Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině

Transkript

1 Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme studovat vzájemnou polohu těchto kvadratických útvarů s přímkami. Kružnice Kružnice k se středem S = [m; n] a poloměrem r (r > ) je dána rovnicí: (x m) + (y n) = r Tento vztah se dá lehce odvodit ze vzdálenosti dvou bodů v rovině. Má-li kružnice střed v počátku soustavy souřadné Oxy, rovnice se zjednoduší na tvar: x + y = r (neboť S = [; ]) Pozn. Tyto rovnice zveme středové rovnice kružnice. Rovnice kružnice se dá vyjádřit i v tzv. obecném tvaru: x + y + ax + by + c =, kde a, b, c R (a aspoň jedno je nenulové). Leží-li bod X 1 = [x 1 ; y 1 ] uvnitř kružnice k = (S[m; n], r), pak pro jeho souřadnice platí: (x 1 m) + (y 1 n) < r Leží-li bod X = [x ; y ] vně kružnice k = (S[m; n], r), pak pro jeho souřadnice platí: (x m) + (y n) > r Přímku, která má s kružnicí právě jeden společný bod, zveme tečnou kružnice. Každým bodem, který leží vně kružnice, lze vést právě dvě tečny k dané kružnici. Bodem, který leží na kružnici, lze vést právě jednu tečnu ke kružnici, přičemž tento bod je společným bodem tečny a kružnice. Bodem, který leží uvnitř kružnice, nelze vést tečnu ke kružnici. Pro tečnu ke kružnici platí: 1) Kružnice a tečna mají jeden společný bod, zveme jej bod dotyku a značíme T = [x ; y ]. ) Vzdálenost tečny od středu kružnice je rovna poloměru kružnice r. ) Rovnice tečny ke kružnici s bodem dotyku T = [x ; y ] má tvar: x x y y pro kružnici se středem S = [; ] r x m x m y n y n pro kružnici se středem S = [m; n] r Přímku, která má s kružnicí dva společné body, zveme sečnou kružnice. Tyto body nazýváme průsečíky přímky a kružnice. Přímku, která nemá s kružnicí společný bod, zveme nesečnou kružnice.

2 Př. 1. Zjistěte, zda níže uvedená rovnice je rovnicí kružnice. a) x + y + x = Řešení: Tuto obecnou rovnici musíme upravit na středový tvar. x + x + y = K oběma stranám rovnice přičteme 1. x + x y = 1 Nyní použijeme vzorec (x + 1) = x + x + 1. (x + 1) + y = 1 Dostali jsme středový tvar rovnice kružnice se středem S = [ 1; ] a poloměrem r = 1. b) x + y + x y + 15 = Nejdřív si to pěkně seřadíme. x + x + y y = 15 Přičteme, co je třeba, abychom mohli použít vzorec a ab b a b. (x + x + 1) + (y y +,5) = ,5 Pravou stranu sbalíme do čtverců, i když výsledek už je zřejmý. x 1 y 1,5 11, 75 Tato rovnice nemůže být rovnicí kružnice, neboť r = 11, 75 a to nejde. Př.. Napište rovnici kružnice k, která prochází body A = [5; 1], B = [; 6], C = [4; ]. Řešení: Každá kružnice je jednoznačně určena třemi svými body. Ty ovšem nesmí ležet na jedné přímce (pakliže nechceme chápat přímku jako kružnici s nekonečným poloměrem). Nejdříve se tedy musíme přesvědčit, že dané tři body neleží na jedné přímce. Označme přímku p = AB. Její směrový vektor bude vektor u = B A = ( 5; 5). Normálový vektor přímky p pak bude např. vektor n = (1; 1). Dostáváme obecnou rovnici: x + y + c =. Konstantu c získáme po dosazení některého z bodů A, B. Pak c = 6. Obecná rovnice přímky p má tedy tvar: x + y 6 = (viz AG ). Nyní do této rovnice dosadíme souřadnice bodu C. 4 6, tj. bod C neleží na přímce AB a tudíž body A, B, C určují kružnici. OK. Pozn. Tak mě napadá, mohli jsme použít i jednodušší postup, tedy určit vektory B A, C B a ukázat, že nejsou rovnoběžné. No nic, zkuste sami. Mají-li body A, B, C ležet na kružnici k, musí jejich souřadnice vyhovovat obecné rovnici kružnice x + y + ax + by + c =. Tak je tam všechny postupně dosadíme. A = [5; 1] a + b + c = 5a + b + c = 6 B = [; 6] a + 6b + c = 6b + c = 6 C = [4; -] a b + c = 4a b + c =

3 Řešíme tedy soustavu tří rovnic o třech neznámých: 5a + b + c = 6 6b + c = 6 c = 6 6b Tento výraz dosadíme za c do 1. a. rovnice. 4a b + c = 5a + b 6 6b = 6 4a b 6 6b = 5a 5b = 1 4a 8b = 16 a =, b =, c = 4 Dostáváme dvě rovnice o dvou neznámých, které hravě vyřešíme. Rovnice kružnice v obecném tvaru je x + y y 4 =. Upravíme-li tuto rovnici na středový tvar (viz př. 1), dostaneme rovnici x + (y 1) = 5. Střed kružnice S má souřadnice [; 1], r = 5. Př.. Určete vzájemnou polohu přímky p a kružnice k. a) p: 4x y = k: x + y = 5. Řešení: Vzájemnou polohu přímky a kružnice zjistíme řešením soustavy jejich rovnic. Postupujeme tak, že z rovnice přímky vyjádříme libovolnou neznámou a dosadíme ji do rovnice kružnice (nelze použít sčítací metodu). 4x y = 4x = y + x y 5 Dosadíme do rovnice kružnice. 4 y 5 4 y 5 9 y y 5 y y y 16 / 16 5y 1y / : 5

4 5y 4y y 5y 4 y 1 = Ze vztahu x y 5 dopočítáme x 1 = y = 5 7 Dopočítáme x =. 5 Přímka p je sečnou kružnice k. Průsečíky P 1, P přímky s kružnicí mají souřadnice P 1 = [5; ], 7 4 P = ; 5 5. b) p: x y + 1 = k: x + y = 5. Postupujeme analogicky. x y +1 = y = x + 1 Dosadíme do rovnice kružnice. x + (x + 1) = 5 x + x + x = x + x = D = Soustava rovnic nemá řešení, přímka p je nesečnou kružnice k. Př. 4. V rovnici 4x y c = určete číslo c tak, aby tato rovnice byla rovnicí tečny ke kružnici x + y =. Řešení: Má-li být přímka tečnou kružnice, musí mít soustava jejich rovnic jediné řešení. Postupujeme stejně jako u příkladu. 4x y c = c y x Dosadíme do rovnice kružnice. c x x A upravujeme. c x 4x cx 4 x 8cx c 8 Toto je kvadratická rovnice o neznámé x R. Vypíšeme si její koeficienty: a ; b 8c; c c 8. D = 8c 4 c 8 64c 8c 8 16c 64 Kvadratická rovnice má jeden kořen právě tehdy, když D =. 16c 64 A jsme opět u kvadratické rovnice, tentokrát s neznámou c R c c Př. 5. Bodem A = [ 1; ] veďte tečnu ke kružnici x + y 4x + y =. Řešení: Nejdříve je třeba se přesvědčit, že bod A neleží uvnitř kružnice. Z takového bodu bychom tečnu ke kružnici sestrojili jen stěží.

5 x + y 4x + y = Obecnou rovnici převedeme na středovou. x 4x + y + y = x 4x y + y +1 = 5 (x ) + (y + 1) = 5 S = [; 1], r = 5 Člověk nemusí být génius, aby pochopil, že bod A rozhodně uvnitř této kružnice neleží. Ale pro klid duše to ještě ověříme. Má-li ležet bod A = [ 1; ] vně kružnice se středem S[; 1] a poloměrem r = 5, pak musí platit: ( 1 ) + ( ( 1)) > 5. A to jistě platí, levá strana rovnice = 15. Podle tvrzení v úvodu pojednání o kružnici bude mít hledaná tečna rovnici: x x y 1 y 1 5, kde bod T[x ; y ] je společným bodem této tečny a dané kružnice (bodem dotyku). Tečna má procházet bodem A, proto souřadnice tohoto bodu musejí vyhovovat rovnici tečny. Tak je tam šoupneme (za x a y). 1 1 y 1 5 y 1 5 x A upravíme. 1 x Nyní z této rovnice vyjádříme například y. 1x 4 y 5 y 4x Jak už zde bylo několikrát vyřčeno, bod dotyku leží na kružnici. Jeho souřadnice tudíž musejí vyhovovat rovnici kružnice. Tak je tam šoupneme a pak hned dosadíme (x ) + (y + 1) = 5 x 4x x 4x 5 To tedy bude humus! x 4x 4 16x x 5 To tedy je humus! x 4x x x 6x 456x x 49x 5 Ani se to nebudu snažit krátit. D y 4x. D Diskriminant musel vyjít kladný, tečny budou logicky dvě x 1, Pro obě souřadnice x dopočítáme y. 6 15

6 ) x y 4 = = ) x y 4 = = 15 Tečny označíme t 1 a t. Aby nás z jejich rovnic rázem neklepla Pepka, vyčíslíme souřadnice bodů dotyku na tři desetinná místa. T 1 = [,141; 1,] T = [1,74;,6] Tečny budou mít tedy tyto rovnice: t 1 : x,141 y 1 1, 1 5 x,141 y 1, 5,141x,8, y, 5,141x,y,5 t : x 1,74 y 1,6 1 5 x,96 y 1,6 5,96x 1,85,6y,6 5,96x,6 y 5,184 Pro názornost přikládám ještě obrázek. Pro potřeby MatMat I bylo nutné vyjádřit rovnice obou přímek ve směrnicovém tvaru (viz AG ).

7 Př. 6. Vypočtěte obsah vybarveného obrazce na obrázku vpravo. Řešení: Toto je další úloha z planimetrie, kterou je výhodné řešit metodami analytické geometrie. Za tímto účelem je nejdřív nutné zavést do obrázku souřadnicový systém. Např. tak, že za počátek kss zvolíme levý dolní roh obrázku. Vybarvený obrazec sestává z jednoho čtverce (o straně a) a čtyř shodných kruhových úsečí. Jeho obsah S tedy spočítáme takto: S = a + 4S ú b Nejdříve určíme stranu čtverce a. Kružnicové oblouky k 1 a k se protínají v bodě [x; ]. Ta druhá souřadnice je z obrázku sice ihned zřejmá, ale my si ji stejně ještě ověříme výpočtem. Určíme-li neznámou x, nebude už pak problém dopočítat stranu čtverce a. k 1 : x 6 y 6 6 k : x 6 y 6 x 6 6 y 6 y y 6 6 Dosadíme do 1. rovnice. y y 1y 6 y = OK, hypotéza potvrzena. Dosadíme. x x 6 7 x 6 Ten leží mimo obrázek. 1 x 6 To je naše x.

8 Je-li 6 x, pak b = 6 1 čtverce o straně a, tedy a čtverce je tedy roven , 6. Přitom b je polovinou úhlopříčky b a b 1. Obsah b. Odtud plyne a mm. Zbývá dořešit obsah kruhových úsečí arc sin r S ú. Poloměr r = 6, zbývá dopočítat příslušný středový úhel φ. Z obrázku sice přímo vyplývá φ =, my si však tento úhel pro jistotu spočítáme. 6 ; ; 6 Úhel spočítáme jako úhel dvou vektorů u a v. u = 6 6; 6 ; v = 6; 6 6 ; u1v1 u v cos = u v Teď už můžeme konečně spočítat obsah čtyř kruhových úsečí. r 4S ú 4 arc sin r sin 169, 9 mm. 6 S = a + 4S ú = 114,5 mm. Obsah vybarveného obrazce je 114,5 mm. =.

9 Elipsa Elipsa je množina všech bodů v rovině, které mají od dvou daných bodů E, F konstantní součet vzdáleností roven a, kde a je velikost hlavní poloosy elipsy. Zkráceně: Elipsa = {X ; EX + FX = a}; kde symbolem značíme rovinu. Zvláštním případem elipsy je kružnice, pro kterou platí E = F. Body E, F zveme ohniska elipsy. Vzdálenost těchto bodů se značí e; číslo e se zve excentricita neboli výstřednost elipsy. Čím je výstřednost elipsy menší, tím více se tvar elipsy podobá kružnici (pro kružnici platí: e = ). Číslo b je velikost vedlejší poloosy elipsy, střed úsečky EF bod S zveme střed elipsy. Body A,B jsou hlavní vrcholy elipsy, body C,D jsou vedlejší vrcholy elipsy (viz obr.). Pro čísla a, b, e platí vztah: a = b + e. Přitom a b (rovnost nastane u kružnice). Elipsa se středem S = [; ], jejíž hlavní osa je totožná s osou x má rovnici: x y 1 b a kde a je velikost hlavní poloosy elipsy, b velikost vedlejší poloosy elipsy. Tento případ je vyobrazen na obrázku nahoře. Elipsa se středem S = [; ], jejíž hlavní osa je totožná s osou y má rovnici: x y 1 a b kde a je velikost hlavní poloosy elipsy, b velikost vedlejší poloosy elipsy. Tento případ je vyobrazen na obrázku vpravo. Tyto rovnice spolu s následujícími dvěma rovnicemi zveme osové rovnice elipsy.

10 Elipsa se středem S = [m; n], jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou x má rovnici: x m y n 1, kde a je velikost hlavní poloosy elipsy, b velikost vedlejší poloosy a b elipsy. Elipsa se středem S = [m; n], jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou y má rovnici: x m y n b elipsy. a 1, kde a je velikost hlavní poloosy elipsy, b velikost vedlejší poloosy Př. 7. Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu rovnoběžnou s osou x, střed S = [1; ], ohnisko E = [ 4; ] a velikost vedlejší poloosy b = 4. Řešení: Abychom mohli napsat osovou rovnici elipsy, potřebujeme zjistit velikost hlavní poloosy elipsy a. Tu určíme ze vztahu a = b + e. Velikost vedlejší poloosy b známe, ale jak zjistíme výstřednost elipsy e? Bod S je střed úsečky EF. Všechny tři body S, E, F leží ve stejné výšce (jedná se o elipsu naležato ), proto se vzdálenost bodů SE = e určí velice snadno jako vzdálenost čísel 1 a 4 na číselné ose. Excentricita e = 5. a = b + e a = x 1 y a = 41 Elipsa má rovnici 1. Př. 8. Zjistěte všechny parametry elipsy 9x + 16y + 6x y 9 =. Řešení: Obecnou rovnici musíme upravit na osový tvar. Z obecné rovnice totiž vyčteme úplné prd. Vlastně ještě ani není jasné, jedná-li se skutečně o elipsu nebo o nějaký nesmysl (viz př. 1b). Postupujeme analogicky jako u kružnice v příkladu 1. Nejdřív vše správně seřadíme. 9x + 6x + 16y y = 9 Vytkneme před závorky. 9(x + 4x) + 16(y y) = 9 K oběma stranám přičteme, co je třeba. Použijeme vzorce (a ± b). 9(x + 4x + 4) + 16(y y + 1) = (x + ) + 16(y 1) = 144 Vydělíme číslem 144 a zkrátíme. x y Z osové rovnice elipsy ihned plyne: a = 4, b =, S = [ ; 1], elipsa je naležato. Ze vztahu a = b + e dopočítáme výstřednost e 7. Jelikož hlavní osa elipsy a je rovnoběžná s osou x, budou mít ohniska elipsy E, F stejnou y ovou souřadnici jako střed S. E = [x 1 ; 1], F = [x ; 1].

11 X ové souřadnice ohnisek E, F elipsy určíme snadno, stačí si uvědomit, že obě ohniska mají od středu elipsy S = [ ; 1] vzdálenost rovnu e 7. Ohniska elipsy E = 7; 1, F = 7;1. Problematikou vzájemné polohy přímky a elipsy se až na jeden příklad zabývat nebudeme. Situace je totiž analogická jako v případě přímky a kružnice. Př. 9. Bodem M = [; ] veďte všechny tečny k elipse dané rovnicí 5x + 9y = 45. Řešení: Budeme postupovat stejně jako u příkladu 5 a přitom doufat, že tentokrát se to nijak nezvrhne. V první řadě je třeba se opět přesvědčit, že bod M neleží uvnitř elipsy. Osová rovnice elipsy má tvar: x y Pro všechny body X = [x; y], které neleží uvnitř elipsy, musí platit: x y Do této nerovnice dosadíme souřadnice bodu M Na levé straně dostáváme hodnotu a to je více než 1, takže bod M 5 leží vně elipsy a lze jím vést právě tečny k elipse. Pozn. Kdyby nám levá strana rovnice vyšla rovna 1, bod M by byl bodem elipsy. Příklad by se tak zjednodušil, neboť bod M by byl zároveň i bodem dotyku tečny k elipse. Takto budeme muset bod dotyku nejprve najít. Škoda. Tečna k elipse má rovnici: t: 5xx + 9yy = 45; kde T = [x ; y ] je bodem dotyku přímky s elipsou. Bod M = [; ] t, takže jeho souřadnice musejí vyhovovat rovnici tečny. Dosadíme tedy souřadnice bodu M za x a y do rovnice tečny a získáme rovnici: 5 7y = 45 y = Bod dotyku T leží na elipse, to znamená, že jeho souřadnice musí vyhovovat i rovnici elipsy. Dosadíme je tedy do rovnice elipsy a dostaneme: 5 x x = 45 5 = x = 4 x = ± 5 5 Dostali jsme body dotyku T 1, T ; T 1 = [ ; ], T = [; ]. Jejich souřadnice dosadíme do rovnice tečny a získáme obecné rovnice tečen t 1 a t vedených z bodu M k naší elipse.

12 a) T 1 t 1 : 5 x 9 y x 15y = 45 t 1 : x + y + 9 = 5 b) T t : 5 x 9 y 45 1x 15y = 45 t : x y 9 =