1. Matematická logika

Transkript

1 Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků dělá skutečnou vědu, je, že tyto poznatky logicky uspořádáme, vytvoříme z nich systém. A k tomu slouží logika. Pomocí logického myšlení, logickým odvozováním získáváme z daných faktů nová fakta nebo hypotézy. Tyto opět konfrontujeme s experimentem, neboť by se mohlo stát, že výchozí poznatky nezobrazují skutečnost správně. Pravidla logického odvozování se musí řídit jistými zákony: nesmí se například stát, abychom dospěli k logickému sporu, pokud tento již není v předpokladech. Je-li něco logicky sporné, pak to nemůže být pravdivé. Není-li to v logickém sporu, nemusí to být ještě pravda. Je třeba se opět obrátit ke skutečnosti, zda byla zobrazena správně. Logika tedy umožňuje vyloučit některé určitě nesprávné hypotézy. MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika si vybudovala svůj vlastní matematický jazyk. K jeho specifickým odlišnostem patří zejména významové rozlišení symbolů na konstanty a proměnné a užívání vět specifického druhu výroků. KONSTANTA, PROMĚNNÁ Konstanta je symbol, jehož význam se považuje za jednoznačně určený (významem je nejčastěji hodnota). Proměnná je symbol, jehož význam není určen jednoznačně, lze však za něj dosazovat konstanty podle určitých pravidel, aby příslušná věta měla smysl. 1

2 (a) Ve větě A je fyzikální veličina je fyzikální veličina konstanta, A je proměnná, za kterou lze dosazovat konstanty názvy fyzikálních veličin. (b) Ve větě 2 + x y jsou symboly 2, +, - konstanty, x, y proměnné, za které lze dosazovat konstanty čísla různého typu. Jak v matematice, tak v aplikacích se pak hovoří o konstantních, příp. proměnných veličinách. Při řešení každé úlohy je třeba mít od začátku zcela jasno, které veličiny se považují za konstanty a které za proměnné. V aplikačních úlohách toto rozlišení bezprostředně souvisí s podstatou a formulací úlohy. Je-li v úloze zadáno stanovit hodnotu normálového napětí zkoumaného vzorku, lze za konstantu považovat modul pružnosti materiálu, ze kterého je vzorek vyroben, za proměnnou pak pohyblivé hodnoty poměrného (relativního) prodloužení vzorku při jeho deformaci tahem. VÝROK Výrok je věta (gramaticky správná), u které má smysl rozhodovat, zda je pravdivá (platí) či nepravdivá (neplatí), přičemž může nastat právě jediná z těchto dvou možností. V tomto smyslu se za výroky považují i věty obsahující proměnné, o jejichž pravdivosti (nepravdivosti) se rozhodne až po dosazení konstant za všechny proměnné, případně podle konkrétní situace. (a) Věta Atom je nejmenší částice hmoty je výrok, který je nepravdivý. (b) Věta 2 je sudé číslo je výrok, který je pravdivý. (c) Věta není výrok. (d) Věta A je jednotka síly je výrok, o jehož pravdivosti (nepravdivosti) se rozhodne až po dosazení konstanty (názvu jednotky) za proměnnou A. (e) Věta Dobrý den není výrok. (f) Věta x + y 2 je výrok, o jehož pravdivosti (nepravdivosti) se rozhodne až po dosazení konstant (reálných čísel) za proměnné x, y. (g) Věta Současný král Středoevropské republiky je líný se nepovažuje za výrok, neboť skutečnost tvořící významové jádro věty reálně neexistuje. (h) Věta Výrobek má výšku větší než 1 metr je výrok, o jehož pravdivosti (nepravdivosti) lze rozhodnout v dané situaci měřením. (i) Věta Jsou mraky je výrok, jehož pravdivost (nepravdivost) závisí na konkrétní situaci. 2

3 OPERACE S VÝROKY K zadaným výrokům lze vhodným způsobem podle určitých pravidel konstruovat výroky nové. Hovoří se o operacích s výroky (též o skládání výroků); výsledkem je složený výrok. K základním operacím s výroky patří negace, konjunkce, disjunkce, implikace a ekvivalence. Negace výroku A je výrok není pravda, že A, který platí, jestliže A neplatí, a naopak; značí se A (non A). (a) Negace výroku A: x < 2 je výrok A: x 2. (b) Negace výroku A: výrobek je zmetek, je výrok A: výrobek není zmetek. (c) Negace výroku A: všichni studenti ve třídě jsou výborní, je výrok A: alespoň jeden student, ve třídě není výborný (pozor například výrok všichni studenti ve třídě nejsou výborní by nemusel být chápán v jednoznačném významu). Uvažujme nyní dva výroky A, B. Pak mohou nastat následující čtyři alternativy jejich platnosti či neplatnosti: i. A platí, B platí. ii. A platí, B neplatí. iii. A neplatí, B platí. iv. A neplatí, B neplatí. Konjunkce výroků A, B je výrok A a B, který platí pouze jestliže oba výroky A, B platí (tj. v případě i), jinak neplatí (tj, v případech ii, iii, iv); značí se též A B. Disjunkce výroků A, B je výrok A nebo B, který platí, jestliže alespoň jeden z výroků A, B platí (tj. v případech i, ii, iii), jinak neplatí (tj, v případě iv); značí se též A B. (a) Pro výroky A: leden má třicet dní, B: ideální kapalina je nestlačitelná tekutina, je výrok A a B: leden má třicet dní a ideální kapalina je nestlačitelná tekutina, výrok A nebo B: leden má třicet dní nebo ideální kapalina je nestlačitelná tekutina; výrok A a B neplatí, výrok A nebo B platí (jde o případ iii). (b) Pro výroky A: x > 3, B: x 6, je výrok A a B: x > 3 a x 6, výrok A nebo B: x > 3 nebo x 6. Je zřejmé, že výrok x > 3 a x 6 vyjadřuje totéž, co výrok x (3, 6 a výrok x > 3 nebo x 6 totéž co výrok x je libovolné reálné číslo a naopak (takové výroky se budou nazývat ekvivalentní, jak uvidíme později). 3

4 Poznámka: Spojka a v definici konjunkce vyjadřuje totéž co v živém jazyce a současně, spojka nebo v definici disjunkce má význam alternativy (nikoliv význam vzájemně vylučující ve smyslu buď a nebo ). Implikace výroků A, B je výrok jestliže platí A, pak platí B, který platí v případech i, iii, iv a neplatí v případě ii; značí se A B. Jestliže výroky A, B obsahují proměnné, pak se formulací A B platí rozumí, že výrok A B vždy platí, tj. po dosazení libovolných konstant (přicházejících v úvahu) za všechny proměnné; jinak se používá formulace A B neplatí. (a) Pro výroky A: 1 > 3, B: 1 m/s = 3,6 km/h, je výrok A B: jestliže 1 > 3, pak 1 m/s = 3,6 km/h, výrok B A: jestliže 1 m/s = 3,6 km/h, pak 1 > 3; výrok A B platí (jde o případ iii), výrok B A neplatí (jde o případ ii). (b) Pro výroky A: x < 4, B: x 2, je výrok A B: x < 4 x 2. Určíme, pro která reálná čísla x výrok A B neplatí. A B neplatí pouze v případě ii, tj. x < 4 (A platí) a x < 2 (B neplatí), tj. x < 2. V ostatních případech A B platí, a tedy A B platí pro x 2. (c) Pro výroky A: prší, B: jsou mraky, je výrok A B: jestliže prší, pak jsou mraky, výrok B A: jestliže jsou mraky, pak prší; výrok A B platí (neboť případ ii je reálně vyloučen), výrok B A neplatí (neboť případ ii, tj, jsou skutečně mraky a přitom neprší je reálně možný). Upozorněme na důležitý fakt, že v případě těchto dvou výroků (vlivem jejich fyzikální závislosti) může platnost jednoho ovlivnit platnost druhého; jinak řečeno, výroky A, B jsou pravdivostně závislé. U výroků A, B uvedených v (a), (b) tomu tak není. Také si připomeňme, že v (b), (c) obsahují výroky A, B proměnné, i když v (c) nejsou vyjádřeny symboly. Implikace výroků hraje velmi významnou roli při formulaci matematického tvrzení. K vyjádření implikace A B, se kromě již uvedeného ve stejném významu užívá z A plyne B, A implikuje B, platí-li A, platí B, A je předpoklad, B je závěr, případně dalších běžných jazykových obměn. Pro výroky A: x je racionální číslo, B: x je reálné číslo, lze implikaci A B vyjádřit, například, těmito významově stejnými formulacemi. (a) Je-li x číslo racionální, pak je x číslo reálné. (b) Nechť x je číslo racionální. Pak x je číslo reálné. (c) Z platnosti, že x je číslo racionální, plyne, že x je číslo reálné. Jak se lze snadno přesvědčit, výrok A B znamená totéž, jako výrok neboť oba výroky neplatí pouze v případě ii. B A, 4

5 Pro výroky A: voda vře, B: teplota vody je vyšší než 80 o C, vyjadřuje výrok A B: jestliže voda vře, pak teplota vody je větší než 80 o C, totéž jako výrok B A : není-li teplota vody vyšší než 80 o C, pak voda nevře. Ekvivalence výroků A, B je výrok A B a B A ; značí se A B. Jinak vyjádřeno výroky A, B jsou ekvivalentní, jestliže z A plyne B a z B plyne A. Jak je patrno, výrok A B platí v případech i, iv, jinak neplatí (tj. v případech ii, iii). (a) Výroky A: muž je ženatý, B: muž má manželku, jsou ekvivalentní, A B. (b) Výroky A: trojúhelník je rovnostranný, B: trojúhelník má všechny vnitřní úhly shodné, jsou ekvivalentní. K vyjádření ekvivalence výroků A, B se užívá též formulací A platí, právě když platí B, A je ekvivalentní s B. Prakticky to znamená, že výroky A, B jsou vzájemně nahraditelné z hlediska pravdivosti. Symboly,,,,, označující operace s výroky se nazývají logické operátory. VÝROKOVÉ FUNKCE, KVANTIFIKÁTORY Predikát neboli výroková funkce je předpis P, který každému prvku x z daného pole objektů (množiny) přiřazuje výrok, tj. pro každé x z daného pole je P (x ) výrok. Tvoří-li, například, pole objektů množina přirozených čísel N, pak výrokovou funkcí P (x) může být věta: x je menší než 8. P(x) je pravdivý výrok pro přirozená čísla menší než 8 a nepravdivý pro přirozená čísla větší nebo rovna 8. Máme-li pole objektů M a výrokovou funkci P, zavedeme tzv. základní kvantifikátory, které slouží k vytváření nových složitějších výroků existenční kvantifikátor. Výrok x M, P (x ) (čteme jako existuje x z množiny M, pro které platí P (x) ) je pravdivý výrok, právě když existuje takové x 0 M, že výrok P (x 0) je pravdivý obecný kvantifikátor. Výrok x M, P (x ) (čteme jako pro každé x z množiny M platí P (x ) ) je pravdivý výrok, právě když pro každý prvek y M je výrok P (y) pravdivý. 5

6 DŮLEŽITÉ ZÁKONY Ve výrokové logice platí následující základní zákony: I. Zákon sporu: Pro žádný výrok nemůže platit zároveň A i negace A (tzn. A A je nepravdivý výrok pro každý výrok A). II. Zákon vyloučeného třetího: Pro každý výrok A je buď A pravdivé, nebo A pravdivé (tzn. A A je pravdivý výrok pro každý výrok A). Z těchto zákonů plyne, že právě jeden z výroků A a A je pravdivý. Uveďme ještě významné vlastnosti implikace a ekvivalence. Platí: 1. A A (reflexivnost implikace). 2. Platí-li A B a B C, platí také A C (tranzitivnost implikace). 3. A A (reflexivnost ekvivalence). 4. Platí-li A B, platí i B A (symetričnost ekvivalence,!pozor - pro implikaci neplatí!). 5. Platí-li A B a B C, platí také A C (tranzitivnost ekvivalence). Další důležité ekvivalence jsou: 6. ( A ) A, 7. ( A A B, 8. ( A ( A) B, 9. ( ( A A, 10. ( A ) ( A B, 11. ( A ( A, B, 12. ( A ) ( A 13. ( A ( A, 14. ( A ( A, 15. ( A C ( A C) ( B C), 16. ( A C ( A C) ( B C), 17. ( x M, P( x) ) x M, P( x), 18. ( x M, P( x) ) x M, P( x). 6

7 FORMY MATEMATICKÉHO VYJADŘOVÁNÍ K tomu, aby matematika byla pravdivým obrazem reálného světa, si vytváří tzv. formální systémy. Zhruba řečeno, formální systém se skládá z pojmů a výroků o jejich vlastnostech. Schéma výstavby formálního systému je znázorněno na obr V prvním kroku výstavby formálního systému se nejprve vybere skupina tzv. primitivních pojmů, které se považují za zcela srozumitelné (opírají se o zkušenost) a dále se používají bez vysvětlení významu (např. bod, množina). Význam a smysl každého dalšího pojmu je třeba vysvětlit pomocí primitivních pojmů, případně pojmů, jejichž význam byl již dříve vysvětlen. K tomuto účelu se používá definic (obvykle jsou uvedeny slovy definice nebo jen def nebo bez uvedení, a pak je z kontextu zřejmé, že jde o definici); říkáme pak, že jsme pojem definovali (též zavedli ). primitivní pojmy pojmy axiomy věty převzaty ze zkušenosti přesvědčivé bezesporné vlastnosti pojmů (nedokazují se) vlastnosti pojmů (dokazují se) Obrázek 1.1 Schéma výstavby formálního systému V druhém kroku se vybere nejprve skupina výroků o pojmech, jejichž pravdivost považujeme za zcela zřejmou. Tyto výroky se nazývají axiomy (např. axiómy operací s reálnými čísly). Další výroky o vlastnostech pojmů se přijímají za pravdivé teprve po potvrzení platnosti postupem zvaným důkaz. Dokázané výroky se nazývají věty (též teorémy, příp. lemmata). Takto se i v matematickém textu uvádějí; vzhledem k tomu, že se v dalším výkladu (až na výjimky) důkazy neprovádějí, zmíněné označení se někdy vynechává a hovoří se o vlastnostech pojmů. Dodejme, že ne každý systém tvořený pojmy a výroky o nich je formální systém v matematickém slova smyslu. Tento systém musí splňovat velmi přesné podmínky, například bezespornost, nezávislost, úplnost, což není předmětem dalších úvah. 7

8 Cílové znalosti 1. Rozeznat konstanty a proměnné. 2. Rozhodnout, zda věta je výrok či ne. 3. K zadaným výrokům a výrokovým funkcím konstruovat negaci, konjunkci, disjunkci, implikaci a ekvivalenci včetně slovního vyjádření a určit, zda platí či ne. 4. Vyjádřit implikaci různými způsoby v matematických formulacích. 5. Rozlišit existenční a obecný kvantifikátor. 6. Rozumět, co je primitivní pojem, definice, axiom, věta, důkaz. 8