Složitost. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
|
|
- Leoš Marek
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Složitost Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
2 Teoretická informatika 2 Opakování z minulé přednášky Co říká Churchova teze? Jak lze kódovat Turingův stroj? Co je to Univerzální Turingův stroj? Formulujte problém příslušnosti pro Turingovy stroje. Je tento problém rozhodnutelný? Proč? Jakým způsobem lze dokázat, že existují problémy, které nejsou ani částečně rozhodnutelné? Formulujte problém zastavení pro TS. Jak dokázat, že problém zastavení je nerozhodnutelný? Vysvětlete metodu redukce.
3 Teoretická informatika 3 Rozhodnutelné problémy Je-li problém rozhodnutelný, ještě to neznamená, že je rozhodnutelný v rozumném čase. Za rozumný čas považujeme takový čas, kdy je pro nás výsledek výpočtu ještě využitelný. Rozhodnutelností se zabývá teorie vyčíslitelnosti Časovou náročností se zabývá teorie složitosti O tom bude dnešní přednáška
4 Teoretická informatika 4 Složitost Složitost algoritmu vyjadřuje náročnost algoritmu na výpočetní prostředky počítače v závislosti na délce vstupních dat. Časová složitost náročnost algoritmu na čas procesoru V jakých jednotkách časovou složitost měřit? Značení: T(x) Prostorová složitost náročnost algoritmu na operační paměť V jakých jednotkách prostorovou složitost měřit? Značení: S(x)
5 Teoretická informatika 5 Výpočetní model pro složitost Turingův stroj není vhodný kvůli sekvenčnímu přístupu na pásku RAM stroj Neomezený počet registrů pro uložení libovolně velkých čísel Instrukce READ, STORE, LOAD, ADD, SUB, JUMP, JPOS, JNEG, JZERO, HALT V základních rysech odpovídá reálnému počítači
6 Teoretická informatika 6 Délka výpočtu výrazů T(a) = 1, je-li a konstanta či proměnná T(a b) = 1 + T(a) + T(b), kde {+,-,*,/,div,mod} T(a AND b) = 1 + T(a) [ + T(b)] T(a OR b) = 1 + T(a) [ + T(b)] T(NOT a) = 1 + T(a)
7 Teoretická informatika 7 Čas na vykonání příkazu Elementární příkazy (délka výpočtu 1): načtení/výpis jedné proměnné přiřazení (nutno přičíst čas potřebný na vyhodnocení přiřazované hodnoty) T(IF a THEN b ELSE c) = 1 + T(a) + T(b) T(c) T(FOR i:=1 TO n DO p) = n*(p+2)
8 Teoretická informatika 8 Druhy složitosti Složitost v nejhorším případě: ze všech možných vstupních dat uvažujeme ta, nad nimiž je výpočet (časově) nejnáročnější Složitost v nejlepším případě: ze všech možných vstupních dat uvažujeme ta, nad nimiž je výpočet (časově) nejméně náročný Složitost v průměrném případě: z (časových) náročností všech možných vstupních dat vypočteme průměrnou hodnotu Kterou složitost v praxi nejvíce oceníme? Kterou složitost dokážeme nejsnáze určit?
9 Teoretická informatika 9 Definice časové složitosti Časová složitost algoritmu je funkce, která je pro každou velikost vstupních dat rovna délce nejdelšího výpočtu na všech možných datech této délky Je tedy třeba provést analýzu nejhoršího případu Časová složitost problému je minimum časových složitostí všech algoritmů řešících daný problém
10 Teoretická informatika 10 Definice prostorové složitosti Prostorová složitost algoritmu je funkce, která je pro každou délku vstupních dat rovna největšímu počtu registrů RAM stroje / políček pásky Turingova stroje obsazených během výpočtu Prostorová složitost problému je minimum prostorových složitostí všech algoritmů řešících daný problém Extrasekvenční prostorová složitost je prostorová složitost, do níž nezapočítáváme vstupní údaje
11 Teoretická informatika 11 Vztah času a prostoru Základní rozdíl: prostor lze využít opakovaně, čas ne Za jednu jednotku času můžeme obsadit maximálně jednu jednotku prostoru Anebo využít prostor obsazený dříve K obsazení nové jednotky prostoru vždy potřebujeme nejméně jednu jednotku času Důsledek: Časová složitost je vždy větší nebo rovna prostorové složitosti
12 Teoretická informatika 12 Asymptotická časová složitost Zanedbáváme aditivní konstanty Pro analýzu složitosti nemají praktický význam Zanedbáváme multiplikativní konstanty Lze nahradit rychlejším počítačem, větším počtem počítačů, atd. Zajímá nás jen hrubá charakteristika funkce její chování v nekonečnu Tedy jen její asymptoty Zavedení tříd funkcí
13 Teoretická informatika 13 Třídy funkcí podle asymptotického růstu O(g) = {f c>0, n 0 : n>n 0 : f(n) c g(n) } Třída funkcí, které rostou asymptoticky nejvýše tak rychle, jako funkce g Např. f(x) = ax 2 +b O(x 2 ) pro libovolné a, b Např. f(x) = ax 2 +b O(x 3 ) pro libovolné a, b Ω(g) = {f c>0, n 0 : n>n 0 : c g(n) f(n) } Třída funkcí, které rostou asymptoticky alespoň tak rychle, jako funkce g Např. f(x) = ax 2 +b Ω(x 2 ) pro libovolné a, b Např. f(x) = ax 3 +bx 2 +c Ω(x 2 ) pro libovolné a, b Θ(g) = {f c 1,c 2 >0, n 0 : n>n 0 : c 1 g(n) f(n) c 2 g(n) } Třída funkcí ohraničených funkcí g z obou stran Např. f(x) = ax 2 +b Ω(x 2 ) pro libovolné a, b Např. f(x) = ax 3 +bx 2 +c Ω(x 3 ) pro libovolné a, b Platí: Θ(g) = O(g) Ω(g)
14 Teoretická informatika 14 Složitostní třídy I. Konstantní: O(c) př.: Hello world!, výběr konstanty Logaritmická: O(log c n) pro libovolné c př.: Vyhledávání půlením intervalu, vyhledávání v binárním stromu Lineární: O(n) př.: Sekvenční vyhledávání, překladač Kvadratická: O(n 2 ) př.: Bubble sort, součet matic řádu n Kubická: O(n 3 ) př.: Násobení matic řádu n Polynomiální: O(n c ) pro libovolné c N Exponenciální: O(c n ) pro libovolné c N př.: Problém obchodního cestujícího
15 Teoretická informatika 15 Řešitelnost v rozumném čase Otázka: Kde leží hranice mezi problémy, které považujeme za řešitelné v rozumném čase a těmi, které jsou v rozumném čase neřešitelné?
16 Teoretická informatika 16 Nedeterminismus V teorii složitosti uvažujeme i nedeterministické výpočetní modely Nedeterministický Turingův stroj Nedeterministický RAM stroj Každý nedeterministický model lze převést na deterministický Za cenu nárůstu časové složitosti Je třeba vyzkoušet všechny možnosti
17 Teoretická informatika 17 Složitostní třídy II. DTIME(f(n)) = množina všech problémů řešitelných deterministickým algoritmem s časovou složitostí patřící do O(f(n)) DSPACE(f(n)) = množina všech problémů řešitelných deterministickým algoritmem s prostorovou složitostí patřící do O(f(n)) NTIME(f(n)) = množina všech problémů řešitelných nedeterministickým algoritmem s časovou složitostí patřící do O(f(n)) NSPACE(f(n)) = množina všech problémů řešitelných nedeterministickým algoritmem s prostorovou složitostí patřící do O(f(n))
18 Teoretická informatika 18 Vztahy složitostních tříd I. DSPACE(f(n)) NSPACE(f(n)) Každý problém řešitelný v prostoru f(n) deterministicky, lze v témže prostoru řešit nedeterministicky DTIME(f(n)) NTIME(f(n)) Každý problém řešitelný v čase f(n) deterministicky, lze v témže čase řešit nedeterministicky DTIME(f(n)) DSPACE(f(n)) Prostor lze použít opakovaně, čas nikoliv. Tedy co lze řešit v čase f(n), lze řešit i v prostoru f(n) NTIME(f(n)) NSPACE(f(n)) Taktéž nedeterministicky
19 Teoretická informatika 19 Vztahy složitostních tříd II. NTIME(f(n)) c>0 DTIME(c f(n) ) Při převodu nedeterminismu na determinismus je třeba vyzkoušet všechny možnosti (tj. prohledat c-ární výpočtový strom) NSPACE(f(n)) c>0 DTIME(c f(n) ) Počet všech konfigurací NTS pracujícího v prostoru f(n) je Q Γ f(n). Sestrojíme-li graf, jehož uzly odpovídají konfiguracím a hrany přechodové fci, jedná se o prohledávání tohoto grafu se složitostí v O( U 2 ), tedy v O(c f(n) ). NTIME(f(n)) DSPACE(f(n)) Nedeterministický stroj je náročnější na čas, nikoliv na paměť. Co lze řešit (byť nedeterministicky) v čase f(n), lze řešit i v prostoru f(n)
20 Teoretická informatika 20 Složitostní třídy III. P = k>0 DTIME(n k ) NP = k>0 NTIME(n k ) PSPACE = k>0 DSPACE(n k ) NPSPACE = k>0 NSPACE(n k ) DEXPTIME = k>0 DTIME(2^n k ) NEXPTIME = k>0 NTIME(2^n k ) DLOG = DSPACE(log n) NLOG = NSPACE(log n)
21 Teoretická informatika 21 Vztahy složitostních tříd DLOG NLOG P NP PSPACE DEXPTIME NEXPTIME O všech inkluzích se předpokládá, že jsou ostré. O žádné se to však zatím nepodařilo dokázat Jistě pouze víme, že DLOG PSPACE P DEXPTIME NP NEXPTIME Nejvýznamnější inkluze je mezi P a NP
22 Teoretická informatika 22 Úplné problémy Nechť C je složitostní třída. Problém P nazveme C-úplný, jestliže P C a jestliže pro každý problém patřící do C platí, že jej lze redukovat na P. Tedy Q C: Q P Úplné problémy jsou tedy nejtěžší problémy v dané třídě Je-li rozdíl mezi danou třídou a nižší třídou neprázdný, pak obsahuje právě tyto problémy
23 Teoretická informatika 23 Příklady NP-úplných problémů Problém obchodního cestujícího Problém nalezení nejkratší hamiltonovské kružnice v grafu o n vrcholech Problém splnitelnosti booleovské formule Je dána výroková formule (v KNF). Existuje ohodnocení proměnných takové, že formule je pravdivá? Problém batohu Je dána konečná množina objektů. Každý objekt má svoji hmotnost a cenu. Problém spočívá v nalezení takové podmnožiny objektů, jejichž celková hmotnost je nižší než daná mez a jejichž cena je nejvyšší možná
24 Teoretická informatika 24 P =? NP Nejvýznamnější problém teoretické informatiky Všechny NP-úplné problémy jsou navzájem redukovatelné jeden na druhý Nalezení polynomiálního algoritmu pro jediný z nich znamená nalezení polynomiálního algoritmu pro všechny a tedy dokázání, že P = NP. Důsledek: konec jednosměrných funkcí (hashování, šifrování)
Vztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti. IB102 Automaty, gramatiky a složitost, /31
Vztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 2. 12. 2013 1/31 IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 2. 12. 2013 2/31 Časová složitost algoritmu počet kroků výpočtu
VíceOd Turingových strojů k P=NP
Složitost Od Turingových strojů k P=NP Zbyněk Konečný Zimnění 2011 12. 16.2.2011 Kondr (Než vám klesnou víčka 2011) Složitost 12. 16.2.2011 1 / 24 O čem to dnes bude? 1 Co to je složitost 2 Výpočetní modely
VíceNP-ÚPLNÉ PROBLÉMY. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze
NP-ÚPLNÉ PROBLÉMY Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 13 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do
VíceSložitost 1.1 Opera ní a pam ová složitost 1.2 Opera ní složitost v pr rném, nejhorším a nejlepším p ípad 1.3 Asymptotická složitost
1 Složitost 1.1 Operační a paměťová složitost Nezávislé určení na konkrétní implementaci Několik typů operací = sčítání T+, logické T L, přiřazení T A(assign), porovnání T C(compare), výpočet adresy pole
VíceTřídy složitosti P a NP, NP-úplnost
Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost Cíle přednášky: 1. Definovat, za jakých okolností můžeme problém považovat za efektivně algoritmicky řešitelný. 2. Charakterizovat určitou skupinu úloh, pro které není
VícePŘÍJMENÍ a JMÉNO: Login studenta: DATUM:
PŘÍJMENÍ a JMÉNO: Login studenta: DATUM: Závěrečný test z předmětu Vyčíslitelnost a složitost Doba trvání: 90 minut Max. zisk: 100 bodů Obecné pokyny: Po obdržení testu ihned do pravého horního rohu napište
Více3. Třídy P a NP. Model výpočtu: Turingův stroj Rozhodovací problémy: třídy P a NP Optimalizační problémy: třídy PO a NPO MI-PAA
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška jedenáctá Miroslav Kolařík Zpracováno dle P. Martinek: Základy teoretické informatiky, http://phoenix.inf.upol.cz/esf/ucebni/zti.pdf Obsah 1 Složitost algoritmu 2 Třídy složitostí
VíceDefinice 7.2. Nejmenší přirozené číslo k, pro které je graf G k-obarvitelný, se nazývá chromatické číslo (barevnost) grafu G a značí se χ(g).
7 Barevnost grafu Definice 71 Graf G se nazývá k-obarvitelný, jestliže každému jeho uzlu lze přiřadit jednu z barev 1 k tak, že žádné dva sousední uzly nemají stejnou barvu Definice 72 Nejmenší přirozené
Více10. Složitost a výkon
Jiří Vokřínek, 2016 B6B36ZAL - Přednáška 10 1 Základy algoritmizace 10. Složitost a výkon doc. Ing. Jiří Vokřínek, Ph.D. Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Jiří
VíceSložitost Filip Hlásek
Složitost Filip Hlásek Abstrakt. Příspěvek popisuje dva základní koncepty teoretické informatiky, Turingovy stroje a složitost. Kromě definic důležitých pojmů uvádí také několik souvisejících tvrzení,
VíceALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY
Název tématického celku: Cíl: ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY Metodický list č. 1 Časová složitost algoritmů Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlení potřebných pojmů a definic nutných k popisu
VíceVýpočetní složitost algoritmů
Výpočetní složitost algoritmů Slajdy pro výuku na KS Ondřej Čepek Sylabus 1. Definice časové a prostorové složitosti algoritmů. Příklady na konkrétních algoritmech. Prostředky pro popis výpočetní složitosti
VíceDefinice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování.
9.5 Třída NP Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování. Příklad. Uvažujme problém IND a následující
VíceNP-úplnost. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 23. května / 32
NP-úplnost M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 23. května 2007 1/ 32 Rozhodovací problémy Definice Rozhodovací problém je takový, kde je množina možných výstupů dvouprvková
VíceSložitost a moderní kryptografie
Složitost a moderní kryptografie Radek Pelánek Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK v přírodních vědách a informatice CZ.1.07/1.3.10/02.0024 Složitost a moderní kryptografie
Více4. NP-úplné (NPC) a NP-těžké (NPH) problémy
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA 4. NP-úplné (NPC) a NP-těžké (NPH) problémy Karpova redukce
VíceTřída PTIME a třída NPTIME. NP-úplnost.
VAS - Přednáška 9 Úvod ke kursu. Složitost algoritmu. Model RAM. Odhady složitosti. Metoda rozděl a panuj. Greedy algoritmy. Metoda dynamického programování. Problémy, třídy složitosti problémů, horní
Více(viztakéslidyktétopřednášce...) Poznámka. Neudělali jsme vše tak podrobně, jak je to v zápisu.
Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 8 Přednáška- první část (viztakéslidyktétopřednášce...) Poznámka. Neudělali jsme vše tak podrobně, jak je to v zápisu. Turingovy stroje,(výpočetní)
VíceRůzné algoritmy mají různou složitost
/ 1 Různé algoritmy mají různou složitost 1/ 1 Rychlost... Jeden algoritmus (program, postup, metoda ) je rychlejší než druhý. Co ta věta znamená?? 2/ 1 Asymptotická složitost y y x x Každému algoritmu
VíceVýpočetní složitost I
Výpočetní složitost I prooborlogikanaffuk Petr Savický 1 Úvod Složitostí algoritmické úlohy se rozumí především její časová a paměťová náročnost při řešení na počítači. Časová náročnost se měří počtem
Více2. Složitost, grafové algoritmy (zapsal Martin Koutecký)
2. Složitost, grafové algoritmy (zapsal Martin Koutecký) Model Ram Při analýze algoritmu bychom chtěli nějak popsat jeho složitost. Abychom mohli udělat toto, potřebujeme nejprve definovat výpočetní model.
VíceZ. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 18. prosince / 67
Další třídy složitosti Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 18. prosince 018 1/ 67 Další třídy složitosti Pro libovolnou funkci f : N R + definujme následující třídy: DTIME(f(n)) třída všech rozhodovacích
VíceTýden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky.
Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 11 Přednáška Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomilijsmesi,ženapř.prozjištěnítoho,zdaBílýmánějakoustrategiivehřeŠACHY,
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0548 Název školy: Gymnázium, Trutnov, Jiráskovo náměstí 325 Název materiálu: VY_32_INOVACE_148_IVT Autor: Ing. Pavel Bezděk Tematický okruh:
VíceProblémy třídy Pa N P, převody problémů
Problémy třídy Pa N P, převody problémů Cvičení 1. Rozhodněte o příslušnosti následujících problémů do tříd Pa N P(N PCověříme později): a)jedanýgrafsouvislý? danýproblémjeztřídy P,řešíhonapř.algoritmyDFS,BFS.
VíceTřída PTIME a třída NPTIME. NP-úplnost.
VAS - Přednáška 9 Úvod ke kursu. Složitost algoritmu. Model RAM. Odhady složitosti. Metoda rozděl a panuj. Greedy algoritmy. Metoda dynamického programování. Problémy, třídy složitosti problémů, horní
Více11 VYPOČITATELNOST A VÝPOČTOVÁ SLOŽITOST
11 VYPOČITATELNOST A VÝPOČTOVÁ SLOŽITOST Na první přednášce jsme si neformálně zavedli pojmy problém a algoritmus pro jeho řešení, které jsme na počítači vykonávali pomocí programů. Jako příklad uveďme
VíceSložitost algoritmů. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava
Složitost algoritmů doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 27. prosince 2015 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Složitost algoritmů
VíceTGH12 - Problém za milion dolarů
TGH12 - Problém za milion dolarů Jan Březina Technical University of Liberec 7. května 2013 Složitost problému Co je to problém? Složitost problému Co je to problém? K daným vstupním datům (velkému binárnímu
VíceKMI/VCS1 Vyčíslitelnost a složitost
KMI/VCS1 Vyčíslitelnost a složitost Paměťová složitost, Savitchova věta, třída PSPACE, PSPACE-úplné problémy, a jako bonus: Bremermannova mez Jan Konečný 3. prosince 2013 Jan Konečný KMI/VCS1 Vyčíslitelnost
VíceMimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno
12 Délka výpočtu algoritmu Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno neméně důležité hledisko k posouzení vhodnosti algoritmu k řešení zadané úlohy. Jedná se o čas,
VíceAlgoritmy I, složitost
A0B36PRI - PROGRAMOVÁNÍ Algoritmy I, složitost České vysoké učení technické Fakulta elektrotechnická v 1.01 Rychlost... Jeden algoritmus (program, postup, metoda ) je rychlejší než druhý. Co ta věta znamená??
VíceTuringovy stroje. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Turingovy stroje Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Jaké znáte algebraické struktury s jednou operací? Co je to okruh,
VíceTeoretická informatika průběh výuky v semestru 1
Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 8 Přednáška Model RAM Ve studijním textu je detailně popsán model RAM, který je novějším výpočetním modelem než Turingův stroj a vychází z architektury
VíceČasová složitost / Time complexity
Časová složitost / Time complexity Jan Kybic http://cmp.felk.cvut.cz/~kybic kybic@fel.cvut.cz 2016 2018 1 / 24 Složitost algoritmů Algorithm complexity Časová a paměťová složitost Trvání výpočtu v závislosti
VíceZ. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 11. prosince / 63
Výpočetní modely Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 11. prosince 2018 1/ 63 Nutnost upřesnění pojmu algoritmus Dosavadní definice pojmu algoritmus byla poněkud vágní. Pokud bychom pro nějaký problém
Více5.6.3 Rekursivní indexace složitostních tříd 5.6.4 Uniformní diagonalizace 5.6.5 Konstrukce rekursivních indexací a aplikace uniformní diagonalizace
Obsah prvního svazku 1 Úvod 1.1 Přehled pojmů a struktur 1.1.1 Množiny, čísla a relace 1.1.2 Funkce 1.1.3 Pravděpodobnost 1.1.4 Grafy 1.2 Algebra 1.2.1 Dělitelnost, prvočíselnost a základní kombinatorické
VíceObsah přednášky. Analýza algoritmu Algoritmická složitost Návrhy algoritmů Urychlování algoritmů 1/41
Obsah přednášky Analýza algoritmu Algoritmická složitost Návrhy algoritmů Urychlování algoritmů 1/41 Analýza algoritmu Proč vůbec dělat analýzu? pro většinu problémů existuje několik různých přístupů aby
VíceAlgoritmizace. Jiří Vyskočil, Marko Genyg-Berezovskyj 2010
Jiří Vyskočil, Marko Genyg-Berezovskyj 2010 Úvod stránky předmětu: https://cw.felk.cvut.cz/doku.php/courses/a4b33alg/start cíle předmětu Cílem je schopnost samostatné implementace různých variant základních
VíceYZTI - poznámky ke složitosti
YZTI - poznámky ke složitosti LS 2018 Abstrakt Poznámky k přednášce YZTI zabývající se složitostí algoritmických problémů a teorií NP-úplnosti. Složitost algoritmu a problému Zabýváme se už pouze rekurzivními
VíceDatové struktury 2: Rozptylovací tabulky
Datové struktury 2: Rozptylovací tabulky prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy
VíceDynamické programování
Dynamické programování prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy (BI-EFA)
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0548 Název školy: Gymnázium, Trutnov, Jiráskovo náměstí 325 Název materiálu: VY_32_INOVACE_146_IVT Autor: Ing. Pavel Bezděk Tematický okruh:
VíceCOMPLEXITY
Níže uvedené úlohy představují přehled otázek, které se vyskytly v tomto nebo v minulých semestrech ve cvičení nebo v minulých semestrech u zkoušky. Mezi otázkami semestrovými a zkouškovými není žádný
VíceČasová a prostorová složitost algoritmů
.. Časová a prostorová složitost algoritmů Programovací techniky doc. Ing. Jiří Rybička, Dr. ústav informatiky PEF MENDELU v Brně rybicka@mendelu.cz Hodnocení algoritmů Programovací techniky Časová a prostorová
VíceSložitost algoritmů. Karel Richta a kol. Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Karel Richta a kol.
Složitost algoritmů Karel Richta a kol. Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Karel Richta a kol., 2017 Datové struktury a algoritmy, B6B36DSA 02/2017, Lekce 3
VíceTeoretická informatika průběh výuky v semestru 1
Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 7 Přednáška (Výpočetní) problémy, rozhodovací(ano/ne) problémy,... Připomněli jsme si obecné definice a konkrétní problémy, jako např. SAT[problém
VíceAlgoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.
Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou
VíceSložitost her. Herní algoritmy. Otakar Trunda
Složitost her Herní algoritmy Otakar Trunda Úvod měření složitosti Formální výpočetní model Turingův stroj Složitost algoritmu = závislost spotřebovaných prostředků na velikosti vstupu Časová složitost
VíceAlgoritmy a datové struktury
Algoritmy a datové struktury Slajdy pro výuku na KS Ondřej Čepek Sylabus 1. Prostředky pro popis složitosti algoritmů a operací nad datovými strukturami (asymptotická notace), příklady použití asymptotické
VícePozn.MinulejsmesekPSPACEnedostali,protojezdepřekryvstextemzminula.
Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 11 Přednáška Pozn.MinulejsmesekPSPACEnedostali,protojezdepřekryvstextemzminula. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomilijsmesi,ženapř.prozjištěnítoho,zdaBílýmánějakoustrategiivehřeŠACHY,
VíceSložitost problémů. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 25. dubna / 23
Složitost problémů Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 25. dubna 2012 1/ 23 Složitost problémů Ukazuje se, že různé(algoritmické) problémy jsou různě těžké. Obtížnější jsou ty problémy, k
VícePřijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
VíceDatabáze, sítě a techniky programování X33DSP
Databáze, sítě a techniky programování X33DSP Anotace: Náplní předmětu jsou některé techniky a metody používané ve výpočetních systémech zaměřených na biomedicínské inženýrství. Cílem je položit jednotný
VíceSložitost. Složitost p.1/46
Složitost Složitost p.1/46 Složitost algoritmů Základní teoretický přístup vychází z Church-Turingovy teze: Každý algoritmus je implementovatelný jistým TS. Zavedení TS nám umožňuje klasifikovat problémy
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 206 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Více1. Algoritmy a problémy V matematice se často setkáváme s tvrzeními týkajícími se objektů, které neumíme zkonstruovat. Můžeme např.
1. Algoritmy a problémy V matematice se často setkáváme s tvrzeními týkajícími se objektů, které neumíme zkonstruovat. Můžeme např. definovat množinu, na které dva homomorfismy (např. volné pologrupy)
VíceRozhodnutelné a nerozhodnutelné problémy. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 24. dubna / 49
Rozhodnutelné a nerozhodnutelné problémy M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 24. dubna 2007 1/ 49 Co je to algoritmus? Algoritmus Algoritmus je mechanický postup skládající
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceTýden 14. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost
Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 14 Přednáška PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomili jsme si nejprve, že např. pro zjištění toho, zda Bílý má nějakou strategii ve hře ŠACHY, která
VíceTGH05 - Problém za milion dolarů.
TGH05 - Problém za milion dolarů. Jan Březina Technical University of Liberec 20. března 2012 Časová složitost algoritmu Závislost doby běhu programu T na velikosti vstupních dat n. O(n) notace, standardní
VíceDoba běhu daného algoritmu/programu. 1. Který fragment programu z následujících dvou proběhne rychleji?
1 Doba běhu daného algoritmu/programu 1. Který fragment programu z následujících dvou proběhne rychleji? int n = 100; int sum = 0; for (i = 0; i < n; i++) for (j = 0; j < i; j++) sum += i+j; int n = 75;
VíceIntervalová data a výpočet některých statistik
Intervalová data a výpočet některých statistik Milan Hladík 1 Michal Černý 2 1 Katedra aplikované matematiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova 2 Katedra ekonometrie Fakulta informatiky a
VíceDynamické programování
ALG 11 Dynamické programování Úloha batohu neomezená Úloha batohu /1 Úloha batohu / Knapsack problem Máme N předmětů, každý s váhou Vi a cenou Ci (i = 1, 2,..., N) a batoh s kapacitou váhy K. Máme naložit
VíceAUTOMATY A GRAMATIKY. Pavel Surynek. Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně spočetné jazyky Kódování, enumerace
AUTOMATY A 11 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška desátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle R. Bělohlávek, V. Vychodil: Diskrétní matematika 2, http://phoenix.inf.upol.cz/esf/ucebni/dm2.pdf P. Martinek: Základy teoretické informatiky,
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceVyhledávání. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 21.
Vyhledávání doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 21. září 2018 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Vyhledávání 242 / 433 Osnova přednášky
VícePoznámky k přednášce NTIN090 Úvod do složitosti a vyčíslitelnosti. Petr Kučera
Poznámky k přednášce NTIN090 Úvod do složitosti a vyčíslitelnosti Petr Kučera 16. září 2014 Obsah Sylabus a literatura Úvod a motivace iv v I Vyčíslitelnost 1 1 Algoritmy a výpočetní modely 2 1.1 Churchova-Turingova
VíceAlgoritmizace prostorových úloh
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Grafové úlohy Daniela Szturcová Tento
VíceÚvod do problematiky
Úvod do problematiky Karel Richta a kol. Přednášky byly připraveny i s pomocí materiálů, které vyrobili Marko Berezovský, Petr Felkel, Josef Kolář, Michal Píše a Pavel Tvrdík Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická
VíceZdůvodněte, proč funkce n lg(n) roste alespoň stejně rychle nebo rychleji než než funkce lg(n!). Symbolem lg značíme logaritmus o základu 2.
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n log(n) 1 n 1/ roste rychleji než funkce g(n) = n. Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n 3/ log(n) roste
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceZáklady složitosti a vyčíslitelnosti
Základy složitosti a vyčíslitelnosti NTIN090 Petr Kučera 2018/19 1/172 Úvod Sylabus 1 Turingovy stroje a jejich varianty. Churchova-Turingova teze 2 Halting problém a další nerozhodnutelné problémy 3 RAM
Více1 Algoritmus. 1.1 Úvod
1 Algoritmus Cílem této kapitoly je seznámi studenty se základními pojmy informatiky jako jsou algoritmus, program, složitost. Student získá také přehled o složitostních třídách problémů (algoritmů). O
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 207 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceNMIN101 Programování 1 2/2 Z --- NMIN102 Programování /2 Z, Zk
NMIN101 Programování 1 2/2 Z --- NMIN102 Programování 2 --- 2/2 Z, Zk Pavel Töpfer Katedra software a výuky informatiky MFF UK MFF Malostranské nám., 4. patro, pracovna 404 pavel.topfer@mff.cuni.cz http://ksvi.mff.cuni.cz/~topfer
VíceÚVODNÍ ZNALOSTI. datové struktury. správnost programů. analýza algoritmů
ÚVODNÍ ZNALOSTI datové struktury správnost programů analýza algoritmů Datové struktury základní, primitivní, jednoduché datové typy: int, char,... hodnoty: celá čísla, znaky, jednoduché proměnné: int i;
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0548 Název školy: Gymnázium, Trutnov, Jiráskovo náměstí 325 Název materiálu: VY_32_INOVACE_145_IVT Autor: Ing. Pavel Bezděk Tematický okruh:
VíceAproximativní algoritmy UIN009 Efektivní algoritmy 1
Aproximativní algoritmy. 14.4.2005 UIN009 Efektivní algoritmy 1 Jak nakládat s NP-těžkými úlohami? Speciální případy Aproximativní algoritmy Pravděpodobnostní algoritmy Exponenciální algoritmy pro data
VíceZáklady složitosti a vyčíslitelnosti
Základy složitosti a vyčíslitelnosti NTIN090 Petr Kučera 2016/17 1/164 Úvod Sylabus 1 Turingovy stroje a jejich varianty. Churchova-Turingova teze 2 Halting problém. 3 RAM a jeho ekvivalence s Turingovými
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceDrsná matematika III 10. demonstrovaná cvičení Kostry grafů
Drsná matematika III 10. demonstrovaná cvičení Kostry grafů Martin Panák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 21.11. 2006 1 Domácí úlohy z minulého týdne Příklad 1 Příklad 2 Příklad 3 2 Borůvkův algoritmus
VíceNP-úplnost problému SAT
Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
VíceFormální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků
Formální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků doc. Ing. Jiří Rybička, Dr. ústav informatiky PEF MENDELU v Brně rybicka@mendelu.cz Připomenutí základních pojmů ABECEDA jazyk je libovolná podmnožina
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceÚvod do složitosti. Jan Konečný. 12. listopadu Jan Konečný Úvod do složitosti 12. listopadu / 27
Úvod do složitosti Jan Konečný 12. listopadu 2013 Jan Konečný Úvod do složitosti 12. listopadu 2013 1 / 27 Dosud: vyčíslitelnost = které problémy lze řešit na stroji a které ne? Od teď: složitost = které
VícePříklad 1/23. Pro rostoucí spojité fukce f(x), g(x) platí f(x) Ω(g(x)). Z toho plyne, že: a) f(x) Ο(g(x)) b) f(x) Θ(g(x)) d) g(x) Ω(f(x))
Příklad 1/23 Pro rostoucí spojité fukce f(x), g(x) platí f(x) Ω(g(x)). Z toho plyne, že: a) f(x) Ο(g(x)) b) f(x) Θ(g(x)) c) g(x) Θ(f(x)) d) g(x) Ω(f(x)) e) g(x) Ο(f(x)) 1 Příklad 2/23 Pro rostoucí spojité
VíceTato tematika je zpracována v Záznamy přednášek: str
Obsah 10. přednášky: Souvislosti Složitost - úvod Výpočet časové složitosti Odhad složitosti - příklady Posuzování složitosti Asymptotická složitost - odhad Přehled technik návrhů algoritmů Tato tematika
VíceAlgoritmizace Dynamické programování. Jiří Vyskočil, Marko Genyg-Berezovskyj 2010
Dynamické programování Jiří Vyskočil, Marko Genyg-Berezovskyj 2010 Rozděl a panuj (divide-and-conquer) Rozděl (Divide): Rozděl problém na několik podproblémů tak, aby tyto podproblémy odpovídaly původnímu
Více4. Teorie informace, teorie složitosti algoritmů. doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc.
Bezpečnost 4. Teorie informace, teorie složitosti algoritmů doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceZáklady algoritmizace a programování
Základy algoritmizace a programování Složitost algoritmů. Třídění Přednáška 8 16. listopadu 2009 Který algoritmus je "lepší"? Různé algoritmy, které řeší stejnou úlohu zbytek = p % i; zbytek = p - p/i*i;
VícePojem algoritmus. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava
Pojem algoritmus doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 12. září 2016 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Pojem algoritmus 54 / 344
VíceLogaritmus, logaritmická funkce, log. Rovnice a nerovnice. 3 d) je roven číslu: c) -1 d) 0 e) 3 c) je roven číslu: b) -1 c) 0 d) 1 e)
Logaritmus, logaritmická funkce, log. Rovnice a nerovnice ) Výraz log log +log není správná 0 - žádná z předchozích odpovědí ) Číslo log 8 6 je rovno číslu: ) Výraz log log +log - 0 ) Číslo log 6 6 je
VíceZáklady algoritmizace, návrh algoritmu
Základy algoritmizace, návrh algoritmu Algoritmus Předpoklady automatického výpočtu: předem stanovit (rozmyslet) přesný postup během opakovaného provádění postupu již nepřemýšlet a postupovat mechanicky
Více