ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE"

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta Elektrotechnická Bakalářská práce Simulátor sluneční soustavy Radim Havrlant Vedoucí práce: Ing. Ivan Šimeček Studijní program: Elektrotechnika a informatika, strukturovaný, bakalářský Obor: Výpočetní technika Červenec 2008

2 4 Simulátor sluneční soustavy

3 Poděkování 5 Poděkování Děkuji Ing. Ivanu Šimečkovi za vedení práce. Rád bych poděkoval také Mgr. Pavlu Stupkovi za ochotu, se kterou mi poskytoval svoje cenné rady.

4 6 Simulátor sluneční soustavy

5 Prohlášení 7 Prohlášení Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci vypracoval samostatně a použil jsem pouze podklady uvedené v přiloženém seznamu. Nemám závažný důvod proti užití tohoto školního díla ve smyslu 60 Zákona č.121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon). V Táboře dne

6 8 Simulátor sluneční soustavy

7 Abstract 9 Abstract This kind of work is implementing. Meaning of it lie on creating of program, which simulates movement of space object in Solar System. Created program is implemented in Java language. On the basis of exploring celestial mechanics laws, I created mathematical model, which input are orbital parameters of known space bodies and the time, when we want to know its location. Thanks to coordinates, which are computed by the mathematical model, program will show theese bodies and their trajectories in three dimensional space. Program can also compute distance between bodies and show their movement in time. Thanks to discovered laws about Sun and Moon eclipse the simulator can determine approximate time of this effect between given years. The program allowes to include new space objects, if we know their orbit and partialy supports also their visualisation. Part of program is a short collecion of information. It is also supported to add links to more information from internet. Created mathematical model is not dependent only on Solar system, it could be used for simulation of any orbital system. Abstrakt Tato práce je prací implementační. Její podstata spočívá ve vytvoření programu, který simuluje pohyb nebeských objektů ve Sluneční soustavě. Vytvořený program je implementován v jazyce Java. Na základě prozkoumání zákonů nebeské mechaniky jsem vytvořil matematický model, jehož vstupem jsou parametry oběžných drah známých kosmických těles a čas, kdy jejich polohu chceme znát. Díky souřadnicím, které matematický model vypočítá, program zobrazí tato tělesa a jejich trajektorie ve trojrozměrném prostoru. Program dokáže také počítat vzdálenosti mezi tělesy a zobrazovat jejich pohyb v čase. Díky vypozorovaným zákonitostem o zatmění Slunce a Měsíce simulátor umí stanovit přibližnou dobu, kdy tento jev nastane v určitém rozmezí let. Program umožňuje vkládání nových vesmírných objektů, pokud známe jejich oběžnou dráhu a částečně podporuje také jejich vizualizaci. Součástí je stručný soubor informací o sluneční soustavě. Je také podporováno vkládání odkazů a načítání dalších informací z internetu. Vytvořený matematický model není závislý pouze na Sluneční soustavě, ale lze ho použít pro simulaci jakékoliv vesmírné oběžné soustavy.

8 10 Simulátor sluneční soustavy

9 Simulátor sluneční soustavy 11 Obsah 1 Úvod Polohy objektů Matematický model Trajektorie Souřadnice Zatmění Popis problému, specifikace cíle Nebeská mechanika Keplerovy zákony Elementy dráhy Pohybové rovnice Nepravidelnosti v pohybech nebeských objektů Počítání času Podmínky pro vznik zatmění Analýza a návrh řešení Struktura programu Matematický model D zobrazení Ukládání do souboru Počítání vzdáleností Výpočet sarosu pomocí řetězových zlomků Popis implementace Balíček solarsim.model SpaceSystem.java Element.java Balíček solarsim...35

10 12 Simulátor sluneční soustavy Coord3D.java SolDate.java Controller.java Eclipse.java Balíček solarsim.graphicengine GraphicEngine.java ObjectToShow.java ParameterAssigner.java ViewHelper.java Balíček solarsim.gui Výsledky testování Výstupy 3D zobrazení Srovnání s jinou implementací Ostatní funkce programu a jejich srovnání s jinými zdroji Kalkulačka vzdáleností Správce objektů Počítadlo zatmění Závěr Zhodnocení splnění cílů Úvaha o dalším rozšíření programu...52 Přílohy...53 A Tabulka orbitálních elementů planet...53 B C D Průchody pericentrem a doby oběhu planet...54 Orbitální elementy dalších těles...54 Uživatelská příručka...56 D-1 Nároky na systém...56 D-2 Ovládání SolarSimu krok za krokem...56

11 Simulátor sluneční soustavy 13 Použité zdroje...62 Slovník zkratek...65 Obsah CD...66 Seznam obrázků Obrázek 1: Elipsa...17 Obrázek 2: Plochy opsané průvodičem za stejný časový interval...18 Obrázek 3: Orbitální elementy...20 Obrázek 4: Vztah pravé a excentrické anomálie...21 Obrázek 5: Zatmění Měsíce a Slunce...24 Obrázek 6: Struktura programu...29 Obrázek 7: Schéma výpočtu zatmění...39 Obrázek 8:Základní pohled na soustavu...43 Obrázek 9: Rotace kamery...43 Obrázek 10: Oběžné dráhy v zobrazení se zapnutým měřítkem...44 Obrázek 11: Špatně zobrazený Měsíc při zapnutém měřítku...44 Obrázek 12: Měsíc zobrazený správně v módu vypnutého měřítka...45 Obrázek 13: Venuše se svou oběžnou dráhou bez zapnutého měřítka...45 Obrázek 14: Phobos nad povrchem Masu...46 Obrázek 15: Jupiter se svými měsíci...46 Obrázek 16: Demonstrace krokovače, první část...47 Obrázek 17: Demonstrace krokovače, druhá část...47 Obrázek 18: Pohled na sluneční soustavu shora...48 Obrázek 19: Sluneční soustava shora podle jiného simulátoru...48 Obrázek 20: Kalkulačka vzdálenosti...49 Obrázek 21: Vkládání Měsíce...50 Obrázek 22: Zatmění Slunce a Měsíce...51 Seznam tabulek Tabulka 1: Schéma koeficientů p a q pro usnadňující výpočet řetězového zlomku28 Tabulka 2: Vyčíslené koeficienty p a q pro Měsíc...28

12 14 Simulátor sluneční soustavy 1 Úvod 1.1 Polohy objektů Pojem sluneční soustava je jistě všeobecně známý. Jedná se o vesmírný systém, který má ve svém středu hvězdu Slunce a kolem něj obíhají ostatní vesmírná tělesa vázaná sluneční gravitací. Smyslem této práce je vytvořit program, který dokáže na základě známých údajů o těchto objektech simulovat jejich pohyb v soustavě a zobrazovat jejich vzájemné polohy. Těžištěm této studie je zjišťování prostorových souřadnic těles. Podstatou je tedy hlavně na výpočet polohy těžiště (jeho centra), nikoli orientace v prostoru. Není z hlediska pozice podstatná. 1.2 Matematický model Prostorové souřadnice jsou vypočítávány na základě matematického modelu. Tento model zjišťuje polohu podle jakýchsi parametrů oběžné dráhy orbitálních elementů. Elementy plně popisují dráhu objektu, takže s jejich pomocí dokážeme spočítat souřadnice pro jakýkoliv čas. Elementy dráhy se dají počítat z pozorování drah těles. Pro simulaci pohybu nemusíme tedy znát jejich fyzikální podstatu. Jedná se o model, který nepočítá fyzikální závislosti, nýbrž přímo stanovuje výsledek na základě pozorování. 1.3 Trajektorie Tělesa se ve vesmíru mohou pohybovat po různých trajektoriích. Já jsem se soustředil spíše na tělesa, která jsou nám dobře známá, tedy hlavně planety a jejich měsíce. Tato tělesa známe, protože se pohybují po více méně pravidelných drahách opisují elipsu kolem svých středů oběhu. Tělesa mohou mít trajektorii i ve tvaru ostatních kuželoseček, tedy kružnic, parabol a hyperbol. Tělesa s parabolickými a hyperbolickými drahami se pohybují ale spíše nahodile, proto nejsou středem mého zájmu. Tento simulátor tedy dokáže pracovat s tělesy, jejichž dráha je eliptická nebo kruhová, protože kružnice je zvláštním případem elipsy, jejíž excentricita je rovna Souřadnice Protože cílem práce není jenom polohy objektů počítat, ale také je zobrazovat a počítat vzdálenosti mezi nimi, zvolil jsem kartézskou soustavu souřadnic, která je pro to vhodná. Vesmírná tělesa však obíhají kolem svých středů a střed oběhu není vždy středem soustavy souřadnic. Proto je třeba vypočítané souřadnice transformovat a převádět do globálního souřadnicového systému.

13 Simulátor sluneční soustavy Zatmění Jedním z nebeských úkazů, který je jistě zajímavý i pro člověka, který se normálně astronomii nevěnuje, je zatmění Slunce či Měsíce. Při zatmění slunce se Měsíc dostane mezi Zemi a Slunce a tak vlastně vrhne svůj stín na Zemi. Pro pozemského pozorovatele se to jeví tak, že tmavý kotouč Měsíce zakryje Svítící slunce. Při zatmění Měsíce naopak Země Slunce zastíní a to přestane na krátkou dobu ozařovat Měsíc. Díky shodě okolností je Slunce, Země a Měsíc právě v takových vzdálenostech v poměru k jejich velikostem, že Země Měsíc přesně zakryje. Lidé se tímto úkazem zabývají už od pradávna a jedním z cílů této práce je umět stanovit čas úplného zatmění Slunce nebo Měsíce. Pokud k zatmění dojde, je vždy pozorovatelné z určitého místa na naší planetě. Protože však simulátor nepočítá orientace těles, nemá velký smysl zjišťovat, ze kterého místa je toto zatmění pozorovatelné. Navíc by bylo třeba určit polohu všech těles nesmírně přesně, abychom dostali pravděpodobný výsledek. Existují sofistikované způsoby, které oblasti pozorovatelnosti určují. Poloha objektu se počítá v takzvaných geocentrických souřadnicích. To znamená tak, jak je objekt vidět ze Země. Dále se berou v úvahu atmosférické vlivy a nepravidelnosti tvaru zeměkoule. Nakonec lze stín promítnout na povrch Země a velice přesně stanovit průběh zatmění v čase. Takový výpočet je však nad rámec práce, spokojíme se tedy s přibližným stanovením času, kdy k zatmění dojde.

14 16 Simulátor sluneční soustavy 2 Popis problému, specifikace cíle 2.1 Nebeská mechanika Pozorováním pohybů nebeských objektů a aplikováním zákonů opakovatelnosti můžeme vytvořit relativně přesný model, který vystihuje pohyby planet. Podle něho lze počítat efemeridy, což je výpočet polohy planety k danému času. Vždyť už před dvěma tisíciletími Claudios Ptolemaios vytvořil geometricky dobře propracovanou hypotézu, podle níž bylo možno předpovídat polohy planet a byla platnou ještě dalších 1500 let. Model vytvořený tímto způsobem však nevystihuje samotnou podstatu pohybů. Až díky Mikuláši Koperníkovi, Tychovi Brahemu, Johannu Keplerovi, Galileo Galileimu a Isaku Newtonovi bylo možné příčiny těchto pohybů skutečně vysvětlit. Odvětví astronomie, které se zabývá odvozením pohybových rovnic těles v gravitačním poli, se nazývá nebeská mechanika. Nebudu zde popisovat celé odvození, popíšu jen některé základní vztahy a zákony a pro nás z toho plynoucí důsledky. 2.2 Keplerovy zákony Johannes Kepler formuloval 3 zákony, podle nichž se řídí pohyb planet v gravitačním poli. Platí dokonce i obecněji pro pohyb jakéhokoliv tělesa v centrálním silovém poli, tedy v oblasti působení nějaké dostředivé síly, jejíž přitažlivost klesá s druhou odmocninou vzdálenosti. Tyto zákony tedy můžeme použít pro většinu těles ve sluneční soustavě s větší či menší přesností. Na těleso zpravidla působí svojí gravitací více těles, například Slunce a některá blízká planeta. Platí tehdy, pokud hmotnost obíhajícího tělesa vůči obíhanému je zanedbatelně malá. Toto platí například ve sluneční soustavě pro Slunce a planety, protože asi 99,866% hmotnosti celé sluneční soustavy tvoří samo Slunce. Příčinou pohybu planet je gravitační zákon. Gravitační sílu mezi dvěma tělesy m1 a m2, mezi nimiž je vzdálenost r, můžeme vyjádřit vztahem kde χ je gravitační konstanta. mm 1 2 F = χ, 2 r Keplerovy zákony jsou tyto: 1) Planety se pohybují kolem Slunce po elipsách, v jejichž ohnisku je Slunce. 2) Průvodič planety opíše ve stejných dobách stejné plochy. 3) Třetí mocniny středních vzdáleností planet od Slunce jsou ve stejném poměru, jako druhé mocniny jejich oběžných dob. První zákon vyjadřuje pohyb po elipse. V pravoúhlém systému souřadnic x, y má elipsa rovnici

15 Simulátor sluneční soustavy 17 x a b y 2 2 = 1. V polárním systému souřadnic se středem ve Slunci, tj. v ohnisku planetární dráhy má tvar 2 p a(1 e ) r = =, 1+ e cosυ 1+ e cosυ kde r je průvodič planety (spojnice planety se Sluncem), ν je tak zvaná pravá anomálie, a je hlavní poloosa planetární dráhy nebo také střední vzdálenost planety od slunce a e je číselná výstřednost (numerická excentricita) elipsy. Lineární excentricita ε vyjadřuje vzdálenost ohniska od středu elipsy. Je dána vztahem = a +b 2 2 ε, kde b je vedlejší poloosa elipsy. V astronomii se používá pouze numerická excentricita. Vztah mezi numerickou a lineární excentricitou je ε e=. a Lepší představu nám poskytne obrázek 1. Obrázek 1: Elipsa Veličiny r a ν jednoznačně popisují skutečnou polohu planety na její dané dráze. Druhý Keplerův zákon říká, že plošná rychlost planety je konstantní. Znamená to, že pokud vezmeme dva průvodiče planety na začátku a na konci časového intervalu a změříme plochu, kterou tyto dva průvodiče na elipse vytnou, tak bude plocha vždy stejná nezávisle na tom, kdy tento časový interval zvolíme. (Musí být ale vždy stejný.) Proto se tento zákon také někdy nazývá zákonem ploch. V konečném důsledku to znamená, že rychlost planety je největší, když

16 18 Simulátor sluneční soustavy se nachází v pericentru, a nejmenší v apocentru. Pericentrum je bod oběžné dráhy, kdy je planeta nejblíže svému ohnisku (středu oběhu). V apocentru je nejdále. Plocha opsaná průvodiči je ilustrovaná obrázkem 2. V rámci sluneční soustavy se místo pericentrum a apocentrum velmi často říká perihel a apohel. Obrázek 2: Plochy opsané průvodičem za stejný časový interval Bod P znázorňuje pericentrum, bod A apocentrum. vp je rychlost tělesa v pericentru, va v apocentru a v mezi těmito dvěma body. Platí, že v > v>. P v A Třetí Keplerův zákon můžeme vyjádřit vztahem T a =, T a kde T1 a T2 jsou doby oběhu planet. Opět platí, že obě obíhající tělesa musí mít v poměru k obíhanému tělesu v ohnisku zanedbatelně malou hmotnost. Efekt tohoto zákona je ten, že planety dále od ohniska ho oběhnou za delší dobu Elementy dráhy Abychom mohli vysvětlit, co to jsou to elementy dráhy, budeme potřebovat znát některé další pojmy. Ekliptika je rovina, ve které obíhá Země kolem slunce. Tato rovina je vhodná jako základní rovina, ke které vztahujeme oběžné dráhy nejen Země, ale i ostatních planet. Jarní bod je místo na oběžné dráze, kdy se Slunce nachází přesně nad rovníkem. Tyto body jsou na oběžné dráze dva. Jarní bod je ten z nich, po kterém těleso vystavuje Slunci více svojí severní polokouli. Pro Zemi nastává v den jarní rovnodennosti. V tento moment dopadá na severní i jižní polokouli stejně světla. Analogicky lze jarní bod zavést také pro Slunce. Tento bod je vhodný pro stanovení směru, od kterého budeme odvozovat elementy dráhy. Jarním bodem můžeme označit také směr k ohnisku oběžné dráhy v moment, kdy je planeta v jarním bodě.

17 Simulátor sluneční soustavy 19 Uzel je místo, ve kterém elipsa oběžné dráhy protíná základní rovinu v případě planet tedy ekliptiku. Tyto body jsou opět dva vzestupný uzel (někdy také výstupný) a sestupný uzel. Nás bude zajímat hlavně vzestupný uzel. V tomto bodě se planeta dostává nad rovinu ekliptiky. Astronomická jednotka je délková míra, která je vhodná pro měření vzdáleností ve sluneční soustavě. Je odvozená ze střední vzdálenosti Země a Slunce. Protože se však oběžná dráha Země s časem mění, její hodnota byla stanovena na 1, m. Značíme ji AU. Periapsida je spojnice ohniska oběžné dráhy a pericentra. Orbitální elementy jsou souborem veličin, které jednoznačně definují polohu objektu v prostoru v daný časový okamžik. Je jich šest základních a některé z nich mohou být nahrazeny jinými. Délka vzestupného uzlu se značí Ω. Pokud spojíme centrum elipsy (rozumíme ohnisko, kolem kterého planeta obíhá) s vzestupným uzlem, dostaneme čáru uzlů. Ω je úhel mezi jarním bodem a čárou uzlů směrem k vzestupnému uzlu. Nabývá kladných hodnot směrem od jarního bodu. Udáváme ji v úhlové míře, tedy ve stupních nebo radiánech. Inklinace je označována i. Je to úhel, který svírá rovina oběžné dráhy se základní rovinou, tedy ekliptikou. Opět jí udáváme v úhlové míře. Argument délky pericentra bývá označován ω. Je to úhel, který svírá vzestupný uzel (tedy čára uzlů směrem k vzestupnému uzlu) s periapsidou. Měříme ho kladně od čáry uzlů k periapsidě. Udáváme ve stupních či radiánech. Hlavní poloosa byla již vysvětlena, značí se a a je to jediný element, který vyjadřuje vlastní rozměr oběžné dráhy. Je to stejná vzdálenost, jako střední vzdálenost od ohniska. Protože udává vzdálenost, můžeme jí udávat v kilometrech nebo AU. Excentricita je také už známý pojem, značíme jí e a rozumíme jí numerickou excentricitu dráhy. Je to bezrozměrná veličina. Střední anomálie je značena M a udává okamžitou pozici tělesa na jeho oběžné dráze. Měří se ve stupních nebo radiánech. Podrobněji bude spolu s ostatními anomáliemi popsána dále. Těchto šest elementů jednoznačně popisuje rozměr elipsy, její postavení v prostoru vzhledem k ekliptice i orientaci centrálního objektu a také momentální polohu satelitu na ní. Vzájemný vztah některých orbitálních elementů a jejich orientaci vůči vhodné kartézské souřadnicové soustavě ilustruje obrázek 3.

18 20 Simulátor sluneční soustavy Obrázek 3: Orbitální elementy Na obrázku 3 můžeme vidět, že zvolená soustava je pravotočivá. V případě, že v ohnisku je Slunce, odpovídá základní rovina x, y ekliptice. Osa x směřuje ve směru slunečního jarního bodu. Z obrázku je vidět, jak je elipsa nakloněná a otočená. Nepřesně můžeme říci, že úhel Ω značí, o kolik je elipsa otočená kolem osy z, a ω říká, o kolik je natočená kolem y. Na obrázku také vidíme, jak veličiny r a ν popisují polohu objektu. Veličina ν je nazývána pravou anomálií. Je to úhel, který svírá periapsida a spojnice ohniska s momentální pozicí satelitu. Pro převod pravé anomálie na střední anomálii budeme potřebovat znát ještě pojem excentrická anomálie. Značí se E a vyjadřuje úhel mezi spojnicí středu elipsy s pericentrem a spojnice středu elipsy (nikoliv ohniska) s bodem Q. Bod Q získáme, když elipse opíšeme kružnici a momentální pozici na ní promítneme podle osy y. Viz obrázek 4.

19 Simulátor sluneční soustavy 21 Obrázek 4: Vztah pravé a excentrické anomálie Z excentrické anomálie už můžeme získat střední anomálii M. Střední anomálie říká, jaký úhel by v daném čase svírala spojnice satelitu a ohniska s periapsidou, pokud by se satelit pohyboval po kružnici konstantní rychlostí se zachovanou dobou oběhu. Při stanovování pozice planety zpravidla známe střední anomálii satelitu v době, kdy byl měřen. My ale potřebujeme dopočítat, kde se objekt bude vyskytovat v zadanou dobu. Dopočítat střední anomálii není složité. Můžeme jí stanovit podle vztahu M = M 0 + n t, kde M je anomálie, kterou chceme znát, M0 je známá anomálie, n je střední denní pohyb a Δt je časový rozdíl ve dnech mezi známou a požadovanou anomálií. Střední denní pohyb je úhel, který by vyťal průvodič planety za jeden den, pokud by se pohybovala konstantní rychlostí s dobou oběhu T. Pokud střední denní pohyb neznáme, ale známe dobu oběhu, můžeme ho spočítat podle vzorce 2π n=, T kam dobu oběhu T dosazujeme ve dnech a získáme hodnotu v [rad/den]. Může se stát, že nemáme zadánu známou střední anomálii, ale dobu průchodu pericentrem. Tímto způsobem se popisují například komety, pro které je tento moment velice charakteristický. V takovém případě postupujeme podobně. Protože je v době průchodu pericentrem střední anomálie nulová, stačí jednoduše M0 postavit rovno nule a získáme vztah M = n t.

20 22 Simulátor sluneční soustavy 2.4 Pohybové rovnice Při získávání vztahů, kterými určíme souřadnice objektu v prostoru, postupujeme vlastně opačným způsobem, než jaký byl naznačen v odstavci 2.3. Známe tedy střední anomálii M a naším cílem je získat veličiny r a ν. Nejprve vypočítáme E z M. Vztah mezi těmito dvěma veličinami udává Keplerova rovnice M = E e sine. My ovšem potřebujeme spočítat E. Řešení není triviální, získáme ho metodou postupných aproximací. Postupujeme takto. Začneme výpočtem výchozí hodnoty E0, kterou potom postupně aproximujeme na požadovanou přesnost. E0 = M + e sinm Další hodnoty E získáme opakovaným aplikováním následujícího vztahu, dokud se získané hodnoty En a En+1 nebudou lišit o předem zvolený a pro naše účely dostatečně malý rozdíl. E E E = M = M = M Nyní už můžeme spočítat r podle vztahu + e sine + e sin n E n e sine 1,,... r= a( 1 e cose). Vztah mezi excentrickou anomálií E a pravou anomálií ν určuje vztah ν 1+ e tg = 2 1 e tg E Nepravidelnosti v pohybech nebeských objektů Výše uvedenými vztahy není pohyb tělesa ve vesmíru popsán zcela přesně. Existují některé vlivy, které dokáží oběžné dráhy ovlivnit. Prvním příkladem je stáčení pericenra. Elipsa planety se okolo ohniska pomalu otáčí. je to způsobeno zčásti gravitačním působením ostatních těles, z části je to díky projevům zákonů obecné teorie relativity. Aplikací těchto zákonů na oběžnou dráhu Merkura byla vlastně jejich platnost prokázána. Vzájemné gravitační působení nemá na svědomí pouze stáčení pericentra. Vlastně všechny hodnoty orbitálních elementů se více či méně s časem mění. Kromě jejich hodnot je tedy třeba znát i čas, kdy byly platné. U planet je tento jev v průběhu několika desetiletí zanedbatelný. Ale pokud budeme sledovat orbitu planety dlouhodobě nebo budeme sledovat některý méně stabilní objekt (kometu), je vhodné tento vliv brát v úvahu. Co ovlivňuje krátkodobou pozici planet a ostatních těles nejvíce, se nazývá perturbace. Pokud se dvě dostatečně hmotná tělesa k sobě

21 Simulátor sluneční soustavy 23 přibližují, jejich gravitační síla mezi sebou roste a naopak. To má za následek lokální odchylky od dlouhodobé dráhy. Proto se vypočtené dráhy korigují. Díky perturbaci byl například objeven Neptun, když svou přítomností ovlivňoval dráhu Uranu. Perturbaci neexistující planety Vulkánu bylo dokonce přičítáno i vysvětlení výše uvedené odchylky stáčení pericentra Merkuru před tím, než byl tento jev vysvětlen obecnou teorií relativity. Časová změna orbitálních elementů v sobě zahrnuje jejich dlouhodobé změny, ať už se jedná o změnu důsledkem gravitačních působení nebo teorie relativity. 2.6 Počítání času Kalendáře se postupně měnily a jsou také závislé na lokalitě, kde jsou používány. Astronomie ale potřebuje měřit čas dlouhodobě a nezávisle. Proto se v astronomii často měří v tzv. Juliánských datech. Juliánské datum je počet dní (tedy časových úseků dlouhých sekund), které uplynuly od okamžiku 1. ledna roku 4713 př. n. l., 12:00 v poledne světového času. Případná desetinná část dne vyjadřuje příslušnou část dalšího dne. 2.7 Podmínky pro vznik zatmění Jak už bylo řečeno, k zatmění Slunce nebo Měsíce dojde, když se tato tři vesmírná tělesa dostanou přibližně do jedné přímky. K tomu, aby taková konfigurace nastala, je nutné, aby byly splněny současně dvě podmínky. Jak Měsíc obíhá kolem Země, mění svoje fáze. Pokud je v novu, je celý nasvícený Sluncem ze strany, která je odvrácená od Země. Zdá se, že je tedy mezi Zemí a Sluncem. Pokud je v úplňku, vidíme ho naopak celý, takže by Země měla být mezi ním a Sluncem. Přesto však k zatmění většinou nedojde. Je pro to nutná ještě jedna podmínka. Stejně jako jsou dráhy planet odkloněné od ekliptiky, je od ekliptiky odkloněna i dráha Měsíce na své dráze kolem Země. Aby došlo k zatmění, je nutné, aby byl Měsíc také zároveň v uzlu, tedy byl na své dráze v místě, kde jeho elipsa protíná ekliptiku. Zatmění Měsíce a Slunce ilustruje schéma 5.

22 24 Simulátor sluneční soustavy Obrázek 5: Zatmění Měsíce a Slunce Přestože tělesa na obrázku 5 nejsou ve správných poměrech velikostí a vzdáleností, můžeme z něj vyvodit, že k zatměním Slunce dochází častěji. Podmínky pro splnění vzniku zatmění nejsou totiž tak přísné. Země je větší, proto má Měsíc větší prostor, na který jeho stín může dopadnout. Je ale pozorovatelné vždy pouze určité části Zeměkoule. Oproti tomu zatmění Měsíce bývá pozorovatelné z celé přivrácené polokoule. V rámci jednoho pozorovacího místa je tedy zatmění Měsíce častější. 3 Analýza a návrh řešení 3.1 Struktura programu Nyní se pokusím navrhnout strukturu programu tak, aby mohl plnit svojí funkci podle zadání. Základním kamenem programu bude matematický model, který bude obsahovat nějakou strukturu se zpracovávanými objekty. Bude umožňovat počítat polohy těchto objektů. Dále bude vhodné, abychom uměli vkládat nové objekty, mazat je a upravovat. Vypočítané výsledky budeme chtít nějakým způsobem zobrazit na obrazovku. K tomuto účelu navrhneme GUI, které bude umožňovat zobrazování objektů, jejich správu, zobrazovat vypočtené souřadnice, vzdálenosti mezi objekty, pohodlně vkládat časové údaje pomocí kalendáře a zobrazovat výsledky výpočtu času zatmění. Další důležitá část programu bude vytvářet zobrazení nebeských objektů. zvolíme pro tento účel nějaké API, které bude schopno objekty zobrazit ve 3D. Takové zobrazení je vhodné vzhledem k výsledkům z matematického modelu. Poslední komponentou bude jakési centrální řízení, které bude všechny tyto komponenty koordinovat.

23 Simulátor sluneční soustavy Matematický model První úlohou matematického modelu bude udržovat informace o počítaných tělesech a o jejich orbitálních elementech. Řešíme problém oběžné soustavy ve vesmíru. Nespokojíme se však pouze se Sluncem jako centrálním objektem a obíhajícími planetami, případně kometami. Kolem každé planety může obíhat množství měsíců. Kolem těchto měsíců mohou obíhat další menší objekty, například umělé družice a tak dále. Bude tedy dobré, aby model uměl tuto charakteristiku vystihnout. Nabízí se datová struktura strom. Uzlem tohoto stromu bude nebeské těleso, které je v ohnisku dané soustavy. Bude mít seznam potomků, jež kolem něj obíhají. Protože popisujeme sluneční soustavu, v kořenu tohoto stromu bude Slunce. Tento způsob však nevylučuje použití modelu pro libovolnou oběžnou soustavu, například zvolíme-li za kořen střed nějaké galaxie. Nyní budeme potřebovat mechanizmus, který z modelu získá vypočítané souřadnice. Nejprve musíme model inicializovat, tj. vložit potřebné orbitální elementy jednotlivým uzlům. Dále budeme potřebovat zadat modelu jednotný čas a konečně vypočítat žádané souřadnice. Tyto souřadnice potom z modelu získáme ve formě vhodné pro další zpracování. Budeme také chtít, abychom mohli do modelu vkládat nové objekty, případně je mazat. Určitě tedy bude užitečné, aby každý uzel měl v rámci soustavy jednoznačný identifikátor, podle něhož ho budeme schopni v soustavě vyhledat D zobrazení Pro naše účely budeme potřebovat vytvořit 3D scénu, která bude zobrazovat nebeská tělesa. Naší úrovni přesnosti bude stačit, pokud budou nebeské objekty reprezentovány koulemi. Pro vytvoření zobrazení modelu jsem zvolil API Java3D, které je pro toto zobrazení vhodné. Pracuje s kartézskými souřadnicemi. Pro zobrazení modelu bude tedy nutné, abychom měli všechny souřadnice převedeny do jednotné souřadnicové soustavy. Toto klade další požadavek na matematický model. Bude nutno všechny souřadnice, které jsou lokálně vztažené ke svému centru oběhu, transformovat a přepočítat do globálních souřadnic. Budeme požadovat, aby scéna neuměla vykreslit pouze samotné objekty, ale také křivky jejich oběžných drah. Java3D křivky jako takové kreslit neumí, musíme si tedy pomoci jinak. V Java3D je nástroj, který dovede vykreslit čáru, případně více čar spojených za sebou. Elipsu oběžné dráhy proto zjednodušíme a vytvoříme z ní mnohoúhelník. Dále by se nám hodilo, abychom mohli zavést některá zjednodušení, která případně umožní přehlednější zobrazení scény. Můžeme si například všimnout, že Slunce má průměr asi 1,392 milionů kilometrů. Oproti tomu Merkur, nejvnitřnější planeta sluneční soustavy, má průměr asi jen pouhých 4897 kilometrů a to není zdaleka nejmenším významným tělesem sluneční soustavy.

24 26 Simulátor sluneční soustavy Pokud vyjádříme průměr planety nějakou vhodnou logaritmickou funkcí, tělesa budou zobrazena v mnohem přijatelnějších velikostních poměrech a přesto bude zachována představa o jejich velikostech. Druhý postřeh se týká vzdáleností. Všimněme si, že první čtyři planety sluneční soustavy, tzv. vnitřní planety, Merkur, Venuše, Země a Mars nemají střední vzdálenost od Slunce větší, než 228 milionů kilometrů (1,5 AU). Oproti tomu Pluto, které bylo ještě donedávna považováno za planetu, má střední vzdálenost od slunce asi 5,9 miliard kilometrů (39,5 AU). Aby tedy soustava získala kompaktnější vzhled, vzdálenosti planet budeme dělit vhodnou konstantou tak, aby byly objekty vzhledem k jejich velikostem lépe vidět. Tuto funkci určitě také budeme mít možnost vypnout pro věrné zobrazení soustavy. Pro zobrazení budou potřeba některé další informace, nejen ty, které poskytne matematický model. Důležitou hodnotou pro věrnější zobrazení je průměr planety. Dále je tu možnost potažení objektu texturou a tedy informace o umístění textury. Pro lepší vykreslení světel můžeme určit, jestli má těleso svítit (typicky Slunce). Spolu s výše uvedenými úvahami vyvstává potřeba přídavné logiky, která se bude starat o transformaci souřadnic, vytváření mnohoúhelníků křivek, získávání ostatních parametrů a podobně. 3.4 Ukládání do souboru Protože budeme objekty do soustavy také vkládat, potřebovali bychom, aby se vložené údaje daly také uložit do souboru. Můžeme vytvořit soubor, do kterého budeme ukládat naše informace například v textové podobě nebo XML. Tento způsob je však pracný a může být komplikovaný. Využijeme proto s výhodou serializaci objektů, díky niž můžeme například aktuální podobu struktury sluneční soustavy uložit do souboru a při příštím otevření programu jí zase načíst ve stejné podobě. Tento způsob je vhodný i pro ukládání přídavných parametrů vesmírných těles. 3.5 Počítání vzdáleností Jelikož jsme zvolili kartézskou soustavu, ve které budeme souřadnice vypočítávat a budeme mít k dispozici mechanizmus, který převede všechny lokální souřadnice do jedné souřadnicové soustavy, je výpočet vzdálenosti mezi jednotlivými tělesy velice jednoduchý. Použijeme tento vzorec 2 2 ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) 2 l=, kde l je požadovaná vzdálenost, x1, y1 a z1 jsou souřadnice jednoho tělesa a x2, y2 a z2 souřadnice druhého tělesa. Jedná se o aplikaci Pythagorovy věty o délce přepony pravoúhlého trojúhelníka. 1

25 Simulátor sluneční soustavy Výpočet sarosu pomocí řetězových zlomků Jak bylo uvedeno v kapitole 2.7, pro vznik zatmění je nutné splnit současně dvě podmínky. Měsíc musí být v novu (úplňku) a současně v uzlu (vzestupném nebo sestupném). Budeme-li na jev zatmění nahlížet jako na děj, který se pravidelně opakuje (je tzv. opakovatelný), můžeme pro předpověď, kdy se bude znovu opakovat, využít řetězového zlomku. Jestliže tedy známe vypozorovanou dobu zatmění, lze stanovit, kdy k němu opět dojde. Bude to 1) když bude Měsíc opět v úplňku nebo novu, tedy za synodický měsíc. Synodický měsíc je doba, za kterou bude měsíc ve stejné fázi z pohledu pozorovatele na Zemi. Jeho doba činí s= 29, dne. 2) když bude měsíc opět v uzlu, to bude opět jednou za drakonický měsíc. Drakonický měsíc je oběžná doba vztažená k uzlu oběžné dráhy. Tato hodnota činí d = 27, dne. Zatmění se bude opakovat, když obě periody budou v poměru přirozených čísel: tedy Vyjádřeno číselně je to s d = n m = s m =, d n ns= md. 29, , = 1, Toto číslo můžeme rozepsat do následujícího tvaru, tzv. řetězového zlomku: k 1 + k 2 + k k i + z i Číslo rozepíšeme tak, že ho rozdělíme na celou část (k1=1) a zbytek (0, ). Nyní vypočteme převrácenou hodnotu zbytku (11,737667) a znovu jí rozložíme na celou část (k2=11) a zbytek (0,737667). Tímto způsobem postupně získáváme koeficienty ki (1, 11, 1, 2, 1, 4, 3, 5, 1...) a celý tvar zlomku. Nyní sestavíme tabulku koeficientů p a q.

26 28 Simulátor sluneční soustavy - - k1 k2 k3... ki-1 ki 0 1 p1 p2 p3... pi-1 pi 1 0 q1 q2 q3... qi-1 qi Tabulka 1: Schéma koeficientů p a q pro usnadňující výpočet řetězového zlomku Koeficienty pi a qi spočítáme podle následujících rovnic.... p 1 3 i = k 1 p2 = k2p1 p = k p i 3 p = k p 1+ 0= k p + i 1 1 p 1 i 2 q i = k 1 q2 = k 2q1 q = k q q 3 = kq i 1+ 1= q + i 1 1 q i 2 Pokud jsou čísla s a d skutečně v poměru přirozených čísel, pak existuje nějaké celé i, pro které zi=0 a toho chceme dosáhnout. V takovém případě se bude děj jistě opakovat. Postupným řešením koeficientů získáme tabulku 2: i p q Δd 1,7102-0,6082 0,4938-0,1144 0,0361-0,0062 0,0050-0, Tabulka 2: Vyčíslené koeficienty p a q pro Měsíc V této tabulce nás zajímá sloupec, kde i=6. Říká nám, že 223 synodické měsíce, které trvají 6585, dní se rovnají 242 drakonickým měsícům trvajícím 6585, dní s chybou 0,036 dne. Tato chyba odpovídá přibližně 52 minutám. V rocích je 223 synodických měsíců 18,03001 let, 242 drakonických je 18,03011 let. Znamená to, že až na chybu se zatmění opakuje po 18 letech a 0,03 roku (10 dní a 1/3 dne). Právě tato perioda je známá už od starověku pod názvem saros. Po 18 letech a 10 (případně 11) dnech se skutečně zatmění opakuje. Přesněji po 6585 dnech a 8 hodinách. Těchto 8 hodin způsobuje, že se Země stihne otočit kolem své osy ještě o 120 a zatmění je tedy vidět z jiné části zeměkoule. Po třech sarosech je zatmění pozorovatelné opět na stejném místě. Sarosu využijeme v našem programu při jednoduchém výpočtu zatmění. Budeme počítat pouze úplná zatmění. Nejjednodušší metoda je taková, že zaznamenáme všechna úplná zatmění, která nastala v blízké minulosti v průběhu doby jednoho sarosu. Postupným přičítáním sarosu k těmto hodnotám můžeme předpovídat další zatmění s přesností v řádu hodin. Teoreticky se po přičtení 28 sarosů, tedy asi po 504 letech, dostaneme na chybu kolem jednoho dne. Taková přesnost je pro naše účely dostačující.

27 Simulátor sluneční soustavy 29 Některé přesnější kalkulátory pracují na podobném principu s využitím různých korekcí a mohou se dostat až na přesnost v řádu minut. 4 Popis implementace V této kapitole popíšu jednotlivé balíčky a třídy programu. Popíšu jejich důležité instanční proměnné a důležité metody. U metod, které provádějí nějaký důležitý výpočet, bude popsán. Pro implementaci byla použita Java JDK 1.6.0_03 a Java3D ve vývojovém prostředí NetBeans IDE Obrázek 6: Struktura programu 4.1 Balíček solarsim.model Jednotlivé balíčky sdružují implementované třídy do struktury tak, jak bylo naznačeno v kapitole 3.1. Balíček solarsim.model obsahuje třídy, které implementují matematický model simulátoru. Na úvod předesílám, že simulátor řeší pouze nepravidelnosti v pohybech planet, které lze popsat časovou změnou orbitálních elementů. Jednou z nepravidelností, kterou orbitálními elementy nevyjádříme, je například perturbace. Korekce vypočítané polohy perturbací nebude tedy provedena a podobně SpaceSystem.java Tato třída zapouzdřuje strom vesmírných objektů. Poskytuje některé metody, které buď nelze na strom volat zvenku, nebo je to snadnější přes tuto třídu. Má instanční proměnné OrbitalSystem mainsystem a int counter. proměnná mainsystem je kořenem stromu. Rekurzivní metody jsou volány na

28 30 Simulátor sluneční soustavy tento kořen. Proměnná counter je počítadlo přidaných objektů a slouží hlavně jako generátor id pro nové objekty. Poskytuje tyto důležité metody: OrbitalSystem getsystembyid(int id) vrátí oběžný podsystém typu OrbitalSystem, jehož centrum oběhu má vstupní id. (OrbitalSystem je popsána v ) void deletesubsystembyid(int id) odstraní z oběžného systému instanci OrbitalSystem, která vlastní dané id. void setmainsystem(orbitalsystem mainsystem) vrátí kořen systému (v našem případě tedy Slunce). LinkedList<ObjectToShow> getobjectstoshow() vrátí kolekci objektů typu ObjectToShow. Bude popsáno níže. double getlargestsemimajoraxis() získá poloosu systému, která je největší. Tato metoda slouží 3D zobrazovači pro výpočet vzdálenosti základního pohledu na systém. OrbitalSystem.java Je vlastním uzlem stromu. Reprezentuje oběžný systém, který má ve svém ohnisku vesmírný objekt a kolem něj obíhají další podsystémy, které mohou, ale nemusí mít satelity. Instanční proměnné: SpaceObject center těleso, které je v ohnisku oběžné dráhy. LinkedList<OrbitalSystem> satelites kolekce obíhajících podsystémů. double tilt, rightascension parametry, které jsou nutné pro případné transformování souřadnic do souřadnic nadsystému. Příklad: Kolem Slunce obíhá Mars. Kolem Marsu obíhá jeho měsíc Deimos. Deimovy orbitální elementy jsou vztaženy k rovině, která probíhá Marsovým rovníkem a osa x této roviny směřuje do jarního bodu Marsu. Pro převod Deimových souřadnic do heliocentrických globálních souřadnic potřebujeme znát tzv. rektastenzi (otočení Deimova jarního bodu od jarního bodu Marsu) a také o kolik je jeho rovina sloněna k ekliptice, tedy o kolik je odkloněn rovník planety od ekliptiky (tilt). Metody: void settime(soldate date) nastaví čas svému centru a rekurzivně zavolá settime na všechny svoje satelity. static double tojuliancentury(double days) statická metoda, která převede počet dní na juliánské století. Jedno juliánské století trvá dní.

29 Simulátor sluneční soustavy 31 SpaceObject getobject(int id) slouží k vyhledání SpaceObjectu podle id. Vrátí buď centrum, pokud se id shodují, nebo volá getobject na svoje potomky. OrbitalSystem getsystem(int id) funguje podobně jako getobject, vrací ale celý uzel. void deletesubsystembyid(int id) smaže podsystém mezi svými potomky, pokud mezi nimi najde hledané id. Jinak se rekurzivně volá na potomky. LinkedList<ObjectToShow> getobjectstoshow() vrací kolekci instancí typu ObjectToShow. Tento typ je použit hlavně 3D zobrazovačem a obsahuje mimo jiné vypočítané souřadnice těles soustavy. Funguje tak, že rekurzivně získává souřadnice od svých potomků a tak, jak získané souřadnice bublají směrem ke kořenu, jsou transformovány do souřadnicových soustav svých nadsystémů. 1) Získám kolekci ObjectToShow svých potomků se souřadnicemi, které jsou transformovány do mé souřadnicové soustavy. 2) Přidám do kolekce také mojí souřadnici. 3) Volám postupně metodu gettransformedcoordinate a transformuji všechny souřadnice do soustavy mého nadsystému a předám mu je. Coord3D gettransformedcoordinate(coord3d coord) transformuje souřadnice do soustavy souřadnic svého nadsystému. 1) Výchozí souřadnici Coord3D nejprve otočíme kolem osy x o úhel epsilon, který získáme od svého rodiče pomocí transformační matice x y z = cosε sinε 0 x sinε y, cosε z kde x1, y1, z1 jsou nové souřadnice a x, y, z jsou výchozí. 2) Nyní ji otočíme o úhel kolem z o úhel Lvp násobením maticí x y z cosl = sinl 0 vp vp sinl cosl 0 vp vp 0 x 0 y 1 z 1 1 1, kde x2, y2, z2 jsou souřadnice, které jsme chtěli vypočítat. 3) Na závěr k těmto souřadnicím přičteme souřadnice rodiče xr, yr, zr a tím těleso v globálních souřadnic posuneme vzhledem k rodiči na správné místo.

30 32 Simulátor sluneční soustavy Element.java coord3d.x += xr; coord3d.y += yr; coord3d.z += zr; Tato třída má za úkol uchovávat hodnoty orbitálních elementů, které se mohou s časem měnit. Obsahuje mechanizmus pro přepočítání hodnoty elementu na aktuální čas. Má 2 instanční proměnné. double x, t základní hodnota a její časová změna za jedno juliánské století. Kromě konstruktorů má jednu metodu: double elementindate(soldate T, SolDate basetime) vrátí hodnotu elementu v čase T, pokud byl element znám v epoše basetime. Převod je podle následujícího vzorce: element = x+ [ t( T basetime) / 36525], kde element je výsledná hodnota a T a basetime jsou juliánská data. SpaceObject.java Toto je nejdůležitější třída matematického modelu, která zprostředkovává vlastní výpočet souřadnic a také uchovává informaci o tom, jak je zadána oběžná dráha tělesa. Předesílám, že všechny úhly jsou počítány v radiánech. Má tyto instanční proměnné: int id jednoznačný identifikátor v rámci soustavy. SpaceObject ho dostane přidělen při vytvoření třídou SpaceSystem. Element Omega, i, omega, a, e zastupují orbitální elementy v tomto pořadí: Ω, i, ω, a, e. Pozor na velké písmeno Omega/omega. Tyto elementy musí být všechny povinně zadány. SolDate epoch vyjadřuje epochu, ke které jsou vztaženy primární elementy. Tato epocha bývá zpravidla u orbitálních elementů zadána, ale je důležitá, pokud chceme počítat časové korekce orbitálních elementů. (Korekce nejsou povinné, jinými slovy hodnoty korigujeme nulovou hodnotou. Každopádně proměnná epoch musí být povinně zadána.) orbitperiod doba oběhu ve dnech. n střední denní pohyb. TPericenter čas průchodu pericentrem. name jméno tělesa, které je zobrazováno. Není povinné, ale je vhodné ho zadat.

31 Simulátor sluneční soustavy 33 Vesmírný objekt lze inicializovat dvěma způsoby. Vždy musíme zadat prvních pět orbitálních elementů a epochu, pro niž jsou tyto elementy známy. Volitelně můžeme zadat také časovou změnu elementů. To je vhodné pro tělesa, která mají svou oběžnou dráhu nestabilní, například komety nebo asteroidy. Nyní máme na výběr: 1) zadáme dobu oběhu a čas průchodu pericentrem. Střední denní pohyb bude dopočítán z doby oběhu. NEBO 2) zadáme střední denní pohyb a střední anomálii, která bylá známa v nějakou dobu. Střední anomálie pro žádaný čas bude dopočítána. V takovém případě není třeba znát dobu oběhu ani čas průchodu pericentrem. Těleso bychom mohli inicializovat i tak, že zadáme známou střední anomálii a dobu oběhu. S touto variantou však GUI nepočítá, toto může být úprava programu, pokud bychom ho případně dále rozšiřovali. Dobu oběhu a tedy i střední denní pohyb bychom také teoreticky zadávat vůbec nemuseli. Dobu oběhu T v rocích můžeme spočítat z hlavní poloosy vzorcem 3 T = a, kam hlavní poloosu a dosazujeme v astronomických jednotkách. Tento výpočet je však zjednodušený. Pro přesnější výpočet bychom potřebovali znát také údaje o hmotnostech planet a to by náš program učinilo opět složitějším. Kromě konstruktorů jsou tedy metody, jak inicializovat objekt, tyto: void setprimaryelements(double Omega, double i, double omega, double a, double e, SolDate epoch) nastaví povinnou část parametrů. void setsecondaryelements(double Omegat, double it, double omegat, double at, double et) nastaví volitelné časové změny orbitálních elementů za juliánské století. void setorbitperiod(double days) a void settimeofpericenter(soldate time) nastaví dobu oběhu ve dnech a čas průchodu pericentrem, volíme-li první možnost. void setm(soldate MEpoch, double M, double n) tuto metodu použijeme při druhé možnosti. Přičemž epochu, kdy známe střední anomálii, můžeme nastavit jinou, než je epocha ostatních orbitálních parametrů. Přesto však bývají orbitální elementy známy pro jednu společnou epochu. Další metody obstarávají výpočet samotných souřadnic: void settime(soldate date) touto metodou stanovíme tělesu čas, pro který budeme počítat souřadnice. Obstará korekci základních pěti orbitálních elementů zabudovaným mechanizmem třídy Element a také zavolá následující metodu, kterou stanoví střední anomálii.

32 34 Simulátor sluneční soustavy double getm(soldate T) přepočítá a nastaví střední anomálii podle toho, jak byl SpaceObject inicializován. použije vzorec M = [ n( T MEpoch)]mod 2π, pokud není známa doba oběhu. Zadaný čas T a MEpoch jsou v juliánském datu. Jinak použije vzorec, využívající čas průchodu pericentrem: M = n[( T TPericenter) modorbitperiod]. Střední denní pohyb pro tyto vzorce obstarává metoda double getn() pokud není znám, tak vypočítá střední denní pohyb z doby oběhu vzorcem 2π n=. orbitperiod Nyní známe všechny orbitální parametry, můžeme tedy pro výpočet pozice volat metodu Coord3D computeposition() vrací pozici objektu v čas, který byl nastaven metodou settime. Při výpočtu se budeme držet postupu popsaném v odstavcích 2.3 a 2.4. Ze střední anomálie M vypočítáme excentrickou anomálii E. Nebudeme ji však počítat metodou postupných aproximací, využijeme zjednodušeného výpočtu, který je pro naše účely dostačující. Excentrickou anomálii získáme pomocí následujícího vzorce: E = M + esinm (1+ ecosm ). Nyní vypočítáme souřadnice xν a yν, které jsou souřadnicemi na elipse. Tento mezikrok nám usnadní výpočet ν. xυ = a(cose e) yυ = a Teď můžeme spočítat veličiny r a ν. 1 e 2 sine υ = arctg2( yυ, xυ), 2 2 r = xυ + yυ kde arctg2(y,x) je funkce, která nám usnadní přepočet správného znaménka úhlu. Je standardně přístupná v knihovně java.lang.math. Je definována následovně.

33 Simulátor sluneční soustavy 35 y arctg, pro x y arctg2( y, x) = arctg + π, pro x y arctg + 2π, pro x ( x> 0) ( y> 0) ( x< 0) ( x> 0) ( y< 0) Nyní už stačí jen veličiny r a ν transformovat do polárních souřadnic x, y a z. x= r y= r z = r ( cosω cos( υ+ ω) sinω sin( υ+ ω) cosi) ( sinω cos( υ+ ω) + cosω sin( υ+ ω) cosi) sin( υ+ ω) sini 4.2 Balíček solarsim Balíček solarsim obsahuje třídy, které jsou potřebné pro celý program a využívají je ostatní balíčky, nebo nejsou svou funkcí charakteristické pro určitou část programu Coord3D.java Tato třída obsahuje asi to, co bychom od ní podle jejího názvu očekávali. Její instance představuje bod v prostoru. Má tedy instanční proměnné, které ukládají jednotlivé kartézské souřadnice. Slouží k ukládání a předávání pozice v prostoru mezi třídami. double x, y, z souřadnice v prostoru. Navíc obsahuje metodu double distance(coord3d other) vypočítá vzdálenost od jiné instance Coord3D podle vzorce uvedeného v odstavci 3.5. Coord3D mul(float constant) tato metoda vrátí novou instanci Coord3D, jejíž všechny souřadnice jsou přenásobeny konstantou v parametru, přičemž původní instance není změněna. Využijeme jí při zavedení měřítka zobrazení SolDate.java Tato třída je potomkem třídy java.util.gregoriancalendar. Usnadňuje zadávání času v minutách, hodinách, dnech, měsících a rocích. Také obsahuje některé nové metody speciálně pro náš účel. Nutno upozornit, že na rozdíl od pole Calendar.MONTH počítá měsíce od 1, nikoliv od 0. To kvůli přizpůsobení se matematickému modelu. Kromě metod a proměnných, které podědila od svého předka, stojí za zmínku tato metoda: double tojuliandate() vrátí hodnotu juliánského data momentu, který představuje. Tento převod se děje podle následujícího postupu:

34 36 Simulátor sluneční soustavy h m JD = d+ c g+ c2 c3 + c ,5+ +, kde JD je juliánské datum, d je počet dní, h je počet hodin a m je počet minut. Ostatní koeficienty získáme následovně. m+ 12, pro( m< 3) f = m, jindy r 1, pro( m< 3) g = r, jindy 153f 457 c1 = 5, g c2 = 4 g c3 = 100 g c4 = 400 kde m je měsíc, r je rok a koeficienty c1 až c4 představují uvedené výrazy s oddělenými celými částmi, jako jejich hodnotu tedy bereme pouze jejich celou část Controller.java Tato třída řídí celý program. GUI jí předává vstupy od uživatele a ta na jejich základě řídí zobrazování, inicializuje matematický model a získává od něj zpracovaná data. Je řešena jako tzv. singleton (jedináček). Znamená to, že nemá žádný veřejný konstruktor. Ostatní instance k ní přistupují přes statickou metodu getinstance, která zaručí, že bude vždy existovat pouze jedna instance této třídy. Pokud byla už vytvořena, vrátí ji. Pokud ne, vytvoří jí. V pseudokódu ukáži stavbu singletonu: public class Controller { private static Controller INSTANCE = null; private Controller() {... } } public static Controller getinstance() { if (INSTANCE == null) { INSTANCE = new Controller(); } return INSTANCE; } Tato třída při svém vytváření (tedy svým privátním konstruktorem) volá metodu pro načtení Sluneční soustavy ze souboru.

35 Simulátor sluneční soustavy 37 SpaceSystem loadspacesystem(string file) načte ze souboru serializovanou, dříve uloženou sluneční soustavu. Pokud soubor neexistuje, volá následující metodu, která vytvoří implicitní soustavu s parametry danými pevně v kódu. SpaceSystem createsolarsystem() vytvoří instanci SpaceSystem a naplní ji těmito nejvýznamnějšími tělesy sluneční soustavy se všemi parametry tak, aby bylo možno počítat jejich pozice a vykreslovat je: Slunce, Merkur, Venuše, Země, Mars, Jupiter, Saturn, Uran, Neptun a Pluto. Kromě Slunce se jedná o všechny planety sluneční soustavy a Pluto, které ještě donedávna za planetu považováno bylo a je notoricky známé. SpaceObject initspaceobject(spaceobject objecttoinit, HashMap<String, Object> params) tato metoda vytvoří a inicializuje novou instanci třídy SpaceObject na základě parametrů. Parametry jsou předávány pomocí kolekce HashMap<String, Object>, která obsahuje zadané povinné i nepovinné parametry namapované na řetězce pojmenovávající tyto parametry. O správnost inicializace (tedy úplnost povinných parametrů) se stará už GUI při vstupu. updatesystem(orbitalsystem toupdate, HashMap<String, Object> params) metoda je použita, pokud chceme z GUI upravit některý z parametrů tělesa. Funguje jednoduše tak, že objekt vyhledá podle id v soustavě a nahradí ho novým objektem inicializovaným metodou initspaceobject. void initview(canvas3d canvas, SolDate inittime) metoda, která zprostředkovává a řídí inicializaci 3D zobrazovače. 3D zobrazovači předává plátno canvas, na které bude 3D scéna vykreslena a úvodní čas. Metoda získá z matematického modelu první souřadnice a předá je zobrazovači. Zároveň zavolá inicializační metodu zobrazovače. void actionperformed(actionevent e) třída Controller implementuje rozhraní ActionListener. Tato třída implementuje jeho jedinou abstraktní metodu. Je vyvolána Timerem z GUI, pokud je aktivována funkce krokovače. Krokovač bude popsán později. double computedistance(int id1, int id2, SolDate time) zprostředkovává GUI výpočet vzdálenosti mezi dvěma objekty, způsob výpočtu je popsán v kapitole 4.2.1, resp List<LinkedList<Coord3D>> getplanetaryellipses() je užitečná k vytvoření křivek oběžných drah planet. Křivkou je přesněji řečeno kolekce LinkedList<Coord3D>, která je seznamem bodů. Každá křivka je získána následující metodou: LinkedList<Coord3D> getellipse(spaceobject object) vrátí seznam bodů. Pokud tyto body postupně spojíme čarami, získáme mnohoúhelník, vepsaný do oběžné dráhy tělesa. Tato procedura je nutná, protože Java3D umí vykreslovat křivky pouze jako množinu úseček. Body získáme následujícím způsobem. Zvolíme počet segmentů, ze kterých se bude

36 38 Simulátor sluneční soustavy křivka skládat. Pokud není známá doba oběhu počítaného tělesa, vypočítáme jí přibližně podle vzorce v kapitole Nyní vydělíme oběžnou dobu počtem segmentů a zjistíme tak, za jakou dobu těleso urazí vzdálenost mezi krajními body segmentu, časový krok. Zvolíme počáteční bod (přesněji čas). Vypočítáme polohu tělesa v tomto čase a výsledný bod uložíme jako první bod do kolekce bodů. K výchozímu času přičteme časový krok (pomocí metody zděděné ze třídy GregorianCalendar) a vypočítáme novou pozici, kterou opět uložíme do kolekce. Toto opakujeme, dokud neobkroužíme celou elipsu, tedy dokud nepřičteme postupně celou dobu oběhu. Další dvě metody jsou si podobné: Vector<Eclipse> getsolareclipses(int lowerlimit, int upperlimit) získá zatmění Slunce. Vector<Eclipse> getlunareclipses(int lowerlimit, int upperlimit) získá zatmění Měsíce. Obě počítají úplná zatmění. Využívají při tom opakování toho jevu za jeden saros, jak byl popsán v kapitole 3.6. Jediný rozdíl mezi nimi je v tom, že jedna má uložena úplná zatmění Slunce v letech , druhá má uložena úplná zatmění Měsíce v letech (Vypozorovaná nebo předpovězená.) Dokáží dopočítat přibližnou dobu zatmění mezi libovolnými dvěma lety. Mechanizmus výpočtu pomůže vysvětlit obrázek 6. Nejprve se posuneme zpět v obdobích tak, že vyjmeme poslední známé datum zatmění, odečteme od něj saros a vložíme ho na začátek seznamu. Tento postup opakujeme, dokud se nedostaneme na spodní požadovanou hranici. (Pokud už není vyšší, než poslední známé datum.) Tento posun obstarává metoda void movebackwardto(linkedlist<eclipse> eclipses, SolDate lowerlimit). Posun znázorňuje horní schéma obrázku 6. Nyní kopírujeme do výsledného seznamu tak dlouho, dokud se nedostaneme na horní hranici. Pokud je rozmezí delší, než je délka sarosu, tak zkopírujeme první datum zatmění, přičteme saros a vložíme ho na poslední pozici. Pak druhý, třetí atd. až do horní hranice. Toto znázorňuje spodní schéma obrázku 7. Zajišťuje to tato medota: Vector<Eclipse> copyforwardtolimit(linkedlist<eclipse> eclipses, SolDate lowerlimit, SolDate upperlimit)

37 Simulátor sluneční soustavy 39 Obrázek 7: Schéma výpočtu zatmění Eclipse.java Toto je jednoduchá třída, která uchovává informaci o výskytu zatmění, tedy čas. Má dvě jednoduché metody usnadňující předpověď. Eclipse addsaros() přičte 6585 dní a 8 hodin, což odpovídá sarosu a vrátí tuto hodnotu. Eclipse subtractsaros() stejná metoda, ale odečítá. Navíc je její metoda tostring upravená tak, aby zohledňovala přesnost, s jakou zatmění dostaneme. Místo přesného času se dozvídáme jen dopoledne, večer apod. 4.3 Balíček solarsim.graphicengine Tento balíček sdružuje třídy, které se schovávají za výše uvedeným pojmem zobrazovač. Současně se také starají o některé další parametry nebeských těles, které nepokrývá matematický model a které jsou užitečné například k zobrazování GraphicEngine.java Třída je tím, co můžeme nazvat zobrazovač. Pomocí knihoven API Java3D vytvoří 3D scénu. Zájemcům o Javu3D doporučuji prostudovat pěkně zpracovaný tutoriál, který lze stáhnout na [4]. Scéna je reprezentována stromem, ve kterém se vyskytují větvící a transformační uzly, v listech jsou zobrazované objekty. Tento strom nemá nic společného s reprezentací sluneční soustavy v matematickém modelu. To, jak bude objekt renderován, určuje jednak jeho poloha ve stromu a jednak reference na instanci třídy Appearance. Tato třída určuje vzhled objektu. Určením barev, které bude těleso odrážet je dána jeho finální barva. Lze také nastavit texturu. Java3D dává velké možnosti, jak 3D scénu vytvářet. Naše scéna je vlastně poměrně jednoduchá. Vytvářené větve obsahují transformace, které objekt posunou na jeho pozici a listem je koule představující planetu. Informace nutné pro

38 40 Simulátor sluneční soustavy zobrazení 3D engine získá z instancí objektu ObjectToShow. V objektu je také definován vzhled Appearance, jenž je vytvořen předem. Kromě koulí, představující planety, strom obsahuje také mnohoúhelníky elips, pokud mají být vykresleny. Ty jsou reprezentovány objekty třídy LineStripArray. void createscenegraph(linkedlist<objecttoshow> objects, LinkedList<LineStripArray> curves) metoda inicializuje scénu. Zavolá postupně metody obstarávající: - vytvoření prostoru pro vykreslování a přiřazení plátna, které dostaneme z GUI, - vytvoření stromu zobrazovaných objektů, - vytvoření světel, - nastavení kamery, - vytvoření křivek a jejich přidání do grafu, - a nastavení vzdálenosti, ze které jsou objekty viditelné. BranchGroup createbranchgroup(objecttoshow object) vytvoří větev grafu s jedním nebeským objektem. Vytvoření probíhá tímto způsobem: - vytvoření větve, - vytvoření a nastavení transformace, která zajistí umístění objektu, - vytvoření geometrického tvaru v našem případě koule, - přiřazení vzhledu (textury a barvy), - sestavení větve. Toto sestavení musí proběhnout až na závěr. V momentě, kdy uzel vložíme do stromu, stává se tzv. živým. Tím rendereru umožníme, aby ho vykreslil. Živým objektům už nelze nastavovat žádné atributy, pokud to není explicitně povoleno za nějakým dalším účelem. Toto explicitní povolení provedeme například u transformací, protože budeme chtít s objektem znovu hýbat. Další metody jsou víceméně standardní postupy, jak vytváříme 3D scénu a nejsou příliš zajímavé. Zmíníme ještě jednu poslední: void keypressed(keyevent e) GraphicEngine implementuje interface KeyListener, který svému potomku umožňuje reagovat na stisknutí klávesy. Toto je jediná implementovaná metoda. Získá ze své události e, jaká klávesa byla stisknuta, a podle toho vykoná funkci. Je použita k ovládání kamery. Metoda reaguje na následující klávesy: A nebo D cykluje mezi vystředěnými tělesy. W, resp. S přiblíží, resp. oddálí kameru. Každá tato událost zvětší, resp. zmenší vzdálenost kamery od tělesa, a to ne o konstantní hodnotu, ale na základě momentální vzdálenosti. Díky tomu se dál od tělesa přibližujeme, resp. vzdalujeme rychleji. Zoom je tak intuitivnější a přirozenější. kurzorové šipky otáčí kamerou do strany kolem tělesa, resp. zvyšují a snižují kameru nad jeho horní (severní) polokoulí.

39 Simulátor sluneční soustavy ObjectToShow.java Hlavní funkcí této třídy je přenos souřadnic mezi matematickým modelem a 3D enginem. Nese některé další informace o zobrazení objektu v kolekci HashMap<String, Object> params. Tato kolekce si podle klíčů typu String bere parametry, pokud existují. Obsahuje část logiky, která poskytuje 3D enginu nutné vzdálenosti a rozměry. Pokud je například ViewHelperem nastaveno zapnuté měřítko, vrací souřadnice vydělené konstantou. To způsobí zkrácení vzdáleností. Druhou úpravou je průměr planety jako výsledek logaritmické funkce tělesa jsou nyní ve srovnatelných velikostech. Nastavuje barvu tělesa a načítá texturu ze souboru, pokud existuje ParameterAssigner.java Jak název napovídá, stará se o přiřazování parametrů instancím ObjectToShow podle jejich id. Co je však obzvláště důležité, skladuje tyto parametry za běhu programu a navíc je načítá a ukládá do souboru. Z tohoto důvodu je ParameterAssigner vhodný i pro ukládání ostatních parametrů, například linků na internetové stránky obsahující další informace. Tyto linky jsou otvíratelné a editovatelné přes GUI. Stejně jako Controller, je to singleton. Při svém prvním zavolání se pokusí načíst uložené parametry ze souboru. Pokud soubor neexistuje, inicializuje se jako prázdný. Parametry jsou uloženy v této kolekci: HashMap<Integer, HashMap<String, Object>> params jedná se o mapu, jejíž klíčem je id objektu a hodnotou je kolekce parametrů. void assignparameters(list<objecttoshow> objects) tato metoda kolekci instancí ObjectToShow přiřadí jejich parametry. void addparameter(int id, String key, Object value) vloží do úložiště parametrů nový parametr podle id. Object getparameter(int id, String key) získá parametr s klíčem key od objektu s daným id. void clearparameters(int id) odstraní z úložiště všechny parametry objektu s daným id. void clearmap() smaže úložiště a také případný soubor, kde jsou uloženy. void saveparams() uloží úložiště do souboru. Metoda je volána, pokud přidáváme parametr a tím je zaručeno, že o ně nepřijdeme. Těchto několik jednoduchých metod nám zprostředkovává užitečný a praktický nástroj pro spravování parametrů. Díky němu není problém do programu zakomponovat další parametry bez výrazných úprav kódu.

40 42 Simulátor sluneční soustavy ViewHelper.java A konečně třída ViewHelper je pomocníkem třídy Controller. Jejím prostřednictvím je řízen samotný generátor 3D scény. Připravuje data pro zobrazení a stará se o řízení přiřazování parametrů, které se přímo nepodílí na výpočtu polohy planet. void initengine(canvas3d canvas, SpaceSystem system) vytvoří a zaregistruje novou instanci třídy GraphicEngine. Nastaví, zda bude při zobrazení použito měřítko. Tuto informaci získá od Controlleru. Nastavuje implicitní vzdálenost kamery, říká všem instancím ObjectToShow, zda mají použít měřítko, inicializuje KeyListener instanci GraphicEngine kvůli reakci na klávesy atd. void addcurve(linkedlist<coord3d> elipse) spočítá souřadnice mnohoúhelníku elipsy podle měřítka a přidá je do seznamu křivek. Tyto křivky budou vykresleny grafickým enginem. void repaintview(spacesystem system) Poslední důležitá metoda, která je volána Controllerem v režimu krokovače. Způsobí pouze posun už vytvořených těles do nových souřadnic. 4.4 Balíček solarsim.gui Zde popíšeme pouze některé důležité funkce v rámci celého GUI, protože jeho třídy neobsahují žádnou zajímavou logiku. Mnohem lépe GUI poznáme v kapitole 5, kde budou vidět screenshoty z programu, a tedy to, co je na GUI důležité. Snad jedinou důležitou funkcí GUI je časování v režimu krokovače. Krokovač periodicky vykresluje scénu a při tom vždy vykoná posun v čase zobrazované soustavy. Tímto způsobem vlastně můžeme vytvořit iluzi animace při vhodně zvolených parametrech. Pokud je tedy tato funkce zapnutá, je spuštěna instance typu javax.swing.timer, které je předán Controller. Timer poté opakovaně v určitém intervalu generuje ActionEvent, na kterou Controller reaguje a volá metody pro výpočet nových souřadnic v novém čase a překreslení scény, jak bylo popsáno v odstavci GUI využívá komponentu kalendáře z knihovny jcalendar.jar. Tato knihovna je součástí open source frameworku OpenSwing, který je ke stažení na [32]. Použitá verze frameworku je Zmíním se snad ještě o třídě BrowserControll, jednoduché statické třídě, která umožňuje otevřít v operačním systému implicitní webový prohlížeč a zobrazit URL. Okna jsou vytvořena s pomocí knihovny javax.swing. Konec nudné části. :-)

41 Simulátor sluneční soustavy 43 5 Výsledky testování 5.1 Výstupy 3D zobrazení Obrázek 8:Základní pohled na soustavu Na obrázku 8 vidíme sluneční soustavu tak, jak je vykreslena v módu s elipsami a bez zapnutého zkracování vzdáleností měřítka. Barevné čáry značí souřadnicové osy: světle modrá, červená a zelená jsou kladné osy x, y a z. Tmavé čáry jsou příslušné záporné osy. Obrázek 9: Rotace kamery

42 44 Simulátor sluneční soustavy Na obrázku 9 vidíme pohled, kterého dosáhneme rotací kamery šipkami a použitím zoomu. Všimněme si výrazné exentricity a inklinace dráhy Pluta. Obrázek 10: Oběžné dráhy v zobrazení se zapnutým měřítkem Můžeme vidět, že použití měřítka nám poskytuje kompaktní pohled na soustavu. Vypočítané oběžné dráhy dobře souhlasí s polohami těles. Levý informační panel ukazuje jméno vystředěného objektu a jeho skutečné souřadnice v ekliptikální souřadnicové soustavě. Obrázek 11: Špatně zobrazený Měsíc při zapnutém měřítku Nevýhodou zkrácených vzdáleností je to, že tělesa s příliš malými rozestupy se zobrazují přes sebe nebo dokonce do sebe. Obrázek 11 ukazuje, že zemský

43 Simulátor sluneční soustavy 45 Měsíc je uvnitř planety. (Všimněte si v levém panelu, že vystředěným tělesem je ve skutečnosti Měsíc.) Obrázek 12: Měsíc zobrazený správně v módu vypnutého měřítka 12 ukazuje, že při zobrazení v reálných poměrech jsou velikosti i vzdálenosti zachovány. Můžeme vidět Zemi, jak bychom jí viděli zpoza Měsíce. Obrázek 13: Venuše se svou oběžnou dráhou bez zapnutého měřítka

44 46 Simulátor sluneční soustavy Jak ukazuje obrázek 13, zobrazení v reálných poměrech vzdáleností má i svou nevýhodu. Projevuje se nepřesnost, které jsme se dopustili, když jsme elipsy nahradili mnohoúhelníky. Aktuální poloha planety neleží přesně na křivce. Obrázek 14: Phobos nad povrchem Masu Na obrázku 14 vidíme Marsův měsíc Phobos při maximálním přiblížení. Průměr Phobosu je jen 22 km. Není potažen texturou, je zobrazen ve světle šedivé barvě. Obrázek 15: Jupiter se svými měsíci

45 Simulátor sluneční soustavy 47 Zde je vidět Jupiter se svými čtyřmi velkými měsíci Io, Europou, Ganimedem a Callistem. Nenechte se zmást jejich velikostí na obrázku. Jupiter je největší planetou sluneční soustavy a jeho měsíc Ganimed je větší, než Merkur! Obrázek 16: Demonstrace krokovače, první část 16 ukazuje zobrazení planet se spuštěným krokovačem v módu s měřítkem. Obrázek 17: Demonstrace krokovače, druhá část 17 ukazuje postavení planet po uplynutí několika měsíců od scény 16. Krásně zde můžeme vidět, jak se třetí Keplerův zákon projeví na dobách oběhu planet. Zatímco Země urazila čtvrtinu oběžné dráhy, Venuše jí dohnala a přiblížila se. Merkur mezitím stačil vykonat téměř celý jeden oběh.

46 48 Simulátor sluneční soustavy 5.2 Srovnání s jinou implementací Obrázek 18: Pohled na sluneční soustavu shora Obrázek 19: Sluneční soustava shora podle jiného simulátoru Na obrázcích 18 a 19 můžeme srovnat vypočtené oběžné dráhy planet z našeho programu a výstup z jiného online simulátoru, který je dostupný online na [31]. Podobnost je nápadná, což je dobrou známkou správné funkce.

47 Simulátor sluneční soustavy Ostatní funkce programu a srovnání s jinými zdroji Kalkulačka vzdáleností Jako referenční bod si zvolíme čas při průchodu Země pericentrem. Jsou-li pozice planet spočítány správně, bude vypočtená vzdálenost shodná s nejmenší vzdáleností Země od Slunce. Obrázek 20: Kalkulačka vzdálenosti Zvolili jsme datum Toto je nejbližší průchod Země pericentrem. Vypočtená vzdálenost mezi Zemí a Sluncem je km. Podle [5] je vzdálenost Země od Slunce v pericentru km. Lišíme se tedy o pouhých 454 km, tj o %. To je více než dobrý výsledek.

48 50 Simulátor sluneční soustavy Správce objektů Obrázek 21: Vkládání Měsíce Obrázek 20 zachycuje okno, jehož prostřednictvím upravujeme sluneční soustavu. Vlevo vidíme strom těles ve sluneční soustavě. Listy jsou znázorněny hnědou planetkou, uzly (tělesa, které mají nějaký další satelit) jsou znázorněny modrou planetkou s měsícem. Při vkládání tělesa vyplníme orbitální elementy, jejich případné časové změny, epochu. Máme na výběr ze dvou možností, podle kterých bude počítána střední anomálie. Dále můžeme ještě vyplnit volitelné a doplňující položky. Více informací o vkládání tělesa je v příloze D-2. Do položky link můžeme uložit webovou adresu, případně URL na lokální soubor s informacemi o tělese. Editor umožňuje také editovat a mazat tělesa ze soustavy. Důležitou funkcí je uložení soustavy. Pokud ji neuložíme, ztratíme bohužel po ukončení programu všechna naposledy vložená data.

49 Simulátor sluneční soustavy Počítadlo zatmění Tato funkce nám poskytne data a přibližnou dobu ve světovém čase, kdy dojde k úplnému zatmění Slunce nebo Měsíce v daném časovém rozsahu. Obrázek 22: Zatmění Slunce a Měsíce Na obrázku 21 vlevo vidíme nalezená úplná zatmění Slunce, která nastanou v letech Můžeme si všimnout, že už bude úplné zatmění Slunce, což je v době psaní této práce jen za pár týdnů. :-) Vpravo potom vidíme úplná zatmění Měsíce, která nastala v letech Výsledky se shodují s [24] včetně přibližných denních dob. 6 Závěr 6.1 Zhodnocení splnění cílů V úvodu své práce jsem shrnul teorii, která popisuje pohyb nebeských těles ve sluneční soustavě. Na základě těchto vztahů jsem vytvořil matematický model, který popisuje sluneční soustavu dostatečně obecně. Model vzal v úvahu některá zjednodušení v rámci zachování dostatečné přesnosti. Dokáže počítat souřadnice zadaných vesmírných těles v zadaném čase. Tento model se stal základním stavebním kamenem programu, který počítá a zobrazuje polohy nebeských objektů ve trojrozměrném prostředí. Byly implementovány další funkce, které dokáží v prostředí vykreslovat oběžné dráhy nebo zlepšují názornost vykreslené scény.

50 52 Simulátor sluneční soustavy Téměř samostatná funkce, která však využívá také matematického modelu, je kalkulačka vzdáleností mezi tělesy pro zadanou dobu. Program se zabývá také zatměním Slunce a Měsíce. Umí vypočítat datum a přibližnou dobu, kdy dojde k úplnému zatmění. Nevyužívá pro tento výpočet přímo matematický model, ale jednodušší mechanizmus, využívající zákonů opakovatelnosti jevu. Zjištění oblasti na zemském povrchu, kde by bylo zatmění pozorovatelné, však vyžaduje mnohem hlubší prozkoumání dané problematiky. Součástí programu je také malý soubor dat, které jsou k vyhledání na internetu Implementována je i podpora získávání dalších informací. Myslím si, že program společně s teorií shrnutou v tomto textu poskytuje velice názornou představu o fungování nebeské mechaniky a o způsobech zjišťování polohy tělesa ve vesmíru. Umím si představit, že by byl program využit například jako ilustrační výuková pomůcka. Ti, které program zaujme, mohou hledat další teoretické informace v tomto doprovodném textu. 6.2 Úvaha o dalším rozšíření programu Program je určen především pro simulaci pohybu ve sluneční soustavě. Matematický model je však dostatečně obecný, abychom ho mohli použít pro simulaci i jiných vesmírných oběžných soustav. Optimalizací kódu bychom jistě dosáhli úspory výpočetního času, a tak umožníme simulovat například celé galaxie. Matematický model má některá omezení, která jsem však pochopil až později při zkoumání problematiky. Drobnými úpravami bychom docílili mnohem širšího využití modelu a tedy i celého programu. Pro naše účely jsem zvolil poměrně jednoduchou strukturu vytváření trojrozměrné scény. Java3D je však silným nástrojem pro zobrazování 3D prostoru. Program ani zdaleka nevyužívá všech možností Java3D, a proto bychom dokázali vytvořit mnohem lépe propracované zobrazovací prostředí. Při testování programu jsem dospěl k názoru, že vkládání nových těles je trochu těžkopádné. Pokud bychom pracovali s větším objemem dat, jistě by se vyplatilo vytvořit mnohem inteligentnější a intuitivnější prostředí pro práci s těmito daty. Osobní dovětek Jsem rád, že jsem si jako téma práce zvolil právě tuto tématiku. Přestože jsem se nikdy astronomii aktivně nevěnoval, vždycky mě přitahovala. Práce na programu mi umožnila spojit zajímavé a užitečné do jednoho celku.

51 Simulátor sluneční soustavy 53 Přílohy A Tabulka orbitálních elementů planet Orbital Elements for Major Planets (J2000 = 2000 Jan 1, 12h UTC): a i Omega w Planet AU e deg deg deg Mercury Venus Earth Mars Jupiter Saturn Uranus Neptune Pluto Orbital Elements' Centennial Rates for Major Planets: a e i Omega w Planet AU/Cy /Cy "/Cy "/Cy "/Cy Mercury Venus Earth Mars Jupiter Saturn XI Uranus Neptune Pluto VII a hlavní poloosa e excentricita i inklinace Omega délka vzestupného uzlu w šířka perihelu Cy juliánské století = dní deg úhlový stupeň (zdroj [22])

52 54 Simulátor sluneční soustavy B Průchody pericentrem a doby oběhu planet planeta čas doba oběhu Merkur Venuše Země Mars Jupiter Saturn Uran Neptun X Pluto X (zdroj:[5] a [28]) C Orbitální elementy dalších těles Tyto tabulky obsahují všechny informace vybraných těles nutné pro zobrazení v simulátoru ve správných jednotkách. jméno Měsíc Phobos Deimos Io Europa Ganymed centrum Země Mars Mars Jupiter Jupiter Jupiter Ω[rad] i[rad] ω[rad] a[mil. km] e[-] M[rad] n[rad/den] epocha , 0: , 0: , 0: , 0: , 0: , 0:00 tilt[rad] RA[rad] půměr[km] ,2 12.IV jméno Amalthea Thebe Adrastea Metis Mimas Enceladus centrum Jupiter Jupiter Jupiter Jupiter Saturn Saturn Ω[rad] i[rad] ω[rad] a[mil. km] e[-] M[rad] n[rad/den] epocha , 0: , 0: , 0: , 0: , 0: , 0:00 tilt[rad] RA[rad] půměr[km] IV

53 Simulátor sluneční soustavy 55 jméno Tethys Dione Rhea Titan Hyperion Iapetus centrum Saturn Saturn Saturn Saturn Saturn Saturn Ω[rad] i[rad] ω[rad] a[mil. km] e[-] M[rad] n[rad/den] epocha , 0: , 0: , 0: , 0: , 0: , 0:00 tilt[rad] RA[rad] půměr[km] jméno Phoebe Ariel Umbriel Titania Oberon Miranda centrum Saturn Uran Uran Uran Uran Uran Ω[rad] i[rad] ω[rad] a[mil. km] e[-] M[rad] n[rad/den] epocha , 0: , 0: , 0: , 0: , 0: , 0:00 tilt[rad] RA[rad] půměr[km] jméno Triton Nereid Charon UM126 centrum Neptun Neptun Pluto Slunce Ω[rad] i[rad] ω[rad] a[mil. km] e[-] M[rad] n[rad/den] epocha : : : , 0:00 tilt[rad] RA[rad] půměr[km] (zdroj: [29] a [30])

54 56 Simulátor sluneční soustavy D Uživatelská příručka D-1 Nároky na systém Program byl testován na počítači s procesorem Intel Celeron III, 1,7 GHz, s 1GB operační paměti s operačním systémem Windows XP Home Edition. Na přiloženém CD naleznete vše potřebné. Připojené knihovny jsou určeny pro platformu Windows. Jedná se o jar archiv, ke spuštění je tedy nutno mít v systému nainstalován Java JRE. Není vyloučena správná funkce i s nižší verzí, doporučuji však verzi nejméně 1.6.0, update 3. V adresáři Java jsou instalátory verze 1.6.0, update 7 pro Windows a Linux. Součástí adresáře SolarSim jsou také knihovny nutné pro generování 3D scény frameworku Java3D ve verzi pro Windows. Pokud bychom chtěli program pustit v systému Linux, musíme nahradit soubor j3dcoreogl.dll jeho Linuxovou verzí. V případě potíží může problém vyřešit nainstalování Javy3D do systému. Obě verze knihoven jsou přístupné v adresáři Java3D buď jako instalátor nebo zabalené knihovny pro manuální instalaci. Program je kompatibilní s verzí Java3D V systému Linux pravděpodobně nebudou fungovat implicitně uložené linky u těles sluneční soustavy, protože jsou v notaci užívané ve Windows. Uživateli ovšem nic nebrání si je aktualizovat. Pro více informací doporučuji prohlédnout soubory readme.txt v příslušných adresářích. D-2 Ovládání SolarSimu krok za krokem Přiložené CD obsahuje zkompilovaný program v adresáři SolarSim, který je určen ke spuštění. Spustíme soubor SolarSim.jar podobně jako exe soubor. Otevře se nám následující okno:

55 Simulátor sluneční soustavy 57 Vidíme modou plochu, na které se bude zobrazovat 3D scéna a ovládací prvky na levé straně. Nejprve je třeba vždy nastavit parametry vykreslení, pak scénu vygenerujeme tlačítkem Ukaž. Nastavení parametrů vykreslení: - V levém horním rohu je ikona kalendáře. Po jejím nakliknutí se zobrazí dialogové okno, ve kterém můžeme volit datum v kalendáři. Posuvníky nastavují čas: - Check Box Zobrazit elipsy nám umožní vypnout nebo zapnout vykreslení trajektorií těles. - Po zaškrtnutí Check Boxu Zapnout krokovač se nám aktivuje panel nastavení krokovače: Hodnotou krok nastavíme, o kolik se bude měnit čas soustavy každou periodu krokovače. Hodnotou časování nastavíme periodu opakování. Čím menší, tím častěji se bude scéna překreslovat. Jsou to celá čísla. Tip: Optimálním nastavením obou hodnot můžeme dosáhnout vjemu plynulého pohybu. - Check Boxem Zapnout měřítko nastavíme, jestli mají být tělesa zobrazována ve srovnatelných velikostech a blíž u sebe nebo ve skutečných poměrech vzdáleností a velikostí. Pro začátek doporučuji nechat zaškrtnuté.

56 58 Simulátor sluneční soustavy Jsme-li s nastavením spokojeni, stiskneme Ukaž (resp. Start, pokud jsme aktivovali krokovač). Soustava se vykreslí, případně začne cyklicky zobrazovat scénu. Uvidíme asi něco takového: Pokud je krokovač aktivní, nemůžeme měnit nastavení scény až do kliknutí na Stop. Světle modrá čára značí kladnou osu x, světle červená je y a zelená je kladná osa z. Tmavé barvy mají záporné souřadnice. Osa x směřuje do jarního bodu Slunce. Nyní můžeme pohybovat kamerou pomocí šipek: A a D mění těleso, na které je vycentrovaná kamera (jeho jméno a skutečné souřadnice v milionech km je zobrazeno v levém panelu). Při tom se vždy kamera přiblíží do správné vzdálenosti. W a S ovládá přiblížení. Kurzorovými šipkami otáčíme kamerou do stran a vertikálně. Až si užijeme zobrazení základní soustavy, můžeme se podívat na vkládání nových těles. V adresáři Data se nachází už Sluneční soustava s nějakými vloženými tělesy. Nechce-li se nám vkládat tělesa ručně, vypneme program, nahrajeme soubory (případně nahradíme) podle instrukcí v souboru Data/readme.txt, a spustíme ho znovu. Soubory se nahrají. Vraťme se tedy ke vkládání nových těles. Klikněte na Správa objektů. Otevře se nové okno.

57 Simulátor sluneční soustavy 59 Vlevo vidíme strukturu soustavy. Při označení tělesa vidíme vyplněné orbitální elementy a další hodnoty. Nyní se podívejte se do souboru Data/orbital_elements.xls. Zde jsou připravené vstupní parametry ve správných jednotkách. Vybereme si nějaký objekt. Nyní označíme v levém stromu centrum, kolem kterého bude objekt obíhat a stiskneme Smazat pole. Formulář se vymaže a můžeme vkládat nové hodnoty. Copy and pasteněte hodnoty ze souboru do formuláře. Nezapomeňte kalendářem nastavit epochu. Máme-li vhodnou texturu, kterou bychom objekt potáhli, můžeme ji vybrat tlačítkem Procházet. Do pole link můžeme vložit URL (kompletní) na internet nebo lokální soubor s informacemi o tělese. Stiskněte Vložit objekt, Strom se překreslí. Když ho znovu otevřeme, nový objekt je už v soustavě. Objekty můžeme i mazat tak, že ho jednoduše označíme ve stromu a zmáčkneme Smazat objekt. Konečně objekt můžeme také upravit, když přepíšeme hodnotu zobrazenou ve formuláři a stiskneme Aktualizovat objekt. Nyní doporučuji zmáčknout Uložit soustavu. Pokud to neuděláme, můžeme se soustavou dál pracovat a vykreslovat jí, ale všechny vložené informace ztratíme po ukončení programu. Nyní jsou nové objekty ve sluneční soustavě. Soustavu znovu vykreslíme známým způsobem. Nové objekty nyní vidíme a můžeme na ně i klávesami zaměřit kameru. Nyní se podíváme na počítání vzdáleností. V hlavním okně stiskněte Kalkulačka vzdáleností. Otevře se nové okno.

58 60 Simulátor sluneční soustavy Ve dvou stromech označíme tělesa, mezi nimiž chceme měřit vzdálenost. Kalendářem nastavíme čas a datum. Stiskneme Vypočti. Zobrazí se vzdálenost mezi objekty v daný čas. Okno nyní zavřeme a podíváme se na poslední funkci, kterou je vygenerování doby zatmění v určitém rozmezí let. V hlavním okně zvolíme Počítadlo zatmění.

59 Simulátor sluneční soustavy 61 V nově zobrazeném okně vybereme, jestli chceme počítat úplné zatmění Slunce nebo Měsíce. Nastavíme mezní roky a zmáčkneme Generuj. V bílém poli se zobrazí data a přibližné denní doby zatmění vztažené ke světovému času. Tím jsme pokryli všechny funkce SolarSimu. Doufám, že se Vám líbí.

1.6.9 Keplerovy zákony

1.6.9 Keplerovy zákony 1.6.9 Keplerovy zákony Předpoklady: 1608 Pedagogická poznámka: K výkladu této hodiny používám freewareový program Celestia (3D simulátor vesmíru), který umožňuje putovat vesmírem a sledovat ho z různých

Více

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze - role vztažné soustavy - modely Sluneční soustavy stejná pozorování je možné vysvětlit různými modely! heliocentrický x geocentrický model Tanec

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Geodetická astronomie 3/6 Aplikace keplerovského pohybu

Více

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Astronomové při sledování oblohy zaznamenávají především úhly a pozorují něco, co se nazývá nebeská sféra. Nicméně, hvězdy nejsou od Země vždy

Více

Úvod do nebeské mechaniky

Úvod do nebeské mechaniky OPT/AST L09 Úvod do nebeské mechaniky pohyby astronomických těles ve společném gravitačním poli obecně: chaotický systém nestabilní numerické řešení speciální případ: problém dvou těles analytické řešení

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 2/3 GPS - Výpočet drah družic školní rok

Více

Základní jednotky v astronomii

Základní jednotky v astronomii v01.00 Základní jednotky v astronomii Ing. Neliba Vlastimil AK Kladno 2005 Délka - l Slouží pro určení vzdáleností ve vesmíru Základní jednotkou je metr metr je definován jako délka, jež urazí světlo ve

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 III/2 Inovace a

Více

Projekt Obrázek strana 135

Projekt Obrázek strana 135 Projekt Obrázek strana 135 14. Projekt Obrázek 14.1. Základní popis, zadání úkolu Pracujeme na projektu Obrázek, který je ke stažení na http://java.vse.cz/. Po otevření v BlueJ vytvoříme instanci třídy

Více

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM CÍLE KAPITOLY Využívat pokročilé možnosti formátování, jako je podmíněné formátování, používat vlastní formát čísel a umět pracovat s listy. Používat

Více

1.1.3 Práce s kalkulátorem

1.1.3 Práce s kalkulátorem .. Práce s kalkulátorem Výrazy zadáváme do kalkulačky pokud možno vcelku, pozor na závorky a čísla ve jmenovateli u zlomků. Př. : Spočti na kalkulačce s maximální možnou přesností a bez zapisování mezivýsledků:

Více

7.Vesmír a Slunce Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

7.Vesmír a Slunce Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Planeta Země 7.Vesmír a Slunce Planeta Země Vesmír a Slunce Autor: Mgr. Irena Doležalová Datum (období) tvorby: únor 2012 červen 2013 Ročník: šestý Vzdělávací oblast: zeměpis Anotace: Žáci se seznámí se

Více

1 Newtonův gravitační zákon

1 Newtonův gravitační zákon Studentovo minimum GNB Gravitační pole 1 Newtonův gravitační zákon gravis latinsky těžký každý HB (planeta, těleso, částice) je zdrojem tzv. gravitačního pole OTR (obecná teorie relativity Albert Einstein,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

KEPLEROVY ZÁKONY. RNDr. Vladimír Vaščák. Metodický list

KEPLEROVY ZÁKONY. RNDr. Vladimír Vaščák. Metodický list KEPLEROVY ZÁKONY RNDr. Vladimír Vaščák Metodický list RNDr. V L A D I M Í R V A Š Č Á K Metodický list RNDr. Vladimír Vaščák www.vascak.cz Obsah O aplikaci... 1 Verze pro PC, ipad a Android... 2 1. Keplerův

Více

ASTRO Keplerovy zákony pohyb komet

ASTRO Keplerovy zákony pohyb komet ASTRO Keplerovy zákony pohyb komet První Keplerův zákon: Planety obíhají kolem Slunce po elipsách, v jejichž společném ohnisku je Slunce. Druhý Keplerův zákon: Plochy opsané průvodičem planety za stejné

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

StatSoft Jak vyzrát na datum

StatSoft Jak vyzrát na datum StatSoft Jak vyzrát na datum Tento článek se věnuje podrobně možnostem práce s proměnnými, které jsou ve formě datumu. A že jich není málo. Pokud potřebujete pracovat s datumem, pak se Vám bude tento článek

Více

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Podle mateiálu ESO přeložil Rostislav Halaš Úkol: Změřit vzdálenost Země Slunce (tzv. astronomickou jednotku AU) pozorováním přechodu

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 2. úkol MI-PAA Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 Specifikaci úlohy Problém batohu je jedním z nejjednodušších NP-těžkých problémů. V literatuře najdeme množství jeho variant, které mají obecně různé nároky

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

Téma: Světlo a stín. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc

Téma: Světlo a stín. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Téma: Světlo a stín Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Objekty na nebeské sféře září ve viditelném spektru buď vlastním světlem(hvězdy, galaxie) nebo světlem odraženým(planety, planetky, satelity).

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

Bridge. Známý jako. Účel. Použitelnost. Handle/Body

Bridge. Známý jako. Účel. Použitelnost. Handle/Body Bridge Bridge Známý jako Handle/Body Účel odděluje abstrakci (rozhraní a jeho sémantiku) od její konkrétní implementace předchází zbytečnému nárůstu počtu tříd při přidávání implementací používá se v době

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Programování jako nástroj porozumění matematice (seriál pro web modernivyuka.cz)

Programování jako nástroj porozumění matematice (seriál pro web modernivyuka.cz) Programování jako nástroj porozumění matematice (seriál pro web modernivyuka.cz) Autor: Radek Vystavěl Díl 8: Analytická geometrie Polární souřadnice, kružnice, elipsa, spirála MATEMATIKA Pro úlohy aplikované

Více

15. Projekt Kalkulačka

15. Projekt Kalkulačka Projekt Kalkulačka strana 143 15. Projekt Kalkulačka 15.1. Základní popis, zadání úkolu Pracujeme na projektu Kalkulačka, který je ke stažení na java.vse.cz. Po otevření v BlueJ vytvoříme instanci třídy

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Programování v jazyku LOGO - úvod

Programování v jazyku LOGO - úvod Programování v jazyku LOGO - úvod Programovací jazyk LOGO je určen pro výuku algoritmizace především pro děti školou povinné. Programovací jazyk pracuje v grafickém prostředí, přičemž jednou z jeho podstatných

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Tělesa sluneční soustavy

Tělesa sluneční soustavy Tělesa sluneční soustavy Měsíc dráha vzdálenost 356 407 tis. km (průměr 384400km); určena pomocí laseru/radaru e=0,0549, elipsa mění tvar gravitačním působením Slunce i=5,145 deg. měsíce siderický 27,321661

Více

Česká astronomická společnost http://www.astro.cz http://olympiada.astro.cz Krajské kolo 2013/14, kategorie GH (6. a 7. třída ZŠ) Identifikace

Česká astronomická společnost http://www.astro.cz http://olympiada.astro.cz Krajské kolo 2013/14, kategorie GH (6. a 7. třída ZŠ) Identifikace Identifikace Žák/yně jméno příjmení identifikátor Identifikátor zjistíš po přihlášení na /korespondencni. Jeho vyplnění je nutné. Škola ulice, č.p. město PSČ Hodnocení A: (max. 25 b) B I: (max. 20 b) B

Více

Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie GH A) Příklady

Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie GH A) Příklady Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie GH A) Příklady 1. Rychlosti vesmírných těles, např. planet, komet, ale i družic, se obvykle udávají v kilometrech za sekundu. V únoru jsme mohli v novinách

Více

Astronomie, sluneční soustava

Astronomie, sluneční soustava Základní škola Nový Bor, náměstí Míru 128, okres Česká Lípa, příspěvková organizace e mail: info@zsnamesti.cz; www.zsnamesti.cz; telefon: 487 722 010; fax: 487 722 378 Registrační číslo: CZ.1.07/1.4.00/21.3267

Více

VY_32_INOVACE_FY.20 VESMÍR II.

VY_32_INOVACE_FY.20 VESMÍR II. VY_32_INOVACE_FY.20 VESMÍR II. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Jiří Kalous Základní a mateřská škola Bělá nad Radbuzou, 2011 Galaxie Mléčná dráha je galaxie, v níž se nachází

Více

Reranking založený na metadatech

Reranking založený na metadatech České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra softwarového inženýrství Reranking založený na metadatech MI-VMW Projekt IV - 1 Pavel Homolka Ladislav Kubeš 6. 12. 2011 1

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 3/3 GPS - výpočet polohy stanice pomocí

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0553 Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0553 Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0553 Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost Projekt je realizován v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurence

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075 Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075 Šablona: III/2 Sada: VY_32_INOVACE_5IS Ověření ve výuce Třída 9. B Datum: 7. 1. 2013 Pořadové číslo 10 1 Astronomie Předmět: Ročník: Jméno autora: Fyzika

Více

Identifikace práce prosíme vyplnit čitelně tiskacím písmem

Identifikace práce prosíme vyplnit čitelně tiskacím písmem Identifikace práce prosíme vyplnit čitelně tiskacím písmem Žák/yně jméno příjmení identifikátor Identifikátor zjistíš po přihlášení na http://olympiada.astro.cz/korespondencni. Jeho vyplnění je nutné.

Více

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km.

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je 384 000 km. 9. Astrofyzika 9.1 Uvažujme hvězdu, která je ve vzdálenosti 4 parseky od sluneční soustavy. Určete: a) jaká je vzdálenost této hvězdy vyjádřená v kilometrech, b) dobu, za kterou dospěje světlo z této hvězdy

Více

Fyzikální korespondenční škola 2. dopis: experimentální úloha

Fyzikální korespondenční škola 2. dopis: experimentální úloha Fyzikální korespondenční škola 2. dopis: experimentální úloha Uzávěrka druhého kola FKŠ je 28. 2. 2010 Kde udělal Aristotelés chybu? Aristotelés, jeden z největších učenců starověku, z jehož knih vycházela

Více

Identifikace práce. Žák jméno příjmení věk. Bydliště ulice, č.p. město PSČ. Škola ulice, č.p. město PSČ

Identifikace práce. Žák jméno příjmení věk. Bydliště ulice, č.p. město PSČ. Škola ulice, č.p. město PSČ vyplňuje žák Identifikace práce Žák jméno příjmení věk Bydliště ulice, č.p. město PSČ vyplňuje škola Učitel jméno příjmení podpis Škola ulice, č.p. město PSČ jiný kontakt (např. e-mail) A. Přehledový test

Více

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK > A2:=augment(submatrix(A,1..3,[1]),b,submatrix(A,1..3,[3])); Potom vypočítáme hodnotu x 2 : > x2:=det(a2)/det(a); Zadání matice. Matici M typu (2, 3) zadáme

Více

Gymnázium Dr. J. Pekaře Mladá Boleslav. Zeměpis I. ročník PLANETY SLUNEČNÍ SOUSTAVY. Jméno a příjmení: Martin Kovařík. David Šubrt. Třída: 5.

Gymnázium Dr. J. Pekaře Mladá Boleslav. Zeměpis I. ročník PLANETY SLUNEČNÍ SOUSTAVY. Jméno a příjmení: Martin Kovařík. David Šubrt. Třída: 5. Gymnázium Dr. J. Pekaře Mladá Boleslav Zeměpis I. ročník PLANETY SLUNEČNÍ SOUSTAVY Jméno a příjmení: Martin Kovařík David Šubrt Třída: 5.O Datum: 3. 10. 2015 i Planety sluneční soustavy 1. Planety obecně

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Identifikace práce prosíme vyplnit čitelně tiskacím písmem

Identifikace práce prosíme vyplnit čitelně tiskacím písmem Identifikace práce prosíme vyplnit čitelně tiskacím písmem Žák/yně jméno příjmení identifikátor Identifikátor zjistíš po přihlášení na /korespondencni. Jeho vyplnění je nutné. Škola ulice, č.p. město PSČ

Více

Výčtový typ strana 67

Výčtový typ strana 67 Výčtový typ strana 67 8. Výčtový typ V této kapitole si ukážeme, jak implementovat v Javě statické seznamy konstant (hodnot). Příkladem mohou být dny v týdnu, měsíce v roce, planety obíhající kolem slunce

Více

Nový způsob práce s průběžnou klasifikací lze nastavit pouze tehdy, je-li průběžná klasifikace v evidenčním pololetí a školním roce prázdná.

Nový způsob práce s průběžnou klasifikací lze nastavit pouze tehdy, je-li průběžná klasifikace v evidenčním pololetí a školním roce prázdná. Průběžná klasifikace Nová verze modulu Klasifikace žáků přináší novinky především v práci s průběžnou klasifikací. Pro zadání průběžné klasifikace ve třídě doposud existovaly 3 funkce Průběžná klasifikace,

Více

Krajské kolo 2013/14, kategorie EF (8. a 9. třída ZŠ) Identifikace

Krajské kolo 2013/14, kategorie EF (8. a 9. třída ZŠ) Identifikace Identifikace Žák/yně jméno příjmení identifikátor Identifikátor zjistíš po přihlášení na http://olympiada.astro.cz/korespondencni. Jeho vyplnění je nutné. Škola ulice, č.p. město PSČ Hodnocení A: (max.

Více

Vzorce. StatSoft. Vzorce. Kde všude se dá zadat vzorec

Vzorce. StatSoft. Vzorce. Kde všude se dá zadat vzorec StatSoft Vzorce Jistě se Vám již stalo, že data, která máte přímo k dispozici, sama o sobě nestačí potřebujete je nějak upravit, vypočítat z nich nějaké další proměnné, provést nějaké transformace, Jinak

Více

Teoretické minimum z PJV

Teoretické minimum z PJV Teoretické minimum z PJV Pozn.: následující text popisuje vlastnosti jazyka Java zjednodušeně pouze pro potřeby výuky. Třída Zavádí se v programu deklarací třídy což je část programu od klíčových slov

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu / Druh CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT

Více

Využití animací letů kosmických sond ve výuce fyziky

Využití animací letů kosmických sond ve výuce fyziky Využití animací letů kosmických sond ve výuce fyziky TOMÁŠ FRANC Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha Zajímavým oživením hodin fyziky jsou lety kosmických sond, o kterých žáci gymnázií příliš mnoho

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Test obsahuje látku 5. ročníku z učiva o vesmíru. Ověřuje teoretické znalosti žáků. Časově odpovídá jedné vyučovací hodině.

Test obsahuje látku 5. ročníku z učiva o vesmíru. Ověřuje teoretické znalosti žáků. Časově odpovídá jedné vyučovací hodině. Vzdělávací oblast : Předmět : Téma : Člověk a jeho svět Přírodověda Vesmír Ročník: 5. Popis: Očekávaný výstup: Druh učebního materiálu: Autor: Poznámky: Test obsahuje látku 5. ročníku z učiva o vesmíru.

Více

Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách

Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, Cc Vlivem vzájemné polohy lunce, Země a dalšího tělesa(např. jiné planety nebo Měsíce) dochází k jevu,

Více

PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY. Maturitní otázka č. 1

PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY. Maturitní otázka č. 1 PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY Maturitní otázka č. 1 TVAR ZEMĚ Geoid = skutečný tvar Země Nelze vyjádřit matematicky Rotační elipsoid rovníkový poloměr = 6 378 km vzdálenost od středu Země k pólu = 6 358 km

Více

Orbit TM Tellerium Kat. číslo 113.4000

Orbit TM Tellerium Kat. číslo 113.4000 Orbit TM Tellerium Kat. číslo 113.4000 Orbit TM Tellerium s velkým glóbusem Země pro demonstrování ročních období, stínů a dne a noci Orbit TM Tellerium s malou Zemí pro demonstrování fází Měsíce a zatmění

Více

Semestrální práce 2 znakový strom

Semestrální práce 2 znakový strom Semestrální práce 2 znakový strom Ondřej Petržilka Datový model BlockFileRecord Bázová abstraktní třída pro záznam ukládaný do blokového souboru RhymeRecord Konkrétní třída záznamu ukládaného do blokového

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Aleš Najman [ÚLOHA 38 KONTROLA A POHONY]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Aleš Najman [ÚLOHA 38 KONTROLA A POHONY] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Aleš Najman [ÚLOHA 38 KONTROLA A POHONY] 1 ÚVOD Úloha 38 popisuje jednu část oblasti sestava programu Solid Edge V20. Tato úloha je v první části zaměřena

Více

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel 3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)

Více

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV Mgr. Jitka Nováková SPŠ strojní a stavební Tábor Abstrakt: Grafické řešení rovnic a jejich soustav je účinná metoda, jak vysvětlit, kolik různých řešení může daný

Více

EU PENÍZE ŠKOLÁM NÁZEV PROJEKTU : MÁME RÁDI TECHNIKU REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU :CZ.1.07/1.4.00/21.0663

EU PENÍZE ŠKOLÁM NÁZEV PROJEKTU : MÁME RÁDI TECHNIKU REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU :CZ.1.07/1.4.00/21.0663 EU PENÍZE ŠKOLÁM NÁZEV PROJEKTU : MÁME RÁDI TECHNIKU REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU :CZ.1.07/1.4.00/21.0663 Speciální základní škola a Praktická škola Trmice Fűgnerova 22 400 04 1 Identifikátor materiálu:

Více

Generické programování

Generické programování Generické programování Od C# verze 2.0 = vytváření kódu s obecným datovým typem Příklad generická metoda, zamění dva parametry: static void Swap(ref T p1, ref T p2) T temp; temp = p1; p1 = p2; p2 =

Více

2 Grafický výstup s využitím knihovny

2 Grafický výstup s využitím knihovny 2 Grafický výstup s využitím knihovny Studijní cíl Tento blok je věnován základním principům při vytváření grafického výstupu pomocí standardních metod, které poskytuje grafické rozhraní. V textu budou

Více

1. Dědičnost a polymorfismus

1. Dědičnost a polymorfismus 1. Dědičnost a polymorfismus Cíl látky Cílem této kapitoly je představit klíčové pojmy dědičnosti a polymorfismu. Předtím však je nutné se seznámit se základními pojmy zobecnění neboli generalizace. Komentář

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Funkční objekty v C++.

Funkční objekty v C++. Funkční objekty v C++. Funkční objekt je instance třídy, která má jako svou veřejnou metodu operátor (), tedy operátor pro volání funkce. V dnešním článku si ukážeme jak zobecnit funkci, jak používat funkční

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 III/2 Inovace a

Více

2. Mechanika - kinematika

2. Mechanika - kinematika . Mechanika - kinematika. Co je pohyb a klid Klid nebo pohyb těles zjišťujeme pouze vzhledem k jiným tělesům, proto mluvíme o relativním klidu nebo relativním pohybu. Jak poznáme, že je těleso v pohybu

Více

5.2.3 Duté zrcadlo I. Předpoklady: 5201, 5202

5.2.3 Duté zrcadlo I. Předpoklady: 5201, 5202 5.2.3 Duté zrcadlo I Předpoklady: 5201, 5202 Dva druhy dutých zrcadel: kulové = odrazivá plocha zrcadla je částí kulové plochy snazší výroba, ale horší zobrazení (aby se zobrazovalo přesně, musíme použít

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

2. Poloměr Země je 6 378 km. Následující úkoly spočtěte při představě, že kolem rovníku nejsou hory ani moře. a) Jak dlouhý je rovníkový obvod Země?

2. Poloměr Země je 6 378 km. Následující úkoly spočtěte při představě, že kolem rovníku nejsou hory ani moře. a) Jak dlouhý je rovníkový obvod Země? Astronomie Autor: Miroslav Randa. Doplň pojmy ze seznamu na správná místa textu. seznam pojmů: Jupiter, komety, Merkur, měsíce, Neptun, planetky, planety, Pluto, Saturn, Slunce, Uran, Venuše, Země Uprostřed

Více

Lekce 12 Animovaný náhled animace kamer

Lekce 12 Animovaný náhled animace kamer Lekce 12 Animovaný náhled animace kamer Časová dotace: 2 vyučovací hodina V poslední lekci tohoto bloku se naučíme jednoduše a přitom velice efektivně animovat. Budeme pracovat pouze s objekty, které jsme

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA. Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404

SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA. Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404 SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404 1. Solver Program Solver slouží pro vyhodnocení experimentálně naměřených dat. Základem

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

EU PENÍZE ŠKOLÁM NÁZEV PROJEKTU : MÁME RÁDI TECHNIKU REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU :CZ.1.07/1.4.00/21.0663

EU PENÍZE ŠKOLÁM NÁZEV PROJEKTU : MÁME RÁDI TECHNIKU REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU :CZ.1.07/1.4.00/21.0663 EU PENÍZE ŠKOLÁM NÁZEV PROJEKTU : MÁME RÁDI TECHNIKU REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU :CZ.1.07/1.4.00/21.0663 Speciální základní škola a Praktická škola Trmice Fűgnerova 22 400 04 1 Identifikátor materiálu:

Více

VY_32_INOVACE_06_III./17._PLANETY SLUNEČNÍ SOUSTAVY

VY_32_INOVACE_06_III./17._PLANETY SLUNEČNÍ SOUSTAVY VY_32_INOVACE_06_III./17._PLANETY SLUNEČNÍ SOUSTAVY Planety Terestrické planety Velké planety Planety sluneční soustavy a jejich rozdělení do skupin Podle fyzikálních vlastností se planety sluneční soustavy

Více

24-2-2 PROMĚNNÉ, KONSTANTY A DATOVÉ TYPY TEORIE DATUM VYTVOŘENÍ: 23.7.2013 KLÍČOVÁ AKTIVITA: 02 PROGRAMOVÁNÍ 2. ROČNÍK (PRG2) HODINOVÁ DOTACE: 1

24-2-2 PROMĚNNÉ, KONSTANTY A DATOVÉ TYPY TEORIE DATUM VYTVOŘENÍ: 23.7.2013 KLÍČOVÁ AKTIVITA: 02 PROGRAMOVÁNÍ 2. ROČNÍK (PRG2) HODINOVÁ DOTACE: 1 24-2-2 PROMĚNNÉ, KONSTANTY A DATOVÉ TYPY TEORIE AUTOR DOKUMENTU: MGR. MARTINA SUKOVÁ DATUM VYTVOŘENÍ: 23.7.2013 KLÍČOVÁ AKTIVITA: 02 UČIVO: STUDIJNÍ OBOR: PROGRAMOVÁNÍ 2. ROČNÍK (PRG2) INFORMAČNÍ TECHNOLOGIE

Více

Objevte planety naší sluneční soustavy Za 90 minut přes vesmír Na výlet mezi Ehrenfriedersdorf a Drebach

Objevte planety naší sluneční soustavy Za 90 minut přes vesmír Na výlet mezi Ehrenfriedersdorf a Drebach Objevte planety naší sluneční soustavy Za 90 minut přes vesmír Na výlet mezi Ehrenfriedersdorf a Drebach Sluneční soustava Sonnensystem Sluneční soustava (podle Pravidel českého pravopisu psáno s malým

Více

PLANETY SLUNEČNÍ SOUSTAVY

PLANETY SLUNEČNÍ SOUSTAVY PLANETY SLUNEČNÍ SOUSTAVY Sluneční soustava je planetárn rní systém m hvězdy známé pod názvem n Slunce, ve kterém m se nachází naše e domovská planeta Země. Tvoří ji: Slunce 8 planet, 5 trpasličích planet,

Více

Matematické modelování dopravního proudu

Matematické modelování dopravního proudu Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] 1 CÍL KAPITOLY V této kapitole si představíme Nástroje kreslení pro tvorbu 2D skic v modulu Objemová součást

Více

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného)

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) 1 Obecný popis metody Particle Image Velocimetry, nebo-li zkráceně PIV, je měřící

Více

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH MECHANIKA MOLEKULOVÁ FYZIKA A TERMIKA ELEKTŘINA A MAGNETISMUS KMITÁNÍ A VLNĚNÍ OPTIKA FYZIKA MIKROSVĚTA ODRAZ A LOM SVĚTLA 1) Index lomu vody je 1,33. Jakou rychlost má

Více

R5.1 Vodorovný vrh. y A

R5.1 Vodorovný vrh. y A Fyzika pro střední školy I 20 R5 G R A V I T A Č N Í P O L E Včlánku5.3jsmeuvedli,ževrhyjsousloženépohybyvtíhovémpoliZemě, které mají dvě složky: rovnoměrný přímočarý pohyb a volný pád. Podle směru obou

Více

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA ILUSTRAČNÍ TEST MAIZD4C0T0 Pokyny k hodnocení MATEMATIKA Pokyny k hodnocení úlohy Vyznačte na číselné ose obraz čísla 0,6. 0,6 3 apod. NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ Chybně vyznačený obraz, resp. není zřejmé, kde

Více

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce Gavitační pole Newtonův gavitační zákon Gavitační a tíhové zychlení při povchu Země Pohyby těles Gavitační pole Slunce Úvod V okolí Země existuje gavitační pole. Země působí na každé těleso ve svém okolí

Více