označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

Transkript

1 Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání a násobení následovně:. (x, y ) = (x 2, y 2 ) právě tehdy když x = x 2 a y = y 2, 2. (x, y ) + (x 2, y 2 ) = (x + x 2, y + y 2 ), 3. (x, y )(x 2, y 2 ) = (x x 2 y y 2, x y 2 + x 2 y ). Jestliže budeme mnluvit obecně o nějakém komplexním čísle, budeme ho značit jedním písmenem z = (x, y), kde x = Re z se nazývá reálná část a y = Im z imaginární část. Ztotožněme dvojici (x, 0) s reálným číslem x. Není težké podle definice operací ověřit, že s takovými dvojicemi počítáme stejně jako s reálnými čísly. Dále označme j = (0, ) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou dvojici můžeme vyjádřit takto: (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, )(y, 0) = x + jy, což odpovídá běžně používanému zápisu komplexního čísla v takzvaném kartézském tvaru. Proto budeme v dalším textu pro dvojici (x, y) používat tohoto značení. Speciálně 0 = (0, 0) a = (, 0). Takto definovaný algebraický systém (množina + operace) tvoří těleso, t.j. splňuje následující zákony: Zákon komutativní Zákon asociativní Zákon distributivní Neutrální prvky Inverzní prvky z + = + z, z = z. z + ( + v) = (z + ) + v, z(v) = (z)v. z( + v) = z + zv. 0 + z = z, z = z.

2 . Pro všechny z, C existuje právě jedno v C tak, že platí z + v =. Číslo v nazýváme rozdíl a značíme v = z. Speciálně 0 z = z se nazývá číslo opačné k číslu z. 2. Pro všechny z, C, z 0, existuje právě jedno v C tak, že platí zv =. Číslo v nazýváme podíl a značíme v = z. Speciálně z = z se nazývá reciproké číslo k číslu z. Příklad. Nechť z = x + jy a = x 2 + jy 2. Pak rozdíl z = x 2 x + j(y 2 y ). Dále předpokádejme, že z 0. Chceme dokázat, že podíl z je jednoznačně definován a nalézt jeho kaztézský tvar. Označme z = a + jb. Pak pro podíl musí platit: = z z = (x + jy )(a + jb). Po dosazení za a vynásobení pravé strany dostáváme tedy: x 2 + jy 2 = x a y b + j(x b + y a). Z definice rovnosti komplexních čísel dostaneme soustavu lineárních rovnic, kde a, b jsou neznámé: x a y b = x 2, y a + x b = y 2. Z lineární algebry víme, že soustava má právě jedno řešení pokud determinant matice soustavy je nenulový, t.j. x y y x = x2 + y 2 0. Protože jsme ale předpokládali, že z 0, musí alespoň jedno číslo z x a y být nenulové a tudíž x 2 + y 2 0. Tím jsme dokázali, že je podíl jednoznačně definován. Hodnoty a a b můžeme vyjádřit potom např. pomocí Kramerova pravidla: x 2 y y 2 x a = x y = x x 2 + y y 2 x 2 +, y2 y x x x 2 y y 2 b = x y = x y 2 x 2 y x 2 +. y2 y x Máme tedy: z = x x 2 + y y 2 x j x y 2 x 2 y y2 x 2 +. y2 2

3 Příklad.2 Dokažte:. j 2 = ; j 2 = (0, )(0, ) = (, 0) =, 2. j 3 = j; j 3 = j 2 j = j = j, 3. j 4 = ; j 4 = j 3 j = jj = j 2 = ( ) =, 4. j n = j l, l {0,, 2, 3}; j n = j 4k+l = j 4k j l = (j 4 ) k j l = k j l = j l. Číslo komplexně sdružené k číslu z = x + jy značíme z a definujeme: Tvrzení.3 2. Im z = z z 2j, 3. z = z, 4. z + = z +,. Re z = z+z 2, 5. z = z, 6. ( ) z = z pro z 0. Důkaz: z = x jy.. z + z = (x + jy) + (x jy) = 2x = 2Re z, 2. z z = (x + jy) (x jy) = 2jy = 2jIm z, 3. z = x + jy = x jy = x ( jy) = x + jy = z, 4. z + = (x + jy ) + (x 2 + jy 2 ) = x + x 2 + j(y + y 2 ) = x +x 2 j(y + y 2 ) = x jy + x 2 jy 2 = z, 5. domácí úkol, 6. protože ( ) z = ( z ) = ( z ), stačí ukázat že ( z ) = z, zbytek domácí úkol. Absolutní hodnotu (modul) komplexního čísla z = x + jy definujeme: z = x 2 + y 2. Tvrzení.4 z 0.. z = 0 právě tehdy když z = 0 a z > 0 pravě tehdy když 2. z = z = z. 3

4 3. Re z z, Im z z. 4. z = zz. 5. z = z. 6. z = z pro z z + z + (trojúhelníková nerovnost). 8. z z. Důkaz:. 3. Zřejmé. 4. zz = (x + jy)(x jy) = x 2 + y 2 + j(xy xy) = x 2 + y 2 = z. 5. z = (z)(z) = (z)(z ) = (zz)() = z. 6. Domácí úkol. 7. z + 2 = (z + )(z + ) = (z + )(z + ) = zz + + z + z = z z +z. Všiměme si, že z je komplexně sdružené číslo k číslu z, protoze z = z = z. Dále podle Tvrzení.3() dostáváme z + z = z + z = 2Re(z). Můžeme tedy pokračovat z + 2 = z Re(z) z z = z z = ( z + ) 2 (kde jsme využili Tvrzení.4(3, 5, 2). Máme tedy z + 2 ( z + ) 2. Protože z + a z + jsou nezáporná reálná čísla, můžeme nerovnici odmocnit a dostáváme z + z Domácí úkol. Pomocí komplexně sdruženého čísla z a modulu komplexního čísla z můžeme úsporněji vyjádřit podíl komplexního čísla a z, z 0: Příklad j2 5 + j z = z z z = z z 2. (3 + j2)(5 j) 7 + j7 = 5 + j 2 =. 26 Protože komplexní čísla jsou uspořádané dvojice reálných čísel, můžeme každé komplexní číslo z = x + jy = (x, y) reprezentovat bodem v rovině o souřadnicích x a y nebo vektorem z počátku do tohoto bodu. Všiměme si, že sčítání a odčítání komplexních čísel vskutku odpovídá sčítání a odčítání odpovídajích vektorů. 4

5 Bod v rovině o souřadnicích x a y můžeme ovšem popsat i pomocí polárních souřadnic, t.j. pomocí vzdálenosti r od počátku a úhlu ϕ, který svírá vektor (x, y) a vektor (, 0). Potom platí: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. () Pokud (x, y) = (0, 0) je r = 0 a uvedené rovnice platí pro libovolný úhel ϕ. Odtud tedy plyne, že každé komplexní číslo z = x + jy = r cos ϕ + jr sin ϕ, kde r je vzdálenost od počátku r = x 2 + y 2 = z. Dostáváme tedy tzv. goniometrický tvar čísla z: z = z (cos ϕ + j sin ϕ). Využijeme-li Eulerův vztah: cos ϕ + j sin ϕ = e jϕ, dostaneme tzv. exponenciální tvar: z = z e jϕ. Je-li z 0, pak množina všech úhlů splňující rovnice se nazývá argument komplexního čísla z a značí se Arg z. Pokud ϕ Arg z a ϕ ( π, π označíme ϕ = arg z a nazýváme ho hlavní hodnotou argumentu z. Zřejmě platí: Arg z = {arg z + 2kπ k Z}. Dále je zřejmé, že hodnotu arg z můžeme spočítat pomocí funkce arctan, musíme, ale nejprve zjistit v jakém kvadrantu se číslo z nachází a podle toho upravit výpočet. Jiná možnost jak hodnotu arg z vyjádřit je následující: { 2 arctan Im z z +Re z arg z =, z M, π, z M, kde M = {z C Im z = 0, Re z < 0}. Promyslete si, proč předchozí vztah platí! Příklad.6 Dokažte, že platí:. e jϕ e jϕ2 = e j(ϕ+ϕ2), 2. Řešení:. e jϕ e jϕ2 = ej(ϕ ϕ2). e jϕ e jϕ2 = (cos ϕ + j sin ϕ )(cos ϕ 2 + j sin ϕ 2 ) = (cos ϕ cos ϕ 2 sin ϕ sin ϕ 2 ) + j(sin ϕ cos ϕ 2 cos ϕ sin ϕ 2 ) = cos(ϕ + ϕ 2 ) + j sin(ϕ + ϕ 2 ) = e j(ϕ+ϕ2). 5

6 2. Stačí dokázat e jϕ = e jϕ. cos ϕ j sin ϕ e jϕ = = cos ϕ + j sin ϕ cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = cos ϕ j sin ϕ = cos( ϕ) + j sin( ϕ) = e jϕ. Z předchzího příkladu plyne, že exponenciální tvar komplexního čísla je vhodný pro výpočet násobení a dělení komplexních čísel, protože platí: z = z e jϕ e jϕ2 = z e j(ϕ+ϕ2), z = ejϕ2 z e jϕ = z ej(ϕ2 ϕ). Při násobení tedy jenom vynásobíme moduly a sečteme argumenty a při dělení vydělíme moduly a odečteme argumenty. Speciálně pro kladná celá čísla n dostáváme z n = ( z e jϕ ) n = z n e jnϕ. 6