Sestavení pohybové rovnosti jednoduchého mechanismu pomocí Lagrangeových rovností druhého druhu

Transkript

1 Sestavení pohybové rovnosti jednoduchého mechanismu pomocí Lagrangeových rovností druhého druhu Václav Čibera 12. února Motivace Na obrázku 1 máme znázorněný mechanický systém, který může představovat například součástku nějakého stroje. Abychom stroj mohli lépe ovládat, předpovídat jeho chování, sestrojit ho atp..., potřebujeme znát, jak se tento mechanický systém - součástka chová v každém okamžiku při změnách polohy a rychlosti jednotlivých součástí. Obrázek 1: Obrázek popisovaného mechanismu Pro náš konkrétní příklad předpokládáme následující možné chování mechanického systému: 1

2 prezentace KMA/MM-Matematické modelování 2 Tyč a kotouč jsou spolu v trvalém kontaktu, v místě jejich dotyku se tyč pohybuje bez tření. Tyč může konat pouze otáčivý pohyb podle osy otáčení umístěné v jednom z jejich konců, otáčení uvažujeme bez tření. Kotouč se po rovině pohybuje bez prokluzu, kotouč se pohybuje pouze v takovém intervalu, aby z něj tyč nespadla a aby ji nepřevalil. viz obrázky 2 a 3. Obrázek 2: Maximální možný posun kotouče doleva Obrázek 3: Maximální možný posun kotouče doprava, tyč nespadne

3 prezentace KMA/MM-Matematické modelování 3 2 Matematický model Řešení našeho problému docílíme tak, že sestrojíme pohybovou rovnost systému, ze které si můžeme posléze dopočítat potřebná data a celkově analyzovat chování uváděného mechanického systému - součástky. Jedním z nejpoužívanějších a nejefiktivnějších nástrojů pro sestrojení pohybové rovnosti mechanického systému jsou Lagrangeovy rovnosti II. druhu. (Lagrangeovy rovnice II. druhu) Lagrangeovy rovnosti II. druhu Cesta odvození Lagrangeových rovnic II. druhu je velice zdlouhavá. Proto zde akorát uvedu, že jsou odvozeny pomocí D Alembertova principu, Lagrangeových rovností I. druhu a Centrální Lagrangeovy rovnosti. Konkrétní tvar Lagrangeových rovností II. druhu:, kde L je tzv. Lagrangeova funkce ve tvaru: d dt ( L q ) L k q = 0 (1) k L = E k E p (2), kde E k je kinetická energie mechanismu, v tomto případě součet energií získané vlivem rotačních a posuvných pohybů jednotlivých součástí mechanismu. E p je potenciální energie, v tomto případě součet potenciálních energií jednotlivých součástí mechanismu. Symbol q k zde neznačí mocninu q, ale naznačuje, že se jedná zobecněné souřadnice. Lagrangeovy rovnosti II. druhu ve tvaru (1) jsou obecně soustavou k diferenciálních rovností, kde k je počet proměných(souřadnic). Z uvedených rovností (1) a (2) vyplývá, že potřebujeme: a) Sestrojit Lagrangeovu funkci (2), tj. určit E k a E p. b) Umístit mechanismus do nějakého souřadnicového systému, ve kterém budeme schopni pro jednotlivé komponenty mechanismu zavést souřadnice. 1 zmiňuji zde slovo rovnice schválně, protože v literatuře převládá název Lagrangeovy rovnice

4 prezentace KMA/MM-Matematické modelování Zachycení mechanismu do souřadnic, popis systému Abychom mohli mechanismus analyzovat za pomocí matematiky,musíme mechanický systém vhodně zachytit do nějakého souřadnicového systému. Zvolení souřadnicového systému víceméně záleží na řešiteli a závisí na vhodnosti pro konkrétní příklad. Pro zachycení tohoto modelu jsem zvolil kartézský systém. Zachycení modelu do souřadnicového systému je zobrazeno na obrázku 4. Obrázek 4: Obrázek popisovaného mechanismu m 1... hmotnost kotouče R... poloměr kotouče ϕ 1... úhel pootočení kotouče x 1... x-sová souřadnice středu kotouče [x 1, R]... souřadnice středu kotouče, střed je zároveň těžistě kotouče l... délka tyče ϕ 2... úhel pootočení tyče m 2... hmotnost tyče T [x T ; y T ]... souřadnice těžistě tyče,je uprostřed tyče

5 prezentace KMA/MM-Matematické modelování Sestrojení Lagrangeovy funkce L = E k E p (2) K sestrojení Lagrangeovy funkce potřebujeme znát kinetickou energii E k a potenciánlní energii E p jednotlivých komponent mechanismu. Vyjádření pro kinetickou energii získáme ze skutečnosti, že E k = pohybová energie tělesa + rotační energie tělesa. E k = 1 2 m x I ϕ 2 (3), kde I je moment setrvačnosti. Momenty setvačnoti pro běžné tvary těles jsou lehce k nalezní v literatuře. Moment setrvačnosti kotouče : I 1 = 1 2 m 1R 2 (4) Moment setrvačnosti tyče, jejíž osa otáčení prochází jedním z konců tyče: I 2 = 1 3 m 2l 2 (5) Pro náš případ bude mít celková kinetická energie všech součástí následující tvar: E k = pohybová energie kotouče + rotační energie kotouče + rotační energie tyče = E k = 1 2 m 1x I 1ϕ I 2ϕ 2 2 (6) Po dosazení (4) a (5) dostaneme vztah: E k = 1 2 m 1 x m 1R 2 ϕ m 2l 2 ϕ 2 2 (7) Vyjádření potenciální energie E p je v našem případě jednoduché. Jediné těleso, které mění v našem mechanismu potenciální energii je je tyč. Těžiště tyče se může podle zadání pohybovat pouze v intervalu < 1 2 R, l > na ose 2 y, kde krajní hodnoty intervalu představují nulovou resp. maximální hladinu potenciální energie. Lagrangeova funkce má tedy tvar: E p = m 2 g l 2 sinϕ 2 m 2 g 1 2 R (8) L = E k E p = 1 2 m 1 x m 1R 2 ϕ m 2l 2 ϕ 2 2 m 2g l 2 sinϕ 2 +m 2 g 1 2 R (9)

6 prezentace KMA/MM-Matematické modelování Vazby, systém s jedním stupněm volnosti Jak již bylo výše uvedeno výraz (1) představuje soustavu k diferenciálních rovností. V našem případě si můžeme situaci zjednodušit a získat pouze jednu rovnici. Uvažovaný mechanický systém je systém s jedním stupněm volnosti. Jednoduše řečeno: pokud hnu s jakoukoli součástí systému, hnu i s ostatními součástmi systému, nebo ještě jinak : pokud změním jednu souřadnici v systému, změní se mi i v jisté závislosti ostatní souřadnice v sytému. Jako výchozí souřadnici si zvolíme například souřadnici ϕ 1, pomocí této souřadnice si vyjádříme všechny ostatní souřadnice ve vztahu (9), tj. x 1, ϕ 2. Zároveň si určíme i jejich derivace podle času. Je zřejmé, že platí: x 1 = Rϕ 1 (10) x 1 = Rϕ 1 (11) Vazbu mezi ϕ 1 a ϕ 2 určíme z geometrických vztahů zobrazených na obr. 5. Obrázek 5: Odvození vazby mezi ϕ 1 a ϕ 2 Z obr. 5 se dá vyčíst, že:

7 prezentace KMA/MM-Matematické modelování 7 tg ϕ 2 2 = R R + Rϕ 1 (12) R ϕ 2 = 2 arctan( ) (13) R + Rϕ 1 ϕ 2 = 2R 2 2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1. ϕ 1 (14) 2.5 Sestavení pohybové rovnosti pomocí Lagrangeových rovností II. druhu V předešlé části jsme si všechny souřadnice vyjádřily pomocí jediné souřadnice ϕ 1. Lagrangeovu funkci ve tvaru (9) nyní po dozasezení vztahů (11) a (14) můžeme vyjádřit ve tvaru : L = 1 2 m 1R 2 ϕ m 1R 2 ϕ m 2l 2 ( Po zjednodušení: 2R 2 2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 ) 2. ϕ 2 1 m 2 g l R sin[2 arctan( )] + m 2 g 1 2 R + Rϕ 1 2 R (15) L = [ 3 4 m 1R m 2l 2 2R 2 ( ) 2 ]. ϕ 2 2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 m 2g[ l R sin{2 arctan( )} R + Rϕ 1 2 R] (16) Nyní už potřebujeme pouze vyjádřit d dt ( L q ) a L z rovnosti (1), tj. z k q k d rovnosti dt ( L q ) L = 0, kde k q k q k = q 1 = ϕ 1 = ϕ 1 (t) Raději zopakujme, že se nejedná o mocniny q, ale o označení souřadnice. L = [ 3 ϕ 1 2 m 1R m 2l 2 2R 2 ( ) 2 ]. ϕ 2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 (17) 1 d dt ( L ) = [ 3 ϕ 1 2 m 1R m 2l 2 2R 2 ( ) 2 ]. ϕ 2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 +[ 8 m 2 l 2 R 4 (2R 2 + 2ϕ 1 ) ]. 1 3 (2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 )3 (18) ϕ 2 1 L = 4 ϕ 1 3 m 2l 2 R 4 (2R 2 + 2ϕ 1 ) (2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ +m 2g l 2 1 )3 2 2R 2 cos{2 arctan( R R+Rϕ 1 )} 2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 (19)

8 prezentace KMA/MM-Matematické modelování 8 Nyní už máme vše připraveno. Stačí pouze dosadit výrazy (18) a (19) do výchozí rovnosti (1): [ 3 2 m 1R m 2l 2 2R 2 ( ) 2 ]. ϕ 2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 +[ 8 m 2 l 2 R 4 (2R 2 + 2ϕ 1 ) ]. ϕ (2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ ) m 2l 2 R 4 (2R 2 + 2ϕ 1 ) (2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 )3 m 2g l 2 2R 2 cos{2 arctan( R R+Rϕ 1 )} 2R 2 + 2R 2 ϕ 1 + ϕ 2 1 = 0 (20) Nebo v přehlednější formě: a(ϕ 1 ). ϕ 1 + b(ϕ 1 ). ϕ c(ϕ 1) = 0 (21) Rovnost (20), resp. (21) ještě můžeme doplnit okrajovými podmínkami pro ϕ 1, které by závisely na zvolení hodnot l, R. 2.6 Závěr Sestavili jsme pohybovou rovnost (20), kterou vyřešíme v matlabu, nebo odneseme na KMA. Ze sestavené rovnosti je vidět, že i zdánlivě jednoduchý mechanismus popisuje poměrně složitá diferenciální rovnice II. řádu. Řešením dosažené rovnosti je fce ϕ 1 (t), která popisuje polohu tělesa v daném prostředí. Parametr t může představovat čas. 2.7 Použitá literatura Teoretická mechanika; Rosenberg, Josef; Plzeň 2003 Děkuji za pozornost