Pokrytí šachovnice I

Transkript

1 Pokrytí šachovnice I VŠB-TU Ostrava, fakulta FEI Obor: Informatika výpočetní technika Předmět: Diskrétní matematika (DIM) Zpracoval: Přemysl Klas (KLA112) Datum odevzdání: ) Abstrakt: Máme šachovnici o rozměrech n x n políček. K dispozici máme neomezený počet dílků ve tvaru kostek známé hry TETRIS, každý složený ze čtyř čtverečků stejného rozměru jako jedno políčko šachovnice. Pro která n je možno šachovnici pokrýt dílkem I, dílkem o, dílkem T, dílkem L a dílkem S? Tvrzení dokažte. 2) Příprava a rozbor příkladu: Kostky, které jsou k dispozici (jsou barevně rozlišeny kvůli názornosti): Pro logické vyřešení problému jsem zvolil tento postup: Ze zadaného vzorce n x n plyne, že šachovnice musí mít tvar čtverce. Abychom našli u každé kostky pokrytí šachovnice bez zbylých volných polí je nutné u každé kostky zvlášť (I, o, T, L, S) najít takový čtverec o n x n políčcích, aby bylo použito jednotlivých dílů co nejméně. Poté je nutno nalézt nejbližší vetší čtverec složitelný z nejbližšího vyššího možného počtu užitých jednotlivých kostek a tímto způsobem nalézt další větší, atd. až je možné vyvodit závěr, z kterého lze přesně vyjádřit počet n potřebných k pokrytí.

2 3) Řešení jednotlivých úloh: a) pro I : Nejmenší možný čtverec, který lze vytvořit z dílků I lze vytvořit dvěma způsoby: nebo Jiné možnosti Jiné m uspořádání kostek I neexistují do čtverce 4 x 4 Z toho tedy plyne, že nejmenší možný čtverec vytvořitelný z kostek I je 4 x 4. Nejbližší větší složený čtverec je: což je pokrytí 8 x 8 polí. Pokud budeme ve skládání pokračovat, dojdeme k pokrytí 12 x 12 polí, 16 x 16 polí atd. Závěr pokrývání šachovnice kostkami I : Nejmenší n x n šachovnice kterou lze pokrýt kostkami I má velikost 4 x 4 polí a každé další pokrytí lze získat vynásobením 4 libovolným číslem. 4 i pro i N, tedy kostkami I lze pokrýt šachovnici o počtu polí 4 i 4i pro i N.

3 b) pro o : Nejmenší možný čtverec, který lze vytvořit z kostek o není nutné skládat, kostka o již tvoří čtverec sama o sobě, tedy nejmenší možný čtverec bude mít rozměry 2 x 2 pole. Nejbližší větší složený čtverec bude tedy vypadat takto: což tvoří šachovnici o 4 x 4 polích a není možné žádné jiné uspořádání. Dalším skládáním dojdeme k hodnotám 6 x 6 polí, 8 x 8, atd. Žádná uspořádání 3 x 3 nebo 5 x 5 nejsou možná Závěr pokrývání šachovnice kostkami o : Nejmenší n x n šachovnice kterou lze pokrýt kostkami o má velikost 2 x 2 pole a každé další pokrytí lze získat vynásobením 2 libovolným číslem. 2 o pro o N, tedy kostkami o lze pokrýt šachovnici o počtu polí 2 o 2o pro o N.

4 c) pro T : Nejmenší možný čtverec, který lze vytvořit z kostek T bude vypadat takto (2 jediné možné způsoby): nebo což tvoří šachovnici o 4 x 4 polích a není možné žádné jiné uspořádání. Nejbližší větší složený čtverec bude tedy vypadat takto: což tvoří šachovnici o 8 x 8 polích, žádné jiné uspořádání větší než 4 x 4 pole a menší než 8 x 8 polí neexistuje, neboli pro 4 < n < 8 je n = φ Dalším skládáním dojdeme k hodnotám 12 x 12 polí, 16 x 16, atd. Závěr pokrývání šachovnice kostkami T : Nejmenší n x n šachovnice kterou lze pokrýt kostkami T má velikost 4 x 4 polí a každé další pokrytí lze získat vynásobením 4 libovolným číslem. 4 t pro t N, tedy kostkami T lze pokrýt šachovnici o počtu polí 4 t 4t pro t N. Pozn. Můžeme si všimnout, že řešení s kostkami T je obdobné jako u kostek I, obdobně tomu bude i u kostek L

5 d) pro L : Nejmenší možný čtverec, který lze vytvořit z kostek L bude vypadat takto (jelikož různých uspořádání je více konkrétně 8, uvedu zde jen 2 příklady): nebo opět jsme získali šachovnici o 4 x 4 polích Nejbližší větší složený čtverec bude tedy vypadat takto: což tvoří šachovnici o 8 x 8 polích, žádné jiné uspořádání větší než 4 x 4 pole a menší než 8 x 8 polí neexistuje, neboli pro 4 < n < 8 je n = φ Dalším skládáním dojdeme k hodnotám 12 x 12 polí, 16 x 16, atd. Závěr pokrývání šachovnice kostkami L : Nejmenší n x n šachovnice kterou lze pokrýt kostkami L má velikost 4 x 4 polí a každé další pokrytí lze získat vynásobením 4 libovolným číslem. 4 l pro l N, tedy kostkami L lze pokrýt šachovnici o počtu polí 4 l 4l pro l N.

6 e) pro S : Pro kostky S nelze beze zbytku (volných polí) čtverec vytvořit. Například jedno z možných uspořádání: tímto způsobem lze ve skládání pokračovat do neomezené délky a nikdy nelze dosáhnout úplného pokrytí čtverce. Závěr pokrývání šachovnice kostkami S : Pro kostky S nelze šachovnici pro libovolná n nikdy beze zbytku pokrýt, tedy vždy zůstanou na šachovnici volná nepokrytá pole. Pokrytí šachovnice kostkami S nemá řešení, tedy n = φ 4) Závěr: Optické zobrazení je dobrou ukázkou možností pokrytí šachovnice a vytvoří tak konkrétní představu o tom, jak uspořádání může vypadat. Navíc lze z obrázku logicky vyvodit závěr a obrázek tak vytváří důkaz o tom, jak je možné šachovnici kostkami pokrývat. Poznámka na závěr: Pro vyjádření rozměrů šachovnice jsem používal značení x pro aritmetické násobení, toto značení je použité pouze pro názornost.