 9) Rumpál výtahu o průměru 00 mm má otáčky za sekundu. Jakou rychlostí se pohybuje výtah za sekundu? 0) Kolik m dřeva bude třeba na prozatímní dveře o rozměrech na obrázku? Na prořez připočítejte 8%. J 84