Skládání kmitů

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1.7.4. Skládání kmitů"

Transkript

1 .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát závislost amplitudy výsledného kmitu na fázovém posuvu. 6. Vysvětlit, kdy vznikají Lissajousovy obrazce. 7. Umět vysvětlit tvar Lissajousova obrazce v závislosti na fázovém posuvu. 8. Umět vysvětlit tvar Lissajousova obrazce v závislosti na frekvenci. Kdybychom sledovali pohyb hmotného bodu, který by byl připevněn v závěsu na dvou různých pružinách umístěných za sebou, studovali bychom složený kmitavý pohyb (Obr..7.-7). Oba kmitavé pohyby se budou skládat vzhledem k závěsu horní pružiny. Jestliže těleso vykonává dva nebo více kmitavých pohybů, určíme výsledný kmitavý tak, že složíme výchylky jednotlivých kmitavých pohybů na základě principu superpozice. Jednotlivé pohyby podle tohoto principu probíhají nezávisle na sobě. Dva harmonické pohyby se mohou lišit v amplitudách, frekvencích, ve fázi i ve směru kmitání. Z názorného hlediska je vhodné sledovat. skládání kmitů stejného směru a) stejných frekvencí b) blízkých frekvencí c) různých frekvencí Obr skládání kolmých kmitů a) stejných frekvencí b) různých frekvencí Skládání kmitů stejného směru. a) skládání kmitů stejného směru a stejné frekvence (izochronní) Jestliže budeme sledovat pohyb hmotného bodu, který koná dva kmity současně, můžeme každý z nich popsat rovnicí pro výchylku. Protože u obou kmitů je ω ω ω, můžeme rovnice pro okamžitou výchylku obou kmitů zapsat takto: a) první kmit bude popsán rovnicí pro okamžitou výchylku y A sin( ω t + ϕ ) b) druhý kmit bude popsán rovnicí pro okamžitou výchylku A sin( ω t + ϕ ) y. Na obrázku jsou složeny hodnoty okamžitých výchylek jednotlivých kmitů v konkrétních časových okamžicích. Výchylky se sčítají a vytvářejí výsledný kmit grafickou metodou. 90

2 Obr Rovnice výsledného kmitu bude ve tvaru y Asin ( ω t + ϕ ) V této rovnici je nutné určit výslednou amplitudu A a výslednou počáteční fázi ϕ, které získáme podrobným odvozením. Pro amplitudu získáme vztah ( ϕ ) A A + A + A A cos ϕ Výslednou fázi určíme ze vztahu A sinϕ + A sinϕ tgϕ A cosϕ + A cosϕ Výsledný kmit vzniklý superpozici má stejnou frekvenci jako jednotlivé skládané kmity. Amplituda ovšem závisí na amplitudách dílčích kmitů a na jejich vzájemném fázovém posunutí ϕ ϕ ϕ. Mohou nastat zvláštní případy. a) Jestliže je fázový rozdíl ϕ k π kde k je celé číslo, pak budou oba kmity ve fázi a výsledná amplituda bude rovna A A + A. b) Jestliže je fázový rozdíl ϕ ( k + )π, kde k je celé číslo, pak se oba kmity setkají v opačné fázi a výsledná amplituda A A A ve směru větší amplitudy. c) V případě, že by se setkaly ve stejné fázi kmity se stejnou amplitudou, pak by výsledná amplituda byla dvojnásobná. Pokud by se tyto kmity setkaly v opačné fázi, pak by se oba kmity zrušily..b) skládání stejnosměrných kmitů blízkých frekvencí Pro jednoduchost budeme uvažovat kmity stejné amplitudy a stejné fáze a ϕ ϕ 0. Frekvence obou pohybů budou velmi blízké, pak ω ω. 9 A A

3 Obr Z obrázku je zřejmé, že amplituda výsledného kmitu se bude periodicky měnit. Dojde zároveň ke změně frekvence výsledného kmitu. To znamená, že amplituda výsledného kmitu se periodicky zvětšuje a opět zmenšuje podle periodické goniometrické funkce cosinus. Vznikají tzv. rázy nebo zázněje. První kmit má rovnici y Asin( ω t) Asin π f t Druhý kmit bude popsán rovnicí y Asin( ω t) Asin π f t Po úpravě dostaneme vztah pro okamžitou výchylku y výsledného kmitavého pohybu ve tvaru f f f + f y Acos π t sin π t Tento vztah charakterizuje výsledný kmitavý pohyb, který má proměnnou amplitudu f f A v Acos π t V tomto případě určujeme dvě frekvence: 9

4 . amplitudovou frekvenci f f f, a určuje frekvenci, se kterou se mění amplituda výsledného kmitu.. frekvenci výsledného kmitu f + f f,.7.-6 r určuje frekvenci výsledného kmitu, je rovna průměrné hodnotě frekvence obou kmitů. 3. frekvenci rázů f f f,.7.-6 r určuje počet maxim, které výsledný kmit dosáhne za jednu sekundu. Poznámka: Rázy můžeme pozorovat například v případě dvou ladiček. Jedna vydává tón o frekvenci f. Na druhou ladičku připevníme kousek drátu. Tím zvětšíme její hmotnost a pozměníme frekvenci vydávaného tónu. Oba tóny se budou skládat a my zřetelně uslyšíme tón o frekvenci f r, který se bude periodicky zesilovat a zeslabovat s periodou f a. S rázy se můžeme setkat v hudbě, kde tento jev v některých případech je žádoucí, v jiných (např. klasická hudba) nikoliv. Rázy můžeme záměrně vyvolávat i při některých světelných efektech..c) skládání stejnosměrných kmitů různých frekvencí (anizochronních) Při skládání stejnosměrných kmitů různých frekvencí vznikne periodický kmit v tom případě, když periody obou kmitů budou v poměru celých čísel. ω ω T T k k TO Izochronní kmity jsou kmity a) stejného směru b) stejné frekvence c) různého směru d) různé frekvence TO Anizochronní kmity jsou kmity a) stejného směru b) stejné frekvence c) různého směru d) různé frekvence TO Amplituda výsledného kmitu závisí a) na amplitudách jednotlivých kmitů 93

5 b) na fázovém posuvu ϕ c) na amplitudách jednotlivých kmitů a zároveň na fázovém posuvu ϕ TO Skládané kmity budou ve fázi, jestliže a) ϕ k π b) ϕ kπ π ϕ k + c) ( ) d) ϕ ( k + )π TO Skládané kmity budou v opačné fázi, jestliže a) ϕ k π b) ϕ kπ c) ϕ ( k + )π π ϕ k + d) ( ) TO Amplituda výsledného kmitu je a) A A + A + A A cos( ϕ ϕ ) b) A A + A + A A cos( ϕ ϕ ) c) A A + A + A A cos( ϕ ϕ ) d) A A + A A A cos( ϕ ϕ ) TO Jestliže bude fázový rozdíl ϕ 4π, pak a) kmity budou ve fázi b) kmity budou v opačné fázi c) amplituda výsledného kmitu bude A A + A d) amplituda výsledného kmitu bude A 94 A A TO Jestliže bude fázový rozdíl ϕ 7π, pak a) kmity budou ve fázi b) kmity budou v opačné fázi c) amplituda výsledného kmitu bude A A + A d) amplituda výsledného kmitu bude TO Jestliže amplituda a) kmity budou ve fázi b) kmity budou v opačné fázi c) nelze určit A + A A A A A, pak

6 TO Jestliže amplituda A A A, pak a) kmity budou ve fázi b) kmity budou v opačné fázi c) nelze určit TO Rázy vznikají v případě, kdy jsou frekvence skládaných kmitů a) stejné b) jeden je dvojnásobkem druhého c) mají přibližně stejnou hodnotu TO Frekvence rázů je a) rovna vyšší frekvenci skládaných kmitů b) rovna nižší frekvenci skládaných kmitů c) rovna rozdílu obou frekvencí skládaných kmitů d) rovna průměrné hodnotě frekvencí skládaných kmitů TO Určete amplitudovou frekvenci dvou skládaných kmitů o frekvencích f 96 Hz, f 00 Hz. a) 4 Hz b) Hz c) 98 Hz d) 96 Hz TO Určete frekvenci výsledného kmitavého pohybů tvořených dvěma kmity o frekvencích f 96 Hz, f 00 Hz. e) 4 Hz f) Hz g) 98 Hz h) 96 Hz TO Určete frekvenci rázů výsledného kmitavého pohybu, který vznikne složením dvou kmitů o frekvencích f 96 Hz, f 00 Hz. i) 4 Hz j) Hz k) 98 Hz l) 96 Hz Určete amplitudu a fázové posunutí výsledného kmitavého pohybu, který vznikne složením dvou stejnosměrných kmitavých pohybů o týchž amplitudách A A 0 cm a počáteční fáze φ 30, φ 60. A A 0cm, ϕ 30, ϕ 60 Použijeme vztahy pro výpočet výsledné amplitudy a výsledné fáze: 95

7 + A + A cos ( ϕ ) A A A ϕ. A sinϕ + A sinϕ tgϕ. A cosϕ + A cosϕ Dosadíme zadané hodnoty a vypočteme. A cos tg ϕ ϕ ( ) ,3cm Amplituda výsledného kmitavého pohybu je 9,3 cm, fáze výsledného kmitavého pohybu je 45º. Určete periodu amplitudy Ta a periodu T výsledného kmitavého pohybu, který vznikne složením dvou kmitů o stejných amplitudách a periodách T 400 s a T 44 s. T 400s, T 44s, T?, T a? Pro amplitudovou frekvenci platí vztah T a f f T T T T T T Pro frekvenci výsledného kmitu platí vztah f T f + f + T T T T T + T s f + f, pak s f a f f, pak Proveďte skládání dvou stejnosměrných izochronních kmitů pomocí fázorového diagramu. Grafická metoda skládání kmitů využívá podobnost s pohybem po kružnici, kdy se těleso otáčí s úhlovou rychlostí ω π f. Každý z obou kmitů znázorníme jako fázor. Fázor je orientovaná úsečka, jejíž velikost určuje amplituda kmitu A. Otáčí se s úhlovou frekvencí ω π f. Orientaci fázoru v rovině x,y určuje počáteční fáze ϕ, která představuje úhel mezi fázorem a osou x. 96

8 Obr Zakreslíme v rovině x,y kmit y A sin( ω t + ϕ ) a kmit A sin( ω t + ϕ ) Úhel ϕ je úhel, který svírá fázor o velikosti amplitudy svírá fázor o velikosti amplitudy A s osou x. y. A s osou x. Úhel ϕ je úhel, který Úhel ϕ mezi oběma fázory představuje fázi výsledného kmitu. Oba časové vektory (fázory) rotují se stejnou úhlovou frekvencí ω a svírají spolu stále tentýž úhel ϕ (Obr..7.-). Oba zakreslené kmity složíme podle pravidel pro počítání s vektory a určíme amplitudu A a fázi ϕ výsledného kmitu. Obr

9 Amplitudu A stanovíme jako vektorový součet A A + A pomocí kosinové věty c a + b a bcosγ. Úhel γ v tomto případě podle nákresu představuje doplněk ϕ ϕ do 80. Pak A + A + A A cos( ϕ ϕ ) A. Fázi výsledného kmitu určíme pomocí kolmých průmětů jednotlivých fázorů do os x, y. Podle pravoúhlého trojúhelníku a funkce tangens je A sinϕ + A sinϕ tgϕ. A cosϕ + A cosϕ KO Co jsou izochronní kmity? KO Co jsou anizochronní kmity? KO Určete vztah pro amplitudu výsledného kmitu při izochronním kmitání. KO Určete vztah pro fázi výsledného kmitu při izochronním kmitání. KO Kdy bude amplituda maximální? KO Kdy bude amplituda nulová? KO Vysvětlete pojem fázoru. KO Kdy vznikají rázy (zázněje)? KO Co je amplitudová frekvence? KO Co je frekvence rázů? Skládání kolmých kmitů Jestliže má hmotný bod konat současně dva pohyby ve dvou různých směrech, potom výslednou polohu určíme vektorovým součtem obou složek (např. plavec v tekoucí řece). Totéž platí o kmitech, které se dějí ve dvou různých směrech. Průběh výsledného kmitu závisí na poměru úhlových frekvencí ω, ω a na fázovém rozdílu φ φ φ φ obou kmitů. Jestliže jsou ω, ω libovolná čísla, má výsledný kmit velmi složitý průběh. Jednodušší případ nastane, pokud složíme kmity, jejichž frekvence jsou souměřitelné..a) skládání kolmých kmitů stejné frekvence Výsledný pohyb je dán principem superpozice. 98

10 Uvažujeme, že ω ω ω. Jestliže je vzájemný fázový posuv mezi oběma kmitavými pohyby ϕ ϕ, pak rovnice pro okamžitou výchylku ve směru osy x a osy y budou zapsány ve tvaru: ( ω t) ( ω + ϕ) x A sin y A sin t Matematickým složením těchto dvou kolmých kmitavých pohybů získáme rovnici křivky, po které se kmitající těleso pohybuje. Výsledná rovnice má tvar x y x y + cosϕ sin ϕ A A A A Obr Tato rovnice představuje rovnici elipsy, jejíž osy nesplývají se souřadnými osami x a y. Její tvar závisí na fázové rozdílu φ φ a na amplitudách A, A. Při skládání kolmých kmitů mohou nastat zvláštní případy. Záleží na tom, jestli oba dva kmitavé pohyby začínají ve stejném časovém okamžiku v rovnovážné poloze nebo je mezi nimi fázový posuv. Mohou nastat tyto obecné případy: a) ϕ kπ, kde k je celé číslo 0becná rovnice elipsy bude mít tvar x y x y A A A A Lze ji upravit na 99

11 A y x A Tato rovnice je rovnicí přímky. Obr Hmotný bod koná harmonické kmity v přímce, která prochází počátkem a prvním a třetím kvadrantem s amplitudou A A + A b) ϕ ( k + )π, kde k je celé číslo Obecná rovnice elipsy bude mít tvar x y x y + + A A A A A y x. A.7.-7 Hmotný bod koná harmonické kmity v přímce, která prochází počátkem a druhým a čtvrtým kvadrantem s amplitudou A A + A. 00

12 Obr π ϕ k +, kde k je celé číslo.7.-7 c) ( ) Obecná rovnice elipsy přejde na tvar x y A A Tato rovnice představuje rovnici elipsy, jejíž osy jsou totožné se souřadnými osami x a y. π ϕ k +, kde k je celé číslo d) ( ) Obr a amplitudy kmitů se rovnají, pak křivka, kterou opisuje hmotný bod při výsledném pohybu má tvar kružnice s rovnicí x + y A o poloměru A. 0

13 Obr e) ve všech ostatních případech bude trajektorie tvořit obecnou elipsu..b) skládání kolmých kmitů s různou frekvencí V tomto případě vznikají složitější Lissajousovy obrazce. Jestliže je poměr frekvencí v poměru malých celých čísel, bude výsledný kmit periodický a Lissajousův obrazec tvoří uzavřenou křivku. 0

14 Obr V opačném případě je výsledný kmitavý pohyb neperiodický a obrazec netvoří uzavřenou křivku. TO Při skládání dvou kolmých kmitů na fázovém posunu závisí a) ano b) ne ϕ TO Jestliže fázový posuv ϕ kπ, kde k je celé číslo a frekvence obou kmitů stejné, pak výsledný pohyb tvoří a) elipsu b) úsečku, která prochází prvním a třetím kvadrantem c) úsečku, která prochází druhým a čtvrtým kvadrantem d) kružnici TO Jestliže fázový posuv ϕ ( k + )π, kde k je celé číslo a frekvence obou kmitů stejné, pak výsledný pohyb tvoří a) elipsu b) úsečku, která prochází prvním a třetím kvadrantem c) úsečku, která prochází druhým a čtvrtým kvadrantem d) kružnici 03

15 TO Jaký musí být fázový posuv, aby výsledný kmit tvořil úsečku procházející prvním a třetím kvadrantem? a) ϕ kπ b) ϕ ( k + )π c) ϕ k π π ϕ k + d) ( ) TO Jaký musí být fázový posuv, aby výsledný kmit tvořil úsečku procházející druhým a čtvrtým kvadrantem? a) ϕ kπ b) ϕ ( k + )π c) ϕ k π π ϕ k + d) ( ) x 6sin 4π t Určete trajektorii výsledného kmitu, který vznikne složením dvou kolmých kmitů o rovnicích x 6sin 4π t π y 0sin 4π t +. π y 0 sin 4π t + 0cos 4π t. Obě rovnice umocníme a přepíšeme do tvaru x sin 4π t 36 y cos 4π t. 00 V dalším kroku rovnice sečteme x y + sin 4π t + cos 4π t Výraz na pravé straně je podle známého goniometrického vztahu roven jedné. Pak získáme rovnici x + y Trajektorie výsledného kmitu je elipsa s poloosami A 6 m a A 0 m. 04

16 KO Kdy vznikají Lissajousovy obrazce? KO Jakou podmínku musí splňovat dva kolmé kmity, aby výsledný pohyb po jejich složení představoval pohyb po elipse? KO Jakou podmínku musí splňovat dva kolmé kmity, aby výsledný pohyb po jejich složení představoval pohyb po kružnici?. Základními charakteristikami jsou frekvence kmitu f (Hz), doba kmitu T (s), úhlová frekvence ω (rad.s - ), okamžitá výchylka y (m), amplituda výchylky kmitu (výkmit) A (m).. Netlumený kmitavý pohyb charakterizují rovnice pro okamžitou výchylku: π y Asin ω t + ϕ, kde ϕ je počáteční fáze, ω πf,. 0 T d y okamžitá rychlost v ω A cos ω t + ϕ, dt 0 okamžité zrychlení a (m.s - d y ) platí rovnice a ω Asin ω t + ϕ, dt 0 sílu pružnosti F způsobující harmonický kmitavý pohyb oscilátoru je F k y, kde k mω je tuhost pružiny. Jednotkou tuhosti pružiny je (N.m - ), kinetickou energii E k je vyjádřena vztahem E k m v, potenciální energii pružnosti E p charakterizuje vztah E p k y. Jednotkou energie je (J). Součet obou energií je u netlumeného kmitavého pohybu konstantní. E + E E konst ka, k P 3. Tlumený kmitavý pohyb v odporujícím prostředí charakterizují rovnice pro tlumící sílu F R v, kde R je koeficient odporu prostředí (jednotka kg.s - ), v je t rychlost oscilátoru, R součinitel útlumu b, (s - ), m okamžitou výchylku tlumených kmitů y Asin ω t + ϕ, kde t 0 amplituda tlumených mechanických kmitů, úhlová frekvence tlumených kmitů. ω ω b, bt útlum λ e t, 05 t b t A A e je 0

17 logaritmický dekrement útlumu δ bt, kde t bt bt celková energie E k A e E e, Nucený kmitavý pohyb popisují rovnice T je perioda tlumených kmitů, t budící sílu F sin Ω t, kde Ω je úhlová frekvence budící síly, F b b t okamžitou výchylku y A e sin ω t + ϕ + A sin( Ω t + Ψ ) vynucených kmitů amplitudu vynucených kmitů rezonanční frekvenci Ω ω b, r a rezonanční amplitudu A. r b ω b 5. Složený kmit je popsán rovnicí pro y Asin ω t + ϕ, kde okamžitou výchylku ( ) 0 A v t 0 a, ω Ω + 4 b Ω amplituda A A + A + A A cos ϕ ϕ, fázi ϕ určíme podle A sinϕ + A sinϕ tgϕ. A cosϕ + A cosϕ b, kde Ψ je fáze Klíč.7. Mechanické kmitání.7.. Kmitavý pohyb netlumený TO.7.-. a) TO.7.-. b) TO d) TO c) TO a) TO a) TO a) TO b) TO b) TO a) TO.7.-. b) TO.7.-. a) 06

18 TO b) TO a) TO a) KO.7.- Konstanta charakterizující oscilátor KO.7.- Způsobuje při vychýlení návrat tělesa do rovnovážné polohy k KO ω m KO.7.-4 T π m k d y KO ω y 0 dt KO.7.-6 viz text KO.7.-7 maximální vzdálenost tělesa z rovnovážné polohy KO.7.-8 Okamžitá vzdálenost tělesa z rovnovážné polohy, y Asin ( ω t + ϕ ), 0 KO.7.-9 viz text KO.7.-0 viz text KO.7.- v v ( ) 0 cos ω t + ϕ 0 KO.7.- v Aω 0 KO.7.-3 v rovnovážné poloze KO.7.-4 a a ( ) 0 sin ω t + ϕ 0 KO.7.-5 v amplitudách KO.7.-6 maximální je v amplitudách, nulová v rovnovážné poloze KO.7.-7 E m ω A cos ( ω t + ϕ ). k 0 KO.7.-8 Maximální kinetickou energii má těleso při průchodu rovnovážnou polohou, nulovou v amplitudách KO.7.-9 E k A sin ( ω t + ϕ ). p 0 KO.7.-0 maximální potenciální energii pružnosti má těleso v amplitudách, nulovou v rovnovážné poloze KO.7.- E k A. KO.7.-.viz text.7.. Tlumené kmity TO d) TO b) TO b), d) 07

19 TO c) TO c) KO viz text KO.7.-7 T KO.7.-8 f KO.7.-3 text KO.7.-4 T KO.7.-5 π π J m g d f m g d J π π KO tlumící síla ( síla odporu prostředí) KO F R v, t KO.7.-3 kg.s - KO s - KO perioda se prodlužuje, frekvence se zmenšuje KO viz text l g g l KO energie exponenciálně klesá KO exponenciální KO amplituda exponenciálně klesá b t KO y A e sin( ω t + ϕ ) 0 KO viz text KO R b m KO λ e bt KO δ ln λ KO (s - ), (bez jednotky), (bez jednotky) KO ω ω t b t Kmity vynucené TO.7.-. a) TO.7.-. c) 08

20 TO b) energii. KO Část energie spotřebovaná oscilátorem vlivem odporu prostředí je pravidelně dodávána prostřednictvím periodické budící síly. KO Shoda frekvence vlastních kmitů oscilátoru a frekvence budící síly. KO Periodicky proměnná síla dodávající oscilátoru pravidelně KO Doba, během které vymizí vlastní kmity oscilátoru. Poté oscilátor kmitá s frekvencí budící síly. KO Frekvence, při které dochází k rezonanci, tj. amplituda kmitů oscilátoru se zvětší. KO Viz. text KO.7.-5 Charakterizuje závislost amplitudy nucených kmitů na frekvenci budící síly. KO.7.-5 viz text. KO Zesílení signálu v přijímači. KO Destrukce staveb Skládání kmitů TO b) TO d) TO c) TO b) TO c) TO c) TO a), c) TO b),d) TO a) TO b) TO c) TO c) TO b) TO c) TO a) TO a) TO b) TO c) TO a) TO b) KO Viz text. KO Viz text. 09

21 KO A A + A A A cos ϕ. KO tgϕ KO Když kmity budou ve fázi. KO Když kmity budou v opačné fázi a A sinϕ + A A cosϕ + A sinϕ cosϕ A KO.7.-6 Viz text. KO.7.-6 Při skládání kmitů blízkých frekvencí. KO Viz text. KO Viz text. A 0

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor.

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor. FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ OBVODY Základní pojmy: IMPEDANCE Z (Ω)- charakterizuje vlastnosti prvku pro střídavý proud. Impedance je základní vlastností, kterou potřebujeme znát pro analýzu střídavých elektrických

Více

MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ VLASTNÍ KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU

MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ VLASTNÍ KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: FYZIKA PRVNÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 9. 6. 2013 Název zpracovaného celku: MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ VLASTNÍ KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU Kmitavý pohyb Je periodický pohyb

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s 1 Mechanická práce mechanická práce W jednotka: [W] = J (joule) skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s s dráha, kterou těleso urazilo 1 J = N m = kg m s -2 m = kg m 2 s -2 vyjádření

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

PROTOKOL O PROVEDENÍ LABORATORNÍ PRÁCE

PROTOKOL O PROVEDENÍ LABORATORNÍ PRÁCE PROTOKOL O PROVEDENÍ LABORATORNÍ PRÁCE Jméno: Třída: Úloha: F-VI-1 Izotermický děj Spolupracovník: Hodnocení: Datum měření: Úkol: Experimentálně ověřte platnost Boyle-Mariottova zákona. Pomůcky: Teorie:

Více

Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze.

Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze. Nejprve několik fyzikálních analogií úvodem Rezonance Rezonance je fyzikálním jevem, kdy má systém tendenci kmitat s velkou amplitudou na určité frekvenci, kdy malá budící síla může vyvolat vibrace s velkou

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1.1. Základní pojmy 1.2. Jednoduché obvody se střídavým proudem

1.1. Základní pojmy 1.2. Jednoduché obvody se střídavým proudem Praktické příklady z Elektrotechniky. Střídavé obvody.. Základní pojmy.. Jednoduché obvody se střídavým proudem Příklad : Stanovte napětí na ideálním kondenzátoru s kapacitou 0 µf, kterým prochází proud

Více

Shrnutí kinematiky. STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace

Shrnutí kinematiky. STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace Název školy: Číslo a název projektu: Číslo a název šablony klíčové aktivity: Označení materiálu: Typ materiálu: Předmět, ročník, obor: Číslo a název sady: Téma: Jméno a příjmení autora: Datum vytvoření:

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Klasické a inovované měření rychlosti zvuku

Klasické a inovované měření rychlosti zvuku Klasické a inovované měření rychlosti zvuku Jiří Tesař katedra fyziky, Pedagogická fakulta JU Klíčová slova: Rychlost zvuku, vlnová délka, frekvence, interference vlnění, stojaté vlnění, kmitny, uzly,

Více

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU Projekt ŠLONY N GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: Z.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SINOVÁ KOSINOVÁ

Více

6. Viskoelasticita materiálů

6. Viskoelasticita materiálů 6. Viskoelasticita materiálů Viskoelasticita materiálů souvisí se schopností materiálů tlumit mechanické vibrace. Uvažujme harmonické dynamické namáhání (tzn. střídavě v tahu a tlaku) materiálu v oblasti

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

Úvod do nebeské mechaniky

Úvod do nebeské mechaniky OPT/AST L09 Úvod do nebeské mechaniky pohyby astronomických těles ve společném gravitačním poli obecně: chaotický systém nestabilní numerické řešení speciální případ: problém dvou těles analytické řešení

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

10. Energie a její transformace

10. Energie a její transformace 10. Energie a její transformace Energie je nejdůležitější vlastností hmoty a záření. Je obsažena v každém kousku hmoty i ve světelném paprsku. Je ve vesmíru a všude kolem nás. S energií se setkáváme na

Více

Výkon střídavého proudu, účiník

Výkon střídavého proudu, účiník ng. Jaromír Tyrbach Výkon střídavého proudu, účiník odle toho, kterého prvku obvodu se výkon týká, rozlišujeme u střídavých obvodů výkon činný, jalový a zdánlivý. Ve střídavých obvodech se neustále mění

Více

(3) Vypočítejte moment setrvačnosti kvádru vzhledem k zadané obecné ose rotace.

(3) Vypočítejte moment setrvačnosti kvádru vzhledem k zadané obecné ose rotace. STUDUM OTÁčENÍ TUHÉHO TěLESA TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ 1. Pracovní úkol (1) Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti. (2) Určete složky jednotkového vektoru ve směru zadané obecné

Více

3. Změřte závislost proudu a výkonu na velikosti kapacity zařazené do sériového RLC obvodu.

3. Změřte závislost proudu a výkonu na velikosti kapacity zařazené do sériového RLC obvodu. Pracovní úkoly. Změřte účiník: a) rezistoru, b) kondenzátoru C = 0 µf) c) cívky. Určete chybu měření. Diskutujte shodu výsledků s teoretickými hodnotami pro ideální prvky. Pro cívku vypočtěte indukčnost

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

Fyzika II mechanika zkouška 2014

Fyzika II mechanika zkouška 2014 Fyzika II mechanika zkouška 2014 Přirozené složky zrychlení Vztahy pro tečné, normálové a celkové zrychlení křivočarého pohybu, jejich odvození, aplikace (nakloněná rovina, bruslař, kruhový závěs apod.)

Více

3.1.3 Rychlost a zrychlení harmonického pohybu

3.1.3 Rychlost a zrychlení harmonického pohybu 3.1.3 Rychlost a zrychlení haronického pohybu Předpoklady: 312 Kroě dráhy (výchylky) popisujee pohyb i poocí dalších dvou veličin: rychlosti a zrychlení. Jak budou vypadat jejich rovnice? Společný graf

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Obsah. 1 Vznik a druhy vlnění. 2 Interference 3. 5 Akustika 9. 6 Dopplerův jev 12. přenosu energie

Obsah. 1 Vznik a druhy vlnění. 2 Interference 3. 5 Akustika 9. 6 Dopplerův jev 12. přenosu energie Obsah 1 Vznik a druhy vlnění 1 2 Interference 3 3 Odraz vlnění. Stojaté vlnění 5 4 Vlnění v izotropním prostředí 7 5 Akustika 9 6 Dopplerův jev 12 1 Vznik a druhy vlnění Mechanické vlnění vzniká v látkách

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY K DOPLNĚNÍ VÝUKY

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY K DOPLNĚNÍ VÝUKY ŘEŠENÉ PŘÍKLDY K DOPLNĚNÍ ÝKY. TÝDEN Příklad. K baterii s vnitřním napětím a vnitřním odporem i je připojen vnější odpor (viz obr..). rčete proud, který prochází obvodem, úbytek napětí Δ na vnitřním odporu

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

3. Kmitočtové charakteristiky

3. Kmitočtové charakteristiky 3. Kmitočtové charakteristiky Po základním seznámení s programem ATP a jeho preprocesorem ATPDraw následuje využití jednotlivých prvků v jednoduchých obvodech. Jednotlivé příklady obvodů jsou uzpůsobeny

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny. 1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Základy elektrotechniky řešení příkladů

Základy elektrotechniky řešení příkladů Název vzdělávacího programu Základy elektrotechniky řešení příkladů rčeno pro potřeby dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků středních odborných škol Autor ng. Petr Vavřiňák Název a sídlo školy Střední

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Experimenty se systémem Vernier

Experimenty se systémem Vernier Experimenty se systémem Vernier Tuhost pružiny Petr Kácovský, KDF MFF UK Tyto experimenty vznikly v rámci diplomové práce Využívání dataloggerů ve výuce fyziky, obhájené v květnu 2012 na MFF UK v Praze.

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Měření součinitele smykového tření dynamickou metodou

Měření součinitele smykového tření dynamickou metodou Měření součinitele smykového tření dynamickou metodou Online: http://www.sclpx.eu/lab1r.php?exp=6 Měření smykového tření na nakloněné rovině pomocí zvukové karty řešil např. Sedláček [76]. Jeho konstrukce

Více

Název: Téma: Autor: Číslo: Prosinec 2013. Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1

Název: Téma: Autor: Číslo: Prosinec 2013. Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Název: Téma: Autor: Číslo: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Elektrický proud střídavý Elektronický oscilátor

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Fyzikální učebna vybavená audiovizuální technikou, interaktivní tabule, fyzikální pomůcky

Fyzikální učebna vybavená audiovizuální technikou, interaktivní tabule, fyzikální pomůcky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Fyzika (FYZ) Molekulová fyzika, termika 2. ročník, sexta 2 hodiny týdně Fyzikální učebna vybavená audiovizuální technikou, interaktivní tabule, fyzikální pomůcky

Více

Enthalpie, H. Tlak je konstantní- jaké se uvolňuje teplo, koná-li se pouze objemová práce? Teplo, které se uvolňuje za konstantního tlaku.

Enthalpie, H. Tlak je konstantní- jaké se uvolňuje teplo, koná-li se pouze objemová práce? Teplo, které se uvolňuje za konstantního tlaku. Enthalpie, H U = Q + W Tlak je konstantní- jaké se uvolňuje teplo, koná-li se pouze objemová práce? Q p = U W = U + p V = U + ( pv ) = H H = U + pv nová stavová funkce ENTHALPIE Teplo, které se uvolňuje

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Název: Studium kmitů hudebních nástrojů, barva zvuku

Název: Studium kmitů hudebních nástrojů, barva zvuku Název: Studium kmitů hudebních nástrojů, barva zvuku Autor: Mgr. Lucia Klimková Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Fyzika (Hudební výchova) Tematický

Více

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ÚLOHY

Více

Značení krystalografických rovin a směrů

Značení krystalografických rovin a směrů Značení krystalografických rovin a směrů (studijní text k předmětu SLO/ZNM1) Připravila: Hana Šebestová 1 Potřeba označování krystalografických rovin a směrů vyplývá z anizotropie (směrové závislosti)

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

1.1 Oslunění vnitřního prostoru

1.1 Oslunění vnitřního prostoru 1.1 Oslunění vnitřního prostoru Úloha 1.1.1 Zadání V rodném městě X slavného fyzika Y má být zřízeno muzeum, připomínající jeho dílo. Na určeném místě v galerii bude umístěna deska s jeho obrazem. V den

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Základní jednotky v astronomii

Základní jednotky v astronomii v01.00 Základní jednotky v astronomii Ing. Neliba Vlastimil AK Kladno 2005 Délka - l Slouží pro určení vzdáleností ve vesmíru Základní jednotkou je metr metr je definován jako délka, jež urazí světlo ve

Více

III. 4.2.12 Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208

III. 4.2.12 Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208 4.. Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus Předpoklady: 4, 48 Pedagogická poznámka: Tato kapitola nepřináší nic nového a nemá ekvivalent v klasických učebnicích. Cílem hodiny je uspořádat v hlavách

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

Fyzika opakovací seminář 2010-2011 tematické celky:

Fyzika opakovací seminář 2010-2011 tematické celky: Fyzika opakovací seminář 2010-2011 tematické celky: 1. Kinematika 2. Dynamika 3. Práce, výkon, energie 4. Gravitační pole 5. Mechanika tuhého tělesa 6. Mechanika kapalin a plynů 7. Vnitřní energie, práce,

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

1.6.9 Keplerovy zákony

1.6.9 Keplerovy zákony 1.6.9 Keplerovy zákony Předpoklady: 1608 Pedagogická poznámka: K výkladu této hodiny používám freewareový program Celestia (3D simulátor vesmíru), který umožňuje putovat vesmírem a sledovat ho z různých

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Maturitní témata fyzika

Maturitní témata fyzika Maturitní témata fyzika 1. Kinematika pohybů hmotného bodu - mechanický pohyb a jeho sledování, trajektorie, dráha - rychlost hmotného bodu - rovnoměrný pohyb - zrychlení hmotného bodu - rovnoměrně zrychlený

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Pohyb tělesa (5. část)

Pohyb tělesa (5. část) Pohyb tělesa (5. část) A) Co už víme o pohybu tělesa?: Pohyb tělesa se definuje jako změna jeho polohy vzhledem k jinému tělesu. O pohybu tělesa má smysl hovořit jedině v souvislosti s polohou jiných těles.

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Mechanická práce a. Výkon a práce počítaná z výkonu Účinnost stroje, Mechanická energie Zákon zachování mechanické energie

Mechanická práce a. Výkon a práce počítaná z výkonu Účinnost stroje, Mechanická energie Zákon zachování mechanické energie Mechanická práce a energie Mechanická práce Výkon a práce počítaná z výkonu Účinnost stroje, Mechanická energie Zákon zachování mechanické energie Mechanická práce Mechanickou práci koná každé těleso,

Více

MATEMATIKA 2 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006

MATEMATIKA 2 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006 Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 006 MAACZMZ06DT MATEMATIKA didaktický test Testový sešit obsahuje 0 úloh. Na řešení úloh máte 10 minut. Úlohy řešte v testovém sešitu. Odpovědi pište do

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky.

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Platí shodně pro prezenční i kombinovanou formu studia. 1. Síla současně působící na elektrický náboj v elektrickém a magnetickém poli (Lorentzova síla) 2.

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

ŠVP Gymnázium Jeseník Seminář z fyziky oktáva, 4. ročník 1/5

ŠVP Gymnázium Jeseník Seminář z fyziky oktáva, 4. ročník 1/5 ŠVP Gymnázium Jeseník Seminář z fyziky oktáva, 4. ročník 1/5 žák řeší úlohy na vztah pro okamžitou výchylku kmitavého pohybu, určí z rovnice periodu frekvenci, počáteční fázi kmitání vypočítá periodu a

Více

Úvod. 1 Převody jednotek

Úvod. 1 Převody jednotek Úvod 1 Převody jednotek Násobky a díly jednotek: piko p 10-12 nano n 10-9 mikro μ 10-6 mili m 10-3 centi c 10-2 deci d 10-1 deka da 10 1 hekto h 10 2 kilo k 10 3 mega M 10 6 giga G 10 9 tera T 10 12 Ve

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Určení počátku šikmého pole řetězovky

Určení počátku šikmého pole řetězovky 2. Šikmé pole Určení počátku šikmého pole řetězovky d h A ϕ y A y x A x a Obr. 2.1. Souřadnie počátku šikmého pole Jestliže heme určit řetězovku, která je zavěšená v bodeh A a a je daná parametrem, je

Více

6. Geometrie břitu, řezné podmínky. Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami:

6. Geometrie břitu, řezné podmínky. Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami: 6. Geometrie břitu, řezné podmínky Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami: Základní rovina Z je rovina rovnoběžná nebo totožná s

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

FYZIKA II. Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud

FYZIKA II. Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud FYZIKA II Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud Osnova přednášky Elektrický proud proudová hustota Elektrický odpor a Ohmův zákon měrná vodivost driftová rychlost Pohyblivost nosičů náboje teplotní

Více