Metrologie hmotnosti

Transkript

1 Metrologie hmotnosti Metrologie hmotnosti patří mezi nejvýznamnější a nejrozvinutější oblasti metrologie. Spolu s délkou a objemem jsou nejstarším metrologickým oborem, metrologie hmotnosti má význam pro ekonomiku a pro rozvoj vědy a techniky. Je nutno rozlišovat pojmy hmota, což je nositel vlastnosti a hmotnost, což jest její vlastnost, přesněji fyzikální veličina. Kilogram je základní jednotkou hmotnosti v soustavě SI. Je přesně definován, nikoliv však tak přesně jako sekunda a metr, viz obr.1. Je to jediná veličina, která je definovaná prototypem - artefaktem. Přestože je to základní veličina soustavy SI, je to veličina s předponou, gram je pak jejím dílem. Běžně používané díly a násobek základní jednotky: 1 μg, 1 mg, 1 g, 1 Mg = 1 tuna. 1

2 Hmotnost je základní fyzikální veličina, kterou charakterizují dvě vlastnosti těles setrvačnost a gravitace. Setrvačnost je definována prvním a druhým Newtonovým zákonem, gravitace pak Newtonovým gravitačním zákonem. d( m v) m m 1 2 = F (1) F = κ (2) 2 dt r Ze zkušenosti víme, že setrvačná a gravitační hmotnost jsou stejné. Praktickými měřeními to dokázal maďarský fyzik Eötvös a teoretický výklad poskytuje Einsteinova teorie relativity. Klasická mechanika předpokládá konstantnost hmotnosti, Einstein ve své teorii relativity upozornil na závislost hmotnosti na rychlosti v : m 0 pro v < c, (3) m = 2 v 1 2 c kde m 0 je klidová hmotnost, m je pohybová hmotnost a c je rychlost světla. V technické praxi platí, že v << c, a proto jsou obě hmotnosti prakticky stejné. V metrologii hmotnosti předpokládáme měření konstantní klidové hmotnosti. Určování hmotnosti se provádí výlučně na základě určování tíhy (tíhové síly, dříve váha). Nejednotnost významu pojmu váha vede ke snahám o odstranění tohoto pojmu z odborné terminologie. Tíha je vektor a má dvě složky, gravitační působení okolních těles a setrvačné síly vyvolané zrychleným pohybem souřadnicového systému (hlavně odstředivá síla otáčení Země). K těmto silám přistupuje ještě vztlak vzduchu, nezanedbatelný při přesném vážení 1. Definice tíhy uvažuje tělesa ve vakuu, vážení probíhá obvykle v atmosféře, proto je nutno počítat se vztlakem. Tíhové zrychlení se mění na povrchu Země co do velikosti a směru. Závisí na zeměpisné šířce a nadmořské výšce. Největší a nejmenší tíhové zrychlení na povrchu Země se liší o 0,5 %. Viz příloha. Vztlaková síla podle Archimedova zákona se rovná tíze vzduchu vytlačeného tělesem, závisí tedy na místním tíhovém zrychlení, na objemu tělesa a na hustotě vzduchu (tím i na teplotě, na tlaku a na vlhkosti). Mají-li závaží různou hustotu ( a tím i objem), hmotnosti se mohou lišit i když jsou tíhy stejné. Postup, kterým se vyloučí vliv vztlakové síly je nazýván redukce vážení na vakuum. Skutečná hmotnost (redukovaná na vakuum) se liší od zdánlivé hmotnosti (bez korekce na vztlak). Definice některých pojmů: Hmotnost je objektivní vlastnost všech těles, která se projevuje tím, že při stejném vnějším působení silou tato tělesa nabývají různých zrychlení nebo že k témuž zrychlení je u různých těles třeba různě velkého silového působení. Tedy hmotnost se projevuje dvěma silovými účinky: setrvačností při pohybu a účinkem v tíhovém poli. Dříve se používalo více ne příliš specifikovaných pojmů, jako hmota, materie, látka, masa, váha a tíha. Zmatky umožňovala okolnost, že jednotky hmotnosti a tíhy byly dříve stejné. 1 Jsou také váhy pro vážení ve vakuu, jsou však nepoužitelné pro tělesa na vzduchu, neboť odpaření absorbovaných a adsorbovaných plynů je zdlouhavý proces. 2

3 Tíha je vektor (síla), který se skládá z gravitační síly a z odstředivé síly. Podobně se tíhové zrychlení jako vektor skládá z gravitačního zrychlení a odstředivého zrychlení. Korigovaná tíha je tíha minus vztlaková síla. Měření hmotnosti se skládá z několika následujících operací: určení zdánlivé hmotnosti (vážení), určení hodnot ovlivňujících veličin, výpočet hmotnosti. Vážení je určení zdánlivé hmotnosti. Standardní hmotnost (konvenční hmotnost) je konvenční hodnota výsledku vážení na vzduchu za předpokladu, že materiál závaží má hustotu kg/m 3 a vzduch má hustotu 1,2 kg/m 3. Všechny sekundární etalony mají hmotnost vyjádřenou ve formě standardní hmotnosti. Etalony hmotnosti Fyzikální veličina hmotnost má mezinárodní etalon 1 kg, který je uložen v BIPM v Paříži pod trojitým skleněným zvonem. Je to rovnostranný válec o výšce a průměru 39 mm, zhotovený ze slitiny 90 % Pt a 10 % Ir. Stejně jsou zhotoveny i jeho kopie, které jsou národními etalony hmotnosti v jednotlivých státech. Relativní přesnost prototypu kilogramu je v řádu 10-8 až 10-10, reprodukovatelnost je omezena stavem povrchu a způsobem jeho čištění. Odvozené etalony (svědecké, navazovací, pracovní) se zhotovují z nerezavějící oceli, také z mosazi nebo niklového bronzu. Kromě definované hmotnosti je u nich důležitá i jejich hustota. Etalony a závaží se vyrábí vakuovým litím. Z důvodů ochrany proti korozi jsou závaží opatřena vrstvou chromu nebo zlata. Malá závaží se zhotovují z platiny nebo hliníku. Závaží větších hodnot se zhotovují z litiny. Původní československý etalon 1 kg, č. 41 a také později zakoupený prototyp č. 65 jsou v Bratislavě. Od roku 1999 má Česká republika vlastní prototyp č. 67. Tento byl vyroben novou technologií a má následující parametry: jeho hmotnost je 1 kg + 0,164 mg se standardní nejistotou U c = 0,004 mg, pro k = 1. Je udána také jeho hustota, objem a koeficient objemové expanze pro určité rozmezí teplot. Tento prototyp je uložen pod dvojitým skleněným zvonem v ČMI v Brně. Již dříve byly pořízeny čtyři svědecké etalony z nerezové austenitické oceli o složení 25Cr20Ni. Pomocí těchto navazovacích etalonů matematickými metodami podělení a násobení se vytvářejí díly a násobky této jednotky hmotnosti. Tak se zajišťuje etalonáž hmotnosti v rozsahu od 10-9 g do 150 tun, primární etalonáž pochopitelně v užším rozsahu od 1 mg do 10 kg. Za tímto účelem byly pořízeny od firmy Mettler Toledo ze Švýcarska čtyři hmotnostní komparátory (tj. specializované komparační váhy). Pro realizaci primární etalonáže hmotnosti v rozsahu 100 g až 1 kg se používá hmotnostní komparátor AT 1006., jehož váživost je 1 kg, rozlišitelnost je 1 μg a opakovatelnost je 2 μg. Jeho konstrukce umožňuje vzájemné porovnání a automatickou výměnu čtyř etalonů s možností napojení na PC. Tento hmotnostní komparátor je spolu s primárním etalonem hmotnosti ČR na obr.2. Pro rozsah hmotnosti od 1 kg do 10 kg slouží hmotnostní komparátor AT s rozlišitelností 10 mg a opakovatelností 20 mg. Pro rozsah hmotnosti do 100 g slouží hmotnostní komparátor AT 106 s rozlišitelností 1 μg a opakovatelností 3 μg. Pro rozsah do 5 g slouží hmotnostní komparátor UMT5 s rozlišitelností 0,1 μg. Návaznost primární a sekundární etalonáže hmotnosti se musí provádět s uvažováním hustoty vzduchu, neboť hustota slitiny Pt,Ir a hustota oceli se značně liší. Další zařízení umožňuje měření a kontrolu referenčních podmínek (teploty, tlaku, 3

4 vlhkosti a koncentrace oxidu uhličitého) spolu s výpočtem příslušné hustoty vzduchu pro výpočet korekce na vztlak. Otázka hustoty vzduchu a vývoj průměrné koncentrace oxidu uhličitého v atmosféře v posledních desetiletích, viz příloha. Sekundární etalonáž již probíhá s etalony o hustotě kg/m 3, čímž se měří standardní hmotnost, takže v sekundárních etalonážních řádech se nemusí uvažovat s korekcí na vztlak. AT 1006 Obr.2.: Hmotnostní komparátor AT 1006 vlevo a Pt,Ir etalon vpravo. Měření hmotnosti - vážení Výklad některých pojmů podle normy ČSN EN AC: Metrologické aspekty vah s neautomatickou činností. Starší terminologie oboru je pak v normě ČSN , obsahuje 400 odborných termínů z oboru vah a vážení. Váha je měřicí přístroj pro určení hmotnosti měřených těles. Závaží je zhmotnělá míra (ztělesněná míra), která v průběhu používání reprodukuje zvolenou (tzv. jmenovitou) hodnotu hmotnosti. Váživost vah je určena horní mezí váživosti (Max) a dolní mezí váživosti (Min). Nosnost vah (Lim) je maximální statické zatížení, které mohou váhy unést bez trvalé změny svých metrologických vlastností. Skutečná hodnota dílku (d) je vyjádřená v jednotkách hmotnosti. Ověřovací dílek (e) je vyjádřený v jednotkách hmotnosti, je to důležitý údaj pro klasifikaci vah (určení třídy přesnosti). Viz příloha. Počet ověřovacích dílků je n = Max/e. Rozdělení vah podle třídy přesnosti (v závorce starší označení podle normy ČSN ): I váhy zvláštní přesnosti (jemné), patří sem etalonové váhy, tedy metrologické, vyznačující se velkou citlivostí a stálostí, původně bez tlumení, dále sem patří 4

5 II III IIII analytické váhy: makroanalytické s váživostí do 200 g, semimikroanalytické s váživostí od 10 g až do 50 g a mikroanalytické s váživostí do 10 g. váhy vysoké přesnosti (přesné), laboratoře, výroba, obchod (drahé kovy, lékárny), váhy střední přesnosti (běžné), běžný obchod, potraviny, váhy běžné přesnosti (hrubé), tržiště, ryby před vánocemi. Přehled váživosti a přesnosti různých druhů vah je na obr.3. Obr. 3: Přesnost vážení na různých druzích vah Principy vážení: Pákové váhy: Přímé srovnání neznámé hmotnosti se známou hmotností dává předpoklady pro dosažení vysoké přesnosti. Proto jsou pákové váhy nejstarší a nejrozšířenější. Z důvodů přesnosti a spolehlivosti metrologické předpisy v minulosti dovolovaly používat v hospodářském styku jen tento druh vah. Nejsou vhodné jako 5

6 mikrováhy, mají velkou hmotnost, zvláště váhy aut a vagonů. Různé způsoby vyvažování na pákových vahách, viz obr. 4. Vlevo vyvažování pomocí závaží a pomocí běžce - jezdce (změna délky ramene). Obě metody jsou kompenzační. Vpravo je metoda výchylková, vyvažování změnou silového momentu v jiné poloze. Vztlakové váhy: Kapalinová vztlaková váha je plovák, který se při různé zátěži noří do různé hloubky. Velikost ponoru udává tíhu váženého předmětu. Princip se uplatňuje hlavně při měření hustoty (areometr, Mohrovy vážky). Vzdušné nebo plynové vztlakové váhy se uplatňují jako mikrováhy. Skládají se z jemného vahadla s dutou skleněnou kuličkou. Odčerpáním vzduchu se mění vztlak do rovnováhy, z podtlaku se určí hmotnost. Váhy s elastickým prvkem: Jsou nejrozšířenější vedle pákových vah. Charakteristikou síly může být buď deformace prvku nebo jiná veličina související s napětím v prvku (piezoelektrický jev nebo magnetostrikce). Deformační váhy mohou být buď torzní (zkrut) nebo pružinové. Deformace se indikuje několika způsoby: jazýčkem nebo ručkou na stupnici, mechanickým převodem pákovým nebo Obr. 4: Různé způsoby vyvažování na pákových vahách. Obr. 5: Využití elastických prvků při vážení. 6

7 s ozubením, pomocí převodníků: tenzometrického, odporového, kapacitního a impedančního. Viz obr. 5. Vlevo piezoelektrický snímač a jeho umístění při měření hmotnosti náplně sila. Piezoelektrický jev se vyskytuje u některých krystalů (křemen, Seignettova sůl, turmalin). Působením tlaku v určitém směru vzniká na krystalu elektrický náboj, projevující se napětím. Vpravo různé modifikace magnetostrikčních snímačů. Zatížením jádra cívky vzniká v jádru mechanické napětí, které se projevuje změnou permeability materiálu. Je-li takto namáhaný materiál jádrem cívky, mění se její vlastní indukčnost, což lze měřit elektrickými metodami. Vpravo nahoře je využití elastického kovového prvku ve funkci transformátoru. V otvorech elastického prvku je budící vinutí (obklopené elektrickými siločarami) a snímací vinutí. Zatížením elastického prvku se mění průběh siločar a na snímacím vinutí se vybudí elektrické napětí, jehož velikost je ve vztahu k působící síle. Používají se pro měření velkých hmotností. Hydraulické váhy: Zde tíha působí na píst a vyvolává změnu tlaku, kterou je možno měřit deformačním prvkem (méně přesné). Je možno použít vyrovnání druhým pístem o různé ploše, čímž vzniká hydraulický převodový poměr. Magneticko-elektrické váhy: Vyvážení tělesa nastává silovým účinkem magnetického pole elektrického proudu. Odstraňuje se tím chyba reverzibility. Tyto váhy mají regulační obvod, mají indikátor odchylky, zesilovač a silový element působící na vahadlo. Procházející proud pak kompenzuje a určuje velikost tíhy. Takto jsou konstruovány současné váhy v obchodech.. Protože mají paměť, mohou odečítat hmotnost obalu, obsahují mikropočítač, mohou sejmout číslo výrobku z čárového kódu, z databáze získají cenu za kus nebo na jednotku hmotnosti, na štítku pro pokladnu udávají hmotnost a cenu, opět v čárovém kódu. Informace o prodeji zboží se může počítačovou sítí přenášet na další zpracování dat. Viz obr. 6. Hlavní součástí těchto vah je vahadlo1, zavěšené na pružném závěse 2 (planžeta pružný kovový pásek) k základu vah (šrafované části obrázku). Vahadlo nese kompenzační cívku 3, protizávaží 4 a obsahuje štěrbinu 5, snímače polohy 14. Na levém konci vahadla je koncový závěs 8 (pružný kovový pásek), kterým je vahadlo misky spojené s nosičem misky 9. Nosič misky přenáší zatížení misky 10 na vahadlo (přes koncový závěs 8). Poloha nosiče misky je v prostoru zabezpečená pomocí vodicích ramen 11a a 11b. Vodicí ramena jsou k nosiči misky a k základu vah přichycena pomocí pružných kloubů 12. Nosič misky tvoří spolu s vodícími rameny paralelogram (rovnoběžník), který mu umožňuje jen svislý přímočarý pohyb. Snímač polohy vahadla 14 se skládá ze světelného zdroje 6, štěrbiny vahadla 5 a dvojice fotosnímačů 7. Cívka vahadla 3 se nachází ve vzduchové mezeře permanentního magnetu 13, který je uchycen na kostře vah. Dopadá-li světelný paprsek přes štěrbinu na oba snímače stejně, vahadlo je v poloze vyvážení. Při změně polohy vahadla jsou oba fotosnímače různě osvětleny, vzniká odchylka, která se zpracuje v PID regulátoru, akční veličinou je pak proud procházející kompenzační cívkou 3, čímž dojde k vyvážení. Procházející kompenzační proud prochází rezistorem Rz, na něm vzniká napětí, toto je převedeno do digitální formy A/D převodníkem, údaj je dále zpracován mikroprocesorem μp a je zobrazen na displeji D. Podobnou konstrukci mají i analytické váhy a předvážky v laboratořích. Tyto obsahují i vnitřní kalibrační závaží KZ. Údaj těchto vah je závislý na místní hodnotě tíhového zrychlení a proto musí být na místě kalibrovány závažím KZ, zejména po přenesení těchto vah do jiného podlaží. 7

8 Metody vážení: Kompenzační (nulová): silový moment tíhy váženého předmětu se vyrovnává silovým momentem závaží nebo momentem elektromagnetického působení. Substituční metoda využívá náhrady váženého předmětu na stejné misce závažím. Potlačuje se tak nerovnoramenost vah. Výchylková metoda využívá proměnného kompenzačního momentu podle hmotnosti, údaj o hmotnosti je dán výchylkou ukazovatele na stupnici. Často se vyskytují i kombinace těchto metod. Obr. 6: Schéma pákových vah s elektromagnetickou kompenzací. Schéma návaznosti hmotnosti: Schéma návaznosti hmotnosti je na obr. 7. Jedná se ještě o schéma z doby federace, schéma je podle publikované normy PNU Je zde oddělena primární etalonáž, která vyjadřuje tehdejší stav. Sekundární etalonáž je rozdělena na 5 řádů, v důsledku historického vývoje nesou označení Ia, I, II, III a IV. Podle tohoto schématu jsou váhy rozdělené na 4 třídy s označením I až IIII, závaží je rozděleno na 5 tříd s označením 1 až 5. Na uvedené schéma návaznosti navazuje obr. 8, uvádějící nejistoty etalonáže jednotky hmotnosti 1 kg na různých úrovních etalonáže. V následující tabulce 1 jsou uvedeny dovolené odchylky provozních závaží, podle normy ČSN : Závaží s hmotností do 50 kg. 8

9 Laboratorní váhy Mimo novějších elektromagnetických vah se v laboratořích stále ještě používají tradiční druhy vah: Pákové váhy jsou nejběžnější: váhy laboratorní, označované také jako technické, váhy analytické: s tlumením a bez tlumení, kompenzační metoda, vyvážení závažím a jezdcem, kompenzační metoda, závaží v gramech, kruhové jezdce do 0,01 g, dále výchylka, metoda kompenzační a výchylková, tzv. poloautomaty, vyvažování pomocí řadivých závaží až do 0,01 g, dále výchylka, metoda kompenzační a výchylková, tzv. automaty. Torzní a pružinové: váživost 1 g až 10 g, rychlé a pohodlné, přesnost nebývá velká, uplatňuje se změna tíhového zrychlení. Mikrováhy: váživost do 1 g, umožňují stanovit hmotnost s přesností lepší než 1 μg. Jmenovitá hodnota hmotnosti Tab. 1: Tabulka dovolených odchylek provozních závaží tří tříd. Dovolené odchylky závaží ± mg technické analýzy technické obchodní 3. třída 4. třída 5. třída 1 kg g 1, g 1,0 3, g 0,8 2, g 0,6 2, g 0,5 1, g 0,4 1,2 5 1 g 0,3 1, mg 0,15 0,5 10 mg 0,08 0,25 1 mg 0,06 0,20 Teorie laboratorních vah Přesné matematické vyjádření poměrů na vahách je složité a dosud ne zcela zvládnuté. Pro odvození jednodušších závislostí musí být splněny určité, dále uvedené předpoklady (nedodržení těchto předpokladů vede k nedokonalosti řešení): rovinný systém, dokonale tuhý systém, vahadlo a misky se otáčejí okolo geometrického bodu, pohyb bez tření, malý otáčivý pohyb, aby sin ϕ = tg ϕ = ϕ, ϕ < ± 3. 9

10 Za těchto předpokladů lze odvodit pro rotační pohyb vahadla diferenciální rovnici druhého řádu, jejímž řešením je pohyb vahadla, viz dynamika vah. Vlastnosti vah Stabilita vah: Vzhledem k poloze těžiště vahadla (včetně misek a zatížení) a poloze břitu, kolem kterého se vahadlo otáčí může být systém stabilní (těžiště vahadla je pod břitem), nestabilní a astatický. Praktický význam mají jen stabilní váhy. Váhy s malým stabilizačním momentem jsou citlivější, avšak také citlivé na otřesy, nečistoty a nedostatky břitů a lůžek. Citlivost vah: Je to poměr změny ukazovatele ke změně hmotnosti. Změna ukazovatele může být vyjádřena v úhlu, v dílcích nebo v mm. Citlivost závisí na zatížení, s rostoucím zatížením klesá citlivost a roste stabilita. Dynamika vah: Diferenciální rovnice pohybu vah se odvozuje z působících momentů sil. Je zde moment působící síly (hmotnost x tíhové zrychlení x délka ramene) a proti němu působí moment závaží. Proti pohybu pak působí moment setrvačnosti, moment tlumení a moment způsobený třením. Řešením této rovnice je pohyb vahadla, který může být aperiodický, periodický i na mezi periodicity. Vhodným tlumením lze zvolit příslušný druh chování. A tak rozlišujeme váhy netlumené (přesnější, používané v etalonáži), váhy s kritickým tlumením (na mezi aperiodicity) a váhy přetlumené (omezené použití). Rovnovážná poloha netlumených vah se zjišťuje podle určitého počtu za sebou následujících kyvů. Chyba určení této rovnovážné polohy závisí na útlumu vah, zvětšením počtu kyvů ji také potlačíme. Polohu konce i tého kyvu na stupnici v dílcích označíme jako Oi. Pak se rovnovážná poloha počítá podle následujících vzorců:: O + 1 O metoda 2 kyvů: 2 2 metoda 3 kyvů: + 2 O 1 2 O3 O + 4 O + O + 4 O + 3 O metoda 5 kyvů: 12 3 O 1 5 nebo O + 4 O + 6 O + 4 O + O Justování a seřízení vah (viz obr. 9): Justování vah provádí opravárenská firma nebo servisní technici výrobce. Provádí se justace břitů, aretace, optického systému a hmotnosti vmontovaného závaží. Uživatel provádí jen seřízení nuly (prvky 5 a posunem skleněné stupnice optického systému) a seřízení rozsahu (prvek 4). Protože se obě činnosti vzájemně ovlivňují, seřizování se provádí podle určitého postupu, jedná se o iterační proces. 10

11 Obr. 7: Schéma návaznosti pro hmotnost. 11

12 Obr. 8: Nejistoty realizace hmotnosti jednotky kg na různých úrovních etalonáže Obr. 9: Vahadlo analytických vah a jeho seřizovací prvky 12

13 Používání vah (váhovna) Váhy vyžadují pro svou správnou činnost určité prostředí a proto je umisťujeme ve váhovně, kde toto prostředí můžeme zavést a dodržet. Je třeba omezit otřesy a chvění, omezit proudění vzduchu a sálavé teplo. Obvykle se vybírá část budovy bez rušivých vlivů s okny na sever. Váhovna by měla mít předsíň, podlaha hladká bez spár, matné stěny a zářivkové osvětlení s potlačením stroboskopického efektu. Samozřejmostí musí být čistota a bezprašnost. Udržování teploty v mezích ±3 C až ±0,5 C, udržování relativní vlhkosti (60 ±10) %. Váhy musí mít zvláštní pevné a těžké stoly, nejlepší jsou konzoly vetknuté do zdí. Vliv změny teploty se může projevit změnou poměrů ramen, vlhkost se projevuje svou adsorpcí na vahadle a miskách, zejména na nečistotách hygroskopických materiálů. Magnetické pole působí na feromagnetický materiál, což je nikl na povrchu vahadla a závaží, elektrostatické pole působí zejména u mikrovah, vzniká elektrický náboj na materiálech z plastů, hrot pinzety, oděvy, sedačky, povrch podlahy, odstraňuje se slabým radioaktivním zářičem α. Zkoušení analytických vah stálost nulové polohy a výsledku při 100 % zatížení (provádí se opakovaným vážením), citlivost vah, vyhodnocuje se při různém zatížení, přesnost (nedodržení převodu vahadla záměna váženého tělesa a závaží, dělení a poloha stupnice jezdce, chyba stupnice sklonového rozsahu), tlumení (dosažení malého tlumení u netlumených vah a kritického tlumení u vah tlumených), sdružená zkouška váhy obsahuje stálost nulové a rovnovážné polohy s určením citlivosti. Zkoušení závaží příprava závaží, čištění, uchovávání a používání, požadavek na materiál, dodržení jmenovité hmotnosti a hustoty materiálu, zkoušení jednotlivých závaží pomocí etalonu, souhrnná zkouška s navázáním na jeden etalon: Existují dva typy zkoušek, (konkrétně viz příloha): v první zkoušce je počet nezávislých pozorování stejný jako počet neznámých (tzv. nutný počet vážení), vypočteme hodnoty hmotnosti jednotlivých závaží. v druhé zkoušce je počet nezávislých pozorování větší než počet hledaných neznámých (hodnot hmotností jednotlivých závaží). Zde se jedná o nekonsistentní (přeurčený) systém rovnic, řeší se metodou nejmenších čtverců. Zde určíme nejen hmotnost jednotlivých závaží, ale i výběrové směrodatné odchylky těchto hmotností, tedy jejich nejistoty. 13

14 Přesné vážení proporcionální vážení (jde-li o poměr dvou hmotností), používané v chemických laboratořích. Odvažujeme tzv. navážku materiálu a pak odvažujeme isolovanou chemickou sloučeninu, z poměrů hmotností obvykle počítáme složení. Tato metoda je ovlivněna vztlakem při různých hustotách látek. substituční metoda, Bordova metoda. Je to metoda získání přesnější hodnoty hmotnosti, vážené těleso vyvážíme tárou (materiálem na opačné misce). Pak provedeme nové vyvážení se závažím na stejné misce jako vážené těleso. Metoda eliminuje vliv nerovnoramenosti vah. metoda dvojího vážení, Gaussova metoda. Dvojí vážení se záměnou měřeného tělesa a závaží na miskách vahadla. Eliminuje se nerovnoramenost vah, zjistí se číselná hodnota této nerovnoramenosti, takže ji lze použít pro pozdější korekce i jediných vážení, chyba je poloviční proti substituční metodě. Mendělejevova metoda, substituční metoda s konstantním zatížením vah. Používá se s výhodou v etalonáži hmotnosti celých sad závaží. Na jednu misku se vloží celá sada závaží a na jinou misku se provede vytárování. Pak výměnou jednotlivých závaží a jejich záměnou za příslušné etalony zjistíme rozdíly hmotnosti. Váhy mají konstantní zatížení a tím i konstantní citlivost. Malé rozdíly hmotností můžeme pak odečítat přímo na stupnici podle jazýčku vah v jednotkách hmotnosti, což při různém zatížení není možné. Je-li zatížení vah proměnné, pak stupnice vah je jen v dílcích, nemůže být v jednotkách hmotnosti. Redukce vážení na vakuum Označíme-li si tíhu závaží Z a tíhu váženého tělesa G, pak hmotnosti označíme m s odpovídajícím indexem a také hustoty ρ s odpovídajícími indexy. Hustota vzduchu bude mít index vz. Při rovnosti tíh na vahách bude platit: G = Z (4) Dosazením a úpravou získáme vztah: m m G Z m = m + ρ vz (5) G Z ρ ρ G Z Protože hledaná hmotnost m G se vyskytuje i na pravé straně rovnice, je možné úpravou vyjádřit m G explicitně, jinak se výpočet obvykle provádí iteračně. Zanedbáním této opravy vzniká chyba v určení hmotnosti až 1 %. 14