3. kapitola. Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku. Janek Faltýnek SI J (43) Teoretická část: Příkladová část: Stavební mechanika 2

Transkript

1 3. kapitola Stavební mechanika Janek Faltýnek SI J (43) Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku Teoretická část: Naším úkolem je v tomto příkladu vyšetřit průběh vnitřních sil na lomeném rovinném nosníku zatíženém libovolným spojitým zatížením, osamělou silou, případně momentem v rovině. Lomený rovinný prut je to z toho důvodu, že střednice je lomená čára v rovině. Na rozdíl od přímých prutů musíme počítat s rovnováhou vnitřních sil ve styčníku. Pokud uvážíme například pravoúhlý styčník dvou prutů, pak se normálová síla přenese přes styčník na sílu posouvající apod. Tedy zlom ve střednici prutu vyvolává skok normálové i posouvající síly (jsou závislé na lokálním souřadnicovém systému). Pro ohybový moment toto ale ve styčníku dvou prutů neplatí (pokud není zatížen osamělým momentem). Vše si důkladně ukážeme na příkladu. Pořád musí platit, že vnější síly (reakce a zatížení) tvoří rovnovážnou soustavu v rovině střednice. Co je to styčník? Styčník je místo (bod), kde se nám stýkají střednice jednotlivých prutů lomeného nosníku. Co považujeme za styčník, můžete vidět na obrázku dole (každý styčník je označený modrým kruhem): Příkladová část: Zadání vypadá následovně: f 1 = 10 kn/m f max = 8 kn/m 3 m 30 0 kn 1 m 1,5 m 3 m 3 m 1

2 Je důležité určit stupně statické neurčitosti. Jelikož se jedná o lomený nosník v rovině, definujeme pro něj tři stupně volnosti ( = 3 tedy dva posuny a jednu rotaci neboli pootočení). Náš nosník podpírá jeden posuvný kloub, který odebírá jeden stupeň volnosti ( = 1), objevuje se zde také jeden pevný kloub, který odebírá dva stupně volnosti ( = ). V tomto případě je: = ( 1) 3 = 0 z čehož vyplývá, že konstrukce je staticky i kinematicky určitá (pokud se nejedná o výjimkový případ podepření) Příklad začínáme řešit tak, že si vypočítáme vnější reakce. Zavedeme si globální soustavu souřadnic a předpokládané orientace reakcí ve vazbách. Pak si musíme převést lineární spojité zatížení na zatížení náhradním břemenem a osamělou šikmou sílu rozložit do daných směrů globální soustavy souřadnic. Pro lineární spojité zatížení: = 4 = 16 = 3 4 =,7 Pro konstantní spojité zatížení: = 1 4,5 = 45 = 4,5 =,5 Nyní již máme vše připravené pro výpočet reakcí ve vnějších vazbách: x g 3 m 10 kn F r = 45 kn F r = 16 kn z g,667 m 1 m D x 17,31 kn 1,5 m,5 m 3 m 0,75 m D z F = 0 = , ,75 = 0 =, Z výsledků je patrné, že téměř všechny orientace vnějších reakcí jsme předpokládali správně. Opačně jsme zvolili orientaci síly v posuvném kloubu ,31 = 0 =,

3 Nyní si rozdělíme lomený prut na intervaly v místech kde: a) se mění funkce zatížení ( ) b) působí osamělá síla nebo moment ( ) c) je podpora nebo vazba (, ) d) je konec nosníku (, ) e) se mění tvar střednice Styčníky (b, e) f) se stýká více prutů v těchto všech bodech může nastat nespojitost funkcí vnitřních sil, proto počítáme velikosti vnitřních sil v přilehlých průřezech. Průběh vnitřních sil vyšetřujeme v každém intervalu zvlášť. f 1 = 10 kn/m 3 m a b 30 0 kn e f max = 8 kn/m c 1 m d f 1,5 m 3 m 3 m Nyní už se můžeme pustit do výpočtu vnitřních sil. Začneme úsekem : Když se podíváme na obrázek, zjistíme, že těsně za začátkem prutu (ve vzdálenosti zanedbatelně malé), nepůsobí, žádné vnější síly ani momenty ani vlastně spojité zatížení. Tomuto bodu se říká nezatížený styčník. Proto zde budou vnitřní síly nulové. = 0 = 0 = 0 K tomu abychom vyjádřili funkční předpisy průběhu vnitřních sil, si potřebujeme určit lokální soustavu souřadnic. Tu volíme tak, aby osa byla vždy tečna ke střednici prutu. Osu preferujeme ve směru zemské tíže nebo zleva doprava (na obrázku vyznačeno přerušovanou čarou), vždy ale pravotočivě. Souřadnici volíme shodně s osou. f 1 = 10 kn/m M(s) N(s) s ab N(s) = 0 N(s) = 0 kn V(s) 10 s = 0 V(s) = 10 s kn V(s) Snadno získáme vnitřní síly X ba dosazením délky oddělené části prutu do předpisů vnitřních sil: N ba = 0 kn V ba = 15 kn M ba = 11,5 knm s M(s) 10 s s = 0 M(s) = 5 s knm 3

4 Teď bude výhodné spočítat vnitřní síly na prutu, který není zatížen spojitým zatížením, kde začneme počítat od vnitřních sil těsně (uvažujeme zanedbatelně malý rozměr) za vnější podporou (pevným kloubem). M dc N dc N dc 65,475 = 0 N dc = 65,475 kn 6 kn V dc V dc 6 = 0 V dc = 6 kn d 65,475 kn d M dc = 0 knm Přesuneme se na úsek (nesmíme zde zapomenout uvažovat účinek vnitřních sil těsně za podporou): M(s) N(s) V(s) N(s) ( 65,475) = 0 N(s) = 65,475 kn V(s) ( 6) = 0 V(s) = 6 kn s M(s) s ( 6) 0 = 0 M(s) = 6 s knm V dc M dc N dc s dc Snadno získáme vnitřní síly X cd dosazením délky oddělené části prutu do předpisů vnitřních sil: N cd = 65,475 kn V cd = 6 kn M cd = 6 knm Vnitřní síly v průřezu těsně za osamělou silou: N cb M cb 10 kn V cb 17,31 kn N cb 17,31 ( 65,475) = 0 N cb = 48,163 kn V cb 10 ( 6) = 0 V cb = 16 kn c M cb ( 6) 1 = 0 M cb = 6 knm V dc M dc N dc 4

5 Postoupíme dále po prutu na úsek : M(s) N(s) V(s) N(s) ( 48,163 ) = 0 N(s) = 48,163 kn V(s) ( 16) = 0 V(s) = 16 kn V cb M cb N cb s cb s M(s) s ( 16) ( 6) = 0 M(s) = 16 s 6 knm Opět získáme vnitřní síly X bc dosazením vzdálenosti do předpisů vnitřních sil: N bc = 48,163 kn V bc = 16 kn M bc = 74 knm Nyní se podíváme, jak se počítá rovnováha vnitřních sil na styčníku. Styčník si můžeme představit jako bod zanedbatelně malých rozměrů*, na který nepůsobí spojité zatížení a střetávají se nám zde vnitřní síly třech prutů. Musíme si dávat pozor na orientaci vnitřních sil, které na styčník působí (rozlišovat kladně a záporně orientovaný průřez). M ba V ba Kladně orientovaný průřez M be N be N ba Záporně orientovaný průřez V be v V bc M bc N bc N be 0 ( 16) = 0 N be = 16 kn Záporně orientovaný průřez V be ( 15) ( 48,163) = 0 V be = 33,163 kn b M be ( 11,5) ( 74) = 0 M be = 85,5 knm * Pozn.: Kvůli zanedbatelně malým rozměrům zanedbáváme momentové účinky vnitřních sil a na styčník. Při sestavovaní momentové podmínky počítáme pouze s ohybovými momenty. 5

6 Nyní vyjmeme úsek : V be M be f 1 = 10 kn/m M(s) N(s) N be s be N(s) ( 16) = 0 N(s) = 16 kn V(s) V(s) 33, s = 0 V(s) = 10 s 33,163 kn Vnitřní síly X eb : N eb = 16 kn V eb = 3,163 kn M eb = 30,761kNm s M(s) ( 85,5) 10 s s 33,163 s = 0 M(s) = 5 s 33,163 s 85,5 knm Styčník vypadá zjednodušeně takto (zase uvažujeme zanedbatelně malé rozměry, jen pro názornost je zobrazen tak rozměrně jako níže): Velikost úhlu zkosení zjistíme například tímto způsobem: M eb V eb tan α = 4 3 α = 53,13 N eb α M ef N ef V ef Vnitřní síly a si musíme s pomocí úhlu zkosení prutu transformovat do směru šikmého prutu: V ebz = V eb sin(90 α) N ebz = N eb sin α N ebx = N eb cos α V α ebx = V eb cos(90 α) α V eb N eb z x z x N ef N ebx V ebx = 0 V ef N ebz V ebz = 0 b M ef (M eb ) = 0 N ef ( 9,6),530 = 0 N ef = 7,070 kn V ef ( 1,799) 1,898 = 0 V ef = 14,697 kn b M ef ( 30,761) = 0 M ef = 30,761 knm 6

7 Spojité zatížení šikmého prutu není vztaženo na skutečnou délku konstrukce, ale na její svislý průmět. Proto je třeba převést účinek lineárního spojitého zatížení, v závislosti na globálních souřadnicích, na spojité zatížení v lokálním souřadnicovém systému závislém na parametru. Naše spojité zatížení působí vodorovně na svislý průmět prutu. Provedeme to transformací spojitého zatížení: Odvození: f xg (z g ) = (4 z g ) df x (z g ) x g df xg (z g ) ds df z (z g ) dz g ds = dz g sin α df xg (z g ) s = z g sin α α z z g x df xg z g = (4 df x z g = df xg z g df z z g = df xg z g z g )dz g cos α sin α f x z g = df x z g ds = df x g z g cos α dz g sin α = f xg (z g ) cos α sin α f x (s) = 4 z g cos α sin α = (4 s sin α) cos α sin α = = 0, 768 s 3, 840 kn/m f z z g = df z z g ds = df x g z g sin α dz g sin α = f xg (z g ) sin α sin α f z (s) = 4 z g sin α sin α = (4 s sin α) sin α sin α = = 1, 04 s 5, 10 kn/m Jak se můžeme přesvědčit, tak dosazením hodnoty = 5 do vzorečků pro intenzitu spojitého zatížení získáme nulu, což je patrné i z obrázku, kde na konci prutu už žádné spojité zatížení nepůsobí. 7

8 Nejjednodušším způsobem, jak získat předpisy průběhů vnitřních sil na našem šikmém odděleném prutu, je vyjádření z diferenciálních vztahů pro vnitřní síly a dopočítání integračních konstant na základě okrajových podmínek (znalost Schwedlerovy věty). Toto můžeme provést pouze tehdy, známe-li analytické vyjádření průběhu spojitého zatížení na konstrukci. ( ) = 0,768 3,840 ( ) = ( ) ( ) = ( ) 1 ( ) = (0,768 3,840) ( ) = 0,768 3,840 1 (0) = 7,070 = = 7,070 ( ) =,,, (5) = =,53 ( ) = 1,04 5,10 ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( 1,04 5,10) ( ) = 1,04 5,10 (0) = 14,697 = 0 0 = 14,697 ( ) =,,, (5) = = 1,897 ( ) = ( ) ( ) = ( ) 3 3 ( ) = 0,51 3 5,10 14,697 3 (0) = 30,57 = = 30,761 ( ) =,,,, (5) 0 8

9 Pokud se nyní podíváme na velikosti vnitřních sil v průřezu těsně za podporou posuvným kloubem, ověříme si předchozí výpočty. Pozor, jedná se o záporně orientovaný průřez. N fe V fe M fe N fe ( 3,153 cos(90 α)) = 0 N fe =,5 kn V fe ( 3,153 sin(90 α)) = 0 V fe = 1,89 kn f 3,153 kn f M fe = 0 knm Hodnoty vnitřních sil v rámečcích nám přesně nekorespondují s jejich velikostí vypočtenou z vnější reakce rozložené do daných lokálních směrů, protože jsme se při vyjadřování velikosti úhlu, při tvorbě předpisů pro transformované spojité zatížení a při postupných dopočtech velikostí vnitřních sil dopustili opakovaného zaokrouhlování. Tyto hodnoty bereme spíše pro kontrolu, informativně. Pravidla pro zakreslování průběhů vnitřních sil platí stejně jako v druhé kapitole. Pomůžou nám i tabulky z konce dané kapitoly. Níže si uvedeme výpis velikostí všech důležitých vnitřních sil: N ab = 0 kn V ab = 0 kn M ab = 0 knm N ba = 0 kn V ba = 15 kn M ba = 11,5 knm N bc = 48,163 kn V bc = 16 kn M bc = 74 knm N cb = 48,163 kn V cb = 16 kn M cb = 6 kn N be = 16 kn V be = 33,163 kn M be = 85,5 knm N eb = 16 kn V eb = 3,163 kn M eb = 30,761 knm N ef = 7,070 kn V ef = 14,697 kn M ef = 30,761 knm N fe =,5 kn V fe = 1,89 kn M fe = 0 knm N cd = 65,475 kn V cd = 6 kn M cd = 6 kn N dc = 65,475 kn V dc = 6 kn M dc = 0 knm 9

10 Vykreslení normálové síly [ ] a 0 b 16 e 7,070 48,163 c d 65,475,5 f Vykreslení posouvající síly [ ] a 1 33,163 b ,163 14,697 e 16 c d 6 1,89 f Vykreslení ohybového momentu [ ] 85,5 a 74 11,5 b 30,761 e 30, c 1 d f Zde vidíte, že extrémní hodnoty můžeme hledat akorát v krajních bodech daných intervalů přímým odečtením z grafického vyjádření průběhů vnitřních sil. 10