Laboratorní úloha č. 2 Vzájemná induktivní vazba dvou kruhových vzduchových cívek - Faradayův indukční zákon. Max Šauer

Transkript

1 Laboratorní úloha č. Vzájemná induktivní vazba dvou kruhových vzduchových cívek - Faradayův indukční zákon Max Šauer 14. prosince 003

2 Obsah 1 Popis úlohy Úkol měření 3 Postup měření 4 Teoretický rozbor Vlastní indukčnost Vzájemná indukčnost Závislost vzájemné indukčnosti na úhlu natočení Zjednodušený výpočet vzájemné indukčnosti Naměřené a vypočtené hodnoty Napětí a proud v primárním obvodu Závislost vzájemné indukčnosti na úhlu natočení Vlastní indukčnost primární cívky Vzájemná indukčnost Závěr 9 1

3 1 Popis úlohy Měřený model je složen ze dvou koncentrických kruhových vzduchových cívek, které je možno vůči sobě vzájemně natáčet. Cívky mají relativně malou tloušťku a výšku ve vztahu k poloměru, jejich magnetické pole lze přibližně považovat za pole buzené elementárním závitem. Vnější cívka (primární) je napájena přes ampérmetr střídavým napětím z N F funkčního generátoru. Úbytek napětí na ampérmetru je využit k zobrazení průběhu proudu na osciloskopu, napětí na cívce je měřeno voltmetrem V 1. Vnitřní napájecí cívka (sekudární) je připojena na voltmetr V, kterým lze měřit velikost indukovaného napětí a osciloskop, na kterém lze sledovat tvar indukovaného napětí. Úkol měření 1. Z napětí a proudu v primárním obvodu vypočítejte velikost vlastní indukčnosti primární cívky. Z indukovaného napětí v sekundární cívce a proudu v primární cívce vypočítejte velikost vzájemné indukčnosti cívek 3. Změřte závislost vzájemné indukčnosti cívek na úhlu natočení mezi primární a sekundární cívkou 4. Vypočítejte vzájemnou indukčnost mezi cívkami za předpokladu, že magnetické pole je po celé ploše sekundární cívky konstatní a je rovno magnetickému poli uprostřed primární cívky. Primární cívku uvažujte při tomto výpočtu jako elementární závit (tloušťka a výška cívky je zanedbatelná vůči polomměru cívky) 5. Srovnejte naměřenou a vypočítanou hodnotu vzájemné indukčnosti cívek a posuďte, do jaké míry platí zjednodušující předpoklady výpočtu z bodu 4) 3 Postup měření 1. Porovnejte schéma zapojení se skutečným zapojením přístrojů a podívejte se, který přístroj co měří

4 NF generátor funkcí by měl být nastaven při měření vlastní a vzájemné indukčnosti na sinusový tvar napětí, bez rozmítání kmitočtu. Pro měření vlastní a vzájemné indukčnosti je vhodný kmitočet asi 1 khz a nastavená amplituda výstupního napětí generátoru naprázdno 10 V, což je maximální napětí, které je generátor schopen dodat. Při pozorování průběhů nesinusových veličin budícího proudu a indukovaného napětí je vhodné velikost kmitočtu snížit asi na 100 Hz. Při vyšším kmitočtu vyhlazuje indukčnost příliš silně průběh protékajícího proudu, což má za důsledek to, že se nepovede dobře vybudit trojúhelníkový ani obdélníkový průběh proudu. Voltmetry a ampérmetr by měly být orientačně nastaveny na tyto rozsahy: Voltmetr 1, napěťový rozsah AC 0 V Voltmetr, napěťový rozsah AC V Ampérmetr v primárním obvodu AC 00 ma Osciloskop: první kanál paralelně s ampérmetrem - snímá tvar proudu druhý kanál paralelně s voltmetrem - snímá indukované napětí. Změřte napětí a proud na primární cívce. Tyto hodnoty poslouží k výpočtu vlastní indukčnosti primární cívky L1 3. Změřte proud v primární cívce a napětí na sekundární cívce v závislosti na úhlu natočení cívek. Hodnoty indukovaného napětí umožní vypočítat vzájemnou indukčnost v závislosti na úhlu natočení. 4. Sledujte na osciloskopu časový průběh napětí a proudu. Tvar budícího proudu měňte přepínáním tvaru výstupního napětí na generátoru. Při sinusovém budícím proudu je napětí posunuto o úhel π. Indukované napětí se mění v závislosti na úhlu natočení, při natočení o úhel π je indukované napětí nulové, při otočení civky o 180 se změní smysl indukovaného napětí. Při trojúhelníkovém budícím proudu má indukované napětí obdélníkový průběh a při obdélníkovém průběhu má indukované napětí tvar kladných a záporných pulsů v místě změny proudu. 3

5 Obrázek 1: Schema zapojení Obrázek : Základní rozměry modelu 4

6 4 Teoretický rozbor 4.1 Vlastní indukčnost V případě, že je primární cívka na svorkách buzena ze zdroje harmonického napětí s časovým průběhem u 1 (t) = U m1 sin(ωt) (1) o úhlovém kmitočtu ω = πf () a zanedbáme-li úbytek napětí na činném odporu cívky, je svorkové napětí v ustáleném stavu rovno indukovanému napětí v cívce a je úměrné časové změně magnetického toku, který cívkou prochází, tedy u 1 (t) = N 1 d dt Φ 1(t) (3) s cívkou je tedy vázán spřažený magnetický tok o velikosti N 1 Φ 1 (t) = U m1 (ωt ω sin π ) který je zpožděn za napětím o úhel π. Uvážíme-li, že vlastní indukčnost udává podle statické definice závislost mezi vybuzeným magnetickým tokem a budícím proudem: (4) N 1 Φ 1 (t) = L 1 i 1 (t) (5) odpovídá magnetickému toku proud procházející cívkou i 1 (t) = U ( m1 sin ωt π ) ( = I m1 sin ωt π ) ω L 1 Tento vztah platí za předpokladu, že je indukčnost konstantní, nezávislá na velikosti proudu. Podmínka je splněna u vzduchových cívek, proud procházející cívkou je v tomto případě harmonický. Kdyby byla cívka nasazena na feromagnetické jádro, proud procházející primární cívkou by vlivem nelineární magnetické charakteristiky obsahoval i vyšší harmonické složky. Amplituda primárního proudu je : (6) I m1 = U m1 ω L 1 (7) 5

7 vlastní indukčnost primární cívky je : L 1 = U m1 ω I m1 = U 1 ω I 1 (8) 4. Vzájemná indukčnost Část toku vybuzeného primární cívkou se váže se sekundární cívkou o Zavedemeli vzájemnou indukčnost jako vztah mezi budícím proudem v primární cívce a magnetickým tokem procházejícím sekundární cívkou N Φ 1 = M 1 I 1 (9) bude magnetický tok spřažený se sekundární cívkou roven ( N Φ 1 = M 1 i 1 (t) = M 1 I m1 sin ωt π ) (10) V sekundární cívce se časovou změnou magnetického toku indukuje napětí : u (t) = N d dt Φ 1(t) = M 1 d dt i 1(t) = ω M 1 I m1 sin(ωt) (11) Amplituda indukovaného napětí je a vzájemná indukčnost potom U m = ω M 1 I m1 (1) M 1 = U m ω I m1 = U I 1 1 ω (13) 4.3 Závislost vzájemné indukčnosti na úhlu natočení Indukční vazba mezi cívkami je největší v případě, že jsou cívky v jedné rovině. Magnetická indukce primární cívky v tomto případě protíná kolmo plochu sekundární cívky, tomu odpovídá i největší magnetický tok sekundární cívkou. Měníme-li vzájemné natočení cívek, prochází plochou sekundární cívky magnetický tok, jehož velkost je úměrná průmětu magnetické indukce do plochy sekundární cívky. 6

8 Označíme-li M 1max vzájemnou indukčnost při maximální vazbě, je skutečná vzájemná indukčnost závislá na úhlu natočení podle následujícího vztahu: M 1 (α) = M 1max cos(α) (14) Pro úhel α = π jsou cívky na sebe kolmé a induktivní vazba mezi nimi je nulová. Pro úhel α = ±π jsou cívky v jedné rovině, vzájemná indukčnost je maximální a rovna M 1max. 4.4 Zjednodušený výpočet vzájemné indukčnosti Vzájemnou indukčnost je možno zjednodušeně vypočítat za předpokladu, že primární cívka vybudí takové magnetické pole, které je na ploše sekundární cívky konstantní a rovné magnetickému poli uprostřed primární cívky. Pole uprostřed primární cívky, která svými rozměry připomíná elementární závit, se snadno vypočte podle vztahu: H 1 = N 1 I 1 r 1 (15) Tomu odpovídá magnetická indukce uprostřed primární cívky B 1 = µ 0 H 1 = µ 0 N1 I 1 r 1 (16) Sekundární cívkou o poloměru r prochází magnetický tok Φ 1 = B 1 π r = µ 0 N1 I 1 r 1 π r (17) s použitím definičního vztahu pro vzájemnou indukčnost potom platí: vzájemná indukčnost je tedy: N Φ 1 = M 1 I 1 (18) µ 0 N1 N I 1 r 1 π r = M 1 I 1 (19) M 1 = µ 0 N 1 N r 1 π r (0) 7

9 5 Naměřené a vypočtené hodnoty 5.1 Napětí a proud v primárním obvodu U 1 = 4.51 V I = 90.8 ma 5. Závislost vzájemné indukčnosti na úhlu natočení úhel [ ] I 1 [ma] U [V] úhel [ ] I 1 [ma] U [V] Vlastní indukčnost primární cívky Podle vztahu (8) je tedy vlastní indukčnost primární cívky při 1kHz L 1 = U 1 πf I 1 = H 5.4 Vzájemná indukčnost Podle vztahu (13) odpovídá vzájemná indukčnost při 1kHz a α = 0 M 1 = U 1 I 1 πf = π 1000 = H Vzájemná indukčnost podle bodu č.4 zadání úlohy odpovídá vztahu (0),tedy: M 1 = µ π = H což při permeabilitě µ 0 = NA tvoří rozdíl 81.13%. 8

10 6 Závěr V měření jsme stanovili vzájemnou indukčnost cívek, přičemž hodnota zjištěná v měření se od vypočtené liší o 81.31%, zjednodušující předpoklady z bodu č.4 zadání úlohy platí pouze řádově. Dále jsme během měření studovali proudový model elektrostatického pole, povrchový jev ve vodiči protékaném střídavým proudem a měřili jsme magnetické pole dlouhého solenoidu. Výsledky těchto měření jsou uvedeny v příloze. 9

11 Literatura [1] Jerhotová, Macháč, Škvor: Počítačové a laboratorní úlohy v elektromagnetickém poli, ČVUT 00 [] Coufalová, Chvojková, Němec, Novotný: Teorie elektromagnetického pole - Příklady, ČVUT